Математичко нишалода се нарече материјална точка обесена на бестежинска и нерастеглива нишка прикачена на суспензијата и лоцирана во полето на гравитација (или друга сила).
Да ги проучуваме осцилациите на математичкото нишало во инерцијална референтна рамка, во однос на која точката на неговото потпирање е во мирување или се движи рамномерно во права линија. Ќе ја занемариме силата на отпорот на воздухот (идеално математичко нишало). Првично, нишалото е во мирување во положбата на рамнотежа C. Во овој случај, силата на гравитација \(\vec F\) што дејствува на него и еластичната сила \(\vec F_(ynp)\) на конецот се меѓусебно компензирани.
Да го отстраниме нишалото од положбата на рамнотежа (со отклонување, на пример, во положбата А) и да го ослободиме без почетна брзина (сл. 13.11). Во овој случај, силите \(\vec F\) и \(\vec F_(ynp)\) не се балансираат една со друга. Тангенцијалната компонента на гравитацијата \(\vec F_\tau\), дејствувајќи на нишалото, му дава тангенцијално забрзување \(\vec a_\tau\) (компонента на вкупното забрзување насочено по тангентата на траекторијата на математичкото нишало ), а нишалото почнува да се движи во положба на рамнотежа со брзина која се зголемува во апсолутна вредност. Така, тангенталната компонента на гравитацијата \(\vec F_\tau\) е повратна сила. Нормалната компонента \(\vec F_n\) на силата на гравитацијата е насочена по должината на навојот против еластичната сила \(\vec F_(ynp)\). Резултатот од силите \(\vec F_n\) и \(\vec F_(ynp)\) го дава нормалното забрзување \(~a_n\) на нишалото, кое ја менува насоката на векторот на брзина, а нишалото се движи по лак А БЕ ЦЕ ДЕ.
Колку е поблиску нишалото до рамнотежната положба C, толку е помала вредноста на тангенцијалната компонента \(~F_\tau = F \sin \alpha\). Во положбата на рамнотежа, таа е еднаква на нула, а брзината ја достигнува својата максимална вредност, а нишалото се движи понатаму по инерција, издигнувајќи се во нагорен лак. Во овој случај, компонентата \(\vec F_\tau\) е насочена против брзината. Со зголемување на аголот на отклон a, модулот на сила \(\vec F_\tau\) се зголемува, а модулот на брзината се намалува, а во точката D брзината на нишалото станува еднаква на нула. Нишалото застанува за момент и потоа почнува да се движи во спротивна насока од положбата на рамнотежа. Поминувајќи го повторно по инерција, нишалото, забавувајќи го своето движење, ќе стигне до точката А (нема триење), т.е. ќе заврши целосен замав. По ова, движењето на нишалото ќе се повтори по веќе опишаната низа.
Дозволете ни да добиеме равенка која ги опишува слободните осцилации на математичкото нишало.
Нека нишалото во даден временски момент е во точката B. Неговото поместување S од положбата на рамнотежа во овој момент е еднакво на должината на лакот SV (т.е. S = |SV|). Дозволете ни да ја означиме должината на конецот за суспензија л, а масата на нишалото е м.
Од Слика 13.11 е јасно дека \(~F_\tau = F \sin \alpha\), каде што \(\alpha =\frac(S)(l).\) Под мали агли \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Знакот минус е ставен во оваа формула бидејќи тангенталната компонента на гравитацијата е насочена кон рамнотежна положба, а поместувањето се брои од рамнотежна положба.
Според вториот закон на Њутн \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Да ги проектираме векторските величини на оваа равенка на насоката на тангентата на траекторијата на математичкото нишало
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Од овие равенки добиваме
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - динамичка равенка на движење на математичко нишало. Тангенцијалното забрзување на математичкото нишало е пропорционално на неговото поместување и е насочено кон положбата на рамнотежа. Оваа равенка може да се запише како \. Споредувајќи го со равенката на хармониските осцилации \(~a_x + \omega^2x = 0\) (види § 13.3), можеме да заклучиме дека математичкото нишало врши хармонски осцилации. И бидејќи разгледуваните осцилации на нишалото се случија само под влијание на внатрешните сили, тоа беа слободни осцилации на нишалото. Оттука, слободните осцилации на математичкото нишало со мали отстапувања се хармонични.
Да означиме \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Од каде \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) е цикличната фреквенција на нишалото.
Периодот на осцилација на нишалото е \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Затоа,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g))\)
Овој израз се нарекува Формулата на Хајгенс.Го одредува периодот на слободни осцилации на математичкото нишало. Од формулата произлегува дека при мали агли на отстапување од положбата на рамнотежа, периодот на осцилација на математичкото нишало: 1) не зависи од неговата маса и амплитуда на осцилации; 2) пропорционален на квадратниот корен на должината на нишалото и обратно пропорционален на квадратниот корен на забрзувањето на гравитацијата. Ова е во согласност со експерименталните закони на малите осцилации на математичкото нишало, кои беа откриени од Г. Галилео.
Нагласуваме дека оваа формула може да се користи за пресметување на периодот доколку се исполнети два услова истовремено: 1) осцилациите на нишалото мора да бидат мали; 2) точката на потпирање на нишалото мора да биде во мирување или да се движи рамномерно во права линија во однос на инерцијалната референтна рамка во која се наоѓа.
Ако точката на потпирање на математичкото нишало се движи со забрзување \(\vec a\), тогаш се менува силата на затегнување на конецот, што доведува до промена на силата на враќање и, следствено, на фреквенцијата и периодот на осцилации. Како што покажуваат пресметките, периодот на осцилација на нишалото во овој случај може да се пресмета со помош на формулата
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
каде \(~g"\) е "ефективното" забрзување на нишалото во неинерцијална референтна рамка. Тоа е еднакво на геометрискиот збир на забрзувањето на гравитацијата \(\vec g\) и векторот спротивен на векторот \(\vec a\), односно може да се пресмета со помош на формулата
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Литература
Аксенович Л.А. Физика во средно училиште: Теорија. Задачи. Тестови: Учебник. додаток за установи кои обезбедуваат општо образование. животна средина, образование / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ед. К.С. Фарино. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.
Во технологијата и светот околу нас често мораме да се справиме периодичнипроцеси кои се повторуваат во редовни интервали. Таквите процеси се нарекуваат осцилаторни. Осцилациисе промени во физичката величина кои настануваат според одреден закон со текот на времето. Осцилаторните феномени од различна физичка природа подлежат на општи закони. На пример, струјните осцилации во електричното коло и осцилациите на математичкото нишало може да се опишат со истите равенки. Заедништвото на осцилаторните обрасци ни овозможува да ги разгледаме осцилаторните процеси од различна природа од една гледна точка.
Механички вибрациисе движења на тела кои се повторуваат во точно еднакви временски интервали. Примери за едноставни осцилаторни системи се тежина на пружина или математичко нишало. Да постои во системот хармонични вибрациипотребно е тој да има позиција на стабилна рамнотежа, односно позиција од која на системот би почнала да делува сила на враќање.
Механичките вибрации, како и осцилаторните процеси од која било друга физичка природа, можат да бидат бесплатноИ принудени. Бесплатни вибрациисе изведуваат под влијание на внатрешните сили на системот, откако системот ќе биде изваден од рамнотежа. Осцилациите на тежина на пружина или осцилациите на нишалото се слободни осцилации. Се нарекуваат осцилации кои се јавуваат под влијание на надворешни сили кои периодично се менуваат принудени.
Наједноставниот тип на осцилаторни процеси се осцилациите што се случуваат според законот за синус или косинус, т.н. хармонични вибрации. Равенка која опишува физички системи способни да вршат хармонични осцилации со циклична фреквенција ω 0 се поставува на следниов начин:
Решението на претходната равенка е равенка на движење за хармониски вибрации, што изгледа вака:
Каде: x- поместување на телото од рамнотежна положба, А– амплитудата на осцилациите, односно максималното поместување од положбата на рамнотежа, ω - циклична или кружна фреквенција на вибрации ( ω = 2Π /Т), т- време. Количеството под знакот косинус: φ = ωt + φ 0 се нарекува фазахармоничен процес. Значењето на фазата на осцилација е: фаза во која се наоѓа осцилацијата во даден временски момент. На т= 0 го добиваме тоа φ = φ 0 така φ 0 повик почетна фаза(односно фазата од која започнала осцилацијата).
Минималниот временски интервал низ кој се повторува движењето на телото се нарекува период на осцилација Т. Ако бројот на осцилации Н, и нивното време т, тогаш периодот се наоѓа како:
Физичката величина обратна на периодот на осцилација се нарекува фреквенција на вибрации:
Фреквенција на осцилации ν покажува колку осцилации се случуваат за 1 s. Единицата за фреквенција е Херц (Hz). Фреквенцијата на осцилација е поврзана со цикличната фреквенција ω и период на осцилација Тсоодноси:
Зависноста на брзината од времето за хармонични механички вибрации се изразува со следнава формула:
Максимална вредност на брзината за хармонични механички вибрации:
Вредности на максимална апсолутна брзина υ m = ωAсе постигнуваат во оние моменти во времето кога телото минува низ рамнотежни позиции ( x= 0). Забрзувањето се одредува на сличен начин а = а x од тело при хармониски вибрации. Зависност на забрзувањето од времето за хармонични механички вибрации:
Максимална вредност на забрзување за механички хармонични вибрации:
Знакот минус во претходниот израз значи дека забрзувањето а(т) секогаш има спротивен знак од знакот за поместување x(т), и затоа го враќа телото во неговата почетна положба ( x= 0), т.е. предизвикува телото да врши хармонични вибрации.
Ве молиме имајте во предвид дека:
- физичките својства на осцилаторниот систем ја одредуваат само природната фреквенција на осцилациите ω 0 или точка Т.
- Параметри на процесот на осцилација како што се амплитудата А = x m и почетна фаза φ 0 се одредуваат според начинот на кој системот бил изваден од рамнотежа во почетниот временски момент, т.е. почетни услови.
- За време на осцилаторното движење, телото поминува низ патека еднаква на 4 амплитуди во време еднакво на периодот. Во овој случај, телото се враќа на почетната точка, односно движењето на телото ќе биде еднакво на нула. Следствено, телото ќе помине патека еднаква на амплитудата во време еднакво на четвртина од периодот.
За да одредите кога да замените синус и кога косинус во равенката за вибрации, треба да обрнете внимание на следниве фактори:
- Најлесен начин е ако во исказот на проблемот осцилациите се нарекуваат синусоидни или косинус.
- Ако се каже дека телото било потиснато од положбата на рамнотежа, земаме синус со почетна фаза еднаква на нула.
- Ако се каже дека телото било отклонето и ослободено - косинус со почетна фаза еднаква на нула.
- Ако телото се турка од состојба отстапена од положбата на рамнотежа, тогаш почетната фаза не е еднаква на нула, и можете да земете и синус и косинус.
Математичко нишало
Математичко нишалонаречено мало тело обесено на тенок, долг и нерастеглив конец, чија маса е занемарлива во споредба со масата на телото. Само во случај на мали осцилации, математичкото нишало е хармонично осцилатор, односно систем способен да врши хармонични (според гревот или кос законот) осцилации. Во пракса, ова приближување важи за агли од редот од 5-10°. Осцилациите на нишалото при големи амплитуди не се хармонични.
Цикличната фреквенција на осцилациите на математичкото нишало се пресметува со формулата:
Период на осцилација на математичко нишало:
Добиената формула се нарекува Хајгенсова формула и е задоволена, кога точката на потпирање на нишалото е неподвижна. Важно е да се запамети дека периодот на мали осцилации на математичкото нишало не зависи од амплитудата на осцилациите. Ова својство на нишалото се нарекува изохроничност. Како и за секој друг систем кој врши механички хармонски осцилации, за математичко нишало се задоволуваат следните односи:
- Патот од позицијата на рамнотежа до крајната точка (или назад) е покриен во четвртина од периодот.
- Патот од екстремната точка до половина од амплитудата (или обратно) е покриен во една шестина од периодот.
- Патот од положбата на рамнотежа до половина од амплитудата (или обратно) е покриен во една дванаесетина од период.
Пролетно нишало
Слободните вибрации се јавуваат под влијание на внатрешните сили на системот откако системот ќе се отстрани од неговата рамнотежна положба. За да се појават слободни вибрации според хармонискиот закон, неопходно е силата што тежнее да го врати телото во рамнотежна положба да биде пропорционална на поместувањето на телото од рамнотежна положба и насочена во насока спротивна на поместувањето. Еластичноста го има ова својство.
Така, товар од одредена маса м, прикачен на пружината за зацврстување к, чиј втор крај е фиксиран неподвижен, сочинуваат систем способен да врши слободни хармонски осцилации во отсуство на триење. Се нарекува оптоварување на пружина пролетно нишало.
Цикличната фреквенција на осцилација на пружинското нишало се пресметува со формулата:
Период на осцилација на пролетното нишало:
При мали амплитуди, периодот на осцилација на пружинското нишало не зависи од амплитудата (како кај математичкото нишало). Кога системот за оптоварување со пружини се наоѓа хоризонтално, силата на гравитацијата што се применува на товарот се компензира со силата на реакцијата на поддршката. Ако товарот е суспендиран на пружина, тогаш силата на гравитацијата е насочена по линијата на движење на товарот. Во положбата на рамнотежа, пружината се протега за одредена количина x 0 еднакво на:
И се случуваат осцилации околу оваа нова рамнотежна позиција. Горенаведените изрази за природна фреквенција ω 0 и период на осцилација Тважат и во овој случај. Така, добиената формула за периодот на осцилација на оптоварување на пружина останува валидна во сите случаи, без оглед на насоката на осцилација, движењето на потпорот или дејството на надворешните постојани сили.
За време на слободните механички вибрации, кинетичката и потенцијалната енергија периодично се менуваат. При максималното отстапување на телото од положбата на рамнотежа, неговата брзина и, следствено, кинетичката енергија, оди на нула. Во оваа позиција, потенцијалната енергија на осцилирачкото тело ја достигнува својата максимална вредност. За оптоварување на пружина, потенцијалната енергија е енергијата на еластична деформација на пружината. За математичко нишало, ова е енергија во гравитационото поле на Земјата.
Кога телото во своето движење поминува низ рамнотежна положба, неговата брзина е максимална. Телото ја надминува рамнотежната положба по инерција. Во овој момент, има максимална кинетичка и минимална потенцијална енергија (по правило, потенцијалната енергија на рамнотежна позиција се претпоставува дека е нула). Зголемувањето на кинетичката енергија се јавува поради намалување на потенцијалната енергија. Со понатамошно движење, потенцијалната енергија почнува да се зголемува поради намалување на кинетичката енергија итн.
Така, за време на хармоничните осцилации, се случува периодична трансформација на кинетичката енергија во потенцијална енергија и обратно. Ако нема триење во осцилаторниот систем, тогаш вкупната механичка енергија при слободните осцилации останува непроменета. Во овој случај, максималната вредност на кинетичката енергија при механички хармонски вибрации е дадена со формулата:
Максималната вредност на потенцијалната енергија при механички хармонски осцилации на пружинско нишало:
Односот помеѓу енергетските карактеристики на механичкиот осцилаторен процес (вкупната механичка енергија е еднаква на максималните вредности на кинетичката и потенцијалната енергија, како и збирот на кинетичката и потенцијалната енергија во произволен момент во времето):
Механички бранови
Ако вибрациите на честичките се возбудуваат на кое било место во цврста, течна или гасовита средина, тогаш поради интеракцијата на атомите и молекулите на медиумот, вибрациите почнуваат да се пренесуваат од една до друга точка со конечна брзина. Процесот на ширење на вибрациите во медиум се нарекува бран.
Механичките бранови доаѓаат во различни типови. Ако, додека бранот се шири, честичките од медиумот доживуваат поместување во насока нормална на насоката на ширење, таквиот бран се нарекува попречно. Ако поместувањето на честичките на медиумот се случи во насока на ширење на бранот, таквиот бран се нарекува надолжен.
И кај попречните и надолжните бранови, нема пренос на материјата во насока на ширење на бранот. Во процесот на ширење, честичките на медиумот осцилираат само околу рамнотежните позиции. Меѓутоа, брановите пренесуваат вибрациона енергија од една точка во медиумот во друга.
Карактеристична карактеристика на механичките бранови е тоа што тие се шират во материјални медиуми (цврсти, течни или гасовити). Постојат немеханички бранови кои можат да се шират во вакуум (на пример, светлината, т.е. електромагнетните бранови можат да се шират во вакуум).
- Надолжните механички бранови можат да се шират во кој било медиум - цврст, течен и гасовит.
- Попречни бранови Неможе да постои во течни или гасовити медиуми.
Едноставните хармонични или синусни бранови се од значаен интерес за пракса. Тие се карактеризираат со амплитуда Авибрации на честички, фреквенција ν и бранова должина λ . Синусоидалните бранови се шират во хомогени подлоги со одредена константна брзина υ .
Бранова должина λ повикајте го растојанието помеѓу две соседни точки кои осцилираат во исти фази. Растојание еднакво на брановата должина λ , бранот патува во време еднакво на периодот ТЗатоа, брановата должина може да се пресмета со формулата:
Каде: υ – брзина на ширење на брановите. Кога бранот поминува од една средина во друга, брановата должина и брзината на неговото ширење се менуваат. Само фреквенцијата и периодот на бранот остануваат непроменети.
Разликата во фазите на осцилации на две точки на бранот, чие растојание лпресметано со формулата:
Електрично коло
Во електричните кола, како и во механичките системи како оптоварување на пружина или нишало, може да се појават слободни вибрации. Наједноставниот електричен систем способен за слободни осцилации е серија LC коло. Во отсуство на амортизација, слободните осцилации во електричното коло се хармонични. Енергетски карактеристики и нивната врска при флуктуации во електричното коло:
Период на хармониски осцилации во електрично осцилаторно колоопределено со формулата:
Циклична фреквенција на осцилациите во електрично осцилаторно коло:
Зависноста на полнењето на кондензаторот на време за време на осцилациите во електричното коло е опишана со закон:
Зависност на електричната струја што тече низ индуктор на време за време на осцилациите во електричното коло:
Зависност на напонот на кондензаторот на време за време на флуктуации во електричното коло:
Максималната вредност на струјата за хармоничните осцилации во електричното коло може да се пресмета со формулата:
Максималната вредност на напонот на кондензаторот при хармониски осцилации во електричното коло:
Сите реални кола содржат електричен отпор Р. Процесот на слободни осцилации во такво коло повеќе не го почитува хармоничниот закон. За време на секој период на осцилација, дел од електромагнетната енергија складирана во колото се претвора во топлина ослободена од отпорникот, а осцилациите стануваат пригушени.
Наизменична струја. Трансформатор
Најголемиот дел од светската електрична енергија моментално се произведува од генератори на наизменична струја, кои произведуваат синусоидален напон. Тие овозможуваат наједноставен и најекономичен пренос, дистрибуција и користење на електрична енергија.
Се нарекува уред дизајниран да ја претвори механичката енергија во енергија на наизменична струја алтернатор. Се карактеризира со променлив напон У(т) (индуциран emf) на неговите терминали. Работата на генератор на наизменична струја се заснова на феноменот на електромагнетна индукција.
AC струјасе нарекува електрична струја која се менува со текот на времето според хармоничен закон. Количини У 0 , Јас 0 = У 0 /Рсе нарекуваат амплитудавредности на напон и струја. Вредности на напон У(т) и моменталната јачина Јас(т), во зависност од времето, се нарекуваат инстант.
Се карактеризира наизменична струја валиденвредности на струја и напон. Ефективната (ефективна) вредност на наизменичната струја е јачината на еднонасочната струја која, минувајќи низ коло, би ја ослободила истата количина на топлина по единица време како дадена наизменична струја. За AC ефективна сегашна вредностможе да се пресмета со формулата:
Слично, можете да внесете струја (ефективна) вредност за напон, пресметано со формулата:
Така, изразите за моќност на директна струја остануваат валидни за наизменична струја ако ги користиме ефективните вредности на струјата и напонот во нив:
Ве молиме имајте предвид дека кога зборуваме за напон или наизменична струја, тогаш (освен ако не е поинаку наведено) мислиме на ефективната вредност. Значи, 220V е ефективен напон во домашната електрична мрежа.
Кондензатор во AC коло
Строго кажано, кондензаторот не спроведува струја (во смисла дека носителите на полнеж не течат низ него). Затоа, ако кондензаторот е поврзан со еднонасочно коло, тогаш јачината на струјата во секое време во која било точка во колото е нула. Кога е поврзан со коло на наизменична струја, поради постојаната промена на EMF, кондензаторот се полни. Сè уште нема струја што тече низ него, но има струја во колото. Затоа, конвенционално се вели дека кондензаторот спроведува наизменична струја. Во овој случај, концептот на отпорност на кондензаторот во коло на наизменична струја (или капацитет
Забележете дека капацитетот зависи од фреквенцијата на AC струјата. Тоа е фундаментално различно од отпорот R на кој сме навикнати Така, топлината се ослободува при отпорност R (затоа често се нарекува активен), но топлината не се ослободува при капацитивна реактанса. Активниот отпор е поврзан со интеракцијата на носителите на полнеж за време на протокот на струјата, а капацитивниот отпор е поврзан со процесите на полнење на кондензаторот.
Индуктор во AC коло
Кога тече наизменична струја во серпентина, се јавува феноменот на самоиндукција, и, следствено, ЕМП. Поради ова, напонот и струјата во серпентина се надвор од фаза (кога струјата е нула, напонот е на неговата максимална вредност и обратно). Поради ова несовпаѓање, просечната топлинска моќност ослободена во серпентина е нула. Во овој случај, концептот на отпорност на серпентина во коло на наизменична струја (или индуктивна реактанса). Овој отпор е даден со:
Забележете дека индуктивната реактанса зависи од фреквенцијата на наизменичната струја. Како и капацитивната реактанса, таа е различна од отпорноста R. Како и капацитивната реактанса, и индуктивната реактанса не генерира топлина. Индуктивната реактанса е поврзана со феноменот на самоиндукција во серпентина.
Трансформатори
Меѓу уредите со наизменична струја кои најдоа широка примена во технологијата, значајно место зазема трансформатори. Принципот на работа на трансформаторите што се користат за зголемување или намалување на напонот на наизменична струја се заснова на феноменот на електромагнетна индукција. Наједноставниот трансформатор се состои од јадро во затворена форма на кое се намотани две намотки: основноИ секундарно. Примарната намотка е поврзана со извор на наизменична струја со одреден напон У 1, а секундарното намотување е поврзано со оптоварувањето на кое се појавува напонот У 2. Покрај тоа, ако бројот на вртења во примарното намотување е еднаков на n 1, а во секундарната n 2, тогаш важи следнава врска:
Сооднос на трансформацијапресметано со формулата:
Ако трансформаторот е идеален, тогаш важи следнава врска (влезната и излезната моќност се еднакви):
Во неидеален трансформатор се воведува концептот на ефикасност:
Електромагнетни бранови
Електромагнетни брановие електромагнетно поле кое се шири во просторот и времето. Електромагнетните бранови се попречни - векторите на електричен интензитет и магнетна индукција се нормални еден на друг и лежат во рамнина нормална на насоката на ширење на бранот. Електромагнетните бранови се шират во материјата со конечна брзина, која може да се пресмета со формулата:
Каде: ε И μ - диелектрична и магнетна пропустливост на супстанцијата, ε 0 и μ 0 – електрични и магнетни константи: ε 0 = 8,85419 10 -12 F/m, μ 0 = 1,25664·10 -6 H/m. Брзината на електромагнетните бранови во вакуум (каде ε = μ = 1) е константна и еднаква Со= 3∙10 8 m/s, исто така може да се пресмета со формулата:
Брзината на ширење на електромагнетните бранови во вакуум е една од основните физички константи. Ако електромагнетниот бран се шири во кој било медиум, тогаш брзината на неговото ширење се изразува и со следнава врска:
Каде: n– индексот на прекршување на супстанцијата е физичка големина која покажува колку пати брзината на светлината во медиум е помала отколку во вакуум. Индексот на рефракција, како што може да се види од претходните формули, може да се пресмета на следниов начин:
- Електромагнетните бранови носат енергија.Кога брановите се шират, се јавува проток на електромагнетна енергија.
- Електромагнетните бранови можат да се возбудат само со брзо движење на полнежи.Колата со директна струја, во кои носителите на полнеж се движат со постојана брзина, не се извор на електромагнетни бранови. Но, кола во кои тече наизменична струја, т.е. такви кола во кои носителите на полнеж постојано го менуваат правецот на нивното движење, т.е. се движат со забрзување - тие се извор на електромагнетни бранови. Во современото радио инженерство, електромагнетните бранови се емитуваат со помош на антени со различен дизајн, во кои се возбудуваат брзо наизменичните струи.
Механички систем кој се состои од материјална точка (тело) што виси на нерастеглива бестежинска нишка (неговата маса е занемарлива во споредба со тежината на телото) во еднообразно гравитационо поле се нарекува математичко нишало (другото име е осцилатор). Постојат и други видови на овој уред. Наместо конец, може да се користи прачка без тежина. Математичкото нишало може јасно да ја открие суштината на многу интересни појави. Кога амплитудата на вибрациите е мала, нејзиното движење се нарекува хармонично.
Преглед на механички систем
Формулата за периодот на осцилација на ова нишало е изведена од холандскиот научник Хајгенс (1629-1695). Овој современик на И. Њутн бил многу заинтересиран за овој механички систем. Во 1656 година го создал првиот часовник со механизам со нишало. Тие го мереле времето со исклучителна прецизност за тие времиња. Овој изум стана главна фаза во развојот на физички експерименти и практични активности.
Ако нишалото е во положба на рамнотежа (виси вертикално), ќе се избалансира со силата на затегнување на конецот. Рамно нишало на нерастеглива нишка е систем со два степени на слобода со спојување. Кога менувате само една компонента, се менуваат карактеристиките на сите нејзини делови. Значи, ако конецот се замени со прачка, тогаш овој механички систем ќе има само 1 степен на слобода. Какви својства има математичкото нишало? Во овој наједноставен систем, хаосот настанува под влијание на периодични нарушувања. Во случај кога точката на суспензија не се движи, туку осцилира, нишалото има нова рамнотежна положба. Со брзи осцилации нагоре и надолу, овој механички систем добива стабилна позиција „наопаку“. Има и свое име. Се нарекува нишалото Капица.
Својства на нишалото
Математичкото нишало има многу интересни својства. Сите тие се потврдени со познати физички закони. Периодот на осцилација на кое било друго нишало зависи од различни околности, како што се големината и обликот на телото, растојанието помеѓу точката на суспензија и центарот на гравитација и распределбата на масата во однос на оваа точка. Затоа одредувањето на периодот на висење на телото е доста тешка задача. Многу е полесно да се пресмета периодот на математичко нишало, чија формула ќе биде дадена подолу. Како резултат на набљудувања на слични механички системи, може да се утврдат следните обрасци:
Ако, додека ја одржуваме истата должина на нишалото, обесиме различни тежини, тогаш периодот на нивните осцилации ќе биде ист, иако нивните маси ќе се разликуваат многу. Следствено, периодот на таквото нишало не зависи од масата на товарот.
Ако, при стартување на системот, нишалото е отклонето на не премногу големи, туку различни агли, тогаш ќе почне да осцилира со истиот период, но со различни амплитуди. Сè додека отстапувањата од центарот на рамнотежа не се премногу големи, вибрациите во нивната форма ќе бидат доста блиску до хармониците. Периодот на таквото нишало на кој било начин не зависи од осцилаторната амплитуда. Ова својство на даден механички систем се нарекува изохронизам (преведено од грчки „хронос“ - време, „исос“ - еднакво).
Период на математичко нишало
Овој индикатор го претставува периодот на природни осцилации. И покрај сложената формулација, самиот процес е многу едноставен. Ако должината на конецот на математичкото нишало е L, а забрзувањето на слободниот пад е g, тогаш оваа вредност е еднаква на:
Периодот на малите на кој било начин не зависи од масата на нишалото и амплитудата на осцилациите. Во овој случај, нишалото се движи како математичко со дадена должина.
Осцилации на математичко нишало
Математичкото нишало осцилира, што може да се опише со едноставна диференцијална равенка:
x + ω2 sin x = 0,
каде што x (t) е непозната функција (ова е аголот на отстапување од долната рамнотежна позиција во моментот t, изразен во радијани); ω е позитивна константа, која се одредува од параметрите на нишалото (ω = √g/L, каде g е забрзувањето на гравитацијата, а L е должината на математичкото нишало (суспензија).
Равенката за мали вибрации во близина на положбата на рамнотежа (хармонична равенка) изгледа вака:
x + ω2 sin x = 0
Осцилаторни движења на нишалото
Математичко нишало, кое прави мали осцилации, се движи по синусоид. Диференцијалната равенка од втор ред ги исполнува сите барања и параметри на таквото движење. За да се одреди траекторијата, неопходно е да се постават брзината и координатите, од кои потоа се одредуваат независните константи:
x = Грев (θ 0 + ωt),
каде θ 0 е почетната фаза, A е амплитудата на осцилацијата, ω е цикличната фреквенција одредена од равенката на движење.
Математичко нишало (формули за големи амплитуди)
Овој механички систем, кој осцилира со значителна амплитуда, е подложен на посложени закони за движење. За такво нишало тие се пресметуваат според формулата:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
каде што sn е Јакоби синус, кој за у< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
каде ε = E/mL2 (mL2 е енергијата на нишалото).
Периодот на осцилација на нелинеарно нишало се одредува со формулата:
каде Ω = π/2 * ω/2K(u), K е елиптичниот интеграл, π - 3,14.
Движење на нишалото долж сепаратрикс
Сепаратрикс е траекторија на динамички систем кој има дводимензионален фазен простор. По него непериодично се движи математичко нишало. Во бескрајно далечен момент во времето, паѓа од највисоката позиција на страна со нулта брзина, а потоа постепено ја стекнува. На крајот застанува, враќајќи се во првобитната положба.
Ако амплитудата на осцилациите на нишалото се приближи до бројката π , ова покажува дека движењето на фазната рамнина се приближува до раздвојувањето. Во овој случај, под влијание на мала движечка периодична сила, механичкиот систем покажува хаотично однесување.
Кога математичкото нишало отстапува од положбата на рамнотежа со одреден агол φ, настанува тангенцијална сила на гравитација Fτ = -mg sin φ. Знакот минус значи дека оваа тангенцијална компонента е насочена во насока спротивна на отклонот на нишалото. Кога се означува со x поместувањето на нишалото по кружен лак со радиус L, неговото аголно поместување е еднакво на φ = x/L. Вториот закон, наменет за проекции и сила, ќе ја даде саканата вредност:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Врз основа на оваа врска, јасно е дека ова нишало е нелинеарен систем, бидејќи силата што има тенденција да го врати во положбата на рамнотежа е секогаш пропорционална не со поместувањето x, туку со sin x/L.
Само кога математичкото нишало врши мали осцилации е хармоничен осцилатор. Со други зборови, тој станува механички систем способен да врши хармонични осцилации. Ова приближување практично важи за агли од 15-20°. Осцилациите на нишалото со големи амплитуди не се хармонични.
Њутновиот закон за мали осцилации на нишалото
Ако даден механички систем врши мали осцилации, вториот Њутнов закон ќе изгледа вака:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека математичкото нишало е пропорционално на неговото поместување со знак минус. Ова е состојба поради која системот станува хармоничен осцилатор. Модулот на коефициентот на пропорционалност помеѓу поместувањето и забрзувањето е еднаков на квадратот на кружната фреквенција:
ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.
Оваа формула ја одразува природната фреквенција на малите осцилации на овој тип на нишало. Врз основа на ова,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Пресметки врз основа на законот за зачувување на енергијата
Својствата на нишалото може да се опишат и со користење на законот за зачувување на енергијата. Треба да се земе предвид дека нишалото во гравитационото поле е еднакво на:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Вкупното е еднакво на кинетичкиот или максималниот потенцијал: Epmax = Ekmsx = E
Откако ќе се напише законот за зачувување на енергијата, земете го изводот на десната и левата страна на равенката:
Бидејќи дериватот на константни величини е еднаков на 0, тогаш (Ep + Ek)" = 0. Изводот на збирот е еднаков на збирот на изводите:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
оттука:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Врз основа на последната формула, наоѓаме: α = - g/L*x.
Практична примена на математичко нишало
Забрзувањето варира во зависност од географската ширина бидејќи густината на Земјината кора не е иста низ целата планета. Онаму каде што се појавуваат карпи со поголема густина, таа ќе биде малку повисока. Забрзувањето на математичкото нишало често се користи за геолошки истражувања. Се користи за пребарување на различни минерали. Едноставно со броење на бројот на осцилации на нишалото, може да се открие јаглен или руда во утробата на Земјата. Ова се должи на фактот дека таквите фосили имаат густина и маса поголема од основните лабави карпи.
Математичкото нишало го користеа такви извонредни научници како Сократ, Аристотел, Платон, Плутарх, Архимед. Многумина од нив веруваа дека овој механички систем може да влијае на судбината и животот на една личност. Архимед користел математичко нишало во неговите пресметки. Во денешно време, многу окултисти и јасновидци го користат овој механички систем за да ги исполнат своите пророштва или да бараат исчезнати луѓе.
Познатиот француски астроном и натуралист К. Фламарион користел и математичко нишало за своето истражување. Тој тврдеше дека со нејзина помош можел да го предвиди откривањето на нова планета, појавата на метеоритот Тунгуска и други важни настани. За време на Втората светска војна, во Германија (Берлин) работеше специјализиран институт за нишало. Денес, Институтот за парапсихологија во Минхен се занимава со слични истражувања. Вработените во оваа установа својата работа со нишалото ја нарекуваат „радиестезија“.
Како конкретен пример на тело што ротира околу оската, земете го движењето на нишалата.
Физичкото нишало е круто тело кое има хоризонтална оска на ротација околу која врши осцилаторни движења под влијание на својата тежина (сл. 119).
Положбата на нишалото е целосно одредена од аголот на неговото отстапување од положбата на рамнотежа, и затоа, за да се одреди законот за движење на нишалото, доволно е да се најде зависноста на овој агол на време.
Равенка на формата:
се нарекува равенка (закон) на движење на нишалото. Тоа зависи од почетните услови, т.е. од аголот и аголната брзина.
Ограничувачкиот случај на физичко нишало е математичко нишало, кое претставува (како што е наведено претходно - Поглавје 2, § 3) материјална точка поврзана со хоризонталната оска околу која се ротира со цврста бестежинска прачка (сл. 120). Растојанието на материјалната точка од оската на ротација се нарекува должина на математичкото нишало.
Равенки на движење на физички и математички нишала
Дозволете ни да избереме систем на координатни оски така што рамнината xy поминува низ тежиштето на телото C и се совпаѓа со рамнината на замавнување на нишалото, како што е прикажано на цртежот (сл. 119). Да ја насочиме оската нормална на рамнината на цртање кон нас. Потоа, врз основа на резултатите од претходниот став, ја пишуваме равенката на движење на физичкото нишало во форма:
каде преку го означува моментот на инерција на нишалото во однос на неговата оска на ротација и
Затоа можете да напишете:
Активната сила што дејствува на нишалото е неговата тежина, чиј момент во однос на тежинската оска ќе биде:
каде е растојанието од оската на ротација на нишалото до неговиот центар на маса C.
Следствено, доаѓаме до следнава равенка на движење на физичко нишало:
Бидејќи математичкото нишало е посебен случај на физичко, диференцијалната равенка напишана погоре важи и за математичко нишало. Ако должината на математичкото нишало е еднаква и неговата тежина, тогаш неговиот момент на инерција во однос на оската на ротација е еднаков на
Бидејќи растојанието на центарот на гравитација на математичкото нишало од оската е еднакво, конечната диференцијална равенка на движење на математичкото нишало може да се запише во форма:
Намалена должина на физичко нишало
Споредувајќи ги равенките (16.8) и (16.9), можеме да заклучиме дека ако параметрите на физичкото и математичкото нишало се поврзани со релацијата
тогаш законите за движење на физичките и математичките нишала се исти (под исти почетни услови).
Последната релација ја покажува должината што мора да ја има математичкото нишало за да се движи на ист начин како и соодветното физичко нишало. Оваа должина се нарекува намалена должина на физичкото нишало. Значењето на овој концепт е дека проучувањето на движењето на физичкото нишало може да се замени со проучување на движењето на математичкото нишало, кое е едноставно механичко коло.
Прв интеграл на равенката на движење на нишалото
Равенките на движење на физичките и математичките нишала имаат иста форма, па затоа, равенката на нивното движење ќе биде
Бидејќи единствената сила што се зема предвид во оваа равенка е силата на гравитацијата што припаѓа на полето на потенцијалната сила, важи законот за зачувување на механичката енергија.
Последново може да се добие со едноставен метод, имено, ја множиме равенката (16.10) дотогаш
Интегрирајќи ја оваа равенка, добиваме
Одредувајќи ја константата на интеграција Cu од почетните услови, наоѓаме
Решавајќи ја последната равенка за релативно добиваме
Оваа релација го претставува првиот интеграл од диференцијалната равенка (16.10).
Одредување на потпорни реакции на физички и математички нишала
Првиот интеграл од равенките на движење ни овозможува да ги одредиме реакциите на поддршка на нишалата. Како што е наведено во претходниот став, реакциите за поддршка се одредуваат од равенките (16.5). Во случај на физичко нишало, компонентите на активната сила долж координатните оски и нејзините моменти во однос на оските ќе бидат:
Координатите на центарот на маса се одредуваат со формулите:
Тогаш равенките за одредување на потпорните реакции имаат форма:
Центрифугалните моменти на инерција на телото и растојанијата меѓу потпорите мора да се знаат според условите на проблемот. Аголното забрзување b и аголната брзина с се одредени од равенките (16.9) и (16.4) во форма:
Така, равенките (16.12) целосно ги одредуваат компонентите на потпорните реакции на физичкото нишало.
Равенките (16.12) се дополнително поедноставени ако земеме во предвид математичко нишало. Навистина, бидејќи материјалната точка на математичкото нишало е лоцирана во рамнината, тогаш дополнително, бидејќи една точка е фиксна, тогаш, следствено, равенките (16.12) се претвораат во равенки од формата:
Од равенките (16.13) со користење на равенката (16.9) следува дека реакцијата на потпора е насочена по конецот I (сл. 120). Последново е очигледен резултат. Следствено, проектирајќи ги компонентите на еднаквостите (16.13) на насоката на конецот, наоѓаме равенка за одредување на реакцијата на поддршката на формата (сл. 120):
Заменувајќи ја вредноста овде и земајќи предвид дека пишуваме:
Последната релација го одредува динамичкиот одговор на математичкото нишало. Забележете дека неговата статичка реакција ќе биде
Квалитативно проучување на природата на движењето на нишалото
Првиот интеграл од равенката на движење на нишалото ни овозможува да спроведеме квалитативна студија за природата на неговото движење. Имено, овој интеграл (16.11) го пишуваме во форма:
За време на движењето, радикалниот израз мора да биде или позитивен или да исчезне во некои точки. Да претпоставиме дека почетните услови се такви што
Во овој случај, радикалниот израз не исчезнува никаде. Следствено, при движење, нишалото ќе помине низ сите вредности на аголот и аголната брзина од нишалото го има истиот знак, што се одредува според насоката на почетната аголна брзина, или аголот или ќе ги зголеми сите време или се намалува цело време, односно нишалото ќе се ротира на едната страна.
Насоките на движење ќе одговараат на еден или друг знак во изразот (16.11). Неопходен услов за спроведување на такво движење е присуството на почетна аголна брзина, бидејќи од нееднаквоста (16.14) е јасно дека, при секој почетен агол на отклонување, невозможно е да се добие такво движење на нишалото.
Нека сега првичните услови бидат такви што
Во овој случај, постојат две такви вредности на аголот при кои радикалниот израз станува нула. Нека одговараат на аглите дефинирани со еднаквоста
Покрај тоа, ќе биде некаде во опсег од 0 до . Понатаму, очигледно е дека кога
радикалниот израз (16.11) ќе биде позитивен, а за произволно мало надминување ќе биде негативен.
Следствено, кога нишалото се движи, неговиот агол се менува во опсегот:
Кога аголната брзина на нишалото оди на нула и аголот почнува да се намалува до вредноста . Во овој случај, знакот на аголната брзина или знакот пред радикалот во изразот (16.11) ќе се промени. Кога аголната брзина на нишалото повторно ќе достигне нула и аголот повторно почнува да се зголемува до вредноста
Така, нишалото ќе прави осцилаторни движења
Амплитуда на осцилации на нишалото
Кога нишалото осцилира, максималната вредност на неговото отстапување од вертикалата се нарекува амплитуда на осцилација. Тоа е еднакво на кое се одредува од еднаквоста
Како што следува од последната формула, амплитудата на осцилацијата зависи од почетните податоци за главните карактеристики на нишалото или неговата намалена должина.
Во конкретниот случај, кога нишалото ќе се оттргне од положбата на рамнотежа и ќе се ослободи без почетна брзина, тогаш тоа ќе биде еднакво на , затоа, амплитудата не зависи од намалената должина.
Равенка на движење на нишало во завршна форма
Нека почетната брзина на нишалото е нула, тогаш првиот интеграл од неговата равенка на движење ќе биде:
Интегрирајќи ја оваа равенка, наоѓаме
Ќе броиме време од положбата на нишалото, што одговара тогаш
Ајде да го трансформираме интеградот користејќи ја формулата:
Тогаш добиваме:
Добиениот интеграл се нарекува елиптичен интеграл од првиот вид. Не може да се изрази со користење на конечен број на елементарни функции.
Инверзијата на елиптичниот интеграл (16.15) во однос на неговата горна граница ја претставува равенката на движење на нишалото:
Ова ќе биде добро проучената елиптична функција на Јакоби.
Период на осцилација на нишалото
Времето потребно за едно целосно осцилирање на нишалото се нарекува негов период на осцилација. Да го означиме Т. Бидејќи времето на движење на нишалото од позиција до позиција е исто како и времето на движење од тогаш Т ќе се определи со формулата:
Ајде да направиме промена на променливите со ставање
Кога се менува од 0 до, ќе се смени од 0 во . Понатаму,
а со тоа и
Последниот интеграл се нарекува целосен елиптичен интеграл од првиот вид (неговите вредности се дадени во посебни табели).
Кога интеграндот тежнее кон единство и .
Приближни формули за мали осцилации на нишалото
Во случај кога осцилациите на нишалото имаат мала амплитуда (практично не треба да надминуваат 20 °), можете да ставите
Тогаш диференцијалната равенка на движење на нишалото добива форма:
