Значи, последната теорема на Ферма (често наречена последна теорема на Ферма), формулирана во 1637 година од брилијантниот француски математичар Пјер Ферма, е многу едноставна по природа и разбирлива за секој со средно образование. Таа вели дека формулата a со јачина од n + b со јачина од n = c со јачина од n нема природни (односно, не фракционо) решенија за n > 2. Сè изгледа едноставно и јасно, но најдобрите математичари и обичните аматери се бореа со барање решение повеќе од три и пол века.
Зошто е толку позната? Сега ќе дознаеме...
Дали има многу докажани, недокажани и сè уште недокажани теореми? Поентата овде е дека Последната теорема на Ферма го претставува најголемиот контраст помеѓу едноставноста на формулацијата и сложеноста на доказот. Последната теорема на Ферма е неверојатно тежок проблем, а сепак неговата формулација може да ја разбере секој со 5-то одделение средно училиште, но дури и секој професионален математичар не може да го разбере доказот. Ниту во физиката, ниту во хемијата, ниту во биологијата, ниту во математиката, нема ниту еден проблем што би можел да се формулира толку едноставно, но толку долго да остане нерешен. 2. Од што се состои?
Да почнеме со питагорови панталони Формулацијата е навистина едноставна - на прв поглед. Како што знаеме од детството, „Питагоровите панталони се еднакви од сите страни“. Проблемот изгледа толку едноставен затоа што се засноваше на математичка изјава што секој ја знае - Питагоровата теорема: во кој било правоаголен триаголник, квадратот изграден на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите изградени на катетите.
Во 5 век п.н.е. Питагора го основал Питагорејското братство. Питагорејците, меѓу другото, проучувале тројки со цели броеви кои ја задоволуваат еднаквоста x²+y²=z². Тие докажаа дека има бесконечно многу Питагорови тројки и добија општи формули за нивно пронаоѓање. Веројатно се обиделе да бараат Ц и повисоки степени. Убедени дека тоа не функционира, Питагорејците ги напуштија своите бескорисни обиди. Членовите на братството биле повеќе филозофи и естети отколку математичари.
Односно, лесно е да се избере множество од броеви кои совршено ја задоволуваат еднаквоста x²+y²=z²
Почнувајќи од 3, 4, 5 - навистина, помлад ученик разбира дека 9 + 16 = 25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Одлично.
И така натаму. Што ако земеме слична равенка x³+y³=z³? Можеби има и такви бројки?
И така натаму (сл. 1).
Значи, испаѓа дека НЕ СЕ. Тука започнува трикот. Едноставноста е очигледна, бидејќи е тешко да се докаже не присуството на нешто, туку, напротив, неговото отсуство. Кога треба да докажете дека постои решение, можете и треба едноставно да го презентирате ова решение.
Потешко е да се докажува отсуството: на пример, некој вели: таква и таква равенка нема решенија. Го стави во локва? лесно: бам - и еве го, решението! (дадете решение). И тоа е тоа, противникот е поразен. Како да се докаже отсуството?
Кажи: „Не најдов такви решенија“? Или можеби не изгледавте добро? Што ако постојат, само многу големи, многу големи, такви што дури и супермоќниот компјутер сè уште нема доволно сила? Ова е она што е тешко.
Ова може визуелно да се прикаже вака: ако земете два квадрати со соодветни големини и ги расклопите на единечни квадрати, тогаш од овој куп единечни квадрати ќе добиете трет квадрат (слика 2):
Но, да го сториме истото со третата димензија (слика 3) - не функционира. Нема доволно коцки или останаа дополнителни:
Но, францускиот математичар од 17 век Пјер де Ферма со ентузијазам ја проучувал општата равенка x n +y n =z n . И конечно, заклучив: за n>2 нема цели броеви. Доказот на Ферма е неповратно изгубен. Ракописите горат! Останува само неговата забелешка во аритметика на Диофант: „Најдов навистина неверојатен доказ за овој предлог, но маргините овде се премногу тесни за да го содржат“.
Всушност, теорема без доказ се нарекува хипотеза. Но, Фермат има репутација дека никогаш не прави грешки. Дури и ако тој не оставил докази за изјава, таа потоа била потврдена. Покрај тоа, Фермат ја докажа својата теза за n=4. Така, хипотезата на францускиот математичар влезе во историјата како последна теорема на Ферма.
По Ферма, таквите големи умови како Леонхард Ојлер работеле на барање доказ (во 1770 година предложил решение за n = 3),
Адриен Лежандре и Јохан Дирихле (овие научници заеднички го пронајдоа доказот за n = 5 во 1825 година), Габриел Ламе (кој го најде доказот за n = 7) и многу други. До средината на 80-тите години на минатиот век, стана јасно дека научниот свет е на пат кон конечното решение на Последната теорема на Ферма, но дури во 1993 година математичарите видоа и веруваа дека тривековната епопеја за потрага по доказ за Последната теорема на Ферма беше практично завршена.
Лесно се покажува дека е доволно да се докаже теоремата на Ферма само за едноставни n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... За композитното n, доказот останува валиден. Но, има бесконечно многу прости броеви...
Во 1825 година, користејќи го методот на Софи Жермен, женските математичари, Дирихле и Лежандре независно ја докажаа теоремата за n=5. Во 1839 година, користејќи го истиот метод, Французинот Габриел Ламе ја покажал вистинитоста на теоремата за n=7. Постепено теоремата беше докажана за скоро сите n помалку од сто.
Конечно, германскиот математичар Ернст Кумер, во една брилијантна студија, покажа дека теоремата воопшто не може да се докаже со помош на методите на математиката од 19 век. Наградата на Француската академија на науките, основана во 1847 година за докажување на теоремата на Ферма, остана недоделена.
Во 1907 година, богатиот германски индустријалец Пол Волфскел решил да си го одземе животот поради невозвратена љубов. Како вистински Германец, тој го постави датумот и времето на самоубиството: точно на полноќ. Последниот ден направи тестамент и напиша писма до пријателите и роднините. Работите завршија пред полноќ. Мора да се каже дека Павле бил заинтересиран за математика. Немајќи што друго да прави, отиде во библиотеката и почна да ја чита познатата статија на Кумер. Одеднаш му се чинеше дека Кумер направил грешка во расудувањето. Волфскел почна да го анализира овој дел од статијата со молив во рацете. Помина полноќ, дојде утро. Празнината во доказот е пополнета. А самата причина за самоубиството сега изгледаше сосема смешно. Павле ги искинал своите проштални писма и го препишал тестаментот.
Набрзо починал од природна смрт. Наследниците биле прилично изненадени: 100.000 марки (повеќе од 1.000.000 тековни фунти) биле префрлени на сметката на Кралското научно друштво од Гетинген, кое истата година објавило конкурс за наградата Волфскел. 100.000 марки беа доделени на лицето кое ја докажало теоремата на Ферма. Ниту еден фениг не беше доделен за побивање на теоремата...
Повеќето професионални математичари ја сметаа потрагата по доказ за последната теорема на Ферма за безнадежна задача и решително одбија да губат време на таква бескорисна вежба. Но, аматерите имаа експлозија. Неколку недели по објавувањето, лавина „докази“ го погоди Универзитетот во Гетинген. Професорот Е.М. Ландау, чија одговорност беше да ги анализира испратените докази, им подели картички на своите студенти:
Мил. . . . . . . .
Ви благодарам што ми го испративте ракописот со доказ за последната теорема на Ферма. Првата грешка е на страницата ... во редот... . Поради тоа, целиот доказ ја губи својата важност.
Професорот Е. М. Ландау
Во 1963 година, Пол Коен, потпирајќи се на наодите на Гедел, ја докажал нерешливоста на еден од дваесет и трите проблеми на Хилберт - хипотезата за континуум. Што ако и последната теорема на Ферма е нерешлива?! Но, вистинските фанатици на Големата теорема воопшто не беа разочарани. Појавата на компјутерите одеднаш им даде на математичарите нов метод на докажување. По Втората светска војна, тимови од програмери и математичари ја докажаа Последната теорема на Ферма за сите вредности од n до 500, потоа до 1.000, а подоцна и до 10.000.
Во 1980-тите, Семјуел Вагстаф ја зголеми границата на 25.000, а во 1990-тите, математичарите изјавија дека последната теорема на Ферма е точна за сите вредности од n до 4 милиони. Но, ако од бесконечноста одземете дури и трилион трилион, тој нема да стане помал. Математичарите не се убедени во статистиката. Да се докаже Големата теорема значело да се докаже за СИТЕ n одење до бесконечност.
Во 1954 година, двајца млади јапонски пријатели математичари почнаа да истражуваат модуларни форми. Овие форми генерираат серии од броеви, секој со своја серија. Случајно, Тањама ги спореди овие серии со серии генерирани од елиптични равенки. Се поклопија! Но, модуларните форми се геометриски објекти, а елиптичните равенки се алгебарски. Никогаш не е пронајдена врска помеѓу толку различни објекти.
Сепак, по внимателно тестирање, пријателите изнесоа хипотеза: секоја елиптична равенка има близнак - модуларна форма, и обратно. Токму оваа хипотеза стана основа на цела насока во математиката, но додека не се докаже хипотезата Тањама-Шимура, целата зграда може да се урне во секој момент.
Во 1984 година, Герхард Фреј покажа дека решението на Ферматовата равенка, доколку постои, може да се вклучи во некоја елиптична равенка. Две години подоцна, професорот Кен Рибет докажа дека оваа хипотетичка равенка не може да има пандан во модуларниот свет. Отсега натаму, Последната теорема на Ферма била нераскинливо поврзана со претпоставката Тањама-Шимура. Откако докажавме дека која било елиптична крива е модуларна, заклучуваме дека не постои елиптична равенка со решение на Ферматовата равенка, а последната теорема на Ферма веднаш би била докажана. Но, триесет години не беше можно да се докаже хипотезата Тањама-Шимура, а надежта за успех имаше се помалку.
Во 1963 година, кога имал само десет години, Ендрју Вајлс веќе бил фасциниран од математиката. Кога дознал за Големата теорема, сфатил дека не може да се откаже од неа. Како ученик, студент и дипломиран студент, тој се подготвил за оваа задача.
Откако дознал за наодите на Кен Рибет, Вајлс напредувал во докажување на претпоставката Тањама-Шимура. Решил да работи во целосна изолација и тајност. „Сфатив дека сè што има врска со Последната теорема на Ферма предизвикува премногу интерес... Премногу гледачи очигледно се мешаат во постигнувањето на целта“. Седум години напорна работа се исплатеше; Вајлс конечно го заврши доказот за претпоставката Тањама-Шимура.
Во 1993 година, англискиот математичар Ендрју Вајлс на светот му го претстави својот доказ за Последната теорема на Ферма (Вајлс го прочита својот сензационален труд на конференција во Институтот Сер Исак Њутн во Кембриџ.), работа на која траеше повеќе од седум години.
Додека возбудата продолжи во печатот, започна сериозна работа на проверка на доказите. Секој доказ мора внимателно да се испита пред доказите да се сметаат за ригорозни и точни. Вајлс помина немирно лето чекајќи повратни информации од рецензентите, надевајќи се дека ќе може да го добие нивното одобрување. На крајот на август, експертите утврдија дека пресудата е недоволно поткрепена.
Се покажа дека оваа одлука содржи груба грешка, иако генерално е точна. Вајлс не се откажа, побара помош од познатиот специјалист за теорија на броеви Ричард Тејлор и веќе во 1994 година објавија поправен и проширен доказ за теоремата. Најневеројатно е што ова дело зазема дури 130 (!) страници во математичкото списание „Annals of Mathematics“. Но, приказната не заврши ниту тука - конечната точка беше постигната дури следната година, 1995 година, кога беше објавена конечната и „идеална“, од математичка гледна точка, верзија на доказот.
„...половина минута по почетокот на празничната вечера по повод нејзиниот роденден, на Надја и го подарив ракописот на целосниот доказ“ (Ендрју Велс). Зарем уште не реков дека математичарите се чудни луѓе?
Овој пат немаше сомнеж за доказите. Два статии беа подложени на највнимателна анализа и беа објавени во мај 1995 година во Annals of Mathematics.
Помина многу време од тој момент, но сè уште постои мислење во општеството дека последната теорема на Ферма е нерешлива. Но, дури и оние кои знаат за пронајдениот доказ продолжуваат да работат во оваа насока - малкумина се задоволни што Големата теорема бара решение од 130 страници!
Затоа, сега напорите на многу математичари (најчесто аматери, а не професионални научници) се фрлаат во потрагата по едноставен и концизен доказ, но овој пат, најверојатно, нема да води никаде...
ГОЛЕМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА - изјава на Пјер Ферма (француски правник и математичар со скратено работно време) дека диофантинската равенка X n + Y n = Z n, со експонент n>2, каде што n = цел број, нема решенија во позитивни цели броеви. Текст на авторот: „Невозможно е да се разложи коцка на две коцки, или биквадрат на два биквадрати, или воопшто моќ поголема од два на две сили со ист експонент“.
„Фермат и неговата теорема“, Амадео Модиљани, 1920 година
Пјер ја измислил оваа теорема на 29 март 1636 година. А околу 29 години подоцна умре. Но, оттука започна се. На крајот на краиштата, еден богат германски вљубеник во математиката по име Волфскел оставил сто илјади марки на оној кој ќе го претстави целосниот доказ за теоремата на Ферма! Но, возбудата околу теоремата беше поврзана не само со оваа, туку и со професионалната математичка страст. Самиот Фермат ѝ навести на математичката заедница дека го знае доказот - непосредно пред неговата смрт, во 1665 година, тој ја остави следната белешка на маргините на Аритметиката на Диофант Александриски: „Имам многу впечатлив доказ, но тој е премногу голем за да биде поставени на ниви“.
Токму овој навестување (плус, се разбира, паричен бонус) ги принуди математичарите да ги поминат своите најдобри години неуспешно во потрага по доказ (според американските научници, само професионалните математичари потрошиле вкупно 543 години на ова).
Во одреден момент (во 1901 година), работата на теоремата на Ферма се здоби со сомнителна репутација на „работа слична на потрагата по машина за постојано движење“ (дури се појави и погрден термин - „ферматисти“). И одеднаш, на 23 јуни 1993 година, на математичка конференција за теорија на броеви во Кембриџ, англискиот професор по математика од Универзитетот Принстон (Њу Џерси, САД), Ендрју Вајлс, објави дека Фермат конечно го докажал тоа!
Доказот, сепак, не само што беше сложен, туку и очигледно погрешен, како што беше истакнато Вајлс од неговите колеги. Но, професорот Вајлс цел живот сонувал да ја докаже теоремата, па не е чудно што во мај 1994 година тој и претставил на научната заедница нова, ревидирана верзија на доказот. Во него немаше ни хармонија ни убавина, а сепак беше многу сложено - говори и фактот што математичарите цела година (!) го анализираа овој доказ за да разберат дали е погрешен!
Но, на крајот се покажа дека доказот на Вајлс е точен. Но, математичарите не му простија на Пјер Фермат за неговото навестување во „Аритметика“ и, всушност, почнаа да го сметаат за лажго. Всушност, првиот човек што го доведе во прашање моралниот интегритет на Фермат беше самиот Ендрју Вајлс, кој истакна дека „Фермат не можел да има такви докази. Ова се докази од дваесеттиот век“. Потоа, меѓу другите научници, мислењето станало посилно дека Фермат „не можел да ја докаже својата теорема на поинаков начин, а Фермат не можел да ја докаже на начинот на кој Вајлс од објективни причини“.
Всушност, Фермат, се разбира, би можел да го докаже тоа, а малку подоцна овој доказ ќе го рекреираат аналитичарите на Новата аналитичка енциклопедија. Но, кои се овие „објективни причини“?
Всушност, постои само една таква причина: во тие години кога живеел Фермат, претпоставката Тањама, на која Ендрју Вајлс го засновал својот доказ, не можела да се појави, бидејќи модуларните функции со кои функционира претпоставката Тањама биле откриени дури на крајот на 19. век.
Како самиот Вајлс ја докажал теоремата? Прашањето не е без работа - важно е да се разбере како самиот Фермат може да ја докаже својата теорема. Вајлс го засновал својот доказ на доказот за претпоставката Тањама, изнесена во 1955 година од 28-годишниот јапонски математичар Јутака Танијама.
Хипотезата звучи вака: „секоја елиптична крива одговара на одредена модуларна форма“. Елиптичните криви, познати долго време, имаат дводимензионална форма (се наоѓа на рамнина), додека модуларните функции имаат четиридимензионална форма. Односно, хипотезата на Тањама комбинираше сосема различни концепти - едноставни рамни кривини и незамисливи четиридимензионални форми. Самиот факт за комбинирање на различни-димензионални фигури во хипотезата на научниците им се чинело апсурдно, поради што во 1955 година не и се придава никакво значење.
Меѓутоа, во есента 1984 година, „претпоставката на Танијама“ одеднаш повторно беше запаметена, и не само што беше запаметена, туку нејзиниот можен доказ беше поврзан со доказот на теоремата на Ферма! Ова го направил математичарот од Сарбрикен Герхард Фреј, кој ја информирал научната заедница дека „ако некој успее да ја докаже претпоставката на Тањама, тогаш ќе се докаже и последната теорема на Ферма“.
Што направи Фреј? Тој ја трансформирал равенката на Ферма во кубна, а потоа забележал дека елиптичната крива добиена со помош на Ферматовата равенка трансформирана во кубна не може да биде модуларна. Сепак, претпоставката на Тањама изјави дека секоја елиптична крива може да биде модуларна! Според тоа, не може да постои елиптична крива конструирана од Ферматовата равенка, што значи дека не може да има цели решенија и Ферматова теорема, што значи дека е точно. Па, во 1993 година, Ендрју Вајлс едноставно ја докажа претпоставката на Тањама, а со тоа и теоремата на Ферма.
Сепак, теоремата на Ферма може да се докаже многу поедноставно, врз основа на истата мултидимензионалност на која оперирале и Тањама и Фреј.
За почеток, да обрнеме внимание на состојбата наведена од самиот Пјер Ферма - n>2. Зошто беше потребна оваа состојба? Да, само за фактот дека со n=2 посебен случај на теорема на Ферма станува вообичаената Питагорова теорема X 2 +Y 2 =Z 2, која има бесконечен број на цели броеви - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 и така натаму. Така, теоремата на Питагора е исклучок од теоремата на Ферма.
Но, зошто се случува таков исклучок во случајот n=2? Сè си доаѓа на свое место ако ја видите врската помеѓу степенот (n=2) и димензијата на самата фигура. Питагоровиот триаголник е дводимензионална фигура. Не е изненадувачки, Z (т.е. хипотенузата) може да се изрази во смисла на краци (X и Y), кои можат да бидат цели броеви. Големината на аголот (90) овозможува да се смета хипотенузата како вектор, а краците се вектори лоцирани на оските и доаѓаат од потеклото. Според тоа, можно е да се изрази дводимензионален вектор кој не лежи на ниту една од оските во однос на векторите што лежат на нив.
Сега, ако се префрлиме на третата димензија, а со тоа и на n=3, за да изразиме тродимензионален вектор, нема да има доволно информации за два вектори и затоа, ќе може да се изрази Z во равенката на Ферма. преку најмалку три члена (три вектори кои лежат, соодветно, на три оски на координатниот систем).
Ако n=4, тогаш треба да има 4 члена, ако n=5, тогаш треба да има 5 члена итн. Во овој случај, ќе има повеќе од доволно решенија. На пример, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 и така натаму (можете сами да изберете други примери за n=3, n=4 и така натаму).
Што следи од сето ова? Од ова произлегува дека Ферматовата теорема навистина нема целобројни решенија за n>2 - туку само затоа што самата равенка е неточна! Со истиот успех, може да се обиде да го изрази волуменот на паралелепипед во однос на должините на неговите два рабови - се разбира, тоа е невозможно (никогаш нема да се најдат цели решенија), но само затоа што да се најде волуменот на паралелепипед треба да ги знаете должините на сите три негови рабови.
Кога познатиот математичар Дејвид Гилберт го прашале кој е сега најважниот проблем за науката, тој одговорил „фаќање мува на далечната страна на Месечината“. На разумното прашање „Кому му треба ова?“ Тој одговори: „Ова никому не му треба. Но размислете колку важни, сложени проблеми треба да се решат за да се спроведе ова“.
Со други зборови, Фермат (правник пред се!) одигра духовита правна шега на целиот математички свет, врз основа на неточна формулација на проблемот. Тој, всушност, им предложи на математичарите да го најдат одговорот зошто мувата од другата страна на Месечината не може да живее, а на маргините на „Аритметика“ сакаше да напише само дека едноставно нема воздух на Месечината, т.е. Не може да има цели решенија на неговата теорема за n>2 само затоа што секоја вредност на n мора да одговара на одреден број членови на левата страна од неговата равенка.
Но, дали тоа беше само шега? Воопшто не. Генијалноста на Фермат лежи токму во фактот дека тој всушност прв ја видел врската помеѓу степенот и димензијата на математичката фигура - односно, што е апсолутно еквивалентно, бројот на поими од левата страна на равенката. Значењето на неговата позната теорема беше токму не само да го поттикне математичкиот свет кон идејата за оваа врска, туку и да иницира доказ за постоењето на овој однос - интуитивно разбирлив, но сè уште не математички поткрепен.
Фермат, како никој друг, разбрал дека воспоставувањето врски меѓу навидум различни предмети е исклучително плодно не само во математиката, туку и во секоја наука. Овој однос упатува на некој длабок принцип кој лежи во основата на двата објекти и овозможува подлабоко разбирање на нив.
На пример, физичарите првично ги гледале електрицитетот и магнетизмот како сосема неповрзани феномени, но во 19 век, теоретичарите и експериментаторите сфатиле дека електричната енергија и магнетизмот се тесно поврзани. Како резултат на тоа, беше постигнато поголемо разбирање и за електричната енергија и за магнетизмот. Електричните струи произведуваат магнетни полиња, а магнетите можат да предизвикаат електрицитет во проводниците во близина на магнети. Ова доведе до пронаоѓање на динамоси и електрични мотори. На крајот беше откриено дека светлината е резултат на координирани хармонични осцилации на магнетните и електричните полиња.
Математиката од времето на Ферма се состоеше од острови на знаење во морето на незнаење. На еден остров живееле геометри кои ги проучувале формите, на друг остров теоријата на веројатност математичарите ги проучувале ризиците и случајноста. Јазикот на геометријата беше многу различен од јазикот на теоријата на веројатност, а алгебарската терминологија беше туѓа за оние кои зборуваа само за статистика. За жал, математиката на нашето време се состои од приближно исти острови.
Фермат бил првиот што сфатил дека сите овие острови се меѓусебно поврзани. И неговата позната теорема - Последната теорема на Ферма - е одлична потврда за ова.
Нема многу луѓе во светот кои никогаш не слушнале за Последната теорема на Ферма- можеби ова е единствениот математички проблем што стана толку широко познат и стана вистинска легенда. Се споменува во многу книги и филмови, а главниот контекст на речиси сите референци е неможност за докажување на теоремата.
Да, оваа теорема е многу добро позната и, во извесна смисла, стана „идол“ што го обожаваат аматерски и професионални математичари, но малкумина знаат дека нејзиниот доказ е пронајден, а тоа се случи уште во 1995 година. Но, прво прво.
Значи, Последната теорема на Ферма (често наречена последна теорема на Ферма), формулирана во 1637 година од брилијантен француски математичар Пјер Фермат, е многу едноставен во суштина и разбирлив за секој човек со средно образование. Таа вели дека формулата a n + b n = c n нема природни (т.е. не фракционо) решенија за n > 2. Се изгледа едноставно и јасно, но најдобрите математичари и обичните аматери се мачат да најдат решение повеќе од три и пол века.
Самиот Фермат тврдеше дека извел многу едноставен и концизен доказ за неговата теорија, но сè уште не е пронајден документарен доказ за овој факт. Затоа, сега се верува дека Фермат никогаш не можеше да најде општо решение за неговата теорема, иако одреден доказ за n = 4 дојде од неговото пенкало.
По Ферма, такви големи умови како Леонард Ојлер(во 1770 година тој предложи решение за n = 3), Адриен Лежандре и Јохан Дирихле(овие научници заеднички пронајдоа доказ за n = 5 во 1825 година), Габриел Ламе(кој го најде доказот за n = 7) и многу други. До средината на 80-тите години на минатиот век, стана јасно дека научниот свет е на пат кон конечно решение
Последната теорема на Ферма, сепак, дури во 1993 година математичарите видоа и поверуваа дека тривековната епопеја за наоѓање доказ за последната теорема на Ферма е практично завршена.
Во 1993 година, англиски математичар Ендрју Вајлсго претстави на светот неговата доказ за последната теорема на Ферма, работа на која траеше повеќе од седум години. Но, се покажа дека оваа одлука содржи груба грешка, иако генерално е точна. Вајлс не се откажа, побара помош од познатиот специјалист за теорија на броеви Ричард Тејлор и веќе во 1994 година објавија поправен и проширен доказ за теоремата. Најневеројатно е што ова дело зазема дури 130 (!) страници во математичкото списание „Annals of Mathematics“. Но, приказната не заврши ниту тука - конечната точка беше постигната дури следната година, 1995 година, кога беше објавена конечната и „идеална“, од математичка гледна точка, верзија на доказот.
Помина многу време од тој момент, но сè уште постои мислење во општеството дека последната теорема на Ферма е нерешлива. Но, дури и оние кои знаат за пронајдениот доказ продолжуваат да работат во оваа насока - малкумина се задоволни што Големата теорема бара решение од 130 страници! Затоа, сега напорите на многу математичари (најчесто аматери, а не професионални научници) се фрлаат во потрагата по едноставен и концизен доказ, но овој пат, најверојатно, нема да води никаде...
ВЕСТИ ОД НАУКА И ТЕХНОЛОГИЈА
УДК 51:37;517,958
А.В. д-р Коновко.
Академијата на државната противпожарна служба на Министерството за вонредни ситуации на Русија ДОКАЖАНА ГОЛЕМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА. ИЛИ НЕ?
Неколку векови не беше можно да се докаже дека равенката xn+yn=zn за n>2 е нерешлива во рационални броеви, а со тоа и во цели броеви. Овој проблем се роди под авторство на францускиот адвокат Пјер Фермат, кој во исто време професионално се занимаваше со математика. Нејзината одлука е заслужна на американскиот професор по математика Ендрју Вајлс. Ова признание траеше од 1993 до 1995 година.
ТЕОРЕМАТА НА ГОЛЕМАТА ФЕРМА Е ДОКАЖАНА ИЛИ НЕ?
Се разгледува драматичната историја на докажувањето на последната теорема на Фермат. Беа потребни речиси четиристотини години. Пјер Ферма пишуваше малку. Тој пишуваше во компресиран стил. Освен тоа, не ги објави своите истражувања. Изјавата дека равенката xn+yn=zn е нерешлива на множества од рационални броеви и цели броеви, ако n>2 присуствуваше коментарот на Ферма дека тој нашол навистина извонреден доказ за оваа изјава. Со ова докажување не дојде до потомците. Подоцна оваа изјава беше наречена последна теорема на Ферма. Најдобрите светски математичари ја прекршија оваа теорема без резултат. Во седумдесеттите години францускиот математичар, член на Париската академија на науките Андре Веил, постави нови пристапи кон решението. На 23 јуни. во 1993 година, на конференцијата за теорија на броеви во Кембриџ, математичарот од Универзитетот Принстон Ендрју Додекас објави дека последното докажување на теоремата на Ферма е завршено. Сепак, беше рано за триумф.
Во 1621 година, францускиот писател и љубител на математиката Клод Гаспар Баше де Мезириак ја објавил грчката расправа „Аритметика“ на Диофант со латински превод и коментар. Луксузната „Аритметика“, со невообичаено широки маргини, падна во рацете на дваесетгодишниот Фермат и стана негова референтна книга многу години. На маргините оставил 48 белешки кои ги содржеле фактите што ги открил за својствата на броевите. Овде, на маргините на „Аритметиката“, беше формулирана големата теорема на Ферма: „Невозможно е да се разложи коцка на две коцки или биквадрат на два биквадрати, или воопшто моќ поголема од две во две сили со ист експонент; Најдов навистина прекрасен доказ за тоа, кој поради недостаток на простор не може да се вклопи на овие полиња“. Патем, на латински изгледа вака: „Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem во duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet“.
Големиот француски математичар Пјер Фермат (1601-1665) развил метод за одредување области и волумени и создал нов метод на тангенти и екстреми. Заедно со Декарт, тој стана креатор на аналитичката геометрија, заедно со Паскал застана на потеклото на теоријата на веројатност, на полето на бесконечно малиот метод го даде општото правило на диференцијација и во општа форма го докажа правилото за интеграција на функција на моќ... Но, што е најважно, една од најважните мистериозни и драматични приказни што некогаш ја шокирале математиката - приказната за доказот на последната теорема на Ферма. Сега оваа теорема е изразена во форма на едноставна изјава: равенката xn + yn = zn за n>2 е нерешлива во рационални броеви, а со тоа и во цели броеви. Патем, за случајот n = 3, средноазискиот математичар Ал-Хоџанди се обидел да ја докаже оваа теорема во 10 век, но неговиот доказ не преживеал.
Роден во јужна Франција, Пјер Ферма доби правно образование и од 1631 година служеше како советник во парламентот на градот Тулуз (т.е. највисокиот суд). По работен ден во ѕидовите на парламентот, тој се зафати со математика и веднаш се втурна во сосема поинаков свет. Пари, престиж, јавно признание - ништо од ова не му беше важно. Науката никогаш не му станала егзистенција, не се претворила во занает, секогаш останувајќи само возбудлива игра на умот, разбирлива само за малкумина. Тој ја продолжил својата преписка со нив.
Фермат никогаш не пишувал научни трудови во наша вообичаена смисла. А во преписката со пријателите секогаш има некаков предизвик, дури и некаква провокација, а никако академска презентација на проблемот и неговото решение. Затоа многу од неговите писма подоцна станаа предизвик.
Можеби токму поради тоа тој никогаш не ја реализирал својата намера да напише посебен есеј за теоријата на броеви. Во меѓувреме, ова беше неговата омилена област од математиката. Фермат ѝ ги посветил најинспирираните редови од неговите писма. „Аритметиката“, напиша тој, „има свое поле, теоријата на цели броеви. Оваа теорија беше само малку допрена од Евклид и не беше доволно развиена од неговите следбеници (освен ако не беше содржана во оние дела на Диофант, кои пустошењата на времето ни го лиши). Аритметичарите затоа мора да го развијат и обноват“.
Зошто самиот Фермат не се плашеше од деструктивните ефекти на времето? Пишуваше малку и секогаш многу концизно. Но, што е најважно, тој не го објави своето дело. За време на неговиот живот тие циркулираа само во ракописи. Затоа, не е изненадувачки што резултатите на Ферма за теоријата на броеви стигнаа до нас во расфрлана форма. Но, Булгаков веројатно беше во право: големите ракописи не горат! Останува делото на Ферма. Тие останаа во неговите писма до пријателите: наставникот по математика во Лион Жак де Били, вработениот во ковницата Бернар Френикел де Беси, Марсини, Декарт, Блез Паскал... Она што остана беше „Аритметика“ на Диофант со неговите коментари на маргините, која по Смртта на Ферма беше вклучена заедно со коментарите на Баше во новото издание на Диофант, објавено од неговиот најстар син Самуел во 1670 година. Само самиот доказ не е зачуван.
Две години пред неговата смрт, Фермат му испрати на својот пријател Каркави писмо со тестамент, кое влезе во историјата на математиката под наслов „Резиме на нови резултати во науката за бројките“. Во ова писмо, Фермат ја докажал својата позната изјава за случајот n = 4. Но, тогаш, најверојатно, не бил заинтересиран за самата изјава, туку за методот на докажување што го открил, а кој самиот Фермат го нарекол бесконечно или неопределено потекло.
Ракописите не горат. Но, ако не беше посветеноста на Самуил, кој по смртта на татко му ги собра сите негови математички скици и мали трактати, а потоа ги објави во 1679 година под наслов „Различни математички дела“, учените математичари ќе требаше да откријат и повторно да откријат многу. . Но, дури и по нивното објавување, проблемите што ги постави големиот математичар лежеа неподвижни повеќе од седумдесет години. И ова не е изненадувачки. Во формата во која се појавија во печатена форма, бројно-теоретските резултати на П. Фермат се појавија пред специјалистите во форма на сериозни проблеми кои не им беа секогаш јасни на современиците, речиси без доказ, и индикации за внатрешни логички врски меѓу нив. Можеби, во отсуство на кохерентна, добро осмислена теорија лежи одговорот на прашањето зошто самиот Фермат никогаш не одлучил да објави книга за теоријата на броеви. Седумдесет години подоцна, Л. Ојлер се заинтересирал за овие дела и ова навистина било нивното второ раѓање...
Математиката скапо го плати необичниот начин на Ферма да ги презентира своите резултати, како намерно да ги испушти нивните докази. Но, ако Фермат тврдеше дека ја докажал оваа или онаа теорема, тогаш оваа теорема последователно била докажана. Сепак, имаше проблем со големата теорема.
Мистеријата секогаш ја возбудува фантазијата. Цели континенти беа освоени од мистериозната насмевка на Џоконда; Теоријата на релативноста, како клуч за мистеријата за врските на просторот и времето, стана најпопуларната физичка теорија на векот. И можеме безбедно да кажеме дека немаше друг математички проблем кој беше толку популарен како што беше ___93
Научно-образовни проблеми на цивилната заштита
Која е теоремата на Ферма? Обидите да се докаже доведоа до создавање на обемна гранка на математиката - теоријата на алгебарски броеви, но (за жал!) самата теорема остана недокажана. Во 1908 година, германскиот математичар Волфскел оставил 100.000 марки на секој што би можел да ја докаже теоремата на Ферма. Ова беше огромна сума за тие времиња! Во еден момент може да станете не само славни, туку и неверојатно богати! Затоа, не е изненадувачки што средношколците дури и во Русија, далеку од Германија, кои се натпреваруваат едни со други, побрзаа да ја докажат големата теорема. Што да кажеме за професионалните математичари! Но...залудно! По Првата светска војна, парите станаа безвредни, а протокот на писма со псевдодокази почна да пресушува, иако, се разбира, никогаш не престана. Тие велат дека познатиот германски математичар Едмунд Ландау подготвил печатени формулари за да ги испрати до авторите на доказите на теоремата на Ферма: „Има грешка на страницата ..., во редот ...“. (Доцентот беше задолжен да ја пронајде грешката.) Имаше толку многу необичности и анегдоти поврзани со докажувањето на оваа теорема што можеше да се состави книга од нив. Последната анегдота е детективската приказна на А. Маринина „Случајност на околностите“, снимена и прикажана на телевизиските екрани на земјата во јануари 2000 година. Во него нашиот сонародник докажува теорема недокажана од сите негови големи претходници и за неа бара Нобелова награда. Како што е познато, пронаоѓачот на динамит ги игнорирал математичарите во својот тестамент, па авторот на доказот можел да го бара само златниот медал Филдс, највисоката меѓународна награда одобрена од самите математичари во 1936 година.
Во класичното дело на извонредниот руски математичар А.Ја. Хинчин, посветен на големата теорема на Ферма, дава информации за историјата на овој проблем и обрнува внимание на методот што Фермат можел да го искористи за да ја докаже својата теорема. Даден е доказ за случајот n = 4 и краток преглед на други важни резултати.
Но, до моментот кога беше напишана детективската приказна, а уште повеќе до моментот на снимањето, општиот доказ за теоремата веќе беше пронајден. На 23 јуни 1993 година, на конференција за теоријата на броеви во Кембриџ, математичарот од Принстон, Ендрју Вајлс, објави дека е докажана последната теорема на Ферма. Но, воопшто не како што самиот Фермат „ветуваше“. Патот по кој тргна Ендру Вајлс не се засноваше на методите на елементарната математика. Ја проучувал таканаречената теорија на елиптични кривини.
За да добиете идеја за елиптични криви, треба да земете во предвид рамна крива дефинирана со равенка од трет степен
Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)
Сите такви кривини се поделени во две класи. Првата класа ги вклучува оние криви кои имаат точки на заострување (како што е полукубната парабола y2 = a2-X со точката на острење (0; 0)), самопресечни точки (како Декартов лист x3+y3-3axy = 0 , во точката (0; 0)), како и криви за кои полиномот Dx,y) е претставен во форма
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
каде што ^(x,y) и ^(x,y) се полиноми со пониски степени. Кривите од оваа класа се нарекуваат дегенерирани кривини од трет степен. Втората класа на криви е формирана од недегенерирани кривини; ќе ги наречеме елиптични. Тие може да вклучуваат, на пример, Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Ако коефициентите на полиномот (1) се рационални броеви, тогаш елиптичната крива може да се трансформира во таканаречената канонска форма
y2= x3 + секира + б. (2)
Во 1955 година, јапонскиот математичар Y. Taniyama (1927-1958), во рамките на теоријата на елиптични криви, успеа да формулира хипотеза што го отвори патот за докажување на теоремата на Ферма. Но, ниту самиот Танијама, ниту неговите колеги не се посомневаа во тоа во тоа време. Речиси дваесет години оваа хипотеза не привлече сериозно внимание и стана популарна дури во средината на 70-тите. Според претпоставката на Танијама, секоја елипса
крива со рационални коефициенти е модуларна. Сепак, досега формулацијата на хипотезата му кажува малку на педантниот читател. Затоа, потребни се некои дефиниции.
Секоја елиптична крива може да се поврзе со важна нумеричка карактеристика - нејзиниот дискриминатор. За крива дадена во канонската форма (2), дискриминантата А се определува со формулата
A = -(4a + 27b2).
Нека E е некоја елиптична крива дадена со равенката (2), каде што a и b се цели броеви.
За прост број p, разгледајте ја споредбата
y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)
каде што a и b се остатоците од делењето на цели броеви a и b со p, и да го означиме со np бројот на решенија за оваа споредба. Броевите pr се многу корисни при проучувањето на прашањето за решливоста на равенките од формата (2) во цели броеви: ако некој pr е еднаков на нула, тогаш равенката (2) нема цели броеви. Сепак, можно е да се пресметаат бројки само во најретките случаи. (Во исто време се знае дека р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Да ги земеме предвид оние прости броеви p што ја делат дискриминантната А на елиптичната крива (2). Може да се докаже дека за такво p полиномот x3 + ax + b може да се запише на еден од двата начина:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (мод p),
каде a, ß, y се некои остатоци од делењето со стр. Ако за сите прости броеви p што ја делат дискриминантата на кривата, се реализира првата од двете наведени можности, тогаш елиптичната крива се нарекува полустабилна.
Простите броеви што ја делат дискриминаторот може да се комбинираат во она што се нарекува елиптична крива жига. Ако E е полустабилна крива, тогаш нејзиниот проводник N е даден со формулата
каде што за сите прости броеви p > 5 што го делат A, експонентот eP е еднаков на 1. Експонентите 82 и 83 се пресметуваат со помош на посебен алгоритам.
Во суштина, ова е сè што е потребно за да се разбере суштината на доказот. Сепак, хипотезата на Тањама содржи сложен и, во нашиот случај, клучен концепт на модуларност. Затоа, да заборавиме на елиптичните криви за момент и да ја разгледаме аналитичката функција f (односно функцијата што може да се претстави со серија на моќност) од сложениот аргумент z, даден во горната полурамнина.
Ја означуваме со H горната комплексна полурамнина. Нека N е природен број, а k е цел број. Модуларна параболична форма на тежина k на ниво N е аналитичка функција f(z) дефинирана во горната полурамнина и ја задоволува релацијата
f = (cz + d)kf (z) (5)
за сите цели броеви a, b, c, d така што ae - bc = 1 и c е делив со N. Покрај тоа, се претпоставува дека
lim f (r + it) = 0,
каде што r е рационален број и тоа
Просторот на модуларни параболични форми со тежина k од ниво N се означува со Sk(N). Може да се покаже дека има конечна димензија.
Во продолжение, особено ќе нè интересираат модуларни параболични форми на тежина 2. За мало N, димензијата на просторот S2(N) е претставена во Табела. 1. Особено,
Димензии на просторот S2(N)
Табела 1
Н<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Од условот (5) следува дека % + 1) = за секоја форма f e S2(N). Според тоа, f е периодична функција. Таквата функција може да се претстави како
Да ја наречеме модуларната параболична форма A^) во S2(N) соодветна ако неговите коефициенти се цели броеви кои ги задоволуваат односите:
a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 за просто p што не го дели бројот N; (8)
(ap) за прост p кој го дели бројот N;
atn = во an, ако (t,n) = 1.
Сега да формулираме дефиниција што игра клучна улога во докажувањето на теоремата на Ферма. Елиптична крива со рационални коефициенти и проводник N се нарекува модуларна ако постои таква сопствена форма
f (z) = ^anq" g S2(N),
дека ap = p - pr за скоро сите прости броеви стр. Еве n е бројот на споредбени решенија (3).
Тешко е да се поверува во постоењето на макар и една таква крива. Прилично е тешко да се замисли дека би имало функција A(r) која ги задоволува наведените строги ограничувања (5) и (8), кои би се прошириле во серии (7), чии коефициенти би биле поврзани со практично непресметливи броеви Пр. Но, храбрата хипотеза на Тањама воопшто не фрли сомнеж за фактот на нивното постоење, а емпирискиот материјал акумулиран со текот на времето брилијантно ја потврди неговата валидност. По две децении речиси целосен заборав, хипотезата на Тањама доби еден вид втор ветер во делата на францускиот математичар, член на Париската академија на науките Андре Вајл.
Роден во 1906 година, А. Веил на крајот стана еден од основачите на група математичари кои дејствуваа под псевдонимот Н. Бурбаки. Од 1958 година, А. Веил стана професор на Институтот за напредни студии Принстон. И појавата на неговиот интерес за апстрактната алгебарска геометрија датира од истиот период. Во седумдесеттите тој се сврте кон елиптичните функции и претпоставките на Тањама. Монографијата за елиптични функции е преведена овде во Русија. Тој не е сам во своето хоби. Во 1985 година, германскиот математичар Герхард Фреј предложил дека ако теоремата на Ферма е неточна, односно ако има тројка цели броеви a, b, c така што a" + bn = c" (n > 3), тогаш елиптичната крива
y2 = x (x - a")-(x - cn)
не може да биде модуларен, што е во спротивност со претпоставката на Тањама. Самиот Фреј не успеа да ја докаже оваа изјава, но набрзо доказот го доби американскиот математичар Кенет Рибет. Со други зборови, Рибет покажа дека теоремата на Ферма е последица на претпоставката на Тањама.
Тој ја формулирал и докажал следната теорема:
Теорема 1 (Рибет). Нека Е е елиптична крива со рационални коефициенти и со дискриминант
и проводник
Да претпоставиме дека Е е модуларен и нека
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
е соодветната правилна форма на ниво N. Поправаме прост број £, и
р:еР =1;- " 8 р
Потоа, постои таква параболична форма
/(g) = 2 dnqn e N)
со целобројни коефициенти такви што разликите an - dn се деливи со I за сите 1< п<ад.
Јасно е дека ако оваа теорема е докажана за одреден експонент, тогаш таа е докажана за сите експоненти деливи со n. Бидејќи секој цел број n > 2 е делив или со 4 или со непарен прост број, затоа можеме да се ограничиме на случајот кога експонентот е или 4 или непарен прост број. За n = 4, елементарен доказ за теоремата на Ферма беше добиен прво од самиот Фермат, а потоа и од Ојлер. Така, доволно е да се проучи равенката
a1 + b1 = c1, (12)
во кој експонентот I е непарен прост број.
Сега теоремата на Ферма може да се добие со едноставни пресметки (2).
Теорема 2. Последната теорема на Ферма следи од претпоставката на Тањама за полустабилни елиптични криви.
Доказ. Да претпоставиме дека теоремата на Ферма е неточна, и нека има соодветен контрапример (како погоре, овде I е непарен прост број). Да ја примениме теоремата 1 на елиптичната крива
y2 = x (x - ae) (x - c1).
Едноставните пресметки покажуваат дека проводникот на оваа крива е даден со формулата
Споредувајќи ги формулите (11) и (13), гледаме дека N = 2. Според тоа, според теорема 1 постои параболична форма
лежи во просторот 82 (2). Но, врз основа на релацијата (6), овој простор е нула. Според тоа, dn = 0 за сите n. Во исто време, a^ = 1. Според тоа, разликата ag - dl = 1 не се дели со I и доаѓаме до контрадикција. Така, теоремата е докажана.
Оваа теорема го даде клучот за доказот на Последната теорема на Ферма. А сепак самата хипотеза сè уште остана недокажана.
Откако на 23 јуни 1993 година го објави доказот за претпоставката Тањама за полустабилни елиптични криви, кои вклучуваат криви од формата (8), Ендрју Вајлс брзаше. Беше рано за математичарите да ја прослават својата победа.
Топлото лето брзо заврши, врнежливата есен остана зад себе и дојде зимата. Вајлс ја напишал и преработил конечната верзија на својот доказ, но педантните колеги наоѓале сè повеќе неточности во неговата работа. И така, на почетокот на декември 1993 година, неколку дена пред ракописот на Вајлс да излезе во печат, повторно беа откриени сериозни празнини во неговите докази. И тогаш Вајлс сфати дека не може да поправи ништо за ден или два. Ова бараше сериозно подобрување. Објавувањето на делото мораше да се одложи. Вајлс му се обратил на Тејлор за помош. „Работата на грешките“ траеше повеќе од една година. Конечната верзија на доказот за претпоставката Тањама, напишана од Вајлс во соработка со Тејлор, беше објавена дури во летото 1995 година.
За разлика од јунакот А. Маринина, Вајлс не се пријавил за Нобеловата награда, но сепак... требало да му биде доделена некаква награда. Но, кој? Во тоа време Вајлс веќе беше во педесеттите години, а златните медали на Филдс се доделуваат строго до четириесетгодишна возраст, кога врвот на креативната активност сè уште не е поминат. И тогаш тие решија да воспостават специјална награда за Вајлс - сребрената значка на Комитетот Филдс. Оваа значка му беше претставена на следниот конгрес за математика во Берлин.
Од сите проблеми што можат, со поголема или помала веројатност, да го заземат местото на последната теорема на Ферма, проблемот со најблиското пакување топки има најголема шанса. Проблемот со најгустото пакување на топчиња може да се формулира како проблем како најекономично да се свиткаат портокалите во пирамида. Младите математичари ја наследиле оваа задача од Јоханес Кеплер. Проблемот се појави во 1611 година, кога Кеплер напиша краток есеј „За шестоаголните снегулки“. Интересот на Кеплер за распоредот и самоорганизирањето на честичките од материјата го навело да разговара за друго прашање - најгустото пакување на честички, во кое тие заземаат најмал волумен. Ако претпоставиме дека честичките имаат облик на топки, тогаш јасно е дека без разлика како се наоѓаат во вселената, неизбежно ќе останат празнини меѓу нив, а прашање е да се намали обемот на празнините на минимум. Во делото, на пример, е наведено (но не е докажано) дека таков облик е тетраедар, координатните оски во кои се одредува основниот агол на ортогоналност од 109°28", а не 90°. Овој проблем е од големо значење за физика на честички, кристалографија и други гранки од природните науки.
Литература
1. Weil A. Елиптични функции според Ајзенштајн и Кронекер. - М., 1978 година.
2. Соловиев Ју.П. Претпоставката на Тањама и последната теорема на Ферма // образовен весник на Сорос. - бр. 2. - 1998. - стр. 78-95.
3. Последната теорема на Синг С. Ферма. Приказната за мистеријата која ги окупира најдобрите светски умови цели 358 години / Транс. од англиски Ју.А. Данилова. М.: МТсНМО. 2000. - 260 стр.
4. Мирмович Е.Г., Усачева Т.В. Кватернионска алгебра и тридимензионални ротации // Ова списание бр. 1 (1), 2008. - стр. 75-80.
За цели броеви n поголеми од 2, равенката x n + y n = z n нема ненула решенија во природните броеви.
Веројатно се сеќавате од училишните денови Питагорова теорема: Квадратот на хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаков на збирот на квадратите на катетите. Можеби се сеќавате на класичниот правоаголен триаголник со страни чии должини се во однос 3: 4: 5. За него, Питагоровата теорема изгледа вака:
Ова е пример за решавање на генерализираната питагорова равенка во цели броеви кои не се нула со n= 2. Последната теорема на Ферма (исто така наречена „Последна теорема на Ферма“ и „Последна теорема на Ферма“) е изјавата дека за вредностите n> 2 равенки на формата x n + y n = z nнемаат ненула решенија во природни броеви.
Историјата на Последната теорема на Ферма е многу интересна и поучна, и тоа не само за математичарите. Пјер де Ферма придонесе за развој на различни области на математиката, но главниот дел од неговото научно наследство беше објавено само постхумно. Факт е дека математиката за Ферма беше нешто како хоби, а не професионална занимање. Тој се допишуваше со водечките математичари од своето време, но не се трудеше да ја објави својата работа. Научните списи на Ферма главно се наоѓаат во форма на приватна кореспонденција и фрагментарни белешки, често напишани на маргините на разни книги. Тоа е на маргините (од вториот том на старогрчката „Аритметика“ на Диофант. - Забелешка преведувач) веднаш по смртта на математичарот, потомците ја откриле формулацијата на познатата теорема и постскриптот:
« Најдов навистина прекрасен доказ за ова, но овие полиња се премногу тесни за тоа».
За жал, очигледно, Фермат никогаш не се потрудил да го запише „чудесниот доказ“ што го нашол, а потомците неуспешно го барале повеќе од три века. Од целото расфрлано научно наследство на Ферма, кое содржи многу изненадувачки изјави, Големата теорема тврдоглаво одбиваше да се реши.
Кој се обидел да ја докаже последната теорема на Ферма е залуден! Друг голем француски математичар, Рене Декарт (1596–1650), го нарекол Ферма „фалбаџија“, а англискиот математичар Џон Волис (1616–1703) го нарекол „проклет Французин“. Самиот Фермат сепак остави зад себе доказ за неговата теорема за случајот n= 4. Со доказ за n= 3 го решил големиот швајцарско-руски математичар од 18 век Леонхард Ојлер (1707–83), по што, не можејќи да најде докази за n> 4, на шега предложи да се пребара куќата на Фермат за да се најде клучот од изгубениот доказ. Во 19 век, новите методи во теоријата на броеви овозможија да се докаже изјавата за многу цели броеви во рамките на 200, но повторно, не за сите.
За решавање на овој проблем во 1908 година била воспоставена награда од 100.000 германски марки. Наградниот фонд го оставил германскиот индустријалец Пол Волфскел, кој, според легендата, требало да се самоубие, но бил толку понесен од Последната теорема на Ферма што се предомислил да умре. Со доаѓањето на додавање машини, а потоа и компјутери, лентата за вредности nпочна да се зголемува сè повисоко и повисоко - до 617 до почетокот на Втората светска војна, до 4001 во 1954 година, до 125.000 во 1976 година. На крајот на 20 век, најмоќните компјутери во воените лаборатории во Лос Аламос (Ново Мексико, САД) беа програмирани да го решат проблемот на Ферма во позадина (слично на режимот на заштитник на екранот на персоналниот компјутер). Така, беше можно да се покаже дека теоремата е вистинита за неверојатно големи вредности x, y, zИ n, но ова не може да послужи како строг доказ, бидејќи некоја од следните вредности nили тројки од природни броеви би можеле да ја побијат теоремата како целина.
Конечно, во 1994 година, англискиот математичар Ендрју Џон Вајлс (р. 1953 година), кој работи во Принстон, објави доказ за Последната теорема на Ферма, кој, по некои модификации, се сметаше за сеопфатен. Доказот траеше повеќе од сто страници од списанието и се засноваше на употребата на современи апарати за повисока математика, кои не беа развиени во ерата на Ферма. Тогаш, што сакал да каже Фермат со тоа што оставил порака на маргините на книгата дека го нашол доказот? Повеќето од математичари со кои разговарав на оваа тема истакнаа дека во текот на вековите имало повеќе од доволно неточни докази за последната теорема на Ферма и дека, најверојатно, самиот Фермат нашол сличен доказ, но не успеал да ја препознае грешката. во тоа. Сепак, можно е сè уште да има краток и елегантен доказ за последната теорема на Ферма што никој сè уште не го нашол. Само едно може да се каже со сигурност: денес со сигурност знаеме дека теоремата е вистинита. Повеќето математичари, мислам, безрезервно би се согласиле со Ендрју Вајлс, кој забележал за неговиот доказ: „Сега конечно мојот ум е мирен“.