Кружна фреквенција на осцилација на оптоварување на пружина. Бесплатни вибрации

Вибрации на телото на пружина

Пролетно нишало

Равенки на осцилации на пружинско нишало

Фреквенција на осцилација на пружинско нишало

Примери на проблеми со решенија

Бесплатни вибрации. Математичко нишало

Енергетски конверзии при слободни механички вибрации

Принудени вибрации. Резонанца. Самоосцилации

ЈАС СУМ ВО. ,
Меѓурегионален индустриски и економски колеџ на Далечниот Исток, Хабаровск

Бесплатни вибрациисе изведуваат под влијание на внатрешните сили на системот откако системот ќе биде отстранет од неговата рамнотежна положба.

Со цел да сеслободните вибрации се јавуваат според хармонискиот закон, неопходно е силата што тежнее да го врати телото во положба на рамнотежа да биде пропорционална на поместувањето на телото од рамнотежна положба и да биде насочена во насока спротивна на поместувањето (види §2.1 ):

Се нарекуваат сили од која било друга физичка природа кои ја задоволуваат оваа состојба квази-еластичен .

Така, товар од одредена маса м, прикачен на пружината за зацврстување к, чиј втор крај е фиксно фиксиран (сл. 2.2.1), сочинуваат систем способен да врши слободни хармонски осцилации во отсуство на триење. Се нарекува оптоварување на пружина линеарна хармоника осцилатор.

Кружната фреквенција ω 0 на слободните осцилации на оптоварувањето на пружината е пронајдена од вториот Њутнов закон:

Кога системот за оптоварување со пружини се наоѓа хоризонтално, силата на гравитацијата што се применува на товарот се компензира со силата на реакцијата на поддршката. Ако товарот е суспендиран на пружина, тогаш силата на гравитацијата е насочена по линијата на движење на товарот. Во положбата на рамнотежа, пружината се протега за одредена количина x 0 еднакви

Затоа, вториот Њутнов закон за оптоварување на пружина може да се напише како

Се нарекува равенката (*). равенка на слободни вибрации . Треба да се напомене дека физичките својства на осцилаторниот систем да се определи само природната фреквенција на осцилациите ω 0 или периодот Т . Параметри на процесот на осцилација како што се амплитудата x m и почетната фаза φ 0 се определуваат со начинот на кој системот бил изваден од рамнотежа во почетниот временски момент.

Ако, на пример, оптоварувањето е поместено од положбата на рамнотежа за растојание Δ ла потоа во одреден момент во времето т= 0 ослободен без почетна брзина, тогаш x m = Δ л, φ 0 = 0.

Ако на товарот, кој беше во рамнотежна положба, му се даде почетна брзина ± υ 0 со помош на нагло туркање, тогаш,

Така, амплитудата xсе одредуваат m слободни осцилации и неговата почетна фаза φ 0 почетни услови .

Постојат многу видови механички осцилаторни системи кои користат еластични сили на деформација. На сл. Слика 2.2.2 го прикажува аголниот аналог на линеарен хармоничен осцилатор. Хоризонтално лоциран диск виси на еластична нишка прикачена на неговиот центар на маса. Кога дискот се ротира низ агол θ, настанува момент на сила Мконтрола на еластична торзиона деформација:

Каде Јас = Јас C е моментот на инерција на дискот во однос на оската, кој минува низ центарот на масата, ε е аголното забрзување.

По аналогија со оптоварување на пружина, можете да добиете:

Математичко нишалонаречено мало тело обесено на тенок нерастеглив конец, чија маса е занемарлива во споредба со масата на телото. Во положбата на рамнотежа, кога нишалото виси водоводник, силата на гравитацијата се балансира со силата на затегнување на конецот. Кога нишалото отстапува од положбата на рамнотежа за одреден агол φ, се појавува тангенцијална компонента на гравитацијата Ф τ = - mg sin φ (сл. 2.3.1). Знакот минус во оваа формула значи дека тангенцијалната компонента е насочена во насока спротивна на отклонувањето на нишалото.

Ако означиме со xлинеарно поместување на нишалото од положбата на рамнотежа по лак од круг со радиус л, тогаш неговото аголно поместување ќе биде еднакво на φ = x / л. Вториот Њутнов закон, напишан за проекциите на векторите на забрзување и сила на насоката на тангентата, дава:

Овој однос покажува дека математичкото нишало е комплекс нелинеарнисистем, бидејќи силата која има тенденција да го врати нишалото во положба на рамнотежа не е пропорционална со поместувањето x, А

Само во случај мали флуктуации, кога приближноможе да се замени со математичко нишало е хармоничен осцилатор, односно систем способен да врши хармонски осцилации. Во пракса, ова приближување важи за агли од редот од 15-20°; во овој случај, вредноста се разликува од не повеќе од 2%. Осцилациите на нишалото при големи амплитуди не се хармонични.

За мали осцилации на математичко нишало, вториот закон на Њутн е напишан во форма

Оваа формула изразува природна фреквенција на мали осцилации на математичко нишало .

Оттука,

Секое тело поставено на хоризонтална оска на ротација е способно за слободни осцилации во гравитационото поле и затоа е исто така нишало. Таквото нишало обично се нарекува физички (Сл. 2.3.2). Од математичката се разликува само по распоредот на масите. Во стабилна рамнотежна положба, центарот на масата Вфизичкото нишало се наоѓа под оската на ротација О на вертикалата што минува низ оската. Кога нишалото е отклонето со агол φ, се јавува момент на гравитација, со тенденција да го врати нишалото во положба на рамнотежа:

а вториот Њутнов закон за физичко нишало има форма (види §1.23)

Еве ω 0 - природна фреквенција на мали осцилации на физичко нишало .

Оттука,

Затоа, равенката што го изразува вториот Њутнов закон за физичко нишало може да се напише во форма

Конечно, за кружната фреквенција ω 0 на слободните осцилации на физичкото нишало, се добива следниот израз:

За време на слободните механички вибрации, кинетичката и потенцијалната енергија периодично се менуваат. При максималното отстапување на телото од неговата рамнотежна положба, неговата брзина, а со тоа и неговата кинетичка енергија, исчезнуваат. Во оваа позиција, потенцијалната енергија на осцилирачкото тело ја достигнува својата максимална вредност. За оптоварување на пружина, потенцијалната енергија е енергијата на еластична деформација на пружината. За математичко нишало, ова е енергијата во гравитационото поле на Земјата.

Кога телото во своето движење поминува низ рамнотежна положба, неговата брзина е максимална. Телото ја надминува рамнотежната положба според законот за инерција. Во овој момент има максимална кинетичка и минимална потенцијална енергија. Зголемувањето на кинетичката енергија се јавува поради намалување на потенцијалната енергија. Со понатамошно движење, потенцијалната енергија почнува да се зголемува поради намалување на кинетичката енергија итн.

Така, за време на хармоничните осцилации, се случува периодична трансформација на кинетичката енергија во потенцијална енергија и обратно.

Ако нема триење во осцилаторниот систем, тогаш вкупната механичка енергија при слободните осцилации останува непроменета.

За оптоварување на пролетта(види §2.2):

Во реални услови, секој осцилаторен систем е под влијание на силите на триење (отпор). Во овој случај, дел од механичката енергија се претвора во внатрешна енергија на топлинско движење на атомите и молекулите, а вибрациите стануваат избледување (Сл. 2.4.2).

Брзината со која вибрациите се распаѓаат зависи од големината на силите на триење. Временски интервал τ за време на кој амплитудата на осцилациите се намалува во д≈ 2,7 пати, повикани време на распаѓање .

Фреквенцијата на слободните осцилации зависи од брзината со која се распаѓаат осцилациите. Како што се зголемуваат силите на триење, природната фреквенција се намалува. Меѓутоа, промената на природната фреквенција станува забележлива само со доволно големи сили на триење, кога природните вибрации брзо се распаѓаат.

Важна карактеристика на осцилаторниот систем кој врши слободни пригушени осцилации е фактор на квалитет П. Овој параметар е дефиниран како број Нвкупни осцилации извршени од системот за време на времето на амортизација τ, помножено со π:

Така, факторот на квалитет ја карактеризира релативната загуба на енергија во осцилаторниот систем поради присуството на триење во временски интервал еднаков на еден период на осцилација.

Осцилациите што се случуваат под влијание на надворешна периодична сила се нарекуваат принудени.

Надворешната сила врши позитивна работа и обезбедува проток на енергија до осцилаторниот систем. Не дозволува вибрациите да изумрат, и покрај дејството на силите на триење.

Периодична надворешна сила може да се менува со текот на времето според различни закони. Од особен интерес е случајот кога надворешна сила, променлива според хармоничен закон со фреквенција ω, делува на осцилаторен систем способен да врши сопствени осцилации со одредена фреквенција ω 0.

Ако слободните осцилации се појават на фреквенција ω 0, која е одредена од параметрите на системот, тогаш стабилни принудни осцилации секогаш се случуваат на фреквенција ω надворешна сила.

Откако надворешната сила ќе почне да делува на осцилаторниот систем, некое време Δ тда воспостави принудни осцилации. Времето на воспоставување е, според големината, еднакво на времето на амортизација τ на слободните осцилации во осцилаторниот систем.

Во почетниот момент, двата процеси се возбудени во осцилаторниот систем - принудени осцилации со фреквенција ω и слободни осцилации при природна фреквенција ω 0. Но, слободните вибрации се пригушени поради неизбежното присуство на сили на триење. Затоа, по некое време, во осцилаторниот систем остануваат само стационарни осцилации на фреквенцијата ω на надворешната движечка сила.

Да ги разгледаме, како пример, принудните осцилации на телото на пружина (сл. 2.5.1). На слободниот крај на пружината се применува надворешна сила. Го принудува слободниот (лево на сл. 2.5.1) крај на пружината да се движи според законот

Ако левиот крај на пружината е поместен за растојание y, а вистинскиот - до далечина xод нивната првобитна положба, кога пружината била недеформирана, тогаш издолжувањето на пружината Δ леднакво на:

Во оваа равенка, силата што дејствува на телото е претставена како два члена. Првиот член на десната страна е еластичната сила која има тенденција да го врати телото во положба на рамнотежа ( x= 0). Вториот термин е надворешен периодичен ефект врз телото. Овој термин се нарекува присилна сила.

На равенката што го изразува вториот Њутнов закон за тело на пружина во присуство на надворешно периодично влијание може да и се даде строга математичка форма ако ја земеме предвид врската помеѓу забрзувањето на телото и неговата координата: Тогаш ќе бидат напишани во форма

Равенката (**) не го зема предвид дејството на силите на триење. За разлика од равенки на слободни вибрации(*) (види §2.2) равенка на принудна осцилација(**) содржи две фреквенции - фреквенцијата ω 0 на слободните осцилации и фреквенцијата ω на движечката сила.

Присилните осцилации на оптоварување на пружината во стабилна состојба се случуваат при фреквенцијата на надворешно влијание според законот

x(т) = x mcos (ω т + θ).

Амплитуда на принудни осцилации x m и почетната фаза θ зависат од односот на фреквенциите ω 0 и ω и од амплитудата y m надворешна сила.

На многу ниски фреквенции, кога ω<< ω 0 , движение тела массой м, прикачен на десниот крај на пружината, го повторува движењето на левиот крај на пружината. При што x(т) = y(т), а пролетта останува практично недеформирана. Надворешната сила применета на левиот крај на пружината не прави никаква работа, бидејќи модулот на оваа сила при ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ако фреквенцијата ω на надворешната сила се приближува до природната фреквенција ω 0, се јавува нагло зголемување на амплитудата на принудните осцилации. Овој феномен се нарекува резонанца . Зависност од амплитуда x m принудени осцилации од фреквенцијата ω на движечката сила се нарекува резонантна карактеристикаили крива на резонанца(Сл. 2.5.2).

На резонанца, амплитудата x m осцилациите на оптоварувањето може да бидат многу пати поголеми од амплитудата y m вибрации на слободниот (лев) крај на пружината предизвикани од надворешно влијание. Во отсуство на триење, амплитудата на принудните осцилации за време на резонанца треба да се зголемува без ограничување. Во реални услови, амплитудата на присилните осцилации во стабилна состојба се одредува со условот: работата на надворешната сила за време на периодот на осцилација мора да биде еднаква на загубата на механичка енергија во исто време поради триење. Колку помалку триење (т.е. колку е поголем факторот на квалитет Посцилаторен систем), толку е поголема амплитудата на принудните осцилации при резонанца.

Кај осцилаторните системи со не многу висок квалитетен фактор (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Феноменот на резонанца може да предизвика уништување на мостови, згради и други структури ако природните фреквенции на нивните осцилации се совпаѓаат со фреквенцијата на периодично дејствувачка сила, што се јавува, на пример, поради ротација на неурамнотежен мотор.

Присилните вибрации се незадушенофлуктуации. Неизбежните загуби на енергија поради триење се компензираат со снабдување со енергија од надворешен извор на периодично дејствувачка сила. Постојат системи во кои непригушените осцилации се јавуваат не поради периодични надворешни влијанија, туку како резултат на способноста на таквите системи да го регулираат снабдувањето со енергија од постојан извор. Таквите системи се нарекуваат самоосцилирачки, а процесот на непридушени осцилации кај таквите системи е самоосцилации . Во самоосцилирачки систем, може да се разликуваат три карактеристични елементи - осцилаторен систем, извор на енергија и уред за повратна информација помеѓу осцилаторниот систем и изворот. Секој механички систем способен да врши свои пригушени осцилации (на пример, нишалото на ѕидниот часовник) може да се користи како осцилаторен систем.

Изворот на енергија може да биде енергијата на деформација на пружината или потенцијалната енергија на оптоварувањето во гравитационото поле. Уред за повратни информации е механизам со кој самоосцилирачки систем го регулира протокот на енергија од изворот. На сл. 2.5.3 е прикажан дијаграм на интеракцијата на различни елементи на самоосцилирачки систем.

Пример за механички самоосцилирачки систем е механизмот на часовникот со сидронапредок (сл. 2.5.4). Тркачкото тркало со коси заби е цврсто прицврстено за забиен барабан, низ кој се фрла синџир со тег. На горниот крај на нишалото е фиксиран сидро(сидро) со две плочи од цврст материјал, свиткани во кружен лак со центарот на оската на нишалото. Кај рачните часовници тежината се заменува со пружина, а нишалото се заменува со балансирач - рачно тркало поврзано со спирална пружина. Балансерот врши торзиони вибрации околу својата оска. Осцилаторниот систем во часовникот е нишало или балансер.

Изворот на енергија е подигната тежина или рана пружина. Уредот што се користи за давање повратни информации е сидро, што му овозможува на тркалото да врти еден заб во еден полуциклус. Повратните информации се обезбедуваат со интеракцијата на сидрото со тркалото. Со секое осцилирање на нишалото, забот на тркалото ја турка вилушката за сидро во насока на движење на нишалото, пренесувајќи му одреден дел од енергијата, што ги компензира загубите на енергија поради триење. Така, потенцијалната енергија на тежината (или изопачената пружина) постепено, во посебни делови, се пренесува на нишалото.

Механичките самоосцилирачки системи се широко распространети во животот околу нас и во технологијата. Самоосцилации се јавуваат кај парните мотори, моторите со внатрешно согорување, електричните ѕвона, жиците на лакови музички инструменти, воздушните столбови во цевките на дувачките инструменти, гласните жици при зборување или пеење итн.

Слика 2.5.4. Механизам на часовник со нишало.

Образовни цели:формирање на идеја за процесот на научно знаење, организација и систематизација на знаењето на темата; развивање идеја за зависноста на периодот на осцилација од телесната тежина и вкочанетоста на пролетта; развој на експериментални вештини, вештини за истражување.

Опрема:магнетофон, компјутери, програма или (дел „Механички вибрации и бранови“, „Вибрации на телото на пружина“), § 31 од учебникот.

За време на часовите

1. Почеток на часот

Наставник (ја започнува лекцијата со песна од Б. Пастернак: „Во сè сакам да дојдам до самата суштина<...>//Направете откритие“).Што значат за вас зборовите „Направив откритие“? ( Ги слуша одговорите.) Дали те разбрав правилно: ако некој со својата напорна работа и упорност ја постигнува вистината во нешто, тогаш тоа значи дека направил откритие? Денес ќе направиме и мали, но независни откритија. Значи, темата на нашата лекција е „Вибрации на телото на пружина“.

2. Повторување и генерализација

Наставник.Прво, ајде заедно да се восхитуваме на нашето длабоко знаење на темата Механички вибрации. Запишете ги левите страни на формулите што недостасуваат во картички ( еден ученик извршува задача на табла):

(Класот ги проверува своите белешки, секој си дава поени на листот за самоконтрола според бројот на формули што ги напишал правилно и бројот на формули пронајдени со грешки.)

Сега да извадиме нешто вредно од кешот на меморијата. Еве табела со физичките величини, нивните единици и броеви. Ќе поставам прашање, а вие ќе ја прецртате рамката со точниот одговор:

Временски интервал за време на кој се јавува една целосна осцилација Максимално отстапување на осцилирачката големина од положбата на рамнотежа Број на осцилации по единица време Единица период на осцилација Единица за фреквенција на осцилација Единица за амплитуда на осцилација За кое време завршило нишалото n= 20 осцилации ако периодот на осцилација е 0,5 s? Која е фреквенцијата на овие осцилации? Телото осцилира по една оска X. Нејзината координата се менува со текот на времето според законот x= 0,2cos0,63 т(SI). Која е амплитудата на вибрациите на телото? Која е цикличната фреквенција на овие осцилации? Многу мека голема пружина се собира за 2 секунди од нејзиното максимално истегнување до првобитната состојба. Кој е периодот на осцилација на пролетта? Ако должината на пружината се промени за 0,5 m, колку е растојанието поминато од лабавиот крај на пружината за време на периодот на осцилација?

(Точните одговори „нацртајте“ го бројот „5“ на картичката. Момците ставија ознака на листот за самоконтрола - 1 поен за точниот одговор.)

Основата на која било гранка од физиката е набљудувањето или експериментот. Денес ве поканувам да спроведете истражување за механички вибрации. Се дели во четири групи по желба. Секоја група зема картичка со задача и ја завршува, а потоа кажува што направила и што добила.

Задача бр. 1.Направете нишало од секунди (период на осцилација 1 с). Уреди и материјали:конец, тежина, линијар, стоперка.

Задача бр. 2.Да се определи периодот на осцилација на нишалото на жици долго метар. На што ќе биде еднакво ако должината на конецот се намали за четири пати? Уреди и материјали:метарско нишало, стоперица.

Задача бр.3.Определете го периодот, зачестеноста и цикличната фреквенција на осцилациите на нишалото. Запишете ја равенката на осцилација на ова нишало. Уреди и материјали:топка, линијар, стоперка, конец.

Задача бр.4.Определете го во пракса забрзувањето на гравитацијата за дадена област со помош на нишало на жици. Уреди и материјали:конец, топка, линијар, стоперица.

(Наставникот ја оценува работата на групите. Момците ставаат поени на лист за самоконтрола: 1 поен за спроведување експеримент, 1 поен за одбрана.)

3. Учење нов материјал

Наставник.Сега да преминеме на темата на нашата лекција, „Осцилации на телото на пружина“. Ајде да се обидеме да ја утврдиме зависноста на периодот на слободни осцилации од масата на товарот, вкочанетоста на пружината и амплитудата на осцилациите. ( Момците се поделени во парови по желба, добиваат картички, за време на компјутерски експеримент ги утврдуваат овие зависности и ги запишуваат резултатите и заклучоците на картичките. .)

Воспоставете ја зависноста на периодот на слободни осцилации од масата и вкочанетоста на пружината

Пополнете ја табелата

Извлечете заклучок: ако ја зголемите вкочанетоста на пружината, тогаш периодот: се намалува.

А, цм	5	7	10
Т, Со	1,4	1,4	1,4

Извлечете заклучок: ако ја зголемите амплитудата на осцилациите, тогаш периодот: не се менува.

Запишете ја формулата за периодот на слободни осцилации

Користете § 38 од учебникот В.А. Касијанова„Физика-10“:

Извлечете заклучок:периодот на слободно осцилирање на пружинско нишало не зависи од амплитудата на осцилациите и е целосно определена од ригидноста, масата (сопствените карактеристики на осцилаторниот систем).

Експериментално проверете ја зависноста на периодот на слободни осцилации од масата и крутоста.

Би сакал да ве упатам во вашата работа со зборовите на А. Толстој: „Знаењето е само знаење кога се стекнува со напорите на нечии мисли, а не со меморија“. Среќно со вашето истражување!

(Момците воспоставуваат зависности, ставаат по 1 поен за секоја формула на листот за самоконтрола.)

4. Консолидација, обука, развој на вештини

Наставник.Сега да ги решиме проблемите на картичките и да го провериме одговорот користејќи компјутерски експеримент. Решението на првиот проблем вреди најмногу 1 поен, вториот – 2 поени.

Задача 1.Да се определи периодот на осцилација на пружинско нишало ако масата на оптоварувањето е 0,5 kg, а крутоста на пружината е 10 N/m.

Задача 2.Напиши ја равенката на движење на пружинско нишало x(t), Ако м= 1 кг, к= 10 N/m, А= 10 cm Одреди ја координатата во моментот т= 4 с.

Проверете го одговорот според графиконот, за да го направите ова, изберете ги параметрите, кликнете Започнетеи следете ги читањата т.

Креативна задача.Дојдете, формулирајте и решите проблем, спроведете компјутерски експеримент и проверете го вашиот одговор. Внесете го оценувањето на наставникот (до 2 поени) на листот за самоконтрола.

5. Рефлексија. Сумирајќи

Наставник.Да резимираме. Што беше главното? Што беше интересно? Што ново научивте денес? Што научивте? ( Слуша мислења. Момците ги бројат бодовите и си даваат оценки: 24–25 поени – „3“, 26–27 поени – „4“, 28–29 поени – „5“.)

Д.З.§ 38, задачи 1, 2. Составете свои задачи за идните ученици. Задолжително потпишете ги вашите дела, авторството ќе биде зачувано. И сакам да ја завршам денешната лекција со зборовите на М. Фарадеј: „Уметноста на експериментаторот е да може да поставува прашања за природата и да ги разбере нејзините одговори“. И мислам дека ти успеа денес. Лекцијата заврши. Ви благодариме за лекцијата. Ти посакувам успех. Се гледаме во следната лекција.

Литература

Физика во слики 6.2. NC PHYSIKON, 1993. 1 електрон. на големо диск (DVD-ROM); [Електронски ресурс] URL: http://torrents.ru/forum/.
Open Physics 2.6: Part 1: LLC FISIKON, 1996–2005 [Електронски ресурс] URL: http://physics.ru
Касјанов В.А. Физика: учебник. за општо образование институции. 10 оценки М.: Бустард, 2003. стр. 123–133.

Јана Владимировна Бочарниковаво 1990 година, дипломирала на Државниот универзитет на Далечниот Исток со диплома по физика, наставник по физика, работела во Институтот за инженери за железнички транспорт во Хабаровск, потоа предавала компјутерски науки во предучилишна образовна институција за деца од 3-7 години, предавала физика на училиште а веќе 9 години - на факултет. Победник на градскиот натпревар „Наставник на годината-99“ и на натпреварот „Наставник на годината-2005“ на колеџ, лауреат на регионалниот натпревар „Наставник на годината-2005“. Во својата работа тој се води од зборовите на С. Соловеичик: „Да се подигнат луѓе со длабоко чувство на самопочит, полно со самопочит и почит кон другите, луѓе кои се способни да избираат, да дејствуваат самостојно - не Дали ова значи да се придонесе за зајакнување и просперитет на земјата?

Записите на студентите се означени овде со сив фонт. - Ед.

Дефиниција

Фреквенција на осцилации($\nu$) е еден од параметрите што ги карактеризираат осцилациите. Ова е реципроцитет на периодот на осцилација ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\лево(1\десно).\]

Така, фреквенцијата на осцилации е физичка големина еднаква на бројот на повторувања на осцилации по единица време.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\лево(2\десно),\]

каде што $N$ е бројот на целосни осцилаторни движења; $\Delta t$ е времето во кое се случиле овие осцилации.

Фреквенцијата на цикличните осцилации ($(\omega )_0$) е поврзана со фреквенцијата $\nu $ според формулата:

\[\nu =\frac((\omega)_0)(2\pi)\лево(3\десно).\]

Единицата за фреквенција во Меѓународниот систем на единици (SI) е херц или реципрочна секунда:

\[\лево[\nu \десно]=с^(-1)=Hz.\]

Дефиниција

Пролетно нишалонаречен систем кој се состои од еластична пружина на која е прикачен товар.

Да претпоставиме дека масата на оптоварувањето е $m$, а коефициентот на еластичност на пружината е $k$. Масата на пружината во такво нишало обично не се зема предвид. Ако ги земеме предвид хоризонталните движења на товарот (сл. 1), тогаш тој се движи под влијание на еластична сила ако системот се извади од рамнотежа и се остави на себе. Во овој случај, често се верува дека силите на триење може да се игнорираат.

Пружинско нишало кое слободно осцилира е пример за хармоничен осцилатор. Нека осцилира по оската X. Ако осцилациите се мали, Хуковиот закон е задоволен, тогаш равенката на движење на товарот ја пишуваме како:

\[\dточка(x)+(\омега)^2_0x=0\лево(4\десно),\]

каде $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ е цикличната фреквенција на осцилациите на пружинското нишало. Решението на равенката (4) е синусна или косинусна функција од формата:

каде што $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ е цикличната фреквенција на осцилациите на пружинското нишало, $A$ е амплитудата на осцилациите; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза на осцилација; $\varphi $ и $(\varphi )_1$ се почетните фази на осцилациите.

Од формулата (3) и $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, следува дека фреквенцијата на осцилација на пружинското нишало е еднаква на:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \лево(6\десно).\]

Формулата (6) е валидна ако:

пролетта во нишалото се смета за бестежинска;
товарот прикачен на пружината е апсолутно цврсто тело;
нема торзиони вибрации.

Изразот (6) покажува дека фреквенцијата на осцилација на пружинското нишало се зголемува со намалување на масата на оптоварувањето и зголемување на коефициентот на еластичност на пружината. Фреквенцијата на осцилација на пружинското нишало не зависи од амплитудата. Ако осцилациите не се мали, еластичната сила на пружината не го почитува законот на Хук, тогаш се појавува зависност на фреквенцијата на осцилациите од амплитудата.

Мерење на периодот на осцилација

Мерење време

намалувајќи ја амплитудата за 2 пати

Пример 1

Вежбајте.Периодот на осцилација на пружинско нишало е $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Која е фреквенцијата на осцилации во овој случај? Која е цикличната фреквенција на вибрации на оваа маса?

Решение.Фреквенцијата на осцилација е реципрочна на периодот на осцилација, затоа, за да се реши проблемот доволно е да се користи формулата:

\[\nu =\frac(1)(T)\лево(1.1\десно).\]

Ајде да ја пресметаме потребната фреквенција:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \лево(Hz\десно).\]

Цикличната фреквенција е поврзана со фреквенцијата $\nu $ како:

\[(\омега)_0=2\pi \nu \ \лево(1.2\десно).\]

Ајде да ја пресметаме цикличната фреквенција:

\[(\omega)_0=2\pi \cdot 200\приближно 1256\ \left(\frac(rad)(s)\десно).\]

Одговори.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega)_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Пример 2

Вежбајте.Масата на товарот што виси на еластична пружина (сл. 2) се зголемува за $\Delta m$, додека фреквенцијата се намалува за $n$ пати. Која е масата на првиот товар?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\десно).\]

За првото оптоварување фреквенцијата ќе биде еднаква на:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \лево(2.2\десно).\]

За второто оптоварување:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\десно).\]

Според условите на проблемот $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, ја наоѓаме релацијата $\frac((\nu )_1)(\nu )_2): \frac((\nu)_1)((\nu)_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Делта m)( m))=n\ \лево(2,3\десно).$

Да ја добиеме од равенката (2.3) потребната маса на товарот. За да го направите ова, ајде да ги квадратиме двете страни на изразот (2.3) и да изразиме $m$:

Одговори.$m=\frac(\Делта m)(n^2-1)$

Цел на работата. Запознајте се со главните карактеристики на непридушените и пригушените слободни механички вибрации.

Задача. Определи го периодот на природните осцилации на пружинското нишало; проверете ја линеарноста на зависноста на квадратот на периодот од масата; одреди ја вкочанетоста на пружината; да се определи периодот на пригушени осцилации и логаритамското намалување на амортизацијата на пружинското нишало.

Уреди и додатоци. Статив со вага, пружина, комплет тегови со различна тежина, сад со вода, стоперица.

1. Слободни осцилации на пружинско нишало. Генерални информации

Осцилациите се процеси во кои периодично се менуваат една или повеќе физички количества кои ги опишуваат овие процеси. Осцилациите можат да се опишат со различни периодични функции на времето. Наједноставните осцилации се хармоничните осцилации - таквите осцилации во кои осцилирачкото количество (на пример, поместувањето на оптоварувањето на пружината) се менува со текот на времето според законот за косинус или синус. Осцилациите кои настануваат по дејство на надворешна краткотрајна сила врз системот се нарекуваат слободни.

Ако товарот се отстрани од положбата на рамнотежа со отклонување за одредена количина x, тогаш еластичната сила се зголемува: Фконтрола = – kx 2= – к(x 1 + x). Откако ќе ја достигне рамнотежната положба, товарот ќе има брзина различна од нула и ќе ја помине рамнотежната положба по инерција. Како што движењето продолжува, отстапувањето од положбата на рамнотежа ќе се зголеми, што ќе доведе до зголемување на еластичната сила, а процесот ќе се повтори во спротивна насока. Така, осцилаторното движење на системот се должи на две причини: 1) желбата на телото да се врати во положба на рамнотежа и 2) инерција, која не му дозволува на телото веднаш да застане во рамнотежна положба. Во отсуство на сили на триење, осцилациите би продолжиле бесконечно. Присуството на сили на триење води до фактот дека дел од енергијата на осцилациите се претвора во внатрешна енергија и осцилациите постепено изумираат. Таквите осцилации се нарекуваат придушени.

Непридушени слободни осцилации

Прво, да ги разгледаме осцилациите на пружинското нишало, на кое не влијаат силите на триење - непридушени слободни осцилации. Според вториот закон на Њутн, земајќи ги предвид знаците на проекции на оската X

Од состојбата на рамнотежа, поместувањето предизвикано од гравитацијата: . Со замена во равенката (1), добиваме: Диференцијална" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференцијална равенка

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Оваа равенка се нарекува хармонична равенка. Најголемо отстапување на товарот од положбата на рамнотежа А 0 наречена амплитуда на осцилации. Количината во косинусниот аргумент се нарекува фаза на осцилација. Константата φ0 ја претставува фазната вредност во почетното време ( т= 0) и се нарекува почетна фаза на осцилации. Магнитуда

дали е кружно или циклично? природна фреквенцијаповрзани со период на осцилација Тсооднос https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Придушени осцилации

Да ги разгледаме слободните осцилации на пружинското нишало во присуство на сила на триење (пригушени осцилации). Во наједноставниот и во исто време најчест случај, силата на триење е пропорционална на брзината υ движења:

Фtr = – rυ, (6)

Каде р– константа наречена коефициент на отпор. Знакот минус покажува дека силата на триење и брзината се во спротивни насоки. Равенка на вториот Њутнов закон во проекција на оската X во присуство на еластична сила и сила на триење

ма = – kx – rυ. (7)

Оваа диференцијална равенка земајќи ги предвид υ = dx/ dtможе да се запише

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коефициент на слабеење; – циклична фреквенција на слободни непридушени осцилации на даден осцилаторен систем, т.е. во отсуство на загуби на енергија (β = 0). Се нарекува равенката (8). диференцијална равенка на пригушени осцилации.

За да се добие зависност од поместување xод времето т, потребно е да се реши диференцијалната равенка (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

Каде А 0 и φ0 – почетна амплитуда и почетна фаза на осцилации;
– циклична фреквенција на пригушени осцилации на ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графикот на функцијата (9), Сл. 2, линиите со точки ја покажуваат промената на амплитудата (10) на пригушените осцилации.

Ориз. 2. Зависност од поместување Xвчитувајте од време на време тво присуство на сила на триење

За квантитативно да се карактеризира степенот на слабеење на осцилациите, се воведува вредност еднаква на односот на амплитудите кои се разликуваат за период и се нарекува намалување на амортизацијата:

. (11)

Често се користи природниот логаритам на оваа количина. Овој параметар се нарекува логаритамско намалување на амортизацијата:

Амплитудата се намалува во nпати, тогаш од равенката (10) следува дека

Од тука го добиваме изразот за логаритамското намалување

Доколку во текот на времето т" амплитудата се намалува во деднаш ( д= 2,71 – основата на природниот логаритам), тогаш системот ќе има време да го комплетира бројот на осцилации

Ориз. 3. Дијаграм за инсталација

Инсталацијата се состои од статив 1 со мерна скала 2 . До статив со пружина 3 товарите се суспендирани 4 од различни маси. При проучување на пригушените осцилации во задача 2, се користи прстен за подобрување на амортизацијата 5 , кој се става во проѕирен сад 6 со вода.

Во задачата 1 (изведена без сад со вода и прстен), до прво приближување, придушувањето на осцилациите може да се занемари и да се смета за хармонично. Како што следува од формулата (5) за хармоничните осцилации, зависноста Т 2 = ѓ (м) – линеарна, од која може да се определи коефициентот на вкочанетост на пружината кспоред формулата

каде е наклонот на правата линија Т 2 од м.

Вежба 1.Одредување на зависноста на периодот на природни осцилации на пружинско нишало од масата на товарот.

1. Одредете го периодот на осцилација на пружинското нишало при различни вредности на масата на товарот м. За да го направите ова, користете стоперка за секоја вредност мизмерете го времето три пати тполн nфлуктуации ( n≥10) и според просечната временска вредност https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Внесете ги резултатите во Табела 1.

2. Врз основа на резултатите од мерењето, конструирај график на квадратот на периодот Т2 по тежина м. Од наклонот на графиконот, определете ја вкочанетоста на пружината кспоред формулата (16).

Табела 1

Резултати од мерењето за одредување на периодот на природни осцилации

3. Дополнителна задача. Проценете случаен, вкупен и релативен ε тгрешки во мерењето на времето за вредност на масата m = 400 g.

Задача 2.Определување на намалувањето на логаритамското придушување на пружинското нишало.

1. Закачете маса на пружина м= 400 g со прстен и се става во сад со вода за прстенот целосно да се потопи во вода. Одреди го периодот на пригушени осцилации за дадена вредност мспоред методот наведен во став 1 од задача 1. Повторете ги мерењата три пати и внесете ги резултатите на левата страна од табелата. 2.

2. Отстранете го нишалото од положбата на рамнотежа и, забележувајќи ја неговата почетна амплитуда на линијар, измерете го времето т" , при што амплитудата на осцилациите се намалува за 2 пати. Земете мерења три пати. Внесете ги резултатите на десната страна од табелата. 2.

табела 2

Резултати од мерењето

да се определи логаритамското намалување на амортизацијата

4. Тест прашања и задачи

1. Кои осцилации се нарекуваат хармонични? Дефинирајте ги нивните главни карактеристики.

2. Кои осцилации се нарекуваат придушени? Дефинирајте ги нивните главни карактеристики.

3. Објаснете го физичкото значење на логаритамското намалување на амортизацијата и коефициентот на амортизација.

4. Изведете ја временската зависност на брзината и забрзувањето на оптоварување на пружина што изведува хармонски осцилации. Обезбедете графикони и анализирајте.

5. Изведете ја временската зависност на кинетичката, потенцијалната и вкупната енергија за оптоварување што осцилира на пружина. Обезбедете графикони и анализирајте.

6. Добијте ја диференцијалната равенка на слободните вибрации и нејзиното решение.

7. Конструирај графикони на хармониски осцилации со почетни фази π/2 и π/3.

8. Во кои граници може да варира логаритамското намалување на амортизацијата?

9. Наведете ја диференцијалната равенка на придушените осцилации на пружинското нишало и неговото решение.

10. Според кој закон се менува амплитудата на пригушените осцилации? Дали пригушените осцилации се периодични?

11. Кое движење се нарекува апериодично? Под кои услови се забележува?

12. Која е природната фреквенција на осцилациите? Како зависи од масата на осцилирачкото тело за пружинско нишало?

13. Зошто фреквенцијата на пригушените осцилации е помала од фреквенцијата на природните осцилации на системот?

14. Бакарна топка висната од пружина врши вертикални осцилации. Како ќе се промени периодот на осцилација ако наместо бакарна топка, од пружината виси алуминиумска топка со ист радиус?

15. При која вредност на логаритамското намалување на амортизацијата осцилациите се распаѓаат побрзо: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Обезбедете графикони на овие пригушени осцилации.

Библиографија

1. Трофимова Т.И. Курс по физика / . – 11-ти изд. – М.: Академија, 2006. – 560 стр.

2. Савељев И.В. Курс по општа физика: 3 тома / . – Санкт Петербург. : Lan, 2008. – T. 1. – 432 стр.

3. Ахматов А.С.. Лабораториска работилница по физика / .
– М.: Повисоко. училиште, 1980. – 359 стр.

Предмет. Осцилации на оптоварување на пружина. Математички
нишало

Цел на часот: да ги запознае учениците со законите на вибрациите
пролетни и математички нишала
Тип на лекција: учење нов материјал
План за лекција
Проверка на знаењето 5 мин.1. Што се хармонични вибрации?
2. Равенка на хармониски вибрации.
3. Која е фазата на осцилација?
4. Графикони на хармониски вибрации
Демонстрации
5 мин.1. Слободни осцилации на пружинско нишало.
Учење нови работи
материјал
25
мин.
2. Зависност од периодот на осцилација на оптоварувањето на
извира од еластичните својства на пружината и масата
товарот
3. Слободни вибрации на математичката
нишало.
4. Зависност на периодот на осцилација
математичко нишало од неговата должина
1. Процесот на осцилација на пружинско нишало.
2. Период на осцилација на пружинско нишало.

4. Математичко нишало.
5. Период на математичко осцилирање
нишало

Консолидација
студирал
материјал
10
мин.
1. Тренираме да решаваме проблеми.
2. Тест прашања

УЧИМЕ НОВ МАТЕРИЈАЛ
1. Процесот на осцилација на пружинско нишало
За да се опишат вибрациите (листови и уши од воздух; воздух во
цевки за оргули и цевки за музички ветер
алатки); за пресметување на вибрации (тела на возилото,
монтирани на пружини; темели на згради и машини),
Ајде да воведеме модел на реални осцилаторни системи - пролет
нишало.

Размислете за осцилациите на количка со маса m прикачена на
вертикален ѕид со пружина на вкочанетост к.

Ќе претпоставиме дека:
1) силата на триење што делува на количката е многу мала,
па можете да го игнорирате. Во овој случај, флуктуации
пролетното нишало ќе биде незадушено;
2) деформација на пружината при осцилации на телото
се незначителни, затоа може да се сметаат за еластични и
примени го Хуковиот закон:

Да ги разгледаме осцилациите на пружинското нишало подетално.
Кога количката се оддалечува од својата рамнотежна положба за
растојанието А од десната страна, пружината се протега и
количката е подложена на максимална еластична сила Fnp = kA.
Тогаш количката почнува да се движи налево со забрзување, што
се менува: издолжувањето на пружината се намалува и еластичната сила
(и забрзувањето) исто така се намалуваат. После четвртина период
количката ќе се врати во својата рамнотежна положба. Во овој момент моќта
еластичноста и забрзувањето се нула, а брзината достигнува
максимална вредност.
По инерција, количката ќе продолжи да се движи и ќе се појави сила
се зголемува еластичноста. Таа ќе почне да успорува
блок и на растојание А од положбата на рамнотежа количката е вклучена
моментот ќе престане. Од моментот кога почнаа вибрациите
половина период.
Во следната половина од периодот движењето на количката ќе биде точно
вака, само во спротивна насока.
Потребно е да се сврти вниманието на учениците на фактот дека, според
Хуковиот закон, еластичната сила е насочена против издолжување
пружини: еластичната сила ја „турна“ количката во положба
рамнотежа.
Следствено, слободни осцилации на пролетното нишало
поради следните причини:
1) дејство на еластична сила врз телото, секогаш насочена кон
страна на положбата на рамнотежа;
2) инерцијата на осцилирачкото тело, поради што не
застанува во рамнотежна положба и продолжува
се движи во иста насока.
2. Период на осцилација на пружинско нишало
Првиот карактеристичен знак на осцилации на пролетното нишало
може да се инсталира со постепено зголемување на масата на суспендираните
до пружините на тежината. Виси различни тегови од пролетта
маса, забележуваме дека со зголемување на масата има тежок период
вибрациите на оптоварувањето се зголемуваат. На пример, поради
голема тежина се зголеми 4 пати период на осцилација
двојки:

Вториот карактеристичен знак може да се утврди со промена
извори. По извршувањето на низа мерења, лесно е да се открие тоа
товарот осцилира побрзо на крута пружина и побавно -
на меко, тоа е:
Третата карактеристика на пролетното нишало е тоа
дека периодот на неговите осцилации не зависи од забрзувањето на слободните
паѓа. Ова е лесно да се потврди со користење на методот
„зголемена гравитација“ поради силен магнет,
кој се става под оптоварување кое осцилира.
Така,
периодот на осцилација на пружинско нишало не зависи од

Знаејќи го периодот на осцилација, лесно е да се пресмета фреквенцијата и
фреквенција на циклични осцилации:
3. Равенка на хармониски вибрации
Ајде да ги разгледаме вибрациите на количката од гледна точка на динамиката. На
за време на движењето на количката дејствуваат три сили: силата на реакција
поддржува
, гравитацијата m и силата на еластичност итн. Да напишеме
равенка на вториот Њутнов закон во векторска форма:
Ајде да ја проектираме оваа равенка на хоризонталата и
вертикална оска:
Според законот на Хук:

Така имаме:
Оваа равенка се нарекува равенка на слободни вибрации
пролетно нишало.
Да означиме: ω2 = k/m. Тогаш равенката на движење на товарот ќе биде
имаат форма: секира = -ω2x. Се нарекуваат равенки од овој тип
диференцијални равенки.
Решението за ова
равенката е функцијата x = Acosωt.
4. Математичко нишало
За да се пресмета периодот на осцилација на тегот што виси на конец,
потребно е малку да се „идеализира“ проблемот. Прво,
ќе претпоставиме дека димензиите на товарот се многу помали од должината на конецот,
а конецот е нерастежлив и бестежински. Второ, ќе разгледаме
Аголот на отклонување на нишалото е прилично мал (не повеќе од 10-15 °).

точка.
Да ги разгледаме осцилациите на математичкото нишало. За ова
земете мала, но прилично тешка, топка и
Ајде да го закачиме на долг конец кој не се растегнува.
Со оглед на осцилациите на математичкото нишало, ние
доаѓаме до заклучок дека причините кои определуваат
слободни вибрации, исто како и во случај на пружина
нишало (види Сл. a-d):

1) дејството на силите на топката, чиј резултат е секогаш
насочени кон положбата на рамнотежа;
2) инерцијата на осцилирачката топка, поради што таа
не застанува во положбата на рамнотежа.
5. Период на осцилација на математичко нишало
Да докажеме
хармонични вибрации.
Да ја напишеме равенката на вториот Њутнов закон во проекција на оската
OX (види слика):

Што прави математичкото нишало?

Tx + mgx = макс.
Бидејќи Tx = 0, тогаш mgx = -mgsin и ја добиваме равенката:
-mgsin = макс, или -gsin = секира.
Вредноста на гревот може да се пресмета од триаголникот OAS - тоа
еднаков на односот на ногата ОА и хипотенузата ОС. Ако аглите
мал, OS ≈ l, каде што l е должината на конецот и OA ≈ x, каде што x е отстапувањето
топката од својата рамнотежна положба. Затоа грев = x/l.
Конечно добиваме:

Означувајќи ω2 = g/l, имаме равенки за слободни осцилации
математичко нишало:
Циклична фреквенција на осцилација на математичко нишало:
Користејќи ја релацијата T = 2 /ω, ја наоѓаме формулата
за периодот на осцилација на математичко нишало:

нишало.
Познато е дека во различни делови на земјината топка забрзувањето
слободен пад разно. Не зависи само од формата
Земјата, но и од присуството во нејзините длабочини на тешки (метали) или
лесни (гас, нафта) супстанции. И затоа периодот
Нишалото ќе осцилира различно во различни точки. Ова
имотот се користи, особено, при пребарување на депозити
минерални.

Прашање за ученици при презентирање на нов материјал
1. Како ќе се промени периодот на осцилација на пружинско нишало?
поради промени во товарната маса? пружина вкочанетост?
2. Како ќе се промени периодот на осцилација на пружинско нишало ако
да ставиш магнет под него?

зголемување на амплитудата на осцилациите.
4. Под кои услови осцилира математичкото нишало?
може да се смета за хармоничен?

5. Зошто топката осцилира на долга врвка?
запира во моментот на поминување на позицијата
биланс?
6. Како ќе се промени периодот на осцилација на математичко нишало,
што ако масата на товарот се зголеми? намалување?

ИЗГРАДБА НА НАУЧЕН МАТЕРИЈАЛ
1). Тренираме да решаваме проблеми
1. Оптоварување суспендирано на пружина, кое е во рамнотежа,
ја растегнува пружината за 10 см Дали овие податоци се доволни?
да се пресмета периодот на осцилација на оптоварување на пружина?
2. Кога товарот бил суспендиран од пружината, тој се протегал за 20 см.
Тежината беше симната и пуштена. Колку изнесува периодот Т на осцилациите?
што се појави?
3. Челична топка висната од пружина прави
вертикални вибрации. Како ќе се промени периодот на осцилација?
Што ако закачите бакарна топка со ист радиус од пружина?
4. Пресметајте ја вкочанетоста на пружината ако е суспендирана од неа
маса од 700 g претрпува 18 осцилации за 21 секунда.
5. Колкав е односот на должините на две математички нишала,
ако еден од нив изврши 31 осцилација, а вториот за точно
таков временски период - 20 осцилации?
2). Контролни прашања
1. Наведете ги причините за осцилациите на пружинското нишало.
2. Можете да користите пружинско нишало за пресметување
забрзување на слободниот пад?
3. Како ќе се промени периодот на осцилација на пружинско нишало ако
зголемете ја масата на товарот за 4 пати и во исто време зголемете ја за 4
пати повеќе од вкочанетоста на пролетта?
4. Наведете ги главните својства на математичкото нишало. Каде
се користат?
5. Што имаат заедничко пролетното и математичкото нишало?

Што научивме на час?
Пружинското нишало е осцилаторен систем
што е тело закачено за пружина.
Периодот на осцилација на пролетното нишало не зависи од
забрзување на слободниот пад и колку помалку, толку помалку
маса на оптоварување и поцврста пружина:
Фреквенција и циклична фреквенција на осцилациите на пружината
нишало:
Равенка на слободни осцилации на пружинско нишало:
Математичкото нишало е идеализирано
осцилаторен систем без триење кој се состои од бестежински и
нерастегнувачка нишка на која се виси материјалот
точка.
Периодот на слободни осцилации на математичкото нишало не е
зависи од неговата маса, а се определува само со должината на конецот и
забрзување на гравитацијата на местото каде што се наоѓа
нишало:
Равенка на слободни осцилации на математичко нишало:

Домашна работа