Приближувањето на експерименталните податоци е метод заснован на замена на експериментално добиените податоци со аналитичка функција која најтесно поминува или се совпаѓа во нодалните точки со оригиналните вредности (податоци добиени за време на експеримент или експеримент). Во моментов, постојат два начини да се дефинира аналитичка функција:
Со конструирање на n-степен интерполациски полином кој поминува директно низ сите точкидадена податочна низа. Во овој случај, функцијата за приближување е претставена во форма на: интерполациски полином во Лагранжова форма или интерполациски полином во Њутнова форма.
Со изградба на n-степен приближен полином кој поминува во непосредна близина на точкиод дадена податочна низа. Така, приближната функција ги измазнува сите случаен шум (или грешки) што може да се појават за време на експериментот: измерените вредности за време на експериментот зависат од случајни фактори кои флуктуираат според нивните сопствени случајни закони (грешки во мерењето или инструментот, неточност или експериментален грешки). Во овој случај, функцијата за приближување се одредува со методот на најмали квадрати.
Метод на најмал квадрат(во англиската литература Ordinary Least Squares, OLS) е математичка метода заснована на определување на приближна функција која е конструирана во најблиска близина до точките од дадена низа на експериментални податоци. Блискоста на првобитната и приближната функција F(x) се одредува со нумеричка мерка, имено: збирот на квадратните отстапувања на експерименталните податоци од приближната крива F(x) треба да биде најмал.
Приближна крива конструирана со метод на најмали квадрати
Се користи методот на најмали квадрати:
Да решава преуредени системи на равенки кога бројот на равенки го надминува бројот на непознати;
Да се најде решение во случај на обични (не преуредени) нелинеарни системи на равенки;
За приближување на вредностите на точките со некоја приближна функција.
Функцијата за приближување со користење на методот на најмали квадрати се одредува од условот на минималниот збир на квадратни отстапувања на пресметаната апроксимативна функција од дадена низа на експериментални податоци. Овој критериум за методот на најмали квадрати е напишан како следниов израз:
Вредностите на пресметаната апроксимативна функција во нодалните точки,
Дадена низа на експериментални податоци на нодални точки.
Квадратниот критериум има голем број на „добри“ својства, како што е диференцијабилноста, обезбедувајќи единствено решение за проблемот на приближување со полиномни апроксимативни функции.
Во зависност од условите на проблемот, апроксимативната функција е полином со степен m
Степенот на приближната функција не зависи од бројот на нодални точки, но нејзината димензија секогаш мора да биде помала од димензијата (бројот на точки) на дадена експериментална низа на податоци.
∙ Ако степенот на приближната функција е m=1, тогаш табеларната функција ја приближуваме со права линија (линеарна регресија).
∙ Ако степенот на приближната функција е m=2, тогаш функцијата табела ја приближуваме со квадратна парабола (квадратна апроксимација).
∙ Ако степенот на приближната функција е m=3, тогаш функцијата на табелата ја приближуваме со кубна парабола (кубна апроксимација).
Во општиот случај, кога е неопходно да се конструира приближен полином од степен m за дадени вредности на табелата, условот за минимум од збирот на квадратни отстапувања над сите нодални точки се препишува во следнава форма:
- непознати коефициенти на приближниот полином со степен m;
Бројот на наведените вредности на табелата.
Неопходен услов за постоење на минимум функција е еднаквоста на нула од нејзините парцијални изводи во однос на непознати променливи . Како резултат, го добиваме следниот систем на равенки:
Да го трансформираме добиениот линеарен систем на равенки: отворете ги заградите и преместете ги слободните членови на десната страна од изразот. Како резултат на тоа, добиениот систем на линеарни алгебарски изрази ќе биде напишан во следнава форма:
Овој систем на линеарни алгебарски изрази може да се преработи во форма на матрица:
Како резултат на тоа, добиен е систем на линеарни равенки со димензија m+1, кој се состои од m+1 непознати. Овој систем може да се реши со кој било метод за решавање на линеарни алгебарски равенки (на пример, Гаусовиот метод). Како резултат на решението, ќе се најдат непознати параметри на апроксимативната функција кои обезбедуваат минимален збир на квадратни отстапувања на приближната функција од оригиналните податоци, т.е. најдобро можно квадратно приближување. Треба да се запомни дека ако се промени дури и една вредност на изворните податоци, сите коефициенти ќе ги променат своите вредности, бидејќи тие се целосно определени од изворните податоци.
Приближување на изворните податоци со линеарна зависност
(линеарна регресија)
Како пример, да ја разгледаме техниката за одредување на приближна функција, која е наведена во форма на линеарна зависност. Во согласност со методот на најмали квадрати, условот за минимум од збирот на квадрат отстапувања е запишан во следнава форма:
Координати на јазли на табелата;
Непознати коефициенти на приближната функција, која е одредена како линеарна зависност.
Неопходен услов за постоење на минимум функција е еднаквоста на нула од нејзините парцијални изводи во однос на непознати променливи. Како резултат, го добиваме следниот систем на равенки:
Дозволете ни да го трансформираме добиениот линеарен систем на равенки.
Го решаваме добиениот систем на линеарни равенки. Коефициентите на приближната функција во аналитичка форма се одредуваат на следниов начин (метод на Крамер):
Овие коефициенти обезбедуваат изградба на линеарна апроксимативна функција во согласност со критериумот за минимизирање на збирот на квадрати на приближната функција од дадените табеларни вредности (експериментални податоци).
Алгоритам за имплементација на методот на најмали квадрати
1. Првични податоци:
Наведена е низа од експериментални податоци со бројот на мерења N
Наведен е степенот на приближниот полином (m).
2. Алгоритам за пресметка:
2.1. Коефициентите се одредуваат за конструирање на систем од равенки со димензии
Коефициенти на системот на равенки (левата страна на равенката)
- индекс на бројот на колоната на квадратната матрица на системот на равенки
Слободни членови на систем од линеарни равенки (десната страна на равенката)
- индекс на бројот на редот на квадратната матрица на системот на равенки
2.2. Формирање на систем на линеарни равенки со димензија .
2.3. Решавање на систем од линеарни равенки за одредување на непознатите коефициенти на приближен полином со степен m.
2.4.Одредување на збирот на квадратни отстапувања на приближниот полином од оригиналните вредности во сите нодални точки
Пронајдената вредност на збирот на квадратни отстапувања е минималната можна.
Приближување со користење на други функции
Треба да се забележи дека при приближување на оригиналните податоци во согласност со методот на најмали квадрати, логаритамската функција, експоненцијалната функција и функцијата на моќност понекогаш се користат како апроксимативна функција.
Логаритамска апроксимација
Да го разгледаме случајот кога приближната функција е дадена со логаритамска функција на формата:
Како и претходните, оваа лекција со сличен текст најдобро се гледа на лист на Excel (види Approximation lessons.xls, Sheet1)
Приближувањето во Excel најлесно се постигнува со помош на програма во тренд. За да ги разјасниме карактеристиките на приближување, да земеме конкретен пример. На пример, енталпијата на заситената пареа според книгата на С.Л. Во колоната P ќе ги поставиме вредностите на притисокот во kgf/cm2, во колоната i" - енталпијата на пареата на линијата за заситување во kcal/kg и ќе изградиме график користејќи ја опцијата или копчето „Chart Wizard“.
Ајде да кликнете со десното копче на линијата на сликата, потоа со лево кликнување на опцијата „Додај тренд линија“ и да видиме какви услуги ни се нудат од оваа опција во смисла на имплементација на апроксимација во Excel.
Ни се нуди избор од пет типа на приближување: линеарно, моќно, логаритамско, експоненцијално и полиномно. За што се добри и како можат да ни помогнат? - Притиснете го копчето F1, потоа кликнете на опцијата „Волшебник за одговори“ и внесете го зборот „приближување“ што ни треба во прозорецот што се појавува, а потоа кликнете на копчето „Најди“. Во списокот што се појавува, изберете го делот „Формули за конструирање тренд линии“.
Ги добиваме следните информации малку изменети од нас
уредници:
Линеарно:
каде b е аголот на наклон и a е координата на пресекот на оската на апсцисата (слободен член).
Моќност:
Се користи за приспособување на податоци користејќи метод на најмали квадрати според равенката:
каде што c и b се константи.
Логаритамски:
Се користи за приспособување на податоци користејќи метод на најмали квадрати според равенката:
каде што a и b се константи.
Експоненцијално:
Се користи за приспособување на податоци користејќи метод на најмали квадрати според равенката:
каде b и k се константи.
Полином:
Се користи за приспособување на податоци користејќи метод на најмали квадрати според равенката:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
каде што a, b1, b2, b3,... b6 се константи.
Кликнете на линијата за цртање повторно, потоа на опцијата „Додај линија на тренд“, потоа на опцијата „Параметри“ и штиклирајте ги полињата во полињата лево од записите: „покажи ја равенката на дијаграмот“ и „поставете ја приближна вредност на довербата R^2 на дијаграмот, потоа кликнете на копчето ОК и пробајте ги сите опции за приближување по ред.
Линеарното приближување ни дава R^2=0,9291 - ова е мала доверливост и лош резултат.
За да се префрлите на приближување на законот за моќ, кликнете со десното копче на линијата на трендот, потоа кликнете со левото копче на опцијата „Формат на линијата за тренд“, потоа кликнете на опциите „Тип“ и „Моќност“. Овој пат добивме R^2=0,999.
Ајде да ја напишеме равенката на линијата на трендот во форма погодна за пресметки на лист на Excel:
y=634,16*x^0,012
Како резултат имаме:
Максималната грешка при приближување беше откриена дека е 0,23 kcal/kg. За приближување на експериментални податоци ова би бил прекрасен резултат, но за приближување на табела за пребарување тоа не е многу добар резултат. Затоа, да се обидеме да провериме други опции за приближување во Excel користејќи програма за градење трендови.
Логаритмичката апроксимација ни дава R^2=0,9907 - нешто полошо од верзијата на моќност. Експоненцијалот во верзијата што ја нуди програмата за градење трендови воопшто не одговараше - R^2=0,927.
Полиномско приближување со степен 2 (ова е y=a+b1*x+b2*x^2) дадено R^2=0,9896. На степен 3, добивме R^2=0,999, но со јасно искривување на приближната крива, особено при P>0,07 kgf/cm2. Конечно, петтата моќност ни дава R^2=1 - се вели дека ова е најблиската врска помеѓу оригиналните податоци и нивната апроксимација.
Ајде да ја преработиме полиномната равенка во форма погодна за пресметки на лист Excel:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020,8*x+592,44
и споредете го приближниот резултат со оригиналната табела:
Се покажа дека R^2=1 во овој случај е само брилијантна лага. Всушност, најдобриот резултат од приближување на полином е даден со најпростиот полином од формата y=a+b1*x+b2*x^2. Но, неговиот резултат е полош отколку во верзијата за приближување на законот за моќност y=634,16*x^0,012, каде што максималната грешка при приближување беше на ниво од 0,23 kcal/kg. Тоа е сè што можеме да добиеме од програмата во тренд. Ајде да видиме што можеме да исцедиме од функцијата Линеарна. За него, ќе се обидеме со опцијата за приближување на законот за моќ.
Забелешка. Откриениот дефект е поврзан со работата на програмата во тренд, но не и со методот на најмали квадрати.
6.7.3. Технологија за решавање проблеми на апроксимација на функции со помош на математички пакети
6.7.3.1. Технологија за решавање на проблеми со приближување со помош на MathCad
6.7.3.2. Технологија за решавање на проблеми со апроксимација на функции во околината на MatLab
6.7.4. Тест задачи на тема „Приближување на функции“
Изјава за проблемот на приближување
Задачата за приближување на функцијата е да се замени некоја функција y=f(x) со друга функција g(x, a 0, a 1, ..., a n) така што отстапувањето
g(x, a0, a1, ..., an) од f(x) задоволил одреден услов во одреден регион (на множеството X). Ако множеството X е дискретно (се состои од поединечни точки), тогаш приближувањето се нарекува точкастично, но ако X е отсечка, тогаш приближувањето се нарекува интегрално.
Ако функцијата f(x) е дадена во табела, тогаш приближната функција
g(x, a 0, a 1, ..., a n) мора да задоволува одреден критериум за кореспонденција на неговите вредности со табеларни податоци.
Изборот на емпириски формули се состои од две фази - избор на типот на формулата и одредување на коефициентите содржани во неа.
Ако типот на приближна зависност е непознат, тогаш еден од познатите типови на функции обично се избира како емпириска формула: алгебарски полином, експоненцијална, логаритамска или друга функција, во зависност од својствата на функцијата што се приближува. Бидејќи приближната функција добиена емпириски, по правило, е предмет на трансформации во следните студии, тие се обидуваат да ја изберат наједноставната формула што ги исполнува барањата за точност. Често, зависноста опишана со алгебарски полином од низок ред се избира како емпириска формула.
Најчестиот начин за избор на функција во форма на полином е:
каде φ(x,a 0 ,a 1,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), и
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – основни функции (m-степен на приближниот полином).
Една од можните основи е моќ-закон: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
Обично степенот на приближниот полином m<
e i = φ(x i, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
Методите за одредување на коефициентите на избраната емпириска функција се разликуваат во критериумот за минимизирање на отстапувањата.
Метод на најмал квадрат
Еден од начините за одредување на параметрите на емпириската формула е методот на најмали квадрати. Во овој метод, параметрите a 0, a 1, ..., a n се одредуваат од условот на минималниот збир на квадратни отстапувања на приближната функција од табеларните податоци.
Векторот на коефициентите a T се одредува од условот за минимизирање
каде што (n+1) е бројот на нодални точки.
Условот за минимумот на функцијата Е доведува до систем на линеарни равенки за параметрите a 0, a 1, ..., a m. Овој систем се нарекува систем на нормални равенки, неговата матрица е Грам матрица. Елементи Грам матрицисе збирови на скаларните производи на основните функции
За да се добијат потребните вредности на параметрите, треба да се состави и реши систем од (m+1) равенки
Како приближна функција нека биде избрана линеарната зависност y= a 0 +a 1 x. Потоа
Минимални услови:
Тогаш првата равенка ја има формата
Отворајќи ги заградите и делејќи со константен коефициент, добиваме
.
Првата равенка ја има следната конечна форма:
.
За да ја добиеме втората равенка, го изедначуваме делумниот извод во однос на a1 до нула:
.
.
Систем од линеарни равенки за наоѓање коефициенти на полином 
(линеарно приближување):
Да ја воведеме следната нотација 
- просечни вредности на првичните податоци. Во воведената нотација решенијата на системот се
.
Во случај на користење на методот на најмали квадрати за одредување на коефициентите на приближниот полином од вториот степен y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2, критериумот за минимизирање има форма
.
Од состојбата 
го добиваме следниот систем на равенки:
Решавањето на овој систем на равенки за 0, a 1, a 2 ни овозможува да ги најдеме коефициентите на емпириската формула 
- приближен полином од 2 ред. Може да се користат нумерички методи за решавање на систем од линеарни равенки.
Во случај на основа на моќност (степенот на приближниот полином е еднаков на m), Грам матрицата на системот на нормални равенки G и колоната од десните страни на системот на нормални равенки имаат форма
Г = 
Во форма на матрица, системот на нормални равенки ќе ја има формата:
Решавање на систем на нормални равенки
се наоѓа од изразот
Како мерка за отстапување на дадените вредности на функцијата y 0, y 1, ..., y n од полином со степен m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m(x),
прифатена вредност
(n+1)– број на јазли, m – степен на приближниот полином, n+1>=m.
Слика 6.7.2-1 покажува зголемен дијаграм на алгоритам на методот на најмали квадрати.
Ориз. 6.7.2-1. Зголемен дијаграм на алгоритам на методот на најмали квадрати
Овој дијаграм на алгоритамот на методот на најмали квадрати е зголемен и ги рефлектира главните процеси на методот, каде што n+1 е бројот на точки во кои се познати вредностите х i, y i; i=0,1,…, n .
Блокот за пресметување коефициенти вклучува пресметување коефициенти за непознати c 0, c 1, ..., c m и слободни членови на систем од m+1 линеарни равенки.
Следниот блок - блокот за решавање систем на равенки - вклучува пресметување на коефициентите на приближната функција со 0, со 1, ..., со m.
Пример 6.7.2-1. Поставете ги следните податоци во полином од степен два користејќи го методот на најмали квадрати.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| y | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
Дозволете ни да ги напишеме елементите на Грам матрицата и колоната со слободни членови во следната табела:
| јас | x | x 2 | x 3 | x 4 | y | xy | x 2 год |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Системот на нормални равенки изгледа вака
Решението за овој систем е:
a0 = 5,022; a1 = -4,014; a2=1,002.
Потребната апроксимативна функција
Ајде да ги споредиме почетните вредности на y со вредностите на приближниот полином пресметан во истите точки:
Да ја пресметаме стандардната девијација (остаток)
.
Пример 6.7.3-1. Добијте приближни полиноми од првиот и вториот степен користејќи го методот на најмали квадрати за функцијата наведена во табела.
 |
Пример 6.7.3-2. Приближете ја функцијата одредена во табелата со полином од 1, 2 и 3 степени.
Овој пример ја разгледува употребата на функцијата linfit(x,y,f), каде што x,y се векторите на вредностите и функциите на аргументите, соодветно, а f е симболичен вектор на основните функции. Користењето на оваа функција ви овозможува да го одредите векторот на коефициентите на апроксимација користејќи го методот на најмали квадрати, а потоа несовпаѓањето - грешката корен-средна квадратура во приближувањето на почетните точки до приближната функција (сko). Степенот на приближниот полином се одредува кога се опишува симболичкиот вектор f. Примерот покажува приближување на функција наведена во табела со полином од 1, 2 и 3 степени. Векторот s е збир од приближни коефициенти, што овозможува да се добие приближната функција во експлицитна форма.
 |
ВО MathcadИсто така, постојат голем број на вградени функции дизајнирани да се добие аналитички израз на функцијата за регресија. Меѓутоа, во овој случај потребно е да се знае формата на аналитичкиот израз. Подолу се вградени функции кои се разликуваат по типот на регресија, овозможувајќи (со дадени првични приближувања) да се одреди аналитичката зависност на функцијата, односно да се врати збир од приближни коефициенти:
expfit(X,Y,g) Решение на ODE од втор ред од формата y”=F(x, y, z), каде z=y’ може да се добие и со методот Runge-Kutta од 4-ти ред. Подолу се формулите за решавање на ODE:
Во овие функции: x е вектор на аргументи, чии елементи се подредени во растечки редослед; y – вектор на вредности на функции; g – вектор на почетни апроксимации на коефициентите a, b и c; t - вредноста на аргументот со кој е дефинирана функцијата.
Во примерите подолу, коефициентот на корелација corr() се пресметува за да се оцени односот помеѓу множества на податоци и вредностите на приближната функција. Ако табеларните податоци се добро приближени со некој тип на регресија, тогаш коефициентот на корелација е блиску до еден. Колку е помал коефициентот, толку е полоша врската помеѓу вредностите на овие функции.
Пример 6.7.3-3. Најдете приближни полиноми од првиот, вториот, третиот и четвртиот степен и пресметајте ги коефициентите на корелација.
   |
Покрај пресметувањето на вредностите на функциите во интервал на податоци, сите претходно дискутирани функции можат да ги извршуваат екстраполација(предвидување на однесувањето на функцијата надвор од интервалот на дадените точки) со користење на зависност базирана на анализа на локацијата на неколку почетни точки на границата на податочниот интервал. ВО Mathcadпостои и посебен функцијапредвидувањата предвидуваат (Y, m, n), каде што Y е вектор на дадени вредности на функцијата, нужно земени во еднакви интервали на аргументи, а m е бројот на последователни Y вредности, врз основа на кои функцијата за предвидување враќа n Y вредности.
Не се потребни вредности на аргументи за податоците, бидејќи по дефиниција функцијата работи на податоци кои се следат еден по друг во истиот чекор. Функцијата користи линеарен алгоритам за предвидување, кој е точен кога екстраполираната функција е мазна. Функцијата може да биде корисна кога треба да ги екстраполирате податоците на кратки растојанија. Далеку од оригиналните податоци, резултатот најчесто е незадоволителен.
Пример 6.7.3-4. Приближи ја функцијата дадена во табелата со полином користејќи го методот на најмали квадрати.
Овој пример ја разгледува употребата на функцијата p=polyfit(x,y,n), каде што x,y се векторите на вредностите на аргументот и функцијата, соодветно, n е редот на приближниот полином, а p е добиениот вектор на коефициенти на приближниот полином со должина n+1.
>>x=; >> x x = 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000 >> y=[-1,15,-0,506,0,236,0,88,1,256]; >> y y = -1,1500 -0,5060 0,2360 0,8800 1,2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3,0990 -4,8152 >> y1=polyval(p1,x); >> y1 y1 = -1,0964 -0,4766 0,1432 0,7630 1,3828 >> cko1=sqrt(1/5*сума((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0,0918 >> заплет (x,y,"ko",x,y1,"r-")  >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1,1321 6,7219 -7,6229 >> y2=поливал(p2,x); >> y2 y2 = -1,1870 -0,4313 0,2338 0,8083 1,2922 >> cko2=sqrt(1/5*сума((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0,0518 >> заплет (x,y,"ko",x,y2,"r-")  |
Пример 6.7.3-5. Приближи ја функцијата дадена во табелата со полином користејќи го методот на најмали квадрати.
 |
Пример 6.7.3-5. Приближете ја функцијата дадена во табела со полиноми од различни степени користејќи најмали квадрати.
6.7.4. Тест задачи на темата
„Приближување на функцијата“
Приближување е
1) добивање на функција од поедноставна форма која со доволен степен на точност ја опишува оригиналната
2) посебен случај на интерполација
3) заменувајќи ја оригиналната функција со функција од различен тип
4) нема точен одговор во списокот
Тема 6.7. Апроксимација на функцијата
6.7.1. Изјава за проблемот на приближување
6.7.2. Метод на најмал квадрат
Нека y е функција од аргументот x. Ова значи дека секоја вредност x од доменот на дефиниција е поврзана со вредност x. Во пракса, понекогаш е невозможно експлицитно да се запише зависноста y(x). Во исто време, оваа зависност често се дава во табеларна форма. Ова значи дека дискретно збир на вредности (xi) е поврзано со збир на вредности (yi), 0< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
Често е потребно да се најде некоја аналитичка функција која приближно опишува одредена зависност од табелата. Покрај тоа, понекогаш е неопходно да се одредат вредностите на функцијата во други точки освен јазли. Оваа цел ја опслужува проблемот со приближување ( приближувања). Во овој случај, најдете некоја функција f(x) таква што нејзиното отстапување од дадената табела функција е минимално. Функцијата f(x) се нарекува приближна.
Вид на приближна функција
значително зависи од оригиналната функција на табелата. Во различни случаи, функцијата f(x) се избира во форма на експоненцијална, логаритамска, моќност, синусоидална итн. Во секој конкретен случај, соодветните параметри се избираат на таков начин што ќе се постигне максимална близина помеѓу апроксимативните и табеларните функции. Меѓутоа, најчесто функцијата е претставена како полином во моќи од x. Да ја запишеме општата форма на полиномот од n-ти степен:
Коефициентите aj се избираат така што да се постигне најмало отстапување на полиномот од дадената функција.
Така, приближување е замена на една функција со друга, блиску до првата и сосема едноставно пресметана.
Математичкиот модел на зависност на една големина од друга е концептот на функцијата y=f(x). Приближувањесе нарекува добивање на одредена функција која приближно опишува некаква функционална зависност f (x),специфицирано со табела со вредности или наведено во форма која не е погодна за пресметки. Во овој случај, оваа функција е избрана така што е што е можно попогодна за последователни пресметки. Основен пристапрешение за овој проблем е дека функцијата fi (x)се избира во зависност од неколку слободни параметри c1, c2, ..., cn,чии вредности се избрани од некоја состојба на близина f(x)и фи (x). Оправдување на методите за пронаоѓање на успешен тип на функционална зависност и избор на параметри е задачата теорија на апроксимација на функции. Во зависност од начинот на избор на параметри, различни методи на приближување, меѓу кои најраспространети се интерполацијаИ Апроксимација на средната вредност на коренот. Наједноставниот е линеарна апроксимација, во која се избира функција линеарно зависна од параметрите, односно во форма на генерализиран полином: . Интерполациски полином наречен алгебарски полином со степен n-1, што се совпаѓа со приближната функција во nизбрани точки. Грешка при приближувањефункции f(x)интерполациски полином на степен n-1, изградена според nпоени, може да се процени ако неговиот дериват на редот n.Суштината Апроксимација на средната вредност на кореноте тоа што параметрите на функцијата се избрани како да се обезбеди минимално квадратно растојание помеѓу функциите f(x) ифи(x, в). Метод на најмал квадрате посебен случај на приближување на средниот квадрат. Кога се користи методот на најмали квадрати, тој е сличен на проблемот со интерполација во опсегот на вредности x, што претставува одреден интервал [ а, б], каде се функциите f(x)и фи (x)мора да биде блиску, изберете систем од различни точки (јазли) x1, ..., x m, чиј број е поголем од бројот на потребните параметри. Следно, тие бараат збирот на квадратни остатоци во сите јазли да биде минимален.
Општа интерполација
Треба да се забележи дека, поради нивната незгодна природа, полиномите Њутн и Лагранж се инфериорни во пресметковната ефикасност во однос на општиот полином. Затоа, кога е неопходно да се извршат повеќе пресметки на полином изграден од една табела, се покажува поволно прво да се најдат коефициентите c еднаш. Коефициентите се наоѓаат со директно решавање на системот c, а потоа неговите вредности се пресметуваат со помош на алгоритмот Хорнер. Недостаток на овој тип на приближување е потребата да се реши систем на линеарни алгебарски равенки.
Лагранж интерполационен полином
Лагранж предложил свој облик на пишување на општ интерполациски алгебарски полином во форма која не бара решавање на систем од линеарни алгебарски равенки. Треба да се забележи дека, поради нивната незгодна природа, полиномите Њутн и Лагранж се инфериорни во пресметковната ефикасност во однос на општиот полином.
Њутнов интерполациски полином
Њутн предложил форма на пишување општ интерполациски алгебарски полином во форма која не бара решавање на систем од линеарни алгебарски равенки. Треба да се забележи дека, поради нивната гломазна природа, полиномите на Њутн и Лагранж се инфериорни во пресметковната ефикасност во однос на општиот полином.