Ја воведовме равенката погоре во § 7. Прво, да се потсетиме што е рационален израз. Ова е алгебарски израз составен од броеви и променливата x со помош на операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со природен експонент.
Ако r(x) е рационален израз, тогаш равенката r(x) = 0 се нарекува рационална равенка.
Меѓутоа, во пракса е попогодно да се користи малку пошироко толкување на терминот „рационална равенка“: ова е равенка од формата h(x) = q(x), каде што h(x) и q(x) се рационални изрази.
Досега не можевме да решиме ниту една рационална равенка, туку само една која како резултат на разни трансформации и расудувања се сведе на линеарна равенка. Сега нашите можности се многу поголеми: ќе можеме да решиме рационална равенка што се сведува не само на линеарна
mu, но и на квадратната равенка.
Да се потсетиме како претходно ги решававме рационалните равенки и да се обидеме да формулираме алгоритам за решение.
Пример 1.Решете ја равенката
Решение. Ајде да ја преработиме равенката во форма
Во овој случај, како и обично, го користиме фактот што еднаквостите A = B и A - B = 0 ја изразуваат истата врска помеѓу A и B. Ова ни овозможи да го преместиме терминот на левата страна од равенката со спротивен знак.
Ајде да ја трансформираме левата страна на равенката. Ние имаме
Да се потсетиме на условите на еднаквост дропкинула: ако и само ако две релации се истовремено задоволени:
1) броителот на дропката е нула (a = 0); 2) именителот на дропката е различен од нула).
Изедначувајќи го броителот на дропот од левата страна на равенката (1) на нула, добиваме
Останува да се провери исполнувањето на вториот услов наведен погоре. Релацијата значи за равенката (1) дека . Вредностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 ги задоволуваат наведените односи и затоа служат како корени на равенката (1), а во исто време и корени на дадената равенка.
1) Ајде да ја трансформираме равенката во форма
2) Да ја трансформираме левата страна на оваа равенка:
(истовремено ги смени знаците во броителот и
дропки).
Така, дадената равенка добива форма
3) Решете ја равенката x 2 - 6x + 8 = 0. Најдете
4) За пронајдените вредности проверете го исполнувањето на условот 
. Бројот 4 го задоволува овој услов, но бројот 2 не. Ова значи дека 4 е коренот на дадената равенка, а 2 е необичен корен.
ОДГОВОР: 4.
2. Решавање на рационални равенки со воведување нова променлива
Начинот на воведување нова променлива ви е познат, ние сме го користеле повеќе од еднаш. Да покажеме со примери како се користи при решавање на рационални равенки.
Пример 3.Решете ја равенката x 4 + x 2 - 20 = 0.
Решение. Да воведеме нова променлива y = x 2 . Бидејќи x 4 = (x 2) 2 = y 2, тогаш дадената равенка може да се препише како
y 2 + y - 20 = 0.
Ова е квадратна равенка, чии корени може да се најдат со користење на познати формули; добиваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но, y = x 2, што значи дека проблемот е сведена на решавање на две равенки:
x 2 =4; x 2 = -5.
Од првата равенка откриваме дека втората равенка нема корени.
Одговор:.
Равенката од формата ax 4 + bx 2 +c = 0 се нарекува биквадратна равенка („bi“ е два, т.е. еден вид „двојна квадратна“ равенка). Штотуку решената равенка беше прецизно биквадратична. Секоја биквадратна равенка се решава на ист начин како равенката од Пример 3: воведете нова променлива y = x 2, решете ја добиената квадратна равенка во однос на променливата y, а потоа вратете се на променливата x.
Пример 4.Решете ја равенката
Решение. Забележете дека истиот израз x 2 + 3x се појавува двапати овде. Ова значи дека има смисла да се воведе нова променлива y = x 2 + 3x. Ова ќе ни овозможи да ја преработиме равенката во поедноставна и попријатна форма (што, всушност, е и целта за воведување нова променлива- и поедноставување на снимањето
станува појасна, а структурата на равенката станува појасна):
Сега да го искористиме алгоритмот за решавање на рационална равенка.
1) Да ги преместиме сите поими од равенката во еден дел:
= 0
2) Трансформирајте ја левата страна на равенката
Значи, дадената равенка ја трансформиравме во форма
3) Од равенката - 7y 2 + 29y -4 = 0 наоѓаме (вие и јас веќе решивме доста квадратни равенки, па веројатно не вреди секогаш да даваме детални пресметки во учебникот).
4) Ајде да ги провериме пронајдените корени користејќи го условот 5 (y - 3) (y + 1). Двата корени ја задоволуваат оваа состојба.
Значи, квадратната равенка за новата променлива y е решена: 
Бидејќи y = x 2 + 3x, а y, како што утврдивме, зема две вредности: 4 и , сепак треба да решиме две равенки: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Корените на првата равенка се броевите 1 и - 4, корените на втората равенка се броевите
Во разгледаните примери, методот на воведување нова променлива беше, како што сакаат да кажат математичарите, адекватен на ситуацијата, односно добро соодветствуваше со неа. Зошто? Да, бидејќи истиот израз јасно се појавуваше во равенката неколку пати и имаше причина овој израз да се означи со нова буква. Но, тоа не се случува секогаш; понекогаш нова променлива „се појавува“ само за време на процесот на трансформација. Токму тоа ќе се случи во следниот пример.
Пример 5.Решете ја равенката
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Ние имаме
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.
Тоа значи дека дадената равенка може да се препише во форма
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Сега „се појави“ нова променлива: y = x 2 - 3x.
Со негова помош, равенката може да се препише во форма y (y + 2) = 24 и потоа y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на оваа равенка се броевите 4 и -6.
Враќајќи се на првобитната променлива x, добиваме две равенки x 2 - 3x = 4 и x 2 - 3x = - 6. Од првата равенка наоѓаме x 1 = 4, x 2 = - 1; втората равенка нема корени.
ОДГОВОР: 4, - 1.
Решавање равенки со дропкиАјде да погледнеме примери. Примерите се едноставни и илустративни. Со нивна помош ќе можете да разберете на најразбирлив начин.
На пример, треба да ја решите едноставната равенка x/b + c = d.
Равенката од овој тип се нарекува линеарна, бидејќи Именителот содржи само броеви.
Решението се изведува со множење на двете страни на равенката со b, тогаш равенката добива форма x = b*(d – c), т.е. именителот на дропката од левата страна се откажува.
На пример, како да се реши фракциона равенка:
x/5+4=9
Ги множиме двете страни со 5. Добиваме:
x+20=45
x=45-20=25
Друг пример кога непознатата е во именителот:
Равенките од овој тип се нарекуваат фракционо-рационални или едноставно фракционо.
Дробна равенка би решиле со ослободување од дропки, по што оваа равенка, најчесто, се претвора во линеарна или квадратна равенка, која се решава на вообичаен начин. Треба само да ги земете предвид следниве точки:
- вредноста на променливата што го претвора именителот во 0 не може да биде корен;
- Не можете да поделите или множите равенка со изразот =0.
Тука стапува на сила концептот на регионот на дозволени вредности (ADV) - тоа се вредностите на корените на равенката за кои равенката има смисла.
Така, при решавање на равенката, потребно е да се најдат корените, а потоа да се проверат дали се усогласени со ODZ. Од одговорот се исклучени оние корени кои не одговараат на нашиот ОДЗ.
На пример, треба да решите фракциона равенка:
Врз основа на горенаведеното правило, x не може да биде = 0, т.е. ODZ во овој случај: x – која било вредност различна од нула.
Се ослободуваме од именителот со множење на сите членови од равенката со x
И ја решаваме вообичаената равенка
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Одговор: x = 1/3
Ајде да решиме покомплицирана равенка:
Овде е присутен и ОДЗ: x -2.
Кога ја решаваме оваа равенка, нема да поместиме сè на една страна и да ги доведеме дропките до заеднички именител. Веднаш ќе ги помножиме двете страни на равенката со израз кој ќе ги поништи сите именители одеднаш.
За да ги намалите именителите, треба да ја помножите левата страна со x+2, а десната страна со 2. Тоа значи дека двете страни на равенката мора да се помножат со 2(x+2):
Ова е најчестото множење на дропки, за кое веќе разговаравме погоре.
Да ја напишеме истата равенка, но малку поинаку
Левата страна се намалува за (x+2), а десната за 2. По намалувањето ја добиваме вообичаената линеарна равенка:
x = 4 – 2 = 2, што одговара на нашиот ODZ
Одговор: x = 2.
Решавање равенки со дропкине е толку тешко како што може да изгледа. Во оваа статија го покажавме ова со примери. Доколку имате некакви потешкотии со како да се решаваат равенки со дропки, потоа отпишете се во коментарите.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Презентација и лекција на тема: „Рационални равенки. Алгоритам и примери за решавање рационални равенки“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Прирачник за учебникот од Макаричев Ју.Н. Прирачник за учебникот од Мордкович А.Г.
Вовед во ирационални равенки
Момци, научивме како да решаваме квадратни равенки. Но, математиката не е ограничена само на нив. Денес ќе научиме како да решаваме рационални равенки. Концептот на рационални равенки на многу начини е сличен на концептот на рационални броеви. Само покрај бројките, сега воведовме и некоја променлива $x$. И така добиваме израз во кој се присутни операциите собирање, одземање, множење, делење и подигање до цел број.Нека биде $r(x)$ рационално изразување. Таков израз може да биде едноставен полином во променливата $x$ или однос на полиноми (се воведува операција за делење, како за рационални броеви).
Се повикува равенката $r(x)=0$ рационална равенка.
Секоја равенка од формата $p(x)=q(x)$, каде што $p(x)$ и $q(x)$ се рационални изрази, исто така ќе биде рационална равенка.
Ајде да погледнеме примери за решавање на рационални равенки.
Пример 1.Решете ја равенката: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Решение.
Да ги преместиме сите изрази на левата страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Кога левата страна на равенката би била претставена со обични броеви, тогаш двете дропки би ги намалиле на заеднички именител.
Ајде да го направиме ова: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ја добивме равенката: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Дропката е еднаква на нула ако и само ако броителот на дропката е нула, а именителот не е нула. Потоа одделно го изедначуваме броителот на нула и ги наоѓаме корените на броителот.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега да го провериме именителот на дропката: $(x-3)*x≠0$.
Производот на два броја е еднаков на нула кога барем еден од овие броеви е еднаков на нула. Потоа: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корените добиени во броителот и именителот не се совпаѓаат. Значи во одговорот ги запишуваме двата корени на броителот.
Одговор: $x=1$ или $x=-3$.
Ако одеднаш еден од корените на броителот се совпадне со коренот на именителот, тогаш треба да се исклучи. Таквите корени се нарекуваат необични!
Алгоритам за решавање на рационални равенки:
1. Поместете ги сите изрази содржани во равенката на левата страна од знакот за еднаквост.2. Претворете го овој дел од равенката во алгебарска дропка: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Изедначете го добиениот броител со нула, односно решете ја равенката $p(x)=0$.
4. Изедначете го именителот на нула и решете ја добиената равенка. Ако корените на именителот се совпаѓаат со корените на броителот, тогаш тие треба да бидат исклучени од одговорот.
Пример 2.
Решете ја равенката: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Решение.
Да решаваме според точките на алгоритмот.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Изедначете го броителот на нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Изедначете го именителот на нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Еден од корените $x=1$ се совпаѓа со коренот на броителот, тогаш не го запишуваме во одговорот.
Одговор: $x=-1$.
Удобно е да се решаваат рационални равенки користејќи го методот на промена на променливите. Ајде да го демонстрираме ова.
Пример 3.
Решете ја равенката: $x^4+12x^2-64=0$.
Решение.
Да ја претставиме замената: $t=x^2$.
Тогаш нашата равенка ќе ја добие формата:
$t^2+12t-64=0$ - обична квадратна равенка.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 долари.
Да ја воведеме обратната замена: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на првата равенка се пар броеви $x=±2$. Втората работа е што нема корени.
Одговор: $x=±2$.
Пример 4.
Решете ја равенката: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Да воведеме нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогаш равенката ќе ја добие формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
Следно ќе продолжиме според алгоритмот.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 долари.
4. $t≠-2$ - корените не се совпаѓаат.
Ајде да воведеме обратна замена.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ајде да ја решиме секоја равенка посебно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени.
И втората равенка: $x^2+x-2=0$.
Корените на оваа равенка ќе бидат броевите $x=-2$ и $x=1$.
Одговор: $x=-2$ и $x=1$.
Пример 5.
Решете ја равенката: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Решение.
Да ја воведеме замената: $t=x+\frac(1)(x)$.
Потоа:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Ја добивме равенката: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на оваа равенка се парот:
$t=-3$ и $t=2$.
Ајде да ја воведеме обратната замена:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ќе одлучиме посебно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Да ја решиме втората равенка:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренот на оваа равенка е бројот $x=1$.
Одговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
Решавање на равенки:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.