Ајде да погледнеме три начини да го најдеме најмалиот заеднички множител.
Наоѓање со факторизација
Првиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со множење на дадените броеви во прости множители.
Да речеме дека треба да го најдеме LCM на броевите: 99, 30 и 28. За да го направите ова, ајде да го факторизираме секој од овие броеви во прости множители:
За саканиот број да биде делив со 99, 30 и 28, потребно е и доволно тој да ги вклучува сите прости множители на овие делители. За да го направите ова, треба да ги земеме сите прости фактори на овие броеви до најголема можна моќност и да ги помножиме заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Така, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Ниту еден друг број помал од 13,860 не е делив со 99, 30 или 28.
За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на дадените броеви, ги вметнувате во нивните прости множители, потоа земете го секој прост фактор со најголемиот експонент во кој се појавува и множете ги тие множители заедно.
Бидејќи релативно простите броеви немаат заеднички прости множители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви. На пример, три броеви: 20, 49 и 33 се релативно прости. Затоа
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Истото мора да се направи кога се наоѓа најмалиот заеднички множител на различни прости броеви. На пример, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Наоѓање по избор
Вториот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со избор.
Пример 1. Кога најголемиот од дадените броеви се дели со друг даден број, тогаш LCM на овие броеви е еднаков на најголемиот од нив. На пример, дадени четири броја: 60, 30, 10 и 6. Секој од нив е делив со 60, затоа:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Во други случаи, за да се најде најмалиот заеднички множител, се користи следнава постапка:
- Определи го најголемиот број од дадените броеви.
- Следно, ги наоѓаме броевите кои се множители на најголемиот број множејќи го со природни броеви по растечки редослед и проверувајќи дали добиениот производ е делив со останатите дадени броеви.
Пример 2. Дадени се три броја 24, 3 и 18. Го одредуваме најголемиот од нив - ова е бројот 24. Следно, ги наоѓаме броевите што се множители на 24, проверувајќи дали секој од нив е делив со 18 и 3:
24 · 1 = 24 - делив со 3, но не делив со 18.
24 · 2 = 48 - делив со 3, но не делив со 18.
24 · 3 = 72 - делив со 3 и 18.
Така, LCM (24, 3, 18) = 72.
Наоѓање со секвенцијално наоѓање на LCM
Третиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со секвенцијално наоѓање на LCM.
LCM на два дадени броја е еднаков на производот на овие броеви поделен со нивниот најголем заеднички делител.
Пример 1. Најдете го LCM на два дадени броја: 12 и 8. Определи го нивниот најголем заеднички делител: GCD (12, 8) = 4. Помножете ги овие броеви:
Производот го делиме со нивниот gcd:
Така, LCM (12, 8) = 24.
За да го пронајдете LCM од три или повеќе броеви, користете ја следнава постапка:
- Прво, пронајдете го LCM на кои било два од овие броеви.
- Потоа, LCM на пронајдениот најмал заеднички множител и третиот даден број.
- Потоа, LCM на добиениот најмал заеднички множител и четвртиот број, итн.
- Така, потрагата по LCM продолжува се додека има бројки.
Пример 2. Да го најдеме LCM на три дадени броеви: 12, 8 и 9. Веќе го најдовме LCM на броевите 12 и 8 во претходниот пример (ова е бројот 24). Останува да се најде најмалиот заеднички множител на бројот 24 и третиот даден број - 9. Одреди го нивниот најголем заеднички делител: GCD (24, 9) = 3. Помножете го LCM со бројот 9:
Производот го делиме со нивниот gcd:
Така, LCM (12, 8, 9) = 72.
Темата „Повеќе броеви“ се изучува во 5-то одделение од средно училиште. Неговата цел е да ги подобри писмените и усните математичко пресметување. Во оваа лекција се воведуваат нови концепти - „повеќе броеви“ и „делители“, се практикува техниката на наоѓање делители и множители на природен број и способност за наоѓање LCM на различни начини.
Оваа тема е многу важна. Познавањето за него може да се примени при решавање на примери со дропки. За да го направите ова, треба да го пронајдете заедничкиот именител со пресметување на најмалиот заеднички множител (LCM).
Повеќекратно од А е цел број што е делив со А без остаток.
Секој природен број има бесконечен број множители од него. Самиот тој се смета за најмал. Повеќекратното не може да биде помало од самиот број.
Треба да докажете дека бројот 125 е множител на 5. За да го направите ова, треба да го поделите првиот број со вториот. Ако 125 е делив со 5 без остаток, тогаш одговорот е да.
Овој метод е применлив за мал број.
Постојат посебни случаи кога се пресметува LOC.
1. Ако треба да најдете заеднички множител на 2 броја (на пример, 80 и 20), каде што еден од нив (80) е делив со другиот (20), тогаш овој број (80) е најмалиот множител од овие два броја.
LCM(80, 20) = 80.
2. Ако два немаат заеднички делител, тогаш можеме да кажеме дека нивниот LCM е производ на овие два броја.
LCM(6, 7) = 42.
Да го погледнеме последниот пример. 6 и 7 во однос на 42 се делители. Тие делат множител на број без остаток.
Во овој пример, 6 и 7 се спарени фактори. Нивниот производ е еднаков на најмножиот број (42).
Бројот се нарекува прост ако е делив само со себе или со 1 (3:1=3; 3:3=1). Останатите се нарекуваат композитни.
Друг пример вклучува одредување дали 9 е делител на 42.
42:9=4 (остаток 6)
Одговор: 9 не е делител на 42 бидејќи одговорот има остаток.
Деленикот се разликува од повеќекратното по тоа што делителот е бројот со кој се делат природните броеви, а самиот множител е делив со овој број.
Најголем заеднички делител на броеви аИ б, помножено со нивниот најмал множител, ќе го даде производот на самите броеви аИ б.
Имено: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Заедничките множители за посложени броеви се наоѓаат на следниот начин.
На пример, пронајдете го LCM за 168, 180, 3024.
Ги факторингираме овие бројки во едноставни фактори и ги запишуваме како производ на моќи:
168=2³x3¹x7¹
24х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Најмалиот заеднички множител на два броја е директно поврзан со најголемиот заеднички делител на тие броеви. Ова врска помеѓу GCD и NOCсе одредува со следнава теорема.
Теорема.
Најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви a и b е еднаков на производот на a и b поделен со најголемиот заеднички делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Доказ.
Нека М е множител на броевите a и b. Односно, М е делив со a, а според дефиницијата за деливост, има некој цел број k таков што еднаквоста M=a·k е точно. Но, М е исто така делив со b, а потоа a·k се дели со b.
Да го означиме gcd(a, b) како d. Тогаш можеме да ги напишеме равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, а a 1 =a:d и b 1 =b:d ќе бидат релативно прости броеви. Следствено, условот добиен во претходниот став дека a · k е делив со b може да се преформулира на следниов начин: a 1 · d · k се дели со b 1 · d , и ова, поради својствата на деливост, е еквивалентно на условот дека a 1 · k е делив со b 1 .
Исто така, треба да запишете две важни последици од разгледаната теорема.
Заедничките множители на два броја се исти како множителите на нивниот најмал заеднички множител.
Ова навистина е случај, бидејќи секој заеднички множител на M од броевите a и b се определува со еднаквоста M=LMK(a, b)·t за некоја цел број t.
Најмалиот заеднички множител на заемно простите позитивни броеви a и b е еднаков на нивниот производ.
Образложението за овој факт е сосема очигледно. Бидејќи a и b се релативно прости, тогаш gcd(a, b)=1, затоа, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Најмал заеднички множител на три или повеќе броеви
Наоѓањето на најмалиот заеднички множител од три или повеќе броеви може да се сведе на секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Како тоа е направено е наведено во следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k се совпаѓаат со заедничките множители на броевите m k-1 и a k , затоа, се совпаѓаат со заедничките множители на бројот m k . И бидејќи најмалиот позитивен множител на бројот m k е самиот број m k, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите a 1, a 2, ..., a k е m k.
Библиографија.
- Виленкин Н.Ја. и други.Математика. 6 одделение: учебник за општообразовни установи.
- Виноградов И.М. Основи на теоријата на броеви.
- Михелович Ш.Х. Теорија на броеви.
- Куликов Л.Ја. и други.Збирка задачи по алгебра и теорија на броеви: Учебник за студенти по физика и математика. специјалитети на педагошките институти.
Но, многу природни броеви се деливи и со други природни броеви.
На пример:
Бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;
Бројот 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.
Броевите со кои бројот се дели со целина (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се викаат делители на броеви. Делител на природен број а- е природен број кој дели даден број абез трага. Се нарекува природен број кој има повеќе од два делители композитни .
Ве молиме имајте предвид дека броевите 12 и 36 имаат заеднички фактори. Овие броеви се: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12. Заеднички делител на овие два броја аИ б- ова е бројот со кој двата дадени броја се делат без остаток аИ б.
Заеднички множителинеколку броеви е број кој е делив со секој од овие броеви. На пример, броевите 9, 18 и 45 имаат заеднички множител од 180. Но, 90 и 360 се исто така нивни заеднички множители. Меѓу сите заеднички множители секогаш има најмал, во овој случај тоа е 90. Овој број се нарекува најмалотозаеднички повеќекратен (CMM).
LCM е секогаш природен број кој мора да биде поголем од најголемиот од броевите за кои е дефиниран.
Најмалку заеднички множител (LCM). Својства.
Комутативност:
Асоцијативност:
Конкретно, ако и се копрости броеви, тогаш:
Најмал заеднички множител на два цели броеви мИ nе делител на сите други заеднички множители мИ n. Покрај тоа, множеството на заеднички множители m, nсе совпаѓа со множеството множители на LCM( m, n).
Асимптотиката за може да се изрази во однос на некои теоретски функции на броеви.
Значи, Функција на Чебишев. И:
Ова произлегува од дефиницијата и својствата на функцијата Ландау g(n).
Што следи од законот за распределба на прости броеви.
Наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM).
NOC( а, б) може да се пресмета на неколку начини:
1. Ако е познат најголемиот заеднички делител, можете да ја користите неговата врска со LCM:
2. Нека биде познато канонското разложување на двата броја на прости множители:
Каде p 1,...,p k- разни прости броеви и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— не-негативни цели броеви (тие можат да бидат нули ако соодветниот прост не е во проширувањето).
Потоа NOC ( а,б) се пресметува со формулата:
Со други зборови, LCM распаѓањето ги содржи сите прости фактори вклучени во барем едно од разложувањата на броевите а, б, и се зема најголемиот од двата експонента на овој множител.
Пример:
Пресметувањето на најмалиот заеднички множител на неколку броеви може да се сведе на неколку секвенцијални пресметки на LCM на два броја:
Правило.За да го пронајдете LCM на серија броеви, потребно ви е:
- разложува броеви на прости множители;
- префрлете го најголемото разложување (производот на факторите од најголемиот број од дадените) на множителите на саканиот производ, а потоа додадете фактори од разградувањето на други броеви кои не се појавуваат во првиот број или се појавуваат во него. помалку пати;
— добиениот производ на простите множители ќе биде LCM на дадените броеви.
Било кои два или повеќе природни броеви имаат свој LCM. Ако броевите не се множители еден од друг или немаат исти фактори во проширувањето, тогаш нивниот LCM е еднаков на производот на овие броеви.
Простите множители на бројот 28 (2, 2, 7) се дополнуваат со фактор 3 (бројот 21), добиениот производ (84) ќе биде најмалиот број што е делив со 21 и 28.
Простите множители на најголемиот број 30 се дополнуваат со факторот 5 од бројот 25, добиениот производ 150 е поголем од најголемиот број 30 и е делив со сите дадени броеви без остаток. Ова е најмалиот можен производ (150, 250, 300...) кој е множител на сите дадени броеви.
Броевите 2,3,11,37 се прости броеви, така што нивниот LCM е еднаков на производот на дадените броеви.
Правило. За да го пресметате LCM на простите броеви, треба да ги помножите сите овие броеви заедно.
Друга опција:
За да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM) од неколку броеви, ви треба:
1) претставувај го секој број како производ на неговите прости множители, на пример:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) запишете ги моќите на сите прости фактори:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) запишете ги сите прости делители (множители) на секој од овие броеви;
4) изберете го најголемиот степен од секој од нив, пронајден во сите проширувања на овие броеви;
5) умножете ги овие моќи.
Пример. Најдете го LCM на броевите: 168, 180 и 3024.
Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Ги запишуваме најголемите сили од сите прости делители и ги множиме:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Материјалот презентиран подолу е логично продолжение на теоријата од написот со наслов LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери, врска помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), а посебно внимание ќе посветиме на решавање на примери. Прво, ќе покажеме како се пресметува LCM на два броја користејќи го GCD на овие броеви. Следно, ќе го разгледаме наоѓањето на најмалиот заеднички множител со факторингирање на броевите во прости множители. По ова, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание и на пресметување на LCM на негативни броеви.
Навигација на страница.
Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD
Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ни овозможува да го пресметаме најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви преку познат најголем заеднички делител. Соодветната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ајде да погледнеме примери за наоѓање на LCM користејќи ја дадената формула.
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител на два броја 126 и 70.
Решение.
Во овој пример a=126 , b=70 . Дозволете ни да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD, изразена со формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви користејќи ја напишаната формула.
Да го најдеме GCD(126, 70) користејќи го Евклидов алгоритам: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, значи, GCD(126, 70)=14.
Сега го наоѓаме потребниот најмал заеднички множител: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Одговор:
LCM(126, 70)=630.
Пример.
На што е еднакво LCM(68, 34)?
Решение.
Бидејќи 68 е делив со 34, тогаш GCD(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Одговор:
LCM(68, 34)=68.
Забележете дека претходниот пример одговара на следното правило за наоѓање на LCM за позитивни цели броеви a и b: ако бројот a е делив со b, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a.
Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители
Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако составите производ од сите прости множители на дадените броеви, а потоа од овој производ ги исклучите сите заеднички прости множители присутни во разградувањето на дадените броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител на дадените броеви .
Наведеното правило за наоѓање на ЛКМ произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, GCD(a, b) е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (како што е опишано во делот за наоѓање GCD со користење на проширување на броевите во прости множители).
Да дадеме пример. Дајте ни до знаење дека 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Да го составиме производот од сите фактори на овие проширувања: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега од овој производ ги исклучуваме сите фактори присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (овие фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе има форма 2·3·5·5·7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител од 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Пример.
Факторирајте ги броевите 441 и 700 во прости множители и пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.
Решение.
Да ги факторизираме броевите 441 и 700 во прости множители:
Добиваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Сега да создадеме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Одговор:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Правилото за наоѓање на LCM со користење на раздвојување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b се додадат на факторите од проширувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b.
На пример, да ги земеме истите броеви 75 и 210, нивните разложувања на прости множители се следни: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. На факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75 ги додаваме факторите што недостасуваат 2 и 7 од проширувањето на бројот 210, го добиваме производот 2·3·5·5·7, чија вредност е еднакво на LCM(75, 210).
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.
Решение.
Прво ги добиваме разложувањата на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. На факторите 2, 2, 3 и 7 од проширувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2, 3, 3 и 3 од проширувањето на бројот 648, го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7, што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на 84 и 648 е 4.536.
Одговор:
LCM(84, 648)=4,536.
Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви
Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Да се потсетиме на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.
Теорема.
Нека се дадени позитивните цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа со секвенцијално пресметување m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Да ја разгледаме примената на оваа теорема користејќи го примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.
Пример.
Најдете го LCM на четири броеви 140, 9, 54 и 250.
Решение.
Во овој пример, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Прво наоѓаме m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме GCD(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, затоа, GCD(140, 9)=1, од каде GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Тоа е, m 2 = 1 260.
Сега наоѓаме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Да го пресметаме преку GCD(1 260, 54), кој исто така го одредуваме со помош на Евклидов алгоритам: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогаш gcd(1,260, 54)=18, од кои gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоа е, m 3 = 3 780.
Останува само да се најде m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). За да го направите ова, наоѓаме GCD(3,780, 250) користејќи го Евклидов алгоритам: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Затоа, GCM(3,780, 250)=10, од каде GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Тоа е, m 4 = 94.500.
Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.
Одговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Во многу случаи, погодно е да се најде најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви со користење на прости факторизации на дадените броеви. Во овој случај, треба да се придржувате до следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.
Ајде да погледнеме пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи проста факторизација.
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Прво, добиваме разложување на овие броеви на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е прост број, се совпаѓа со негово разложување на прости множители) и 143=11·13.
За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7), треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Распаѓањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во распаѓањето на првиот број 84. Следно, на факторите 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48, добиваме збир на фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Нема да има потреба да додавате множители на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 веќе е содржано во него. Конечно, на факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143. Го добиваме производот 2·2·2·2·3·7·11·13, што е еднакво на 48.048.