Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Да ја проучиме функцијата \(y= \frac(x^3)(1-x) \) и да го изградиме нејзиниот график.
1. Опсег на дефиниција.
Доменот на дефиниција на рационална функција (дропка) ќе биде: именителот не е еднаков на нула, т.е. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Домен $$D_f= (-\infty; 1) \wup (1;+\infty)$$
2. Точки на прекин на функциите и нивна класификација.
Функцијата има една точка на прекин x = 1
Да ја испитаме точката x= 1. Да ја најдеме границата на функцијата десно и лево од точката на дисконтинуитет, десно $$ \lim_(x \до 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ и лево од точката $$ \lim_(x \до 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Ова е дисконтинуитетна точка од втор вид бидејќи едностраните граници се еднакви на \(\infty\).
Правата линија \(x = 1\) е вертикална асимптота.
3. Паритет на функцијата.
Проверуваме за паритет \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) функцијата не е ниту парна ниту непарна.
4. Нули на функцијата (точки на пресек со оската Ox). Интервали на постојан знак на функција.
Функција нули (точка на пресек со оската Ox): изедначуваме \(y=0\), добиваме \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Кривата има една пресечна точка со оската Ox со координати \((0;0)\).
Интервали на постојан знак на функција.
На разгледуваните интервали \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) кривата има една точка на пресек со оската Ox, така што ќе го разгледаме доменот на дефиниција на три интервали.
Дозволете ни да го одредиме знакот на функцијата во интервали од доменот на дефиниција:
интервал \((-\infty; 0) \) најдете ја вредноста на функцијата во која било точка \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1) \) ја наоѓаме вредноста на функцијата во која било точка \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), на овој интервал функцијата е позитивно \(f(x) > 0 \), т.е. се наоѓа над оската Окс.
интервал \((1;+\infty) \) најдете ја вредноста на функцијата во која било точка \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Пресечни точки со оската Oy: изедначуваме \(x=0\), добиваме \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Координати на точката на пресек со оската Oy \((0; 0)\)
6. Интервали на монотонија. Екстреми на функција.
Ајде да ги најдеме критичните (стационарни) точки, за ова го наоѓаме првиот извод и го изедначуваме на нула $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ еднакво на 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Да ја најдеме вредноста на функцијата во оваа точка \( f(0) = 0\) и \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Добивме две критични точки со координати \((0;0)\) и \((1,5;-6,75)\)
Интервали на монотонија.
Функцијата има две критични точки (можни екстремни точки), така што ќе ја разгледаме монотоноста на четири интервали:
интервал \((-\infty; 0) \) најдете ја вредноста на првиот извод во која било точка во интервалот \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
интервал \((0;1)\) ја наоѓаме вредноста на првиот извод во која било точка во интервалот \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , функцијата се зголемува во текот на овој интервал.
интервал \((1;1,5)\) ја наоѓаме вредноста на првиот извод во која било точка во интервалот \(f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , функцијата се зголемува во текот на овој интервал.
интервал \((1,5; +\infty)\) најдете ја вредноста на првиот извод во која било точка во интервалот \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Екстреми на функција.
При проучување на функцијата, добивме две критични (стационарни) точки на интервалот на доменот на дефиниција. Да утврдиме дали се екстреми. Да ја разгледаме промената на знакот на дериватот кога поминуваме низ критичните точки:
точка \(x = 0\) дериватот го менува знакот со \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - точката не е екстрем.
точка \(x = 1,5\) дериватот го менува знакот со \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - точката е максимална точка.
7. Интервали на конвексност и конкавност. Точки на флексија.
За да ги најдеме интервалите на конвексност и конкавност, го наоѓаме вториот извод на функцијата и го изедначуваме со нула $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Истоветува на нула $$ \frac(2x(x^2-3x+3))(1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функцијата има една критична точка од вториот вид со координати \((0;0)\) .
Дозволете ни да ја дефинираме конвексноста на интервали од доменот на дефиниција, земајќи ја предвид критичната точка од вториот вид (точка на можна флексија).
интервал \((-\infty; 0)\) најдете ја вредноста на вториот извод во која било точка \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 1)\) ја наоѓаме вредноста на вториот извод во која било точка \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), на овој интервал вториот извод на функцијата е позитивен \(f""(x) > 0 \) функцијата е конвексна надолу (конвексна).
интервал \((1; \infty)\) најдете ја вредноста на вториот извод во која било точка \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки на флексија.
Да ја разгледаме промената на знакот на вториот дериват кога поминуваме низ критична точка од вториот вид:
Во точката \(x =0\), вториот извод го менува знакот со \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), графикот на функцијата ја менува конвексноста, т.е. ова е точката на флексија со координати \((0;0)\).
8. Асимптоти.
Вертикална асимптота. Графикот на функцијата има една вертикална асимптота \(x =1\) (види став 2).
Коси асимптота.
Со цел графикот на функцијата \(y= \frac(x^3)(1-x) \) на \(x \до \infty\) да има закосена асимптота \(y = kx+b\) , потребно е и доволно , за да има две граници $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$го наоѓаме $$ \lim_(x \до \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ и втората граница $$ \lim_(x \до +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, бидејќи \(k = \infty\) - нема коси асимптота.
Хоризонтална асимптота:за да постои хоризонтална асимптота, потребно е да има граница $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ ајде да ја најдеме $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \до -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ деценија $$
Не постои хоризонтална асимптота.
9. График на функции.
Проучувањето на функцијата се изведува според јасна шема и бара студентот да има солидно познавање на основните математички концепти како што се доменот на дефиниција и вредности, континуитет на функцијата, асимптота, екстремни точки, паритет, периодичност итн. . Ученикот мора да може слободно да разликува функции и да решава равенки, кои понекогаш можат да бидат многу сложени.
Односно, оваа задача тестира значаен слој на знаење, секоја празнина во која ќе стане пречка за добивање на правилно решение. Особено често, се јавуваат потешкотии при конструирање графикони на функции. Оваа грешка е веднаш забележлива за наставникот и може многу да ја оштети вашата оценка, дури и ако сè друго е направено правилно. Овде можете да најдете проблеми со онлајн истражување на функции: проучување примери, преземање решенија, нарачување задачи.
Истражете ја функцијата и нацртајте график: примери и решенија онлајн
Подготвивме за вас многу готови функционални студии, платени во книгата за решенија и бесплатни во делот Примери за функционални студии. Врз основа на овие решени задачи, ќе можете детално да се запознаете со методологијата за извршување на слични задачи и да го спроведете вашето истражување по аналогија.
Нудиме готови примери за целосно истражување и исцртување на функции од најчестите типови: полиноми, фракционо-рационални, ирационални, експоненцијални, логаритамски, тригонометриски функции. Секој решен проблем е придружен со готов график со истакнати клучни точки, асимптоти, максими и минимуми; решението се изведува со помош на алгоритам за проучување на функцијата.
Во секој случај, решените примери ќе ви бидат од голема помош бидејќи ги опфаќаат најпопуларните типови на функции. Ви нудиме стотици веќе решени проблеми, но, како што знаете, во светот има бесконечен број математички функции, а наставниците се одлични експерти за измислување сè повеќе незгодни задачи за сиромашните ученици. Значи, драги студенти, квалификуваната помош нема да ви наштети.
Решавање на проблеми за истражување на сопствени функции
Во овој случај, нашите партнери ќе ви понудат друга услуга - целосно функционално истражување на интернетда нарача. Задачата ќе биде завршена за вас во согласност со сите барања за алгоритам за решавање на вакви проблеми, што во голема мера ќе го задоволи вашиот наставник.
Ќе направиме целосна студија за функцијата за вас: ќе го најдеме доменот на дефиниција и доменот на вредности, ќе испитаме континуитет и дисконтинуитет, ќе воспоставиме паритет, ќе ја провериме вашата функција за периодичност и ќе ги најдеме точките на пресек со координатните оски . И, се разбира, дополнително користејќи диференцијална пресметка: ќе најдеме асимптоти, ќе пресметаме екстреми, точки на флексија и ќе го конструираме самиот график.
Ако проблемот бара целосно проучување на функцијата f (x) = x 2 4 x 2 - 1 со конструкција на нејзиниот график, тогаш детално ќе го разгледаме овој принцип.
За да решите проблем од овој тип, треба да ги користите својствата и графиконите на основните елементарни функции. Алгоритмот за истражување ги вклучува следните чекори:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Наоѓање на доменот на дефиниција
Бидејќи се врши истражување на доменот на дефинирање на функцијата, неопходно е да се започне со овој чекор.
Пример 1
Дадениот пример вклучува наоѓање на нулите на именителот со цел да се исклучат од ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Како резултат на тоа, можете да добиете корени, логаритми итн. Тогаш ODZ може да се бара за корен од парен степен од типот g (x) 4 со неравенката g (x) ≥ 0, за логаритамот log a g (x) со неравенката g (x) > 0.
Проучување на границите на ОДЗ и наоѓање вертикални асимптоти
Постојат вертикални асимптоти на границите на функцијата, кога едностраните граници во таквите точки се бесконечни.
Пример 2
На пример, земете ги граничните точки еднакви на x = ± 1 2.
Тогаш е неопходно да се проучи функцијата за да се најде едностраната граница. Тогаш добиваме дека: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Ова покажува дека едностраните граници се бесконечни, што значи дека правите x = ± 1 2 се вертикални асимптоти на графикот.
Проучување на функција и дали е парна или непарна
Кога условот y (- x) = y (x) е исполнет, функцијата се смета за парна. Ова сугерира дека графикот се наоѓа симетрично во однос на Oy. Кога условот y (- x) = - y (x) е исполнет, функцијата се смета за непарна. Ова значи дека симетријата е релативна со потеклото на координатите. Ако барем една неравенка не е задоволена, добиваме функција од општ облик.
Равенството y (- x) = y (x) покажува дека функцијата е парна. При конструирањето потребно е да се земе предвид дека ќе има симетрија во однос на Ој.
За да се реши неравенството, се користат интервали на зголемување и намалување со условите f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, соодветно.
Дефиниција 1
Стационарни точки- тоа се точките што го претвораат изводот на нула.
Критични точки- тоа се внатрешни точки од доменот на дефиниција каде што изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.
При донесување одлука, мора да се земат предвид следните забелешки:
- за постоечки интервали на зголемување и намалување на неравенки од формата f " (x) > 0, критичните точки не се вклучени во решението;
- точките во кои функцијата е дефинирана без конечен извод мора да бидат вклучени во интервалите на зголемување и намалување (на пример, y = x 3, каде што точката x = 0 ја прави функцијата дефинирана, изводот има вредност на бесконечност на ова точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е вклучена во растечкиот интервал);
- За да се избегнат несогласувања, се препорачува да се користи математичка литература препорачана од Министерството за образование.
Вклучување на критичните точки во интервали на зголемување и намалување доколку тие го задоволуваат доменот на дефинирање на функцијата.
Дефиниција 2
За одредувајќи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е да се најдат:
- дериват;
- критични точки;
- поделете го доменот на дефиниција во интервали користејќи критични точки;
- определи го знакот на изводот на секој од интервалите, каде што + е зголемување и - е намалување.
Пример 3
Најдете го изводот на доменот на дефиниција f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.
Решение
За да го решите потребно е:
- најдете стационарни точки, овој пример има x = 0;
- најдете ги нулите на именителот, примерот ја зема вредноста нула при x = ± 1 2.
Поставуваме точки на бројната оска за да го одредиме изводот на секој интервал. За да го направите ова, доволно е да земете која било точка од интервалот и да извршите пресметка. Ако резултатот е позитивен, ние прикажуваме + на графиконот, што значи дека функцијата се зголемува и - значи дека се намалува.
На пример, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, што значи дека првиот интервал лево има знак +. Размислете за бројната права.
Одговор:
- функцијата се зголемува на интервалот - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
- има намалување на интервалот [0; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .
На дијаграмот, користејќи + и -, се прикажани позитивноста и негативноста на функцијата, а стрелките укажуваат на намалување и зголемување.
Екстремните точки на функцијата се точки каде што е дефинирана функцијата и преку кои изводот го менува знакот.
Пример 4
Ако земеме пример каде x = 0, тогаш вредноста на функцијата во неа е еднаква на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Кога знакот на изводот се менува од + во - и поминува низ точката x = 0, тогаш точката со координати (0; 0) се смета за максимална точка. Кога знакот се менува од - во +, добиваме минимална точка.
Конвексноста и конкавноста се одредуваат со решавање на неравенки од формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. Поретко се користи името конвексност надолу наместо конкавност и конвексност нагоре наместо конвексност.
Дефиниција 3
За одредување на интервалите на конкавност и конвексностнеопходно:
- најдете го вториот извод;
- најдете ги нулите на втората изводна функција;
- поделете ја областа за дефиниција во интервали со точките што се појавуваат;
- определи го знакот на интервалот.
Пример 5
Најдете го вториот извод од доменот на дефиниција.
Решение
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Ги наоѓаме нулите на броителот и именителот, каде во нашиот пример имаме дека нулите на именителот x = ± 1 2
Сега треба да ги нацртате точките на бројната права и да го одредите знакот на вториот извод од секој интервал. Го добиваме тоа
Одговор:
- функцијата е конвексна од интервалот - 1 2 ; 12 ;
- функцијата е конкавна од интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .
Дефиниција 4
Точка на флексија– ова е точка од формата x 0 ; f (x 0) . Кога има тангента на графикот на функцијата, тогаш кога ќе помине низ x 0 функцијата го менува знакот на спротивното.
Со други зборови, ова е точка низ која поминува вториот извод и го менува знакот, а во самите точки тој е еднаков на нула или не постои. Сите точки се сметаат за домен на функцијата.
Во примерот, беше јасно дека нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот додека минува низ точките x = ± 1 2. Тие, пак, не се вклучени во опсегот на дефиницијата.
Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти
Кога дефинирате функција на бесконечност, треба да барате хоризонтални и коси асимптоти.
Дефиниција 5
Коси асимптотисе прикажани со помош на прави линии дадени со равенката y = k x + b, каде k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.
За k = 0 и b не еднакви на бесконечност, откриваме дека косата асимптота станува хоризонтална.
Со други зборови, асимптоти се сметаат за линии до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Ова ја олеснува брзата конструкција на графикот на функции.
Ако нема асимптоти, но функцијата е дефинирана на двете бесконечности, потребно е да се пресмета границата на функцијата на овие бесконечности за да се разбере како ќе се однесува графикот на функцијата.
Пример 6
Да го разгледаме како пример тоа
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
е хоризонтална асимптота. Откако ќе ја испитате функцијата, можете да започнете да ја конструирате.
Пресметување на вредноста на функцијата во средни точки
За да се направи графикот попрецизен, се препорачува да се најдат неколку функционални вредности на средни точки.
Пример 7
Од примерот што го разгледавме, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Бидејќи функцијата е рамна, добиваме дека вредностите се совпаѓаат со вредностите во овие точки, односно добиваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Ајде да напишеме и да решиме:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
За да се одредат максимумите и минимумите на функцијата, точките на флексија и средните точки, неопходно е да се конструираат асимптоти. За практично означување, се запишуваат интервали на зголемување, намалување, конвексност и конкавност. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Потребно е да се исцртаат линии на графиконот низ означените точки, што ќе ви овозможи да им пристапите на асимптотите следејќи ги стрелките.
Ова го завршува целосното истражување на функцијата. Има случаи на конструирање на некои елементарни функции за кои се користат геометриски трансформации.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Направете комплетна студија и прикажете ја функцијата
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Опсегот на функцијата. Бидејќи функцијата е дропка, треба да ги најдеме нулите на именителот.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Ја исклучуваме единствената точка x=1x=1 од доменот на дефинирање на функцијата и добиваме:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Да го проучиме однесувањето на функцијата во близина на точката на дисконтинуитет. Ајде да најдеме еднострани граници:
Бидејќи границите се еднакви на бесконечноста, точката x=1x=1 е дисконтинуитет од вториот вид, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.
3) Дозволете ни да ги одредиме пресечните точки на функционалниот график со координатните оски.
Да ги најдеме точките на пресек со ординатна оска OyOy, за кои изедначуваме x=0x=0:
Така, точката на пресек со оската OyOy има координати (0;8)(0;8).
Да ги најдеме точките на пресек со оската на апсцисата OxOx, за која поставивме y=0y=0:
Равенката нема корени, така што нема точки на пресек со оската OxOx.
Забележете дека x2+8>0x2+8>0 за кој било xx. Затоа, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцијата y>0y>0 (зема позитивни вредности, графикот е над оската x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функција y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функцијата не е ниту парна ниту непарна затоа што:
5) Ајде да ја испитаме функцијата за периодичност. Функцијата не е периодична, бидејќи е фракциона рационална функција.
6) Да ја испитаме функцијата за екстремност и монотоност. За да го направите ова, го наоѓаме првиот извод на функцијата:
Да го изедначиме првиот извод со нула и да најдеме стационарни точки (на кои y′=0y′=0):
Добивме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Дозволете ни да го поделиме целиот домен на дефиниција на функцијата во интервали со овие точки и да ги одредиме знаците на изводот во секој интервал:
За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) изводот y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) изводот y′>0y′>0, функцијата се зголемува на овие интервали.
Во овој случај, x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцијата се намалува, а потоа се зголемува), x=4x=4 е локална максимална точка (функцијата се зголемува, а потоа се намалува).
Ајде да ги најдеме вредностите на функцијата во овие точки: 
Така, минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).
7) Ајде да ја испитаме функцијата за свиткување и конвексност. Да го најдеме вториот извод на функцијата:
Ајде да го изедначиме вториот извод на нула:
Добиената равенка нема корени, така што нема точки на флексија. Притоа, кога x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е задоволена, односно функцијата е конкавна, кога x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) е задоволен од y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Да го испитаме однесувањето на функцијата во бесконечност, односно во .
Бидејќи границите се бесконечни, нема хоризонтални асимптоти.
Да се обидеме да одредиме коси асимптоти од формата y=kx+by=kx+b. Ги пресметуваме вредностите на k, bk, b користејќи познати формули:
Откривме дека функцијата има една коси асимптота y=−x−1y=−x−1.
9) Дополнителни поени. Да ја пресметаме вредноста на функцијата во некои други точки за попрецизно да го конструираме графикот.
y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.
10) Врз основа на добиените податоци ќе конструираме график, ќе го дополниме со асимптоти x=1x=1 (сино), y=−x−1y=−x−1 (зелено) и ќе ги означиме карактеристичните точки (виолетова пресек со ординатата оска, портокалови екстреми, црни дополнителни точки):
Задача 4: Геометриски, економски проблеми (немам поим што, еве приближен избор на проблеми со решенија и формули) 
Пример 3.23. а
Решение. xИ y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Бидејќи x = a/4 е единствената критична точка, да провериме дали знакот на изводот се менува при минување низ оваа точка. За xa/4 S "> 0, и за x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24.
Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Пример 3.22.Најдете ги екстремите на функцијата f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.Бидејќи f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x · -2) (x - 3), тогаш критичните точки на функцијата x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремите можат да бидат само на овие точки.Па како што при минување низ точката x 1 = 2 изводот го менува својот знак од плус во минус, тогаш во оваа точка функцијата има максимум.Кога поминува низ точката x 2 = 3 изводот го менува својот знак од минус до плус, затоа во точката x 2 = 3 функцијата има минимум. Откако ги пресметавме вредностите на функциите во точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, ги наоѓаме екстремите на функцијата: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Пример 3.23.Неопходно е да се изгради правоаголна површина во близина на камениот ѕид, така што тој од три страни е ограден со жичана мрежа, а четвртата страна е во непосредна близина на ѕидот. За ова постои алинеарни метри мрежа. На кој сооднос страницата ќе има најголема површина?
Решение.Дозволете ни да ги означиме страните на платформата со xИ y. Областа на локацијата е S = xy. Нека y- ова е должината на страната во непосредна близина на ѕидот. Потоа, по услов, мора да важи еднаквоста 2x + y = a. Затоа y = a - 2x и S = x(a - 2x), каде
0 ≤ x ≤ a/2 (должината и ширината на подлогата не можат да бидат негативни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 на x = a/4, од каде
y = a - 2×a/4 =a/2. Бидејќи x = a/4 е единствената критична точка, да провериме дали знакот на изводот се менува при минување низ оваа точка. За xa/4 S "> 0, и за x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24.Потребно е да се изработи затворен цилиндричен резервоар со капацитет V=16p ≈ 50 m 3 . Кои треба да бидат димензиите на резервоарот (радиус R и висина H) за да се користи најмалку материјал за неговото производство?
Решение.Вкупната површина на цилиндерот е S = 2pR(R+H). Го знаеме волуменот на цилиндерот V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ова значи S(R) = 2p(R 2 +16/R). Го наоѓаме изводот на оваа функција:
S "(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 за R 3 = 8, затоа,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Поврзани информации.