Функции на сложена променлива.
Диференцијација на функции на сложена променлива.

Оваа статија отвора серија лекции во кои ќе разгледам типични проблеми поврзани со теоријата на функции на сложена променлива. За успешно да ги совладате примерите, мора да имате основни познавања за сложени броеви. Со цел да се консолидира и повтори материјалот, само посетете ја страницата. Ќе ви требаат и вештини за да најдете парцијални деривати од втор ред. Еве ги овие парцијални деривати... уште сега се изненадив малку колку често се јавуваат...

Темата што почнуваме да ја испитуваме не претставува некои посебни тешкотии, а во функциите на сложена променлива, во принцип, сè е јасно и достапно. Главната работа е да се придржувате до основното правило, кое го изведов експериментално. Продолжи да читаш!

Поим за функција на сложена променлива

Прво, да го освежиме нашето знаење за училишната функција на една променлива:

Единечна променлива функцијае правило според кое секоја вредност на независната променлива (од доменот на дефиниција) одговара на една и само една вредност на функцијата. Секако, „x“ и „y“ се реални броеви.

Во сложениот случај, функционалната зависност е специфицирана слично:

Едновредносна функција на сложена променлива- ова е правилото според кое секој сеопфатенвредноста на независната променлива (од доменот на дефиниција) одговара на една и само една сеопфатенвредност на функцијата. Теоријата, исто така, ги разгледува мулти-вредносните и некои други типови на функции, но за едноставност ќе се фокусирам на една дефиниција.

Која е разликата помеѓу сложена променлива функција?

Главната разлика: комплексни броеви. Не сум ироничен. Ваквите прашања често ги оставаат луѓето во ступор на крајот од статијата ќе ви кажам една смешна приказна. На лекцијата Комплексни броеви за куклиразгледавме комплексен број во форма . Отсега буквата „з“ стана променлива, тогаш ќе го означиме на следниов начин: , додека „x“ и „y“ можат да имаат различни валидензначења. Грубо кажано, функцијата на сложена променлива зависи од променливите и , кои добиваат „обични“ вредности. Следната точка логично произлегува од овој факт:

Функцијата на сложена променлива може да се запише како:
, каде и се две функции од два валиденпроменливи.

Функцијата се нарекува вистински делфункции
Функцијата се нарекува имагинарен делфункции

Односно, функцијата на сложена променлива зависи од две реални функции и . За конечно да разјасниме сè, да погледнеме практични примери:

Пример 1

Решение:Независната променлива „zet“, како што се сеќавате, е напишана во форма, затоа:

(1) Заменивме .

(2) За првиот член се користеше скратената формула за множење. Во терминот отворени се заградите.

(3) Внимателно на квадрат, не заборавајќи го тоа

(4) Преуредување на поимите: прво ги препишуваме поимите , во која нема имагинарна единица(прва група), потоа термините каде што има (втора група). Треба да се забележи дека мешањето на термините не е неопходно, и овој чекор може да се прескокне (всушност со тоа што ќе го направите усно).

(5) За втората група ја вадиме од загради.

Како резултат на тоа, нашата функција се покажа дека е претставена во форма

Одговор:
– реален дел од функцијата.
– имагинарен дел од функцијата.

Какви функции се покажаа овие? Најобични функции на две променливи од кои можете да најдете такви популарни парцијални деривати. Без милост, ќе го најдеме. Но, малку подоцна.

Накратко, алгоритмот за решениот проблем може да се напише на следниов начин: го заменуваме , во оригиналната функција, вршиме поедноставувања и ги делиме сите поими во две групи - без имагинарна единица (реален дел) и со имагинарна единица (имагинарен дел) .

Пример 2

Најдете го реалниот и имагинарниот дел од функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Пред да брзате во битка на сложениот авион со исцртани дама, дозволете ми да ви го дадам најважниот совет на темата:

ВНИМАВАЈ!Треба да бидете внимателни, се разбира, насекаде, но во сложени бројки треба да бидете повнимателни од кога било! Запомнете дека, внимателно отворете ги заградите, не губи ништо. Според моите согледувања, најчеста грешка е губењето знак. Не брзајте!

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Сега коцката. Користејќи ја скратената формула за множење, добиваме:
.

Формулите се многу погодни за употреба во пракса, бидејќи значително го забрзуваат процесот на решавање.

Диференцијација на функции на сложена променлива.

Имам две вести: добри и лоши. Ќе почнам со добриот. За функција на сложена променлива важат правилата за диференцијација и табелата со изводи на елементарните функции. Така, изводот се зема на ист начин како и во случај на функција од реална променлива.

Лошата вест е дека за многу сложени променливи функции воопшто нема извод и треба да сфатите дали се разликуваедна или друга функција. И „да откриете“ како се чувствува вашето срце е поврзано со дополнителни проблеми.

Да ја разгледаме функцијата на сложена променлива. За да може оваа функција да се разликува, потребно е и доволно:

1) Така што постојат парцијални деривати од прв ред. Заборавете на овие ознаки веднаш, бидејќи во теоријата на функции на сложена променлива традиционално се користи различна нотација: .

2) Да се ​​исполни т.н Коши-Риманови услови:

Само во овој случај дериватот ќе постои!

Пример 3

Решениее поделена во три последователни фази:

1) Да ги најдеме реалните и имагинарните делови на функцијата. Оваа задача беше дискутирана во претходните примери, па ќе ја напишам без коментар:

Од тогаш:

Така:

– имагинарен дел од функцијата.

Дозволете ми да допрам уште една техничка точка: по кој редоследнапиши ги поимите во реалниот и имагинарниот дел? Да, во принцип, не е важно. На пример, вистинскиот дел може да се напише вака: , а имагинарното – вака: .

2) Да го провериме исполнувањето на условите Коши-Риман. Има два од нив.

Да почнеме со проверка на состојбата. Ние најдовме парцијални деривати:

Така, условот е задоволен.

Се разбира, добрата вест е дека парцијалните деривати се скоро секогаш многу едноставни.

Го проверуваме исполнувањето на вториот услов:

Резултатот е ист, но со спротивни знаци, односно условот е исто така исполнет.

Коши-Римановите услови се задоволени, затоа функцијата е диференцијабилна.

3) Да го најдеме изводот на функцијата. Дериватот е исто така многу едноставен и се наоѓа според вообичаените правила:

Имагинарната единица се смета за константа за време на диференцијацијата.

Одговор: - вистински дел, – имагинарен дел.
Условите Коши-Риман се задоволени, .

Има уште два начини да се најде дериватот, тие, се разбира, се користат поретко, но информациите ќе бидат корисни за разбирање на втората лекција - Како да се најде функција на сложена променлива?

Дериватот може да се најде со формулата:

Во овој случај:

Така

Мора да го решиме инверзниот проблем - во добиениот израз треба да го изолираме. За да го направите ова, неопходно е во термините и надвор од заградите:

Обратното дејство, како што многумина забележаа, е нешто потешко за проверка, секогаш е подобро да се земе изразот на нацрт или усно да се отворат заградите назад, осигурувајќи се дека резултатот е точно;

Огледална формула за пронаоѓање на дериватот:

Во овој случај: , Затоа:

Пример 4

Определи ги реалните и имагинарните делови на функцијата . Проверете го исполнувањето на условите Коши-Риман. Ако се исполнети условите Коши-Риман, најдете го изводот на функцијата.

Кратко решение и приближен примерок од финалниот дизајн на крајот од часот.

Дали условите на Коши-Риман се секогаш задоволни? Теоретски, тие не се исполнуваат почесто отколку што се исполнуваат. Но, во практични примери, не се сеќавам на случај кога тие не беа исполнети =) Така, ако вашите парцијални деривати „не се спојуваат“, тогаш со многу голема веројатност можете да кажете дека сте згрешиле некаде.

Ајде да ги комплицираме нашите функции:

Пример 5

Определи ги реалните и имагинарните делови на функцијата . Проверете го исполнувањето на условите на Коши-Риман. Пресметај

Решение:Алгоритмот за решение е целосно зачуван, но на крајот ќе се додаде нова точка: наоѓање на изводот во точка. За коцката, потребната формула е веќе изведена:

Ајде да ги дефинираме реалните и имагинарните делови на оваа функција:

Повторно внимание и внимание!

Од тогаш:


Така:
– реален дел од функцијата;
– имагинарен дел од функцијата.

Проверка на вториот услов:

Резултатот е ист, но со спротивни знаци, односно условот е исто така исполнет.

Условите Коши-Риман се задоволени, затоа функцијата е диференцијабилна:

Да ја пресметаме вредноста на изводот во потребната точка:

Одговор:, , условите Коши-Риман се задоволени,

Функциите со коцки се вообичаени, па еве пример за зајакнување:

Пример 6

Определи ги реалните и имагинарните делови на функцијата . Проверете го исполнувањето на условите на Коши-Риман. Пресметај.

Решение и пример за доработка на крајот од часот.

Во теоријата на сложена анализа се дефинираат и други функции на сложен аргумент: експонент, синус, косинус и др. Овие функции имаат необични, па дури и бизарни својства - и ова е навистина интересно! Навистина сакам да ви кажам, но овде, како што се случува, не е референтна книга или учебник, туку книга за решенија, па затоа ќе го разгледам истиот проблем со некои заеднички функции.

Прво за т.н Ојлерови формули:

За било кој валиденброеви, следните формули се валидни:

Можете исто така да го копирате во вашата тетратка како референтен материјал.

Строго кажано, има само една формула, но обично за погодност тие пишуваат и посебен случај со минус во експонентот. Параметарот не мора да биде една буква, тој може да биде сложен израз или функција, важно е само тие да прифатат само валиднизначења. Всушност, ова ќе го видиме токму сега:

Пример 7

Најдете го изводот.

Решение:Општата линија на партијата останува непоколеблива - неопходно е да се разликуваат реалните и имагинарните делови на функцијата. Ќе дадам детално решение и ќе коментирам за секој чекор подолу:

Од тогаш:

(1) Наместо тоа, заменете го „z“.

(2) По замената, треба да ги изберете вистинските и имагинарните делови прво во индикаторотизлагачи. За да го направите ова, отворете ги заградите.

(3) Го групираме имагинарниот дел од индикаторот, ставајќи ја имагинарната единица надвор од загради.

(4) Училишната акција ја користиме со дипломи.

(5) За множител ја користиме Ојлеровата формула и .

(6) Отворете ги заградите, што резултира со:

– реален дел од функцијата;
– имагинарен дел од функцијата.

Понатамошните активности се стандардни, ајде да го провериме исполнувањето на условите на Коши-Риман:

Пример 9

Определи ги реалните и имагинарните делови на функцијата . Проверете го исполнувањето на условите на Коши-Риман. Така било, нема да го најдеме дериватот.

Решение:Алгоритмот за решение е многу сличен на претходните два примери, но има многу важни точки, па јас повторно ќе ја коментирам почетната фаза чекор по чекор:

Од тогаш:

1) Наместо тоа, заменете го „z“.

(2) Прво, ги избираме вистинските и имагинарните делови внатре во синусот. За овие цели, ги отвораме заградите.

(3) Ја користиме формулата и .

(4) Употреба паритет на хиперболичен косинус: И необичноста на хиперболичниот синус: . Хиперболиците, иако надвор од овој свет, на многу начини потсетуваат на слични тригонометриски функции.

На крајот:
– реален дел од функцијата;
– имагинарен дел од функцијата.

Внимание!Знакот минус се однесува на имагинарниот дел и во никој случај не смееме да го изгубиме! За јасна илустрација, резултатот добиен погоре може да се препише на следниов начин:

Да го провериме исполнувањето на условите на Коши-Риман:

Условите Коши-Риман се задоволени.

Одговор:, , условите Коши-Риман се задоволени.

Дами и господа, ајде да сфатиме сами:

Пример 10

Определи ги реалните и имагинарните делови од функцијата. Проверете го исполнувањето на условите на Коши-Риман.

Намерно избрав потешки примери, бидејќи се чини дека секој може да се справи со нешто, како излупени кикиритки. Во исто време, ќе го тренирате вашето внимание! Крекер за ореви на крајот од лекцијата.

Па, како заклучок, ќе погледнам уште еден интересен пример кога сложен аргумент е во именителот. Тоа се случило неколку пати во пракса, ајде да погледнеме нешто едноставно. Ех, стареам...

Пример 11

Определи ги реалните и имагинарните делови од функцијата. Проверете го исполнувањето на условите на Коши-Риман.

Решение:Повторно е неопходно да се разликуваат реалните и имагинарните делови на функцијата.
Ако тогаш

Се поставува прашањето, што да се прави кога „Z“ е во именителот?

Сè е едноставно - стандардниот ќе помогне метод на множење на броителот и именителот со конјугираниот израз, веќе е користен во примерите на часот Комплексни броеви за кукли. Да се ​​потсетиме на училишната формула. Веќе имаме во именителот, што значи дека конјугираниот израз ќе биде . Така, треба да ги помножите броителот и именителот со: