Што се дефиниција за логаритми. Објави со ознака „логаритми“

Денес ќе разговараме за логаритамски формулиа ние ќе дадеме индикативно примери за решенија.

Тие самите имплицираат шеми на решенија според основните својства на логаритмите. Пред да примените логаритамски формули за решавање, да ве потсетиме на сите својства:

Сега, врз основа на овие формули (својства), ќе покажеме примери за решавање логаритми.

Примери за решавање на логаритми врз основа на формули.

ЛогаритамПозитивен број b за основата a (означен со лог a b) е експонент на кој мора да се подигне a за да се добие b, со b > 0, a > 0 и 1.

Според дефиницијата, log a b = x, што е еквивалентно на x = b, затоа log a a x = x.

Логаритми, примери:

дневник 2 8 = 3, бидејќи 2 3 = 8

дневник 7 49 = 2, бидејќи 7 2 = 49

дневник 5 1/5 = -1, бидејќи 5 -1 = 1/5

Децимален логаритам- ова е обичен логаритам, чија основа е 10. Се означува како lg.

дневник 10 100 = 2, бидејќи 10 2 = 100

Природен логаритам- исто така обичен логаритам, логаритам, но со основа e (e = 2,71828... - ирационален број). Означено како ln.

Препорачливо е да се запаметат формулите или својствата на логаритмите, бидејќи тие ќе ни требаат подоцна при решавање на логаритми, логаритамски равенки и неравенки. Ајде да работиме низ секоја формула повторно со примери.

Основен логаритамски идентитет
а дневник a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите
log a (bc) = log a b + log a c
дневник 3 8,1 + дневник 3 10 = дневник 3 (8,1*10) = дневник 3 81 = 4
Логаритмот на количникот е еднаков на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c
9 дневник 5 50 /9 лог 5 2 = 9 дневник 5 50- лог 5 2 = 9 лог 5 25 = 9 2 = 81
Својства на моќноста на логаритамскиот број и основата на логаритамот
Експонент на логаритамскиот број log a b m = mlog a b

Експонент на основата на логаритамот log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

ако m = n, добиваме log a n b n = log a b

дневник 4 9 = дневник 2 2 3 2 = дневник 2 3
Транзиција кон нова основа
log a b = log c b/log c a,
ако c = b, добиваме log b b = 1

тогаш log a b = 1/log b a

лог 0,8 3*лог 3 1,25 = лог 0,8 3*лог 0,8 1,25/лог 0,8 3 = лог 0,8 1,25 = лог 4/5 5/4 = -1

Како што можете да видите, формулите за логаритми не се толку комплицирани како што изгледаат. Сега, гледајќи во примери за решавање логаритми, можеме да преминеме на логаритамски равенки. Ќе разгледаме примери за решавање на логаритамски равенки подетално во статијата: "". Не пропуштајте!

Ако сè уште имате прашања за решението, напишете ги во коментарите на статијата.

Забелешка: решивме да добиеме поинаков степен на образование и да студираме во странство како опција.

Логаритмот на позитивен број b за основата a (a>0, a не е еднаков на 1) е број c таков што a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Забележете дека логаритмот на непозитивен број е недефиниран. Дополнително, основата на логаритамот мора да биде позитивен број кој не е еднаков на 1. На пример, ако квадратиме -2, го добиваме бројот 4, но тоа не значи дека логаритамот на основата -2 од 4 е еднаков до 2.

Основен логаритамски идентитет

a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно е дека опсегот на дефиниција на десната и левата страна на оваа формула е различен. Левата страна е дефинирана само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Десната страна е дефинирана за кое било b, и воопшто не зависи од a. Така, примената на основниот логаритамски „идентитет“ при решавање на равенки и неравенки може да доведе до промена на ОД.

Две очигледни последици од дефиницијата на логаритам

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Навистина, кога го подигаме бројот a на првата моќност, го добиваме истиот број, а кога го подигаме на нулта моќ, добиваме еден.

Логаритам на производот и логаритам на количникот

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Би сакал да ги предупредам учениците од непромислено користење на овие формули при решавање на логаритамски равенки и неравенки. Кога ги користите „од лево кон десно“, ODZ се стеснува, а кога се движите од збирот или разликата на логаритмите до логаритмот на производот или количникот, ODZ се проширува.

Навистина, изразот log a (f (x) g (x)) е дефиниран во два случаи: кога двете функции се строго позитивни или кога f(x) и g(x) и двете се помали од нула.

Трансформирајќи го овој израз во збир log a f (x) + log a g (x), ние сме принудени да се ограничиме само на случајот кога f(x)>0 и g(x)>0. Постои стеснување на опсегот на прифатливи вредности, а тоа е категорично неприфатливо, бидејќи може да доведе до губење на решенија. Сличен проблем постои и за формулата (6).

Степенот може да се извади од знакот на логаритамот

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И повторно би сакал да повикам на точност. Размислете за следниов пример:

Пријавете се a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левата страна на еднаквоста е очигледно дефинирана за сите вредности на f(x) освен нула. Десната страна е само за f(x)>0! Со вадење на степенот од логаритамот, повторно го стеснуваме ОДЗ. Обратна постапка води до проширување на опсегот на прифатливи вредности. Сите овие забелешки важат не само за моќта 2, туку и за секоја изедначена моќ.

Формула за преселба во нова основа

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тој редок случај кога ОДЗ не се менува при трансформација. Доколку паметно сте ја одбрале основата c (позитивна и не еднаква на 1), формулата за преместување во нова база е сосема безбедна.

Ако го избереме бројот b како нова основа c, добиваме важен посебен случај на формулата (8):

Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Неколку едноставни примери со логаритми

Пример 1. Пресметај: log2 + log50.
Решение. log2 + log50 = log100 = 2. Го користевме збирот на логаритми формулата (5) и дефиницијата за децимален логаритам.

Пример 2. Пресметај: lg125/lg5.
Решение. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ја користевме формулата за преместување во нова основа (8).

Табела со формули поврзани со логаритми

a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Дадени се основните својства на природниот логаритам, график, домен на дефиниција, множество вредности, основни формули, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување на функцијата ln x со помош на сложени броеви.

Дефиниција

Природен логаритаме функцијата y = во x, инверзна на експоненцијалот, x = e y, и е логаритам на основата на бројот e: ln x = log e x.

Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.

Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

График на функцијата y = во x.

График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график со огледало одраз во однос на правата y = x.

Природниот логаритам е дефиниран за позитивните вредности на променливата x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.

На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).

Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Секоја функција на моќност x a со позитивен експонент a расте побрзо од логаритамот.

Својства на природниот логаритам

Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување

Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.

ln x вредности

ln 1 = 0

Основни формули за природни логаритми

Формули кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:

Главното својство на логаритмите и неговите последици

Формула за замена на основата

Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:

Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.

Инверзна функција

Инверзната на природниот логаритам е експонентот.

Ако тогаш

Ако тогаш.

Извод ln x

Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Интегрален

Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ :
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.

Според тоа, природниот логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.

Проширување на серијата на моќност

Кога ќе се изврши проширување:

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

главните својства.

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

идентични основи

Дневник6 4 + лог6 9.

Сега да ја комплицираме задачата малку.

Примери за решавање логаритми

Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Транзиција кон нова основа

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Исто така види:

Основни својства на логаритмот

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Основни својства на логаритмите

Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

4. Каде .

Пример 2. Најдете x ако

Пример 3. Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Основни својства на логаритмите

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот.

Формули за логаритам. Логаритми примери решенија.

Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

Исто така види:

Логаритмот од b до основата a го означува изразот. Да се пресмета логаритамот значи да се најде моќта x () при која е задоволена еднаквоста

Основни својства на логаритмот

Неопходно е да се знаат горенаведените својства, бидејќи скоро сите проблеми и примери поврзани со логаритми се решаваат врз основа на нив. Остатокот од егзотичните својства може да се изведат преку математички манипулации со овие формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При пресметување на формулата за збир и разлика на логаритми (3.4) се среќавате доста често. Останатите се малку сложени, но во голем број задачи тие се неопходни за поедноставување на сложените изрази и пресметување на нивните вредности.

Вообичаени случаи на логаритми

Некои од вообичаените логаритми се оние кај кои основата е дури десет, експоненцијална или два.
Логаритмот до основата десет обично се нарекува децимален логаритам и едноставно се означува со lg(x).

Од снимката се гледа дека во снимката не се пишуваат основите. На пример

Природен логаритам е логаритам чија основа е експонент (означен со ln(x)).

Експонентот е 2,718281828…. За да го запомните експонентот, можете да го проучите правилото: експонентот е еднаков на 2,7 и двапати од годината на раѓање на Лав Николаевич Толстој. Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.

И уште еден важен логаритам за основата два е означен со

Изводот на логаритамот на функцијата е еднаков на еден поделен со променливата

Интегралниот или антидеривативниот логаритам се определува со врската

Дадениот материјал е доволен за да решите широка класа на проблеми поврзани со логаритми и логаритми. За да ви помогнам да го разберете материјалот, ќе дадам само неколку вообичаени примери од училишната програма и универзитетите.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

2.
По својството на разлика на логаритми имаме

3.
Користејќи ги својствата 3.5 наоѓаме

4. Каде .

Навидум сложен израз е поедноставен за да се формира со користење на голем број правила

Наоѓање логаритамски вредности

Пример 2. Најдете x ако

Решение. За пресметка, ги применуваме на последниот член 5 и 13 својства

Го ставивме на рекорд и тагуваме

Бидејќи основите се еднакви, ги изедначуваме изразите

Логаритми. Прво ниво.

Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Решение: Да земеме логаритам на променливата за да го запишеме логаритамот преку збирот на нејзините членови

Ова е само почеток на нашето запознавање со логаритмите и нивните својства. Вежбајте пресметки, збогатете ги вашите практични вештини - наскоро ќе ви треба знаењето што ќе го стекнете за да ги решите логаритамските равенки. Откако ги проучувавме основните методи за решавање на вакви равенки, вашето знаење ќе го прошириме на уште една подеднакво важна тема - логаритамски неравенки...

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log6 4 + log6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Да почнеме со својства на логаритмот на еден. Неговата формулација е како што следува: логаритамот на единство е еднаков на нула, односно, логирајте 1=0за кое било a>0, a≠1. Доказот не е тежок: бидејќи a 0 =1 за кој било a ги задоволува горенаведените услови a>0 и a≠1, тогаш логот за еднаквост a 1=0 што треба да се докаже следи веднаш од дефиницијата на логаритамот.

Да дадеме примери за примена на разгледуваното својство: log 3 1=0, log1=0 и .

Ајде да продолжиме на следниот имот: логаритамот на број еднаков на основата е еднаков, тоа е, log a a=1за a>0, a≠1. Навистина, бидејќи a 1 =a за кое било a, тогаш по дефиниција на логаритамот log a a=1.

Примери за користење на ова својство на логаритми се равенките log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

На пример, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритам на производот од два позитивни броја x и y е еднаков на производот од логаритмите на овие броеви: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Дозволете ни да го докажеме својството на логаритмот на производот. Поради својствата на степенот a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и бидејќи според главниот логаритамски идентитет лог a x =x и лог a y =y, тогаш лог a x ·a лог a y =x·y. Така, лог a x+log a y =x·y, од кој, според дефиницијата на логаритам, следи еднаквоста што се докажува.

Да покажеме примери за користење на својството на логаритам на производ: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Својството на логаритмот на производ може да се генерализира на производот на конечен број n од позитивни броеви x 1 , x 2 , …, x n како log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Оваа еднаквост може да се докаже без проблеми.

На пример, природниот логаритам на производот може да се замени со збир од три природни логаритми од броевите 4, e и.

Логаритам на количник на два позитивни броја x и y е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви. Својството на логаритамот на количник одговара на формула од формата , каде што a>0, a≠1, x и y се некои позитивни броеви. Се докажува валидноста на оваа формула како и формулата за логаритам на производ: бидејќи , тогаш по дефиниција за логаритам.

Еве пример за користење на ова својство на логаритмот: .

Ајде да продолжиме на својство на логаритмот на моќноста. Логаритмот на степен е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на модулот на основата на овој степен. Да го напишеме ова својство на логаритмот на моќта како формула: log a b p =p·log a |b|, каде што a>0, a≠1, b и p се броеви такви што степенот b p има смисла и b p >0.

Прво го докажуваме ова својство за позитивно б. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа b p =(a log a b) p , а добиениот израз, поради својството на моќ, е еднаков на p·log a b . Значи, доаѓаме до еднаквоста b p =a p·log a b, од која, според дефиницијата за логаритам, заклучуваме дека log a b p =p·log a b.

Останува да се докаже ова својство за негативно б. Овде забележуваме дека изразот log a b p за негативно b има смисла само за парни експоненти p (бидејќи вредноста на степенот b p мора да биде поголема од нула, во спротивно логаритамот нема да има смисла), а во овој случај b p =|b| стр. Потоа b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, од каде log a b p =p·log a |b| .

На пример, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Тоа произлегува од претходниот имот својство на логаритмот од коренот: логаритмот на n-тиот корен е еднаков на производот од дропот 1/n според логаритамот на радикалниот израз, т.е. , каде што a>0, a≠1, n е природен број поголем од еден, b>0.

Доказот се заснова на еднаквоста (види), која важи за секое позитивно b, и својството на логаритмот на моќноста: .

Еве пример за користење на ова својство: .

Сега да докажеме формула за преминување во нова логаритамска основаљубезен . За да го направите ова, доволно е да се докаже валидноста на логот за еднаквост c b=log a b·log c a. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа log c b=log c a log a b . Останува да се користи својството на логаритмот на степенот: log c a log a b =log a b log c a. Ова ја докажува еднаквоста log c b=log a b·log c a, што значи дека е докажана и формулата за премин кон нова основа на логаритамот.

Да покажеме неколку примери за користење на ова својство на логаритми: и .

Формулата за преместување во нова база ви овозможува да продолжите да работите со логаритми кои имаат „погодна“ основа. На пример, може да се користи за одење до природни или децимални логаритми за да можете да ја пресметате вредноста на логаритам од табела со логаритми. Формулата за преместување во нова логаритамска основа, исто така, овозможува, во некои случаи, да се најде вредноста на даден логаритам кога се познати вредностите на некои логаритми со други основи.

Често се користи посебен случај на формулата за премин кон нова логаритамска основа за c=b од формата . Ова покажува дека log a b и log b a – . На пр. .

Формулата исто така често се користи , што е погодно за наоѓање логаритамски вредности. За да ги потврдиме нашите зборови, ќе покажеме како може да се користи за пресметување на вредноста на логаритам на формата. Ние имаме . Да се докаже формулата Доволно е да се користи формулата за премин кон нова основа на логаритмот a: .

Останува да се докажат својствата на споредување на логаритмите.

Да докажеме дека за кои било позитивни броеви b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а за a>1 – неравенството log a b 1

Конечно, останува да се докаже последното од наведените својства на логаритмите. Да се ограничиме на доказот на неговиот прв дел, односно ќе докажеме дека ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е точно log a 1 b>log a 2 b . Останатите искази на ова својство на логаритмите се докажуваат според сличен принцип.

Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека за 1 >1, 2 >1 и 1 1 е точно log a 1 b≤log a 2 b . Врз основа на својствата на логаритмите, овие неравенки може да се препишат како И соодветно, и од нив следува дека log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, соодветно. Потоа, според својствата на силите со исти основи, мора да важат еднаквостите b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, односно a 1 ≥a 2 . Така, дојдовме до контрадикторност со условот 1

Библиографија.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.

Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).