Ако нацртате неколку отсечки последователно на рамнина така што секоја следна започнува на местото каде што завршила претходната, ќе добиете скршена линија. Овие отсечки се нарекуваат врски, а нивните пресеци се нарекуваат темиња. Кога крајот на последниот сегмент се вкрстува со почетната точка на првиот, ќе добиете затворена скршена линија што ја дели рамнината на два дела. Еден од нив е конечен, а вториот е бесконечен.

Едноставна затворена линија заедно со делот од рамнината затворен во неа (онаа што е конечна) се нарекува многуаголник. Отсечките се страни, а аглите што ги формираат се темиња. Бројот на страни на кој било многуаголник е еднаков на бројот на неговите темиња. Фигурата која има три страни се нарекува триаголник, а четири се нарекува четириаголник. Многуаголникот нумерички се карактеризира со вредност како област, која ја покажува големината на фигурата. Како да се најде плоштината на четириаголник? Ова го учи гранката математика - геометрија.

За да ја пронајдете областа на четириаголник, треба да знаете каков тип е - конвексен или неконвексен? целата лежи релативно исправена (и нужно содржи некои нејзини страни) на едната страна. Покрај тоа, постојат такви типови на четириаголници како паралелограм со парови на еднакви и паралелни спротивни страни (неговите сорти: правоаголник со прави агли, ромб со еднакви страни, квадрат со сите прави агли и четири еднакви страни), трапез со две паралелни спротивни страни и делтоид со два пара соседни страни кои се еднакви.

Областа на кој било многуаголник се наоѓа со општ метод, а тоа е да се подели на триаголници, за секој, да се пресмета плоштината на произволен триаголник и да се додадат резултатите. Секој конвексен четириаголник е поделен на два триаголници, неконвексен четириаголник е поделен на два или три; во овој случај може да се состави од збирот и разликата на резултатите. Површината на кој било триаголник се пресметува како половина од производот на основата (а) и висината (ħ) нацртана до основата. Формулата што се користи во овој случај за пресметка е напишана како: S = ½. а. ħ.

Како да се најде плоштината на четириаголник, како што е паралелограм? Треба да ја знаете должината на основата (а), должината на страната (ƀ) и да го пронајдете синусот на аголот α формиран од основата и страната (sinα), формулата за пресметка ќе изгледа вака: S = а. ƀ. sinα. Бидејќи синусот на аголот α е производ на основата на паралелограмот и неговата висина (ħ = ƀ) - права нормална на основата, неговата плоштина се пресметува со множење на нејзината основа со висината: S = a. ħ. Оваа формула е погодна и за пресметување на плоштината на ромб и правоаголник. Бидејќи страничната страна ƀ на правоаголникот се совпаѓа со висината ħ, неговата плоштина се пресметува со формулата S = a. ƀ. бидејќи a = ƀ, ќе биде еднаков на квадратот на неговата страна: S = a. a = a². се пресметува како половина од збирот на неговите страни помножен со висината (тоа е нацртано нормално на основата на трапезот): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Како да се најде плоштината на четириаголник ако должините на неговите страни се непознати, но се познати неговите дијагонали (е) и (f), како и синусот на аголот α? Во овој случај, плоштината се пресметува како половина од производот на нејзините дијагонали (правиите што ги поврзуваат темињата на многуаголникот) помножени со синусот на аголот α. Формулата може да се запише на следниов начин: S = ½. (д. ѓ) . sinα. Особено, во овој случај тоа ќе биде еднакво на половина од производот на дијагоналите (линии што ги поврзуваат спротивните агли на ромбот): S = ½. (д. ѓ).

Како да се најде плоштината на четириаголник што не е паралелограм или трапез; обично се нарекува произволен четириаголник. Областа на таква фигура се изразува преку нејзиниот полупериметар (P е збир на две страни со заедничко теме), страни a, ƀ, c, d и збирот на два спротивни агли (α + β): S = √[(P - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - в) . (Ρ - г) - а. ƀ. в. г. cos² ½ (α + β)].

Ако a φ = 180°, тогаш за да се пресмета неговата површина употребете ја формулата на Брамагупта (индиски астроном и математичар кој живеел во 6-7 век од нашата ера): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - в) . (Ρ - г)]. Ако четириаголник е опишан со кружница, тогаш (a + c = ƀ + d), а неговата плоштина се пресметува: S = √[ a. ƀ. в. г] . sin ½ (α + β). Ако четириаголник е истовремено опкружен со една кружница и впишан во друга круг, тогаш се користи следната формула за пресметување на плоштината: S = √.

Површина на геометриска фигура- нумеричка карактеристика на геометриска фигура што ја покажува големината на оваа фигура (дел од површината ограничен со затворената контура на оваа фигура). Големината на површината се изразува со бројот на квадратни единици содржани во неа.

Формули за плоштина на триаголник

1. Формула за плоштина на триаголник на страна и висина
   Плоштина на триаголникеднаква на половина од производот од должината на страната на триаголникот и должината на висината нацртана на оваа страна
   
2. Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кружниот круг
   
3. Формула за плоштина на триаголник заснована на три страни и радиус на впишаниот круг
   Плоштина на триаголнике еднаков на производот на полупериметарот на триаголникот и радиусот на впишаната кружница.
   
каде што S е плоштината на триаголникот,
- должини на страните на триаголникот,
- висина на триаголникот,
- аголот помеѓу страните и,
- радиус на впишаниот круг,
R - радиус на ограничениот круг,

Формули за квадратна површина

1. Формула за плоштина на квадрат по должина
   Квадратна површинаеднаков на квадратот на должината на неговата страна.
2. Формула за плоштина на квадрат по должината на дијагоналата
   Квадратна површинаеднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала.
   

   S=	1	2
   	2

каде што S е плоштината на квадратот,
- должина на страната на квадратот,
- должина на дијагоналата на квадратот.

Формула за површина на правоаголник

Површина на правоаголникеднаков на производот од должините на неговите две соседни страни

каде што S е плоштината на правоаголникот,
- должини на страните на правоаголникот.

Формули за паралелограмска површина

1. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на должината и висината на страната
   Плоштина на паралелограм
2. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на две страни и аголот меѓу нив
   Плоштина на паралелограме еднаков на производот од должините на неговите страни помножен со синусот на аголот меѓу нив.
   

   a b sin α

каде што S е плоштината на паралелограмот,
- должини на страните на паралелограмот,
- должина на висина на паралелограм,
- аголот помеѓу страните на паралелограмот.

Формули за плоштина на ромб

1. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и висината на страната
   Површина на ромбеднаков на производот од должината на неговата страна и должината на висината спуштена на оваа страна.
2. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и аголот на страната
   Површина на ромбе еднаков на производот од квадратот на должината на неговата страна и синусот на аголот помеѓу страните на ромбот.
3. Формула за плоштина на ромб врз основа на должините на неговите дијагонали
   Површина на ромбеднаква на половина од производот од должините на неговите дијагонали.
каде што S е плоштината на ромбот,
- должина на страната на ромбот,
- должина на висината на ромбот,
- аголот помеѓу страните на ромбот,
1, 2 - должини на дијагонали.

Формули за трапезоидна област

1. Херонова формула за трапез

   Каде што S е областа на трапезоидот,
   - должини на основите на трапезоидот,
   - должини на страните на трапезоидот,
   

Прво ниво

Плоштина на триаголник и четириаголник. Примери за решавање проблеми (2019)

Одредување на површина

Што е област? Чудно прашање - нели? Во обичниот живот, ние сме навикнати на фактот дека сите видови рамни фигури (како што се површината на масата, столот, подот на нашите станови итн.) имаат не само должина и ширина, туку и некои други карактеристики што ние, без размислување, го нарекуваме област. Сега да размислиме: што е област сепак?

Да почнеме со наједноставната работа. Основата е фактот дека:

Со други зборови, површината на квадрат со страна еден метар ја сметаме за еден „метар површина“.

Погледнете ја внимателно сликата и уверете се дека навистина е нацртана таму - „метар квадратен“! И запомнете ја ознаката.

Сега еве едно незгодно прашање: што е тоа? Плоштина на квадрат со страна? Но не!

Погледнете: квадрат со страна.

И за да добиеме квадратни метри (т.е.), мора да нацртаме, на пример, вака:

Како да се добие, да речеме,? Па, на пример вака:

И воопшто, ако земеме правоаголник чии страни се еднакви на метри и метри, тогаш во овој правоаголник:

Одговара точно квадратни метри. Погледнете внимателно: имаме „слоеви“, од кои секоја е точно квадратни метри.

Тоа значи дека вкупно квадратни метри се вклопуваат во правоаголник со големина x. Овој број, колку квадратни метри се вклопуваат во правоаголник, е негова квадрат.

Што ако фигурата воопшто не е правоаголник, туку некој вид абракадабра?

Ќе ве изненадам - ​​има такви страшни абракадабри за кои е апсолутно невозможно да се одреди колку квадратни метри има. Дури и приближно! За жал, невозможно е да се извлечат такви бројки.

Но, тие постојат! Тие изгледаат како, на пример, „чешел“ со многу фини заби.

И така, за нормални фигури, можете интуитивно (односно, за себе) да претпоставите дека плоштината на фигурата е бројот на квадратни единици (метри, сантиметри, итн.) кои „се вклопуваат“ во оваа бројка. строга, „реална“ област за дефиниција, видете ги следните нивоа на теорија.

И само замислете, математичарите научиле да изразуваат области за многу фигури преку некои линеарни (оние што може да се измерат со линијар) елементи на фигурите. Овие изрази се нарекуваат „формули за област“. Има доста од овие формули - математичарите се обидуваат долго време. Обидете се прво да ги запомните наједноставните и најосновните формули, а потоа и посложените.

Формули за површина

Плоштад

Правоаголник

Правоаголен триаголник

Триаголник (бесплатен)

Постојат неколку формули за површина за триаголник.

Основна формула

Втора основна формула

Трета формула

Која формула треба да ја изберете за вашиот проблем? Главните се формулите 1 и 2. Третата формула мора да се примени ако ви е дадено сè: три страни и радиусот на впишаниот круг. Но, тоа не се случува, нели? Затоа ја користиме формулата 3, попрво спротивното, да се најде радиусот на впишаната кружница. Потоа треба да ја пронајдете областа користејќи една од формулите 1, 2 или 4, а потоа радиусот: .

Па, формулата 4 ви овозможува да ја пронајдете областа на двете страни користејќи долга аритметика. И не правете грешки во аритметиката кога ја применувате формулата на Херон!

Произволен четириаголник

За произволен четириаголник нема ништо повеќе, но за „добри“ четириаголници има и други формули.

Паралелограм

Основна формула

Втора формула

Ромб

Ромб има дијагонали кои се нормални, па основниза него станува формула:

Втора формула

И дополнителната формула станува

Трапезоид

Основна формула

Втора формула

„Лешки прашања за областа“

Покрај проблемите кои едноставно бараат од вас да ја пронајдете областа, има и секакви прашања. Па, на пример:

Ајде да одговориме на ова прашање на два начина. Првиот метод е формален: ја користиме формулата за плоштина на квадрат. Така, беше, што значи дека површината е зголемена неколку пати!

Во случај на квадрати, постои втор начин да се „допре“ и директно да се увери во оваа бројка.

Ајде да нацртаме:

Ако немате квадрат, тогаш останува само да ги замените новите вредности во формулите - и немојте да се изненадите ако бројките одеднаш се покажат дека се прилично големи.

ПЛОШТИНА НА ТРИАГОЛНИК И КВАДАГОН. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Правоаголен триаголник

Четириаголнике фигура која се состои од четири темиња, од кои три не лежат на иста права, и отсечки што ги поврзуваат.

Има многу четириаголници. Тие вклучуваат паралелограми, квадрати, ромбови и трапезоиди. Наоѓањето може да се најде по страните, лесно да се пресмета со дијагонали. Во произволен четириаголник, можете исто така да ги користите сите елементи за да ја изведете формулата за плоштината на четириаголникот. Прво, да ја погледнеме формулата за плоштината на четириаголник во однос на неговата дијагонала. За да го користите, ќе ви требаат должините на дијагоналите и големината на акутниот агол меѓу нив. Знаејќи ги потребните податоци, можете да извршите пример за пресметување на плоштината на четириаголник користејќи ја следнава формула:

Половина од производот на дијагоналите и синусот на акутниот агол меѓу нив е плоштината на четириаголникот. Да разгледаме пример за пресметување на плоштината на четириаголник користејќи ја дијагоналата.

Нека е даден четириаголник со две дијагонали d1 =5 cm;d2 =4cm. Остриот агол меѓу нив е α = 30°. Формулата за плоштина на четириаголник во однос на неговите дијагонали лесно се применува за познати услови. Да ги замениме податоците:

Користејќи го примерот за пресметување на плоштината на четириаголник со помош на дијагонали, разбираме дека формулата е многу слична на пресметката.

Површина на четириаголник долж страните

Кога се познати должините на страните на фигурата, можете да ја примените формулата за плоштина на четириаголник долж страните. За да ги примените овие пресметки, ќе треба да го пронајдете полупериметарот на сликата. Се сеќаваме дека периметарот е збир од должините на сите страни. Полупериметар е половина периметар. Во нашиот правоаголник со страни a, b, c, d, полупериметарската формула ќе изгледа вака:
Знаејќи ги страните, ја изведуваме формулата. Областа на четириаголник е коренот на производот на разликата помеѓу полупериметарот и должината на секоја страна:

Ајде да погледнеме пример за пресметување на плоштината на четириаголник со помош на неговите страни. Даден е произволен четириаголник со страни a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm. Прво, да го најдеме полупериметарот:

користете ја пронајдената вредност за да ја пресметате областа:

Плоштина на четириаголник дадена со координати

Формулата за плоштина на четириаголник по координати се користи за пресметување на плоштината на фигурите што се наоѓаат во координатниот систем. Во овој случај, прво треба да ги пресметате должините на потребните страни. Во зависност од типот на четириаголник, самата формула може да се промени. Ајде да погледнеме пример за пресметување на плоштината на четириаголник користејќи квадрат што лежи во координатниот систем XY.

Даден е квадрат ABCD лоциран во координатен систем XY. Најдете ја плоштината на фигурата ако координатите на темињата се A (2;10); Б(10;8); C(8;0); D(0;2).

Знаеме дека сите страни на фигурата се еднакви, а формулата за плоштина на квадрат се наоѓа со формулата:
Ајде да најдеме една од страните, на пример, AB:
Ајде да ги замениме вредностите во формулата:
Знаеме дека сите страни се исти. Вредноста ја заменуваме во формулата за пресметување на површината:

Овој онлајн калкулатор помага да се пресмета, одреди и пресмета површината на земјишна парцела преку Интернет. Презентираната програма може правилно да предложи како да се пресмета површината на парцели со неправилна форма.

Важно! Важното подрачје треба приближно да се вклопи во кругот. Во спротивно, пресметките нема да бидат целосно точни.

Ги означуваме сите податоци во метри

A B, D A, C D, B C- Големината на секоја страна од парцелата.

Според внесените податоци, нашата програма врши онлајн пресметки и ја одредува површината на земјиштето во квадратни метри, акри, акри и хектари.

Метод за рачно одредување на големината на парцелата

За правилно пресметување на површината на парцелите, не треба да користите сложени алатки. Земаме дрвени штипки или метални шипки и ги инсталираме во аглите на нашата страница. Следно, со помош на мерна лента, одреди ја ширината и должината на парцелата. По правило, доволно е да се измери една ширина и една должина, за правоаголни или рамнострани области. На пример, ги имаме следните податоци: ширина – 20 метри и должина – 40 метри.

Следно, преминуваме кон пресметување на површината на парцелата. Ако обликот на областа е точен, можете да ја користите геометриската формула за одредување на плоштината (S) на правоаголник. Според оваа формула, треба да ја помножите ширината (20) со должината (40), односно производот од должините на двете страни. Во нашиот случај S=800 m².

Откако ќе ја одредиме нашата површина, можеме да го одредиме бројот на хектари на парцелата. Според општо прифатените податоци, сто квадратни метри се 100 m². Следно, користејќи едноставна аритметика, ќе го поделиме нашиот параметар S со 100. Готовиот резултат ќе биде еднаков на големината на парцелата во хектари. За нашиот пример, овој резултат е 8. Така, откриваме дека површината на парцелата е осум хектари.

Во случај кога површината на земјиштето е многу голема, најдобро е да се извршат сите мерења во други единици - во хектари. Според општо прифатените мерни единици - 1 Ha = 100 хектари. На пример, ако нашата земјишна парцела, според добиените мерења, е 10.000 m², тогаш нејзината површина во овој случај е еднаква на 1 хектар или 100 хектари.

Ако вашата парцела е со неправилна форма, тогаш бројот на хектари директно зависи од областа. Поради оваа причина, користејќи онлајн калкулатор, можете правилно да го пресметате параметарот S на заплетот, а потоа резултатот да го поделите со 100. Така, ќе добиете пресметки во сто квадратни метри. Овој метод овозможува мерење на парцели на сложени форми, што е многу погодно.

Вкупно информации

Пресметката на површината на парцелите се заснова на класични пресметки, кои се вршат според општо прифатените геодетски формули.

Достапни се неколку методи за пресметување на површината на земјиштето - механички (пресметано според планот со помош на мерни палети), графички (утврдени со проектот) и аналитички (со користење на формулата за површина врз основа на измерени гранични линии).

Денес, најточниот метод заслужено се смета за аналитички. Со користење на овој метод, грешките во пресметките обично се појавуваат поради грешки во теренот на измерените линии. Овој метод е исто така доста комплициран ако границите се криви или бројот на агли на заплетот е повеќе од десет.

Графичкиот метод е малку полесен за пресметување. Најдобро се користи кога границите на локацијата се претставени во форма на скршена линија, со мал број вртења.

И најпристапниот и наједноставниот метод, и најпопуларниот, но во исто време и најголемата грешка е механичкиот метод. Користејќи го овој метод, можете лесно и брзо да ја пресметате површината на земјиштето со едноставна или сложена форма.

Меѓу сериозните недостатоци на механичкиот или графичкиот метод се издвојуваат следново: покрај грешките при мерењето на површината, при пресметките се додава грешка поради деформација на хартијата или грешка при изработката на плановите.