Триаголник МНП со страни MP=6\sqrt(3)а MN=NP лежи во основата на десната призма MNPM_(1)N_(1)P_(1) . Точката K е избрана на работ NN_(1) така што NK:N_(1)K=3:4 . Во овој случај, аголот помеѓу рамнината MNP и рамнината MKP е 60^(\circ) .
а) Докажете дека растојанието помеѓу правите линии MN и M_1P_1 е еднакво на страничниот раб на призмата.
б) Со оглед на KP=9, пресметај го растојанието помеѓу правите MN и M_(1)P_(1) .
Прикажи решениеРешение
а) Правата MN лежи во рамнината \лево (MNN_(1) \десно) , \лево (M_(1)P_(1) \десно) и се сече \лево (MNN_(1) \десно) во точката M_(1 ) , тогаш, според критериумот на коси линии, MN и M_(1)P_(1) се закосени линии.
Рамнините MNP и M_(1)N_(1)P_(1) се паралелни како основите на призмата. Според условот, призмата е права, што значи дека секој страничен раб е нормален на основите, па затоа е растојанието помеѓу линиите на вкрстување MN и M_(1)P_(1), што требаше да се докаже.
б) Да нацртаме NH\perp MP, тогаш NH е висината и средината во рамнокрак \големиот триаголник MNP. KH е средна \голем триаголник MKP . NH е проекцијата на KH на \лево (MPN \десно) и NH\perp MP . Затоа, KH\perp MP (по теоремата за три нормални).
\аголот KHN е линеарниот агол на диедралниот агол KMPN, од кој \аголот KHN = 60^(\circ) .
Во \bigtriangleup KPH крак KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \sqrt(81-27)=\sqrt(54)=3\sqrt(6).
Задача В2 #29
Основата на правилната призма е рамнокрак триаголник
Додадено 22.03.2011 23:17
Состојба:
Во основата на правата призма ABCA1B1C1 лежи рамнокрак триаголник ABC, чија основа BC е еднаква на 3. Страничната површина на призмата е 32. Најдете ја плоштината на пресекот на призмата на рамнината што минува низ CB1 паралелно со висината на основата АД. Растојанието од А до рамнината на пресекот е 6/5.Решение:
1. Ајде да се справиме со пресекот. Бидејќи е паралелна со AD, тогаш неговата рамнина припаѓа на правата линија LK, паралелна на AD и поминува низ средината на CB1. Отсечката LK е еднаква на AD, и бидејќи K е средната точка на CB1, тогаш L е средната точка на AA1.
2. Бидејќи L е средната точка на AA1, тогаш LC = LB1, што значи дека триаголникот CLB1 е рамнокрак, а неговата плоштина, која треба да ја најдеме, е еднаква на CB1*LK/2.
3. Нека x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Потоа од условите плоштината на страничната површина на призмата да е еднаква на 32, а BC = 3, добиваме
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, или
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Растојанието AH од точката A до рамнината CLB1 е еднакво на растојанието од A до правата линија LM паралелна на CB1 и минува низ точката L.
LAM е правоаголен триаголник, каде што AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Неговата област е
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Од тука добиваме
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Од равенка. (2)
откриваме дека висината на призмата е y = 4.
6. Од равенка. (1)
, знаејќи го y, откриваме дека висината на основата на призмата е x = 2.
7. Плоштина на триаголник CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5
Задача В2 #29
Основата на правилната призма е рамнокрак триаголник
Додадено 22.03.2011 23:17
Состојба:
Во основата на правата призма ABCA1B1C1 лежи рамнокрак триаголник ABC, чија основа BC е еднаква на 3. Страничната површина на призмата е 32. Најдете ја плоштината на пресекот на призмата на рамнината што минува низ CB1 паралелно со висината на основата АД. Растојанието од А до рамнината на пресекот е 6/5.Решение:
1. Ајде да се справиме со пресекот. Бидејќи е паралелна со AD, тогаш неговата рамнина припаѓа на правата линија LK, паралелна на AD и поминува низ средината на CB1. Отсечката LK е еднаква на AD, и бидејќи K е средната точка на CB1, тогаш L е средната точка на AA1.
2. Бидејќи L е средната точка на AA1, тогаш LC = LB1, што значи дека триаголникот CLB1 е рамнокрак, а неговата плоштина, која треба да ја најдеме, е еднаква на CB1*LK/2.
3. Нека x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Потоа од условите плоштината на страничната површина на призмата да е еднаква на 32, а BC = 3, добиваме
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, или
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Растојанието AH од точката A до рамнината CLB1 е еднакво на растојанието од A до правата линија LM паралелна на CB1 и минува низ точката L.
LAM е правоаголен триаголник, каде што AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Неговата област е
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Од тука добиваме
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. Од равенка. (2)
откриваме дека висината на призмата е y = 4.
6. Од равенка. (1)
, знаејќи го y, откриваме дека висината на основата на призмата е x = 2.
7. Плоштина на триаголник CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5