ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.
ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ (Хь Х 2)ಎರಡು ನಿರಂತರ ರು. ವಿ. ಮತ್ತು ಅವರ ಮೊತ್ತ
ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ c. ವಿ. U. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವಿಮಾನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x+ x 2 (ಚಿತ್ರ 9.4.1):
y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು p.r ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Y = X + X 2:
φ (x b x 2) = Xj + x 2 ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ
ಜೊತೆ ಇದ್ದರೆ. ವಿ. Xಮತ್ತು X 2 ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು (9.4.2) ಮತ್ತು (9.4.3) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:
ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ರು. ವಿ. X xಮತ್ತು X 2,ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿ. ಉತ್ಪಾದಿಸು ಸಂಯೋಜನೆವಿತರಣೆಯ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು - ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ರು ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಸಿ., ಈ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (9.4.4) ಅಥವಾ (9.4.5) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಎರಡು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳ (ಟಿಡಿ) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ TU ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ವೈಫಲ್ಯ (ವೈಫಲ್ಯ) ನಂತರ ಅದನ್ನು TU 2 ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಸಮಯಗಳು TU L TU 2 - X xಮತ್ತು X 2 - A,1 ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X 2.ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಯ ವೈತಾಂತ್ರಿಕ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನದ ತೊಂದರೆ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ! ಮತ್ತು TU 2, ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಇದು p.r ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈ,ಅಂದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು X 2.
ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (9.4.4) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (y > 0)
ಒಂದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಇದ್ದರೆ (?ts = X 2 = Y), ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ (9.4.8) ನಾವು 0/0 ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (6.4.8) ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು ಒಂದೇ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು (?ts =) ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. X 2 = X)ಎರ್ಲಾಂಗ್‌ನ ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಕಾನೂನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (9.4.9). ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ X xಮತ್ತು A-2 ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಅವರ ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಕಾನೂನನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು (9.4.8). ?
ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಎರಡು ಸೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ವಿ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಸ್. ವಿ. (X ಮತ್ತು X 2)ಜಂಟಿ p.r./(x b x 2) ಹೊಂದಿದೆ. p.r ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅವರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು Y= X - X 2.
ಪರಿಹಾರ. ಜೊತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ. ವಿ. (X b - X 2)ಇತ್ಯಾದಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ/(x b - x 2),ಅಂದರೆ ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಿ.ಆರ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ (9.4.2), (9.4.3)):
ಒಂದು ವೇಳೆ ಜೊತೆಗೆ. ವಿ. X x iX 2 ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಹುಡುಕಿ p.r. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ s ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ವಿ. ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ X xಮತ್ತು X 2.
ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (9.4.11) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಕ್ಕಿ. 9.4.2 ಅಕ್ಕಿ. 9.4.3
ಚಿತ್ರ 9.4.2 p.r. ಜಿ(y) ನಾವು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ s ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ. ವಿ. ಅದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಎ-ಐ= X 2 = ಎ,),ಅದು ಜಿ(y) = /2 - ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾನೂನು (ಚಿತ್ರ 9.4.3). ?
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ರು ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ವಿ. Xಮತ್ತು X 2,ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು xಮತ್ತು a 2.
ಪರಿಹಾರ. ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಸ್. ವಿ. Y= X x + X 2 ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ a x2) - a x + a 2. ?
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ರು ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ವಿ. X xಮತ್ತು X 2,ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ p x ri p 2, pಕ್ರಮವಾಗಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಗಳನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ವಿ. X xಹಾಗೆ:
ಎಲ್ಲಿ X 1) -ಈವೆಂಟ್ ಸೂಚಕ ಎವು ಅವರ ಅನುಭವ:
ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಪು. ವಿ. X,- ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಗಳಿಗೆ ಇದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವಿ. X 2:ಅಲ್ಲಿ X] 2) - ಈವೆಂಟ್ ಸೂಚಕ ಎ y"-ನೇ ಅನುಭವದಲ್ಲಿ:
ಆದ್ದರಿಂದ,
X ಎಲ್ಲಿದೆ? 1)+(2) ಈವೆಂಟ್ ಸೂಚಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಉ:
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ರು. ವಿ. ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ (u + n 2)ಈವೆಂಟ್ ಸೂಚಕಗಳು ಎ, ಅದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ರು. ವಿ. ^ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ( p x + ಪು 2), ಆರ್.
ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿದ್ದರೆ ಗಮನಿಸಿ ಆರ್ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ರುಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ. in., ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು c ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಸಿ., ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ?
ಉದಾಹರಣೆಗಳು 3 ಮತ್ತು 4 ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಸನ್ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ a b a 2, ..., ಒಂದು ಟಿಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a (t) = a x + a 2 + ... + ಮತ್ತು ಟಿ.
ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ (ಪು ಪಿ ಪಿ); (ನಾನು 2, ಆರ್) , (p t, p)ಮತ್ತೆ ನಾವು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ("("), ಆರ್),ಎಲ್ಲಿ n (t) = n + n 2 + ... + ಪಿ ಟಿ.
ನಾವು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ: "ಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿ". ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮರ್ಥನೀಯ,ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಎರಡು ಕಾನೂನುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ (ಈ ಕಾನೂನಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಉಪವಿಭಾಗ 9.7 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅದೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ
. (1.18.35)
ಇಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು (1.18.31) ಮತ್ತು (1.18.35) ನೀಡುತ್ತವೆ
. (1.18.36)
ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ
.
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಸಮಾನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (1.18.20)
. (1.18.37)
ಎರಡೂ ಕಾನೂನುಗಳು (1.18.37) ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (1.18.37) ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ
.
ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು, ಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
, (1.18.38)
ಎ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
. (1.18.39)
ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವಿತರಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವ್ಯತ್ಯಾಸ – .
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಅವಲಂಬನೆ (1.18.38) ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ
, (1.18.40)
ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆ ಮೇಲೆ .
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸದೃಶವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ
, (1.18.41)
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಇದೆ
, (1.18.42)
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ
. (1.18.43)
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ ತೋರುತ್ತಿದೆ
. (1.18.44)
ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ಗಳು (1.18.40) ಮತ್ತು (1.18.44) ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಗಳು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಕೆಲಸದ ಅಂತ್ಯ -
ಈ ವಿಷಯವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ:
ಗಣಿತದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು
ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ.. ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ..
ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಷಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳ ಡೇಟಾಬೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಈ ವಸ್ತುವು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾಜಿಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಪುಟಕ್ಕೆ ಉಳಿಸಬಹುದು:
| ಟ್ವೀಟ್ ಮಾಡಿ |
ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳು:
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾದ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಈವೆಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅನುಭವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು (ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನ). ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗ
ಕೆಲವು ಅನುಭವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಇರಲಿ, ಮತ್ತು: 1) ಅನುಭವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿಷಯ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಗಳು
ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು
ಮರುಜೋಡಣೆಗಳು
ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ
ನಿಯೋಜನೆಗಳು
ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ
ಸಂಯೋಜನೆಗಳು
ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ
ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸೂತ್ರ
ಪ್ರಮೇಯ. ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (1
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸೂತ್ರ
ಪ್ರಮೇಯ. ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇಲ್ಲದೆ ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರ
ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ
ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಊಹೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಊಹೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸೂತ್ರ (ಬೇಯೆಸ್)
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಊಹೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಘಟನೆ
ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರ
ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ, ಅಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರ
ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆಗ ಅದನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ
ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕ್ರಮದ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ
ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೋಡ್, ಮಧ್ಯಮ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳು
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ: ಅವಕಾಶ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ
ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಏಕರೂಪದ ನಿಯಮವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ
ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಈಗ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರಚನೆಯಾಗಲಿ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಹುಶಃ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ವಿತರಣೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕಾನೂನುಗಳು
ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿರಲಿ
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ
ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲಿ
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಿಸ್ತಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಮೂಹದ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಭ್ಯಾಸವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ
ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ, ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ
ಯಾವುದೇ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಆದರೆ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿಯಮಗಳು ನೈಜ ಮಾದರಿಗಳ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿವಿಧ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮೂಹ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ
ಸರಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ
ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅನುಭವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿ. ಬಾರ್ ಚಾರ್ಟ್
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ನೂರರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲು ಅನಾನುಕೂಲ ಮತ್ತು ತೊಡಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತು
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು. ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಆಯ್ಕೆ
ಯಾವುದೇ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,
ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯ ಸಮರ್ಥನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ ಅಥವಾ
ಒಪ್ಪಿಗೆಯ ಮಾನದಂಡ
ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಒಳ್ಳೆಯತನದ-ಫಿಟ್ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಊಹೆ
ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳು
ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ. 2.1. - 2.7 ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇವು
ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜುಗಳು
ಅಜ್ಞಾತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಡಿ
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ. ವಿಶ್ವಾಸ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂದಾಜು ಬದಲಿ
ಮೂರನೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ Zಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ಅದು
ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ 
ಕ್ರಮವಾಗಿ. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ Z
ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಿರುವುಅಥವಾ ಸಂಯೋಜನೆಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ.
ಈ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವೇಳೆ
.
ಉದಾಹರಣೆ.ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ X 1 ಮತ್ತು X 2 ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:
ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು (13.2.1) ಗೆ ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ 
ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 13.2.1 ನೋಡಿ). ಒಂದು ವೇಳೆ 
, ನಂತರ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಿಪ್ಸನ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರ 13.2.1 ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವಿತರಣೆ - ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುರುಳಿ.
13.3. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆ
ಒಂದು ವೇಳೆ 
,
Xಮತ್ತು ವೈಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ನಂತರ ಮೊತ್ತ 
Zಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
,
ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (13.2.1) ನೇರ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಈ ಸತ್ಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ 
ಮತ್ತು 
.
ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ
, (13.3.1)
ಎಲ್ಲಿ 
ಮತ್ತು ಬಿ- ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು X i
- ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ 
ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು 
, ಅದು ವೈಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
(13.3.2)
ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ
. (13.3.3)
ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ, ಮೊತ್ತವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವೇಳೆ
,
. (13.3.4)
14. ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು
14.1 ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಭವದಿಂದ ತಿಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧಾರಕದ ಗೋಡೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಿಲದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಒತ್ತಡವು ಗೋಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಅನಿಲ ಅಣುಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒತ್ತಡವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ದೇಹದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಚಲನೆಯ ಸರಾಸರಿ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ದೇಹದ ಉಷ್ಣತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ಹೇಳಬಹುದು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚಾರ್ಜ್‌ಗಳ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳು) ಚಲನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂತಹ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಬಹುತೇಕ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಚಲನಗಳು, ಪ್ರತಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿದ್ಯಮಾನದಲ್ಲಿ ಅನಿವಾರ್ಯ, ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನೆಲಸಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನೆಲಸಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಸತ್ಯ - ಸರಾಸರಿಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ - ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು:ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಖಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು.
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸರಣಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಮಿತಿ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶವು i j ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ X i ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೈಜ.
- 1. ರಾಡ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಪ್ರಯೋಗವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ರಾಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ರಾಡ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ದಪ್ಪ (ನೀವು ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು - ಪರಿಮಾಣ, ತೂಕ, ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).
- 2. ನಾವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಗಮಗಳ ಷೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವಿನಿಮಯ ವಹಿವಾಟಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಂದು ಅವುಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಈ ನಿಗಮಗಳ ಷೇರುಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದಾಯ.
ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಅಥವಾ "ಎರಡು ಆಯಾಮದ" ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು.
ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (- ಎನ್ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು - ಕೆಮೌಲ್ಯಗಳು), ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು X i , ವೈ ಜ(ಎಲ್ಲಿ X iಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಮತ್ತು ವೈ ಜ- ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್) ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಪ i ಜ, ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ i ಜ(ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ಇದು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ = xi; = YJ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ.
ಈ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು:
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ:
ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ ಆರ್ i ಜವಿ iಸಾಲು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x i ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ ಆರ್ i ಜವಿ ಜನೇ ಕಾಲಮ್, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೈ ಜ .
ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ X i ಪ i (i = 1,2,ಎನ್) ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು, ಹಾಗೆಯೇ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ ಜ ಪ ಜ (ಜ = 1,2,ಕೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ:
ಈ ಹಿಂದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ:
pij=PiP j (i= 1,2,,ಎನ್;j= 1,2,ಕೆ).
ಇದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವಲಂಬಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆ ಏನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು?
ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವೈ 1 . ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ X iಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ:
ಪ ನಾನು/ 1 = (1)
ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ = X iನಲ್ಲಿ = ವೈ 1 . ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಪ iಘಟನೆಗಳು = X i, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ (1) ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:
ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ X i ಆರ್ i / 1 , (i=1,2,ಎನ್) = ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ 1 . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ವೈ 2 ;ವೈ 3 , ವೈ ಎನ್, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ X iಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ:
ಪ i/j = ().
= ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ ಜ
ನೀವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು = ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ವೈ ಜ
ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು = ನಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು X iಅನುಸರಣೆ
(ಜ = 1,2,ಕೆ).
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು = ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು X i :
ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಟೇಬಲ್ (*) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂ:
/ = ವೈ ಜ ,
ನಲ್ಲಿ ಜ = 1,2,ಕೆ, ಇದು M ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.
ಉದಾಹರಣೆ I. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
=2 ಮತ್ತು =0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ರಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ
Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿಯೂ ಸಹ Р(=3; =0)=0.
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ: ಮೌಲ್ಯ =1 ಕೇವಲ =2 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮೌಲ್ಯ =2 ಮಾತ್ರ =3 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ =0 ಗಾಗಿ ನಾವು 3/4 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. 1 ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/4 ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ 2.
ಉದಾಹರಣೆ III. ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು =1,2,3 ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರರು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ವಿಚಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಂದ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಸಹವರ್ತಿ ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೋವ್(;) = ಎಂ((- ಎಂ)(- ಎಂ))
ಅವಕಾಶ = X 1 , X 2 ,X 3 , X ಎನ್ , = ವೈ 1 ,ವೈ 2 ,ವೈ 3 ,ವೈ ಕೆ .
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (2) ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ .
ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ( X i - ಎಂ)(ವೈ ಜ - ಎಂ), ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಂತರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನೇರ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಇದು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ: ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೆಳೆದಂತೆ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರೆ ( X i - ಎಂ)(ವೈ ಜ - ಎಂ)ಪ i ಜ, ನಂತರ ನಾವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅವರು ಪರಸ್ಪರ "ರದ್ದುಮಾಡುತ್ತಾರೆ" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅವಲಂಬನೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ:
ಪ((= X i)(= ವೈ ಜ)) = ಪ(= X i)ಪ(= ವೈ ಜ) (i = 1,2,ಎನ್; ಜ = 1,2,ಕೆ),
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (2) ನಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ (ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ).
ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ
cov(;)= ಎಂ(- ಎಂ- ಎಂ+ಎಂಎಂ)=ಎಂ()- ಎಂ(ಎಂ)- ಎಂ(ಎಂ)+ಎಂ(ಎಂಎಂ)= ಎಂ()- ಎಂಎಂ- ಎಂಎಂ+ಎಂಎಂ=ಎಂ()- ಎಂಎಂ
ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ:
ಎಂ()=ಎಂಎಂ.
(ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು cov(;)=0.
- 1. ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 5 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಕೈಬಿಡಲಾದ ಕೋಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಎಸೆತಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಬಿಡಲಾದ ಕೋಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು.
- 2. 32 ಹಾಳೆಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಎರಡು ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಏಸಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ರಾಜರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು.