ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ. ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಸಭಾಂಗಣದಲ್ಲಿ ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಟ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸಂದರ್ಶಕನು ಸಿಹಿ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ - ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ. ಈ ಲೇಖನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಸಹಬಾಳ್ವೆ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಟ್ವಿಕ್ಸ್ ತಿನ್ನಿರಿ! ... ಡ್ಯಾಮ್, ಎಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಗುಂಪೇ. ಆದರೂ, ಸರಿ, ನಾನು ಸ್ಕೋರ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಧ್ಯಯನದ ಬಗ್ಗೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮನೋಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ರೇಖೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರಮತ್ತು ಇತರ ಪದಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ "ವೆಕ್ಟರ್" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದಾದ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಐದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅಥವಾ ಹವಾಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್, ನಾನು ಜಿಸ್ಮೆಟಿಯೊಗೆ ಹೋಗಿದ್ದೇನೆ: ಕ್ರಮವಾಗಿ ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ವಾತಾವರಣದ ಒತ್ತಡ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಯಾರೂ ನಿಷೇಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಶರತ್ಕಾಲದ ಉಸಿರು ...

ಇಲ್ಲ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಥಿಯರಿ, ಲೀನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳಿಂದ ಬೇಸರವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಹೊಸ ಪದಗಳು (ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ, ಆಧಾರ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳ, ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪಾಠಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುಮತ್ತು ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ಪ್ಲೇನ್ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್

ನಿಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೇಜಿನ ಸಮತಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಕೇವಲ ಟೇಬಲ್, ಹಾಸಿಗೆಯ ಪಕ್ಕದ ಮೇಜು, ನೆಲ, ಸೀಲಿಂಗ್, ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವದು). ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

1) ಪ್ಲೇನ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟೇಬಲ್‌ಟಾಪ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚು.

2) ಆಯ್ದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ(ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಗ್ರಿಡ್) ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು.

ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಡಿ, ಮೊದಲಿಗೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿಮ್ಮ ಮೇಲೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಇರಿಸಿ ಎಡ ತೋರು ಬೆರಳುಟೇಬಲ್ಟಾಪ್ನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಅವನು ಮಾನಿಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇರಿಸಿ ಬಲ ಕಿರುಬೆರಳುಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಜಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ - ಇದು ಮಾನಿಟರ್ ಪರದೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಮೈಲ್, ನೀವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ! ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಡೇಟಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಅಂದರೆ ರೇಖೀಯಪರಸ್ಪರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ಚೆನ್ನಾಗಿ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: , ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೇಜಿನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಒಬ್ಬಂಟಿಯಾಗಿದಿಕ್ಕು, ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ: "ರೇಖೀಯ", "ರೇಖೀಯ" ಪದಗಳು ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು, ಸೈನ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ (1 ನೇ ಪದವಿ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ.

ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ದಾಟಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ 0 ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನವಿದೆ. ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳುರೇಖೀಯ ಅಲ್ಲಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವು ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳ ಲಂಬವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ "ಓರೆಯಾಗಿ" ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದೆ ಎಂದು ಮುಜುಗರಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. 90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನವು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಎಂದು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದಾದರುಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು. ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಘಟನೆಆಧಾರದ ಮೂಲಕಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಘಟಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ರೂಪಿಸೋಣ ಆಧಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ: ವಿಮಾನದ ಆಧಾರರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ (ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, , ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರುಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಆಧಾರಗಳು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳು! ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ನಿಮ್ಮ ಬಲಗೈಯ ಸಣ್ಣ ಬೆರಳಿನ ಬದಲಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಎಡಗೈಯ ಸಣ್ಣ ಬೆರಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಟಂಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಏಕೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ? ವಾಹಕಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇಡೀ ಸಮತಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಲೆದಾಡುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಕಾಡು ವಾರಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿನ ಸಣ್ಣ ಕೊಳಕು ತಾಣಗಳಿಗೆ ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೀರಿ? ಒಂದು ಆರಂಭದ ಬಿಂದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಹೆಗ್ಗುರುತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ನಾನು "ಶಾಲೆ" ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿದೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಅವರು ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು ಮೂಲ, ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ. ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್‌ನಲ್ಲಿ "ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಅನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು 5 ನೇ -6 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಾಕುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಬಹುತೇಕ ನಿಜ. ಮಾತುಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮತಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ . ಅಂದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಘಟಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ) ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ (ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ವಿಮಾನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಣಿಸಬಹುದು."

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳು ಘಟಕವಾಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉದ್ದದ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಅಂತಹ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಅನಾನುಕೂಲವೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಏಕತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದ್ದಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

! ಸೂಚನೆ : ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಳಗೆ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಅಫೈನ್ ಬೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕವು 4 cm ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕವು 2 cm ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, "ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು "ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳು" ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಾಕು.

ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತರಿಸಿರುವ ಎರಡನೇ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು? ಇಲ್ಲ! ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಇರಬೇಕು ಕೇವಲ ನಾನ್-ಕೊಲಿನಿಯರ್. ಅಂತೆಯೇ, ಕೋನವು 0 ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, , ಸೆಟ್ ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ :

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಓರೆಯಾದವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರಗಳು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ರುಚಿಕರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನಾವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಇತರ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನವೆಂದರೆ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನೀವು ಅವಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೋಡಬೇಕು, ನನ್ನ ಪ್ರಿಯ. ...ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿದೆ - ಓರೆಯಾದ ಕೋನ (ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಧ್ರುವೀಯ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮತ್ತು ಹುಮನಾಯ್ಡ್‌ಗಳು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡಬಹುದು =)

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಫೈನ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ; ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಶಾಲಾ ಮಗುವಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು.

ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಷಯ. ಎರಡು ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಲು, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಬಂಧದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ-ನಿರ್ದೇಶನದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಬಿ) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ:
ಎ) ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ "ಫೋಪಿಶ್" ಆವೃತ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಕಲ್ಪನೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ:
, ಹೀಗಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು; ಇದು ಸಮಾನವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ:

ಸ್ವಯಂ-ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಬಿ) ಎರಡು ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ (ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ(ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವಿಮರ್ಶಕರು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ: . ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ: . ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ: . ಇಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? (ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾನು ಸರಳೀಕೃತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು "ಫೋಪಿಶ್" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದೇನೆ.

ಉತ್ತರ: a) , b) ರೂಪ.

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೃಜನಶೀಲ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ?

ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸೊಗಸಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಐದನೇ ಅಂಶವಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಎರಡು ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ;

+ 5) ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
1) ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ;
2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್;
4) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು;
+ 5) ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಎದುರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಹೊಸ, ಐದನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಸಮತಲದ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ:. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧರಿಸೋಣಉದಾಹರಣೆ 1 ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

ಎ)
, ಅಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಬಿ) ಎರಡು ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ (ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ: a) , b) ರೂಪ.

ಇದು ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಹಾಯದಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೆರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:
1) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು;
2) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು.

ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ("ಶಾಲೆಯ ಪ್ರಕಾರ" - ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳು). Colinearity ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್, ಮತ್ತು .

ತೀರ್ಮಾನ: ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಧಾನವಾಗಿ ವಿಮಾನದಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಮಯ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ನಿಯಮವು ತುಂಬಾ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಎ) ;
b)
ವಿ)

ಪರಿಹಾರ:
ಎ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

"ಸರಳೀಕೃತ" ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
- ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

b-c) ಇವು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ; ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಗತ:

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ನಾವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಹಲವು ಮಾದರಿಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾಹಿತಿಯ ಸಿಂಹಪಾಲು ಈಗಾಗಲೇ ಅಗಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ ನಾನು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ನೀವು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್ನ ಪ್ಲೇನ್ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅದರ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಯಾರೋ ಈಗ ಮನೆಯೊಳಗೆ ಇದ್ದಾರೆ, ಯಾರಾದರೂ ಹೊರಾಂಗಣದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ: ಅಗಲ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಮೂರು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಅತಿಯಾದದ್ದು.

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೆಚ್ಚಗಾಗುತ್ತೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಹರಡಿ ಹೆಬ್ಬೆರಳು, ತೋರುಬೆರಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳು. ಇವು ವಾಹಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ನಡುವೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಭಿನಂದನೆಗಳು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ! ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟೇ ತಿರುಗಿಸಿದರೂ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ =)

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ? ದಯವಿಟ್ಟು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಒತ್ತಿರಿ. ಏನಾಯಿತು? ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - ಎತ್ತರ. ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ಮತ್ತು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದು (ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಡಿ, ಸಾಲ್ವಡಾರ್ ಡಾಲಿ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ =)).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೋಪ್ಲಾನರ್, ಅವರು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಮಾನವಿದ್ದರೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಮತಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಊಹಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: (ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಏಕೆ ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ).

ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ: ಮೂರು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ (ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೊಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು.

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮತಲ ಪ್ರಕರಣದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಾಕು:

ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಸೆಟ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ :

ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್ "ಓರೆಯಾದ" ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ವಿಮಾನದಂತೆಯೇ, ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲರೂ ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ . ಪರಿಚಿತ ಚಿತ್ರ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸೋಣ:

ಮೂರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
1) ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ;
2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲ;
4) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
5) ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ/ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ (ಪಾಯಿಂಟ್ 5) ಬಳಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೇಸ್‌ಬಾಲ್ ಬ್ಯಾಟ್ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳುಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸಣ್ಣ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು (ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದರೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮರೆತಿರುವ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓದುಗರಿಗೆ, ನನ್ನ ಹಳೆಯ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕೆಳಗಿನ ವಾಹಕಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ):

, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಬಿ) ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳೂ ಇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಜರ್ಬೋಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಪಟಗಳಂತಹ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯುತ್ತೇವೆ - ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: ನಲ್ಲಿ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ನಿರ್ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ:

3 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 4 ನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲಿಗೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ನಾಲ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಆಧಾರ ಯಾವುದು ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದೆ: ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಹೊಸ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತವು ಉದಾಹರಣೆ 6 ರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ವಾಹಕಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

! ಪ್ರಮುಖ : ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿಬರೆಯಿರಿ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿನಿರ್ಣಾಯಕ, ತಂತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.- ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್‌ನ ವಿಧಾನವು ಐಸ್ ಅಲ್ಲ ;-)

ಮತ್ತು, ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಭಾವತಃ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು - ಪರಿಹಾರವು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳು, ಐದು ಆಯಾಮಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 4, 5 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಿದೆ, ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಹೌದು, ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ - ಶುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ ... ಆದರೂ, ಯಾರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಬಹುಶಃ ಶುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ ..., ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳೋಣ - ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಚರ್ಚೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಕೇಳಿದ್ದೇನೆ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಇದು ಈ ಪಾಠಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸಿ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತವೆ!

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1. Tk ಸ್ಪೇಸ್‌ನಿಂದ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಅಥವಾ

2. ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಈ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನತೆ (1) ಯಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿವೇಚಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ಗುಣಾಂಕಗಳು 4, -7.5 ಸಂಬಂಧ (2) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು (2) ರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಘಟಕಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

3. ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಸಮಾನತೆ

ಒಂದು ಅನನ್ಯ - ಶೂನ್ಯ - ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. (ಪರಿಶೀಲಿಸಿ!) ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (3) ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ,

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಾನತೆ (3) ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1-2 ರಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3 ರಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷೇತ್ರ H ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ವಿಶೇಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಮಾತಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, "ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಮತ್ತು "ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ".

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ a ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 6 (§ 2) ಮೂಲಕ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಯು (ಅಥವಾ . ನಂತರ

ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಾಹಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂವಾದವೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣ ವಾಹಕಗಳು; ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 1. ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲಿ

ನಂತರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಳಿದ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 1 ರಿಂದ ಇದು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ 2. ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ವೇಳೆ

ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (4).

ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (5) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ

ಆಗ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ (4). ಅದರ ಅರ್ಥ

ಆಸ್ತಿ 3. ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಆದೇಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಹಿಂದಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. (ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ: ವಿಪರೀತ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನತೆಯಿಲ್ಲ

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಸ್ತಿ 1 ರ ಮೂಲಕ ಸಮಾನತೆ (7) ನಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 3 ರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 4. ವೆಕ್ಟರ್ x ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಂನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ

ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ (8) ನ ಉಳಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (8).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ

ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿದೆ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು

ಪುರಾವೆ. 1 ನೇ ಹಂತ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (9), ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ (10) ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ (11) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ (11) ನಲ್ಲಿನ ಆಸ್ತಿ 3 ಮೂಲಕ, ಹಿಂದಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ (11) ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಸ್ತಿ 4 ರ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ (9) ಸಿಸ್ಟಂನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2 ನೇ ಹಂತ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು

ಮತ್ತು (12) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (9) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ (9), ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (14). ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (9) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಳಿದಿದೆ

ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ, ಆಗ ಅಥವಾ ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ. ಮೂರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸು!) ನಾಲ್ಕು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಂನ ಯಾವುದೇ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಂಚು-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 22

ನಾವು n-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದೋಣ

(11)

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 23

ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅದು ಆಗಿರಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 24 (ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಳಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೇಳಿಕೆ 3

23 ಮತ್ತು 24 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 25(ಶೂನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶೂನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 26(ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಇತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 2 (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್)

ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಹಾಗಿರಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (12) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯ 3 (ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆ)

ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

 ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:

ಇದರರ್ಥ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 23 ರ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. 

ಪ್ರಮೇಯ 4

ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 ವಿರುದ್ಧದಿಂದ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಆದರೆ ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಪ್ರಮೇಯ 5

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

 ಅವಶ್ಯಕತೆ.

ಮತ್ತು - ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಅಂದರೆ ...

ಸಮರ್ಪಕತೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. 

ಫಲಿತಾಂಶ 5.1

ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ

ಫಲಿತಾಂಶ 5.2

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 6

ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. .

 ಅವಶ್ಯಕತೆ.

ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರ ಎರಡರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಪಾರ್ಶ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವಿದೆ, ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿದೆ - ಸಹ ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಮರ್ಪಕತೆ.

ಕೊಪ್ಲಾನರ್. ಪಾಯಿಂಟ್ O ಗೆ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

- ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ

ಫಲಿತಾಂಶ 6.1

ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 6.2

ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲು, ಅವು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 6.3

ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 7

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ .

 ನಾವು 4 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ D ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ; ; ಕ್ರಮವಾಗಿ. ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಒ.ಬಿ. 1 ಡಿ 1 ಸಿ 1 ಎಬಿಡಿಸಿ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಒ.ಬಿ. 1 ಡಿ 1 ಸಿ 1 - ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

OADD 1 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ (ಸಮಾನಾಂತರದ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ), ನಂತರ

EMBED ಸಮೀಕರಣ.3.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ. ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 24 ರ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. 

ಫಲಿತಾಂಶ 7.1

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಈ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಕರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೂಲವು ಈ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 7.2

ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 3 ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆ https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ.

ಪ್ರಮೇಯ.ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಬಹುಪದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. ಬಹುಪದಗಳು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಬಹುಪದದಿಂದ https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ಎತ್ತರ="22">.

ಸಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹೇಗಿರುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ.

a)ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ

ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ..gif" width="12" height="23 src=">

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (*) ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ;

ಬಿ)ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಂತರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಲ್ಲದಿರುವುದು ಇಲ್ಲ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ (**) . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ (***) . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಸಂಬಂಧದಿಂದ (***) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ)

1. ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

2. ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎ, ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ, a=0.

3. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಾಹಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

4. ನೀವು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

5. ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. ಒಂದು ವೇಳೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಬಿ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿಸಿಸ್ಟಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್.

ಸಿ)ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ , , ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ.

10. ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ a,b,ಸಿವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

a)a+ಬಿ, ಬಿ, ಸಿ.

ಬಿ)a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ

ಸಿ)a+b, a+c, b+c.

11. ಅವಕಾಶ a,b,ಸಿ- ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಇದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗುತ್ತವೆಯೇ?

12. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ a3 ಮತ್ತುa4ಇದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ a1,a2,a3,a4ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿತ್ತು .