ಗಣಿತ ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕೆಲವು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು: ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣ, ದೇಹಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು a ಮತ್ತು b. ಅವು ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕರ್ವ್ f (x), ರೇಖೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಂಜೂರ 1 ರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬೂದು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾಗಿರುವ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಅಗಲದಿಂದ ಉದ್ದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಚಿತ್ರ 2 ರಿಂದ $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚೆಕ್ ಮಾಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದ = 3, ಆಕೃತಿಯ ಅಗಲ = 1. $$ S = \text(ಉದ್ದ) \cdot \text(ಅಗಲ) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯ ನೋಡಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವೇನು? ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮ್ಮ ಸಹಾಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅನ್ವೇಷಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ಅಲ್ಲಿ) F(x) $ ಎಂಬುದು $ f(x), C = const $ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್ $ f(x) $ ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಕಾರ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಟ್ರಿಕಿ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ $ f(x) $ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಟೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣವೇ?
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
- ಖಚಿತವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
- ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು $ f(x) $ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಗ್ರ $ f(x) $ನ $ F(x) $ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
- ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಹಂತ 2 ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ತದನಂತರ $ a $ ಮತ್ತು $ b $ ಮಿತಿಗಳನ್ನು $ F(x) $ ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. "ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ" ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.
ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅವರ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇತರ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದು.
ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ. ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ, "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ", ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂತಹ ಶಾಖೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಈ ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಓದಿ.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಯೊಳಗಿನ ಅಕ್ಷದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ: ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ (ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ, ಎರಡು ಸರಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ), ಹಾಗೆ ಮಾಡಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ. ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿತೇ? ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (ಇದು ನಡೆದಿದ್ದರೆ), ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸರಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ; .
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭದ ಕೆಲಸ, ಆದರೆ ಆಯ್ದ ಕೆಲವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಲೇಖನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ... ಏಕೆ ಬೇಕು? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವುವು?
ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಉಪಯೋಗವೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಕಾನ್‌ನಂತೆ ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರೋಚೆಟ್ ಹುಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಂತರ ಸ್ವಾಗತ! ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಇತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು ಏಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.
ನಾವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ « ಅವಿಭಾಜ್ಯ »
ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಗುರುತಿಸಿಕೊಂಡರು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೈಬ್ನಿಜ್ , ಆದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸಾರವು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಸಾದ್ಯ! ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಬ್ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ f(x) .
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯ f(x) ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ F(x) , ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x) .
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಮ್ಮ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ.
ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿರಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಅಸಮ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ದೂರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತವಾದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು! ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಅನಂತವಾದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಅಂದಾಜು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಕಿರಿದಾದ ಭಾಗಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
« ಅವಿಭಾಜ್ಯ »
ಅಂದಹಾಗೆ! ನಮ್ಮ ಓದುಗರಿಗೆ ಈಗ 10% ರಿಯಾಯಿತಿ ಇದೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲಸ
ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
- ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
- ಮೊತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ:
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
- ರೇಖೀಯತೆ:
- ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ:
- ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಳು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ:
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವಿದೆ:
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರದ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏನಾದರೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ.
ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಹತಾಶೆ ಮಾಡಬೇಡಿ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತಿಪರ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅಥವಾ ಬಾಗಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದೆ. ಪರಿಹರಿಸಲು, ಏಕೀಕರಣದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೀಕರಣದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಿಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದೆ - ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ನಾವು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ. ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಿಯಾದ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಮಗ್ರತೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, "ಪೈ", "ಘಾತಾಂಕ", ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಚಿತ ಮತ್ತು ನೋಂದಣಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.