ಉದಾಹರಣೆ 1. 2 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ 32 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಏಸಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಡೆಕ್‌ನಿಂದ 32 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - 31 (ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿ 31 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಉಳಿದಿರುವುದರಿಂದ), ನಂತರ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ . ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಎಕ್ಕವನ್ನು ಡೆಕ್ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಎರಡನೆಯದು - ಉಳಿದ ಮೂರರಿಂದ. ಇದರರ್ಥ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಐದು ಎಕ್ಲೇರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಏಳು ನೆಪೋಲಿಯನ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಐದು ಕೇಕ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಯಿತು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು "ಎಕ್ಲೇರ್ಗಳು" ಮತ್ತು ಮೂರು "ನೆಪೋಲಿಯನ್ಗಳು" ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 12 ರಿಂದ 5 ರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಐದರಿಂದ ಎರಡು "ಎಕ್ಲೇರ್‌ಗಳನ್ನು" ಆಯ್ಕೆಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಏಳರಿಂದ ಮೂರು "ನೆಪೋಲಿಯನ್" ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅದು ಬೀಳದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆಯು ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ: ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ನ ಅಳತೆಯು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ: . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಇಬ್ಬರು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ತಲಾ ಒಂದು ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ಹಿಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.6 ಮತ್ತು 0.9. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಇಬ್ಬರೂ ಗುರಿ ಮುಟ್ಟಿದರು;

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್‌ನಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದನ್ನು ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಜಂಟಿ ಆದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡೂ ಶೂಟರ್‌ಗಳು ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇತರರ). ಈವೆಂಟ್ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

ಈವೆಂಟ್ ಒಂದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೂರು ಪಾತ್ರೆಗಳು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ: ಮೊದಲನೆಯದು 5 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು, ಎರಡನೆಯದು 2 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 6 ಕಪ್ಪು, ಮೂರನೆಯದು 3 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 1 ಕಪ್ಪು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈವೆಂಟ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅಂದರೆ, ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳು). ಅದಕ್ಕೇ

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ. ಇವರಲ್ಲಿ 5 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, 8 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 70% ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 7% 50% ಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿದನು. ಅವನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ- ಸಾಮಾನ್ಯ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ. ಸ್ಥಿರ ವೀಕ್ಷಣಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ವರ್ಗ, ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಾಕ್ಷಣಿಕ ಪದವಿ ... ... ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು?- 'ವಾಟ್ ಇಸ್ ಫಿಲಾಸಫಿ?' ('ಕ್ಯು ಎಸ್ಟ್ ಸಿ ಕ್ವೆ ಲಾ ಫಿಲಾಸಫಿ?', ಲೆಸ್ ಎಡಿಶನ್ಸ್ ಡಿ ಮಿನಿಟ್, 1991) ಡೆಲ್ಯೂಜ್ ಮತ್ತು ಗುಟ್ಟಾರಿಯವರ ಪುಸ್ತಕ. ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಲೇಖಕರ ಆಲೋಚನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, 'ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು' ಎಂಬುದು 'ಕೇಳಲಾದ, ಆತಂಕವನ್ನು ಮರೆಮಾಚುವ, ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ... ...

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) Deleuze ಮತ್ತು Guattari ಅವರ ಪುಸ್ತಕ. ಲೇಖಕರ ಆಲೋಚನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪೀಠಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆತಂಕವನ್ನು ಮರೆಮಾಚುವುದು, ಮಧ್ಯರಾತ್ರಿಯ ಹತ್ತಿರ, ಯಾವಾಗ ಹೆಚ್ಚು... ... ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿ: ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಸಂಭವನೀಯತೆ- ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಹಂತದ ಗಣಿತ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನದ ವರ್ಗವಾಗಿ, "ವಿ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ... ... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಸಂಭವನೀಯತೆ- ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಎಲ್ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಹಂತದ ಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣ. ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನದ ವರ್ಗವಾಗಿ, V. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಬಲ ತಿಮಿಂಗಿಲಗಳು- ? ದಕ್ಷಿಣ ತಿಮಿಂಗಿಲಗಳು ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಸ್ಕ್ರಬ್ಸ್ (ಟಿವಿ ಸರಣಿ)- ಈ ಲೇಖನ ಅಥವಾ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಲೇಖನವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಬಹು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತಗಳು

ಒಂದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

1. ಪರಸ್ಪರ ವಿಶೇಷ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಈವೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಅಂತಹ ಘಟನೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ದಾಳದ ಮೇಲೆ 5 ಅನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಓಟದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುದುರೆಯನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವುದು. ಐದು ಬರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ; ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುದುರೆಯು ಮೊದಲು ಬರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ.

   • ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ: ಡೈನ ಒಂದು ಥ್ರೋನೊಂದಿಗೆ, 5 ಮತ್ತು 6 ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವನ್ನು ಸಾಯಿಸುವಾಗ ನೀವು ಮೂರು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. "ರೋಲಿಂಗ್ ಎ ಥ್ರೀ" ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 6 ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಈವೆಂಟ್ ಇವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.

   • ಉದಾಹರಣೆ 1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ "ವಾರಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ದಿನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು" ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾರದ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಏಳು.
   • ಉದಾಹರಣೆ 2. ಈವೆಂಟ್ "ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ", ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇಪ್ಪತ್ತು.

3. ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಒಂದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಡೈ ಅನ್ನು ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ನಾವು 3 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 (3 ಡೈನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ) ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 6. ಫಲಿತಾಂಶವು 1/6 ರ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, 0.166, ಅಥವಾ 16.6%. ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

   • ಉದಾಹರಣೆ 1. ವಾರಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಬರುವ ದಿನವನ್ನು ನೀವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ದಿನಗಳ ರಜೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 7. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 2/7 ಆಗಿದೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 0.285 ಅಥವಾ 28.5% ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
   • ಉದಾಹರಣೆ 2. ಬಾಕ್ಸ್ 4 ನೀಲಿ, 5 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 11 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನೀವು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 5 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 20. ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 5/20 = 1/4. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 0.25 ಅಥವಾ 25% ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

4. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು 1 ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಿ.ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ಅಥವಾ 100% ಆಗಿರಬೇಕು. ನೀವು 100% ಪಡೆಯದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ನಿಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

   • ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೈಸ್ ಅನ್ನು ಉರುಳಿಸುವಾಗ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉಳಿದ ಐದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1/6 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, ಅಂದರೆ 100% ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
   • ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೈನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಕೇವಲ 5/6 ಅಥವಾ 83% ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

5. ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು 0 ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.ಇದರರ್ಥ ನೀಡಲಾದ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

   • ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2020 ರಲ್ಲಿ ಸೋಮವಾರದಂದು ಈಸ್ಟರ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಏಕೆಂದರೆ ಈಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಾನುವಾರದಂದು ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

   ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ

   1. ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನೆಂದು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಡೈ ಅನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಉರುಳಿಸುವ ಮತ್ತು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಒಂದು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1/6 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ.

      • ಫೈವ್ಸ್ನ ಹಲವಾರು ರೋಲ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಎರಡನೇ ಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

   2. ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.ಮೊದಲ ಘಟನೆಯು ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು 52-ಕಾರ್ಡ್ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ, ಡೆಕ್‌ನ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಡ್‌ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಎರಡನೆಯ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು.

      • ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸೂಟ್‌ನ 13 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಡ್ ಕ್ಲಬ್ ಸೂಟ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 13/52 ಅಥವಾ 1/4 ಆಗಿದೆ.
        • ಇದರ ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಡ್ ಕ್ಲಬ್ ಸೂಟ್ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 12/51 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಲಬ್ ಕಾರ್ಡ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಘಟನೆಯು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪ್ರಭಾವಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಮೂರು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದಿದ್ದರೆ, ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಕಾರ್ಡ್ ಇರುತ್ತದೆ (52 ರ ಬದಲಿಗೆ 51).
      • ಉದಾಹರಣೆ 2. ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 4 ನೀಲಿ, 5 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 11 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಕೆಂಪು, ಎರಡನೆಯದು ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಬಿಳಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
        • ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 5/20, ಅಥವಾ 1/4. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಚೆಂಡು ಉಳಿದಿರುವುದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಚೆಂಡು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 4/19 ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ 4 ನೀಲಿಚೆಂಡು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಡ್ರಾ ಮಾಡಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಚೆಂಡು ಬಿಳಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 11/18 ಆಗಿದೆ.

   3. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಾ ಅಥವಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (2, 3, ಅಥವಾ 10 ಆಗಿರಬಹುದು), ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೀವು ಹಲವಾರು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಒಂದಾದ ಮೇಲೊಂದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಡೈ ಅನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಉರುಳಿಸುವಾಗ ನೀವು 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇವು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6 x 1/6 = 1/36, ಅಂದರೆ 0.027, ಅಥವಾ 2.7%.

      • ಉದಾಹರಣೆ 1. ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?ಮೊದಲ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 13/52 ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 12/51 ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, ಅಂದರೆ, 0.058, ಅಥವಾ 5.8%.
      • ಉದಾಹರಣೆ 2. ಬಾಕ್ಸ್ 4 ನೀಲಿ, 5 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 11 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಕೆಂಪು, ಎರಡನೆಯದು ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?ಮೊದಲ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 5/20 ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 4/19. ಮೂರನೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 11/18 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆ 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, ಅಥವಾ 3.2%.

ಉತ್ತರ: 0.7157

2.

3.

4. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಪರಿಹಾರ: P(A) = m/n; ಮೀ=1/

ಇದು 90 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ (10,15,20,25...90,95) ಕಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 18 => n=90-18=72

ಉತ್ತರ: 1/72

ಪರಿಹಾರ: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

ಪರಿಹಾರ: C m n = n! /m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

ಬಿ) ನೀವು 7 ರಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪುಗಳನ್ನು 7 ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು 5 ರಲ್ಲಿ 3 ಕಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು =>

3 5 ಮಾರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

ಉತ್ತರ:

ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: 0.3.

ಪರಿಹಾರ:

ಎ - ಜಟಿಲದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಿ.

P(A/H3) =0.2 - 3 ನೇ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹದಿಂದ

P(A/H4) = 0.1 - 4 ಚಕ್ರವ್ಯೂಹಗಳಿಂದ

ಉತ್ತರ: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

ಪರಿಹಾರ:

ಪರಿಹಾರ:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

ಪರಿಹಾರ:

B ಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಿಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ

P(C)= 1 - 0.216 = 0.784

ಉತ್ತರ: 0.784

ಪರಿಹಾರ:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

ಉತ್ತರ: 15/48 = 0.3125

16.

ಪರಿಹಾರ:

17.

ಪರಿಹಾರ:

P(H2/A)=0.7/1.6=0.42

ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: P(A) = 0.925

ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪುಸ್ತಕದ ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ 3 ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುತ್ತಾನೆ. ಅವರು ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4; 0.5; 0.1; ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರುವುದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳು. ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪುಸ್ತಕವು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:ಎ-ಪುಸ್ತಕವು ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿದೆ, ಬಿ - ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0.4 P(A2) = 0.5 P(A3) = 0.1

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪುಸ್ತಕವು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0.4 + 0.5 +0.1) = 1/2 * 1 = ½

ಉತ್ತರ: 1/2

23. 12 ಜನರ ಜನ್ಮದಿನಗಳು ವರ್ಷದ ವಿವಿಧ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

ಉತ್ತರ: 1925/12 7

24. ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯು 10 ಬಿಳಿ, 5 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 15 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 2 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ - ಎರಡು ಡ್ರಾ ಬಾಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕೆಂಪು, ಬಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಡ್ರಾ ಬಾಲ್ ಬಿಳಿ. ಈವೆಂಟ್ C = A + B ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

25. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಡಯಲ್ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯು 5 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

26. ನಿಟ್ವೇರ್ ಅಂಗಡಿಯು ಸಾಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ 60% ಒಂದು ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಬಂದಿತು, 25% ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಮತ್ತು 15% ಮೂರನೆಯದು. ಖರೀದಿದಾರರು ಖರೀದಿಸಿದ ಸಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. A1-1 ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ, P(A1) = 0.6;

A2 - ಕಾರ್ಖಾನೆ 2 ರಿಂದ; P(A2) = 0.25

A3 - 3 ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಿಂದ; P(A3) = 0.15

P(A2+A3) = 0.25 + 0.15 = 0.4

ಉತ್ತರ: 0.4

ಟಿಕೆಟ್ ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಟಿಕೆಟ್ ಕಚೇರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಬಹುದು. 1 ನೇ ನಗದು ಡೆಸ್ಕ್‌ಗೆ ಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ಆಗಿದೆ; ಎರಡನೇ 0.35 ರಲ್ಲಿ; ಮತ್ತು 3 ನೇ 0.25. ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಆಗಮಿಸುವ ವೇಳೆಗೆ ಟಿಕೆಟ್ ಕಛೇರಿಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ನೇ ಟಿಕೆಟ್ ಕಚೇರಿಗೆ 0.3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; 2 ನೇ 0.4 ಗೆ, 3 ನೇ 0.6 ಗೆ. ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪಿ (ಎ) - ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

P(A) =0.4*0.3 + 0.35*0.4 + 0.25*0.6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) - ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 1-P(A) = 1 - 0.41 = 0.59.

ಉತ್ತರ: P(A1) = 0.59.

28. 4 ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು 2 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, b) ಅವರು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ.

ಪರಿಹಾರ:

29. ವಿಭಿನ್ನ ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ 9 ಟೋಕನ್‌ಗಳಿಂದ, 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅಂಕೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

30. ಲಾಟರಿ ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1 ಆಗಿದೆ. ಖರೀದಿಸಿದ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

31. ಪೂರ್ಣ ಡೆಕ್ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ (52 ಹಾಳೆಗಳು), 4 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂಟ್‌ಗಳಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ C 1 13 ಆಗಿದೆ

C 1 13 = 13 (ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

52 = C 4 52 = 52 ರಿಂದ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆ! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0.1054982

ಉತ್ತರ: P(A) = 0.1054982.

32. 3 ಕಲಶಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 5 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 6 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು 4 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮೂರನೆಯದು 5 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾರೋ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತಾಭಸ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಚೆಂಡು ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿತು. ಈ ಚೆಂಡನ್ನು ಎರಡನೇ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: 0.9125

52. 52 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ 6 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ 1 ಏಸ್, ಏಸ್ ಮತ್ತು ರಾಜ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಕಾರುಗಳನ್ನು ಸೇವಾ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ತಲುಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 5 ಚಾಸಿಸ್ ಅಸಮರ್ಪಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು, 8 ಎಂಜಿನ್ ಅಸಮರ್ಪಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಮತ್ತು 10 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿವೆ. ದೋಷಪೂರಿತ ಚಾಸಿಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರು ಸಹ ದೋಷಯುಕ್ತ ಮೋಟಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

11111111 8 ದೋಷಪೂರಿತ ಮೋಟಾರ್‌ನೊಂದಿಗೆ

5 ಅನುಚಿತ ಚಲನೆಗಳ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ 11111 1111111111 10 ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿವೆ

11111111111111111111 ಒಟ್ಟು 20

3 ದೋಷಯುಕ್ತ ಮೋಟಾರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ 111

P = m/n m-ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತ ಚಾಸಿಸ್ ಮತ್ತು ದೋಷಪೂರಿತ ಮೋಟಾರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಮೀ=3

n - ದೋಷಯುಕ್ತ ಚಾಸಿಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; n=5

P = 3/5 - ದೋಷಯುಕ್ತ ಚಾಸಿಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರು ದೋಷಯುಕ್ತ ಮೋಟಾರು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಉತ್ತರ: 3/5

ಉತ್ತರ: 21/625; 219/625; 247/625

67. 8 ಟ್ರಾಕ್ಟರುಗಳ ಮೊದಲ ಬ್ರಿಗೇಡ್ನಲ್ಲಿ, 2 ರಿಪೇರಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, 6-1 ರಲ್ಲಿ. ಪ್ರತಿ ಬ್ರಿಗೇಡ್ನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ) ಎರಡೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ, ಸಿ) ಒಬ್ಬರೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

b)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

ಸಿ) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ 12 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 8 ಮಹಿಳೆಯರು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಿಗೆ 3 ಬಹುಮಾನಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೋನಸ್ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಎ) ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಮತ್ತು ಒಬ್ಬ ಮಹಿಳೆ; ಬಿ) ಮಹಿಳೆಯರು ಮಾತ್ರ; ಸಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಎ) ಎ-1 ವ್ಯಕ್ತಿ

ಬಿ - 2 ಪುರುಷರು

ಎಸ್ - 1 ಮಹಿಳೆ

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0.154

ಬಿ) ಎ-1 ಮಹಿಳೆ

B-2 ಮಹಿಳೆಯರು

S-3 ಮಹಿಳೆಯರು

P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0.049

ಸಿ) ಎ-ಕನಿಷ್ಠ 1 ವ್ಯಕ್ತಿ

ಎ ಎಲ್ಲಾ ಮಹಿಳೆಯರು

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0.049

69. 25 ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ, 10 ಉದ್ಯಮಗಳು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೂರು ಜನರಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ; ಎ) ಮೂರು ಜನರು; ಬಿ) ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ; ಸಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಪರಿಹಾರ:

70. "K", "A", "P", "T", "O", "Ch", "K", "A" ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಷಫಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು: a) "CARD" ಪದ; ಬಿ) "MAP" ಪದ; ಸಿ) "ಪ್ರಸ್ತುತ" ಪದ.

71. 25 ಐಟಂಗಳ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 15 ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ. 3 ಐಟಂಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: a) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಿದ ಗುಣಮಟ್ಟ; ಬಿ) ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸುಧಾರಿತ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಸಿ) ಸುಧಾರಿತ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ.

ಪರಿಹಾರ:

72. ಮೂರು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು: a) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು 5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಬಿ) ಎಲ್ಲರೂ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ; ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ದಾಳಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ

73. 6 ಚೆಂಡುಗಳ ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 4 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 2 ಕಪ್ಪು, 7 ಚೆಂಡುಗಳ ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 2 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 5 ಕಪ್ಪು ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು, ನಂತರ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಚೆಂಡು ಕಪ್ಪು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

74. ಎರಡು ಉದ್ಯಮಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಎರಡೂ ಉದ್ಯಮಗಳ 55% ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮೊದಲ ಉದ್ಯಮದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 0.15. ಎ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಬಿ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

75. ಮೂರು ಕಲಶಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು 3 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 2 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 4 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ಬಿಳಿಯಾಗಿ ಬದಲಾದನು. ಮೂರನೇ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

ಪಿ (ಎ) - ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

1 ನೇ ಕಲಶವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ P(A/H1) = 3/5

2 ನೇ P(A/H2) = 4/7

3 ನೇ P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

ಉತ್ತರ: 1/3

76. ಬಿತ್ತನೆಗಾಗಿ ಬೀಜಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸೀಡ್ ಫಾರ್ಮ್‌ಗಳಿಂದ ಜಮೀನಿಗೆ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಕಣೆ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಳಲ್ಲಿ 40% ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಜಮೀನಿನಿಂದ ಬೀಜಗಳ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು 90%, ಎರಡನೆಯದು 85% ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 95%. ಎ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಬೀಜವು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಬಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಬೀಜವು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಎರಡನೇ ಜಮೀನಿನಿಂದ ಬಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

77. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು 30 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪೈಕಿ 8 ಜನರು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು, 6 ಜನರು 25 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು, 5 ಜನರು 20 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು 10 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆ H1, 25 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆ H2, 20 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆ H3, 10 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆ H4. .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತವರು, n-ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಾನು ಕಲಿತ 25 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 - ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಾನು ಕಲಿತ 25 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 - 20 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – 10 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3 ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

ಉತ್ತರ: 5/6

78. ಬಿತ್ತನೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, 95% ಬೀಜಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ನಂತರ ಬೀಜ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವಿಕೆ 99%, ಸಂಸ್ಕರಿಸದ 85%. ಎ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಬೀಜವು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಬಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಬೀಜವು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯಿತು. ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಬೀಜದಿಂದ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ: H1-ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಬೀಜಗಳು, H2 - ಸಂಸ್ಕರಿಸದ ಬೀಜಗಳು, A - ಮೊಳಕೆಯೊಡೆದ ಬೀಜ.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0.95 ; P(H2) = 0.05

P(A/H1) = 0.99 – ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಬೀಜವನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದರೆ ಅದು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

P(A/H2) = 0.85 – ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಬೀಜವು ಸಂಸ್ಕರಿಸದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಎ) ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಬೀಜವು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0.95*0.99 + 0.05*0.85 = 0.9405 +0.0425 = 0.983

ಉತ್ತರ: 0.983

79. ಅಂಗಡಿಯು ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಿಂದ ದೂರದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಟಿವಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಮೊದಲ ಸಸ್ಯಕ್ಕೆ 0.9, ಎರಡನೇ 0.8, ಮೂರನೇ 0.8 ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ 0.99. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಟಿವಿ ಒಂದು ವರ್ಷದೊಳಗೆ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

80. ಖರೀದಿದಾರನು ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಅಂಗಡಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಹಕರು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4, ಎರಡನೆಯದು 0.6 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 0.8. ಗ್ರಾಹಕರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಖರೀದಿದಾರನು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದನು. ಅವನು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರ: 0.7157

2. ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರ 3 ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.75, ಎರಡನೆಯದು 0.85,
ಮೂರನೇ 0.95. ಎ) ಎರಡು ಯಂತ್ರಗಳು ವಿಫಲವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಬಿ) ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಯಂತ್ರಗಳು ವೈಫಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಸಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಯಂತ್ರವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

3. 52 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ, 3 ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಮೂರು, ಏಳು ಮತ್ತು ಏಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಚಂದಾದಾರರು ಸರಿಯಾದ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡಯಲ್ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಪರಿಹಾರ: P(A) = m/n; ಮೀ=1/

ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸೋಣ.ಇದು 90 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ (10,15,20,25...90,95) ಕಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 18 => n=90-18=72

ಉತ್ತರ: 1/72

5. ಡೈ ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: a) ಮೇಲಿನ ಮುಖಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು 7 ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. b) ಒಂದು ಟಾಸ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಅಂಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

ಬಿ) ಪಿ(ಬಿ)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. ಕಲಶದಲ್ಲಿ 5 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 7 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಹಿಂತಿರುಗದೆ). a) ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳು ಕೆಂಪು, b) ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ಕಪ್ಪು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: C m n = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು.

a) ನೀವು 7 ರಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪುಗಳನ್ನು 7 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

ಬಿ) ನೀವು 7 ರಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪುಗಳನ್ನು 7 ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು 5 ರಲ್ಲಿ 3 ಕಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು =>

3 5 ಮಾರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ.

m = C 3 7 + C 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

ಉತ್ತರ: a) P(A) = 7/44; b) P(A2) = 9/44

15 ಜನರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 6 ಜನರು ಕ್ರೀಡೆಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ 7 ಜನರಲ್ಲಿ 5 ಜನರು ಕ್ರೀಡೆಗಾಗಿ ಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7) !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0.03

ಉತ್ತರ: 0.3.

ಮೌಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 5 ಮೇಜ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವಳು 3 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; 0.6; 0.2; 0.1; 0.1 3 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಸ್ ಜಟಿಲದಿಂದ ಹೊರಬಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಲಿ. ಅವಳು ಮೊದಲ ಜಟಿಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಎರಡನೇ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹ?

ಪರಿಹಾರ:ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಮೌಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಜಟಿಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – ಕ್ರಮವಾಗಿ 1,2,3,4,5 ಜಟಿಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಎ - ಜಟಿಲದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಿ.

P(A/H1) = 0.5 - 1 ಜಟಿಲದಿಂದ ಮೌಸ್ ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

P(A/H2) = 0.6 - 2 ಚಕ್ರವ್ಯೂಹದಿಂದ.

P(A/H3) =0.2 - 3 ನೇ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹದಿಂದ

P(A/H4) = 0.1 - 4 ಚಕ್ರವ್ಯೂಹಗಳಿಂದ

P(A/H5) = 0.1 - 5 ಜಟಿಲದಿಂದ

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3 ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0.5 + 1/5*0.6 + 1/5*0.2 + 1/5*0.1 +1/5*0.1 = 1/5 (0 .5+0.6+0.2+0.1+0.1 )=1/5*1.5=1.5*3/2 = 3/10 – 3 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಸ್ ಜಟಿಲದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಎ) ಮೌಸ್ ಮೊದಲ ಜಟಿಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0.5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

ಬಿ) ಮೌಸ್ ಎರಡನೇ ಜಟಿಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0.6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

ಉತ್ತರ: 1/3; 2/5

9. 10 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ 2 ಗೆಲ್ಲುತ್ತಿವೆ. 5 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಮಳೆಯ ದಿನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. 0.8 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ದಿನದಲ್ಲಿ "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ" ತಂಡವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಳೆಯ ದಿನದಂದು ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆದ್ದಿದ್ದಾರೆಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆ ದಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು: a) ಮಳೆಯಾಯಿತು; ಬಿ) ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ದಿನವಾಗಿತ್ತು.

11. ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.7, ಎರಡನೆಯದು - 0.5, ಮತ್ತು ಮೂರನೇ -0.4. ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 20 ಭಾಗಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 10 ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 30 ಭಾಗಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 25 ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮೂರನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 10 ಭಾಗಗಳಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 8 ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0.39

13. ಪ್ರತಿ ಐದು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ: A, E, N, C, T. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು
ಮಿಶ್ರಿತ. ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆದು ಸತತವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ a) ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ
"ವಾಲ್" ಪದ, ಬಿ) ಮೂರು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ ನೀವು "ಇಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯಲು, ಅದನ್ನು ಹೊಡೆಯಲು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಸಾಕು. ಎರಡು ಬಂದೂಕುಗಳಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲ್ವೋಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊದಲ ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.46 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯದು 0.6 ಆಗಿದ್ದರೆ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

B ಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಿಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ

A1 - 1 ನೇ ಶಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಿಟ್ಸ್.

A2 - 2 ನೇ ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆಯಿರಿ.

P(B) = -- A1 - A2 = 0.54* 0.4 = 0.216

ನಂತರ ಸಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಿಟ್.

P(C)= 1 - 0.216 = 0.784

ಉತ್ತರ: 0.784

3 ಕಲಶಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಕಲಶವು 6 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 4 ಬಿಳಿಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು 5 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 5 ಕಪ್ಪು, ಮೂರನೆಯದು 7 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 3 ಕಪ್ಪು. ಒಂದು ಚಿತಾಭಸ್ಮವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಚಿತಾಭಸ್ಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

ಉತ್ತರ: 15/48 = 0.3125

16. ನಾಣ್ಯವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಎ) ಎಲ್ಲಾ 3 ಬಾರಿ, ಬಿ) ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ, ಸಿ) ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ

ಪರಿಹಾರ:

17. 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ 5 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಲಾಗಿ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 1 2 0 3 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. (ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ)

ಮೂರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ನಂತರ, ಮೊದಲ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು; ಎರಡನೆಯಿಂದ - 0.7; ಮೂರನೆಯಿಂದ - 0.4. ಇದು ಮೂರು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

P(A/H1)=0.5; P(A/H2)=0.7; P(A/H3)=0.4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0.5+1/3*0.7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0.5)/(1/3*1.6)=0.5/1.6=0.32.

P(H2/A)=0.7/1.6=0.42

ಅಂಗಡಿಯು 4 ಟೇಪ್ ರೆಕಾರ್ಡರ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅವರು ಖಾತರಿ ಅವಧಿಯನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 0.91; 0.9; 0.95; 0.94. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಖರೀದಿಸಿದ ಟೇಪ್ ರೆಕಾರ್ಡರ್ ಖಾತರಿ ಅವಧಿಯನ್ನು ಉಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1 ಟೇಪ್ ರೆಕಾರ್ಡರ್ ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ -1/4; 2 - 1/4; 3 - 1/4; 4 -1/4.

P(A) = 1/4 * 0.91 + ¼ * 0.9 + ¼ * 0.95 + ¼ * 0.94 = 0.2275 + 0.225 + 0.2375 + 0.235 = 0.925

ಉತ್ತರ: P(A) = 0.925

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1.26

ಕಾರಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಸಂಖ್ಯೆ 0000 ಸಾಧ್ಯ). ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯು ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಕಾರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ 2 ನೇ ಅಂಕಿಯು 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯು ರೂಪದ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ: X 4 XX, ಇಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯು ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2.11

ಒಂದು ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಔಟ್ಪುಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪರ್ಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1). ಅಂಶ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯವು ಈ ಅಂಶ ಇರುವ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಗ್ನಲ್ನ ಅಡಚಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. 1, 2, 3, 4, 5 ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ q1=0.1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; q2=0.2; q3=0.3; q4=0.4; q5=0.5. ಸಿಗ್ನಲ್ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಿಂದ ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 1

ಚಿತ್ರ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, 1, 2, 3 ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಂಶ 4 ರೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ.

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸೋಣ: ಎ­ 1 - ಅಂಶ 1 ಸರಿ, ಎ­ 2 - ಅಂಶ 2 ಸರಿ, ಎ­ 3 - ಅಂಶ 3 ಸರಿ, ಎ­ 4 - ಅಂಶ 4 ಸರಿ, ಬಿ- ಸಿಗ್ನಲ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಿ, ಸಿ- ಸಿಗ್ನಲ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಿ(ಪ್ರವೇಶದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವವರೆಗೆ).

ಈವೆಂಟ್ ಬಿಎಲಿಮೆಂಟ್ 1, ಅಥವಾ ಎಲಿಮೆಂಟ್ 2, ಅಥವಾ ಎಲಿಮೆಂಟ್ 3 ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಬಿ :

ಈವೆಂಟ್ ಸಿಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಬಿಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎ 4 :

ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿ :

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3.28

ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಮೂರು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಸಸ್ಯವು ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ 45% ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 30% ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - 25%. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಿದ ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.8, ಎರಡನೆಯದು - 0.85 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - 0.9. ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ ಸಾಧನವು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನಾವು ಎ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ - ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಸಾಧನವು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಸಾಧನವು 1 ನೇ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ:

ಸಾಧನವು 2 ನೇ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ:

ಸಾಧನವು 3 ನೇ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಊಹೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ:

ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಧನವು 2 ನೇ ಸಸ್ಯದಿಂದ ಬಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4.26

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 100 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಇಳಿಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಈವೆಂಟ್ - 100 ಟಾಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯವು ಎಂದಿಗೂ ಮುಖಾಮುಖಿಯಾಗಲಿಲ್ಲ.

ನಾಣ್ಯವು ಮುಖಕ್ಕೆ ಬೀಳದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ=0,5 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾಣ್ಯವು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ q=0,5 :

ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಎಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ( ಎನ್ = 100; ಕೆ =100 )

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5.21

ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ p1, p2, p3, p4, p5 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ x1, x2, x3, x4, x5 ಎಂಬ ಐದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. X ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಯೋಜಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1 - ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ

X ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ:

SV X ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಕೋಷ್ಟಕ 2 - ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ SV X

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 2):

ಚಿತ್ರ 2 - ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ F(X i)

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6.3

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಸ್ಥಿರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಜೊತೆಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, ಮೌಲ್ಯ X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ:

SV ಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ X:

SV ಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ X:

X ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7.15

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ [ a,b]. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ Y= (X)ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ g(y)

ಯಾವುದೇ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳಿಲ್ಲ

ಚಿತ್ರ 3 - ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪರಿಮಾಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8.30

2D ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ( ಎಕ್ಸ್, ವೈ) ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ದಪ್ಪ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಬಿ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x,y)ಈ ಪ್ರದೇಶದ B ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

X ಮತ್ತು Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3 - ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ

ಚಿತ್ರ 4

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಬಿಕೋಷ್ಟಕ 5 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 4 ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ.

ಚಿತ್ರ 5

ಚಿತ್ರ 5: ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ ಬಿಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ -

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಹೀಗೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ವಿತರಣಾ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣ INಮತ್ತು xOy ವಿಮಾನವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

X ಮತ್ತು Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 9

ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ:

ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ;

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಎಫ್ * (X) ;

ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ;

ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ;

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (γ = 0.95);

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ-ಆಫ್-ಫಿಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ  2 ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮಾನದಂಡ (  = 0,05).

ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿ:

ಮಾದರಿ ಅಳತೆ

ಪರಿಹಾರ

1. ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 7).

ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉದ್ದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

- ಮಧ್ಯಂತರ ಅಗಲ;

J-th ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ SV X ಆವರ್ತನ;

jth ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 4 - ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿ

f * (X)

ಚಿತ್ರ 7

ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 8).

ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿ j-th ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ SV X ಹೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು (ಕೋಷ್ಟಕ 5).

ಕೋಷ್ಟಕ 5 - ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿ

f * (X)

ಚಿತ್ರ 8

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (γ = 0.95):

H 0 - X ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

H 1 - X ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಕೋಷ್ಟಕ 6 - ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದ ಕಾರಣ, ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ H 0 ಊಹೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ).

8) ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 6). ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ 6 ರಿಂದ 10 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು:

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಮಾನದಂಡದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಊಹೆ ಎಚ್ 0 ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ).