ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು. ಸಮತಲ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಈ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ("ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್", "ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್" ಅಥವಾ "ಸಾಮಾನ್ಯ"), ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು "ಪರಿಹರಿಸು" ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ "ಬಟನ್. ಕೆಳಗಿನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಎಚ್ಚರಿಕೆ

ಎಲ್ಲಾ ಕೋಶಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವುದೇ?

ಕ್ಲೋಸ್ ಕ್ಲಿಯರ್

ಡೇಟಾ ಪ್ರವೇಶ ಸೂಚನೆಗಳು.ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 487, 5, -7623, ಇತ್ಯಾದಿ), ದಶಮಾಂಶಗಳು (ಉದಾ. 67., 102.54, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ. ಭಾಗವನ್ನು a/b ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b (b>0) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು - ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

1. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು.

ಆಕ್ಸಿ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2:

ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ" 2 =0 ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ" 2 =0, ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ಪಂದ್ಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ" 2 =0 ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ" 2 ≠0, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ" 2 ≠0, ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವೈ: ವೈ=ಇದರೊಂದಿಗೆ" 2 /ಬಿ" 2 ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು X: X=−ಜೊತೆಗೆ 1 −ಬಿ 1 ವೈ. ನಾವು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2: ಎಂ(x, y).

2. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು.

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಆಕ್ಸಿಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2:

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (7):

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (12) ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

4. ವಿಭಿನ್ನ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಟಿ:

ಎ 1 X 2 +ಎ 1 ಮೀಟಿ+ಬಿ 1 ವೈ 2 +ಬಿ 1 ಪಟಿ+ಸಿ 1 =0,

ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ x, y. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2. ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2:

ಎಲ್ 1: 2X+3ವೈ+4=0,

(20)

(21)

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (20) ಮತ್ತು (21) ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಛೇದಕ ಬಿಂದು

ನಮಗೆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ನೀವು ಅವರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಅಥವಾ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಪರಿಹಾರ

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು:

ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದು:

ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ.

ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ನೇರ ಸಮಾನಾಂತರಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಅಥವಾ ಅನಂತ ಅನೇಕ (ನೇರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ) ಈ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದ ಅದೇ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಕು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

ಅನುಷ್ಠಾನ

struct pt (ಡಬಲ್ x, y;); ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್ ಲೈನ್ (ಡಬಲ್ ಎ, ಬಿ, ಸಿ;); ಕಾನ್ಸ್ಟ್ಡಬಲ್ EPS =1e-9; ಡಬಲ್ ಡೆಟ್ (ಡಬಲ್ ಎ, ಡಬಲ್ ಬಿ, ಡಬಲ್ ಸಿ, ಡಬಲ್ ಡಿ)(ಹಿಂತಿರುಗಿ ಎ * ಡಿ - ಬಿ * ಸಿ;) ಬೂಲ್ ಛೇದಕ (ಲೈನ್ ಮೀ, ಲೈನ್ ಎನ್, ಪಿಟಿ & ರೆಸ್)(ಡಬಲ್ zn = ಡೆಟ್ (m.a, m.b, n.a , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

ಸರಣಿಯಿಂದ ಪಾಠ " ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು»

ಹಲೋ ಪ್ರಿಯ ಓದುಗರೇ.

ಸಲಹೆ 1: ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಎಂಬುದನ್ನು ಲೈನ್‌ಕ್ರಾಸ್() ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಎರಡು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಭಾಗ. ಅದರಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ - VektorMulti ().

ಹೋಲಿಕೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು RealLess() ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ "<” (строго меньше) для вещественных чисел.

ಕಾರ್ಯ 1. ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಈ ಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದೆ.

ಪರಿಹಾರ
. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು .

ಪಾಯಿಂಟ್ ರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ > 0, ವಾಹಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ರೇಖೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಲಗಲು, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಸಾಕು< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು .

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ , ನಂತರ ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, LinesCross() ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು VektorMulti() ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಡಲಿ, ay - ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು,

bx, ಮೂಲಕ - ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ geometr4; (2 ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?) Const _Eps: Real=1e-4; (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆ) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: ನಿಜ; var v1,v2,v3,v4: ರಿಯಲ್;ಫಂಕ್ಷನ್ ರಿಯಲ್ ಲೆಸ್(Const a, b: Real): ಬೂಲಿಯನ್; (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ) ಆರಂಭಿಸಲು RealLess:= b-a> _Eps ಅಂತ್ಯ; (RealLess)ಫಂಕ್ಷನ್ VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - a ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು bx,by - b ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ vektormulti:= ax*by-bx*ay; ಅಂತ್ಯ;ಫಂಕ್ಷನ್ ಲೈನ್ಸ್‌ಕ್ರಾಸ್(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:ರಿಯಲ್): ಬೂಲಿಯನ್; (ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?) v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3) ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ; v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); ರಿಯಲ್ ಲೆಸ್ (v1*v2,0) ಮತ್ತು ರಿಯಲ್ ಲೆಸ್(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು:

ವಿಭಾಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
ಹೌದು.

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ನಾವು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಆತ್ಮೀಯ ಓದುಗ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸರಣಿಯ ಹಲವಾರು ಪಾಠಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೀರಿ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ? ಈ ಪಾಠಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾನು ತುಂಬಾ ಕೃತಜ್ಞನಾಗಿದ್ದೇನೆ. ಬಹುಶಃ ಏನನ್ನಾದರೂ ಇನ್ನೂ ಸುಧಾರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ವಿಧೇಯಪೂರ್ವಕವಾಗಿ, ವೆರಾ ಗೋಸ್ಪೊಡರೆಟ್ಸ್.

ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ P 1 (x 1 ;y 1)ಮತ್ತು P 2 (x 2 ;y 2). ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ P 3 (x 3 ;y 3)ಮತ್ತು P 4 (x 4 ;y 4).

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪಿ 3 ಪಿ 4ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಪಿ 1ಮತ್ತು P2.

ಡಾಟ್ ಪಿ 1ರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಪಿ 3 ಪಿ 4, ಅವಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ v 1 > 0, ವಾಹಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ.
ಡಾಟ್ P2ರೇಖೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಇದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ v 2< 0 , ವಾಹಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಮಾಡಲು ಪಿ 1ಮತ್ತು P2ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಪಿ 3 ಪಿ 4, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ v 1 v 2< 0 (ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು).

ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಪಿ 1 ಪಿ 2ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಪಿ 3ಮತ್ತು ಪಿ 4.

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ v 1 v 2< 0 ಮತ್ತು v 3 v 4< 0 , ನಂತರ ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ:
ಕೊಡಲಿ, ಆಯ್- ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು,
bx, ಮೂಲಕ- ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ: ಪಿ 1ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( x 1 ;y 1)ಮತ್ತು P2ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x 2 ; y 2).

ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನ

ಅಂತೆಯೇ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಪಿ 1ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ P2ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (x 2 -x 1, y 2 -y 1). ಒಂದು ವೇಳೆ P(x, y)ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪಿ 1 ಪಿಸಮಾನ (x - x 1, y - y 1).

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿ ಪಿ 1 ಪಿಮತ್ತು ಪಿ 1 ಪಿ 2ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, ಅಂದರೆ (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
ಅಥವಾ
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ax + by + c = 0, (1)
ಎಲ್ಲಿ
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪದ (1) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?
ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:

ಕೊಡಲಿ 1 + ಮೂಲಕ 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ ಡಿವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು Dx, Dy- ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ ≠ 0, ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, ಇದನ್ನು ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ತ್ವರಿತ ಜ್ಞಾಪನೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ: ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯಕ. ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣವು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸೈಡ್ ಕರ್ಣೀಯ - ಮೇಲಿನ ಬಲದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಎಡಕ್ಕೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ದ್ವಿತೀಯಕ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಳೆಯ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಗಣಿತದ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ 2D ಮತ್ತು 3D ಎರಡರಲ್ಲೂ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿ ಕೇವಲ ಮೋಜಿಗಾಗಿ ಏನನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾನು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಾನು 4-ಡಿ ಹೈಪರ್‌ಕ್ಯೂಬ್‌ಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಾತು. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ನನ್ನ ಪ್ರೀತಿ ಅಂದಿನಿಂದ ಇಂದಿನವರೆಗೂ ನನ್ನೊಂದಿಗೆ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೇನೆ.
ನಾನು 2010 ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಂಡೆ. ಕಾರ್ಯವು ತುಂಬಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ: ಎರಡು 2-D ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವರು ಮಾಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಸೊಗಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಾನು ಓದುಗರಿಗೆ ನೀಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸ್ವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ (ಆದರೂ ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ), ಆದರೆ ಇಂಟರ್ನೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ

ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: (v11, v12), (v21, v22). ಅವರು ಛೇದಿಸುತ್ತಾರೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವರು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲು ನೀವು ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಇರುವ ರೇಖೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ.

ಎಡ ಚಿತ್ರ (1) ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇವೆರಡಕ್ಕೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಬಲ (2) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗ b ಗಾಗಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಾಗ a ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯ ಯಾವ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕೆಲಸ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಭಯವು ದೊಡ್ಡ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರವು ನಮಗೆ ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು X-Y ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ (ಇದು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ Z ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇದರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಘಟಕ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಾಹಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ (ಓದಿ: ಗುಣಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ), ಇದು ಈ ಘಟಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲ್ಪಡುವ ವಿಭಾಗದ ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ನಾವು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಭಾಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ Z ಘಟಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಕೋನವು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆದರೆ -180 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0 ಮತ್ತು 180 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅಂಕಗಳು ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ . ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ Z ಘಟಕಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.
Z ನ ಒಂದು ಘಟಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಇರುವಾಗ ನಾವು ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಬಳಕೆದಾರರು ಇದನ್ನು ಛೇದಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಿಡೋಣ.
ನಂತರ ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಸಾಲಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ವಿಭಾಗಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಛೇದಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕ Z ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ (ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ವಾಹಕಗಳ a ಮತ್ತು b ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು (ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅದರ ಘಟಕ Z ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ (|a |. |b|. ಅಂತೆಯೇ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಂರಚನೆಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: |AB x AC| = |AB||AC|ಸಿನ್(α), ಮತ್ತು |AB x AD| = |AB||AD| ಪಾಪ(β). |AC|ಸಿನ್(α) ಎಂಬುದು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ AB ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು |AD|sin(β) ಎಂಬುದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ D ಯಿಂದ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AB (ಲೆಗ್ ADD") ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. γ ಮತ್ತು δ ಕೋನಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ PCC" ಮತ್ತು PDD" ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.
Z1 (AB x AC, ಅಂದರೆ |AB||AC|sin(α)) ಮತ್ತು Z2 (AB x AD, ಅಂದರೆ |AB||AD|sin(β)) ಹೊಂದಿರುವ ನಾವು CC"/DD" ( ಇದು Z1/Z2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು CC"/DD" = CP/DP ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ P ನ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾದ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ನಾನು ಒದಗಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಕಾರ್ಯವು ಮನೆಯಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ , ಇದು ಟೈಪ್ ಹೆಸರಿನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಇಂಟ್-ಗಾತ್ರದ ವೆಕ್ಟರ್ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತರು ತಮ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

1 ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ 2 bool are_crossing(ವೆಕ್ಟರ್ const &v11, ವೆಕ್ಟರ್ const &v12, ವೆಕ್ಟರ್ const &v21, ವೆಕ್ಟರ್ const &v22, ವೆಕ್ಟರ್ *ಕ್ರಾಸಿಂಗ್) 3 (4 ವೆಕ್ಟರ್ cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 ವೆಕ್ಟರ್ prod1, prod2; 6 7 prod1 = ಅಡ್ಡ (ಕಟ್1 * (v21-v11)); 8 prod2 = ಅಡ್ಡ (ಕಟ್1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // ನಾವು ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಸಹ ಕತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಪ್ರಕರಣಗಳು 11 ತಪ್ಪಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ; 12 13 prod1 = ಅಡ್ಡ (ಕಟ್2 * (v11-v21)); 14 prod2 = ಅಡ್ಡ (ಕಟ್2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // ನಾವು ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಸಹ ಕತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಪ್ರಕರಣಗಳು 17 ತಪ್ಪಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ; 18 19 if(ಕ್ರಾಸಿಂಗ್) ( // ಛೇದಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ 20 (*ಕ್ರಾಸಿಂಗ್)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[ Z]- prod1[Z]); 21 (*ಕ್ರಾಸಿಂಗ್)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); ನಿಜ; 25)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

x-9y+14=0 ಮತ್ತು 5x-2y-16=0 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ: . ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ಮತ್ತು 5x-2y-16=0 .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಿದರೆ ಏನು (ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ)? ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೊದಲು ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಅಗತ್ಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. . ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

M 0 (-5, 1)

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಫಾರ್ಮ್ನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ , ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು , ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:
.

ಉತ್ತರ:

M 0 (-5, 1) .

ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಬೇಕು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಚೆಕ್ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು (ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ x ಮತ್ತು y ಜೋಡಿಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ). ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ಮೂಲ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು . ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ .

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು , ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಾಮರಸ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ:

ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಅಂಗೀಕಾರದ ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

- ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈನ್ ವೆಕ್ಟರ್ , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ . ಮರಣದಂಡನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು : ಸಮಾನತೆ ನಿಜ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

2x-1=0 ಗೆರೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವು ಛೇದಿಸಿದರೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ನೀಡಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: . ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ , ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ನಮಗೆ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 2x-1=0 ಮತ್ತು .

ಉತ್ತರ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇದೇ ರೀತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: . ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲಿಖಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ - .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟಿ ಶ್ರೇಣಿ. ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೀವಿ

ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ- ಇವುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ರೇಖೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:
1) ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ.
2) ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3) ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4) ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 13.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

P.6.4. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ನದಿಯ ನೇರ ಪಟ್ಟಿಯಿದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಅದನ್ನು ತಲುಪುವುದು. ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ "rho" ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: - "em" ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ "de" ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 14.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು:

ಉತ್ತರ:

P.6.5. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ಉದಾಹರಣೆ 15.

ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1. ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.
2. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೀಗೆ:

ಉತ್ತರ:

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು. ವೃತ್ತ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 0xy ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ M(x, y, z) ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಗುಣಾಂಕಗಳು A, B, C, D, E, L ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು A, B, C ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

1.ವೃತ್ತಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು M 0 (x 0, y 0) ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು R. ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ R ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ

– M 0 (x 0, y 0) ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ R ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ.

ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

- ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: , . ಅಂದಿನಿಂದ< 1.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನುಪಾತವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ, ಅದು 1 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. b a ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವು ವೃತ್ತದ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ , ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x 2 + y 2 = a 2.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಂತ್ರಗಳು, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಫೋಕಸ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ).

F 1, F 2 ಫೋಸಿ ಆಗಿರಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು 2с ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ನಿಯತಾಂಕ).

- ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ಋಣಾತ್ಮಕ p ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು 0y ಅಕ್ಷದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, 0y ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, p > 0 ಗಾಗಿ 0x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು p ಗಾಗಿ 0x ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ< 0.