ಸಮಾನ ಅಧಿಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ. ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿ), ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಘಾತವು ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ (ಅಥವಾ ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು). ಮತ್ತು ವಿಭಾಜಕ).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, b 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು b ≠ 0 ಷರತ್ತಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

ಈಗ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಿಯಮಗಳು-ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂಬಂತೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ ಪಡೆದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು (2 × 3) 3. ಅಂದರೆ 6 3 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 18 2 ಎಂದರೇನು?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

"ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು"ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಜನಪ್ರಿಯವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿಮಗಾಗಿ ಪದವಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಒಂದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಚೀಟ್ ಶೀಟ್‌ನ ಚಿಕ್ಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು "ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".pdf ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಬಹುದು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುನೇರವಾಗಿ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ. ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

"ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು" ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ (ಸ್ವರೂಪ.ಪಿಡಿಎಫ್)

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ)

ಎ 0=1 ವೇಳೆ ಎ≠0

ಎ 1=ಎ

(−ಎ)ಎನ್=ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಸಹ

(−ಎ)ಎನ್=−ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಬೆಸ

(ಎ⋅ಬಿ)ಎನ್=ಒಂದು⋅bn

(ab)ಎನ್=anbn

ಎ−ಎನ್=1ಒಂದು

(ab)−ಎನ್=(ಬಾ)ಎನ್

ಒಂದು⋅ಬೆಳಗ್ಗೆ=ಒಂದು+ಮೀ

ಅನಮ್=ಒಂದು−ಮೀ

(ಒಂದು)ಮೀ=ಒಂದು⋅ಮೀ

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ)

1 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎ 0=1 ವೇಳೆ ಎ≠0 ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2 ನೇ ಹಂತದ ಆಸ್ತಿಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎ 1=ಎ ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3 ನೇ ಹಂತದ ಆಸ್ತಿಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು=ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಸಹ (2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) ಪೂರ್ಣಾಂಕ (- ಎ)ಎನ್=ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಸಹ (2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು=ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಬೆಸ (2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಪೂರ್ಣಾಂಕ (- ಎ)ಎನ್=−ಒಂದು, ವೇಳೆ ಎನ್- ಬೆಸ (2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಬೆಳೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಓಹ್ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ, ಬೆಳೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ರುವಿ ಇದು ಪದವಿ (ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ). ( ಎ⋅ಬಿ)ಎನ್=ಒಂದು⋅bn, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಎನ್ ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6 ನೇ ಹಂತದ ಆಸ್ತಿಬೆಳೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶ (ವಿಭಾಗ). ಓಹ್ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ, ಬೆಳೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ರುವಿ ಇದು ಪದವಿ (ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ). ( ab)ಎನ್=anbn, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಎನ್- ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.) ಎ−ಎನ್=1ಒಂದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಎನ್- ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 7−2=172=149

8 ನೇ ಹಂತದ ಆಸ್ತಿನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ( ab)−ಎನ್=(ಬಾ)ಎನ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಎನ್- ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಒಂದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು⋅ಬೆಳಗ್ಗೆ=ಒಂದು+ಮೀ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ, ಎನ್, ಮೀ- ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 23⋅25=23+5=28, ಡಿಗ್ರಿಯ ಈ ಗುಣವನ್ನು 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ −3)= 47−3=44

10 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಒಂದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಮ್=ಒಂದು−ಮೀ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ, ಎನ್, ಮೀ- ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ:(1,4)2(1,4)3=1.42+3=1.45, ಈ ಶಕ್ತಿಯ ಗುಣವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ3−236=3−2−6=3-8, 474− 3=47−(-3 )=47+3=410

11 ನೇ ಪದವಿ ಆಸ್ತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಶಕ್ತಿಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ( ಒಂದು)ಮೀ=ಒಂದು⋅ಮೀಉದಾಹರಣೆಗೆ: (23)2=23⋅2=26=64

10 ರವರೆಗಿನ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಕೆಲವು ಜನರು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದಾಗ ಯಾರಿಗೆ ಬೇಕು? ನಮ್ಮ ಪವರ್ ಟೇಬಲ್ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು (1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗೆ), ಹಾಗೆಯೇ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಪದವಿಯ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ), ಸಾಲುಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿ), ಮತ್ತು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಾಲು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ತಕ್ಷಣದ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ. ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸಬಹುದು: “ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು? ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ ?" ಅಥವಾ "ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಬಿ ?".

10 ರವರೆಗಿನ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

	1 ಎನ್	2 ಎನ್	3 ಎನ್	4 ಎನ್	5 ಎನ್	6 ಎನ್	7 ಎನ್	8 ಎನ್	9 ಎನ್	10 ಎನ್

ಡಿಗ್ರಿ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು

ಪವರ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಅನ್ನು 8 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದರಿಂದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ?ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಲಮ್ 6 ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಎನ್, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಲು 8 ಗಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 8 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: 1679616.

ಉದಾಹರಣೆ 2. 729 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 9 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕು?ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಲಮ್ 9 ಗಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಎನ್ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು 729 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಇಳಿಸುತ್ತೇವೆ (ನಮ್ಮ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೂರನೇ ಸಾಲು). ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದವಿ, ಅಂದರೆ ಉತ್ತರ: 3.

ಉದಾಹರಣೆ 3. 2187 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 7 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು?ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು 7 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಲಕ್ಕೆ 2187 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಂಡುಬಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಈ ಕಾಲಮ್ನ ಶೀರ್ಷಿಕೆ 3 ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಎನ್, ಅಂದರೆ ಉತ್ತರ: 3.

ಉದಾಹರಣೆ 4. 63 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕು?ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಲಮ್ 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎನ್ಮತ್ತು ನಾವು 63 ಅನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗುವವರೆಗೂ ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ... ಆದರೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅಧಿಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕದ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಂದಿಗೂ 63 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದಾಗ 63 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲ ಉತ್ತರ .

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯಲು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಮ್ಮೆ ಆಗಿತ್ತು. ಜನರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೂರು ಪರ್ಷಿಯನ್ ಕಾರ್ಪೆಟ್ಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ 3 ಚಿನ್ನದ ನಾಣ್ಯಗಳು. 3+3+3+...+3 = 300. ಅದರ ತೊಡಕಿನ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು 3 * 100 = 300 ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, "ಮೂರು ಬಾರಿ ನೂರು" ಎಂಬ ಸಂಕೇತವು ನೀವು ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ ನೂರು ಮೂರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಗುಣಾಕಾರವು ಸೆಳೆಯಿತು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. ಆದರೆ ಪ್ರಪಂಚವು ಇನ್ನೂ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಯುಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಫಲವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಗೋಧಿ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಕೇಳಿದ ಋಷಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹಳೆಯ ಭಾರತೀಯ ಒಗಟು ನನಗೆ ನೆನಪಿದೆ: ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೊದಲ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಅವರು ಒಂದು ಧಾನ್ಯವನ್ನು ಕೇಳಿದರು, ಎರಡನೆಯದು - ಎರಡು, ಮೂರನೆಯದು - ನಾಲ್ಕು, ಐದನೇ - ಎಂಟು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊದಲ ಗುಣಾಕಾರವು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಧಾನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಕೋಶದಲ್ಲಿ 2*2*2*...*2 = 2^63 ಧಾನ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಇದು 18 ಅಕ್ಷರಗಳ ಉದ್ದದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಗಟಿನ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ಘಾತೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಸೆಳೆಯಿತು ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವೂ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಸರಳ ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡುವ ಸುಲಭ. ಜೊತೆಗೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅವರು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a^b ("a ಗೆ b ಆಫ್ ಪವರ್" ಅನ್ನು ಓದಿ) ಎಂದರೆ a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ b ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಜೊತೆಗೆ "a" ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "b" ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ: 2^3 * 2^4 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಏನಾಗಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್, ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ, "ವಿವಿಧ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಪವರ್‌ಗಳು" ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಿದರೆ, ಔಟ್‌ಪುಟ್ 128 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: 2^3 = 2*2*2, ಮತ್ತು 2^4 = 2 *2*2*2. ಇದು 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . ಅದೇ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಬೆಳೆದ ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಅಪಘಾತ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲ: ಯಾವುದೇ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a^n * a^m = a^(n+m) . ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ನಿಯಮವೂ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: a^(-n) = 1 / a^n. ಅಂದರೆ, 2^3 = 8 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 2^(-3) = 1/8. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಅದೇ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅಂಶವು ಈ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: a^n: a^m = a^(n-m) . ಉದಾಹರಣೆ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಮೊದಲು ಗುಣಾಕಾರ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. ಮುಂದೆ ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನ ಘಾತದಿಂದ ಭಾಜಕದ ಘಾತವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. ಋಣಾತ್ಮಕ ಡಿಗ್ರಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ 8 ಆಗಿದೆ.

ಅಧಿಕಾರಗಳ ಅಂಗೀಕೃತವಲ್ಲದ ಗುಣಾಕಾರ ನಡೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಂತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಿದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೆಲೆಗಳು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ (a^n) ^m = a^(n*m) , ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಕು: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . ಉತ್ತರ: 3^11. ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯಮ a^n * b^n = (a*b) ^n ಸಮಾನ ಸೂಚಕಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3^3 * 7^3 = 21^3. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಸಹಾಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದು.

ಅಧಿಕಾರಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ

ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಂತೆ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ , ಅವರ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಆದ್ದರಿಂದ, 3 ಮತ್ತು ಬಿ 2 ಮೊತ್ತವು 3 + ಬಿ 2 ಆಗಿದೆ.
a 3 - b n ಮತ್ತು h 5 -d 4 ಮೊತ್ತವು 3 - b n + h 5 - d 4 ಆಗಿದೆ.

ಆಡ್ಸ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಗಳುಸೇರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, 2a 2 ಮತ್ತು 3a 2 ಮೊತ್ತವು 5a 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಎರಡು ಚೌಕಗಳನ್ನು a, ಅಥವಾ ಮೂರು ಚೌಕಗಳನ್ನು a, ಅಥವಾ ಐದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ a ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಪದವಿಗಳು ವಿವಿಧ ಅಸ್ಥಿರಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪದವಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರ, ಅವುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಮತ್ತು 3 ರ ಮೊತ್ತವು 2 + ಎ 3 ರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

a ಯ ವರ್ಗ ಮತ್ತು a ಯ ಘನವು a ದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಯ ಎರಡು ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

a 3 b n ಮತ್ತು 3a 5 b 6 ಮೊತ್ತವು 3 b n + 3a 5 b 6 ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯವಕಲನಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಬ್ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು.

ಅಥವಾ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ಗುಣಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಳು

ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆಯೇ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, 3 ರಿಂದ b 2 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು 3 b 2 ಅಥವಾ aaabb ಆಗಿದೆ.

ಅಥವಾ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: a 5 b 5 y 3.

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು) ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಾನವಾದ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ (ವೇರಿಯಬಲ್) ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಮೊತ್ತಪದಗಳ ಪದವಿಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

ಇಲ್ಲಿ 5 ಗುಣಾಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು 2 + 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪದಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಆದ್ದರಿಂದ, a n .a m = a m+n .

n ಗಾಗಿ, n ನ ಶಕ್ತಿಯಷ್ಟು ಬಾರಿ a ಅನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಮತ್ತು m ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವಷ್ಟು ಬಾರಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಅದಕ್ಕೇ, ಅಧಿಕಾರಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . ಮತ್ತು x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

ಅಥವಾ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ಗುಣಿಸಿ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
ಉತ್ತರ: x 4 - y 4.
ಗುಣಿಸಿ (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ಈ ನಿಯಮವು ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ.

1. ಆದ್ದರಿಂದ, a -2 .a -3 = a -5 . ಇದನ್ನು (1/aa) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b ಅನ್ನು a - b ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು 2 - b 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ಅಂದರೆ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಚೌಕ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಾಲ್ಕನೇಪದವಿಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ಪದವಿಗಳ ವಿಭಾಗ

ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಭಾಂಶದಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, a 3 b 2 ಅನ್ನು b 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ a 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

5 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಬರೆಯುವುದು $\frac ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ $. ಆದರೆ ಇದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಘಾತವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಚಕಗಳು.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ..

ಆದ್ದರಿಂದ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. ಅಂದರೆ, $\frac = y$.

ಮತ್ತು n+1:a = a n+1-1 = a n . ಅಂದರೆ, $\frac = a^n$.

ಅಥವಾ:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

ನಿಯಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕಡಿಗ್ರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು.
-5 ಅನ್ನು -3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು -2 ಆಗಿದೆ.
ಅಲ್ಲದೆ, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ಅಥವಾ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು $\frac $ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಉತ್ತರ: $\frac $.

2. ಘಾತಗಳನ್ನು $\frac$ ನಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಉತ್ತರ: $\frac$ ಅಥವಾ 2x.

3. ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು a 2 /a 3 ಮತ್ತು a -3 /a -4 ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ.
a 2 .a -4 a -2 ಮೊದಲ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
a 3 .a -3 ಒಂದು 0 = 1, ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
a 3 .a -4 a -1 , ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ: a -2 /a -1 ಮತ್ತು 1/a -1 .

4. ಘಾತಾಂಕಗಳು 2a 4 /5a 3 ಮತ್ತು 2 /a 4 ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ.
ಉತ್ತರ: 2a 3 /5a 7 ಮತ್ತು 5a 5 /5a 7 ಅಥವಾ 2a 3 /5a 2 ಮತ್ತು 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ಅನ್ನು (a - b)/3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

6. (a 5 + 1)/x 2 ರಿಂದ (b 2 - 1)/(x + a) ಗುಣಿಸಿ.

7. b 4 /a -2 ಅನ್ನು h -3 /x ಮತ್ತು a n /y -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

8. 4 /y 3 ಅನ್ನು 3 /y 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಉತ್ತರ: a/y.

ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂಚಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು 8 ನೇ ತರಗತಿಯ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ

ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

a m · a n = a m + n, ಅಲ್ಲಿ "a" ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು "m", "n" ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅಧಿಕಾರಗಳ ಈ ಗುಣವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

• ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• ಅದನ್ನು ಪದವಿಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• ಅದನ್ನು ಪದವಿಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆಸ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಅವರ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಮೊತ್ತವನ್ನು (3 3 + 3 2) 3 5 ರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಇದು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, ಮತ್ತು 3 5 = 243

ಆಸ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ಭಾಗಶಃ ಪದವಿಗಳು

ಅದೇ ಬೇಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಬೇಸ್ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿವೈಸರ್ನ ಘಾತವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶದ ಘಾತದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

• ಅಂಶವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
3 8: t = 3 4

ಉತ್ತರ: t = 3 4 = 81

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬಳಸಿ, ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

ಉದಾಹರಣೆ. ಘಾತಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 2 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (4 3 -4 2) 4 1 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, ಮತ್ತು 4 1 = 4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ ಇದು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ

ಆಸ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ. 3
ಪದವಿಯನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು

ಪದವಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಪದವಿಯ ಮೂಲವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಾತಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

(a n) m = a n · m, ಅಲ್ಲಿ "a" ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು "m", "n" ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮುಂದಿನ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ

ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ? ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

1) ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ;

2) ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪವರ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಘಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು:

ಅದೇ ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಸೂಚಕವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಘಟಕವನ್ನು ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ:

ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಇರಬಹುದು. ಅಕ್ಷರದ ಮೊದಲು ನೀವು ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಘಾತವನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಘಾತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಬೇಕು:

ಒಂದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವುದು

ಈ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಚಂದಾದಾರಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಲಭ್ಯವಿದೆ

ಈಗಾಗಲೇ ಚಂದಾದಾರಿಕೆ ಹೊಂದಿರುವಿರಾ? ಒಳಗೆ ಬರಲು

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ . ನಂತರ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಷಯ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ

ಪಾಠ: ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವುದು (ಸೂತ್ರ)

1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು:

ಎನ್- ಘಾತ,

— ಎನ್ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ.

2. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಹೇಳಿಕೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: ವೇಳೆ ಎ- ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ; ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮ 1:

3. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು

ತೀರ್ಮಾನ:ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಪ್ರಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸಿದವು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಎಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆ.

4. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ 1

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ- ಯಾವುದಾದರು; ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆ -ನೈಸರ್ಗಿಕ. ಸಾಬೀತು:

ಪುರಾವೆಯು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

5. ಪ್ರಮೇಯ 1 ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1:ಇದನ್ನು ಪದವಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು)

6. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ:

7. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

8. ಪ್ರಮೇಯ 1 ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2:ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ನೀವು ಮೂಲ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು).

ಎ) (ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ)

b)

ಉದಾಹರಣೆ 3:ಇದನ್ನು ಬೇಸ್ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಪವರ್ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

ಎ)

ಉದಾಹರಣೆ 4:ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

, ಎ -ಋಣಾತ್ಮಕ, ಏಕೆಂದರೆ -13 ರಲ್ಲಿ ಘಾತವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5:(·) ಅನ್ನು ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಆರ್:

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ.

9. ಸಾರೀಕರಿಸುವುದು

1. ಡೊರೊಫೀವ್ ಜಿ.ವಿ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ., ಬುನಿಮೊವಿಚ್ ಇ.ಎ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ 7. 6ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಂ.: ಜ್ಞಾನೋದಯ. 2010

1. ಶಾಲಾ ಸಹಾಯಕ (ಮೂಲ).

1. ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ:

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ ಇ)

3. ಆಧಾರ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ:

4. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಎ)

5. (·) ಅನ್ನು ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಆರ್:

a) r 4 · (·) = r 15; ಬಿ) (·) · ಆರ್ 5 = ಆರ್ 6

ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ತದನಂತರ ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಜ್ಞಾಪನೆ

ಇಲ್ಲಿ ಎ- ಪದವಿಯ ಆಧಾರ,

— ಎನ್ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಅದೇ ಬೇಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೇಸ್ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆ,ಅಂದರೆ ಎನ್ > ಕೆಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಅದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಮತ್ತು ಕೆಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಾರಣಗಳು, ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸೂಚಕಗಳು.

ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಪದವಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ತೀರ್ಮಾನ:ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು , ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತಾಗಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್.

ಪ್ರಮೇಯ 4 ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಪುರಾವೆಪ್ರಮೇಯ 4 .

ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಹಾಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ .

ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಲು ಸಾಕು.

ಪ್ರಮೇಯ 5 ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ

ಅದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ() ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಪುರಾವೆಪ್ರಮೇಯ 5 .

ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಹೇಳಿಕೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಲು, ಒಂದು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಘಾತವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1:ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 4 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಪ್ರಮೇಯ 4 ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಪ್ರಮೇಯ 4 ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ:

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 4

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರೆಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2:ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3:ಘಾತಾಂಕ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 4:ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

2. ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಂ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ 7. M.: VENTANA-GRAF

3. ಕೊಲಿಯಾಗಿನ್ ಯು.ಎಂ., ಟ್ಕಾಚೆವಾ ಎಂ.ವಿ., ಫೆಡೋರೊವಾ ಎನ್.ಇ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ 7.M.: ಜ್ಞಾನೋದಯ. 2006

2. ಶಾಲಾ ಸಹಾಯಕ (ಮೂಲ).

1. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ:

ಎ) ; ಬಿ) ; ವಿ) ; ಜಿ) ;

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ:

3. ಘಾತ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ:

4. ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

"ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ" ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಗಣಿತದ ಪಾಠ

ವಿಭಾಗಗಳು:ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

ಶಿಕ್ಷಣದ ಗುರಿ:

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕಲಿಯುವನುಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ; ಅದೇ ನೆಲೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ;

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಅವಕಾಶವಿರುತ್ತದೆವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಿ;

ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ;

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಿ.

ಬೋಧನೆಯ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಘಟಕಗಳು:ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ನಿರ್ಣಯ; ಪದವಿ ಘಟಕಗಳು; ಖಾಸಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ; ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮ.

I. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಞಾನದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪಾಂಡಿತ್ಯದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುವುದು. (ಹಂತ 1)

ಎ) ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು:

2) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

a n =a a a a ... a (n ಬಾರಿ)

b k =b b b b a… b (k ಬಾರಿ) ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

II. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅನುಭವದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಪ್ರಾವೀಣ್ಯತೆಯ ಪದವಿಯ ಸ್ವಯಂ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಸಂಘಟನೆ. (ಹಂತ 2)

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆ: (ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೆಲಸ.)

A1) ಉತ್ಪನ್ನ 7 7 7 7 x x x ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ:

A2) ಪವರ್ (-3) 3 x 2 ಅನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ

A3) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: -2 3 2 + 4 5 3

ವರ್ಗ ಮಟ್ಟದ ತಯಾರಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕೀಲಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಮಾನದಂಡ: ಪಾಸ್ - ಪಾಸ್ ಇಲ್ಲ.

III. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯ (ಹಂತ 3) + ಹಂತ 4. (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ವತಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ)

ಲೆಕ್ಕ: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ 1) ಮತ್ತು 2), ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ನಾನು ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ, ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ವರ್ಗವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಶಿಕ್ಷಕ: ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮಾರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ.

ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮೂದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.

ಶಿಕ್ಷಕ: ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ.

ತಾರ್ಕಿಕತೆ: ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? a 5: a 3 = ? a 2 a 3 = a 5 ಎಂದು

ನಾನು ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇನೆ - ಒಂದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ - .. ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಪದವಿಗಳ ವಿಭಾಗ.

IV. ಜ್ಞಾನದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನ ಮಾಡುವುದು (ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ).

ಶಿಕ್ಷಕ: ಇಂದಿನ ಪಾಠದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯುವುದು, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು.

ನಾವು ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಂಸ್ಥೆ. (ಹಂತ 5)

ಎ) ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ: ಸಂಖ್ಯೆ 403 (ಎ, ಸಿ, ಇ) ವಿವಿಧ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆ 404 (a, d, f) ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ, ನಂತರ ನಾನು ಪರಸ್ಪರ ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೀಲಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

b) m ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

ನಿಯೋಜನೆ: ವಿಭಜನೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ.

ಸಿ) ಸಂ. 417 (ಎ), ಸಂ. 418 (ಎ) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಬಲೆಗಳು: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದು, ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು (ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು) (ಹಂತ 6)

ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಕೆಲಸ.

ಪರೀಕ್ಷೆ(ಹಿಟ್ಟಿನ ಹಿಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೀಲಿಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ).

ಕಾರ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು: ಅಂಶ x 15 ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ: x 3; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; ಯಾವ m ಗೆ ಸಮಾನತೆ a 16 a m = a 32 ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ? h 0: h 2 h = 0.2 ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (5 2 5 0) : 5 2 .

ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬ.ನಾನು ತರಗತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಗುಂಪು I ರಲ್ಲಿ ವಾದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಗುಂಪು II - ನೀವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವ ವಾದಗಳು. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಮತ್ತು "ಇದು ನಂಬಿಕೆಗೆ ಮೀರಿದೆ!"

ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಕ್ತಿ ತಮ್ಮ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ 32 10 2 ಕೆಜಿ ಸೌತೆಕಾಯಿಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಕಣಜವು 3.2 10 2 ಕಿಮೀಗಳ ತಡೆರಹಿತ ಹಾರಾಟವನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಗಾಜಿನ ಬಿರುಕುಗಳು, ಬಿರುಕು ಸುಮಾರು 5 10 3 ಕಿಮೀ / ಗಂ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹರಡುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಪ್ಪೆ ತನ್ನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ 3 ಟನ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೊಳ್ಳೆಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುತ್ತದೆ. ಪದವಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೆಜಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಅತ್ಯಂತ ಸಮೃದ್ಧವಾದ ಸಮುದ್ರ ಮೀನು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ - ಚಂದ್ರ (ಮೋಲಾ ಮೋಲಾ), ಇದು ಒಂದು ಮೊಟ್ಟೆಯಿಡುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 1.3 ಮಿಮೀ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 300,000,000 ಮೊಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಇಡುತ್ತದೆ. ಪವರ್ ಬಳಸಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

VII. ಮನೆಕೆಲಸ.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಫರ್ಮಾಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

P.19. ಸಂ. 403, ಸಂ. 408, ಸಂ. 417

ಬಳಸಿದ ಪುಸ್ತಕಗಳು:

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಬೀಜಗಣಿತ -7", ಲೇಖಕರು ಯು.ಎನ್. ಮಕಾರಿಚೆವ್, ಎನ್.ಜಿ. ಮಿಂಡ್ಯುಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರು.

7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ನೀತಿಬೋಧಕ ವಸ್ತು, ಎಲ್.ವಿ. ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವಾ, ಎಲ್.ಐ. ಜ್ವಾವಿಚ್, ಎಸ್.ಬಿ. ಸುವೊರೊವ್.

ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್.

ಮ್ಯಾಗಜೀನ್ "ಕ್ವಾಂಟ್".

ಪದವಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು, ಪುರಾವೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಪದವಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಘಾತಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಶಕ್ತಿ a n ಎಂಬುದು n ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಳಸಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ a m ·a n =a m+n, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ a m:a n =a m−n ;

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿ (a·b) n =a n ·b n, ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆ (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪದವಿಗೆ ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿ (a:b) n =a n:b n ;

ಒಂದು ಪವರ್ (a m) n =a m·n ಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಹೋಲಿಕೆ:

• a>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n>0;
• a=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a n =0;
• ಒಂದು ವೇಳೆ 2·m >0 , ಒಂದು ವೇಳೆ 2·m−1 n ;
• m ಮತ್ತು n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ m>n, ನಂತರ 0m n ಮತ್ತು a> 0 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ a m >a n ನಿಜ.

ಎಲ್ಲಾ ಲಿಖಿತ ಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ ಒಂದೇ ರೀತಿಯನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಅವುಗಳ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ a m ·a n =a m+n with ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ a m+n =a m ·a n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಒಂದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು n, ಸಮಾನತೆ a m ·a n =a m+n ಸರಿ.

ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, m ·a n ರೂಪದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು . ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು , ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತ m+n, ಅಂದರೆ m+n ನೊಂದಿಗೆ a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು 2 ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಮಾನತೆ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. 2 2 · 2 3 ಮತ್ತು 2 5 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಘಾತವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವಾಗ, ನಾವು 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ಮತ್ತು 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , ನಾವು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ 2 2 ·2 3 =2 5 ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪದವಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n 1 , n 2 , ..., n k ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನತೆ a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ಎಂಬುದು ನಿಜ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು - ಅದೇ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ m>n, ಸಮಾನತೆ a m: a n =a m−n.

ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು, ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು a≠0 ಷರತ್ತು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 0 n =0, ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾದಾಗ, ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗದಂತೆ m>n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, m>n ಘಾತಕ್ಕೆ m−n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (m−n ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ (ಇದು m m−n ·a n =a (m−n) ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ +n =a m. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ a m−n ·a n =a m ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ m−n ಒಂದು m ಮತ್ತು n ಶಕ್ತಿಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಶಕ್ತಿಗಳ ಅಂಶಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ಒಂದೇ ಬೇಸ್ π ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು 5 ಮತ್ತು 2 ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಸಮಾನತೆ π 5: π 2 =π 5−3 =π 3 ಡಿಗ್ರಿಯ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ a ಮತ್ತು b n ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a n ಮತ್ತು b n , ಅಂದರೆ (a·b) n =a n ·b n .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ . ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು , ಇದು a n · b n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಈ ಗುಣವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶಕ್ತಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, k ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಿಗ್ರಿ n ನ ಗುಣವನ್ನು (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. 7 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿ: ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a ಮತ್ತು b, b≠0 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a n ಮತ್ತು b n, ಅಂದರೆ (a:b) n =a n:b n.

ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (a:b) n ·b n =a n ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (a:b) n ವಿಭಾಗ a n ರಂದು bn.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: .

ಈಗ ನಾವು ಧ್ವನಿ ನೀಡೋಣ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ m ಮತ್ತು n ಗೆ, n ನ ಶಕ್ತಿಗೆ m ನ ಶಕ್ತಿಯು ಘಾತ m·n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ (a m) n =a m·n.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

ಅಧಿಕಾರದಿಂದ ಪದವಿಗೆ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ: .

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p, q, r ಮತ್ತು s, ಸಮಾನತೆ . ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಯಾವುದೇ a>0 ಗೆ n >0 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸತ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕ n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, n ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗೆ a, ಡಿಗ್ರಿ a n ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಬೀತಾದ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 ಮತ್ತು .

a=0 ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ n ನ ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 0 n =0·0·…·0=0 . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 3 =0 ಮತ್ತು 0 762 =0.

ಪದವಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಘಾತಾಂಕವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು 2·m ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ m ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ . ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, a·a ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು a ಮತ್ತು a ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದವಿ a 2·m. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: (−6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 ಮತ್ತು .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆಧಾರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ 2 m−1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ . ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು a·a ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣದಿಂದಾಗಿ (−5) 3 17 n n ನಿಜವಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ a ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, a n n ರೂಪದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸಮಾನತೆ ಕೂಡ ನಿಜ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು 3 7 7 ಮತ್ತು .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಅದರ ಘಾತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳು, ಅದರ ಘಾತವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಗೆ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.

m>n ಮತ್ತು 0m n ಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ a m - a n ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ n ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ದಾಖಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು n ·(a m−n−1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ a n ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ m−n -1 (a n ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು m−n -1 ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ m−n >0 ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ m>n, ಅದು 0m−n ಏಕತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು m -a n m n , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಆಸ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. m>n ಮತ್ತು a>1 a m >a n ಗಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ n ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ m -a n ವ್ಯತ್ಯಾಸವು n ·(a m−n -1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a>1 ಡಿಗ್ರಿಗೆ n ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು m−n -1 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ m−n>0 ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು a>1 ಗೆ ಡಿಗ್ರಿ ಒಂದು m−n ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು m -a n >0 ಮತ್ತು m >a n , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಸಮಾನತೆ 3 7 >3 2 ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ, ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ಹಾಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು m ಮತ್ತು n, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ: ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• a m ·a n = a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b) n =a n ·b n;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n =a m·n ;
• n ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು a n n ಮತ್ತು a -n >b -n ;
• m ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು m>n, ನಂತರ 0m n ಗೆ ಮತ್ತು a>1 ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ a m >a n ಹೊಂದಿದೆ.

a=0, m ಮತ್ತು n ಎರಡೂ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ a m ಮತ್ತು a n ಶಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗ ಬರೆಯಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು a=0 ಮತ್ತು m ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು, ಹಾಗೆಯೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಪವರ್-ಟು-ಪವರ್ ಆಸ್ತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು p ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು q ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳು (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (-p) ·q, (a p ) -q =a p·(-q) ಮತ್ತು (a -p) -q =a (-p)·(-q) . ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಧನಾತ್ಮಕ p ಮತ್ತು q ಗಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ (a p) q =a p·q ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. p=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು (a 0) q =1 q =1 ಮತ್ತು 0·q =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a 0) q =a 0·q. ಅದೇ ರೀತಿ, q=0 ಆಗಿದ್ದರೆ (a p) 0 =1 ಮತ್ತು a p·0 =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a p) 0 =a p·0. p=0 ಮತ್ತು q=0 ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ (a 0) 0 =1 0 =1 ಮತ್ತು a 0·0 =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a 0) 0 =a 0·0.

ಈಗ ನಾವು (a -p) q =a (-p)·q ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಂತರ . ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ . 1 p =1·1·…·1=1 ಮತ್ತು , ನಂತರ . ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು −(p·q) ರೂಪದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳಿಂದಾಗಿ, (−p)·q ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಅಂತೆಯೇ .

ಮತ್ತು .

ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಪದವಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಸಮಾನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ a −n >b -n, ಇದು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -n ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ . ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: . ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ಎ n n , ಆದ್ದರಿಂದ, b n -a n >0 . a n · b n ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a n ಮತ್ತು b n ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿಯೂ ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ b n -a n ಮತ್ತು a n ·b n . ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಿಂದ a −n >b -n , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೊನೆಯ ಆಸ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಸ್ತಿಯಂತೆಯೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1. ಅದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿ a>0, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ a≥0;
2. ಅದೇ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ a>0 ಕ್ಕೆ;
3. ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿ a>0 ಮತ್ತು b>0, ಮತ್ತು if ಮತ್ತು, ನಂತರ a≥0 ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) b≥0;
4. ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿ a>0 ಮತ್ತು b>0, ಮತ್ತು ವೇಳೆ , ನಂತರ a≥0 ಮತ್ತು b>0;
5. ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಗೆ ಆಸ್ತಿ a>0, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ a≥0;
6. ಸಮಾನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, a 0 ಅಸಮಾನತೆ a p p ನಿಜ, ಮತ್ತು p p >b p ;
7. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಆಸ್ತಿ: ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q, 0p q ಗಾಗಿ p> q, ಮತ್ತು a>0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, n ನೇ ಡಿಗ್ರಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು , ನಂತರ . ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು: . ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:


ಉಳಿದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:


ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೋಗೋಣ. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a ಮತ್ತು b, a ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ 0 ಅಸಮಾನತೆ a p p ನಿಜ, ಮತ್ತು p p >b p ಗಾಗಿ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ p ಅನ್ನು m/n ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ, ಇಲ್ಲಿ m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ p 0 ಷರತ್ತುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ m 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. m>0 ಮತ್ತು am m ಗೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಬೇರುಗಳ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, p p .

ಅದೇ ರೀತಿ, m m >b m , ಎಲ್ಲಿಂದ ಅಂದರೆ, a p >b p .

ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q, 0p q ಗಾಗಿ p>q ಮತ್ತು a>0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು , m 1 ಮತ್ತು m 2 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, p> q ಸ್ಥಿತಿಯು m 1 >m 2 ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ನಿಯಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, 0m 1 m 2, ಮತ್ತು a>1 ಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ a m 1 >a m 2. ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು . ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಮಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಂತಿಮ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: p> q ಮತ್ತು 0p q , ಮತ್ತು a> 0 ಗಾಗಿ - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q .

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ a>0, b>0 ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, a 0 ಅಸಮಾನತೆ a p p ನಿಜ, ಮತ್ತು p p >b p ;
7. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q, 0p q ಗಾಗಿ p> q ಮತ್ತು a> 0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ p ಮತ್ತು a>0 ಗಾಗಿ q ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

• ಬೀಜಗಣಿತ - 10 ನೇ ತರಗತಿ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು […]
• “ಮಾರಾಟಗಾರ - ಸಲಹೆಗಾರ” ಸ್ಥಾನಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ತೆರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಜವಾಬ್ದಾರಿಗಳು: ಮೊಬೈಲ್ ಸಂವಹನಕ್ಕಾಗಿ ಮೊಬೈಲ್ ಫೋನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕರಗಳ ಮಾರಾಟ, ಬೀಲೈನ್, ಟೆಲಿ 2, ಎಂಟಿಎಸ್ ಚಂದಾದಾರರಿಗೆ ಗ್ರಾಹಕ ಸೇವೆ, ಬೀಲೈನ್ ಮತ್ತು ಟೆಲಿ 2 ಸುಂಕ ಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೇವೆಗಳ ಸಂಪರ್ಕ, ಎಂಟಿಎಸ್ ಸಲಹಾ [… ]
• ಸಮಾನಾಂತರ ಸೂತ್ರವು 6 ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ […]
• ಫ್ಯಾಮಿಲಿ ಎಸ್ಟೇಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾನೂನನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರತಿ ಸಿದ್ಧ ನಾಗರಿಕರಿಗೆ ಅಥವಾ ನಾಗರಿಕರ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಫ್ಯಾಮಿಲಿ ಎಸ್ಟೇಟ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಭೂಮಿಯನ್ನು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೆ ಮಾಡುವ ಫೆಡರಲ್ ಕಾನೂನನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: 1. ಕಥಾವಸ್ತು ಗಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ […]
• ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ದಿ ಪ್ರೊಟೆಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಕನ್ಸ್ಯೂಮರ್ ರೈಟ್ಸ್ ಅಸ್ತಾನಾ ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಪಿನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು, GSM ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಚಂದಾದಾರರಿಗೆ (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ಝಾನ್ ಪಠ್ಯದೊಂದಿಗೆ SMS ಸಂದೇಶವನ್ನು ಕಳುಹಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ SMS ಕಳುಹಿಸುವುದು, […]
• BRYANSK ಪ್ರದೇಶದ GOSTEKHNADZOR ನ ತಪಾಸಣೆ ರಾಜ್ಯ ಕರ್ತವ್ಯದ ಪಾವತಿಗಾಗಿ ರಸೀದಿ (ಡೌನ್ಲೋಡ್-12.2 kb) ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನೋಂದಣಿಗಾಗಿ ಅರ್ಜಿಗಳು (ಡೌನ್ಲೋಡ್-12 kb) ಕಾನೂನು ಘಟಕಗಳಿಗೆ ನೋಂದಣಿಗಾಗಿ ಅರ್ಜಿಗಳು (ಡೌನ್ಲೋಡ್-11.4 kb) ನೋಂದಾಯಿಸುವಾಗ. 1.ಅರ್ಜಿ 2.ಪಾಸ್‌ಪೋರ್ಟ್ […]
• ಭಾಷಣದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ N ಮತ್ತು NN ಕಾಗುಣಿತ S.G. ZELINSKAYA ಡಿಡಾಕ್ಟಿಕ್ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಯಾಮ 1. ವಿಶೇಷಣಗಳಲ್ಲಿ nn ಅನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? 2. ಈ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ವಿನಾಯಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ. 3. ಮೌಖಿಕ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು -n- ಪ್ರತ್ಯಯದೊಂದಿಗೆ ಕೃತ್ರಿಮದಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು […]
• ಪಿವೊವ್ ವಿ.ಎಂ. ವಿಜ್ಞಾನದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಧಾನ: ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಮತ್ತು ಪದವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ Petrozavodsk: PetrSU ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಹಿರಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಮತ್ತು ಪದವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು […]

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಪದವಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಘಾತಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಶಕ್ತಿ a n ಎಂಬುದು n ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಳಸಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ a m ·a n =a m+n, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ;
2. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ a m:a n =a m−n ;
3. ಉತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಆಸ್ತಿ (a·b) n =a n ·b n, ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆ;
4. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪದವಿಗೆ ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿ (a:b) n =a n:b n ;
5. ಒಂದು ಪವರ್ (a m) n =a m·n ಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಹೋಲಿಕೆ:
   • a>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n>0;
   • a=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a n =0;
   • ಒಂದು ವೇಳೆ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ವೇಳೆ a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a
8. m ಮತ್ತು n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ m>n , ನಂತರ 0 ನಲ್ಲಿ 0 ಅಸಮಾನತೆ a m >a n ನಿಜ.

ಎಲ್ಲಾ ಲಿಖಿತ ಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ ಒಂದೇ ರೀತಿಯನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಅವುಗಳ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ a m ·a n =a m+n with ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ a m+n =a m ·a n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಒಂದೇ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು n, ಸಮಾನತೆ a m ·a n =a m+n ಸರಿ.

ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, m ·a n ರೂಪದ ಅದೇ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು , ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತ m+n, ಅಂದರೆ m+n ನೊಂದಿಗೆ a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು 2 ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಮಾನತೆ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. 2 2 · 2 3 ಮತ್ತು 2 5 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಘಾತೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32ಮತ್ತು 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 = 32 , ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ 2 2 · 2 3 = 2 5 ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪದವಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪದವಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n 1, n 2, ..., n k ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು - ಅದೇ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ m>n, ಸಮಾನತೆ a m: a n =a m−n.

ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು, ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು a≠0 ಷರತ್ತು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 0 n =0, ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾದಾಗ, ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗದಂತೆ m>n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, m>n ಘಾತಕ್ಕೆ m−n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (m−n ಗಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ (m ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ

ಪುರಾವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ನಮಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ m−n ·a n =a m ಮತ್ತು m−n ಎಂಬುದು a m ಮತ್ತು a n ಶಕ್ತಿಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತಳಹದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ಒಂದೇ ಬೇಸ್ π ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು 5 ಮತ್ತು 2 ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಸಮಾನತೆ π 5: π 2 =π 5−3 =π 3 ಡಿಗ್ರಿಯ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ a ಮತ್ತು b n ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a n ಮತ್ತು b n , ಅಂದರೆ (a·b) n =a n ·b n .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ . ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು , ಇದು a n · b n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಈ ಗುಣವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶಕ್ತಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೆ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪದವಿ n ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. 7 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಆಸ್ತಿ: ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a ಮತ್ತು b, b≠0 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a n ಮತ್ತು b n, ಅಂದರೆ (a:b) n =a n:b n.

ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (a:b) n ·b n =a n ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (a:b) n ಎಂಬುದು b n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ n ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: .

ಈಗ ನಾವು ಧ್ವನಿ ನೀಡೋಣ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಆಸ್ತಿ: ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ m ಮತ್ತು n ಗೆ, n ನ ಶಕ್ತಿಗೆ m ನ ಶಕ್ತಿಯು ಘಾತ m·n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ (a m) n =a m·n.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

ಅಧಿಕಾರದಿಂದ ಪದವಿಗೆ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ: .

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಯಿಂದ ಪದವಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p, q, r ಮತ್ತು s, ಸಮಾನತೆ . ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಯಾವುದೇ a>0 ಗೆ n >0 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸತ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕ n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, n ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗೆ a, ಡಿಗ್ರಿ a n ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಬೀತಾದ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 ಮತ್ತು .

a=0 ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ n ನ ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 0 n =0·0·…·0=0 . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 3 =0 ಮತ್ತು 0 762 =0.

ಪದವಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಘಾತಾಂಕವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು 2·m ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ m ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ . a·a ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು a ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡುಲಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದವಿ a 2·m. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: (−6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 ಮತ್ತು .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆಧಾರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ 2 m−1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ . ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು a·a ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ: ಒಂದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, n ಅದರ ಮೂಲವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. . ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಅಸಮಾನತೆ a n ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು a n ರೂಪದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ (2.2) 7 ಮತ್ತು .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಅದರ ಘಾತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳು, ಅದರ ಘಾತವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಗೆ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.

m>n ಮತ್ತು 0 ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ 0 ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ m>n, ಅಂದರೆ 0 ನಲ್ಲಿ

ಆಸ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. m>n ಮತ್ತು a>1 a m >a n ಗಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ n ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ m -a n ವ್ಯತ್ಯಾಸವು n ·(a m−n -1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a>1 ಡಿಗ್ರಿಗೆ n ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು m−n -1 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ m−n>0 ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು a>1 ಗೆ ಡಿಗ್ರಿ ಒಂದು m−n ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು m -a n >0 ಮತ್ತು m >a n , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಸಮಾನತೆ 3 7 >3 2 ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ, ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ಹಾಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು m ಮತ್ತು n, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ: ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. a m ·a n = a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. n ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು a b−n ;
7. m ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು m>n , ನಂತರ 0 ನಲ್ಲಿ 1 ಅಸಮಾನತೆ a m >a n ಹೊಂದಿದೆ.

a=0, m ಮತ್ತು n ಎರಡೂ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ a m ಮತ್ತು a n ಶಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗ ಬರೆಯಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು a=0 ಮತ್ತು m ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು, ಹಾಗೆಯೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಪವರ್-ಟು-ಪವರ್ ಆಸ್ತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು p ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು q ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳು (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (-p) ·q, (a p ) −q =a p·(-q) ಮತ್ತು (a -p) −q =a (-p)·(−q). ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಧನಾತ್ಮಕ p ಮತ್ತು q ಗಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ (a p) q =a p·q ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. p=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು (a 0) q =1 q =1 ಮತ್ತು 0·q =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a 0) q =a 0·q. ಅದೇ ರೀತಿ, q=0 ಆಗಿದ್ದರೆ (a p) 0 =1 ಮತ್ತು a p·0 =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a p) 0 =a p·0. p=0 ಮತ್ತು q=0 ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ (a 0) 0 =1 0 =1 ಮತ್ತು a 0·0 =a 0 =1, ಎಲ್ಲಿಂದ (a 0) 0 =a 0·0.

ಈಗ ನಾವು (a -p) q =a (-p)·q ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಂತರ . ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ . 1 p =1·1·…·1=1 ಮತ್ತು , ನಂತರ . ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು −(p·q) ರೂಪದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳಿಂದಾಗಿ, (−p)·q ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಅಂತೆಯೇ .

ಮತ್ತು .

ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಪದವಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಸಮಾನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ a −n >b -n, ಇದು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -n ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ . ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ಎ 0 a n · b n ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a n ಮತ್ತು b n ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿಯೂ ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ b n -a n ಮತ್ತು a n ·b n . ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಿಂದ a −n >b -n , ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೊನೆಯ ಆಸ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಸ್ತಿಯಂತೆಯೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಯು ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು , ನಂತರ . ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು: . ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉಳಿದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೋಗೋಣ. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a ಮತ್ತು b, a ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಬಿ ಪಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ p ಅನ್ನು m/n ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ, ಇಲ್ಲಿ m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಷರತ್ತುಗಳು p<0 и p>0 ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಎಂ<0 и m>0 ಪ್ರಕಾರ. m>0 ಮತ್ತು a

ಅಂತೆಯೇ, ಎಂ<0 имеем a m >b m , ಎಲ್ಲಿಂದ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು a p >b p .

ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q, 0 ನಲ್ಲಿ p>q ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ 0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q . ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು , m 1 ಮತ್ತು m 2 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, p>q ಸ್ಥಿತಿಯು m 1 >m 2 ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, 0 ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ 1 - ಅಸಮಾನತೆ a m 1 >a m 2 . ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು . ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಮಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಂತಿಮ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: p> q ಮತ್ತು 0 ಗಾಗಿ 0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q .

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ a>0, b>0 ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, a 0 ಅಸಮಾನತೆ a p ಬಿ ಪಿ ;
7. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q, p>q 0 ನಲ್ಲಿ 0 - ಅಸಮಾನತೆ a p >a q .

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ p ಮತ್ತು a>0 ಗಾಗಿ q ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ವಿಲೆಂಕಿನ್ N.Ya., ಝೋಕೋವ್ V.I., ಚೆಸ್ನೋಕೋವ್ A.S., ಶ್ವಾರ್ಟ್ಸ್ಬರ್ಡ್ S.I. 5 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು.
• ಮಕರಿಚೆವ್ ಯು.ಎನ್., ಮಿಂಡ್ಯುಕ್ ಎನ್.ಜಿ., ನೆಶ್ಕೋವ್ ಕೆ.ಐ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ. ಬೀಜಗಣಿತ: 7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು.
• ಮಕರಿಚೆವ್ ಯು.ಎನ್., ಮಿಂಡ್ಯುಕ್ ಎನ್.ಜಿ., ನೆಶ್ಕೋವ್ ಕೆ.ಐ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ. ಬೀಜಗಣಿತ: 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು.
• ಮಕರಿಚೆವ್ ಯು.ಎನ್., ಮಿಂಡ್ಯುಕ್ ಎನ್.ಜಿ., ನೆಶ್ಕೋವ್ ಕೆ.ಐ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ. ಬೀಜಗಣಿತ: 9 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು.
• ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಅಬ್ರಮೊವ್ ಎ.ಎಮ್., ಡಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಯು.ಪಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ 10 - 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
• ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ).