ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ವಿಧಾನವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಥವಾ ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು?
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮುಂದೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶ ಇದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಲವು ಕುಶಲತೆಯ ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೋಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಭಾಗವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:
ನಂತರ, ನೀವು ಹೊಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬರೆದರೆ, ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.
ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದವುಗಳಿವೆಯೇ? ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗುಪ್ತ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಂತರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲು ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಸಹ ಅವರಿಗೆ ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಎಲ್ಲವೂ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ, ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ "ಅಗಲ" ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (m), "ಉದ್ದ" ಎಂಬುದು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n). ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A (ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಗಾತ್ರವನ್ನು A m×n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. m=n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು m=n ಅದರ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು: a xy ; x - ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ, ಬದಲಾವಣೆಗಳು, y - ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಬದಲಾವಣೆಗಳು.
ಬಿ ನಿರ್ಧಾರದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಲ್ಲ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಕೇತವು ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ನಿರ್ಣಾಯಕ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು, ತದನಂತರ ಅದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು. ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬಲಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಕರ್ಣಗಳು - ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಡಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ - ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ.
ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ (ಅದು k ಆಗಿರಲಿ), ತದನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ k ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು k ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಹೊಸ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ದುಃಖದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೋಗಬೇಕು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಸಿಸ್ಟಮ್ ವರ್ಗೀಕರಣ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯಂತಹ ವಿಷಯವಿದೆ. ಇದು ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ನಾವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು).
ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, SLAE ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:
- ಜಂಟಿ. ಯುಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು (ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ (ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
- - ನಿಶ್ಚಿತ- ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
- - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ -ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.
- ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯುಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಒಳ್ಳೆಯದು ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಂಗತತೆಯ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ದೊಡ್ಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆ), ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೂಲವು SLAE ಆಗಿತ್ತು. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಇಲ್ಲಿದೆ:
- ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು.
- ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ತುಂಬಾ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ! ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನೇಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳು, ಎಂದಿನಂತೆ, ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
- ಅನುಪಾತದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಇದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ / ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು (ಅಥವಾ, ಮತ್ತೆ, ಹೆಚ್ಚು) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಒಂದೇ ಒಂದು.
- ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಾಲನ್ನು ಎಲ್ಲೋ ಪಡೆದರೆ, ಅಂತಹ ಸಾಲನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಹೊರಹಾಕಬಹುದು.
- ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು (ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ರೂಪಾಂತರ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು
ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಒಡೆಯುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | ಬಿ 2
"-2" ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಹೊಸದರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
ಗುಣಾಕಾರ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂತಹ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಡಿಮೆ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನೀವು ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ
ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ. ಇದು ಮೀ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು n ಅಜ್ಞಾತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಗುಣಾಂಕ k = (-a 21 /a 11) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ;
- ಮೊದಲ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
- ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಬದಲಿಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
- ಈಗ ಹೊಸ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ಆಗಿದೆ.
ಈಗ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅದೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಅಂಶ 21 ಅನ್ನು 31 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 41, ... a m1 ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದನ್ನು ಮರೆತು ಅದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು, ಎರಡು ಸಾಲಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:
- ಗುಣಾಂಕ k = (-a 32 /a 22);
- ಎರಡನೇ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸಾಲನ್ನು "ಪ್ರಸ್ತುತ" ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
- ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ;
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಗುಣಾಂಕ k = (-a m,m-1 /a mm) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೊನೆಯ ಬಾರಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ್ದು ಕಡಿಮೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ. ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಮೆಟ್ಟಿಲು ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು mn × x n = b m ಸಮಾನತೆ ಇದೆ. ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x n = b m /a mn. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ: ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೂಲವಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ "ಟಾಪ್" ಅನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು 0 = b ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ.
ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದಾಗ
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಚಿತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಪುನಃ ಬರೆಯುವಾಗ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣದಂತೆ ಕಾಣುವ ಸಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು?
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳ "ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ" ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಉಳಿದವು ಉಚಿತ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ನಿಖರವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಉಳಿದಿದೆ, ಅದು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಂತೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಲ್ಲಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯುವವರೆಗೆ. ಇದು SLAE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು - ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರ
ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ.
ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ತಕ್ಷಣವೇ ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಅಂಶವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಹಾಕಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೇ ಸಾಲು: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
ಮೂರನೇ ಸಾಲು: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
ಈಗ, ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರಲು, ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು "-1" ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ "ಮೈನಸಸ್" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು.
ಮೂರನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮೂರರ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು "-1/3" ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ (ಮೈನಸ್ - ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು).
ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು, ಅಂತಹ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅಂಶ a 32 ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮದಿದ್ದರೆ, ಬಿಡಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ "ಇರುವಂತೆ", ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ, ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಹಂತದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಗುಣಾಂಕ "-1/7" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬಹುದು.
ಈಗ ಎಲ್ಲವೂ ಸುಂದರವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
ಈಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (3) z ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಕರೆಯುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
ಅನಿಶ್ಚಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ; ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನೋಟವು ಈಗಾಗಲೇ ಆತಂಕಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ n = 5, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m = 4, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ-ಚದರದ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮವು 4. ಇದರರ್ಥ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟವನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಎಂದಿನಂತೆ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಎರಡನೇ ಸಾಲು: ಗುಣಾಂಕ k = (-a 21 /a 11) = -3. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅಂಶವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೊದಲು, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಏನನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲು: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅನುಪಾತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಒಂದನ್ನು ಗುಣಾಂಕ "-1" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಿಡಿ.
ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವವರು a 11 = 1 ಮತ್ತು a 22 = 1, ಮತ್ತು ಉಚಿತವಾದವುಗಳು - ಉಳಿದವುಗಳು.
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದೆ - x 2. ಅಂದರೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ x 3 , x 4 , x 5 , ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಆಗಿದೆ. x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ.
ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ, ಮೂರು ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈಗ ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಹ ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
16, 23, 0, 0, 0.
ಅಸಹಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ ಅದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಬೇಸರದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಹಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
ಎಂದಿನಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
ಮೊದಲ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಮೂರನೇ ಸಾಲು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ವಿಧಾನದ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು
ಪೆನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಿದರೆ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಟ್ರಿಕಿ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹುಡುಕಬೇಕಾದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳು, ಅಂತಹ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ - ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಕಿರಿಯರು, ವಿಲೋಮ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ಯಂತ್ರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ .
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಚನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಲೇಖನವು ಸ್ವತಃ "ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ" ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಾಕಲು ಸುಲಭವಾದ ಸ್ಥಳವೆಂದರೆ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಕ್ಸೆಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಿದ ಯಾವುದೇ SLAE ಅನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಹಲವು ಉತ್ತಮ ಆಜ್ಞೆಗಳಿವೆ: ಸೇರ್ಪಡೆ (ನೀವು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಬಹುದು!), ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ), ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ , ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು. ಈ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದೇ ಆಜ್ಞೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ xi ಯ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ).
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:
1) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಆಗಿದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ).
2) ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.
3) ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.
ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ – ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖ ಸಾಧನ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಉತ್ತರಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ! ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರೇಮರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ( ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ - ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಜೊತೆಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್)ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು:
1) ಜೊತೆಗೆ ಟ್ರೋಕಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮರುಹೊಂದಿಸಿಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ.
2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ (ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ) ಸಾಲುಗಳು ಗೋಚರಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ), ನಂತರ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು ಅಳಿಸಿಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.
3) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಕೂಡ ಆಗಿರಬೇಕು ಅಳಿಸಿ.
4) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಆಗಿರಬಹುದು ಗುಣಿಸಿ (ಭಾಗಿಸು)ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.
5) ನೀವು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
- "ನೇರ ಚಲನೆ" - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು "ತ್ರಿಕೋನ" ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಕೆಳಗಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ-ಕೆಳಗಿನ ಚಲನೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ:
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ:
1) ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು x 1 ಗೆ ಗುಣಾಂಕವು K ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು, ಮೂರನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಮುಕ್ತ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x 1 ರ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು K ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು). ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಕ್ಕೆ ನಾವು ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೇ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಜ್ಞಾತ x 1 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
2) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇದು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು x 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ M. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತ x 2 "ಕೆಳಗೆ" ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.
3) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮುಕ್ತ ಪದವು ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ.
- ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ "ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್" ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ("ಕೆಳದಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಚಲಿಸುವಿಕೆ). ಕೊನೆಯ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಅಜ್ಞಾತ x n. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು A * x n = B ಎಂಬ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, x 3 = 4. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಮೇಲಿನ" ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 - 4 = 1, ಅಂದರೆ. x 2 = 5. ಹೀಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಲಹೆ ನೀಡುವಂತೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:
ನಾವು ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಟಕವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
1 ಹೆಜ್ಜೆ
. ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ.
ಈಗ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಇದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. +1 ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುವ ಯಾರಾದರೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ).
ಹಂತ 2 . 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.
ಹಂತ 3 . ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ "ಹಂತ" ದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಹಂತ 4 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು.
ಹಂತ 5 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆ (ಹೆಚ್ಚು ಅಪರೂಪವಾಗಿ, ಮುದ್ರಣದೋಷ) "ಕೆಟ್ಟ" ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ (0 0 11 |23) ಏನನ್ನಾದರೂ ಪಡೆದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳು.
ರಿವರ್ಸ್ ಮಾಡೋಣ; ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು "ನೀಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ." ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿತ್ತು:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
ಉತ್ತರ:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.64 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು "ಸ್ಟೆಪ್ಡ್" ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ದೋಷದಿಂದ, ನಾವು x 3 = 0.96 ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
x 2 = 3 ಮತ್ತು x 1 = –1.
ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದಿಗೂ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮೆಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ (ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ) ಒಬ್ಬರು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು.
ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ! ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನೋಡೋಣ! ಬೋಧಕ ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಅಸ್ಟ್ರಾಖಾನೋವ್.
ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
16-18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ನಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಬದಲಾಗಿದೆ. ಈ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವಿಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಣಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.
SLAU ಎಂದರೇನು
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, SLAE ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ - ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಅವಳು ಹೇಗಿದ್ದಾಳೆ? ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ n ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೀ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ x, y, z, ಅಥವಾ x 1, x 2 ... x n, ಅಥವಾ ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಜ್ಞಾತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು nth ಆದೇಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನಗಳು
ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇವು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಂತೆ ಇರಬಹುದು. ಅಥವಾ ಪದದಿಂದ ಪದದ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ವಿಧಾನ. ಆದರೆ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರವನ್ನು ಏಕೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅನಗತ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಕು - ಮತ್ತು ನೀವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ SLAE ಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
SLAE ಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ನಮ್ಮ ಹೈಟೆಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಜನರು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಅವರು ಏನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗಳು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
SLAU ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡ
ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು Ax=b ರೂಪದಲ್ಲಿ SLAE ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. rang(A) rang(A,b) ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, (A,b) ಎನ್ನುವುದು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
ಬಹುಶಃ ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: x+y=1; 2x-3y=6. ಇದು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ. ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದರೇನು? ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು 2. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅಪರಿಚಿತರ ಬಳಿ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು “=” ಚಿಹ್ನೆಯ ಹಿಂದೆ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
SLAE ಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು?
ಸಾಬೀತಾದ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಗಾಸಿಯನ್ ಕ್ಯಾಸ್ಕೇಡ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಒಂದೇ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ:
- ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ನೀವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾಲುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿಸಬಹುದು.
ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲತತ್ವವು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಬಳಿ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು. ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗುಣಾಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು, ಸರಣಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇತರರು. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ "1" ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
2x2 ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ
ಮೊದಲಿಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.
ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ.
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೇವಲ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ಮ್‌ನಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 1x+0y=b1 ಮತ್ತು 0x+1y=b2, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ1 ಮತ್ತು ಬಿ2 ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ.
- ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತ ಒಂದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.
- ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - SLAE ಯ ಪರಿಹಾರ. ಅಥವಾ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು -1 ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಒಂದೇ.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: x=-5, y=7.
3x3 SLAE ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ
ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಗಬಹುದು.
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
- ಮೊದಲು ನೀವು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಘಟಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.
- ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇದೇ ಮೊದಲ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - ಬದಲಾವಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳು, ಮತ್ತು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- ಈಗ ನೀವು ಸಾಲುಗಳ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿನ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು -1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದ್ದೇವೆ.
- ಮುಂದೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಕೂಡ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.
- ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಅಂಶದಿಂದ 0 ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು -3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು.
- ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅಗತ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.
4x4 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಖಾಲಿ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸ್ವತಃ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಂತ-ಹಂತದ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೈಯಾರೆ ಬರೆಯುವ ಅದೇ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಉತ್ತರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಹಾರವು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಆಗಿರಬಹುದು.
ಪರಿಹಾರದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ
ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹಿಂದೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಉತ್ತರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಥವಾ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಗಣಿತವು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೆನಪಿಡಿ: ನೀವು ಯಾವ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ: SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ದೋಷಗಳು
ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ದೋಷಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೆಲವು ಅಪರಿಚಿತರು ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ; ನಂತರ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳು ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಜವಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ತಪ್ಪು. ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ಮೊದಲ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಎರಡನೆಯದು - ಎರಡನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಅಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್, ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಡುವೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲು ದೀರ್ಘಕಾಲ ಹಿಂಜರಿದರು. ಬಹುಶಃ ಈ ಮನಸ್ಸು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಶ್ವ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ "ಪರಂಪರೆ" ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, "ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ" ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ...
ಸುಮಾರು 4 ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ, ಈ ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಲೇಖನಗಳು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮಕ್ಕಳ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ (ತಪ್ಪು) ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳಿಗಾಗಿ ಸಮಯ ಬರುತ್ತಿದೆ... ಇದು ಪರಿಚಿತ, ಗೊಂದಲಮಯ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. ಪ್ರಮುಖಜೀವನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.
ನಾವು ಜನರು ನಾವು ಎಷ್ಟೇ ಮಾತನಾಡಿದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆ, ಆದರೆ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಯಾವಾಗಲೂಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತತ್ವಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ... ಪಾದದಿಂದ ಇಡೀ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ನಡೆದರೆ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರ್ವತದ ತುದಿಗೆ ಹೋಗುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.
ಶಾಲೆಯಂತೆಯೇ: ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಜೀವಂತ ಕಥೆಗಳುಮಕ್ಕಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿಸುವ ಸ್ಥಳವೆಂದು ನಾವು ಸಹಜವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಲಿಸುವುದು...
5 ನೇ ತರಗತಿಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನ
ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಕಾಯ್ದಿರಿಸುತ್ತೇನೆ: ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ನಾವು ಮಾತನಾಡುವುದು 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಆರಂಭಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚು "ಸುಧಾರಿತ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು" ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನ (ವಿಧಾನ).
ಮಾಸ್ಕೋ ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂನಲ್ಲಿ 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಂಗ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ನನ್ನ ಕಿರಿಯ ಮಗ ಶಾಲೆಯಿಂದ ತಂದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಶಾಲಾ ಪ್ರದರ್ಶನ
ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್ (ಆಧುನಿಕ ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳು) ಬಳಸುವ ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಪುಟ್ಟ ಗಾಸ್‌ನಿಂದ "ವಿಧಾನದ ರಚನೆ" ಯ ಇತಿಹಾಸದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತೋರಿಸಿದರು.
ಶಾಲೆಯ ಶಿಕ್ಷಕರು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾರ್ಲ್‌ಗೆ ಚಾಟಿಯೇಟು ನೀಡಿದರು (ಈ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನ).
1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ಬದಲು, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಗಮನಿಸಿದೆಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 100 ಮತ್ತು 1, 99 ಮತ್ತು 2. ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಚಿಕ್ಕ ಗೌಸ್ ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾದ ಸಾರ್ವಜನಿಕರ ಮುಂದೆ ಗಲ್ಲಿಗೇರಿಸಲಾಯಿತು. ಇದರಿಂದ ಇತರರು ಯೋಚಿಸುವುದರಿಂದ ನಿರುತ್ಸಾಹಗೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.
ಪುಟ್ಟ ಗೌಸ್ ಏನು ಮಾಡಿದನು? ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಅರ್ಥ? ಗಮನಿಸಿದೆಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಸ್ಥಿರ ಹೆಜ್ಜೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ (ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ). ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಇದುನಂತರ ಅವರನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವಿಜ್ಞಾನಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದರು ಗಮನಿಸಲು ತಿಳಿದಿರುವವರು, ಹೊಂದಿರುವ ಭಾವನೆ, ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿ.
ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಗಣಿತವು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿದೆ ನೋಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ - ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೋಷಕರು ಮತ್ತು ಉದ್ಯೋಗದಾತರು ಸಹಜವಾಗಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ...
"ನಂತರ ನೀವು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ.
ಎಂ.ವಿ.ಲೊಮೊನೊಸೊವ್".
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭವಿಷ್ಯದ ಪ್ರತಿಭೆಗಳನ್ನು ರಾಡ್ಗಳಿಂದ ಹೊಡೆದವರ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರು. ನನ್ನ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕರು 35 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ: "ಪ್ರಶ್ನೆ ಕಲಿತಿದೆ." ಅಥವಾ ನನ್ನ ಕಿರಿಯ ಮಗ ನಿನ್ನೆ ಗೌಸ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿದಂತೆ: "ಬಹುಶಃ ಇದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಹೌದಾ?"
"ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ" ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಬೋಧನೆಯ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಬಹುಪಾಲು "ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿ" ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ ...
5 ನೇ ತರಗತಿಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು
ಮಾಸ್ಕೋ ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂನಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ, ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಪ್ರಕಾರ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಹೆಜ್ಜೆ) ಒಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 20.
ಐದನೇ ತರಗತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವರು ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆ:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು, ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ?..
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ: ವಿವರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ಅವರ YOUTUBE ಚಾನೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬೋಧಕರೊಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ:
"1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯೋಣ:
ಮೊದಲು 1 ರಿಂದ 50 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ 50 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಣಿ, ಆದರೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 101 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸೋಣ, ಅದು 50 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ! Voila: ದಿ ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ!"
"ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾಧಾನಗೊಳ್ಳಬೇಡಿ!" ವಿವರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮೂರು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರು. "ನೀವು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ!"
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ: ವಿವರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ. 2
ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಬೋಧಕ, ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ (ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು), ಹೆಚ್ಚು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ 5 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾರಂಭಿಸದವರಿಗೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಮಾಂತ್ರಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ 5 ಒಂದಾಗಿದೆ. 5 ಹಂತದ ವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ 6 ಹಂತದ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ...ಮತ್ತು ಇದು ಅಷ್ಟೇನೂ ಅಪಘಾತವಲ್ಲ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಲೇಖಕರು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುಪ್ತ ಬೆಂಬಲಿಗರಾಗಿದ್ದಾರೆ
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ನಿಯಮ : ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು: ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಜೋಡಿಗಳ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 42 + 1 = 43.
ಇದು 6 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ 4 ರಿಂದ 256 ರವರೆಗಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ!
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ: ಮಾಸ್ಕೋ ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂನಲ್ಲಿ 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಣೆ
ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:
20+40+60+ ... +460+480+500
ಮಾಸ್ಕೋ ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂನ 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ನನ್ನ ಮಗನ ಪ್ರಕಾರ).
ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದ ನಂತರ, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 20 ರ ಏರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ತರಗತಿಗೆ ನೀಡಿದರು.
ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ:
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಸಹ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯ.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಶಾಲಾ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು
ಮಹಾನ್ ಗಣಿತಜ್ಞನು ತನ್ನ "ವಿಧಾನ" ತನ್ನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಏನಾಗಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದರೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದನು. ಜರ್ಮನ್ ಶಿಕ್ಷಕ, ಯಾರು ಕಾರ್ಲ್ ಅನ್ನು ರಾಡ್ಗಳಿಂದ ಹೊಡೆದರು. ಅವರು "ಶಿಕ್ಷಕರ" ಸಾಂಕೇತಿಕತೆ, ಆಡುಭಾಷೆಯ ಸುರುಳಿ ಮತ್ತು ಸಾಯದ ಮೂರ್ಖತನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದರು, ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಜೀವನ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದೆ ....
ಮೂಲಕ: ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ. ನಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 18ನೇ ಮತ್ತು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಬೇರೂರಿದೆಯೇ?
ಆದರೆ ಗೌಸ್ ಗಣಿತವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡರು.
ಅವನ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?
IN ಸರಳೀಕರಣ. IN ಗಮನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಿಸುವುದುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಳ ಮಾದರಿಗಳು. IN ಡ್ರೈ ಸ್ಕೂಲ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಉತ್ತೇಜಕ ಚಟುವಟಿಕೆ , ಹೆಚ್ಚಿನ ವೆಚ್ಚದ ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ತಡೆಯುವ ಬದಲು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಬಯಕೆಯನ್ನು ಮೆದುಳಿನಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀಡಲಾದ "ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಲ್ಲಿ" ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ತಕ್ಷಣ? "ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ" ಪ್ರಕಾರ, ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಲ್ ಹೊಡೆಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಹ್ಯವನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಮೊಳಕೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸೃಜನಶೀಲ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ.
ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿಧಾನದ "ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಹೆದರಬೇಡಿ" ಎಂದು ಬೋಧಕರು ಏಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು, ಅವರು 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿಯೇ "ಅಂತಹ" ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿದರು? ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅನಕ್ಷರಸ್ಥ ಕ್ರಮ. ಇದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮವಾಗಿತ್ತು: "ನೋಡಿ? ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ 5 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದುನೀವು ಕೇವಲ 4 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ! ನೀನು ಎಂತಹ ಮಹಾನ್ ವ್ಯಕ್ತಿ!”
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು, ವರ್ಗ 3 ರ ಮಟ್ಟವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಕ್ಕಳು ಈಗಾಗಲೇ 2-3 ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು "ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ" ವಯಸ್ಕ ಶಿಕ್ಷಕರ ಅಸಮರ್ಥತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಾರದು ... ಅವರು ಜನರನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು "" ಇರುವವರನ್ನು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರುತ್ಸಾಹಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಮರ್ಥ."
ಅಥವಾ, ನನ್ನ ಮಗ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿದಂತೆ: "ಅದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಯಾರಿಸುವುದು."
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ನನ್ನ ವಿವರಣೆಗಳು
ನನ್ನ ಹೆಂಡತಿ ಮತ್ತು ನಾನು ನಮ್ಮ ಮಗುವಿಗೆ ಈ "ವಿಧಾನ" ವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆವು, ಅದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಶಾಲೆಯ ಮುಂಚೆಯೇ ...
ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಸರಳತೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳ ಆಟ
"ನೋಡಿ, ಇಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ನೀವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ?"
ಮಗು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ನೋಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಅವನನ್ನು ನೋಡುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು ಉಪಾಯ.
"ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು?" ಅಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು "ಹಾಗೆಯೇ" ಕೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮಗ ಅರಿತುಕೊಂಡನು ಮತ್ತು ನೀವು "ಹೇಗಾದರೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅವನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡಬೇಕು.
ಮಗುವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಅವನು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ ನೋಡಲು ಭಯಪಡುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಅಥವಾ ನಾನು ಹೇಳಿದಂತೆ: "ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಸಿದೆ". ಇದು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಪ್ರಯಾಣದ ಆರಂಭ
"ಯಾವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ಮತ್ತು 6 ಅಥವಾ 5 ಮತ್ತು 95 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು?" ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆ... ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ತರಬೇತಿಯು ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು "ಉತ್ತರ" ಕ್ಕೆ "ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ" ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ - ಅವನಿಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ.
ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೇಲೆ "ಉಳಿಸಲು" ಹೇಗೆ ಊಹೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು.
ನಾವು ಮಾಡಿದ್ದು ಎಲ್ಲಾ ಸುಳಿವು: "ಮುಂಭಾಗದ, ರೇಖೀಯ" ಎಣಿಕೆಯ ವಿಧಾನವು ಕೇವಲ ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಗುವು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಅವನು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ !!!ಮತ್ತು ಅವನು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಗಣಿತವನ್ನು "ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು" ತಪ್ಪಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅಸಹ್ಯಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅವನಿಗೆ ಗೆಲುವು ಸಿಕ್ಕಿತು!
ಒಂದು ವೇಳೆ ಮಗು ಪತ್ತೆಯಾಗಿದೆನೂರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಕೇಕ್ ತುಂಡು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ"- ಮಗುವಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಂದ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿರಹಿತ ವಿಷಯ - ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಅವನಿಗೆ ಜೀವನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡನು . ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಆದೇಶವು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ: ನಾವು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ!
ಉತ್ತರಿಸಲು ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ: ಮಗುವು ಒಳನೋಟವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವನನ್ನು ಮತ್ತೆ ಒಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಏಕೆ ಓಡಿಸಬೇಕು, ಅದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿದೆ?!
ಸ್ಟುಪಿಡ್ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಏಕೆ ಒತ್ತಾಯಿಸಬೇಕು?ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮರ್ಥರಿಗೆ ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ಒಂದು ಅವಕಾಶವಿಲ್ಲವೇ? ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಆದರೆ ಸಾಮೂಹಿಕ ಶಿಕ್ಷಣವು "ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ" ಕಡೆಗೆ ಸಜ್ಜಾಗಿದೆ ...
ಸೊನ್ನೆ ಎಲ್ಲಿ ಹೋಯಿತು?
ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ, 101 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ 100 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ...
"ಗಾಸ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಮೆಥಡ್" ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ: ಬುದ್ದಿಹೀನವಾಗಿ ಮಡಿಪ್ರಗತಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಎಲ್ಲದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ.
ನೀವು ನೋಡಿದರೆ ಏನು?
ಇನ್ನೂ, ಶೂನ್ಯವು ಮಾನವಕುಲದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು 2,000 ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹಳೆಯದು. ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು ಅವನನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತಾರೆ.
1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲವೇ? ನೀವು "ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸುವುದನ್ನು" ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು...ಮತ್ತು 101 ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು 100 ಮೊತ್ತದ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
"ಪ್ಲಸ್ 1 ನಿಯಮ" ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ನಿಜ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ನಿಯಮದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಮೊದಲು ಆ YouTube ಬೋಧಕರಿಂದ ಕೇಳಿದೆ ...
ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದಾಗ ನಾನು ಇನ್ನೂ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?
ನಾನು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದಣಿದಿರುವಾಗ, ನಂತರ ಸರಳವಾದ ಸಾಲಿಗೆ ತೆರಳಿ:
1, 2, 3, 4, 5
ಮತ್ತು ನಾನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ: ನೀವು 5 ರಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ನೀವು 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ನಾನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದೇನೆ ನಾನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು! ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ! ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಪೂರ್ಣ Google (10 ರಿಂದ ನೂರನೇ ಶಕ್ತಿ) ಇದ್ದರೂ ಸಹ, ಮಾದರಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಏನಿದು ನಿಯಮಾವಳಿಗಳು..?
ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೆರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಹಣೆಯ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯ ಹಿಂಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಜಾಗವನ್ನು ನೀವು ತುಂಬಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯೋಚಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು? ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೆಡ್ ಮತ್ತು ಬೆಣ್ಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಗಳಿಸುವುದು? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಡಿಜಿಟಲ್ ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಯುಗಕ್ಕೆ ಸಮ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ!
ಗೌಸ್‌ನ ಶಾಲಾ ವಿಧಾನದ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು: "ಇದರಿಂದ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಏಕೆ ತಯಾರಿಸಬೇಕು?.."
ನಾನು ನನ್ನ ಮಗನ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಿಂದ ಸ್ಕ್ರೀನ್ಶಾಟ್ ಅನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದ್ದು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ...
"ಕ್ಲಾಸ್ನಲ್ಲಿ ಏನಾಯಿತು?"
“ಸರಿ, ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಎಣಿಸಿದೆ, ನನ್ನ ಕೈ ಎತ್ತಿದೆ, ಆದರೆ ಅವಳು ಕೇಳಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇತರರು ಎಣಿಸುವಾಗ, ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡದಂತೆ ನಾನು ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮನೆಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ. ನಂತರ, ಇತರರು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಮುಗಿಸಿದಾಗ (? ??), ಅವಳು ನನ್ನನ್ನು ಬೋರ್ಡ್‌ಗೆ ಕರೆದಳು. ನಾನು ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೇಳಿದೆ."
"ಅದು ಸರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನನಗೆ ತೋರಿಸಿ" ಎಂದು ಶಿಕ್ಷಕ ಹೇಳಿದರು. ನಾನು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ. ಅವಳು ಹೇಳಿದಳು: "ತಪ್ಪು, ನಾನು ತೋರಿಸಿದಂತೆ ನೀವು ಎಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!"
"ಅವಳು ಕೆಟ್ಟ ದರ್ಜೆಯನ್ನು ನೀಡದಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಮತ್ತು ಅವಳು ನನ್ನನ್ನು ಅವರ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿ "ಪರಿಹಾರದ ಕೋರ್ಸ್" ಎಂದು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಂತೆ ಮಾಡಿದಳು. ಇದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು?.."
ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಮುಖ್ಯ ಅಪರಾಧ
ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ನಂತರ ಆ ಘಟನೆಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ತನ್ನ ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೌರವವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿದನು. ಆದರೆ ಅವನು ಹೇಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಆ ಗುರುವಿನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ... ಅವನು ಕೋಪದಿಂದ ಘರ್ಜಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವ ಬೌದ್ಧಿಕ ಆಸ್ತಿ ಸಂಸ್ಥೆ WIPO ಮೂಲಕ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಒಳ್ಳೆಯ ಹೆಸರನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸುತ್ತಾನೆ!
ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ತಪ್ಪು? ಅಥವಾ, ನಾನು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮಕ್ಕಳ ವಿರುದ್ಧ ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಅಪರಾಧ?
ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಏನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅವರಲ್ಲಿ ಬಹುಪಾಲು ಜನರು ಹೇಗೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ?
ಅವರು ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ (ನೋಡಿ). ಈ ಟೀಕೆಗಳಿಂದ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ರಕ್ಷಿಸುವ ರಕ್ಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ("ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ...") ಮತ್ತು ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ - ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಟೀಕಿಸುವ ಬಯಕೆಯಿಂದ!(ಅಧಿಕಾರಶಾಹಿ "ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯ" ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಾನ). ಅರ್ಥವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸದ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಶಾಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರ್ಖತನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತನ್ನ ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ದೂಷಿಸುತ್ತಾನೆ.
ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ: ಪೋಷಕರು ತಮ್ಮ ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ದೂಷಿಸುತ್ತಾರೆ ... "ಗಣಿತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ!"
ನೀವು ಬುದ್ಧಿವಂತರೇ?
ಪುಟ್ಟ ಕಾರ್ಲ್ ಏನು ಮಾಡಿದನು?
ಸೂತ್ರದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನ. ಇದು ಅವರ ವಿಧಾನದ ಸಾರ. ಈ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಬೇಕಾದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯೊಂದಿಗೆ ಯೋಚಿಸುವುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ವಾದ್ಯಗಳ ಘಟಕವೂ ಇದೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಣಿಕೆಯ ವಿಧಾನಗಳು.
ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಪ್ರಕಾರ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ
ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಗೌಸ್ ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ
ಏನು, ಸರಣಿಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ನನ್ನ ಮಗನಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆ?..
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಕ್ಯಾಚ್" ಆಗಿದೆ ನೀವು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ "ಹೆಚ್ಚುವರಿ" ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕುಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಜೋಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 260 ಆಗಿದೆ.
ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು ಹೇಗೆ? ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗೆ ನಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ!(ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಸೃಜನಶೀಲತೆ" ಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಈ ಮೂರ್ಖ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಮಾಡುವಂತೆ ಮಾಡಿದರು ... ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅಂತಹ "ವಿಧಾನ" ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವಲ್ಲ.)
ಶಾಲೆಯ ದಿನಚರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸೃಜನಶೀಲತೆ...
ಮಗ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದನು.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ಕಷ್ಟವಲ್ಲ, ಸರಿ?
ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರಿಮೋಟ್ ಸೆನ್ಸಿಂಗ್ಗಾಗಿ 2-3 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕೆತ್ತಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಉಳಿದವುಗಳು "ಎಣಿಕೆ". ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಇದು ವಿಧಾನದ ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ: 5, ಇದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನವು ವಿಧಾನದ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ... ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೊಗಳಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು "ಸರಿಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ" ಪುನಃ ಬರೆಯುವಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸಿದರು (ಸ್ಕ್ರೀನ್ಶಾಟ್ ನೋಡಿ). ಅಂದರೆ, ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲು ಅವಳು ಹತಾಶ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಮಾಡಿದಳು! ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಆಕೆಯನ್ನು ನಂತರ ಬೋಧಕನಾಗಿ ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ... ಅವಳು ತಪ್ಪು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಿದಳು ...
ನಾನು ಇಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬೇಸರದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಗುವಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಅರ್ಧ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ.
ಮತ್ತು ಅವನು ಅದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಮರೆಯದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.
ಮತ್ತು ಅದು ಇರುತ್ತದೆ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಕಡೆಗೆ ಹೆಜ್ಜೆ... ಕೇವಲ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲ.
ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ: ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ನೀವು ಸೇರಿಸಿದ್ದೀರಿ? ಮತ್ತು ನಾನು ಎಂದಿಗೂ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ!
ಆದರೆ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ನಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ... ಓಹ್!.. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಭರಿಸಲಾಗದ ವಿಷಯ!
ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಡಿಜಿಟಲೀಕರಣದ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ನಾಯಕತ್ವದಲ್ಲಿ ಸದ್ದಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಶಿಕ್ಷಕರ ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಕೆಲವು ಮಾತುಗಳು...
ಈ ಶೈಲಿಯ ಬೋಧನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರ ಮೇಲೆ ಹೊರಿಸುವುದು ಅನ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ತಪ್ಪು. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಜಾರಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಕೆಲವುಏನು ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಶಿಕ್ಷಣದ ಕಾನೂನು, ಫೆಡರಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಜುಕೇಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್, ವಿಧಾನಗಳು, ಪಾಠ ಯೋಜನೆಗಳು ... ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ" ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ದಾಖಲಿಸಬೇಕು. ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹೆಜ್ಜೆ - ವಜಾ ಮಾಡಲು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತರು. ಕಪಟಿಗಳಾಗಬಾರದು: ಮಾಸ್ಕೋ ಶಿಕ್ಷಕರ ಸಂಬಳ ತುಂಬಾ ಒಳ್ಳೆಯದು ... ಅವರು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೆಲಸದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕು?
ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸೈಟ್ ಶಿಕ್ಷಣದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ. ಅವರು ಸುಮಾರು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ, ಜನಸಂದಣಿಯಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಪೀಳಿಗೆಯ Z ...
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ , ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಸಮಾನ (ಸಮಾನ) ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು;
ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;
ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ
ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ನೇರ ಚಲನೆ), ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಂತಹಂತವಾಗಿ , ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ರೂಪ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ರಿವರ್ಸ್) ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಕೊನೆಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರ ನಿರ್ಣಯ.
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ 
, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಇದರಿಂದ ಗುಣಾಂಕ 
ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು.
ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ 
ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ 
ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ನಂತರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ 
ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇಲ್ಲಿ 
- ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಉಚಿತ ಪದಗಳು.
ಅಂತೆಯೇ, ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 
, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ 
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಾಲ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹಂತ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
,
ಎಲ್ಲಿ 
,
,…,
- ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು 
.
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಗಳು 
, ಅವರು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
. ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ 
ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೂಲಕ 
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಉಚಿತ
.
ನಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ 
. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 
. ಅಸ್ಥಿರ 
, ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ
(ಅವಲಂಬಿತ). ಫಲಿತಾಂಶವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಹುಡುಕಲು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ
ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಉಚಿತ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ 
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ 
.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡುವುದು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
.
ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಚದರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ 
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ 
.
ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ 
ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ 
ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 
ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ
.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 
ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ 
.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ 
ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಣ 
.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ 
ತ್ರಿಕೋನ ನೋಟಕ್ಕೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಕೆಳಗೆ ನಾವು "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.
ನಾವು ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (-1) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಹೋಗುವ ಬಾಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-3) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ; ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಹೋಗುವ ಬಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.
.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ "0" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-4) ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ ಅದನ್ನು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು (-8) ಭಾಗಿಸಿ. ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಏಕೆಂದರೆ , ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಹಕಾರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೊನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಕೊನೆಯ (ಮೂರನೇ) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 
. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ 
.
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ 
ಮತ್ತು 
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
.