ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು .

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ M (x) ಅನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ – ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, p ನಾನು -ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1. ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

M (kx) = kM (x)

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

M (x 1 + x 2 + ... + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 2, ... x n ಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ಉದಾಹರಣೆ 11 ರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

M(x) = = .

ಉದಾಹರಣೆ 12.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 2 ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ:

x 1 ಕೋಷ್ಟಕ 2

x 2 ಕೋಷ್ಟಕ 3

M (x 1) ಮತ್ತು M (x 2) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

ಎರಡೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. x 1 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, x 2 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಿಚಲನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾವ ವಿಚಲನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸರಾಸರಿ ವಾರ್ಷಿಕ ಮಳೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಕೃಷಿ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಸರಾಸರಿ ವೇತನ ಸೂಚಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಳದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಪಾಲನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರಸರಣ D(x) , ಇದು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

ಪ್ರಸರಣವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

D(x)= = (3)

ಪ್ರಸರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು D (x) 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ x 1 , x 2 , ... x n ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ಉದಾಹರಣೆ 11 ರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M (x) = 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (3) ನಾವು:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

ನೀವು ಆಸ್ತಿ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ:

D (x) = M (x 2) - M 2 (x).

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆ 12 ರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ x 1 , x 2 ಗಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಎರಡೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

ವ್ಯತ್ಯಯ ಮೌಲ್ಯವು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹರಡುವಿಕೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೋಡ್ X ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೈಪ್ ಎಂಡಿಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೋಡ್ X ನಿರಂತರ ರೀತಿಯ Md, ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ f(x).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮಧ್ಯಮ X ನಿರಂತರ ಪ್ರಕಾರ Mnಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ- ಇದುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ವಿತರಣೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ Xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಊಹಾಪೋಹಗಾರ ಗಳಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವಿನ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವವರುಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಅನುಕೂಲ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಊಹಕ" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ

ವೈರ್ ವರ್ವೆಂಡೆನ್ ಕುಕೀಸ್ ಫರ್ ಡೈ ಬೆಸ್ಟ್ ಪ್ರಾಸೆಂಟೇಶನ್ ಅನ್ಸರ್ರ್ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್. ವೆನ್ ಸೈ ಡೈಸೆ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ವೈಟರ್‌ಹಿನ್ ನಟ್ಜೆನ್, ಸ್ಟಿಮೆನ್ ಸೈ ಡೆಮ್ ಜು. ಸರಿ

ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮಾದರಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು, ಪ್ರಸರಣ, ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ, ಸೂತ್ರಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ವಿಷಯವನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸಿ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಲ್ಲಿ, ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ ಆಟಗಾರನು ಗಳಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವುಗಳ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಆಟಗಾರನ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು, ಇದು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಮಾರ್ಕ್ವಿಸ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1795) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು "ಗೆಲುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಹೈಜೆನ್ಸ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಪಾಫ್ನುಟಿ ಎಲ್ವೊವಿಚ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ (19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ) ನೀಡಿದರು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನ) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಥಿರ) ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಳವಾದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನೀವು ಒಂದು ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ (ವಿವಿಕ್ತ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ), ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ "ಸ್ಮೀಯರ್" (ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ) , ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ "ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ" ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ "ಪ್ರತಿನಿಧಿ" ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ: "ಸರಾಸರಿ ದೀಪದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ 100 ಗಂಟೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಗುರಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಭಾವದ ಸರಾಸರಿ ಬಿಂದುವನ್ನು 2 ಮೀ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಅದರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅಂದರೆ. "ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x1, x2, ..., xnಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., pn. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ "ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಹಜ xi, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ xi ಅನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ತೂಕ" ದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ X, ನಾವು ಸೂಚಿಸುವ M |X|:

ಈ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

Xಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲಕ್ಷಣ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅವಲಂಬನೆಯು ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ) ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ. ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X, ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೌಲ್ಯ Xಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ x1ಕಂಡ ಮೀ1ಸಮಯ, ಮೌಲ್ಯ x2ಕಂಡ ಮೀ2ಬಾರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥ xi mi ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಾವು X ಮೌಲ್ಯದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ M|X|ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ M*|X|:

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಆವರ್ತನಗಳು ಪೈಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ M|X|ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಅದು ತನ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಒಂದು ರೂಪದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಇದು "ಬಹುತೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ" ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರೀಕರಿಸುವ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಖರವಾದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ತೂಕ ಮಾಡುವಾಗ, ತೂಕದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ವೀಕ್ಷಣಾ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾವು ದೇಹವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ತೂಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ತೂಕಗಳು) ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಈ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ "ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೋಡ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಮೋಡಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು "ವಿರೋಧಿ ಮಾದರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಾಗಿರುವಾಗ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿರುವಾಗ, ಅದು ವಿತರಣೆಯ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಸಮ್ಮಿಟ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಸ್ಥವು ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ.

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಮೋಡ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X(w)ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Lebesgue ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್ಮೂಲ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿಯೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಕ pxಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ X:

ಅನಂತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಸಮಯ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಿತರಣೆಯ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸರಣ, ಸಹವರ್ತಿತ್ವ .

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ). ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕೆಲವು "ವಿಶಿಷ್ಟ" ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾತ್ರವು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ - ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ - ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ. ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಸ್ಥಳದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ - ಸರಾಸರಿಗಳು, ವಿಧಾನಗಳು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಪ್ರಸರಣ - ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅರ್ಥವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು (ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ) ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲವರ್ಧಿತ ನಿಯಮದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2, 3, 4, 5 ಅಥವಾ 6 ಆಗಿರಬಹುದು). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಸರಾಸರಿ" ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪಾಯಕಾರಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಎಷ್ಟು?

ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಲಾಟರಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ಪದೇ ಪದೇ, ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಭಾಗವಹಿಸಿ). ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಟಿಕೆಟ್ ವಿಜೇತ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಬಹುಮಾನವು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟಿಕೆಟ್ನ ಬೆಲೆ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪರಿಮಿತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ನಷ್ಟಗಳು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು 200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೇವೆ. (ಬಹುಮಾನದ ಮೈನಸ್ ವೆಚ್ಚ), ಅಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸರಾಸರಿ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ - ಸರಾಸರಿ 25 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವಿನಾಶದ ಸರಾಸರಿ ದರವು ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ 25 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಮೋಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ), ಆಗ ನಾವು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 3.5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೋಲ್ 3.5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೋಪಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಘನವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ!

ಈಗ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ:

ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವಿದೆ. X ಮೌಲ್ಯವು n ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ M(X) ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ), ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಇದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಪ್ಲೇಯಿಂಗ್ ಕ್ಯೂಬ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಎಸೆಯುವಾಗ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು 3.5 ಆಗಿದೆ (ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ). ನೀವು ಅದನ್ನು ಒಂದೆರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 4 ಮತ್ತು 6. ಸರಾಸರಿ 5 ಆಗಿತ್ತು, ಇದು 3.5 ರಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಸೆದರು, ಅವರು 3 ಪಡೆದರು, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿ (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಹೇಗಾದರೂ ದೂರ. ಈಗ ಒಂದು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡಿ - ಘನವನ್ನು 1000 ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ! ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾಗಿ 3.5 ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲಾಟರಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಪ್ಲೇಟ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ, "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಮಾಡುವುದು, ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿದ್ದರೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿ, 75% ನಷ್ಟು ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು, 20% ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 5% ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ಈಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ:

ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮ:

ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ:

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಹ ಸುಲಭ) ಕೆಲಸ XYಸ್ವತಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎನ್ಮತ್ತು ಮೀಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಂತರ XY nm ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ನಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ X- ನಿಜವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, f(x)- ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ Xಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವಕಾಶಗಳು ಮೀರಿದೆ 3 ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ -3 ಬದಲಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಇರಲಿ:

ಇದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೇಳೋಣ, ನಾವು ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗ |0; 1| , ನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸುಮಾರು 0.5 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು - ರೇಖಾತ್ಮಕತೆ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಸೂಚಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂಚಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೇಟಾದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ ಪ್ರಸರಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಕಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಲ್ಪನೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಡೇಟಾ ಹರಡುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪದಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣವು ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಚಲನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ನಾಶವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಾಸರಿ - ಚದರ - ವಿಚಲನಗಳು. ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂಬ ಮಾಯಾ ಪದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವು ಕೇವಲ ಮೂರು ಪದಗಳಲ್ಲಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಶುದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕ, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಹಾಯಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಾಪನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯೋಣ ಎನ್ಬಾರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಗಾಳಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಹತ್ತು ಬಾರಿ ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

ಅಥವಾ ನಾವು ದಾಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಎಸೆತದೊಂದಿಗೆ ಡೈಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಡೈಸ್ ಥ್ರೋಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಡ್ರಾಪ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಕೂಡ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎನ್ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Mx = 3.5.

ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? ಒಳಗೆ ಬಿಡಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು n1ಒಮ್ಮೆ ನೀವು 1 ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಡೆದರೆ, n2ಒಮ್ಮೆ - 2 ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿದ್ದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:

ಅದೇ ರೀತಿ 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x x1, x2, ..., xk ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. pk

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವೇತನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಸರಾಸರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಳ ಪಡೆಯುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p1 ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p2 ಒಂದೇ ಮತ್ತು 1/2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವಿಚಲನದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. s ಅಥವಾ s ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಡೇಟಾ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗಳು ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತಲೂ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:

ಬದಲಾವಣೆ- ಏರಿಳಿತ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಕೊರತೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರೈಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (ವ್ಯತ್ಯಯ) ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸರಾಸರಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ(ಆರ್) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂಚಕವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಯ್ಕೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಜೂಜುಕೋರನು ನೀಡಿದ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಹಣ. ಇದು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಕಾರ್ಡ್ ಲೇಔಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಸ್ನೇಹಿತನೊಂದಿಗೆ ಕಾಯಿನ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ $1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಏನೇ ಬಂದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಾಲ ಎಂದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, ತಲೆ ಎಂದರೆ ನೀವು ಸೋಲುತ್ತೀರಿ. ಆಡ್ಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಅದು ತಲೆ ಎತ್ತುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು $1 ರಿಂದ $1 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನೀವು ಎರಡು ಎಸೆತಗಳ ನಂತರ ಅಥವಾ 200 ರ ನಂತರ ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತೀರಾ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಲಾಭವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಹಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ... ನಿಮ್ಮ ಅವಕಾಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆ ನೋಡಿದರೆ ಗಂಭೀರ ಆಟಗಾರರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ತಪ್ಪಿದ್ದಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಸಮಯ ವ್ಯರ್ಥ.

ಆದರೆ ಅದೇ ಆಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ $1 ವಿರುದ್ಧ ಯಾರಾದರೂ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರತಿ ಪಂತದಿಂದ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. 50 ಸೆಂಟ್ಸ್ ಏಕೆ? ಸರಾಸರಿ, ನೀವು ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಮೊದಲ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 1 ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 2 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ನೀವು $1 ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $1 ಗಿಂತ ಮುಂದಿರುವಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಪಂತವು ನಿಮಗೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದೆ.

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ $250 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ... ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ. $500 ಮೈನಸ್ $250 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ $250, ಇದು ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು. ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ಗೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತವಾದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 500 ಬಾರಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ $250 ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೂ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು, ಸತತವಾಗಿ ಮೊದಲ ಹತ್ತು ರೋಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸೋಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿ $1 ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುವಿರಿ ಸಂದರ್ಭಗಳು. ನೀವು ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಪಂತಗಳನ್ನು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೀವು ಆರಾಮವಾಗಿ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಎಸೆತಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಪಂತ), ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಗೆಲ್ಲಲು ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ ಕೈ ಕೊಟ್ಟರು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ನೀವು ಅಂಡರ್‌ಡಾಗ್ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ಪಂತ) ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕೈ ಕಳೆದುಕೊಂಡರೂ ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಕಡೆ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕೆಟ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗಂಭೀರ ಆಟಗಾರರು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ; ಕೆಟ್ಟದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಅವರು ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಏನು? ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ ತರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಲ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಹೆಡ್‌ಗಳ ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ 1 ರಿಂದ 1, ಆದರೆ ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತದಿಂದಾಗಿ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ನೇಹಿತನು ಒಂದರಿಂದ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮ್ಮ $1 ಗೆ $5 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ಅಂತಹ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೇ? ಇಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಏನು?

ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧದ ಆಡ್ಸ್ 4 ರಿಂದ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು 5 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, 4 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಸೋಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಈ ಪಂತವನ್ನು ಐದು ಬಾರಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ನೀವು $1 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $5 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಗೆ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 20 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ $1 ಗಳಿಸುವಿರಿ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಗೆಲ್ಲಲು ಹೋಗುವ ಆಟಗಾರನು ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಅವನು ತನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಬಾಜಿಗಾರನು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಅದು ಅವನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶದೊಂದಿಗೆ $10 ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು $50 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, ನೀವು $2 ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಏಕೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $50 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ $10 ನಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು $10 ಗೆಲ್ಲಲು $30 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, 4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅದೇ ಆಡ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು $2 ನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಮತ್ತೆ $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $10 ಲಾಭಕ್ಕಾಗಿ $30 ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಪಂತವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಬುಕ್‌ಮೇಕರ್ ಫುಟ್‌ಬಾಲ್ ಅಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು $11 ಬಾಜಿ ಹಾಕಿ $10 ಗೆಲ್ಲಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ಪ್ರತಿ $10 ಮೇಲೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪಾಸ್ ಲೈನ್‌ನಿಂದ ಹಣವನ್ನು ಸಹ ಕ್ರ್ಯಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕ್ಯಾಸಿನೊದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ $100 ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು $1.40 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಟವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವ ಯಾರಾದರೂ ಸರಾಸರಿ 50.7% ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಮಯದ 49.3% ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ. ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕರಿಗೆ ಅಗಾಧವಾದ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ವೇಗಾಸ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕ ಬಾಬ್ ಸ್ಟುಪಕ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾವಿರದ ಒಂದು ಶೇಕಡಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ವಿಶ್ವದ ಶ್ರೀಮಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತದೆ."

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಅತ್ಯಂತ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಶಸ್ವಿ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು.

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಎದುರಾಳಿಯು ಅವನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ನಂತರದ ಸುತ್ತಿನ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಬರುತ್ತವೆ). ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ:

ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕರೆಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟು ಇಕ್ವಿಟಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಸ್ವಂತ ಆಡ್ಸ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ನಿರ್ಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅಪಾಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತಿ ಡಾಲರ್‌ಗೆ ನೀವು ಏನನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು (ಲಾಭ ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಟಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾದ ಆಟಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ, ಕ್ಲೈಂಟ್ ತನ್ನ ಹಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ "ಆಡ್ಸ್" ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೃತ್ತಿಪರ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಆಟಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಪೇರಿಸಿ. ಹೂಡಿಕೆಗೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಬಹುದು. ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಲಾಭವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮವು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಐದು ಕಾರ್ಡ್ ಡ್ರಾ ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಮನೆಯನ್ನು ಹೊಡೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಬೆಟ್ ಎತ್ತಿದರೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೆಳೆಸುವುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಬೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಕರೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದೆ ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ವಾಸವಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಎತ್ತಿದಾಗ ನೀವು ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಕೇವಲ ಕರೆ ಮಾಡಿದಾಗ ನೀವು ಎರಡು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕರೆ ಮಾಡುವುದು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವ ಪೋಕರ್ ತಂತ್ರಗಳು ಕಡಿಮೆ ಲಾಭದಾಯಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವೆಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವು ಆಂಟೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ 75 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಆ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಬೇಕು ಏಕೆಂದರೆ ಪೂರ್ವ $1 ಆಗಿರುವಾಗ ಮಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದು ನಿಮಗೆ ಮನಸ್ಸಿನ ಶಾಂತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಡಚಿದರೆ, ನೀವು ಗಳಿಸಿದ್ದೀರಿ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲ ಆಟಗಾರನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದನು. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಲವಾದ ಕೈಯನ್ನು ಎಳೆದ ಕಾರಣ ನೀವು ಅಸಮಾಧಾನಗೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಮಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಎಲ್ಲದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಆಡದೆ ನೀವು ಉಳಿಸುವ ಹಣವನ್ನು ರಾತ್ರಿ ಅಥವಾ ತಿಂಗಳ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಪೋಕರ್ ಲೇಖನದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಆಟಗಾರರು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ ನೀವು ಕೈಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಸಹ ಕಲಿಯಬಹುದು.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯ ಆಟದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಲಾಭದ ಗಂಟೆಯ ದರವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಪರ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪೋಕರ್ ಆಡಲು ಹೋದಾಗ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ಅನುಭವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಕೆಲವು ಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಡ್ರಾ ಲೋಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಆಡುತ್ತಿರುವಿರಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಟಗಾರರು $ 10 ಬಾಜಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಕೆಟ್ಟ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ $10 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದಾಗ ಅವರು ಸುಮಾರು $2 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಇದನ್ನು ಗಂಟೆಗೆ ಎಂಟು ಬಾರಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಮೂವರೂ ಗಂಟೆಗೆ ಸುಮಾರು $48 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಬ್ಬರಾಗಿರುವಿರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರು (ಮತ್ತು ಅವರಲ್ಲಿ ನೀವು) $48 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗಂಟೆಗೆ $12 ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಆಡ್ಸ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕೆಟ್ಟ ಆಟಗಾರರು ಕಳೆದುಕೊಂಡ ಹಣದ ನಿಮ್ಮ ಪಾಲಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಆಟಗಾರನ ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ಹೆಚ್ಚು ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಆಟವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಇದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವನ್ನು ನೀವು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯಾಸಿನೊದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅವರು ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಕುಡಿದ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡ್ ಎಣಿಸುವ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಸಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲಲು ಅನುಕೂಲವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ತಮ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ನಿಮ್ಮ ಅಂಚಿನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಹಣವನ್ನು ದಾನಕ್ಕೆ ನೀಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ನಲ್ಲಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಷ್ಟಗಳು, ಬೆಲೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಆಯೋಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೆಟ್ಟ ಗೇಮಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾಯುವಿಕೆ ಬ್ರೇಕ್-ಈವ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಿಂದ ಆಡುವುದು ಅನಾಹುತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಷೇರು ವ್ಯಾಪಾರ

ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವ್ಯಾಪಾರದ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಿನದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರಣಗಳು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ, ಕೆಲಸದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ಟ್ರೇಡಿಂಗ್ ಖಾತೆಯ ಮಾನಿಟರಿಂಗ್ ಸೇವೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಠೇವಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು "ಸಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಔಟ್" ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಾಪಾರಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರದ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಅವನ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಪಾರದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಆದಾಯವನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟು ಮಾಡುವಾಗ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ಟಾಕ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಆಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಣವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಖಾತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ.

ಈ ಮೂಲತತ್ವವು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟಗಳು ಅಥವಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮಾನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎಷ್ಟು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ; ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವೋ ಋಣಾತ್ಮಕವೋ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನೀವು ಆ ಆಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲಾ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೀವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ! ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದೇ ಒಪ್ಪಂದದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ $10 ಗೆಲ್ಲುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಯ ನಂತರ), ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ $1,000 (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಯ ನಂತರ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿಸಲು ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ವ್ಯಾಪಾರಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ.

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಿಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ನೀವು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳು, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಲಾಭವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಅದು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಹಣವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.

ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿಮಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ (ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುವ) ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅವರು ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿವಿಧ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ನಿಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿ.

ಹಣದ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ಸ್ಟಾಕ್ ಟ್ರೇಡಿಂಗ್‌ನ "ಹೋಲಿ ಗ್ರೇಲ್" ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ಅವನು ತನ್ನ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಈ ವಿಧಾನವು ಎಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸರಿಯಾದ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣಾ ವಿಧಾನಗಳು, ಯಾವುದೇ, ತುಂಬಾ ಸಾಧಾರಣ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರಿ ತನ್ನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲು, ಅವನು ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಿವಾರ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು; ನಿಮ್ಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಇದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ; ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳಿಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಬಹುದು. ಈ ಪದವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ನೀಡಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ.

ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಲಾಭದ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಲಾಭ ಮತ್ತು ನಷ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಲ್ಲಿ 37% ಲಾಭವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗ - 63% - ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯವು $ 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವು $ 1.4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ $1,708 ಅನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದಕ್ಷತೆಯ ರೇಟಿಂಗ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೈಜ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಾರವು ನಾಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ವಹಿವಾಟಿನ ಲಾಭದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ % ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ಆದಾಯದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 5%;

- ಯಶಸ್ವಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 62%;

– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ನಷ್ಟದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 3%;

- ವಿಫಲ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 38%;

ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಾಪಾರವು 1.96% ತರುತ್ತದೆ.

ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದರ MO>0 ರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದರೆ, ಕಾಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೆಲವೇ ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಹಣ ಸಂಪಾದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯು ಬ್ಯಾಂಕ್ ಬಡ್ಡಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ 0.5 ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಿ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವರ್ಷಕ್ಕೆ 1000 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏನು? ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹಿಡುವಳಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು

dic.academic.ru - ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆನ್ಲೈನ್ ನಿಘಂಟು

mathematics.ru - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್

nsu.ru - ನೊವೊಸಿಬಿರ್ಸ್ಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್

webmath.ru ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಅರ್ಜಿದಾರರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ.

exponenta.ru ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗಣಿತ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್

ru.tradimo.com - ಉಚಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್ ವ್ಯಾಪಾರ ಶಾಲೆ

crypto.hut2.ru - ಬಹುಶಿಸ್ತೀಯ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲ

poker-wiki.ru - ಪೋಕರ್ನ ಉಚಿತ ವಿಶ್ವಕೋಶ

sernam.ru - ಆಯ್ದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗ್ರಂಥಾಲಯ

reshim.su - ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೋರ್ಸ್‌ವರ್ಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

unfx.ru - UNFX ನಲ್ಲಿ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ: ತರಬೇತಿ, ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳು, ಟ್ರಸ್ಟ್ ನಿರ್ವಹಣೆ

slovopedia.com – ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಸ್ಲೋವೊಪೀಡಿಯಾ

pokermansion.3dn.ru - ಪೋಕರ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

statanaliz.info - ಮಾಹಿತಿ ಬ್ಲಾಗ್ "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ"

forex-trader.rf - ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ-ವ್ಯಾಪಾರಿ ಪೋರ್ಟಲ್

megafx.ru - ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

fx-by.com - ವ್ಯಾಪಾರಿಗಾಗಿ ಎಲ್ಲವೂ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಾ? ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ಸಮಗ್ರ ಎಂಟ್ರೊಪಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ನೀವು ಭಯಪಡುವುದಿಲ್ಲವೇ? ನಂತರ ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನದ ಈ ಶಾಖೆಯ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸರಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಡಿ. ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಕೆಲವು ಪ್ರಯೋಗಗಳು. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇತರರು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ವಿಧದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವು ಸಂಭವನೀಯ ಪದಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ನೀವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.

ಸರಾಸರಿ

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ನಾವು 1 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು 45 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: - 5.

ಪ್ರಸರಣ

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸರಣವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ D ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಏನು ಬೇಕು? ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇರಬಹುದಾದಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಐದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪ್ರಸರಣವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬಳಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು X ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು X ವರ್ಗದ ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ X*X). ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ, ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನಾವು 21 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 7 ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 2, 2, 3, 4, 4 ಮತ್ತು 5 ಬಾರಿ ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು 21 ಆಗಿದೆ. ಅದನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, 3 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈಗ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು 12. ಈಗ ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಅದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಕ್ಯಾಚ್ ಇದೆ! ಅದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಛೇದವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು: N ಅಥವಾ N-1. ಇಲ್ಲಿ N ಎಂಬುದು ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ವಿಷಯ). ಇದು ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ?

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೂರರಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಿದರೆ, ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ N ಅನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು, ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ N-1. ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಗಡಿಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ: ಇಂದು ಅದು ಸಂಖ್ಯೆ 30 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು N-1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ N.

ಕಾರ್ಯ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು N ಅಥವಾ N-1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು 21 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ, ಅದು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರ: ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 12/2 = 2 ಆಗಿದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡನೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು, ಹಾಗೆಯೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೂ ಸಹ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಎರಡನೆಯ, ಮೂರನೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸೇರಿಸಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊತ್ತದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸಕ್ಕೂ ಅದೇ ನಿಜ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣವು ಅಂತಹ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಒಮ್ಮೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವಿಚಲಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ - ಇದು ಅಭ್ಯಾಸದ ಸಮಯ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ

ನಾವು 50 ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 10 ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ವಿಭಿನ್ನ ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು 0.02 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; 0.1, ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: 50/10 = 5.

ಈಗ ಎಣಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು "ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ" ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ನಾವು 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ಮತ್ತು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡಿ: 1 - 5 = (-4). ಮುಂದೆ: (-4) * (-4) = 16. ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಿ. ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನೀವು 90 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

90 ಅನ್ನು N ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ನಾವು N-1 ಗಿಂತ N ಅನ್ನು ಏಕೆ ಆರಿಸುತ್ತೇವೆ? ಸರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 30 ಮೀರಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: 90/10 = 9. ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಿರಾಶೆಗೊಳ್ಳಬೇಡಿ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸರಳ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಬರೆದದ್ದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಬಹುಶಃ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 5.48 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: 0*0.02 + 1*0.1... ಹೀಗೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಚಲನ

ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ sd ಅಥವಾ ಗ್ರೀಕ್ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ "ಸಿಗ್ಮಾ" ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೇಂದ್ರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿಚಲನವನ್ನು ನೋಡಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೋಡ್‌ನ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರದ ಅರ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯ), ಸಮತಲ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್

ಸೂತ್ರಗಳ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಂಕಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಲ್ಲ. ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡದಿರಲು, ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ - ಇದನ್ನು "ಆರ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೆಕ್ಟರ್<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲದೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಮುಖ್ಯ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಕೊರತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅಸಮರ್ಥತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಬೀಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಧಿವೇಶನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಟ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಅವರಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿವೇತನವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಾರ, ದಿನಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಘಂಟೆಯವರೆಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬಾಹ್ಯ ಸಲಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ 1.ಗೋಧಿ ಬೀಜಗಳ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9. ಬಿತ್ತಿದ ನಾಲ್ಕು ಬೀಜಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ. ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎ- 4 ಬೀಜಗಳಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ 3 ಬೀಜಗಳು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುತ್ತವೆ; ಘಟನೆ IN- 4 ಬೀಜಗಳಿಂದ 3 ಬೀಜಗಳು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುತ್ತವೆ; ಘಟನೆ ಜೊತೆಗೆ- 4 ಬೀಜಗಳಿಂದ 4 ಬೀಜಗಳು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು
ಮತ್ತು
ನಾವು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ನಡೆಯಲಿ ಪಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ಮತ್ತು ಈ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ನಂತರ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎವಿ ಪಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ ಬಾರಿ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ
- ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು . ನಂತರ

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಕಾರ್ಯ 2.ಗೋಧಿ ಬೀಜಗಳ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9. ಬಿತ್ತಿದ 400 ಬೀಜಗಳಲ್ಲಿ 350 ಬೀಜಗಳು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ತೊಡಕಿನಿಂದಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ. ನಂತರ

ಅನುಬಂಧಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ 1 ರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯ 3.ಗೋಧಿ ಬೀಜಗಳು 0.02% ಕಳೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 10,000 ಬೀಜಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, 6 ಕಳೆ ಬೀಜಗಳು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು
ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ

, ಎಲ್ಲಿ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಆರ್ಇನ್ನೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಪ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ
;
. ನಂತರ

ಕಾರ್ಯ 4.ಗೋಧಿ ಬೀಜಗಳ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು 90% ಆಗಿದೆ. ಬಿತ್ತಿದ 500 ಬೀಜಗಳಲ್ಲಿ 400 ರಿಂದ 440 ಬೀಜಗಳು ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೇಳೆ ಎಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಪಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಎಂದು ಘಟನೆ ಎಅಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನಿಲ್ಲ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ

,
.

ಕಾರ್ಯ
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಬಂಧಗಳು (ಕೋಷ್ಟಕ 2) ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ
. ನಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯ
. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Xಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಚಿತ್ರತೆಯಿಂದಾಗಿ
. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು :

ಕಾರ್ಯ 5.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X:

ಹುಡುಕಿ: 1) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ; 2) ಪ್ರಸರಣ; 3) ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.

ಪರಿಹಾರ. 1) ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ನೀಡಿದರೆ

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

2) ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಮೌಲ್ಯವು ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ Xನಿಂದ
. ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು: ಪ್ರಸರಣ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವರ್ಗ
, ಅದು

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಪ್ರಮಾಣ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸೋಣ
:

3) ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮ
, ಅದು

ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ 6.ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಹುಡುಕಿ: 1) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್
; 2) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
; 3) ವ್ಯತ್ಯಾಸ
.

ಪರಿಹಾರ. 1) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಅದು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

2) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ Xಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯದಿಂದ
ನಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ

3) ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಕಾರ್ಯ 7.ಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, 40 ಮಿಮೀ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು 3 ಮಿಮೀ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ: 1) ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಭಾಗದ ಉದ್ದವು 34 mm ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 43 mm ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ; 2) ಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ 1.5 ಮಿಮೀಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಪರಿಹಾರ. 1) ಅವಕಾಶ X- ಭಾಗದ ಉದ್ದ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ Xಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
, ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ