ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಿರಂಗಿ ತಯಾರಿಕೆಯ ನಂತರ, 3-4-5 ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಭಯಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ (ಯಾರಾದರೂ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ), ನಂತರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಮಗುವಿನ ಹಾಸ್ಯದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸರಿನಿಮ್ಮ ಹೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂದೇಹಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ನಾವು "x" ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಭಯಾನಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಗೆ ಬದಲಿಸಲು (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
1) ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.
2) ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:
4) ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ:
5) ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ: 
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸೂತ್ರ 
ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಳಗಿನವರೆಗೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಇದು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ತೋರುತ್ತದೆ:
1) ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
2) ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ 
3) ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವಿಯ (ಕ್ಯೂಬ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
4) ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕ್ರೂರ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತೀರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ.
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು.
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಸುಳಿವು: ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ
ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.
ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ಸಮಯ.
ಎರಡಲ್ಲ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ಮೊದಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ಪದವಿ, ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.
ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ 
ಎರಡು ಬಾರಿ
ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ “y” ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು “ve” ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದೆಯೇ 
- ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?! ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ:
ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗೆ:
ನೀವು ತಿರುಚಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ - ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:
ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 5
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 6
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:
ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ:
ಆದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ದೋಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಪಾಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೀರಸ ಶಾಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರಲು" ಕೇಳುತ್ತಾರೆ.
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 7
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ; ಅದನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡೋಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಅವುಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ f, g, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿವೆ. ನಾವು ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, g" ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಎಂದರೆ ನಾವು g ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ಸಾಕು.
- (ಸಿನ್ x)"=cos x
- (cos x)"= –ಸಿನ್ x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (ಲಾಗ್ ಎ x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x)"= 1/√(1-x 2)
- (ಆರ್ಕೋಸ್ x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ಉದಾಹರಣೆ 1. y=500 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರ 1).
ಉದಾಹರಣೆ 2. y=x 100 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಇದು ಘಾತ 100 ಆಗಿರುವ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 1 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರ 3).
(x 100)"=100 x 99
ಉದಾಹರಣೆ 3. y=5 x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರ 4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 4. y= log 4 x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಸೂತ್ರ 7 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
(ಲಾಗ್ 4 x)"=1/x ln 4
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು
ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಈಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ (ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ). ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕೆಳಗೆ, f ಮತ್ತು g ಅಕ್ಷರಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
1. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
ಉದಾಹರಣೆ 5. y= 6*x 8 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ನಾವು 6 ರ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 4 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
(f + g)"=f" + g"
ಉದಾಹರಣೆ 6. y= x 100 +sin x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ರಿಂದ (x 100)"=100 x 99 ಮತ್ತು (sin x)"=cos x. ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
(f – g)"=f" – g"
ಉದಾಹರಣೆ 7. y= x 100 – cos x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕೂಡ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
ಉದಾಹರಣೆ 8. y=e x +tg x– x 2 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ; ಪ್ರತಿ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. ನಂತರ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ
(f * g)"=f" * g + f * g"
ಉದಾಹರಣೆ 9. y= cos x *e x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (cos x)"=–ಸಿನ್ x ಮತ್ತು (e x)"=e x. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x * sin x
5. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ಉದಾಹರಣೆ 10. y= x 50 /sin x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಒಂದು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (x 50)"=50 x 49 ಮತ್ತು (sin x)"= cos x. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವೂ ಇದೆ:
(u (v))"=u"(v)*v"
ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. y= u (v(x)) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು u ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು v - ಆಂತರಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
y=sin (x 3) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಆಗ y=sin(t) ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆ
t=x 3 - ಆಂತರಿಕ.
ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
(sin t)"=cos (t) - ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಇಲ್ಲಿ t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ನಂತರ (ಸಿನ್ (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.
ದಿನಾಂಕ: 11/20/2014
ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಸ್ಪರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಈ ಪರಿಚಯವು ನಿಮಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ;
ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ;
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಪಾಠಗಳಿಗಾಗಿ ತಯಾರು ಮಾಡಿ.
ಮೊದಲನೆಯದು - ಆಹ್ಲಾದಕರ ಆಶ್ಚರ್ಯ.)
ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಸಮಾಧಾನ ತಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಕ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ!
ಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು ಕೆಲವೇ ನಿಯಮಗಳು- ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು- ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ನನಗೆ ಸಂತೋಷ ತಂದಿದೆ.
ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣವೇ?)
ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ. ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಘಾತ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತವು ಉನ್ನತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.
ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉತ್ಪನ್ನ.
ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.
ಹಾಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತ- ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ. ಅಥವಾ ಖಾಸಗಿ- ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.
ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.) ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದೆಲ್ಲವೂ ಆಗಿದೆ ಅದೇ.ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಡ್ಯಾಶ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ: ವೈ"ಅಥವಾ f"(x)ಅಥವಾ ಎಸ್"(ಟಿ)ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.
ಓದುವುದು ಇಗ್ರೆಕ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ಎಫ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ನಿಂದ ಎಕ್ಸ್, ಎಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಟೆ,ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ...)
ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (2x+3)", (X 3 )" , (ಸಿಂಕ್ಸ್)"ಇತ್ಯಾದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.) ನಾನು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೂಪಾಂತರ.ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಇವೆ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕೇವಲ ಮೂರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ನಿಂತಿರುವ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು:
1. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು).
3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.
ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.
ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ, ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ, ನೀವು ಇತರ ಎಲ್ಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು.ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ರೇಖೀಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇತ್ಯಾದಿ.
"ಮೊದಲಿನಿಂದ" ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮದಾಯಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ ಜನರು, ಹೌದು, ಹೌದು!) ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ತಮ್ಮ (ಮತ್ತು ನಮಗೆ) ಜೀವನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು. ಅವರು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.)
ಇಲ್ಲಿ ಇದು, ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಪ್ಲೇಟ್. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.
| ಕಾರ್ಯ ವೈ |
y ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೈ" |
|
| 1 | ಸಿ (ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ) | ಸಿ" = 0 |
| 2 | X | x" = 1 |
| 3 | x n (n - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | ಪಾಪ x | (ಸಿನ್ x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - ಪಾಪ x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x |  |
| ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್ |  |
|
| ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ಎ X |  |
| ಇ X | ||
| 5 | ಲಾಗ್ ಎ X |  |
| ln x ( a = ಇ) |
ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ! ನೀವು ಸುಳಿವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಾ?) ಹೌದು, ಹೃದಯದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಇದು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಷ್ಟ ಅಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ!)
ಉತ್ಪನ್ನದ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಚಿಪ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮಾತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ...
ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
1. y = x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 3
ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (ಮೂರನೇ ಗುಂಪು) ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n=3. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು n ಬದಲಿಗೆ ಮೂರನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯಿರಿ:
(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
ಅಷ್ಟೇ.
ಉತ್ತರ: y" = 3x 2
2. x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = sinx ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಈ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು x = 0ಈ ಉತ್ಪನ್ನದೊಳಗೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ!ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತಾರೆ ... ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಮಗೆ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ.ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
y" = (ಸಿನ್ x)" = cosx
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
y"(0) = cos 0 = 1
ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಲಿದೆ.
3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ:
ಏನು, ಇದು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ?) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಮರೆತರೆ, ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ತುಂಬಾ ತೊಂದರೆದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಟೇಬಲ್ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ...
ಆದರೆ ನಾವು ನೋಡಿದರೆ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ ಡಬಲ್ ಕೋನ ಕೊಸೈನ್, ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ!
ಹೌದು ಹೌದು! ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊದಲುಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ! ಮತ್ತು ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡಬಲ್ ಕೋನ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
ಆ. ನಮ್ಮ ಟ್ರಿಕಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ y = cosx. ಮತ್ತು ಇದು ಟೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಉತ್ತರ: y" = - ಪಾಪ x.
ಮುಂದುವರಿದ ಪದವೀಧರರು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:
4. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಸಹಜವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ... ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹೀಗೆ:
ಮತ್ತು x ಗೆ ಹತ್ತನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ! ಮೂರನೇ ಗುಂಪು, n=1/10. ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಲಿದೆ.
ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೊದಲ ಸ್ತಂಭದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ - ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ತಿಮಿಂಗಿಲಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 4, 2 ಮತ್ತು 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. ಒಂದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 3, 5
ಮತ್ತು 6
ಮತ್ತು 1.
ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು IV, ಸೂತ್ರಗಳು 5
ಮತ್ತು 1
.
ಐದನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ Iಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು 1 ನೇ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆ 4 ), ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇನಿಯಮಗಳು, ಮತ್ತು 1ಕ್ಕೆಸಾರಾಂಶ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯಮಗಳು 4
. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಪ್ರಕಾರ 4
ಸೂತ್ರ, ನಾವು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ. ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿದ್ದೀರಾ? ಫೈನ್. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು.
ಆರನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.
ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ IVಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 4
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.
ಈ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ:
ಹೊಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು!
ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು y= ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ x 2, ವಾದದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ 4 , ಮತ್ತು ಹೊಸ - 4,01 .
ಪರಿಹಾರ.
ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ x=x 0 +Δx. ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ: 4.01=4+Δх, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=4.01-4=0.01. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ y=x2, ಅದು Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
ಉತ್ತರ: ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=0.01; ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ Δу=0,0801.
ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ವೇಳೆ f "(x 0) = 1.
ಪರಿಹಾರ.
ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ x 0ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ಏಕೆಂದರೆ tg45°=1.
ಉತ್ತರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ 45°.
3. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ y=xn.
ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದವಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ: (x n)" = nx n-1.
ಇವು ಸೂತ್ರಗಳು.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ:
1. ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. X ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
4. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತವು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.
5. ಒಂದು ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
6. x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು x ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
7. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
8. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
9. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
10. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಕಲಿಸುತ್ತೇವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು.
1.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.
3. "ve" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ "y" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಶವು "y ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ve" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ "y ಅನ್ನು ve ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ" ಮತ್ತು ಛೇದವು "ve ವರ್ಗ" ಆಗಿದೆ.
4. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ 3.
ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಲಿಯೋಣ!
ಪುಟ 1 ರಲ್ಲಿ 1 1
ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಸರಳವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲವು ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಮೇಲಿನ ಪಾಠವನ್ನು ಓದಿ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಂಭೀರ ಮನಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ - ವಸ್ತುವು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಿಮಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಾನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮ (ಸಂಖ್ಯೆ 5) ನಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:
ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರವೇಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯದೊಳಗೆ ಗೂಡುಕಟ್ಟಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದರೊಳಗೆ ಗೂಡುಕಟ್ಟಿದಾಗ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಾನು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ - ಆಂತರಿಕ (ಅಥವಾ ನೆಸ್ಟೆಡ್) ಕಾರ್ಯ.
! ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬಾರದು. ನಾನು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯ", "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ.
ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆ 1
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "X" ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಅನ್ನು "ತುಂಡುಗಳಾಗಿ" ಹರಿದು ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದವು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಎಂಬೆಡ್ಡಿಂಗ್), ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನನ್ನ ವಿವರಣೆಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಹಂತದಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನು? ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಅದನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ (ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬಹುದು).
ನಾವು ಮೊದಲು ಏನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಪದವು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 
ಎರಡನೆಯದಾಗಿಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೈನ್ - ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: 
ನಾವು ನಂತರ ಮಾರಾಟವಾಗಿದೆಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಮಯ 
.
ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಪಾಠದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಹಾರದ ವಿನ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ರೀತಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:
ಮೊದಲಿಗೆನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಸೈನ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ . "x" ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಟೇಬಲ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮುಟ್ಟುವುದಿಲ್ಲ.
ಸರಿ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ 
ಅದರ ಅಂತಿಮ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಯಾವುದೇ ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆ ಇದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 
ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಮೊದಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬೇಸ್ ಯಾವುದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದವು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: 
ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಘಾತೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: 
ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ 
, ಮೊದಲು ನೀವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದವಿ. ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: . ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: ಯಾವುದೇ ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರವು "X" ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ 
ಮುಂದಿನ:
ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ನಮ್ಮ ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇನೆ: 
ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಸರಳವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ತಿರುಚುವುದು:
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾನು ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಈ ರೀತಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉದಾಹರಣೆ 5
a) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
b) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಉದಾಹರಣೆ 6
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲು ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ 
:
ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ (ಮೂಲ), ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ತೊಡಕಿನ ದೀರ್ಘ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ (ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದು ಸುಲಭ, ಅನಗತ್ಯ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗುತ್ತದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 7
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮದ ಬದಲಿಗೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. 
, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕೃತಿಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 8
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು 
, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ:
ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಘಾತವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.
ನಮ್ಮ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ 
:
ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ 
, ಉತ್ತರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ 9
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).
ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಗೊಂಬೆಗಳಂತೆ, ಒಂದರೊಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ, 3 ಅಥವಾ 4-5 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 10
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಈ ಕಾರ್ಯದ ಲಗತ್ತುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ?
ಮೊದಲು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ:
ಒಂದರ ಈ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ವರ್ಗ ಮಾಡಬೇಕು:
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಏಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ಅಂದರೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎರಡು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಒಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ
ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ 
ಮೊದಲು ನೀವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ "x" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ 
ಮುಂದೆ.