ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ "ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು" - ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ

ಪ್ರತಿಲಿಪಿ

1 ಫೆಟ್ರೋಜಾವೋಡ್ಸ್ಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಲಿಜವೆಟಾ ಸೆರ್ಗೆವ್ನಾ ಖಾಲ್ಟ್ಸೆನೆನ್ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಗಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಅರ್ಹತಾ ಕೆಲಸ. ಅಥವಾ ಪ್ರೊಫೆಸರ್, ಡಾಕ್ಟರ್ ಎಫ್.-ಎಂ. ವಿಜ್ಞಾನ, ಪ್ಲಾಟೋನೊವ್ ಎಸ್.ಎಸ್. (ಮ್ಯಾನೇಜರ್ ಸಹಿ) ಪೆಟ್ರೋಜಾವೊಡ್ಸ್ಕ್

2 ಪರಿವಿಡಿ ಪರಿಚಯ...3. ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆ ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು...3 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

3 ಪರಿಚಯ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮಾಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮ ಕೆಲಸದ ಗುರಿಯು ಮೂರು ವಿಧದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅನೇಕರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇವು ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ, ಕರಾಮತ ಅಸಮಾನತೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸುಂದರವಾಗಿವೆ; ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಶಾಲೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಷಯವು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಸೇರಿದಂತೆ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಗಣಿತದ ಬಾಗಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ವಿನೋದವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಉದ್ದೇಶಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದಿಂದ ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಲಸವು ನಾಲ್ಕು ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಿಭಾಗವು ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗ 2 ಪರಿವರ್ತನಾ ಅಸಮಾನತೆ, ಅದರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ರಲ್ಲಿ, ಕರಮತದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಇದೆ. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 4 ಅಂತಿಮ ಕೆಲಸದ ಮುಖ್ಯ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳು

4. ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮತಲದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ (x,y) ಇದಕ್ಕಾಗಿ y f(x) ಅನ್ನು ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ (x,y) ಇದಕ್ಕಾಗಿ y f(x) ಅನ್ನು ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಪೀನದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಪೀನದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಪೀನದ (ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ) ಮಾನದಂಡ. y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ನಿರಂತರವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳಲು, (a, b) ನಲ್ಲಿ ಪೀನ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಆಗಿರಲು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದು (ಕಡಿಮೆ) ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರ (ಎ, ಬಿ). ಕ್ರಿಯೆಯ ಪೀನತೆ (ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ) ಗಾಗಿ ಮಾನದಂಡ 2. y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲು, (a, b) ನಲ್ಲಿ ಪೀನ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಆಗಬೇಕಾದರೆ, f (x) 0(f () ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ x) 0 ) ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x (a, b) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. A(x, y) ಮತ್ತು B(x 2, y 2) ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ C(x, y) ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ AB, ಅಂದರೆ AC = m B, ಇಲ್ಲಿ m BC m B ಬಿಂದುವಿನ A ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು m A ಬಿಂದು A ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: ಕೇಂದ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ: ಇಲ್ಲಿ r i ಎಂಬುದು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್, i =,2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 C ABಯು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. U ಸಮತಲದ ಪೀನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು U ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, C AB ಯು AB ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ C AB ಯು ಯುಗೆ ಸೇರಿದೆ. A, A 2 A ಗಳು m, m 2, m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. A, A 2 A ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ C A,A 2 A ಅನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:) = 2 ನಲ್ಲಿ A, A 2 ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ C A A 2 ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ. C A A 2 ಬಿಂದುವು m + m 2 ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ 2) A, A 2 A ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ c A, A 2 A ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು A, A 2 A ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು B ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು B ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು m B = m + m m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು C A,A 2 A = C BA ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. A, A 2 A, A ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು B ಮತ್ತು A ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. C A,A 2 A ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು m B + m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ = m + m m. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು A, A 2 A ಯು ಪೀನ ಸೆಟ್ U ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು U. Lemma ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. A, A 2 A ಗಳು m, m 2, m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು r i ಬಿಂದು A i, i =, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. C ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ A, A 2 A, ನಂತರ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ r C ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರೂಫ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. = 2 ಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ (ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ ()). ಫಾರ್ಮುಲಾ (2) ಈಗಾಗಲೇ () ಗಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. B ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ A, A 2 A. ನಂತರ - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು m B = m + m m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, A, A 2 A ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ C ಯ ಕೇಂದ್ರವು B ಮತ್ತು A ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ C ಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವು (2) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k “ಜೆನ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f(x) ಒಂದು ಪೀನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ, x, x 2, x ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; m, m 2, m ಗಳು m + m m = ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಜೆನ್ಸನ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, x, x 2 , x - ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; m, m 2, m ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಅದು m + m m = ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)" ಪುರಾವೆ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಪೀನದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (a, ಬಿ) ಅದರ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ, A, A 2, A ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು A i = (x i, y i), y i = f(x i) ಎಂದು ಬಿಡಿ. A, A 2, A ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ m, m 2, m ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ m + m m =. ಎಫ್(x) ಒಂದು ಪೀನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 6 -

7 ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪೀನದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, A, A 2, A ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಶಿಲಾಶಾಸನಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f( x) C ಯು ಶಿಲಾಶಾಸನಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು h.t.d. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, a 2, a , ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿದೆ: (a + a) a a 2 a ಅಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (3), ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ (3) l (a +a 2 + + a) l(a 2 a) ( 4) ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (4) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ : l (a +a 2 + +a) l a + l a l a (5) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಜೆನ್ಸನ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ f( x) = l (x), m = m 2 = = m =. y = l(x) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, +) ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ y =< 0, поэтому неравенство (5) есть частный случай неравенства x2-7 -

8 ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ಜೆನ್ಸನ್ f(x) = l(x). ಅಸಮಾನತೆ (5) ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆ (3) ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ 2. ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (,2,3,) ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು σ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ σ(), σ(2), σ(3) σ() ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು,2,3 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ i ಮತ್ತು j ಎಂದು ಒಂದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, a i a j ಇದು b i b j ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, a, a 2, a ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು b, b 2, b ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮೊದಲ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡನೇ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ i ಮತ್ತು j, a i a j ಅದು b i b j ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a, a 2, a ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು b, b 2, b ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, a, a 2, a ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡನೇ ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಸೆಟ್ b, b 2, b ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆ.) a 2 a ಮತ್ತು b b 2 b ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ನೀಡಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2) a 2 a ಮತ್ತು b b 2 b ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ, a, a 2, a ಮತ್ತು b, b, b 2, b - ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು “ಪ್ರಮೇಯ. (ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ) a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರಲಿ. ಅವರ ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ - 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () a, a 2, a ಮತ್ತು b, b 2, b ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದಾಗ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a, a 2, a ಮತ್ತು b ಆಗಿದ್ದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಬಿ 2, ಬಿ ರಿವರ್ಸ್ ಆರ್ಡರ್. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ, S ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ." ಉದಾಹರಣೆ. a b + b c + c a 3 ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, a, b, c ಮತ್ತು a, b, c ಅನ್ನು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು a + b + c c = 3 ನ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ. ಎರಡು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಮೊದಲ a, a 2, a ಮತ್ತು ಎರಡನೇ b, b 2, b. ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. a i > a k ಮತ್ತು b k > b i ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು i ಮತ್ತು k ಇವೆ. ಎರಡನೇ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ b k ಮತ್ತು b i ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು "ವಿಂಗಡಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂತರ S ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ a i b i ಮತ್ತು a k b k ಪದಗಳನ್ನು a i b k ಮತ್ತು a k b i ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪದಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. a i b i + a k b k ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть наибольшее значение. Наименьшее значение получается аналогично, только мы делаем сортировку до тех пор, пока наборы не будут обратно упорядоченными. В итоге мы придем к наименьшему значению. «Теорема 2. Рассмотрим два положительных набора a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b и все его возможные перестановки. Тогда значение произведения (a i + b σ(i)) будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены, и наименьшим, когда они обратно упорядочены

10 ಪ್ರಮೇಯ 3. ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a, a 2, a 3 a ಮತ್ತು b, b 2, b 3 b ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಮೌಲ್ಯ () a i + b σ(i) a, a 2, a 3 a ಮತ್ತು b, b 2, b 3 b ಅನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅವುಗಳನ್ನು ರಿವರ್ಸ್ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಅತ್ಯಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ “ಪ್ರಮೇಯ 4 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆ). F ಫಂಕ್ಷನ್ R ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪೀನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a, a 2, a 3 a ಮತ್ತು b, b 2, b 3 b ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ f (a + b σ()) + f ( a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದಾಗ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 5. F ಫಂಕ್ಷನ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು R ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿರಲಿ: f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ σ()) ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a, a 2, a 3 a ಮತ್ತು b, b 2, b 3 b ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ.") ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ = 2. f ಫಂಕ್ಷನ್ ಪೀನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ a > a 2 ಮತ್ತು b > b 2. ನಾವು f(a + b) + f(a 2 + ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a 2, m = b b 2. ನಂತರ - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ (2) f(x + k + m) + f(x + ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ k ) f(x + k) + f(x + m) (3) ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿತ್ರವು ಪೀನ ಕ್ರಿಯೆಯ y = f(x) ಮತ್ತು A(x) ಬಿಂದುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ , f(x)), C(x) ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ + k ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f (x + k + m)). ಮತ್ತು ಆನ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯಿಂದ ಇದು ಸ್ವರಮೇಳ ಸಿಡಿ AB ಸ್ವರಮೇಳದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. K ಸ್ವರಮೇಳದ CD ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, MZ ಸ್ವರಮೇಳದ AB ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k +) ರಿಂದ K ಮತ್ತು M ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ m) ) = (2x + k + m) 2 ಆದ್ದರಿಂದ, K ಮತ್ತು M ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ y m y k. --

12 y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 ಇದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (3) ಮತ್ತು (2). ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ. 2) ಲೆಟ್ > 2. a, a 2, a 3 a ಮತ್ತು b, b 2, b 3 b ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. a i > a k ಮತ್ತು b i ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು i ಮತ್ತು k ಇವೆ< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 x, x 2, x ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, i= x i =, ನಂತರ (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) “ಪ್ರಮೇಯ (ಕರಮತದ ಅಸಮಾನತೆ) ಎಫ್: (a , b ) R, f ಒಂದು ಪೀನ ಕಾರ್ಯ x, x 2, x, y, y 2, y (a, b) ಮತ್ತು (x, x 2, x) (y, y 2, y), ನಂತರ f(x ) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y). f ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y).” ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. 4. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಈ ವಿಭಾಗವು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಅಥವಾ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಯಾಮ. x, x 2, x > 0 ಅಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x ) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x ನಂತರ ಅದು ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 3 -

14 i= + x i + x x 2 x + x +x 2 + +x ಇದು ನಿಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಇದು + x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಸಮಾನತೆ ಕೌಚಿ. ಕಾರ್ಯ 2. ಯಾವುದೇ a, b > 0 ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: 2 a + b ab ಇದು ಅಸಮಾನತೆ 2ab a + b ab 2ab ab(a + b) 2 ab a + b ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ 3. ಯಾವುದೇ a, a 2, a > 0 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: a 2 a a 2 a ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: - 4 -

15 () (a a a 2 a 2 a) ಬದಲಿ b i = a i ಅನ್ನು ಮಾಡೋಣ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: (b + b) (b b 2 b) ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೌಚಿಯವರ ಅಸಮಾನತೆ. ಕಾರ್ಯ 4. ಯಾವುದೇ a, a 2, a > 0 ಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: =3 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a + a + a a 2 a 3 a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 ನಾವು a 2 = x, a 2 a 3 = y, a 3 a = z, xyz = x+y+z 3 3 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ xyz= -true ನಾವು x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a, ನಂತರ x x 2 x = ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ: x + x x ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: h.t.d. ಕಾರ್ಯ 5. (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ 0 x i π - 5 -

16 ಅಸಮಾನತೆಯು y = si x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜೆನ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. y = si x ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿದೆ (0, π), ಏಕೆಂದರೆ y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ: (a + a 2+ +a)(a + a a) 2 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: ಇದು (a + a a) a + a 2 a +a 2 + + ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a + a 2+ +a ಜೆನ್ಸನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f(x) = x, ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯ 7 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಯಾವುದೇ x, y, z > 0 ಅಸಮಾನತೆಗೆ x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 ಸರಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ನಾವು ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಅಸಮಾನತೆ. ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಎರಡನೇ x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು x 5 + y 5 + z 5 ಒಂದೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದರಿಂದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 6 -

ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ 17 ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ "ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ" ಜೋಡಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯ 8. ಯಾವುದೇ x, y, z > 0 ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು x y z ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 ಸೆಟ್‌ಗಳು a, a 2, a 3 ಮತ್ತು b, b 2, b 3 ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ, ಮೊತ್ತವು a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 ಮೊತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ . a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. ಕಾರ್ಯ 9. ಯಾವುದೇ a, a 2, a > 0 ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a 2 a 3 a)(+ a 2 ) (+ a) a 2 a ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a + ಎ 2) - 7 -

18 ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) ನಾವು ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = l x ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. a i = a i, b i = a i 2. ನಂತರ b, b 2, b ಮತ್ತು a, a 2, a ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l( b + a) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ (9.). ಕಾರ್ಯ 0. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) a b c ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ.. ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ (a, b, c) ಮತ್ತು (a, b , c) ಸಮಾನವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸೆಟ್‌ಗಳು (a, b, c) ಮತ್ತು (b, c, a) ಸಮಾನವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ (0.) ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಯಾಮ. xy + yz + zx = ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ (.) ಸಮಸ್ಯೆ 0 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಕಾರ್ಯ 2. a, b, c > 0, ನಂತರ x 2 + y 2 + z 2 (.) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. (a + c)(b + d) ab + cd ವರ್ಗಮೂಲವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -True Task 3, 4. ಯಾವುದೇ a, a 2, a > 0 ದಿ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ: 3) a 2 + a 2 (a +a 2 + a) 2 4)a 2 + a 2 (3.) (4.) ಅಲ್ಲಿ a + a 2 + a = ಅಸಮಾನತೆ (4.) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (3.) ನಿಂದ a + a 2 + a =. ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (3.). ಇದನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ a 2 + a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a 2 (a + a) ಪೀನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜೆನ್ಸನ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f (x) + q 2 f (x 2) + q f (x), ಎಲ್ಲಿ 0 q i, q + q 2 + q =. ನಾವು f(x) = x 2, q i =, i =,2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆ (3.) ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯ 5. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ p, q ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 - ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

20 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (5.) ಸಮಾನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + () (p + q) + ()pq 0 ಇದೇ ತರಹ ನಾವು ಪಡೆಯುವವುಗಳು: ( )[()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 ಯಾವಾಗಲೂ, ಏಕೆಂದರೆ -ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ನಾವು 0 (5.2) p + q pq = ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ p(q ) (q) = (p) (q) p, q, ನಂತರ p 0, q 0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆ (5.2) ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ 6. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x, y, z ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.))y + z x ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ (6.) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) f(x) = l x ಆಗಿರಲಿ. f(x)`` = x 2 ರಿಂದ< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (y z 0 ರಿಂದ); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z ಕಾರ್ಯವು f(x) = l x ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ , ನಂತರ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ (6.). ಕಾರ್ಯ 7. ಯಾವುದೇ a, b ಮತ್ತು c > 0 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab ಇದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿ ಸಿ ಲೆಟ್. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc ಎರಡು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab (a 2 + b 2 + c 2, ab + ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) (7.) ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ (7.2) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-true 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 ಮತ್ತು (c a) 0, ನಂತರ (c b) (c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (7.) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (7.2). ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) = x ಗಾಗಿ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯ 8. a, b, c, d > 0, ಅಸಮಾನತೆ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ನಿಜ 2 d 2 + c 2 d 2 a b c d ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ: x = l a, y = l b, z = l c, w = l d ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ: e 4x + e 4y + e 4z + e 4w + e x+ y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+2w ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) ಮತ್ತು (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡೋಣ: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) ಮತ್ತು (8.) ಎರಡನೆಯದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ: (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) (8.) ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ (8.2) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

23 ) 4x 2x + 2y, x y ಸರಿಯಾಗಿದೆ 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z ಸರಿಯಾಗಿದೆ 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿರುವುದರಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಆ 2x + 2w 2y + 2z I.e. x + w y + z, ನಂತರ ಪ್ರಕರಣ 3) x + w = y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ 2z x + y + z w 0 y + z x + w ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು x + w = y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 4x + 2y ಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w z w ಸರಿ 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2z + 2w 0 = 0 ಹೀಗಾಗಿ, ಸೆಟ್ (8.) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (8.2) ಪ್ರಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. f(x) = e x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯ 9. a, b, c > 0 ಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

24 a b c ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ನಾವು 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ : ಮತ್ತು ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (9.) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: x = l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x +y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z +x + e x+ 2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, 3z, 3z, 3z, x + y + z, x + y + z, x + y + z) ಮತ್ತು (9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x , x + 2y, x + 2y, y + 2z, y + 2z, z + 2x, z + 2x) (9.3) ನಾವು ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡೋಣ: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y , x + y + z, x + y + z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) ಮತ್ತು (9.2) ಎರಡನೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡೋಣ: 2x + y z + 2x y z true y + 2z 2z + x y x true ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, y + 2z) (9.3) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (9.2) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (9.3) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ 9x 6x + 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, x = y ಗಾಗಿ ನಾವು y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 x = y ಆಗ ನಾವು y z 7 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ) 9x + 9y + x + y + z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 2y + z , ನಾವು y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, x + y + 3z 0 9) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + zy, 25 ) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z ಹೀಗೆ, ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (9.2) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (9.3) ಪ್ರಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು f(x) = e x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕರಾಮಾಟದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

26 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು) ಯು.ಪಿ. ಸೊಲೊವೀವ್. ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಎಂ.: ಕಂಟಿನ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಸ್ಕೋ ಕೇಂದ್ರದ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್. 2005. 6 ಪು. 2) I.Kh. ಸಿವಾಶಿನ್ಸ್ಕಿ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂ.: ನೌಕಾ, ಪು. 3) A.I. ಕ್ರಾಬ್ರೋವ್. ಮಂಗೋಲಿಯನ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸುತ್ತ, ಮ್ಯಾಟ್. ಜ್ಞಾನೋದಯ, ಬೂದು 3, 7, MTsNMO, M., 2003, ಪು. 4) ಎಲ್.ವಿ. ರಾಡ್ಜಿವಿಲೋವ್ಸ್ಕಿ, ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಮಂಗೋಲಿಯನ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಮ್ಯಾಟ್. ಜ್ಞಾನೋದಯ, ಬೂದು 3, 0, ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ MTsNMO, M., 2006, p. 5) V.A.ch Kretschmar. ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಸ್ತಕ. ಐದನೇ ಆವೃತ್ತಿ ಎಂ., ವಿಜ್ಞಾನ, ಪು. 6) ಡಿ ನೊಮಿರೊವ್ಸ್ಕಿ ಕರಾಮತಾ ಅಸಮಾನತೆ / ಡಿ. ನೊಮಿರೊವ್ಸ್ಕಿ // (ಕ್ವಾಂಟ್)-ಎಸ್

ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು R n ಎಂಬುದು n ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x 1,..., x n) ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು

ಕಾರ್ಯಗಳ ಷರತ್ತುಗಳು 1 ಪುರಸಭೆಯ ಹಂತ 8 ನೇ ತರಗತಿ 1. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು 6 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು 2015 ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಅಧ್ಯಾಯ IX. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಯೂನಿಟರಿ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು 35. ಡಾಟ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಡಿಪಾರ್ಟ್‌ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್

ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಸ್ತಾವಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಒಂಬತ್ತನೇ ಯೂಲರ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನ ಹೆಡ್-ಟು-ಹೆಡ್ ಸುತ್ತಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 1. ಸಿಸ್ಟಮ್ x yz 1, x y z x, x y z ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. x ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರ: 1; 1; 1. ಪರಿಹಾರ 1. x y ರಿಂದ

ಉಪನ್ಯಾಸ 4 1. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳು: ಒಂದೇ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವುದು) ವಿರುದ್ಧ ವಾಹಕಗಳು: ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ

ವಿಷಯ 1-8: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು A. Ya. Ovsyannikov ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ರೇಖಾಗಣಿತ (1 ಸೆಮಿಸ್ಟರ್)

ಪೆನ್ಜಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ "ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಶಾಲೆ" ಗಣಿತ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಕಾರ್ಯ 1 ಗಾಗಿ

ಮಾಸ್ಕೋ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸಲು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ.

98 ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ: ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪೀನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 KE Tsiolkovsky" 0 "A" ವರ್ಗದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿ A. V. ಲಿಖಾಟ್ಸ್ಕಿ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ: E. A. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮೆಂಕೊ ದಕ್ಷಿಣ ಫೆಡರಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಏಪ್ರಿಲ್ 14, 2008 A. V. ಲಿಖಾಟ್ಸ್ಕಿ (SFU) ಬೀಜಗಣಿತ. ರೂಪ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಎನ್.ಇ. ಬೌಮನ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎ.ಎನ್. ಕವಿಯಾಕೋವಿಕೋವ್, ಎ.ಪಿ. ಕ್ರೆಮೆಂಕೊ

72 ಅಧ್ಯಾಯ 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು A-01 ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು A-02 ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು A-03 ಮೌಖಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು A-04 ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ A-05 ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದದ ಸೂತ್ರಗಳು

6 ನೇ ಯೂಲರ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ I ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬ್ಲಾಕ್‌ನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸುತ್ತಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು xy + x + y + 7 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ಮತ್ತು y ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಉತ್ತರ: 89 ಪರಿಹಾರ

ಉಪನ್ಯಾಸ 8 ಅಧ್ಯಾಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಉದ್ದ, ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣ, ತಾಪಮಾನ, ಕೆಲಸ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಇಂಟರ್ರೀಜನಲ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ "ಹೈಯರ್ ಪ್ರೊಬಾ", 2017 ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಹಂತ 2 ಪುಟ 1/10 ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳು 10-1 6 ಜನರ ಕಂಪನಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವರು ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಹೋದರು

7. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಪರೀತ 7.. ಸ್ಥಳೀಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಾ ಕೆಲವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ D R n ನಲ್ಲಿ f(x,..., x n) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ M D ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಳೀಯ

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಎಂಟನೇ ಯೂಲರ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸುತ್ತಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು a b c b a c c a b a b c ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ a, b ಮತ್ತು c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಹಾರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ a b c ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ನಾನು ವರ್ಷ, ಕಾರ್ಯ. ರೀಮನ್ ಫಂಕ್ಷನ್, 0, m m R(), ವೇಳೆ, m, m 0, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, 0, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿಟಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್, ಖಬರೋವ್ಸ್ಕ್, 1997 ಸಮಸ್ಯೆ 1. 9 ನೇ GRADE ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) ಪರಿಹಾರ. ವೇರಿಯಬಲ್ x = y 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ಮೂರು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ವಿಷಯ 2-14: ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಯೂನಿಟರಿ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು A. ಯಾ. ಓವ್ಸ್ಯಾನಿಕೋವ್ ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಡಿಪಾರ್ಟ್‌ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಒಂಬತ್ತನೇ ಯೂಲರ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಸುತ್ತಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು 1. x ಗಾಗಿ x(x ab) a b ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ. x a b ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು x abx

1. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ

ಅಧ್ಯಾಯ 6 ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ 6.1. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್, ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಭಾಗದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಓಪನ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಗಳು (ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ 54 ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳು, 2015/2016 ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷ) ಪರಿವಿಡಿ I. ಗ್ರೇಡ್ 11... 2 II ಗಾಗಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಹಂತಕ್ಕಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಗಳು. 1 ನೇ ಸುತ್ತಿನ ಅರ್ಹತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

3.. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು 3..1. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮೊದಲಿಗೆ, a > b ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ನಾವು ಏನನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3..1. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉಪನ್ಯಾಸ 13. ಪೀನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ 1 ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಸಿ-ಸ್ಮೂತ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಅದರ ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ (ಸಬ್‌ಗ್ರಾಫ್) ಒಂದು ಪೀನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೀನ (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 x

ಕಾರ್ಯಾಗಾರ: “ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಾಬಿಲಿಟಿ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್” ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y f () ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: y(,) f () () (), ಅಲ್ಲಿ () ನಲ್ಲಿ

ಉಪನ್ಯಾಸ 2 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ವಾಹಕರು 1 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಿಭಾಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು: ಒಂದೇ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಪ್ರವಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 0 I ಗಣಿತದ ಬ್ಲಾಕ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಉತ್ತರ: 00 0 ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 11 ಯುಕ್ಲಿಡಾನ್ ಜಾಗಗಳು 0. ಉಪನ್ಯಾಸ ರೂಪರೇಖೆ 1. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. 1.1. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. 1.2. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನವಾದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್. 1.3. ರಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯತೆಯ ಪುರಾವೆ

ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ "ಭವಿಷ್ಯದ ಸಂಶೋಧಕರು, ವಿಜ್ಞಾನದ ಭವಿಷ್ಯ" ಗಣಿತ. ಅರ್ಹತಾ ಸುತ್ತಿನ 4.0.0 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು 8 9 ನೇ ತರಗತಿ 8-9.. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು: 0 0 0 0 ಅಥವಾ 0 0 0 0? ಉತ್ತರ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರ. ಸೂಚಿಸೋಣ

ಗ್ರೇಡ್ 0 ಮೊದಲ ಸುತ್ತು (0 ನಿಮಿಷಗಳು; ಪ್ರತಿ ಸಮಸ್ಯೆ 6 ಅಂಕಗಳು)... ಇದು tg + tg = p, ctg + ctg = q ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. tg(+) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ pq ಉತ್ತರ: tg. q p ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ p tg q tg tg tg tg p ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ctg ctg q, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ 2.5 ಉಪನ್ಯಾಸ: ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ VMMF ವಿಭಾಗದ ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಫೆಲಿಕ್ಸೊವಿಚ್ ಝಲ್ಮೆಜ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ w = f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ D R n. ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 D ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವಿಷಯ 1-4: ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು A. Ya. Ovsyannikov ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ರೇಖಾಗಣಿತ (1

ಪರಿವಿಡಿ I. V. ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್ MathUs.ru ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಡಬಲ್ ರಿಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್.................................. ..... ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ...................................

ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಫಾರ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಫೆಡರಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಜುಕೇಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಆಫ್ ಹೈಯರ್ ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಸೌತ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ R. M. ಗವ್ರಿಲೋವಾ, G. S. ಕೊಸ್ಟೆಟ್ಸ್ಕಾಯಾ ಮೆಥಡಾಲಾಜಿಕಲ್

ಉಪನ್ಯಾಸ 10 1 EUCLIDEAN SPACE 11 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ V (R) LP ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ V ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು V V R ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ

1 ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು 1.1 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, ಇಲ್ಲಿ i ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ( i

ಅಧ್ಯಾಯ 4 ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ (ಪಿಯರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ (6-665) ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ) ಕಾರ್ಯ y f

ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 10 AFFINE SPACES 0. ಉಪನ್ಯಾಸ ಯೋಜನೆ ಉಪನ್ಯಾಸ Affine ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು. 1. ಅಫೈನ್ ಆಧಾರ. 2. ಅಂಕಗಳ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. 3. ರೇಖೆಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ. 4. ಸಮತಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ. 5.

8 ನೇ ತರಗತಿ 1. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a (n+ 1) (+ n+1) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. 2. ಇಬ್ಬರು ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿಟಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರು

ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಡಿಪಾರ್ಟ್‌ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾಸ್ತಾವಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಈ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು, ಗ್ರೇಡ್ 0" ಗಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ 0 ಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ಅಲಿಮೋವ್ Sh.A. ಮತ್ತು ಇತರರು, -ಎಂ.: “ಜ್ಞಾನೋದಯ”, 00. www.balls.ru ಪರಿವಿಡಿ ಅಧ್ಯಾಯ I. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.. ಅಧ್ಯಾಯ II. ಶಕ್ತಿ

ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಆಧಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಈಜೆನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಟಾಮ್ಸ್ಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೊಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಹೈಯರ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (ವಿಎಮ್) ಪ್ರಿಖೋಡೋವ್ಸ್ಕಿ ಎಂ.ಎ. ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್‌ಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ

ಉರಲ್ ಫೆಡರಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಇನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾಸ್ತಾವಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಈ ಉಪನ್ಯಾಸವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ, ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ

ಮಾಸ್ಕೋ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ. ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸಲು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ. ಸಂಕಲನ: ಪಾರ್ಕೆವಿಚ್ ಎಗೊರ್ ವಾಡಿಮೊವಿಚ್ ಮಾಸ್ಕೋ 014 ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತು. ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ

ಲ್ಯಾಬ್ ವರ್ಕ್ 1 ಸೆಟ್. ಪ್ರದರ್ಶನಗಳು. ಸೆಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ 1. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು X ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು (x) ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಆಸ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ

ಸೆಮಿನಾರ್ 2. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೋನಿಕ್ಸ್ 1. ಪಿ 2 ರಲ್ಲಿ ಶಂಕುವಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕೋನಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ನಾವು k = R ಅಥವಾ C ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. P 2 ನಲ್ಲಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f: l

5 ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂಶಗಳು 5.1 ಲೀನಿಯರ್, ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಮತ್ತು ಬಾನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು 5.1.1 ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ x, y, z,... ಅಂಶಗಳ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ (ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,

"ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು

ಅಧ್ಯಾಯ 8 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು 8.1. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು 8.1.1. ವಿಮಾನದ ಮೇಲಿನ ಸಾಲುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು f(x, y) ಆಗಿರಲಿ

ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಪೆನ್ಜಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ರುಡೆಂಕೊ ಎಕೆ, ರುಡೆಂಕೊ ಎಂಎನ್, ಸೆಮೆರಿಚ್ ಯುಸ್ ಸಿದ್ಧತೆಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಒಂದು ಗುರುತನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ) ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಗುರುತುಗಳಿಗಾಗಿ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗ್ರೇಡ್ 9, 2014/2015 ಶಾಲಾ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಪ್ರವಾಸದ ತೊಂದರೆಗಳು. ವರ್ಷ, ಮೊದಲ ಹಂತದ ತೊಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆ 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 ಉತ್ತರ: -1 ಸಮಸ್ಯೆ 2 ಮೊತ್ತ

ಶಾಲಾ ಶಿಬಿರ 57 ಜುಲೈ 06 ಅಸಮಾನತೆಗಳು (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು) Dmitrieva A, Ionov K ಪಾಠ ಒಂದು ಸರಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸರಾಸರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಮಸ್ಯೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx ಪರಿಹಾರ: x + 4y + 9z

ಮಾಸ್ಕೋ ಪ್ರದೇಶದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ ಮಾಸ್ಕೋ ಪ್ರದೇಶದ ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್, ಸೊಸೈಟಿ ಮತ್ತು

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗಾಗಿ "ಉನ್ನತ ಪರೀಕ್ಷೆ", 2017 ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಹಂತ 2 ಪು. 1/11 ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳು 8-1 ನೀವು ಗುಣಿಸಿದರೆ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯ ಮಾಸ್ಕೋ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ (ರಾಜ್ಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ) ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪರಿಹಾರ

ಉಪನ್ಯಾಸ 7 ಅಧ್ಯಾಯ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಕೆಲವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

1) a – b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a > b; ಒಂದು ವೇಳೆ - ಬಿ

2) a > b ಆಗಿದ್ದರೆ, b a;

3) ಒಂದು ವೇಳೆ

4) ಒಂದು ವೇಳೆ

5) ಒಂದು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ac

6) ಒಂದು BC ವೇಳೆ; a/c > b/c ;

7) ಒಂದು ವೇಳೆ 1

8) 0 ಆಗಿದ್ದರೆ

ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಪೋಷಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

1) a 2 > 0;

2) ax 2 + bx + c > 0, a > 0, b 2 – 4ac ಗಾಗಿ

3) x + 1 / x > 2, x > 0, ಮತ್ತು x + 1 / x –2, x ಗಾಗಿ

4) |ಎ + ಬಿ| |ಎ| + |b|, |a – b| > |ಎ| – |b|;

5) a > b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 1/a

6) a > b > 0 ಮತ್ತು x > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a x > b x , ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ n > 2 ಗಾಗಿ

a 2 > b 2 ಮತ್ತು n √ a > n √ ಬಿ;

7) a > b > 0 ಮತ್ತು x ಆಗಿದ್ದರೆ

8) x > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಾಪ X

ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೇರಿವೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆ (ಕೌಚಿಯ ಅಸಮಾನತೆ):

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, ಅಲ್ಲಿ α > -1, n – ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ;

ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2) (b 1 2 + b 2 2 );

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ "ಜನಪ್ರಿಯ" ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ;
ಚದರ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ;
ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಿಧಾನ;
ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನ;
ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬಳಕೆ;
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂಶಗಳ ಬಳಕೆ;
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಬಳಕೆ;
ಬಲಪಡಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

b) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

c) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 ಗಾಗಿ x > 0, y > 0.

ಎ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಬಿ) ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಗುವ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

ಅಥವಾ

(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

ಅಥವಾ

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. a = b = 1 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.

2. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

ಎ)	ಎ	+	ಬಿ		>	a > 0, b > 0 ಗೆ 2;
	ಬಿ		ಎ

b)	ಆರ್	+	ಆರ್	+	ಆರ್		> 9, ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು P ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ;
	ಎ		ಬಿ		ಸಿ

c) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, ಇಲ್ಲಿ a > 0, b > 0, c > 0.

ಎ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಎ	+	ಬಿ	– 2 =	a 2 + b 2 - 2ab	=	(ಎ-ಬಿ) 2		> 0.
ಬಿ		ಎ		ab		ab

ಬಿ ) ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಬಿ+ಸಿ	+	a+c	+	a+b	=
ಎ		ಬಿ		ಸಿ

ಬಿ

ಸಿ

ಎ

ಸಿ

ಎ

ಬಿ

ಎ

ಬಿ

ಸಿ

= (

ಬಿ

ಎ

) + (

ಸಿ

ಎ

) + (

ಸಿ

ಬಿ

) > 6,

ಎ

ಬಿ

ಎ

ಸಿ

ಬಿ

ಸಿ

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac (a + c – 2b) =

= ಎಬಿಸಿ (

ಎ

ಬಿ

– 2 +

ಬಿ

ಸಿ

– 2 +

ಎ

ಸಿ

– 2 ) =

ಸಿ

ಎ

ಬಿ

= ಎಬಿಸಿ ((

ಎ

ಬಿ

– 2) + (

ಎ

ಸಿ

– 2) + (

ಬಿ

ಸಿ

– 2) ) > 0,

ಬಿ

ಎ

ಸಿ

ಎ

ಸಿ

ಬಿ

ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. a + b = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ a 8 + b 8 > 1 / 128 ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

a + b = 1 ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ

a 2 – 2ab + b 2 > 0.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2a 2 + 2b 2 > 1, ಅಥವಾ 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 - 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

8a 4 + 8b 4 > 1, ಎಲ್ಲಿಂದ 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

128a 8 + 128 b 8 > 1 ಅಥವಾ a 8 + b 8 > 1/128.

4. ಇನ್ನೇನು ಇ ಇ · π πಅಥವಾ ಇ 2π?

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f(x) = x – π ln x . ಏಕೆಂದರೆ ದಿ f'(x) = 1 - π/x , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಕ್ಕೆ X = π f'(x) 0 , ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - f'(x) > 0, ಅದು f(x)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X = π . ಹೀಗೆ f(е) > f(π), ಅದು

ಇ - π ಎಲ್ಎನ್ ಇ = ಇ – π > π – π ln π

ಅಥವಾ

ಇ + π ln π > 2π .

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇ ಇ + π ln π > ಇ 2π,

ಅವಳು· ಇ π ln π > ಇ 2 π ,

ಇ ಇ · π π > ಇ 2π.

5. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಲಾಗ್(n+1) >	ಲಾಗ್ 1 + ಲಾಗ್ 2 + . . . + ಲಾಗ್ ಎನ್	.
	ಎನ್

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

(n + 1) n > n!,

ಅಲ್ಲಿ n! = 1 · 2 · 3 · . . . · ಎನ್ (ಎನ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್). ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n,

ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನೇರವಾಗಿ (n + 1) n > n!.

6. 2013 2015 · 2015 2013 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗೆ

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n - 1	.
1!		2!		3!		ಎನ್!		ಎನ್

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		ಎನ್!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 · 2 · 3 · . . . ಎನ್

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(ಎನ್ - 1) ಎನ್

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n - 1		ಎನ್		ಎನ್

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

8. a 1 2, a 2 2, a 3 2, . . . , ಮತ್ತು n 2 ವಿವಿಧ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	a 1 2			a 2 2			a 3 2			a n 2		2

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು m ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	a 1 2			a 2 2			a 3 2			a n 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			ಮೀ 2

ಏಕೆಂದರೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (ಮೀ - 1) 2 · (ಮೀ + 1)

m+1

2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . ಮೀ 2

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . . . + a 1 a 2 . . . ಒಂದು ಎನ್.

ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (a 1 + . . + a n) 2 ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂರನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ (a 1 + . . + a n) 3, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . + 1 / 2 n = 2 - 1 / 2 n

ವಿಧಾನ 2.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

(1 + ಎ 1) . . . (1 + a n)

n = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 1 + a 1 1 .

n = k ಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ:(1 + ಎ 1) . . . (1 + ಎಕೆ) 1 + . . +ಎ ಕೆ).

n = k +1 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:(1 + ಎ 1) . . . (1 + ಎ ಕೆ)(1 + ಎ ಕೆ +1)

(1 + 2(a 1 + .. + a k ) )(1 + ಎಕೆ +1 ) ≤ 1 + 2(ಎ 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) =

1 + 2(a 1 + . . + a k + a k +1 ).

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಮೂಲಕ, ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

10. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

(1 + α) n ≥ 1 + nα,

ಇಲ್ಲಿ α > -1, n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

n = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ನಿಜವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1 + α ≥ 1 + α.

ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ:

(1 + α) n ≥ 1 + nα.

ನಂತರ ಅದು ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ ಮತ್ತು

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, α > –1 α + 1 > 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ

(1 + α) n ≥ 1 + nα

(a + 1) ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)

ಅಥವಾ

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

nα 2 ≥ 0 ರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಅಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತು

3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2.

3. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ X 12 – X 9 + X 4 – X x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ + 1 ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4. 0 ಇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು

(ಇ+ x) ಇ– x > ( ಇ- X) ಇ+ x

5. a, b, c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

a+b

ಬಿ+ಸಿ

a+c

≤

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು "ಹೆಚ್ಚು" ಮತ್ತು "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಹಿಂದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗಿತ್ತು.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತರಗತಿಯ ತಯಾರಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅದನ್ನು ವಿವಿಧ ಹಂತದ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

1) ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಂತರದ ಹೋಲಿಕೆ;
2) ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡೂ ಮಾರ್ಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ದಾಖಲೆಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು "=" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಪಳಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ), ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದನ್ನು ಕುರಿತು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅದು ನಿಜವೋ ಇಲ್ಲವೋ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾಯಾಮದ ಪರಿಹಾರದ ವಿನ್ಯಾಸವು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a2 + b2 + 2 2 (a + b) .

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡೋಣ 2 (a + b) ಅನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು:

ಅಸಮಾನತೆಗಳು: a2 + b2 + 2 - 2 (a + b) 0;

a2 + b2 + 2 - 2 (a + b) =a2 + b2 + 2 2a - 2b 0;

A2 + b2 + 2 - 2a - 2b == (a2 - 2a + 1) +

= (a2 - 2a + 1) ++ (b2 - 2b + 1) 0;

+ (b2 - 2b + 1) =(a - 1)2 + (b - 1)2 0 -

= (a - 1)2 + (b - 1)2 .ಸರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ,

(a - 1)2 + (b - 1)2 0, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆ ಕೂಡ ನಿಜ:

ಆದ್ದರಿಂದ, a2 + b2 + 2 2 (a + b) .

ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ:

a2 + b2 + 2 2 (a + b) .

"ಕಡ್ಡಾಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಷಯ" ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಲಿಕೆಯ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಇತರ ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಾರದು.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p ಮತ್ತು q: p4 + q4 p3q + pq3 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ

p4 + q4 - (p3q + pq3).

p4 + q4 - p3q - pq3 = p3 (p - q) + a3 (q - p) =

= (p - q) (p3 - q3) = (p - q)2 (p2 + pq + q2).

p 0, q 0 ರಿಂದ, ನಂತರ pq 0, p2 + pq + q2 0, ಜೊತೆಗೆ, (p - q)2 0.

ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, p 0, q 0 p4 + q4 p3q + pq3 ಗಾಗಿ.

a b 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a2 + a b2 + b ಎಂದು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ,

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a b ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ a2 b2. ತದನಂತರ, ಅಸಮಾನತೆ a2 b2 ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ a b ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

3. ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅವನು ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನಡೆದರೆ ಅಥವಾ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಅವನು ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಿಮೀ/ಗಂ ಕಡಿಮೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹತ್ತುವಿಕೆ ನಡೆದರೆ , ಮತ್ತು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದೂರ - ಪರ್ವತದಿಂದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಗಿಂತ 1 ಕಿಮೀ / ಗಂ ವೇಗದಲ್ಲಿ?

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು x ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವಾಸಿಗರ ವೇಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ದೂರವನ್ನು 1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ

1 ಮತ್ತು ___1___ + ___1___

x 2(x-1) 2(x+1).

ಅವರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಆರೋಹಣ ಮತ್ತು ಅವರೋಹಣ ಹೊಂದಿರುವ ರಸ್ತೆಗಿಂತ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ. ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪುರಾವೆ. ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನಗಳಿವೆಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಅಸಮಾನತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಿ a - ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

1). ತಿಳಿದಿರುವ ಅಥವಾ ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಇದು ತಿಳಿದಿದೆ ( ಎ– 1 )² 0 .

2). ಅಸಮಾನತೆಯ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು .

ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನತೆ ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆa = 1 .

3). ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ.

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ:

ಎ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎ 2 + 1 < 2 ಎ, ಅಂದರೆ

ಎ 2 + 1 – 2 ಎ < 0 , ಅಥವಾ ( ಎ– 1 ) 2 < 0, ಯಾವುದು ನಿಜವಲ್ಲ. (ಏಕೆ?) .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ

ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ.

4). ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಧಾನ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತಅವನು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ\/ ಅಥವಾ /\ ,

ಆ. ನಮಗೆ ಯಾವ ದಾರಿ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗಈ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕು

ನ್ಯಾಯಯುತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು.

ಅದೇ ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ.

ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದುಎ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎ 2 + 1 \/ 2 ಎ, ಅಂದರೆ

ಎ 2 + 1 – 2 ಎ \/ 0 , ಅಥವಾ ( ಎ– 1) 2 \/ 0 , ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಗೆ ತಿರುಗಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ

ಸರಿಯಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು \/ ಸಹಿ ಮಾಡಿ (ಹೇಗೆ?). ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದು

ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಪಳಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸರಿಯಾದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು
ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಒಂದೇ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ , ಈ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ ಒಂದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು(ಸೆಂ.). ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಇರಬಹುದು ಬೀಜಗಣಿತ(ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದಗಳು ಮಾತ್ರ) ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಥವಾತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ) ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ,ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ( X – 3)( X – 5) < 2( X – 3). ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (X – 3), ಈ ದ್ವಿಪದದ ಚಿಹ್ನೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ (ಇದು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ X ) ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು:

(X – 3)( X – 5) – 2( X – 3) < 0 ,

ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ:

(X – 3)( X – 5 – 2) < 0 ,

ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ( X – 3)( X – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что X= 3 ಮತ್ತು X = 7 - ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬೇರುಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು:

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ I(X < 3 ) ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರ ಕೆಲಸ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ; ವಿಮಧ್ಯಂತರ II (3 < X< 7 ) ಮೊದಲ ಗುಣಕ(X– 3 ) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ( X - 7) ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಕೆಲಸ ಋಣಾತ್ಮಕ; ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿIII(X> 7) ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಕೆಲಸ ಕೂಡ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ. ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕ. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರIIಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರ: 3 < X< 7. ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ- ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ. ಎಂದು ಅರ್ಥX 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

(X – 1)(X – 2)(X – 3) … (X –100) > 0 .

ಪರಿಹಾರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದ ಬೇರುಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ: 1, 2, 3, ..., 100.

ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು 101 ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಹ(ಸಮಾನ 100), ನಂತರ

ನಲ್ಲಿ X < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ. ರೂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋದಾಗ ಬದಲಾವಣೆ ಇರುತ್ತದೆ

ಕೆಲಸದ ಚಿಹ್ನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮುಂದಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಒಳಗೆ

ಯಾವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗಿರುತ್ತದೆ (2, 3), ನಂತರ (4, 5),

ನಂತರ (6, 7), ... , (98, 99) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, X >100.

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

X < 1, 2 < X < 3, 4 < X < 5 ,…, X >100.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆಎಡಕ್ಕೆ ಸದಸ್ಯರು (ಅಥವಾಬಲಭಾಗ) ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣ.ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ.

ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ, ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ:X < 4 ; а второго: X > 6.

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

(ಯಾಕೆ?)

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆ, ಮೊದಲಿನಂತೆ, ನೀಡುತ್ತದೆ:X < 4; но решение

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆ:X > 1.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ: 1< X < 4.

ಕಾಂಗರೂ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನ ಸಂಯೋಜಕರ ಸೆಮಿನಾರ್‌ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಯಾಸಿನ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಿದರು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನೇಕವೇಳೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2001 ರ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ ಇದು: $\frac(a)(\sqrt(a^2+8bc))+\frac(b )( \sqrt(b^2+8ac))+\frac(c)(\sqrt(c^2+8ab))\geq 1$ (ಧನಾತ್ಮಕ a,b,c ಗೆ).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು: ಕೌಚಿ, ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ, ಜೆನ್ಸನ್, ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿವಿಧ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (ಮೇಲಿನ ಒಂದು ರೀತಿಯ) ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೀವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a ಜೊತೆಗೆ b, b ಅನ್ನು c ಮತ್ತು c ಅನ್ನು a ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು), ಅವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮರುಜೋಡಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ fಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
f(x,y,z)= f(x,z,y)= f(y ,x ,z )= f(y ,z ,x )= f(z,x,y)= f(z,y,x)

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
f(x,y,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ವಿಧಾನವು ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು D ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 0.

2. ಮೂಲ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ a, b, c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೀಯ D ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಇದು:
p = a+b+c - ಮೊತ್ತ;
q = ab+bc+ac - ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ;
ಆರ್ = ಎಬಿಸಿ - ಉತ್ಪನ್ನ.

ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

3. ಬಹುಪದೀಯ D ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, a, b, c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು: $a\geq b\geq c$

4. ನಾವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x = a-b, y = b-c.

5. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, p, q ಮತ್ತು r ಅನ್ನು c ಮತ್ತು x, y ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
b = y+c
a = (x+y)+c

ನಂತರ
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3

x ಮತ್ತು y ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

6. ಈಗ ನಾವು x ಮತ್ತು y ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ D ಅನ್ನು c ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತು:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

ಪುರಾವೆ
ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಅ, ಬಿ, ಸಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$

ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$p^2 - 3q\geq 0$

ಬಹುಪದವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, $a\geq b\geq c$ ಮತ್ತು $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು.

p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c +9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y

ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$

ಈಗ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ x, y ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸರಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2(1999 ರ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಿಂದ)
$7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, a+b+c = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಪುರಾವೆ
ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅಸಮಾನತೆಯ ಭಾಗಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ a+b+c ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಒಂದು ಘನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$

ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು a, b, c ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$

ಮೂಲಭೂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$

ಎಡಭಾಗವನ್ನು x, y ಮತ್ತು c ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, c ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9( (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+ 9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3 ) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+ y) y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 - 54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3

ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ. ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅವನು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಯಾರಾದರೂ ಅವನನ್ನು ವಿಚಲಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವನು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಎಸೆದು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಅಂತಿಮ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

c 3 ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0

ಪದಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc= -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 ) ಸಿ - ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+ 4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೂಡ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a=b=c ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಚೆಸ್ಲಾವ್ ಆಂಡ್ರೆವಿಚ್ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಬಹುಶಃ ಇದು ಹಲವಾರು ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.