ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ
ಯೋಜನೆ
1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.
2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂಕೇತ.
3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.
ಎ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ + ದ್ವಿ = ಎಂ ( ಎ ; ಬಿ ) (ಚಿತ್ರ 1).
ಚಿತ್ರ 1
ಬಿ) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯ (ಚಿತ್ರ 2).
ಚಿತ್ರ 2
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (ಚಿತ್ರ 3).
ಚಿತ್ರ 3
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂಕೇತ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆz = ಎ + ದ್ವಿ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ( ಎ ; ಬಿ ) (ಚಿತ್ರ 4).
ಚಿತ್ರ 4
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ . ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ , ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆz , ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾಆರ್ .
ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆz ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಆರ್ = | z | ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ . ನೈಜ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣ , ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಎ ಆರ್ಜಿ z ಅಥವಾφ .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದz = 0 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದz≠ 0 - ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅವಧಿಯೊಳಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): ಆರ್ಗ್ z = arg z + 2πk , ಎಲ್ಲಿarg z - ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ(-π; π] , ಅದು-π < arg z ≤ π (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ .
ಯಾವಾಗ ಈ ಸೂತ್ರಆರ್ =1 ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
(cos φ + i sin φ) ಎನ್ = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
ಉದಾಹರಣೆ 11: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ(1 + i ) 100 .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ1 + i ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , ಪಾಪ φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (ಕಾಸ್ + ನಾನು ಪಾಪ )] 100 = ( ) 100 (ಕಾಸ್ 100 + ನಾನು ಪಾಪ ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗಎ + ದ್ವಿ ನಮಗೆ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:
ಒಂದು ವೇಳೆಬಿ
>o
, ಅದು 
;
3.1. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ . ಪಾಯಿಂಟ್ O ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಂಬ, ಮತ್ತು ಧ್ರುವದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣ (ನಮಗೆ ಇದು ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ ಎತ್ತು) - ಧ್ರುವ ಅಕ್ಷ.ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಜ್ಯ (ಅಥವಾ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನ φ.ಕೋನ φ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಧ್ರುವ ಕೋನ; ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (r; φ). ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಆರ್ = 0,ಮತ್ತು φ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಆರ್ > 0,ಮತ್ತು φ ಅನ್ನು 2π ನ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದದವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (r; φ) ಮತ್ತು (r 1 ; φ 1) ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ .
ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ xOyಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅದರ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
3.2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ xOy.
ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z=(a, b) ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( x, y), ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ x = a, ಅಂದರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ y = ದ್ವಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮತಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = (a, b)ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ M(x, y).
ವ್ಯಾಯಾಮ.ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:
3.3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ
ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ M(x;y). ಇದರಲ್ಲಿ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು 
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ.
ಸಂಖ್ಯೆ r ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟಕ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ zಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಫಾರ್ 
.
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ z = 0, ಅಂದರೆ. a = b = 0.
φ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ z ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ z ಅನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಧ್ರುವ ಕೋನದಂತೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 2π ನ ಗುಣಾಕಾರದ ಪದದವರೆಗೆ.
ನಂತರ ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ: , ಅಲ್ಲಿ φ ವಾದದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
.
ವಿಷಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಸಹಾಯಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ φ* ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. 1) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
2) φ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ: 
;
3) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ: 
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
.
ಇಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಕು:
ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
1) 
;
2) ; φ - 4 ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳಲ್ಲಿ:
3.4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು
· ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
· ಗುಣಾಕಾರ- ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ;
2.3 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ
ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ.
ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಾವು φ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ (ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ φ ಕೋನವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ).
ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು r ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ . ನಾವು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ
ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ r ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು φ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು Arg z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ - (ಯೂಲರ್‌ನ ಸೂತ್ರ) - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: φ0 ಎಂಬುದು z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:
(3)
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ವಾದದ φ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು arg z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
Arg z ಮತ್ತು arg z ವಾದಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ
, (4)
ಫಾರ್ಮುಲಾ (5) ಸಿಸ್ಟಮ್ (3) ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (5) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣದ (5) ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲ.
ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
. (7)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವಾಗ, ಮೊಯಿವ್ರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
, (9)
ಅಲ್ಲಿ k=0, 1, 2, …, n-1.
ಸಮಸ್ಯೆ 54. ಅಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: .
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.
ನಂತರ, 
. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಂತರ 
ಮತ್ತು 
, ಎಲ್ಲಿ.
ಉತ್ತರ: , ನಲ್ಲಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 55. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:
ಎ) ; ಬಿ) ; ವಿ) ; ಜಿ) ; ಡಿ) ; ಇ) 
; ಮತ್ತು) .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ:
a) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ: .
,
ಅದಕ್ಕೇ 
b) 
, ಎಲ್ಲಿ,
ಜಿ) 
, ಎಲ್ಲಿ,
ಇ) 
.
ಮತ್ತು) 
, ಎ 
, ಆ.
ಅದಕ್ಕೇ 
ಉತ್ತರ: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
ಸಮಸ್ಯೆ 56. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.
ಅವಕಾಶ, 
.
ನಂತರ, 
, .
ರಿಂದ ಮತ್ತು 
, ನಂತರ , ಮತ್ತು
ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ
ಉತ್ತರ: 
, ಎಲ್ಲಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 57. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ: .
ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ ಮತ್ತು 
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ.
1), ಎಲ್ಲಿ 
ನಂತರ
ಮುಖ್ಯ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
2) , ಅಲ್ಲಿ ನಂತರ 
ನಂತರ 
3) ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
k=0, 1, 2 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಮೂಲದ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ವೇಳೆ, ನಂತರ 
ವೇಳೆ, ನಂತರ 
ವೇಳೆ, ನಂತರ 
.
ಉತ್ತರ::
:
: .
ಸಮಸ್ಯೆ 58. , , , ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು 
. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
a) ಸಂಖ್ಯೆ 
ನಿಜವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ;
ಬಿ) ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
ಎ) ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
ಏಕೆಂದರೆ .
ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ. ನಂತರ 
.
ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .
ಜೊತೆಗೆ,
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಾನತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 59. ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ 
.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 
. ಫಾರ್ 
ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಇದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: 
.
Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ: ,
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
.
ಉತ್ತರ: 
.
ಸಮಸ್ಯೆ 60. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ,
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಈ ಮೊತ್ತವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ 
ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ 
.
ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , , .
ಸಮಸ್ಯೆ 61. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಎ) 
; ಬಿ)
ನ್ಯೂಟನ್ರ ಘಾತೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಮತ್ತು 
.
ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
,
, ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 62. ಎಲ್ಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಇದಕ್ಕಾಗಿ .
ಏಕೆಂದರೆ ದಿ 
, ನಂತರ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ
, 
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
,
ಆದ್ದರಿಂದ, 
, 
,
, 
.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ 2 ರ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚೌಕದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ (0;0) (ಚಿತ್ರ 30) ಇದೆ.
ಉತ್ತರ: , ,
, .
ಸಮಸ್ಯೆ 63. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
, .
ಷರತ್ತು ಪ್ರಕಾರ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
z ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಲು, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿರಬೇಕು.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ
, 
ಹೀಗಾಗಿ, 
,
ಅಂದರೆ 
,
ಉತ್ತರ: 
.
ಸಮಸ್ಯೆ 64. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣ.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ 62 ನೋಡಿ):
; 
; ; 
; 
.
ಸಮಸ್ಯೆ 65. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ: 
. (ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 2 ನೇ ಮಾರ್ಗ 45)
ಅವಕಾಶ 
.
ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ 
ಮೂಲ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಲಯಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ತೆರೆದ ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ ಮತ್ತು (ಚಿತ್ರ 31). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯೆ w0 ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆ 
, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ w0 ಗಿಂತ ಹಲವಾರು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ w0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು w1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಕೋನದಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ರಿಂಗ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 31), ಎರಡನೆಯದು ಅದೇ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ಮತ್ತು 2 (ಚಿತ್ರ 32) ನೊಂದಿಗೆ ವಲಯಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಪರಿವರ್ತನೆ 
ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಗಾತ್ರದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 22).
ಸಮತಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಧಾನವು ಬಹುಶಃ ವಿವರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸೊಗಸಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 66. ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ 
.
ಲೆಟ್, ನಂತರ ಮತ್ತು. ಆರಂಭಿಕ ಸಮಾನತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ 
. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇದರಿಂದ , . ಹೀಗಾಗಿ, .
z ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
, ಎಲ್ಲಿ ,. ಮೊಯಿವ್ರೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ತರ: - 64.
ಸಮಸ್ಯೆ 67. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ , ಮತ್ತು 
.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
. ಇಲ್ಲಿಂದ, . ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ .
ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ 
, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ
.
ಉತ್ತರ:, 
.
ಸಮಸ್ಯೆ 68. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ 
ಗೆ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ), ಅಂದರೆ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಶಾಲಾ ದಾಖಲಾತಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪಾಂಡಿತ್ಯದ ಪದವಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರಚನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಿ. ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆ. ರೋಗನಿರ್ಣಯ: ಹಂತ I. 10ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಸಂವಾದ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಆರಂಭದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯ ಕಳೆದ ನಂತರ ಸಂಭಾಷಣೆ ನಡೆಯಿತು ...
ಅನುರಣನ" (!)), ಇದು ಒಬ್ಬರ ಸ್ವಂತ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 4. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಒಬ್ಬರ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ (ಅನುಮಾನಗಳು). 5. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕಾನೂನು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ಶಿಫಾರಸುಗಳ ಬಳಕೆ (ವಕೀಲರು ಮಾನಸಿಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ವೃತ್ತಿಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಂಶಗಳು - ವೃತ್ತಿಪರ ಮಾನಸಿಕ ಸನ್ನದ್ಧತೆ).ನಾವೀಗ ಕಾನೂನು ಸತ್ಯಗಳ ಮಾನಸಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ...
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯದ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು. ಕೆಲಸದ ಹಂತಗಳು: 1. ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಐಚ್ಛಿಕ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ: ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ "ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್". 2. ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಚುನಾಯಿತ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸುವುದು. 3. ರೋಗನಿರ್ಣಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವುದು...
ಅರಿವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಮಾತ್ರ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಮಾನವಿಕತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದವುಗಳನ್ನು ಕಲಿಸುವಲ್ಲಿನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ, ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಲ್ಲ, ಅದು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ...
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು XI
§ 256. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ a + bi ವೆಕ್ಟರ್ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಒ.ಎ.> ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( a, b ) (ಚಿತ್ರ 332 ನೋಡಿ).
ನಾವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಆರ್ , ಮತ್ತು ಕೋನವು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ X , ಮೂಲಕ φ . ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:
ಎ / ಆರ್ = cos φ , ಬಿ / ಆರ್ = ಪಾಪ φ .
ಅದಕ್ಕೇ ಎ = ಆರ್ cos φ , ಬಿ = ಆರ್ ಪಾಪ φ . ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a + bi ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
a + bi = ಆರ್ cos φ + ir ಪಾಪ φ = ಆರ್ (ಕಾಸ್ φ + i ಪಾಪ φ ).
ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ ಆರ್ 2 = ಎ 2 + ಬಿ 2, ಎಲ್ಲಿಂದ ಆರ್ = √a 2 + ಬಿ 2
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a + bi ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು :
a + bi = ಆರ್ (ಕಾಸ್ φ + i ಪಾಪ φ ), (1)
ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ = √a 2 + ಬಿ 2 ಮತ್ತು ಕೋನ φ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ.
ಸಂಖ್ಯೆ ಆರ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟಕ, ಮತ್ತು ಕೋನ φ - ವಾದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a + bi .
ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ a + bi ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆಗ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ a + bi = 0, ನಂತರ a = b = 0 ಮತ್ತು ನಂತರ ಆರ್ = 0.
ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ a + bi ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (2) ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಕೋನಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿದೆ π . ಒಂದು ವೇಳೆ a + bi = 0, ನಂತರ a = b = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ = 0. ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಇದು ವಾದದಂತೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ φ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕೋನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ φ
0 (ಕೋಸ್ φ + i ಪಾಪ φ ) = 0.
ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯ ವಾದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆರ್ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ | z |, ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆರ್ಗ್ z . ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ. 1. 1 + i .
ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಆರ್ ಮತ್ತು ವಾದ φ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಆರ್ = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಪ φ = 1 / √ 2, ಕಾಸ್ φ = 1 / √ 2, ಎಲ್ಲಿಂದ φ = π / 4 + 2ಎನ್π .
ಹೀಗಾಗಿ,
1 + i = √ 2 ,
ಎಲ್ಲಿ ಪ - ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ, 0 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. π . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು π / 4. ಅದಕ್ಕೇ
1 + i = √ 2 (ಕೋಸ್ π / 4 + i ಪಾಪ π / 4)
ಉದಾಹರಣೆ 2.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ √ 3 - i . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಆರ್ = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, ಪಾಪ φ = - 1 / 2
ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಕೋನದವರೆಗೆ π , φ = 11 / 6 π ; ಆದ್ದರಿಂದ,
√ 3 - i = 2(ಕಾಸ್ 11/6 π + i ಪಾಪ 11/6 π ).
ಉದಾಹರಣೆ 3ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ i.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ i ವೆಕ್ಟರ್ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಒ.ಎ.> , ಅಕ್ಷದ A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ 1 ರೊಂದಿಗೆ (ಚಿತ್ರ 333). ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು 1 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ π / 2. ಅದಕ್ಕೇ
i = cos π / 2 + i ಪಾಪ π / 2 .
ಉದಾಹರಣೆ 4.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಒ.ಎ. > X abscissa 3 (ಚಿತ್ರ 334).
ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು 3 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನವು 0 ಆಗಿದೆ.
3 = 3 (ಕಾಸ್ 0 + i ಪಾಪ 0),
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ -5 ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ -5 ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಒ.ಎ.> ಅಕ್ಷ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ X abscissa -5 ಜೊತೆ (ಚಿತ್ರ 335). ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು 5 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ π . ಅದಕ್ಕೇ
5 = 5(ಕಾಸ್ π + i ಪಾಪ π ).
ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು
2047. ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಅದರ ಮಾಡುಲಿ ಆರ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು φ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:
1) ಆರ್ = 1, φ = π / 4 ; 4) ಆರ್ < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) ಆರ್ =2; 5) 2 < ಆರ್ <3; 8) 0 < φ < я;
3) ಆರ್ < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ಆರ್ < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಬಹುದೇ? ಆರ್ ಮತ್ತು - ಆರ್ ?
2050. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳಾಗಿರಬಹುದೇ? φ ಮತ್ತು - φ ?
ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ:
2051*. 1 + ಕಾಸ್ α + i ಪಾಪ α . 2054*. 2(ಕಾಸ್ 20° - i ಪಾಪ 20°).
2052*. ಪಾಪ φ + i cos φ . 2055*. 3(- ಕಾಸ್ 15° - i ಪಾಪ 15°).