ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಜ್ಞಾನದ ಹೈಪರ್ಮಾರ್ಕೆಟ್

x + b ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳು x ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ

, ≥), p - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a=0 - ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ

, ≥), ಇದರಿಂದ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೊದಲು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇತರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ a x+b ಅನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ<0 (≤, >, ≥). ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಗುಣಾಂಕ a ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಧಾನಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮೂರು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 ಗೆ.

  • ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆ a x ಗೆ ರವಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ<−b (≤, >, ≥).
  • ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ a. ಇದಲ್ಲದೆ, a ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘೋಷಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. a≠0 ಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 3·x+12≤0.

ಪರಿಹಾರ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ನಾವು a=3 ಮತ್ತು b=12 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕ a ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು 12 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, −12 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆ 3·x≤−12 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಾವು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 3 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (3 x):3≤(−12):3, ಇದು x≤−4 ರಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಸಮಾನತೆ x≤−4 ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರವು 3 x + 12≤0 ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆ x≤−4 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ (-∞, -4] .

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅವರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ - ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಪಡೆದ ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4

ಉತ್ತರ:

x≤−4 ಅಥವಾ (-∞, -4] .

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ −2.7·z>0.

ಪರಿಹಾರ.

ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ a ವೇರಿಯೇಬಲ್ z ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ -2.7. ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ b ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −2.7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ -2.7 ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , ಮತ್ತು ನಂತರ z<0 .

ಮತ್ತು ಈಗ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:
−2.7·z>0 ;
z<0 .

ಉತ್ತರ:

z<0 или (−∞, 0) .

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುಣಾಂಕ a ನೊಂದಿಗೆ -5 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ x ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ b ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಭಾಗ -15/22 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು −15/22 ಅನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ -5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಬಳಸುತ್ತದೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು .

ಉತ್ತರ:

ಈಗ a=0 ಆಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವ a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

ಇದು ಏನು ಆಧರಿಸಿದೆ? ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ. ಹೇಗೆ? ಹೌದು, ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ: ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೂ, ನಾವು ರೂಪ b ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

ಮೇಲಿನ ವಾದಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

  • ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ b<0 (≤, >, ≥) ಮತ್ತು
    • ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ;
    • ಅದು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 0·x+7>0.

ಪರಿಹಾರ.

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 0 x+7>0 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆ 7>0 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ (-∞, +∞) .

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 0·x−12.7≥0 ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಬದಲಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆ −12.7≥0 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 0·x−12.7≥0 ಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಇಲ್ಲ, ಅದು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು 0·x+0>0 ಮತ್ತು 0·x+0≥0 ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ.

ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಬದಲಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು 0>0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - 0≥0. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 0·x+0>0 ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ 0·x+0≥0 ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಅಸಮಾನತೆ 0 x+0>0 ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ 0 x+0≥0 ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಷಯಕ್ಕಿಂತ ನಂತರ ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸೋಣ.

ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

  • ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ y=a x+b,
  • ಅದರ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ,
  • ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿರ್ಣಯ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು a x+b<0 (≤, >, ≥) ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು a≠0 ಗಾಗಿ:

  • y=a·x+b ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ a·x+b=0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, a≠0 ಗೆ ಇದು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು x 0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
  • ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ x 0 ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ (ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ< или >), ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿರಾಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಖಾಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ (≤ ಅಥವಾ ≥ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ), ನಂತರ ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ (-∞, x 0) ಮತ್ತು (x 0, +∞).
  • ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ y=a·x+b ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (−∞, x 0), ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (-∞, x 0). ಅಂತೆಯೇ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯು (x 0 , +∞) ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ y=a·x+b ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು a: a>0 ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (-∞, x 0) ಮತ್ತು (x 0, +∞) ಇರುತ್ತದೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು - ಮತ್ತು +, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ >0, ನಂತರ + ಮತ್ತು -.
  • ಚಿಹ್ನೆಗಳು > ಅಥವಾ ≥ ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂತರದ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಚ್ ಅನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ −3·x+12>0.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಮೊದಲು ನಾವು −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 4 ರೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಂಕ್ಚರ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-∞, 4) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು y=−3·x+12 ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=3 ನಲ್ಲಿ. ನಾವು −3·3+12=3>0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ + ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (4, +∞) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು y=−3 x+12 ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x=5 ನಲ್ಲಿ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ −3·5+12=−3 ಇದೆ<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

ನಾವು > ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು + ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂತರದ ಮೇಲೆ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಫಲಿತಾಂಶದ ಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರವು (-∞, 4) ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ x ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ<4 .

ಉತ್ತರ:

(-∞, 4) ಅಥವಾ x<4 .

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಂದೇ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 ಮತ್ತು 0.5 x−1≥0 , ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು x<2 , x≤2 , x>2 ಮತ್ತು x≥2, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ y=0.5 x−1 ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಿರಿ.

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ

  • ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರ 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
  • ಅಸಮಾನತೆಯ 0.5 x−1≤0 ಪರಿಹಾರವು y=0.5 x−1 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ),
  • ಅದೇ ರೀತಿ, ಅಸಮಾನತೆ 0.5 x−1>0 ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (ಗ್ರಾಫ್ನ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ),
  • ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ 0.5·x−1≥0 ಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಅಥವಾ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಮೇಲೆ, ಕೆಳಗೆ, ಕೆಳಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಮೇಲಲ್ಲದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು y=a·x+b ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು y=0, ಇದು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀಡಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

  • y=a x+b ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ) ಮತ್ತು
    • ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
    • x+b≤0 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,
    • x+b>0 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,
    • ಅಸಮಾನತೆಯ a·x+b≥0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಅಥವಾ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕೆಚ್ ಮಾಡೋಣ . x ನ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವೂ ಬೇಕು, ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ , ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಓಯ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ

ನಾವು > ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಆಯ್ದ ಭಾಗವು ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ:

ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತರವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣವಾಗಿದೆ . ಇದು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಂಜ್ಞೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ > ಆದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ≥, ನಂತರ ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷ .y=0·x+7 ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು y=7 ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆ 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

ಮತ್ತು y=0·x+0 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಇದು y=0 ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆ 0·x+0≥0 ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನವಾದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಬಹುತೇಕ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಸರಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇವೆ ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದಗಳು, ಅಥವಾ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೋಲುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವ ಮೂಲಕ, ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ 5−2 x>0 ಅನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಕು, ನಾವು −2 x+5>0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆ 7·(x−1)+3≤4·x−2+x ಅನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ: ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ 7·x−7+3≤4· x−2+x , ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ 7 x−4≤5 x−2 , ನಂತರ ನಾವು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ 7 x−4−5 x+2 ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ≤0 , ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ 2 ·x−2≤0 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮೂರನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅವರ ಪರಿಹಾರದ ತತ್ವವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

  • ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ,
  • ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರಲು,
  • ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು x ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ). ಇದು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ 5 x + 15 + x ≤ 6 x - 18 + 1 . ಈಗ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: 6 x+15≤6 x−17 . ನಂತರ ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು 6 x+15−6 x+17≤0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುತ್ತೇವೆ (ಇದು ನಮ್ಮನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 0 x+32≤0) ಮತ್ತು ನಾವು 32≤ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 0. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ತಪ್ಪಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಬಹಳಷ್ಟು ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಹಾರ ಘಾತೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 5 2 x−1 ≥1 ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ 2 x−1≥0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ನಾವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

  • ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • ಬೀಜಗಣಿತ: 9 ನೇ ತರಗತಿ: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2009. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 11 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2009. - 215 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 9 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, P. V. ಸೆಮೆನೋವ್. - 13 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2011. - 222 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭ. ಗ್ರೇಡ್ 11. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ) / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, P. V. ಸೆಮೆನೋವ್. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 287 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01027-2.

ರೊಮಾನಿಶಿನಾ ದಿನಾ ಸೊಲೊಮೊನೊವ್ನಾ, ಖಬರೋವ್ಸ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂ ನಂ. 2 ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ

1. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು 3(2x+7)=4x-1 ಆಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1 2x+5=8x-1 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. x2+1=0 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು (x+3)(x-4) =0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x1= -3, x2=4.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x-8=2 ಮತ್ತು x+10=20 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ x=10 ಮೂಲವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀವು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ax=b ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

a¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

.

a=0, b=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

a=0, b¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 0x=b ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ x ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

16x-15x=88-40-12

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

x3-2x2-98x+18=0;

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು x1=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; x2=

. .

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು x1=2, x2=3, x3=-3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

c) 7x ಅನ್ನು 3x+4x ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, ಆದ್ದರಿಂದ x1=-3, x2=- 4.

ಉತ್ತರ: -3; - 4.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+1ç+½x-1ç=3.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ x-1 ಮತ್ತು x+1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. x -1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ x+1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ½x+1½=-x-1. ಮತ್ತು x>-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0 ನಲ್ಲಿ.

ಹೀಗಾಗಿ,

ಅಂತೆಯೇ

a) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ½x+1½+½x-1½=3 x £-1, ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ -x-1-x+1=3, -2x=3, x=

, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು x £ -1 ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಬಿ) ಅವಕಾಶ -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) x>1 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=

. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು x>1 ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x1=-1.5; x2=1.5.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ" ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

ಉತ್ತರ: [-2; 0]

ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ a.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ x ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು a ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=-2 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ.

a¹1, a¹-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

.

ಉತ್ತರ: a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, x ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ;

a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ;

a¹±1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ

.

2. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಇವೆರಡೂ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ,

ಉತ್ತರ: (2; 3).

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. 8x=16, x=2. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು 10-y=9, y=1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: (2; 1).

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 2x+y=5, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x; 5-2x) ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ: (x; 5-2x), x - ಯಾವುದಾದರೂ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ, ನಾವು 0×x+0×y=-6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು x = y + 2a + 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. ಯಾವಾಗ a=-2, ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ a¹-2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

ಉತ್ತರ: a=-2 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,

a¹-2 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನಮಗೆ ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ತರುವ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು –2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

2х-2у-2z=-12

3х-3у-3z=-18

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y-z=-1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 4z=-12, z=3. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x+y+z=6

z=3, ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: (1; 2; 3).

3. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 32 ಕೆಜಿ ತೂಕದ ತವರ ಮತ್ತು ತಾಮ್ರದ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 55% ತವರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 60% ತವರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಲು ಮಿಶ್ರಲೋಹಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಶುದ್ಧ ತವರವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ. ಮೂಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ತವರದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ x ಕೆಜಿ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ (32+x) ಕೆಜಿ ತೂಕದ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 60% ತವರ ಮತ್ತು 40% ತಾಮ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 55% ತವರ ಮತ್ತು 45% ತಾಮ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರಲ್ಲಿ 32·0.45 ಕೆಜಿ ತಾಮ್ರವಿತ್ತು. ಮೂಲ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳಲ್ಲಿನ ತಾಮ್ರದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು 0.45·32=0.4(32+x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು x=4 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಮಿಶ್ರಲೋಹಕ್ಕೆ 4 ಕೆಜಿ ತವರವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಹತ್ತಾರು ಅಂಕೆಯು ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆಗಿಂತ 2 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅಂಶವು 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು 6 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ. ಘಟಕಗಳ ಅಂಕಿ x ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಹತ್ತಾರು ಅಂಕೆ x-2 (x>2), ಉದ್ದೇಶಿತ ಸಂಖ್ಯೆ 10(x-2)+x=11x-20. x-2+x=2x-2 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ. ಆದ್ದರಿಂದ, 11x-20 ಅನ್ನು 2x-2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 4 ಅನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಮತ್ತು 6 ಅನ್ನು ಶೇಷವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: 11x-20=4(2x-2)+6, ಏಕೆಂದರೆ ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಭಾಜಕ ಸಮಯಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x=6 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 46 ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

Xಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ X. ನಂತರ ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆ f(X) > ಜಿ(X) ಅಥವಾ f(X) < ಜಿ(X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ . ಒಂದು ಗೊಂಚಲು Xಎಂದು ಕರೆದರು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ Xಅನೇಕರಿಂದ X, ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಧಾರ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.


ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರವು ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ.


ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


ಪ್ರಮೇಯ 1.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(X) > ಜಿ(X) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X) ಒಂದೇ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(X) > ಜಿ(X) ಮತ್ತು f(X) + ಗಂ(X) > ಜಿ(X)+h(X) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.


ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:


1) ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ f(X) > ಜಿ(X) ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಡಿ, ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(X) + ಡಿ > ಜಿ(X)+d, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


2) ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು (ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ) ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೆ, ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.


ಪ್ರಮೇಯ 2.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(X) > ಜಿ(X) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X Xಅನೇಕರಿಂದ Xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಗಂ(X) ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(X) > ಜಿ(X) ಮತ್ತು f(X) × ಗಂ(X) > ಜಿ(X) × ಗಂ(X) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.


ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು f(X) > ಜಿ(X) ಅದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಡಿ, ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(X) × ಡಿ > ಜಿ(X) × ಡಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


ಪ್ರಮೇಯ 3.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(X) > ಜಿ(X) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X) - ಒಂದೇ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ Xಅನೇಕರಿಂದ Xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಗಂ(X) ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(X) > ಜಿ(X) ಮತ್ತು f(X) × ಗಂ(X) < ಜಿ(X) × ಗಂ(X) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.


ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಪರಿಣಾಮ: ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿದ್ದರೆ f(X) > ಜಿ(X) ಅದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಡಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(X) × ಡಿ < ಜಿ(X) × ಡಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


ಕಾರ್ಯ.ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ X= 5 ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ 2 X+ 7 > 10 - x, xಓ ಆರ್? ಈ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.


ಪರಿಹಾರ.ಸಂಖ್ಯೆ X= 5 ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ
2X + 7 > 10 - X, ಏಕೆಂದರೆ 2×5 + 7 > 10 - 5 ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (1; ¥), ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ 2 X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.


ಕಾರ್ಯ.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 5 X- 5 < 2X+ 16 ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.


ಪರಿಹಾರ.



















ರೂಪಾಂತರಗಳು



ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆ



1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಅನ್ನು ಸರಿಸೋಣ Xಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ -5 ಬಲಕ್ಕೆ, ಅವುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ: 5 X- 2X < 16 + 5.



ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 3 ರಿಂದ ಕೊರೊಲರಿ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.



2. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: 3 X < 21.



ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಅವರು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಿಲ್ಲ: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮತ್ತು ಮೂಲ.



3. ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: X < 7.



ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 4 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ax+b>cx+d ರೂಪದ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕೇವಲ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

1) ನಿಯಮಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

2) ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು (ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್) ಆಗಿರಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರ

Cx + d\]" title=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಈ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು:

1) ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ತಿಳಿದಿರುವವುಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

2) X ನ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ (a-c≠0), ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a-c ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

a-c>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ-ಸಿ<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

a-c=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಇದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ. ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ನಾವು X ನ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ರಿಂದ -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 10 ಅನ್ನು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಾಟ್‌ನಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. , ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ 10 ಅನ್ನು ಆವರಣದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ. ಅಜ್ಞಾತ - ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವ - ಇನ್ನೊಂದು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ:

ನಾವು X ನ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. 10> ರಿಂದ

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ನಾವು ತುಂಬಿದ ಡಾಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ -2.3 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. -2,3 ರಿಂದ ಛಾಯೆಯು ಬಲಕ್ಕೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮಬ್ಬಾಗಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ -2.3 ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ. ಅಪರಿಚಿತರು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ, ತಿಳಿದಿರುವವರು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ.

ನಾವು X ನ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. 3>0 ರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಶೀರ್ಷಿಕೆ=" QuickLaTeX.com ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ">!}

ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು x=2/3 ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ 2/3 ಅನ್ನು ಆವರಣದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

1. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

2. ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

3. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

4. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ

5. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

6. ಮುಖ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳು

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಕೊಡುಗೆಗಳು 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 ಅನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. f(x) ಮತ್ತು g(x) ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ X ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ f(x) > g(x) ಅಥವಾ f(x) ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆ< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ Xಅನೇಕರಿಂದ X,ಇದರಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ನಿರ್ಧಾರ.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ 2 X + 7 > 10 -x, x? ಆರ್ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ X= 5, ಏಕೆಂದರೆ 2 5 + 7 > 10 - 5 ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (1, ∞), ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.

ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರವು ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು 2 X+ 7 > 10 ಮತ್ತು 2 X> 3 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (2/3, ∞).

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(x) > g(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X) ಒಂದೇ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(x) > g(x) ಮತ್ತು f(x)+ h(x) > g(x) + h(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಬಂಧಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1) ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ f(x) > g(x)ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ d,ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(x) + d > g(x)+ d,ಮೂಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ) ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೆ, ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(x) > g(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X Xಅನೇಕರಿಂದ Xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ h(x)ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(x) > g(x) ಮತ್ತು f(x) h(x) > g(x) h(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

f(x) > g(x)ಅದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ d,ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(x) d > g(x) d,ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.ಅಸಮಾನತೆ ಬಿಡಿ f(x) > g(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಗಂ(X) - ಒಂದೇ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ Xಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇವೆ Xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಗಂ(X) ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(x) > g(x) ಮತ್ತು f(x) h(x) > g(x) h(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು f(x) > g(x)ಅದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಡಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(x) d > g(x) d,ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ 5 X - 5 < 2х - 16, X? ಆರ್, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (-∞, 7).

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1. ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ನಮೂದುಗಳು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

a) -12 - 7 X< 3X+ 8; ಡಿ) 12 x + 3(X- 2);

ಬಿ) 15( X+ 2)>4; ಇ) 17-12 · 8;

ಸಿ) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.

2. ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? ಆರ್? ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 4.25?

3. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

a) -17 X< -51 и X > 3;

ಬಿ) (3 X-1)/4 >0 ಮತ್ತು 3 X-1>0;

ಸಿ) 6-5 X>-4 ಮತ್ತು X<2?

4. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ನಿಜ:

a) -7 X < -28 => X>4;

b) X < 6 => X < 5;

ವಿ) X< 6 => X< 20?

5. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 ಮತ್ತು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

6. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

7. ಅಸಮಾನತೆ 3(2 - ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ X) - 2 > 5 - 3X.

8. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯು 5 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು 8 ಸೆಂ.

a) 22 cm ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ;

ಬಿ) 17 ಸೆಂ.ಮೀ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು?

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು f (x) > g (x)ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

y = f (x) = g (x)ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇರುವ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ y = f(x) y = ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲೆ ಇದೆ g(x)

ಉದಾಹರಣೆ 17.8.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ x 2- 4 > 3X.

Y - x* - 4

ಪರಿಹಾರ.ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ

y = x 2 - 4 ಮತ್ತು y = Zx (ಚಿತ್ರ 17.5). ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ= x 2- 4 y = 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲೆ ಇದೆ Xನಲ್ಲಿ X< -1 ಮತ್ತು x > 4, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ

(- ¥; -1) È (4; + ಓ) .

ಉತ್ತರ: x ಓ(- oo; -1) ಮತ್ತು ( 4; + oo).

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ನಲ್ಲಿ= ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಶಾಖೆಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ a > 0, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಎ< 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಹ್(ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಆಹ್ 2+ bx+ c = 0 ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ); ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ X(ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್+ ಸಿ = 0 ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ); ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಓಹ್(ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಆಹ್ 2+ bx+ c = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಆರು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿವೆ, ಇದು y = ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆಹ್ 2+b x + ಸಿ(ಚಿತ್ರ 17.6). ಈ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 17.9.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a) 2 x ಗ್ರಾಂ+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

ಪರಿಹಾರ, a) 2x 2 + 5x -3 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x, = -3, x 2 = 0.5 ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ= 2x 2+ 5x -3, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎ.ಅಸಮಾನತೆ 2x 2ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ + 5x -3 > 0 ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ X,ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ ಓ:ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ X< х х ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ X> x g>ಆ. ನಲ್ಲಿ X< -3 ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ x > 0.5 ಇದರರ್ಥ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ (- ¥; -3) ಮತ್ತು (0.5; + ¥).

ಬೌ) ಸಮೀಕರಣ -Зх 2 + 2x- 6 = 0 ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ= - 3x 2 - 2x - 6, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 17.6 ಅಸಮಾನತೆ -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X,ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಓಹ್.ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಓಹ್,ನಂತರ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ R ಆಗಿದೆ .

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

|f(x) | =

f(x), ವೇಳೆ f(x) ³ 0,

- f(x), ವೇಳೆ f(x) < 0,

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತಮ್ಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು), ನೀವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 17.10.ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

ಪರಿಹಾರ. ಬಿಂದುಗಳು x = 1 ಮತ್ತು x = 2 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು (ಅಸಮಾನತೆಯ ODZ (17.9) ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. x ವೇಳೆ< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; ಆದ್ದರಿಂದ |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. ಇದರರ್ಥ ಅಸಮಾನತೆ (17.9) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 1- x + 2 - x > 3 + x, ಅಂದರೆ. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

1 £ x £.2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x - 1 ³ 0 ಮತ್ತು 2 – x ³ 0; ಆದ್ದರಿಂದ | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 - x. ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿದೆ:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [1; 2] ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ (17.9) ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ.

x > 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x - 1 >0 ಮತ್ತು 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 ಅಥವಾ

ODZ ಅಸಮಾನತೆಯ (17.9) ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಸೆಟ್ (-¥; 0) È (6; +oo).

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ | ಒಂದು | ಮೂಲ O, a | ನಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಅಂತರ ಎಂದರ್ಥ a - b | ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಂದರ್ಥ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 17.5. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ವೇಳೆ f(x) ಮತ್ತು g(x)ಯಾವುದೇ x ಗಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f (x) > g (x)ಮತ್ತು f (x) ² > g (x) ²ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

58. ಮುಖ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳು § 12

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು:

ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ;

ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ;

ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ;

ವೇರಿಯಬಲ್(ಗಳ) ಜೊತೆಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ;

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ;

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು;

ಗುರುತು;

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ;

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ;

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆ;

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ;

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ;

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು;

ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳು;

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ;

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು;

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಏನು;

ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮರ್ಥ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.