ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಅಮ್ಮ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ತೊಳೆದಳು

ದೀರ್ಘ ಬೇಸಿಗೆ ರಜಾದಿನಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಲು ಮತ್ತು ಹೊಸ ವಿಭಾಗವನ್ನು ರಚಿಸುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಖಾಲಿ ವರ್ಡೋವ್ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ತೆರೆಯುವ ಸಮಯ - . ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಹಂತವು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಅದರ ನಂತರ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು 2 ಪಟ್ಟು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ! ನಾನು ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತಿಲ್ಲ. …ಮುಂದಿನ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1 ರ ಮುನ್ನಾದಿನದಂದು, ನನಗೆ ಮೊದಲ ದರ್ಜೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೈಮರ್ ನೆನಪಿದೆ…. ಅಕ್ಷರಗಳು ಉಚ್ಚಾರಾಂಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಉಚ್ಚಾರಾಂಶಗಳು ಪದಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಪದಗಳು ಸಣ್ಣ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ - ಮಾಮ್ ಫ್ರೇಮ್ ಅನ್ನು ತೊಳೆದರು. ಟರ್ವರ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಓದಲು ಕಲಿಯುವಷ್ಟು ಸುಲಭ! ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಜೊತೆಗೆ ಈ ಪಾಠದ ವಿಷಯವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ದಯವಿಟ್ಟು ಶಾಲೆಯ ವರ್ಷದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ (ಮುಂದುವರಿಕೆ, ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಗುರುತು) ನನ್ನ ಅಭಿನಂದನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಉಡುಗೊರೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

1) ಗ್ಮುರ್ಮನ್ ವಿ.ಇ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಹತ್ತಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಮರುಮುದ್ರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿದ ಪೌರಾಣಿಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಇದು ಅದರ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಈಗಾಗಲೇ 6-7 ನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ.

2) ಗ್ಮುರ್ಮನ್ ವಿ.ಇ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

ವಿವರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಎಫಿಮೊವಿಚ್ ಅವರ ಪರಿಹಾರ ಪುಸ್ತಕ.

ಅಗತ್ಯವಾಗಿಇಂಟರ್ನೆಟ್‌ನಿಂದ ಎರಡೂ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಕಾಗದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ! 60 ಮತ್ತು 70 ರ ದಶಕದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. "ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಎಂಬ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತಾರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ.

ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಅದೇ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ನನ್ನ ಕೋರ್ಸ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಎಚ್ಚರಿಸಬೇಕು ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸುವಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು (ಪ್ರಮೇಯಗಳು-ಪ್ರಮೇಯಗಳು!) ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸರಿ, ಯಾರು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನನ್ನನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ!

ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಕು =)

ನೀವು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಓದುವಾಗ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ) ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುಟದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಿದ್ಧ ಪರಿಹಾರಗಳುಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಿಡಿಎಫ್‌ಗಳನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಹತ್ವದ ನೆರವು ಕೂಡ ನೀಡಲಾಗುವುದು IDZ 18.1 ರೈಬುಷ್ಕೊ(ಸರಳ) ಮತ್ತು ಚುಡೆಸೆಂಕೊ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹದ ಪ್ರಕಾರ IDZ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ(ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ).

1) ಮೊತ್ತಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾಘಟನೆ ಅಥವಾಘಟನೆ ಅಥವಾಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಆ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾಘಟನೆ ಅಥವಾಘಟನೆ .

ನಿಯಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈವೆಂಟ್ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದುಘಟನೆಗಳಿಂದ , ಎ ಘಟನೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ – ನಂತರ ಒಂದು ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿಷಯಈ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಈವೆಂಟ್: ಅಥವಾಘಟನೆ, ಅಥವಾಘಟನೆ, ಅಥವಾಘಟನೆ, ಅಥವಾಘಟನೆ, ಅಥವಾಘಟನೆ .

ಸಾಕಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು (ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, 5 ಅಂಕಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ) ಅದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ 1, ಅಥವಾ 2, ಅಥವಾ 3, ಅಥವಾ 4, ಅಥವಾ 6 ಅಂಕಗಳು.

ಈವೆಂಟ್ (ಬಿಡುತ್ತದೆ ಇನ್ನಿಲ್ಲಎರಡು ಅಂಕಗಳು) ಅಂದರೆ 1 ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ 2ಅಂಕಗಳು.

ಈವೆಂಟ್ (ಬಿಂದುಗಳ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ) ಅದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ 2 ಅಥವಾ 4 ಅಥವಾ 6 ಅಂಕಗಳು.

ಈವೆಂಟ್ ಎಂದರೆ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಕೆಂಪು ಕಾರ್ಡ್ (ಹೃದಯ) ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾತಂಬೂರಿ), ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ - "ಚಿತ್ರ" ವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದು (ಜಾಕ್ ಅಥವಾಮಹಿಳೆ ಅಥವಾರಾಜ ಅಥವಾಏಸ್).

ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ:

ಈವೆಂಟ್ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಕ್ಲಬ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾಏಳು ಅಥವಾಏಳು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳು ಮೇಲೆ ನೀಡಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕನಿಷ್ಠ ಏನಾದರೂ- ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಕ್ಲಬ್ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಏಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ "ಛೇದಕ" - ಏಳು ಕ್ಲಬ್‌ಗಳು. ಈ ಘಟನೆಯು 12 ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ (9 ಕ್ಲಬ್ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು + 3 ಉಳಿದ ಸೆವೆನ್‌ಗಳು) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಈವೆಂಟ್ ನಾಳೆ 12.00 ಕ್ಕೆ ಬರಲಿದೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದಾದ ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

- ಅಥವಾ ಮಳೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ / ಗುಡುಗು ಮಾತ್ರ / ಸೂರ್ಯ ಮಾತ್ರ;
- ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಘಟನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ (ಮಳೆ + ಗುಡುಗು / ಮಳೆ + ಸೂರ್ಯ / ಗುಡುಗು + ಸೂರ್ಯ);
- ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಘಟನೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಅಂದರೆ, ಈವೆಂಟ್ 7 ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎರಡನೇ ಸ್ತಂಭ:

2) ಕೆಲಸಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಘಟನೆ, ಮತ್ತುಘಟನೆ . ಇದೇ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕೆಲಸವು ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತುಘಟನೆ, ಮತ್ತುಘಟನೆ, ಮತ್ತುಘಟನೆ,…, ಮತ್ತುಘಟನೆ .

ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳು:

- 1 ನೇ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ತಲೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ;
- 1 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗಳನ್ನು ಬೀಳಿಸುತ್ತದೆ;
- 2 ನೇ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ತಲೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ;
- 2 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗಳನ್ನು ಬೀಳಿಸುತ್ತದೆ.

ನಂತರ:
ಮತ್ತು 2 ರಂದು) ತಲೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ;
- ಈವೆಂಟ್ ಎರಡೂ ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ (1 ರಂದು ಮತ್ತು 2 ರಂದು) ಅದು ಮುಖ್ಯಸ್ಥರಾಗಿರುತ್ತದೆ;
- ಈವೆಂಟ್ ಎಂದರೆ 1 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ಬಾಲಗಳು;
- ಈವೆಂಟ್ ಎಂದರೆ 1 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಹದ್ದು ಇದೆ.

ಆ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 2 ತಲೆಗಳು ಮತ್ತು 2 ಬಾಲಗಳಾಗಿರಬಾರದು)ಮತ್ತು ರೂಪ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು (ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗಿನಿಂದ ಎಲ್ಲಾಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು). ಈ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳೋಣ: . ಈ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥೈಸುವುದು? ತುಂಬಾ ಸರಳ - ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ - ಅಥವಾ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅರ್ಥವಾಗುವ ಮಾನವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಓದುವುದು ಸುಲಭ: “ಎರಡು ತಲೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಅಥವಾಎರಡು ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ 1 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ 1 ನೇ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಹದ್ದು ಇದೆ"

ಇದು ಯಾವಾಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿತ್ತು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಮರುಪರೀಕ್ಷೆ , ಯಾವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ ಡೈ ಅನ್ನು ಸತತವಾಗಿ 3 ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

- 1 ನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ನೀವು 4 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ;
- 2 ನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ನೀವು 5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ;
- 3 ನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ನೀವು 6 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ನಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಮೊದಲ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ನೀವು 4 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ನೀವು 5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು 3 ನೇ ರೋಲ್ನಲ್ಲಿ ನೀವು 6 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಘನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಫಲಿತಾಂಶಗಳು) ಇರುತ್ತದೆ.

... ಬಹುಶಃ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ವಿಷಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಾಣ್ಯ, ಕ್ಯೂಬ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್ ಜೊತೆಗೆ, ಬಹು-ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿತಾಭಸ್ಮಗಳು, ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಿರುವ ಹಲವಾರು ಅನಾಮಧೇಯ ಜನರು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ರುಬ್ಬುವ ದಣಿವರಿಯದ ಕೆಲಸಗಾರ ನಿಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ =)

ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ...ಒಂದು ಕೊಲೆಗಾರ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಷಯ, ಆದರೆ ನಾವು ಎಲ್ಲೋ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು =) ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

;
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ;
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ .

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದನ್ನು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ವಾದವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೀವು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ತೊಡಕಿನ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ಶೈಲಿಯ ಪರವಾಗಿ::

- ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್ ತಲೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ;
- ಡೈಸ್ ರೋಲ್ 5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ;
- ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಕ್ಲಬ್ ಸೂಟ್‌ನ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ "ಮಾತನಾಡುವ" ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳು/ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಾನು ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಅವು ಹೇಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ:

- ಎಲ್ಲಾ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ, ಪ್ರಾಥಮಿಕಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಯಾವ ರೂಪ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು;

- ಪ್ರಮಾಣ ಪ್ರಾಥಮಿಕಫಲಿತಾಂಶಗಳ, ಅನುಕೂಲಕರ ಘಟನೆ

ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳು ಬೀಳಬಹುದು - ಈ ಘಟನೆಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು, ಹೀಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ; ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ. ಈವೆಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ (ತಲೆಗಳು) ಒಲವು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ: .

ಅಂತೆಯೇ, ಡೈ ಅನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ (ಐದು ರೋಲಿಂಗ್) ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ: ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದರೂ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ).

ಒಂದು ಘಟಕದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ, ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಳಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇಳೆ , ನಂತರ ಈವೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ ಅಸಾಧ್ಯ, ವೇಳೆ - ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ , ನಂತರ ನಾವು ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕಘಟನೆ

! ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಇತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ದೋಷವನ್ನು ನೋಡಿ!

ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು) ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 10 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಲಶದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 1 ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ-ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.00000001 ಆಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ ಜಾಕ್‌ಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಹೌದು, ಇದು ನೀವೇ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ಏಕೈಕ ಟಿಕೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ...ನಾನು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಇತರರಿಗೆ ಹೇಳಿದಾಗ, ನಾನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕೇಳುತ್ತೇನೆ: "ಆದರೆ ಯಾರಾದರೂ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ." ಸರಿ, ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡೋಣ: ದಯವಿಟ್ಟು ಇಂದು ಅಥವಾ ನಾಳೆ ಯಾವುದೇ ಲಾಟರಿಗಾಗಿ ಟಿಕೆಟ್ ಖರೀದಿಸಿ (ತಡ ಮಾಡಬೇಡಿ!). ಮತ್ತು ನೀವು ಗೆದ್ದರೆ ... ಅಲ್ಲದೆ, ಕನಿಷ್ಠ 10 ಕಿಲೋರೂಬಲ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಸೈನ್ ಅಪ್ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ - ಇದು ಏಕೆ ಸಂಭವಿಸಿತು ಎಂದು ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಶೇಕಡಾವಾರು, ಸಹಜವಾಗಿ =) =)

ಆದರೆ ದುಃಖಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ತತ್ವವಿದೆ: ಕೆಲವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಧುಮುಕುಕೊಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಜಿಗಿಯುವ ಮೊದಲು, ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಿರುನಗೆ! ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಎರಡೂ ಧುಮುಕುಕೊಡೆಗಳು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಅದ್ಭುತ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬೇಕು.

ಇದೆಲ್ಲವೂ ಭಾವಗೀತೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಈವೆಂಟ್‌ನ ವಿಷಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೊದಲ ತತ್ವವು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ದುಃಖಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಬಹುಶಃ ಈಗ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಕು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೇಖನದ ಅಂತಿಮ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಟನೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ, 100% ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

- ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ತಲೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ;
- ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ತಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಈ ಘಟನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ .

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ . ಮತ್ತು ಮಾದಕತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾಲಿಗೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಇಲ್ಲಿದೆ =)

ಘನದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ: ಘಟನೆಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ .

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಐದು ಸುತ್ತುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ:

ಐದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ:
. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

! ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಇತರ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಞಾನ ದಿನದ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ, ನಾನು ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ =), ಆದರೆ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ:

- ಯಾವ ರೀತಿಯ ಘಟನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ?
- ಈವೆಂಟ್‌ನ ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆ ಎಂದರೇನು?
– ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ/ಅಸಾಮರಸ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ?
– ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು, ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದರೇನು?
– ಘಟನೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅರ್ಥವೇನು?
– ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಾರ ಏನು?
– ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ ಏಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ?

ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಏನನ್ನೂ ಕಸಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇವುಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ - ನಿಮ್ಮ ತಲೆಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪ್ರೈಮರ್. ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಸಂಭವಿಸಲು, ಪಾಠಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು 1929 ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯು ಮಧ್ಯಯುಗದ ಹಿಂದಿನದು ಮತ್ತು ಜೂಜಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು (ಫ್ಲೇಕ್, ಡೈಸ್, ರೂಲೆಟ್). 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್, ಜೂಜಿನ ಗೆಲುವಿನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೊದಲ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.

ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಘಟನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇತರರಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ತಲೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಬಾಲಗಳ" ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ "ತಲೆಗಳು" ಮತ್ತು "ಬಾಲಗಳು" ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ "ತಲೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಬಾಲಗಳು" ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ", 50% ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾಣ್ಯದ ಟಾಸ್. ಸವಾಲನ್ನು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಆಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಘಟನೆ. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

1. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ (ಯಾವಾಗಲೂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ).
2. ಅಸಾಧ್ಯ (ಎಂದಿಗೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ).
3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದೇ ಇರಬಹುದು).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆ - ನಾಣ್ಯವು ಅದರ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆ - "ತಲೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಬಾಲಗಳ" ನೋಟ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ, ವಿಭಿನ್ನ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗ.

ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಸಂಭವನೀಯತೆ- ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ. ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಕಾರಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ, ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಅಸಂಭವ ಅಥವಾ ಅಸಂಭವ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ- ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ದಿನಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಅಗ್ನಿಶಾಮಕ ಠಾಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ, 10 ಹೊಡೆತಗಳ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.

1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸೆಟ್). ಈ ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದ ಮೊದಲು ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೂ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
2. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಗಎ.ಎನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ 20 ನೇ ಶತಮಾನದ 30 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಸ್ತಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳವು ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೋನ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ

ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
- (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಘಟನೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಿಗ್ಮಾ ಬೀಜಗಣಿತ;
- ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಳತೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅಂದರೆ. ಸಿಗ್ಮಾ-ಸಂಯೋಜಕ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆ ಅಂತಹ .

ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯ- 1812 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು () ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿಜವಾಗಲು (ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ) ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯ; ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ (ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ). ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - . ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ. ನಂತರ, ಓವರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಅಳತೆ, ಅಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನ. ಇದನ್ನು ರಷ್ಯಾದ ಮತ್ತು ವಿದೇಶಿ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹರಡುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದಿದ್ದರೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಲಂಬಿತ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿದರೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಸರಳ ರೂಪವೆಂದರೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನವು ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಆ ವಿತರಣೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದಾಗ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲವಾದ ನಿಯಮದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಜಂಟಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಮತದಾರರ ಮಾದರಿಯ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚುನಾವಣಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು- ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದುರ್ಬಲ ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು (ಯಾವುದೇ ಪದಗಳು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ) ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹಲವಾರು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರಚನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಬಲವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತವೆ.

"ಅಪಘಾತಗಳು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ"... ಇದು ಯಾವುದೋ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಹೇಳಿದ ಹಾಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಣೆಬರಹವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅವಕಾಶವನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೇನು?

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: ನೀವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆದರೆ, ಅದು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯಬಹುದು. ನಾಣ್ಯವು ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ, ಈ ಎರಡೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಅಂದರೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1: 1 ಆಗಿದೆ. 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು 1:36 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇತರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಇತಿಹಾಸದ ಪುಟಗಳಿಂದ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ದೂರದ ಮಧ್ಯಯುಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಕಾರ್ಡ್ ಆಟಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಮೊದಲು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಗತಿಗಳು ಅಥವಾ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತಾಗಿ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕೃತಿಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಸ್ಥಾಪಕರು ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್. ಅವರು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಜೂಜಾಟವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರು, ಅವರು ಸಾರ್ವಜನಿಕರಿಗೆ ಹೇಳಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು.

ಅದೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರು ಪಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿಲ್ಲ. ಶಿಸ್ತಿನ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ "ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ", ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.

ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಕೃತಿಗಳು ಸಹ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತಿನಂತೆ ಮಾಡಿದರು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ತಮ್ಮ ಪ್ರಸ್ತುತ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದವು. ಎಲ್ಲಾ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಯಿತು.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು

ಈ ಶಿಸ್ತಿನ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು "ಈವೆಂಟ್" ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ರೀತಿಯ ಘಟನೆಗಳಿವೆ:

• ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ.ಹೇಗಾದರೂ ಆಗುವವುಗಳು (ನಾಣ್ಯವು ಬೀಳುತ್ತದೆ).
• ಅಸಾಧ್ಯ.ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸದ ಘಟನೆಗಳು (ನಾಣ್ಯವು ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ನೇತಾಡುತ್ತದೆ).
• ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ.ಸಂಭವಿಸುವ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿರುವವುಗಳು. ಊಹಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅವರು ಪ್ರಭಾವಿತರಾಗಬಹುದು. ನಾವು ನಾಣ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿವೆ: ನಾಣ್ಯದ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಅದರ ಆಕಾರ, ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನ, ಎಸೆಯುವಿಕೆಯ ಬಲ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ಎ = "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಉಪನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದರು."
• Ā = "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಉಪನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬರಲಿಲ್ಲ."

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆ. ಅಂದರೆ, ನೀವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಬೀಳುವವರೆಗೂ ಆರಂಭಿಕ ಪತನದ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಘಟನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಯಾರಾದರೂ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಗುರುತು" ಇಸ್ಪೀಟೆಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಡೈಸ್ಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಸಹ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ಎ = "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಉಪನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದರು."
• ಬಿ = "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಉಪನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದರು."

ಈ ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದೇ ನಾಣ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ನಂತರ "ಬಾಲಗಳ" ನಷ್ಟವು ಅದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ "ತಲೆಗಳು" ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಬಹುದು; ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, "AND" ಮತ್ತು "OR" ಎಂಬ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಶಿಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈವೆಂಟ್ A ಅಥವಾ B ಅಥವಾ ಎರಡು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ; A ಅಥವಾ B ಅನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮೂಲಭೂತ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವ್ಯಾಯಾಮ 1: ಕಂಪನಿಯು ಮೂರು ರೀತಿಯ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಒಪ್ಪಂದಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳು:

• A = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮೊದಲ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ."
• A 1 = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮೊದಲ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ."
• ಬಿ = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಎರಡನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ."
• ಬಿ 1 = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಎರಡನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ"
• ಸಿ = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮೂರನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ."
• C 1 = "ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮೂರನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ."

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ:

• K = "ಕಂಪನಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಒಪ್ಪಂದಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ."

ಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: K = ABC.

• M = "ಕಂಪನಿಯು ಒಂದೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ."

M = A 1 B 1 C 1.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ: H = "ಕಂಪನಿಯು ಒಂದು ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ." ಕಂಪನಿಯು ಯಾವ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ (ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಅಥವಾ ಮೂರನೆಯದು), ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

ಮತ್ತು 1 BC 1 ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸದ ಘಟನೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಿಸ್ತಿನ υ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಯೋಜಕ "OR" ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾನವ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದರೆ, ಕಂಪನಿಯು ಮೂರನೇ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದು ಅಥವಾ ಮೊದಲನೆಯದು. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು "ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇತರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇದನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಬಹುಶಃ, ಈ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ 3 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ:

• ಶ್ರೇಷ್ಠ;
• ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ;
• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸ್ಥಾನವಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು (9 ನೇ ತರಗತಿ) ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ:

• ಸನ್ನಿವೇಶ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅದರ ಸಂಭವವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: P(A)=m/n.

ಎ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. A ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪ್ರಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದನ್ನು Ā ಅಥವಾ A 1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಮೀ ಸಂಭವನೀಯ ಅನುಕೂಲಕರ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

n - ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A = "ಹೃದಯದ ಸೂಟ್ನ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ." ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿ 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 9 ಹೃದಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

P(A)=9/36=0.25.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೃದಯದ ಸೂಟ್ನ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಡೆಕ್ನಿಂದ ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.25 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕಡೆಗೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಅಥವಾ ಆವರ್ತನ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತ) ಸಣ್ಣದಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅದು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇಲ್ಲಿ "ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ" ದ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು W n (A) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರವು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ:

ಭವಿಷ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರೆ, ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಕೆಲಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ತಾಂತ್ರಿಕ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಿಭಾಗವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. 100 ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪೈಕಿ 3 ಕಳಪೆ ಗುಣಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಗುಣಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವರ್ತನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಎ = "ಗುಣಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನದ ನೋಟ."

W n (A)=97/100=0.97

ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವರ್ತನವು 0.97 ಆಗಿದೆ. ನೀವು 97 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾದ 100 ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ 3 ಕಳಪೆ ಗುಣಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ. ನಾವು 100 ರಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 97 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸರಕುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೂಲ ತತ್ವವೆಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯ A ಅನ್ನು m ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು B ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ, A ಮತ್ತು B ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಗರ A ನಿಂದ B ಗೆ ಹೋಗುವ 5 ರಸ್ತೆಗಳಿವೆ. ಬಿ ನಗರದಿಂದ ಸಿ ನಗರಕ್ಕೆ 4 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ನಗರ A ಯಿಂದ C ಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು?

ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ: 5x4=20, ಅಂದರೆ ಇಪ್ಪತ್ತು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ A ಯಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ C ಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಸಾಲಿಟೇರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ಎಷ್ಟು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ? ಡೆಕ್‌ನಲ್ಲಿ 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿವೆ - ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತದಿಂದ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು "ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು" ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಅಂದರೆ, 36x35x34x33x32...x2x1= ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ 36 ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬಹುದು!. ಸಹಿ "!" ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ, ನಿಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಆದೇಶದ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸದಿದ್ದಾಗ. n ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, m ಎಂಬುದು ನಿಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವ ಅಂಶಗಳು. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಿಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

A n m =n!/(n-m)!

ನಿಯೋಜನೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: P n = n!

m ನ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಆ ಸಂಯುಕ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವು ಯಾವ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

A n m =n!/m!(n-m)!

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದಂತೆ, ತಮ್ಮ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಶೋಧಕರ ಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಈ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ A ಯ ಸಂಭವವು ಹಿಂದಿನ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿರುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ:

P n (m) = C n m ×p m × q n-m.

ಈವೆಂಟ್ (A) ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (p) ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ m ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, q ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಈವೆಂಟ್ A ಹಲವಾರು ಬಾರಿ p ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅದು ಸಂಭವಿಸದೇ ಇರಬಹುದು. ಯುನಿಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಶಿಸ್ತಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, q ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಭವಿಸದ ಘಟನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಿಮಗೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು (ಮೊದಲ ಹಂತ) ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ 2:ಅಂಗಡಿಯ ಸಂದರ್ಶಕರು 0.2 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಖರೀದಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. 6 ಸಂದರ್ಶಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಂಗಡಿಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರು. ಸಂದರ್ಶಕರು ಖರೀದಿ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ: ಎಷ್ಟು ಸಂದರ್ಶಕರು ಖರೀದಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಆರು, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಎ = "ಸಂದರ್ಶಕರು ಖರೀದಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ."

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: p = 0.2 (ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ). ಅದರಂತೆ, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ 6 ಗ್ರಾಹಕರು ಇರುವುದರಿಂದ). m ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಒಬ್ಬ ಗ್ರಾಹಕನು ಖರೀದಿಯನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ) 6 (ಅಂಗಡಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಶಕರು ಏನನ್ನಾದರೂ ಖರೀದಿಸುತ್ತಾರೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

ಯಾವುದೇ ಖರೀದಿದಾರರು 0.2621 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಖರೀದಿಯನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಬೇರೆ ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಎರಡನೇ ಹಂತ) ಕೆಳಗೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ನಂತರ, ಸಿ ಮತ್ತು ಆರ್ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋದವು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, 0 ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. C ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

C n m = n! /m!(n-m)!

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ m = 0, C = 1, ಇದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡು ಸಂದರ್ಶಕರು ಸರಕುಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವು, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ನೇರ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರ

ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್‌ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ:

P n (m)=λ m /m! × ಇ (-λ) .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ λ = n x p. ಇಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವಿದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ). ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ 3: ಕಾರ್ಖಾನೆಯು 100,000 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿತು. ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗದ ಸಂಭವ = 0.0001. ಒಂದು ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ 5 ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮದುವೆಯು ಅಸಂಭವವಾದ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶಿಸ್ತಿನ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

A = "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಭಾಗವು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

p = 0.0001 (ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ).

n = 100000 (ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

m = 5 (ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳು). ನಾವು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ), ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅಜ್ಞಾತ ಇ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

e -λ = ಲಿಮ್ n ->∞ (1-λ/n) n .

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇ ಯ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿವೆ.

ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸ್ಕೀಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೀಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸೂತ್ರ:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು X m ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಡೇಟಾವನ್ನು (ಅವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ) ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು 0.025 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ϕ (0.025) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು 0.3988 ಆಗಿದೆ. ಈಗ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

ಹೀಗಾಗಿ, ಫ್ಲೈಯರ್ ನಿಖರವಾಗಿ 267 ಬಾರಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.03 ಆಗಿದೆ.

ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರ

ಬೇಯೆಸ್ ಸೂತ್ರ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ), ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು, ಇದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಗಳು.

P(A|B) ಒಂದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈವೆಂಟ್ B ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

P (B|A) - ಈವೆಂಟ್ B ಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, "ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಎಂಬ ಕಿರು ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಭಾಗವು ಬೇಯೆಸ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 5: ಗೋದಾಮಿಗೆ ಮೂರು ಕಂಪನಿಗಳ ಫೋನ್ ತರಲಾಗಿತ್ತು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಲಾದ ಫೋನ್‌ಗಳ ಪಾಲು 25%, ಎರಡನೆಯದು - 60%, ಮೂರನೆಯದು - 15%. ಮೊದಲ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಶೇಕಡಾವಾರು 2%, ಎರಡನೆಯದು - 4% ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - 1% ಎಂದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಫೋನ್ ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

A = "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಫೋನ್."

ಬಿ 1 - ಮೊದಲ ಕಾರ್ಖಾನೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಫೋನ್. ಅಂತೆಯೇ, ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಬಿ 2 ಮತ್ತು ಬಿ 3 ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಿಗೆ).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ಹೀಗೆ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಘಟನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಕಂಪನಿಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

ಈಗ ನಾವು ಡೇಟಾವನ್ನು ಬೇಯೆಸ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

ಲೇಖನವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ವಿಶಾಲವಾದ ಶಿಸ್ತಿನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ತುದಿ ಮಾತ್ರ. ಮತ್ತು ಬರೆದ ಎಲ್ಲದರ ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ; ಜಾಕ್‌ಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿದ ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಕೇಳುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳು ನಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ.
ಕೊಜ್ಮಾ ಪ್ರುಟ್ಕೋವ್

ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ವಿಶೇಷ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುವುದು, ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬಳಸುವ ಇತರ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಾಗಿ. ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆಯ.

ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮತ್ತು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳು (ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ. ಎಂ., 2002) ಒದಗಿಸಿದ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು “ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೂಲಭೂತ” ), ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಚಿತತೆಗಾಗಿ, ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಕುರಿತು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ತಯಾರಾಗಲು, ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಜ್ಞಾನ, ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯು ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಧನವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳನ್ನು ಅರೆಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಸಮಯದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ವೀಕ್ಷಣಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ, ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಲೋಕನಗಳ ಮೂಲಕ (ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪ್ರಯೋಗಗಳು), ಅಂದರೆ. ಪದದ ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನುಭವ, ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು (ಘಟನೆಗಳು) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ, ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವ, ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ದತ್ತಾಂಶವು ಅವುಗಳ ಸಾರದಿಂದ ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

I. ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು

1.1. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪರಿಗಣನೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 10 ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0, 1, 2, 3,:, 9 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 143, 431, 5671, 1207, 43, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಅಂಕೆಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 143 ಮತ್ತು 431), ಇತರವು - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5671 ಮತ್ತು 1207), ಮತ್ತು ಇತರವು ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 143 ಮತ್ತು 43).

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ವಿವಿಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೂರು ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು: ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ನಿಯೋಜನೆಗಳು, ಸಂಯೋಜನೆಗಳು.

ಮೊದಲು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಅಪವರ್ತನೀಯ.

1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n- ಅಪವರ್ತನೀಯ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: a); ಬಿ) ; ವಿ)

ಪರಿಹಾರ. ಎ)

ಬಿ) ರಿಂದ , ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರಗೆ ಹಾಕಬಹುದು

ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಿ) .

ಮರುಜೋಡಣೆಗಳು.

ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಿ ಎನ್ , ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ( ಆರ್- ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ- ಮರುಜೋಡಣೆ).

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ 0!=1 ಮತ್ತು 1!=1.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಒಂದು ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಆರು ವಿಭಿನ್ನ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾರ್ಗಗಳು 6 ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ನಿಯೋಜನೆಗಳು.

ಇವರಿಂದ ಪೋಸ್ಟಿಂಗ್‌ಗಳು ಮೀಅಂಶಗಳು ಎನ್ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಅಂತಹ ಸಂಯುಕ್ತಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳಿಂದ (ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು) ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಕ್ರಮದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೀ- ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎನ್- ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ( A-ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಅಂದರೆ "ಇಡುವುದು, ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇಡುವುದು").

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ nm

ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

,

ಆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಅದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಮೀ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 3. ವಿವಿಧ ಪ್ರೊಫೈಲ್‌ಗಳ ಸ್ಯಾನಿಟೋರಿಯಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೂರು ವೋಚರ್‌ಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಐದು ಅರ್ಜಿದಾರರಿಗೆ ಸಂಕಲಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು 3 ಅಂಶಗಳ 5 ಅಂಶಗಳ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

.

ಸಂಯೋಜನೆಗಳು.

ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ ಮೀಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಎನ್, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಮೀಮತ್ತು n-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಎನ್ ಎಂ).

ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಜೊತೆಗೆ- ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆ- ಸಂಯೋಜನೆ).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಎನ್ನಿಂದ ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೀಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳು ಎನ್, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎನ್ಅಂಶಗಳು:

ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4. 25 ಜನರ ತಂಡದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನೀವು ನಾಲ್ವರನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಜನರ ಆದೇಶವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಅವರು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು);

.

1.2. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ 1. ಅಧ್ಯಾಪಕರಲ್ಲಿ 16 ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸೋಮವಾರದ ನಿಮ್ಮ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು 3 ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ. 16 ರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಐಟಂಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ನೀವು 3 ರಿಂದ 16 ಐಟಂಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯ 2. 15 ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು 10 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು?

ಕಾರ್ಯ 3. ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸಿದ್ದವು. ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸೀಟುಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ?

.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. 80 ಸೈನಿಕರು ಮತ್ತು 3 ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮೂರು ಸೈನಿಕರು ಮತ್ತು ಒಬ್ಬ ಅಧಿಕಾರಿಯ ಗಸ್ತು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ. ನೀವು ಗಸ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸೈನಿಕನನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು

ಮಾರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಸೈನಿಕರ ಪ್ರತಿ ತಂಡದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಧಿಕಾರಿ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಕಾರಣ, ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಕಾರ್ಯ 5. ಹುಡುಕಿ , ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

,

ಸಂಯೋಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, . ಅದು. .

1.3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಘಟನೆಗಳ ವಿಧಗಳು. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆ, ವಿದ್ಯಮಾನ, ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವೀಕ್ಷಣೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಈ ಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟನೆ .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ . ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವುದು ಖಚಿತವಾದಾಗ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ , ಮತ್ತು ಅದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದಾಗ, - ಅಸಾಧ್ಯ.

ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ , ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ.

ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಅದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ದ , ಪರೀಕ್ಷಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಕೇವಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ, : .

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ A ಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆ. ಬಾಕ್ಸ್ 30 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದರು (ಎ);

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಚೆಂಡು ಸಿಕ್ಕಿತು (IN);

ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡು ಸಿಕ್ಕಿತು (ಜೊತೆ);

ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲದ ಚೆಂಡು ಸಿಕ್ಕಿತು (ಡಿ)

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ . ಎ- ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆ; ಡಿ- ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ;

ಇನ್ ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ- ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳು.

ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಮತ್ತು ಡಿ, ವಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ.

ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1.4 ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಈ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್(ಎ)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಎ, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎನ್ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಅಸಮಂಜಸ, ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ), ಅಂದರೆ. .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಿವಿಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. n,ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮೀಗೆ ಎನ್.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದನ್ನು ಮೀರದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀ ಒಳಗೆ ಇದೆ. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಎನ್, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ .

3. ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರಿಂದ .

ಸಮಸ್ಯೆ 1. 1000 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳ ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ, 200 ವಿಜೇತರಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಟಿಕೆಟ್ ವಿಜೇತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್=1000. ಗೆಲುವಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m=200 ಆಗಿದೆ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. 18 ಭಾಗಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ 4 ದೋಷಯುಕ್ತ ಪದಗಳಿವೆ. 5 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ 5 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ 18 ರಿಂದ 5 ರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ.

ಈವೆಂಟ್ A ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ m ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸೋಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ 5 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, 3 ಉತ್ತಮವಾದವುಗಳು ಮತ್ತು 2 ದೋಷಪೂರಿತವಾದವುಗಳು ಇರಬೇಕು. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ 4 ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಎರಡು ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 4 ರಿಂದ 2 ರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಲಭ್ಯವಿರುವ 14 ಗುಣಮಟ್ಟದ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮೂರು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

.

ಉತ್ತಮ ಭಾಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು A+B ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ A 1 +A 2 + : +A n ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಘಟನೆಗಳು.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯ.

ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಈವೆಂಟ್ A 1, A 2, :,A n ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

.

ಸಮಸ್ಯೆ 1. 100 ಲಾಟರಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಿವೆ. 5 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ತಲಾ 20,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 10 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು 15,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 15 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು 10,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 25 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು 2,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮತ್ತು ಉಳಿದವರಿಗೆ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಖರೀದಿಸಿದ ಟಿಕೆಟ್ ಕನಿಷ್ಠ 10,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಖರೀದಿಸಿದ ಟಿಕೆಟ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ 20,000, 15,000 ಮತ್ತು 10,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗೆಲುವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಘಟನೆಗಳು A, B ಮತ್ತು C ಆಗಿರಲಿ. A, B ಮತ್ತು C ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ

ಕಾರ್ಯ 2. ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ವಿಭಾಗವು ನಗರಗಳಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ. ನಗರದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನಗರದಿಂದ 0.6 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ IN- 0.1. ಮುಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಗರದಿಂದ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಜೊತೆಗೆ.

ಕೆಲವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ಗಳು, ನಿಯಮಿತ ವಾಣಿಜ್ಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಕರಾಗುವ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು ಏಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮ್ಯಾಜಿಕ್‌ನಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ, ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ 2 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರಬಹುದು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಅಧ್ಯಯನ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ (ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಡೈಸ್, ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವುದು) ವಿತರಣಾ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ.

ನಾವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಿಮ್ಮನ್ನು ಶೂಟರ್ ಡೆವಲಪರ್ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಆಟಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವೆಂದರೆ ಶೂಟಿಂಗ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್. ಎಲ್ಲಾ ಆಯುಧಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂಟ್ ಮಾಡುವ ಶೂಟರ್ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಮ್ಮ ಆಯುಧಕ್ಕೆ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಶಸ್ತ್ರ ಪರಿಣಾಮದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ಶ್ರುತಿ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಟದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಆಯುಧವು ನೀಡಿದ ಹರಡುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಜಾಗ

ನಾವು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವುದು), ನಾವು ಕೆಲವು ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು (ಅದು ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳು ಬಂದವು). ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ Ω (ಒಮೆಗಾ) ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಜಾಗದ ರಚನೆಯು ಪ್ರಯೋಗದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗುರಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ - ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಹತ್ತನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು ಗುರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಏಕಕೇಂದ್ರಕ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ). ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಸೀಮಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಥವಾ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕೆಲವು ಉತ್ತಮವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸರಳ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು, ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಹಿಂದೆ ಇರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಕುಟುಂಬವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ - ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸ್ಥಳ.

ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ತನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈವೆಂಟ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಆ ಉತ್ತಮ ಕುಟುಂಬ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ) ಅದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ - ಅಂತಹ ಘಟನೆಯು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಖಚಿತವಾಗಿರಲು, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದರ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಘಟಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು (ಅಸಮಯ ಸೆಟ್‌ಗಳು) ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಸರು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಉದ್ದ, ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ (n- ಆಯಾಮದ ಪರಿಮಾಣ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕುಟುಂಬ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಗ. ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ R ತ್ರಿಜ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಸುತ್ತಿನ ಗುರಿಯಲ್ಲಿ ಶೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ನಾವು ಆರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆ) ಬಳಸಲಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ (ಈ ಅಳತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ) ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ: " (Ω,Σ,P) ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ...».

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಶಾಲೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶ (ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆ, ನಾವು λ 2 (A) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ), ಅಲ್ಲಿ A ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು π *R 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಈವೆಂಟ್ A ಗಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಗುರಿಯ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಶೂಟರ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹುಡುಕಾಟವು ಈ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರದೇಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂಟರ್ ಅಗ್ರ ಹತ್ತನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನೆಂದು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (ಈವೆಂಟ್ A - ಶೂಟರ್ ಬಯಸಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತಾನೆ). ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, "ಹತ್ತು" ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ r ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ವಲಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

ಇದು "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ" ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸರಳ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ - ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ρ(ω) ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು - ಪ್ರಭಾವದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ. ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಯ ಸರಳತೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: Ω = (ω = (x,y) ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ವಿಧಾನಗಳು. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆ

ಜಾಗದ ರಚನೆಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಅದು ಒಳ್ಳೆಯದು, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ರಚನೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ, ಅದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು F ξ (x) = P(ξ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.
2. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
3. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ -x ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು x ಸ್ವತಃ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಬಹುಶಃ, ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ಅರ್ಥವು ಮೊದಲ ಓದುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣವೆಂದರೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, P (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ξ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) = F ξ (b) -F ξ (a). ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮಧ್ಯಂತರದ a ಮತ್ತು b ಗಡಿಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

d = b-a , ನಂತರ b = a+d . ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . d ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ವಿತರಣೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ). p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. d ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಈ ಅನುಪಾತವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದ p ξ (a) ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, d ಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ p ξ (a) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ ಈ ಹಿಂದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ ಓದುಗರು p ξ (a) ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ನಲ್ಲಿ F ξ (x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಥ್‌ಪ್ರೊಫಿ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

ಈಗ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು: ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಸಾಂದ್ರತೆ p ξ, ನಾವು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ) a ಪಾಯಿಂಟ್ a ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಬಿಂದು a ನ ನೆರೆಹೊರೆ ) ಇತರ ಬಿಂದುಗಳ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2, ಇದು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಂದ್ರತೆ p ρ ಅನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಒಳಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಥ್‌ಪ್ರೊಫಿ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಿಂದ) ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. t 2 /R 2 ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 2t/R 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣವೆಂದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ (ಮ್ಯಾಥ್‌ಪ್ರೊಫಿಯಲ್ಲಿನ ಸರಿಯಾದ, ಅಸಮರ್ಪಕ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಏನೆಂದು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಜಾಲತಾಣ).

ಮೊದಲ ಓದುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ, f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಬದಿಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ತುಣುಕು, ಅಂತರ (ಸಮತಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷ), ಲಂಬ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು (a,f (a)), (b,f (b)) ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ (a,0), (b,0 ) ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ. ಕೊನೆಯ ಭಾಗವು (a,f(a)) ನಿಂದ (b,f(b)) ವರೆಗಿನ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು (-∞; b], ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, a, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ನಗಣ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ)