ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (Q) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (Z) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (N) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಅದೇ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅದರಲ್ಲಿ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1.56(12) ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ 12 ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 1.561212121212 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ... ಹೀಗೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಂತೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ನಾವು ಅದರ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 2 2.00000 ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.... ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ 2, (0).

ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಭಾಗವನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರು ಸೀಮಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು
ಅಂತಿಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು,
ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ನೆನಪಿಡಿ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳೆರಡನ್ನೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿದೆ:

ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಇದರಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಒಂದು ಅವಧಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.
ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು 10 ಅಥವಾ 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಥವಾ ... ಇದರಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಅವಧಿಯಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅವಧಿಯು ಇಡೀ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ).
ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು (a) ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಭಾಗ (b) ಅನ್ನು N ನಿಂದ Nx ಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
Nx ನಿಂದ x ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. b ನಿಂದ ನಾನು a ಕಳೆಯುತ್ತೇನೆ. ಅಂದರೆ, ಅವು Nx - x = b - a ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =

ದಶಮಾಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಗೆ ಹೇಳಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ (ಪಾಠ "ದಶಮಾಂಶಗಳು" ನೋಡಿ)? 2 ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ: ನಾನು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಿದೆ. ಮತ್ತು ಇಂದು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಮಹತ್ವದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವು ಯಾವುದೇ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿದೆ:

ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ;

ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗದ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಲವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಈ ಭಾಗವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ: 0; ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ: 3; ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ: 1.

ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ: 0.58; ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ: 3; ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ: ಮತ್ತೆ 1.

ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ: 1; ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ: 54; ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ: 2.

ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ: 0; ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ: 641025; ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ: 6. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದು ಜಾಗದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಈ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ: 3066; ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ: 6; ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ: 1.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಆವರ್ತಕ ಭಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಏನೆಂದು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - "" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ರೂಪ a /b ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ. ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

ವಿಸ್ತರಣೆಯು 2 ಮತ್ತು 5 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - "ದಶಮಾಂಶಗಳು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಂತಹ ಜನರಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ;
ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 5 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ ಇದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ತದನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.

ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಇಡೀ ಭಾಗ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ;
ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಬಹುದು;
ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಅಷ್ಟೇ! ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ಇರುವವುಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ" ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗವನ್ನು "ಸರಿಯಾದ" ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: 1.733 ... = 1.7(3).

ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ: 0.5833 ... = 0.58(3).

ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 4.0909 ... = 4, (09).

ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0.4141 ... = 0.(41).

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ X = abc (a 1 b 1 c 1) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ "ಎರಡು-ಮಹಡಿ" ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾಲ್ಕು ಸರಳ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ. ಆವರ್ತಕ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಎಣಿಸಿ. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ k ಆಗಿರಲಿ;
X · 10 k ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - "ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ;
ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವು "ಸುಟ್ಟು" ಮತ್ತು ಉಳಿದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ;
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಚಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

ನಾವು ಮೊದಲ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: X = 9, (6) = 9.666 ...

ಆವರಣಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಧಿಯು k = 1 ಆಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಈ ಭಾಗವನ್ನು 10 k = 10 1 = 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

10X = 10 9.6666... = 96.666...

ಮೂಲ ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ X = 32,(39) = 32.393939...

ಅವಧಿ k = 2, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 10 k = 10 2 = 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

ಮೂಲ ಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

ನಾವು ಮೂರನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ: X = 0.30(5) = 0.30555... ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ಅವಧಿ k = 1 ⇒ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 10 k = 10 1 = 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಭಾಗ: X = 0, (2475) = 0.2475 2475... ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಆವರ್ತಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಂತರಗಳಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

ಈ ಲೇಖನವು ಸುಮಾರು ದಶಮಾಂಶಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಮುಂದೆ ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತ

ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಓದುವುದು

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಓದುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ.

ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು "ಶೂನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ" ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 0.12 ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ 12/100 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ("ಹನ್ನೆರಡು ನೂರನೇ" ಓದಿ), ಆದ್ದರಿಂದ, 0.12 ಅನ್ನು "ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದು ಹನ್ನೆರಡು ನೂರನೇ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 56.002 ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 56.002 ಅನ್ನು "ಐವತ್ತಾರು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎರಡು ಸಾವಿರ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆಯೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯ ಅರ್ಥವು ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 0.3 ರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಎಂದರೆ ಮೂರು ಹತ್ತನೇ ಭಾಗ, ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ 0.0003 - ಮೂರು ಹತ್ತು ಸಾವಿರ, ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ 30,000.152 - ಮೂರು ಹತ್ತಾರು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮಾತನಾಡಬಹುದು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 37.051 ರಲ್ಲಿ, ಅಂಕೆ 3 ಹತ್ತಾರು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ, 7 ಘಟಕಗಳ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ, 0 ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ, 5 ನೂರನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು 1 ಸಾವಿರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಗಳು ಪ್ರಾಶಸ್ತ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ನಾವು ಅಂಕೆಯಿಂದ ಅಂಕೆಗೆ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇದರಿಂದ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಹಿರಿಯರುಗೆ ಕಿರಿಯ ಶ್ರೇಣಿಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೂರರ ಸ್ಥಾನವು ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ ಹಳೆಯದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಾಂತರ ಸ್ಥಾನವು ನೂರನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅಂಕಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 604.9387 ರಲ್ಲಿ ಹಿರಿಯ (ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು)ಸ್ಥಳವು ನೂರಾರು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಿರಿಯ (ಕಡಿಮೆ)- ಹತ್ತು ಸಾವಿರದ ಅಂಕಿ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ, ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 45.6072 ರ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಘಟನೆಯಿಂದ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದ ಇತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 45.6072=45+0.6072, ಅಥವಾ 45.6072=40.6+5.007+0.0002, ಅಥವಾ 4.726.45. 0.6.

ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ದಶಮಾಂಶಗಳು

ಈ ಹಂತದವರೆಗೆ, ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ದಶಮಾಂಶಗಳು- ಇವು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳ ದಾಖಲೆಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು (ಅಂಕಿಗಳು) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ 5/13 ಅನ್ನು 10, 100, ... ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಮಾನ ಭಾಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳು: ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬರುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳು- ಇವು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪೂರ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಅನಂತ ನಿರಂತರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

ನೀವು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಂತರ 2.111111111 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ... ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿ 69.74152152152..., ಮೂರನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗುಂಪು 1, 5 ಮತ್ತು 2 ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು) ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗದ ಅವಧಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತಕ ಭಾಗದ ಅವಧಿ 2.111111111... ಅಂಕೆ 1, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಧಿ 69.74152152152... ರೂಪ 152 ರ ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ, ಸಂಕೇತದ ವಿಶೇಷ ರೂಪವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅವಧಿಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆಯಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡೆವು, ಅದನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 2.111111111... ಅನ್ನು 2,(1) , ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ 69.74152152152... ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ 69.74(152) .

ಒಂದೇ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 0.73333... ಅನ್ನು 3 ರ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ 0.7(3) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು 33 ರ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ 0.7(33) ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು 0.7(333) 0.7 (3333), ... ನೀವು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ 0.73333 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು ... ಹೀಗೆ: 0.733(3), ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ 0.73(333), ಇತ್ಯಾದಿ. ಇಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದ ಅವಧಿ 0.73333... ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಂಕಿಯ 3 ರ ಅನುಕ್ರಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕತೆಯು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 0.73333...=0.7(3). ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಆವರ್ತಕ ಭಾಗ 4.7412121212... 12 ರ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆವರ್ತಕತೆಯು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಮೂರನೇ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 4.7412121212...=4.74(12).

ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಕಗಳು 2 ಮತ್ತು 5 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿ 9 ರ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: 6.43(9) , 27, (9) . ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅವಧಿ 0 ಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಧಿ 0 ಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅವಧಿ 9 ಅನ್ನು ಅವಧಿ 0 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ಮ್ 7.24(9) ರ ಅವಧಿ 9 ರ ಭಾಗವು ಫಾರ್ಮ್ 7.25 (0) ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 7.25 ರ ಅವಧಿ 0 ಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 4,(9)=5,(0)=5. ಈ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ ಅವಧಿ 9 ರೊಂದಿಗಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅವಧಿ 0 ರೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ, ಇದು ಅಂಕೆಗಳ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳು(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು) ಯಾವುದೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 8.02002000200002... ಇದು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ನೀವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು.

ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ. ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ದಶಮಾಂಶಗಳ ಹೋಲಿಕೆಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಿದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮದಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸ್ಥಳವಾರು ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸ್ಥಳವಾರು ಹೋಲಿಕೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಲೇಖನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆ, ನಿಯಮಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ - ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು. ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವ್ಯವಕಲನದಂತೆಯೇ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಯಮಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಂತರ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ, ನಿಯಮಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ದಶಮಾಂಶಗಳು

ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 1.4 ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ 14/10 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 1.4 ರೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ 14 ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಘಟಕ ವಿಭಾಗದ ಹತ್ತನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಘಟನೆಯಿಂದ ಅಂಕೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 16.3007=16+0.3+0.0007 ರಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 16.3007 ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಿಂದ 16 ಘಟಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು, ಅದರ ಉದ್ದವು ಹತ್ತನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಘಟಕ, ಮತ್ತು 7 ವಿಭಾಗಗಳು, ಅದರ ಉದ್ದವು ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗದ ಹತ್ತು ಸಾವಿರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ಈ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 1.41421... ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, 1 ಘಟಕದ ಭಾಗದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರವಿದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ದಶಮಾಂಶ ಮಾಪನ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಲಿ (ಅಥವಾ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುವುದು). ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ದಶಮಾಂಶ ಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ನಂತರ ಒಂದು ಘಟಕದ ಹತ್ತನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಭಾಗಗಳು, ನಂತರ ಯುನಿಟ್‌ನ ನೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಭಾಗಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ಉದ್ದದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು 1 ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು 4 ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಬೇಕು, ಅದರ ಉದ್ದವು ಒಂದು ಘಟಕದ ಹತ್ತನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ 1.4 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಮಾಪನದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಲಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದ ಬಿಂದುಗಳು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 5 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 5-346-00699-0.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. 6 ನೇ ತರಗತಿ: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಎನ್. ಯಾ ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು]. - 22 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 288 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-00897-2.
ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ): ಪ್ರೊ. ಭತ್ಯೆ.- ಎಂ.; ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲೆ, 1984.-351 ಪು., ಅನಾರೋಗ್ಯ.

ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಒಡ್ಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ತದನಂತರ ಅವರು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಮರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಷೇರುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಜನರನ್ನು ತಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಹಲವಾರು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವನ ಟೈಲ್ ಹನ್ನೆರಡು ಆಯತಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ನೀವು 6 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಐದು ಜನರಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಚೂರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂಲಕ, ಈ ಚೂರುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಅವರ ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೋಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

"ಭಾಗ" ಎಂದರೇನು?

ಇದು ಘಟಕದ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೊರನೋಟಕ್ಕೆ, ಇದು ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಸ್ಲ್ಯಾಷ್‌ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಎಡ) ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಬಲ) ಏನಿದೆಯೋ ಅದು ಛೇದವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸ್ಲಾಶ್ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಯಾವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ?

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತಾರೆ, ಅವರನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ಭಿನ್ನಾಂಶಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಂತರದವರು 5ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ. ಆಗ ಈ ಹೆಸರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೆಂದರೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4/7. ದಶಮಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗವು ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4.7. ನೀಡಿರುವ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ಈ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಯಾವ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ?

ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮೊದಲು ಬರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, 5 ಉಪಜಾತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು.

ಸರಿ. ಅದರ ಅಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅದರ ಅಂಶವು ಅದರ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ / ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ. ಇದು ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಎಂದು ತಿರುಗಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು. ಇದ್ದರೆ, ಭಾಗದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ಮಿಶ್ರಿತ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಿತ (ಅನಿಯಮಿತ) ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಸಂಯೋಜಿತ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗಿಸಿದ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಭಾಗಶಃ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಸೀಮಿತ, ಅಂದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ);

ಅನಂತ - ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಅಂಕೆಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು).

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಘವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾನು ಕೇಳಿದಂತೆ, ನಾನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಓದಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವಿಲ್ಲದೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಸುಳಿವು ನೀಡುವಂತೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸೊನ್ನೆಗಳು ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳಿರುವಂತೆ ನೀವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವು ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.9 ಅಥವಾ 0.05. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಶೂನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿಲ್ಲ. ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು 10 ರ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು 100 ರ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ತರಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ: 9/10, 5/100. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು 5 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1/20 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5.23 ಅಥವಾ 13.00108. ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದು 5, ಎರಡನೆಯದು 13. ನಂತರ ನೀವು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅವರೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ 23/100 ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 108/100000. ಎರಡನೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: 5 23/100 ಮತ್ತು 13 27/25000.

ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಇದು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಈ ಅಂಶವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಭಾಗದಿಂದ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದರೆ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶವು ಆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ: ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.3(3). ಇಲ್ಲಿ "3" ಅವಧಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದವರಿಗೆ ಅವು ಶುದ್ಧ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕಾದ ನಿಯಮವು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶುದ್ಧ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಸೀಮಿತವಾದವುಗಳಂತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಅವಧಿಯನ್ನು ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವಧಿಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0,(5). ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 5 ಅನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಮತ್ತು 9 ಅನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಅಂದರೆ, ಉತ್ತರವು 5/9 ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ನಿಯಮ.

ಅವಧಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನೋಡಿ. ಛೇದವು ಎಷ್ಟು 9 ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಛೇದವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: ಮೊದಲ ಒಂಬತ್ತುಗಳು, ನಂತರ ಸೊನ್ನೆಗಳು.

ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು. ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಳೆಯಬಹುದಾದ - ಇದು ಅವಧಿಯಿಲ್ಲದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.5(8) - ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅವಧಿಯ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗವು ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಇರುತ್ತದೆ. ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ - 8. ಅಂದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಒಂಬತ್ತು. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಛೇದದಲ್ಲಿ 90 ಅನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು 58 ರಿಂದ 5 ಕಳೆಯಬೇಕು. ಅದು 53 ಆಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು 53/90 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಸರಳವಾದ ಆಯ್ಕೆಯೆಂದರೆ ಛೇದವು ಸಂಖ್ಯೆ 10, 100, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಂತರ ಛೇದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಛೇದವು ಸುಲಭವಾಗಿ 10, 100, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 5, 20, 25. ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2, 5 ಮತ್ತು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ನೀವು ಕೇವಲ ಛೇದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಸಹ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳ ನಿಯಮವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ: ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇತರರಿಗಿಂತ ಮೊದಲೇ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊದಲಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಯೋಜನೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಛೇದಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಕಳೆಯಿರಿ) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ.

ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವು ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಯೇ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇಡೀ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಎರವಲು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಛೇದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂದರೆ, ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಿಂದ, ಮೈನ್ಯುಂಡ್‌ನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ “-” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಿ.

ಸಂಕಲನದ (ವ್ಯವಕಲನ) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ. ನೀವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ

ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅವರು ಇನ್ನೂ ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು.

ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಭಾಜಕವನ್ನು (ಎರಡನೇ ಭಾಗ) ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು (ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ).

ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರದಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ (ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ).

ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ (ವಿಭಜಿಸುವ) ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಅಂದರೆ, 1 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ. ನಂತರ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ವರ್ತಿಸಿ.

ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಅನುವಾದವಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಅಂದರೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ. ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾಣೆಯಾದ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಅಲ್ಪವಿರಾಮವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಸೇರಿಸಿ (ಕಳೆಯಿರಿ).

ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ.

ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು. ತದನಂತರ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಹೋಗಿ.

ಗುಣಿಸಲು, ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಿ.

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಿ, ಉತ್ತರದ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎಣಿಸುವಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳು ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ.

ವಿಭಜಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು: ಅದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಿ. ಅಂದರೆ, ಭಾಜಕದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು 10, 100, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಲಾಭಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.

ಇಡೀ ಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯು ಕೊನೆಗೊಂಡ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಿ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೌದು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ನೀವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದದನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗ: ಸಾಮಾನ್ಯ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ

ವಿಭಜನೆ ಅಥವಾ ಅನುವಾದವು ಸೀಮಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ: ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ

ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಭಾಗವು 1-2 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಈ ತಂತ್ರವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಛೇದನ ವೇಳೆ ಗೊತ್ತಾಗಿದೆ ಪಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಭಾಗವು 2 ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಂತರ ವಿಭಜನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ಎ= ಅನಂತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 0.3636... . 4 ರಿಂದ 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ, ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ, ಇದನ್ನು 0,(36) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 3 ಮತ್ತು 6 ಒಂದು ಅವಧಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭದ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಅಂಕೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ವ ಅವಧಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

0.1931818... 17 ಅನ್ನು 88 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲ. 1, 9, 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ವ ಅವಧಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; 1, 8 - ಅವಧಿ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಛೇದದ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್ 2 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ ಮೀನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎನ್ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಭಜಿಸುವಾಗ ಮೀಮೇಲೆ ಎನ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬ್ಯಾಲೆನ್ಸ್ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ n,ಆ. ಫಾರ್ಮ್ 1, 2, ..., ( ಎನ್– 1), ಇದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಶೇಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕೆಲವು ಶೇಷವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಶದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಆವರ್ತಕವಾಗುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹಿಡಿದಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಛೇದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು 2 ಮತ್ತು 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ, ಶುದ್ಧ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಭಾಗದ ಅವಧಿಯು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಛೇದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಂಶಗಳು 2 (ಅಥವಾ 5) ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವು ಮಿಶ್ರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅವಧಿಯ ಆರಂಭದ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಅಂಕೆಗಳು (ಪೂರ್ವ ಅವಧಿ) ಇರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 5 ಅಂಶಗಳ ಘಾತಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

2 ಮತ್ತು 3 ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಓದುಗರಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

28. ಅನಂತ ಆವರ್ತಕದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಿ ಎ= 0,(4), ಅಂದರೆ. 0.4444... .

ಗುಣಿಸೋಣ ಎ 10 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

10ಎ= 4.444…4…Þ 10 ಎ = 4 + 0,444….

ಆ. 10 ಎ = 4 + ಎ, ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 9 ಎ= 4 Þ ಎ = .

4 ಎಂಬುದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು 0, (4) ರ ಅವಧಿಯ ಎರಡೂ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮಶುದ್ಧ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು ಅವಧಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳಿರುವಂತೆಯೇ ಛೇದವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂಬತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಧಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಈಗ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಪ

ಎ= ಗುಣಿಸೋಣ ಎ 10 ರಂದು ಎನ್, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

10ಎನ್ × ಎ = = + 0, ;

10ಎನ್ × ಎ = + ಎ;

(10ಎನ್ – 1) ಎ = Þ a = = .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದೆ ರೂಪಿಸಿದ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಶುದ್ಧ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎ= 0.605(43) - ಮಿಶ್ರ ಆವರ್ತಕ. ಗುಣಿಸೋಣ ಎಅದೇ ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ 10 ರಿಂದ, ಪೂರ್ವ-ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ. 10 3 ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

10 3 × ಎ= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × ಎ = 605 + = 605 + = = ,

ಆ. 10 3 × ಎ= .

ನಿಯಮಮಿಶ್ರ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭದ ಮೊದಲು ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭದ ಮೊದಲು ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಛೇದವು ಅವಧಿಯ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂಬತ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ಮೊದಲು ಎಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪೂರ್ವಾವಧಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಈಗ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಪಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅವಧಿಯು ರಿಂದ ಗೆಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಿ

ಸೂಚಿಸೋಣ ವಿ= ; ಆರ್= ,

ಜೊತೆಗೆ= ; ನಂತರ ಜೊತೆಗೆ=× ನಲ್ಲಿ 10ಕೆ + ಆರ್.

ಗುಣಿಸೋಣ ಎಅಂತಹ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ 10 ರಿಂದ ಪ್ರಿಪೀರಿಯಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ. 10 ರಂದು ಎನ್, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎ× 10 ಎನ್ = + .

ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

a× 10ಎನ್= ವಿ+ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಿದ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಮಿಶ್ರ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಲುವಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು "ಶೂನ್ಯ" ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3,000... .

ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ) ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (9 ರ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ )