ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು.
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ- ಇದುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ವಿತರಣೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳುಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ Xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ಚೆಕ್ಮೇಟ್ ಕಾಯುತ್ತಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಊಹಾಪೋಹಗಾರ ಗಳಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವಿನ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವವರುಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಅನುಕೂಲ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಊಹಕ" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಊಹಿಸುವವರಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ).
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ) ಆಗಿದೆ
ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಟ್ಟು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ; ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| ಆರ್ | ಪು 1 | ಪು 2 | ಪು 3 | … | ಆರ್ ಪಿ |
ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X)ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ X.
ಉದಾಹರಣೆ 4.7.ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಕಂಡುಬರುವ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:
| X | ||||||
| ಆರ್ |
ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಹೀಗಿದೆ:
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ (ಎಸ್) = ಎಸ್.
2. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
M (CX) = CM (X).
3. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
M(XY) = M(X)M(Y).
ಉದಾಹರಣೆ 4.8. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ Xಮತ್ತು ವೈಕೆಳಗಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
| X | ವೈ | ||||||
| ಆರ್ | 0,6 | 0,1 | 0,3 | ಆರ್ | 0,8 | 0,2 |
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ XY ಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ Xಮತ್ತು ವೈಸ್ವತಂತ್ರ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ:
M(XY) = M(X)M(Y)=
ಪರಿಣಾಮ.ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
ಪರಿಣಾಮ.ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4.9.ಗುರಿಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ 3 ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪು 1 = 0,4; p2= 0.3 ಮತ್ತು ಪು 3= 0.6. ಒಟ್ಟು ಹಿಟ್‌ಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಮೊದಲ ಶಾಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X 1, ಇದು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 1 (ಹಿಟ್) ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪು 1= 0.4 ಮತ್ತು 0 (ಮಿಸ್) ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹಿಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಹೊಡೆತಗಳಿಗೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
M(X 2)= 0.3 ಮತ್ತು M(X 3)= 0,6.
ಹಿಟ್‌ಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳಲ್ಲಿನ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:
X = X 1 + X 2 + X 3.
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ M(S)=C
.
2. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: M(CX)=CM(X)
3. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(XY)=M(X) M(Y).
4. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
ಪ್ರಮೇಯ. n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(x) ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ: M(x) = np.
ಅವಕಾಶ X - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು M(X) - ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ. ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ X - M(X).
ವಿಚಲನವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ವಿಚಲನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಪರಿಹಾರ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
ವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
ಪರಿಹಾರ: M(x) ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X 2 ರ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ
| X 2 | |||
| ಪ | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05
ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಜೊತೆಗೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ: D(C)=0
2. ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸರಣ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. D(Cx)=C 2 D(x)
3. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ D(X)=npq
ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಸರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ Xವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
σ(X) = √D(X) (4)
ಉದಾಹರಣೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
| X | |||
| ಪ | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ σ(x)
ಪರಿಹಾರ: X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
X 2 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
ಪ್ರಮೇಯ. ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ. 6 ಪುಸ್ತಕಗಳ ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ 3 ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ 3 ಪುಸ್ತಕಗಳು. ಮೂರು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2.7 – 1.5 2 = 0.45
ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮಾದರಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು, ಪ್ರಸರಣ, ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ, ಸೂತ್ರಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ
ವಿಷಯವನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸಿ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ
ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಲ್ಲಿ, ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಬೆಲೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ Xಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ M(x).
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ ಆಟಗಾರನು ಗಳಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲುವುಗಳ ಮೊತ್ತ. ಜೂಜಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಆಟಗಾರನ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ "ಮನೆಯ ಅಂಚು" (ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು, ಇದು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
"ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಮಾರ್ಕ್ವಿಸ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1795) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು "ಗೆಲುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಹೈಜೆನ್ಸ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಪಾಫ್ನುಟಿ ಎಲ್ವೊವಿಚ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ (19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ) ನೀಡಿದರು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಚಲನ) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಥಿರ) ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಳವಾದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ನೀವು ಒಂದು ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ (ವಿವಿಕ್ತ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ), ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ "ಸ್ಮೀಯರ್" (ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ) , ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ "ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ" ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ "ಪ್ರತಿನಿಧಿ" ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ: "ಸರಾಸರಿ ದೀಪದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ 100 ಗಂಟೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಗುರಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಭಾವದ ಸರಾಸರಿ ಬಿಂದುವನ್ನು 2 ಮೀ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಅದರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅಂದರೆ. "ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X, ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x1, x2, ..., xnಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., pn. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ "ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಹಜ xi, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ xi ಅನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ತೂಕ" ದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ X, ನಾವು ಸೂಚಿಸುವ M |X|:
ಈ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
Xಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲಕ್ಷಣ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅವಲಂಬನೆಯು ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ) ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ. ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X, ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೌಲ್ಯ Xಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ x1ಕಂಡ ಮೀ1ಸಮಯ, ಮೌಲ್ಯ x2ಕಂಡ ಮೀ2ಬಾರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥ xi mi ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಾವು X ಮೌಲ್ಯದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ M|X|ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ M*|X|:
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಆವರ್ತನಗಳು ಪೈಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ M|X|ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಅದು ತನ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ). ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಒಂದು ರೂಪದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಇದು "ಬಹುತೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ" ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರೀಕರಿಸುವ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಖರವಾದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ದೇಹವನ್ನು ತೂಕ ಮಾಡುವಾಗ, ತೂಕದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ವೀಕ್ಷಣಾ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾವು ದೇಹವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ತೂಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ತೂಕಗಳು) ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಈ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ "ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೋಡ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.
ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಮೋಡಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು "ವಿರೋಧಿ ಮಾದರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಾಗಿರುವಾಗ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿರುವಾಗ, ಅದು ವಿತರಣೆಯ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಸಮ್ಮಿಟ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಸ್ಥವು ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ.
ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಮೋಡ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X(w)ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Lebesgue ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್ಮೂಲ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ:
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿಯೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಕ pxಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ X:
ಅನಂತ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಸಮಯ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಿತರಣೆಯ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸರಣ, ಸಹವರ್ತಿತ್ವ .
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ). ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕೆಲವು "ವಿಶಿಷ್ಟ" ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾತ್ರವು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ - ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ - ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ. ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಸ್ಥಳದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ - ಸರಾಸರಿಗಳು, ವಿಧಾನಗಳು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಪ್ರಸರಣ - ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅರ್ಥವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು (ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ) ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಲವರ್ಧಿತ ನಿಯಮದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2, 3, 4, 5 ಅಥವಾ 6 ಆಗಿರಬಹುದು). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಸರಾಸರಿ" ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪಾಯಕಾರಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಎಷ್ಟು?
ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಲಾಟರಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ಪದೇ ಪದೇ, ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಭಾಗವಹಿಸಿ). ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಟಿಕೆಟ್ ವಿಜೇತ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಬಹುಮಾನವು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟಿಕೆಟ್ನ ಬೆಲೆ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪರಿಮಿತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ನಷ್ಟಗಳು 300 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು 200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೇವೆ. (ಬಹುಮಾನದ ಮೈನಸ್ ವೆಚ್ಚ), ಅಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸರಾಸರಿ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ - ಸರಾಸರಿ 25 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವಿನಾಶದ ಸರಾಸರಿ ದರವು ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ 25 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಮೋಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ), ಆಗ ನಾವು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 3.5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೋಲ್ 3.5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೋಪಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಘನವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ!
ಈಗ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ:
ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವಿದೆ. X ಮೌಲ್ಯವು n ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ M(X) ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ), ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಇದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಪ್ಲೇಯಿಂಗ್ ಕ್ಯೂಬ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಎಸೆಯುವಾಗ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು 3.5 ಆಗಿದೆ (ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ). ನೀವು ಅದನ್ನು ಒಂದೆರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 4 ಮತ್ತು 6. ಸರಾಸರಿ 5 ಆಗಿತ್ತು, ಇದು 3.5 ರಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಸೆದರು, ಅವರು 3 ಪಡೆದರು, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿ (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಹೇಗಾದರೂ ದೂರ. ಈಗ ಒಂದು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡಿ - ಘನವನ್ನು 1000 ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ! ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾಗಿ 3.5 ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲಾಟರಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಪ್ಲೇಟ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ:
ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ, "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಮಾಡುವುದು, ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿದ್ದರೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿ, 75% ನಷ್ಟು ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು, 20% ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 5% ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.
ಈಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ:
ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ:
ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮ:
ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
X, Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ:
ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಹ ಸುಲಭ) ಕೆಲಸ XYಸ್ವತಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎನ್ಮತ್ತು ಮೀಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಂತರ XY nm ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ) ನಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಇಲ್ಲಿ X- ನಿಜವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, f(x)- ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ Xಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ 3 ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ -3 ಬದಲಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಇರಲಿ:
ಇದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೇಳೋಣ, ನಾವು ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗ |0; 1| , ನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸುಮಾರು 0.5 ಆಗಿರಬೇಕು.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು - ರೇಖಾತ್ಮಕತೆ ಇತ್ಯಾದಿ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಸೂಚಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂಚಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೇಟಾದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳೆಯಬಹುದು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ ಪ್ರಸರಣ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಕಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಲ್ಪನೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಡೇಟಾ ಹರಡುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.
ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪದಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣವು ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಚಲನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ನಾಶವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಾಸರಿ - ಚದರ - ವಿಚಲನಗಳು. ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂಬ ಮಾಯಾ ಪದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವು ಕೇವಲ ಮೂರು ಪದಗಳಲ್ಲಿದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಶುದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕ, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಹಾಯಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಾಪನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯೋಣ ಎನ್ಬಾರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಗಾಳಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಹತ್ತು ಬಾರಿ ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?
ಅಥವಾ ನಾವು ದಾಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಎಸೆತದೊಂದಿಗೆ ಡೈಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಡೈಸ್ ಥ್ರೋಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಡ್ರಾಪ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಕೂಡ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎನ್ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Mx = 3.5.
ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? ಒಳಗೆ ಬಿಡಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು n1ಒಮ್ಮೆ ನೀವು 1 ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಡೆದರೆ, n2ಒಮ್ಮೆ - 2 ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿದ್ದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:
ಅದೇ ರೀತಿ 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x x1, x2, ..., xk ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p1, p2, ..., ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. pk
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ Mx ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವೇತನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಸರಾಸರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಳ ಪಡೆಯುವ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p1 ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x x1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p2 ಒಂದೇ ಮತ್ತು 1/2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವಿಚಲನದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. s ಅಥವಾ s ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಡೇಟಾ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗಳು ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತಲೂ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
ಬದಲಾವಣೆ- ಏರಿಳಿತ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಕೊರತೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರೈಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (ವ್ಯತ್ಯಯ) ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸರಾಸರಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ(ಆರ್) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂಚಕವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಯ್ಕೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:
ಜೂಜಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಜೂಜುಕೋರನು ನೀಡಿದ ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಹಣ. ಇದು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಕಾರ್ಡ್ ಲೇಔಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.
ನೀವು ಸ್ನೇಹಿತನೊಂದಿಗೆ ಕಾಯಿನ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ $1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಏನೇ ಬಂದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಾಲ ಎಂದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, ತಲೆ ಎಂದರೆ ನೀವು ಸೋಲುತ್ತೀರಿ. ಆಡ್ಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಅದು ತಲೆ ಎತ್ತುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು $1 ರಿಂದ $1 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನೀವು ಎರಡು ಎಸೆತಗಳ ನಂತರ ಅಥವಾ 200 ರ ನಂತರ ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತೀರಾ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.
ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಲಾಭವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಹಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ... ನಿಮ್ಮ ಅವಕಾಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆ ನೋಡಿದರೆ ಗಂಭೀರ ಆಟಗಾರರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ತಪ್ಪಿದ್ದಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಸಮಯ ವ್ಯರ್ಥ.
ಆದರೆ ಅದೇ ಆಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ $1 ವಿರುದ್ಧ ಯಾರಾದರೂ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರತಿ ಪಂತದಿಂದ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. 50 ಸೆಂಟ್ಸ್ ಏಕೆ? ಸರಾಸರಿ, ನೀವು ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಮೊದಲ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 1 ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನೀವು $ 2 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ನೀವು $1 ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $1 ಗಿಂತ ಮುಂದಿರುವಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಪಂತವು ನಿಮಗೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದೆ.
ಒಂದು ನಾಣ್ಯವು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 500 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ $250 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ... ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು 250 ಬಾರಿ ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ. $500 ಮೈನಸ್ $250 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ $250, ಇದು ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು. ಪ್ರತಿ ಬೆಟ್‌ಗೆ ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತವಾದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಒಂದು ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು 500 ಬಾರಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ $250 ಗೆದ್ದಿದ್ದೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೂ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧ $2 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು, ಸತತವಾಗಿ ಮೊದಲ ಹತ್ತು ರೋಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸೋಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿ $1 ಬೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುವಿರಿ ಸಂದರ್ಭಗಳು. ನೀವು ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಪಂತಗಳನ್ನು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೀವು ಆರಾಮವಾಗಿ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಎಸೆತಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ.
ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಪಂತ), ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಗೆಲ್ಲಲು ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ ಕೈ ಕೊಟ್ಟರು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ನೀವು ಅಂಡರ್‌ಡಾಗ್ ಪಂತವನ್ನು (ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ಪಂತ) ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಗೆದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕೈ ಕಳೆದುಕೊಂಡರೂ ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.
ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಕಡೆ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕೆಟ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಆಡ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗಂಭೀರ ಆಟಗಾರರು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ; ಕೆಟ್ಟದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಅವರು ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಏನು? ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ ತರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಲ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಹೆಡ್‌ಗಳ ನಿಜವಾದ ಆಡ್ಸ್ 1 ರಿಂದ 1, ಆದರೆ ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತದಿಂದಾಗಿ ನೀವು 2 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ನೇಹಿತನು ಒಂದರಿಂದ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮ್ಮ $1 ಗೆ $5 ಗೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ಅಂತಹ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೇ? ಇಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಏನು?
ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ನಿಮ್ಮ ವಿರುದ್ಧದ ಆಡ್ಸ್ 4 ರಿಂದ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಡಾಲರ್ ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು 5 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, 4 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಸೋಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಡ್ಸ್ ನಿಮ್ಮ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಈ ಪಂತವನ್ನು ಐದು ಬಾರಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ನೀವು $1 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $5 ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಗೆ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ 20 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ $1 ಗಳಿಸುವಿರಿ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಗೆಲ್ಲಲು ಹೋಗುವ ಆಟಗಾರನು ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅವನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗೆಲ್ಲಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಅವನು ತನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಬಾಜಿಗಾರನು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಅದು ಅವನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶದೊಂದಿಗೆ $10 ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು $50 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, ನೀವು $2 ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಏಕೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ನೀವು $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ $50 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಂತಕ್ಕೆ $10 ನಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು $10 ಗೆಲ್ಲಲು $30 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ, 4 ರಿಂದ 1 ಗೆಲ್ಲುವ ಅದೇ ಆಡ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು $2 ನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಮತ್ತೆ $10 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು $10 ಲಾಭಕ್ಕಾಗಿ $30 ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಪಂತವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ಗೇಮಿಂಗ್ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಬುಕ್‌ಮೇಕರ್ ಫುಟ್‌ಬಾಲ್ ಅಭಿಮಾನಿಗಳನ್ನು $11 ಬಾಜಿ ಹಾಕಿ $10 ಗೆಲ್ಲಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ಪ್ರತಿ $10 ಮೇಲೆ 50 ಸೆಂಟ್‌ಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪಾಸ್ ಲೈನ್‌ನಿಂದ ಹಣವನ್ನು ಸಹ ಕ್ರ್ಯಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕ್ಯಾಸಿನೊದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ $100 ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು $1.40 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಟವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವ ಯಾರಾದರೂ ಸರಾಸರಿ 50.7% ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಮಯದ 49.3% ಅನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ. ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕರಿಗೆ ಅಗಾಧವಾದ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ವೇಗಾಸ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಮಾಲೀಕ ಬಾಬ್ ಸ್ಟುಪಕ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾವಿರದ ಒಂದು ಶೇಕಡಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ವಿಶ್ವದ ಶ್ರೀಮಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತದೆ."
ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಅತ್ಯಂತ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಧಾರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಶಸ್ವಿ ಪೋಕರ್ ಆಟವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು.
ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಎದುರಾಳಿಯು ಅವನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ನಂತರದ ಸುತ್ತಿನ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಬರುತ್ತವೆ). ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ:
ಪೋಕರ್ ಆಡುವಾಗ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕರೆಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟು ಇಕ್ವಿಟಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಸ್ವಂತ ಆಡ್ಸ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ನಿರ್ಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಅಪಾಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತಿ ಡಾಲರ್‌ಗೆ ನೀವು ಏನನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು (ಲಾಭ ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಟಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾದ ಆಟಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ, ಕ್ಲೈಂಟ್ ತನ್ನ ಹಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ "ಆಡ್ಸ್" ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೃತ್ತಿಪರ ಕ್ಯಾಸಿನೊ ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಆಟಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರ ಪರವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಪೇರಿಸಿ. ಹೂಡಿಕೆಗೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಬಹುದು. ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಮ್ಮ ಪ್ರತಿ ಗೆಲುವಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಲಾಭವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪೋಕರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮವು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಐದು ಕಾರ್ಡ್ ಡ್ರಾ ಪೋಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಮನೆಯನ್ನು ಹೊಡೆದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಬೆಟ್ ಎತ್ತಿದರೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೆಳೆಸುವುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಬೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಕರೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದೆ ಉಳಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ವಾಸವಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಪಂತವನ್ನು ನೀವು ಎತ್ತಿದಾಗ ನೀವು ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಕೇವಲ ಕರೆ ಮಾಡಿದಾಗ ನೀವು ಎರಡು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕರೆ ಮಾಡುವುದು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವ ಪೋಕರ್ ತಂತ್ರಗಳು ಕಡಿಮೆ ಲಾಭದಾಯಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವೆಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವು ಆಂಟೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ 75 ಸೆಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಆ ಕೈಯನ್ನು ಆಡಬೇಕು ಏಕೆಂದರೆ ಪೂರ್ವ $1 ಆಗಿರುವಾಗ ಮಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.
ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ನೀವು ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದು ನಿಮಗೆ ಮನಸ್ಸಿನ ಶಾಂತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ನೀವು ಉತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಡಚಿದರೆ, ನೀವು ಗಳಿಸಿದ್ದೀರಿ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲ ಆಟಗಾರನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದನು. ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ಬಲವಾದ ಕೈಯನ್ನು ಎಳೆದ ಕಾರಣ ನೀವು ಅಸಮಾಧಾನಗೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಮಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಎಲ್ಲದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಆಡದೆ ನೀವು ಉಳಿಸುವ ಹಣವನ್ನು ರಾತ್ರಿ ಅಥವಾ ತಿಂಗಳ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಎದುರಾಳಿಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಪೋಕರ್ ಲೇಖನದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಆಟಗಾರರು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ ನೀವು ಕೈಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಸಹ ಕಲಿಯಬಹುದು.
ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯ ಆಟದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಲಾಭದ ಗಂಟೆಯ ದರವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಪರ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪೋಕರ್ ಆಡಲು ಹೋದಾಗ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ಅನುಭವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಕೆಲವು ಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಡ್ರಾ ಲೋಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಆಡುತ್ತಿರುವಿರಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಟಗಾರರು $ 10 ಬಾಜಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಕೆಟ್ಟ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ $10 ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದಾಗ ಅವರು ಸುಮಾರು $2 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಇದನ್ನು ಗಂಟೆಗೆ ಎಂಟು ಬಾರಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಮೂವರೂ ಗಂಟೆಗೆ ಸುಮಾರು $48 ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಬ್ಬರಾಗಿರುವಿರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರು (ಮತ್ತು ಅವರಲ್ಲಿ ನೀವು) $48 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗಂಟೆಗೆ $12 ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಆಡ್ಸ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕೆಟ್ಟ ಆಟಗಾರರು ಕಳೆದುಕೊಂಡ ಹಣದ ನಿಮ್ಮ ಪಾಲಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಆಟಗಾರನ ಒಟ್ಟು ಗೆಲುವುಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ಹೆಚ್ಚು ನೀವು ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕೈಗಳನ್ನು ಆಡುತ್ತೀರಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಆಟವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಇದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಗಂಟೆಯ ಗೆಲುವನ್ನು ನೀವು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಗೇಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ
ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯಾಸಿನೊದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅವರು ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಸಿನೊಗಳು ಕುಡಿದ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡ್ ಎಣಿಸುವ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಸಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಗೆಲ್ಲಲು ಅನುಕೂಲವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ತಮ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ನಿಮ್ಮ ಅಂಚಿನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಹಣವನ್ನು ದಾನಕ್ಕೆ ನೀಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ನಲ್ಲಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಷ್ಟಗಳು, ಬೆಲೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಆಯೋಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೆಟ್ಟ ಗೇಮಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾಯುವಿಕೆ ಬ್ರೇಕ್-ಈವ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಟದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಿಂದ ಆಡುವುದು ಅನಾಹುತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಷೇರು ವ್ಯಾಪಾರ
ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವ್ಯಾಪಾರದ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಿನದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ವ್ಯಾಪಾರವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರಣಗಳು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಕೆಲಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯ, ಕೆಲಸದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.
ಟ್ರೇಡಿಂಗ್ ಖಾತೆಯ ಮಾನಿಟರಿಂಗ್ ಸೇವೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಠೇವಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು "ಸಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಔಟ್" ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಾಪಾರಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.
ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರದ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಅವನ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಪಾರದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಆದಾಯವನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟು ಮಾಡುವಾಗ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ತರುವ ಯಾವುದೇ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ಟಾಕ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಆಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಹಣವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಖಾತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ.
ಈ ಮೂಲತತ್ವವು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟಗಳು ಅಥವಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮಾನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ.
ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎಷ್ಟು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ; ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವೋ ಋಣಾತ್ಮಕವೋ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ನೀವು ಆ ಆಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲಾ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೀವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ! ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದೇ ಒಪ್ಪಂದದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ $10 ಗೆಲ್ಲುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಯ ನಂತರ), ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ $1,000 (ಕಮಿಷನ್‌ಗಳ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಜಾರುವಿಕೆಯ ನಂತರ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿಸಲು ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ವ್ಯಾಪಾರಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ.
ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಿಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ನೀವು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳು, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ನೀವು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಲಾಭವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಅದು ಎಷ್ಟು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಹಣವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.
ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿಮಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ನೀವು ಹಣ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ (ಕನಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ತೋರಿಸುವ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅವರು ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿವಿಧ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ನಿಮ್ಮ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿ.
ಹಣದ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ಸ್ಟಾಕ್ ವ್ಯಾಪಾರದ "ಹೋಲಿ ಗ್ರೇಲ್" ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ಅವನು ತನ್ನ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಈ ವಿಧಾನವು ಎಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸರಿಯಾದ ಹಣ ನಿರ್ವಹಣಾ ವಿಧಾನಗಳು, ಯಾವುದೇ, ತುಂಬಾ ಸಾಧಾರಣ ವ್ಯಾಪಾರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಪಾರಿ ತನ್ನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲು, ಅವನು ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಿವಾರ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು; ನಿಮ್ಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಇದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹಣವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ; ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.
ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳಿಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಬಹುದು. ಈ ಪದವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ನೀಡಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ.
ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಲಾಭದ (ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಲಾಭ ಮತ್ತು ನಷ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವ್ಯಾಪಾರ ತಂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ವಹಿವಾಟುಗಳಲ್ಲಿ 37% ಲಾಭವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗ - 63% - ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಶಸ್ವಿ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯವು $ 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವು $ 1.4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಪಾರದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಹಿವಾಟಿನಿಂದ ಸರಾಸರಿ $1,708 ಅನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದಕ್ಷತೆಯ ರೇಟಿಂಗ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೈಜ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಾರವು ನಾಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿ ವಹಿವಾಟಿನ ಲಾಭದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ % ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ಆದಾಯದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 5%;
- ಯಶಸ್ವಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 62%;
– 1 ವಹಿವಾಟಿಗೆ ನಷ್ಟದ ಶೇಕಡಾವಾರು - 3%;
- ವಿಫಲ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - 38%;
ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಾಪಾರವು 1.96% ತರುತ್ತದೆ.
ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ವಹಿವಾಟುಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದರ MO>0 ರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಆದರೆ, ಕಾಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೆಲವೇ ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಹಣ ಸಂಪಾದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯು ಬ್ಯಾಂಕ್ ಬಡ್ಡಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ 0.5 ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಿ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವರ್ಷಕ್ಕೆ 1000 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏನು? ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಪಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹಿಡುವಳಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್‌ಗಳು
dic.academic.ru - ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆನ್ಲೈನ್ ನಿಘಂಟು
mathematics.ru - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್
nsu.ru - ನೊವೊಸಿಬಿರ್ಸ್ಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್
webmath.ru ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಅರ್ಜಿದಾರರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪೋರ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ.
exponenta.ru ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗಣಿತ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್
ru.tradimo.com - ಉಚಿತ ಆನ್ಲೈನ್ ವ್ಯಾಪಾರ ಶಾಲೆ
crypto.hut2.ru - ಬಹುಶಿಸ್ತೀಯ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲ
poker-wiki.ru - ಪೋಕರ್ನ ಉಚಿತ ವಿಶ್ವಕೋಶ
sernam.ru - ಆಯ್ದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗ್ರಂಥಾಲಯ
reshim.su - ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೋರ್ಸ್‌ವರ್ಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ
unfx.ru - UNFX ನಲ್ಲಿ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ: ತರಬೇತಿ, ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಕೇತಗಳು, ಟ್ರಸ್ಟ್ ನಿರ್ವಹಣೆ
slovopedia.com – ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಸ್ಲೋವೊಪೀಡಿಯಾ
pokermansion.3dn.ru - ಪೋಕರ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ
statanaliz.info - ಮಾಹಿತಿ ಬ್ಲಾಗ್ "ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ"
forex-trader.rf - ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ-ವ್ಯಾಪಾರಿ ಪೋರ್ಟಲ್
megafx.ru - ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
fx-by.com - ವ್ಯಾಪಾರಿಗಾಗಿ ಎಲ್ಲವೂ
ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಟ್ಟು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ; ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಶೂಟರ್, ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಶೂಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.1: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು x 1, x 2, … x n, ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ p 1, p 2, … p n.ನಂತರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ Xಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
,
ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದರೆ ಎಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ.
ಪರಿಹಾರ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X- ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ
ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥ
ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೀ 1ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ x 1, ಮೀ 2ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ x 2 ,…, ಮೀ ಕೆಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯ x ಕೆ, ಮತ್ತು m 1 + m 2 + ...+ m k = n. ನಂತರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ X, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಇರುತ್ತದೆ
ವರ್ತನೆ m i/n- ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಐಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು x iಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ p i, ಎಲ್ಲಿ , ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ.
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಆಸ್ತಿ 1:ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಆಸ್ತಿ 2:ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.2: ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣವು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.3: ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳುಎಂದು ಕರೆದರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.
ಆಸ್ತಿ 3:ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಣಾಮ:ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆಸ್ತಿ 4:ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಣಾಮ:ಹಲವಾರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ X -ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದ ದಿನಾಂಕ ಎವಿ ಎನ್ಪ್ರಯೋಗಗಳು.
ಪರಿಹಾರ:ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ Xಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳು ಎಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ X i- ಈವೆಂಟ್ನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ i th ಪರೀಕ್ಷೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅಲ್ಲಿ . ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ
ಹೀಗಾಗಿ, n ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಉತ್ಪನ್ನ np ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪು = 0.6. 10 ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹೊಡೆದರೆ ಒಟ್ಟು ಹಿಟ್‌ಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತದ ಹೊಡೆತವು ಇತರ ಹೊಡೆತಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಯಸಿದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ