ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಯಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಜೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಮಾನವೀಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ: ಲೋಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವುದು, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಕಂದಕವನ್ನು ಅಗೆಯುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಇಂದು, ಕಾರುಗಳನ್ನು ರೋಬೋಟ್‌ಗಳಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮಲ್ಟಿಕೂಕರ್‌ಗಳಿಂದ ಆಹಾರವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಶಃ ರೋಬೋಟ್‌ಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಮನುಷ್ಯನ ಪಾತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಯಂತ್ರಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ.
ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ
ಗ್ರೀಕ್‌ನಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ತರ್ಕವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಚಿಂತನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವರಣ ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ಕೇಳುತ್ತೇವೆ: "ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವೇ?" ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ತರವು ನಮ್ಮ ಊಹೆಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಚಿಂತನೆಯ ರೈಲನ್ನು ಟೀಕಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ: ನಾವು ತರ್ಕವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ) ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದು, ಮಾನವನ ಮೆದುಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "ಜೀರ್ಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು" ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ತಿಂಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ವಾರ, ವರ್ಷ). ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಜೀವನವು ನಮಗೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಂತಹ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಸಹಾಯವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತೇವೆ.
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ
ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು "ಗಣಿತದ ತರ್ಕ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಇದರ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕಿರಿದಾದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹವು. ಈ ನಿರ್ದೇಶನವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದವರೆಗೆ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವೇ ಜನರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.
ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವಿಲ್ಲದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ ಘೋಷಿಸಿದ ವಿವಾದವು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ನಾವು ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೈಗಾರಿಕಾ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಹಾಯಕ ಯಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು.
ಮುಂದೆ ನೋಡುವಾಗ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬೌಲೆ ತನ್ನ ವಾದವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡನು.
ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್
ಲೇಖಕರ ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವವು ವಿಶೇಷ ಗಮನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದೆ ಜನರು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಬೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, 16 ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಜೆ. ಬುಲ್ ಹಳ್ಳಿಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು 20 ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಶಾಲೆಯನ್ನು ತೆರೆದರು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಲಿಂಕನ್. ಗಣಿತಜ್ಞನು ಐದು ವಿದೇಶಿ ಭಾಷೆಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದನು ಮತ್ತು ಅವನ ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಅವನು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಓದಿದನು. ಮತ್ತು ಇದೆಲ್ಲವೂ ಸರಳ ಕೆಲಸಗಾರನ ಮಗನ ಬಗ್ಗೆ!
1839 ರಲ್ಲಿ, ಬೂಲ್ ತನ್ನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಜರ್ನಲ್‌ಗೆ ಮೊದಲು ಕಳುಹಿಸಿದನು. ವಿಜ್ಞಾನಿಗೆ 24 ವರ್ಷ. ಬೂಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ರಾಯಲ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು ಎಂದರೆ 1844 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ನೀಡಿದ ಕೊಡುಗೆಗಾಗಿ ಪದಕವನ್ನು ಪಡೆದರು.ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕಟಿತ ಕೃತಿಗಳು ಯುವ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಕೌಂಟಿ ಕಾರ್ಕ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಹುದ್ದೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. . ಬುಹ್ಲ್ ಸ್ವತಃ ಯಾವುದೇ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಕಲ್ಪನೆ
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡು ಪದಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ: "ನಿಜ" ಅಥವಾ "ಸುಳ್ಳು". ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಸಂತಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮರಗಳು ಅರಳುತ್ತವೆ - ನಿಜ, ಬೇಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಅದು ಹಿಮಪಾತವಾಗುತ್ತದೆ - ಸುಳ್ಳು. ಈ ಗಣಿತದ ಸೌಂದರ್ಯವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ತೀರ್ಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬಳಸಬಹುದು: ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಬರವಣಿಗೆ ಸೂಚನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಘರ್ಷದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ. ಈ "ಹೇಗೆ" ಮತ್ತು "ಏಕೆ" ನಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವದ ಹೇಳಿಕೆ ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯ: ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಎಂದರೆ ಹೊಸ ವಿದೇಶಿ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು. ಯಾವುದೂ ಅಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ.
ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು
ಆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗದೆ, ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಇದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ:
- ಹೇಳಿಕೆಗಳ;
- ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು;
- ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾನೂನುಗಳು.
ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಎರಡು ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ದೃಢವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ (5 > 3) ಅಥವಾ ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಆನೆ ದೊಡ್ಡ ಸಸ್ತನಿ). ಇದಲ್ಲದೆ, "ಜಿರಾಫೆಗೆ ಕುತ್ತಿಗೆ ಇಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕೇವಲ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದನ್ನು "ಸುಳ್ಳು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಅವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿರಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ತೀರ್ಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಯುಕ್ತ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು
ತೀರ್ಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕವೆಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಕಳೆಯಲು ಅಥವಾ ಹೋಲಿಸಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆಯೇ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಂಶಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.
ಮೂಲಭೂತ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳು
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೆಂದರೆ ನಿರಾಕರಣೆ (NOT) ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಮತ್ತು OR. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ತೀರ್ಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ.
ನಿರಾಕರಣೆ (ಅಲ್ಲ) ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಒಪೆರಾಂಡ್) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಯುನರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "A ಅಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ¬A, A¯¯¯ ಅಥವಾ!A. ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ನಿರಾಕರಣೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: A ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ B ತಪ್ಪು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಂದ್ರನು ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಾನೆ - ನಿಜ; ಭೂಮಿಯು ಚಂದ್ರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ - ಸುಳ್ಳು.
ತಾರ್ಕಿಕ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ
ತಾರ್ಕಿಕ AND ಅನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಒಪೆರಾಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ AND ಒಂದು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಎರಡೂ ಒಪೆರಾಂಡ್‌ಗಳು (ಎ ಮತ್ತು ಬಿ) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ವತಃ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ. "ತಾಳ್ಮೆ ಮತ್ತು ಕೆಲಸವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪುಡಿಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಗಾದೆಯು ವ್ಯಕ್ತಿಯು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: A∧B, A⋅B ಅಥವಾ A&&B.
ಸಂಯೋಗವು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ಹಾಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ - ತಾರ್ಕಿಕ ಗುಣಾಕಾರ. ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆಯಂತೆಯೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಡಿಜಂಕ್ಷನ್ ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರಲ್ಲಿ (ಎ ಅಥವಾ ಬಿ) ಸತ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: A∨B, A+B ಅಥವಾ A||B. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:
ವಿಘಟನೆಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 1+1=1. ಆದರೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು 0 ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಅಲ್ಲಿ 1 ನಿಜ, 0 ತಪ್ಪು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಮ್ಯೂಸಿಯಂನಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೇರುಕೃತಿಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂವಾದಕನನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಬಹುದು" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ನೀವು ಕಲಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು ಅಥವಾ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾನೂನುಗಳು
ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯುಕ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಅರ್ಥವಾಗುವ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಆಸ್ತಿಯು ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ OR, ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಚಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಹಭಾಗಿತ್ವಅಂದರೆ "ಮತ್ತು A, ಮತ್ತು B, ಮತ್ತು C" ನಂತಹ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆಪರೇಂಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು:
(A∧B)∧B=A∧(B∧B)=A∧B∧B,
(A∨B)∨B=A∨(B∨B)=A∨B∨B.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿಭಜನೆಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.
ಸಂವಹನಶೀಲತೆಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ವಿಘಟನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
ವಿತರಣೆಸಂಕೀರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಂತೆ ನಿಯಮಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ:
A∧(B∨B)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
ಒಂದು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಇದು ಒಪೆರಾಂಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸದೃಶವಾಗಿದೆ:
A∧0=0,A∧1=A; A∨0=A,A∨1=1.
ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸಿಎರಡು ಸಮಾನ ಒಪೆರಾಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಅನಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು "ಎಸೆಯಬಹುದು" ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಇವೆರಡೂ ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.
B∧B=B; B∨B=B.
ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಹ ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಒಪೆರಾಂಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅದೇ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಪೆರಾಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆದ್ಯತೆಯಿದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗೌರವಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವಪೂರ್ಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಹತ್ವದ್ದಕ್ಕೆ ಶ್ರೇಯಾಂಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
1. ನಿರಾಕರಣೆ.
2. ಸಂಯೋಗ.
3. ಡಿಜಂಕ್ಷನ್, ವಿಶೇಷ ಅಥವಾ.
4. ತಾತ್ಪರ್ಯ, ಸಮಾನತೆ.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕೇವಲ ನಿರಾಕರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗವು ಸಮಾನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಣೆಯ ಆದ್ಯತೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ OR ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಆದ್ಯತೆಗಳು.
ತಾತ್ಪರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೂಲಭೂತ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ.
ಸೂಚನೆ, ಅಥವಾ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅದರ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು "if... then" ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವಾಕ್ಯವಾಗಿದೆ. "ನೀವು ಸವಾರಿ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಸ್ಲೆಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ." ಅಂದರೆ, ಸವಾರಿ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸ್ಲೆಡ್ ಅನ್ನು ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬೇಕು. ನೀವು ಪರ್ವತದ ಕೆಳಗೆ ಸ್ಲೈಡ್ ಮಾಡಲು ಬಯಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸ್ಲೆಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: A→B ಅಥವಾ A⇒B.
ಎರಡೂ ಒಪೆರಾಂಡ್‌ಗಳು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮಾನತೆ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂರ್ಯನು ದಿಗಂತದ ಮೇಲೆ ಉದಯಿಸಿದಾಗ (ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ) ರಾತ್ರಿ ಹಗಲಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: A≡B, A⇔B, A==B.
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇತರ ನಿಯಮಗಳು
ತೀರ್ಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಹೊಸ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಕಾಟಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ O. ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿಕಟ ನಿರಾಕರಣೆ, ಪೂರಕ ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆಗಳಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು.
ಮುಚ್ಚು ನಿರಾಕರಣೆಆವರಣದ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ ನಿರಾಕರಣೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ: ಅಲ್ಲ (A ಅಥವಾ B) = A ಅಲ್ಲ ಅಥವಾ B ಅಲ್ಲ.
ಒಪೆರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಅದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಸ್ವತಃ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆ. ಒಪೆರಾಂಡ್ ಮೊದಲು ನಿರಾಕರಣೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಳಿದಿದೆ.
ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು (ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಒಳಹರಿವು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು), ತದನಂತರ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.
ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು? ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ). ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು (ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.).
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಕಟ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆಗ ಉತ್ತರವು ತಾನಾಗಿಯೇ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ.
ಪರಿಚಯ
ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಿಷಯವು "ಗಣಿತದ ತರ್ಕ" ಆಗಿದೆ.
BOOL ಅಥವಾ BUL, BUUL, ಜಾರ್ಜ್ (1815-1864) - ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಸ್ಥಾಪಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಸ್ವರೂಪಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಷಯವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್‌ಗೆ ಹಿಂದಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅರಿಸ್ಟಾಟಿಲಿಯನ್ (ಔಪಚಾರಿಕ) ತರ್ಕವು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ ಅವರ "ದಿ ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಥಾಟ್" ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು.
ಡಿಜಿಟಲ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷಿಪ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ 50 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು.
1. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಂಶಗಳು
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ.
ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ವಾಕ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು.
ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.
ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು n ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರ ಉದ್ದೇಶವು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ (ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.
1.1 ತಾರ್ಕಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತರ್ಕದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಸತ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇವುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1 (ನಿಜ) 0 (ಸುಳ್ಳು).
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು 1 ಅಥವಾ 0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದಗಳು 1 ಅಥವಾ 0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ಅಥವಾ ಬೂಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು (FAL). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ (ಬೂಲಿಯನ್) ವೇರಿಯೇಬಲ್ Xಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.ಹೀಗಾಗಿ,
- ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯ, ಇದರಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಯೋಗದಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (ಓದಿ ಮತ್ತು), ವಿಭಜನೆ ( ಅಥವಾ), ತಾತ್ಪರ್ಯ, ಸಮಾನತೆ, ನಿರಾಕರಣೆ ( ಅಲ್ಲ), ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
(&, ·), ~, – (), ಮತ್ತು ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವು ಹೊಂದಿದೆ:| x~y | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
ಇದು FAL ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಕೋಷ್ಟಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ X , ವೈ , …, z(ಬಹುಶಃ ಸೂಚ್ಯಂಕ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು - FAL ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾರ್ಗ.
ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಭಾಷೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
~, -. ಈ ಭಾಷೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:1) ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ;
2) ವೇಳೆ ಪಮತ್ತು ಪ್ರ- ಸೂತ್ರಗಳು, ನಂತರ
ಪ ~ ಪ್ರ, - ಸೂತ್ರಗಳು.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ
~ - ಸೂತ್ರ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ X , ವೈ , zಬೈನರಿ ಸೆಟ್ 0, 1 ರಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ನಾವು ಮೌಲ್ಯ 0 ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರ
~ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಗಂ (X , ವೈ , z):| X | ವೈ | z | ಗಂ (x, y, z) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
ಅವಕಾಶ ಪಮತ್ತು ಪ್ರ- ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು f (X 1 , X 2 , …, x n) ಮತ್ತು ಜಿ (X 1 , X 2 , …, x n) ಸೂತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆ: ಪ = ಪ್ರ, ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ fಮತ್ತು ಜಿಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅವರ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್, ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ
– ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವರ ಸಂಪರ್ಕ, ~:1. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಣೆಯ ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸಿ:
.2. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಣೆಯ ಸಂವಹನ:
.3. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಣೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ:
.4. ವಿಂಗಡಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಗದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಘಟನೆ:
.
5. ಡಬಲ್ ನೆಗೆಟಿವ್:
.6. ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಕಾನೂನುಗಳು:
=, =.7. ಅಂಟಿಸುವುದು:
.8. ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ
.9. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು 0 ಮತ್ತು 1 ರೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು.
"ಎಲ್ಲಾ ಕಾಗೆಗಳು ಕಪ್ಪು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಪ್ಪು ಅಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳು ಕಾಗೆಗಳಲ್ಲ." ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಳಲು ನೀವು ಪಕ್ಷಿ ತಜ್ಞರಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಿತರಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಸತ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ (ಕಾಗೆಗಳು, ಕಪ್ಪು, ಪರಿಪೂರ್ಣ, ಸಹ) - ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಕಾರಣದಿಂದ ನಿಜ. ಈ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ತರ್ಕದ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತರ್ಕವು ಸರಿಯಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ - ಆರಂಭಿಕ ಆವರಣಗಳು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳು.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ವಿಷಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಅವಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾಳೆ. ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.
ಗಣಿತಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ತಜ್ಞರು, ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸಂಗೀತ ಕಚೇರಿ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯ, ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.
“ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುಸ್ತಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಓದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಶಂಕುಗಳು, ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅದನ್ನು ಓದಲು ತುಂಬಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಜಿ. ಗೆಲಿಲಿಯೋ
ಯಾವ ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ಅವಳು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾಳೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ವಿವರಿಸೋಣ. ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ? ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ಅನ್ವಯವು ಜೈವಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಇದನ್ನೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇತರವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ದೈನಂದಿನ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ "ಹೇಳಿಕೆ" ಮತ್ತು "ಸಾಕ್ಷ್ಯ" ಪದಗಳ ಅರ್ಥವು ತುಂಬಾ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ವಿಶೇಷ ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ವಾಕ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪುರಾವೆಗಳು. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು "ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಅನಲಾಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು - ತೀರ್ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಪುರಾವೆ). "ಪ್ರಮೇಯ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಅನಾಲಾಗ್ "ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ" (ಅಂದರೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆ, ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬೇಡಿಕೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ? ಇದು "ಲೈವ್", ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು) "ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು", ಅಂದರೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೂತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರಸ್ತುತ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು (ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣಗಳು) ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖವಾದವು ಔಪಚಾರಿಕ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಔಪಚಾರಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವು 1931 ರಲ್ಲಿ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕೆ. ಗೊಡೆಲ್ ಅವರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ "ಸಮಂಜಸವಾದ" ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ ವಾಕ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೂತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಅದರ ನಿರಾಕರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ "ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಂಜಸವಾದ" ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗದ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. "ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಂಜಸವಾದ" ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಹೆಚ್ಚಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಔಪಚಾರಿಕ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ!
ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಹೆಸರಿಸೋಣ. ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ "ಅರ್ಥ" ಹೇಗೆ ನೀಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಏನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತರ್ಕದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈಗ ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಿಸ್ತು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ.
ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಅನೇಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕ್ರಮೇಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದವು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಕನೆಕ್ಟಿವ್‌ಗಳು (ಸಂಯೋಗ, “ಮತ್ತು”), (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್, “ಅಥವಾ”), (ಸೂಚನೆ, “ಇದ್ದರೆ... ನಂತರ...”), (ನಿರಾಕರಣೆ, “ಅದು ನಿಜವಲ್ಲ”) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ- ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ (ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ, "ಎಲ್ಲರಿಗೂ") ಮತ್ತು (ಅಸ್ತಿತ್ವ, "ಅಸ್ತಿತ್ವ") ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅರ್ಥ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಹೆಸರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದವುಗಳಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕ ಕನೆಕ್ಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಚಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅದರ ಘಟಕ ಭಾಗಗಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿಜ (I) ಅಥವಾ ತಪ್ಪು (F) ಎಂದು ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರನ್ನು ಕರೆತರೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐದನೇ ಕಾಲಮ್ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜ ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೇಳಿಕೆಗಾಗಿ 
.
|
|
|
||||
ಅದನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಈ ಹೇಳಿಕೆ (ಆರನೇ ಕಾಲಮ್) ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೇಳಿಕೆ "
ನಾವು "-ಕಾಗೆ", ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ - "-ಕಪ್ಪು", ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ - "-ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್", ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ - "- ಸಹ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯ
ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ
ಇನ್‌ಸ್ಟ್ರುಮೆಂಟ್ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ವಿಜ್ಞಾನ
ವಿಭಾಗ: "ಫಿಲಾಸಫಿ"
ಶಿಸ್ತು: "ಲಾಜಿಕ್"
ವಿಷಯ ಸಂಖ್ಯೆ. 31: "ಗಣಿತದ ತರ್ಕ: ವಿಷಯ, ರಚನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು"
ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ:
1 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ
ಪೂರ್ಣ ಸಮಯದ ಅಧ್ಯಾಪಕರು IT-7
ರೆಕಾರ್ಡ್ ಕೋಡ್ 120177IT
ಪ್ರಿಟ್ಕೋವ್ ಯೂರಿ ಸೆರ್ಗೆವಿಚ್
ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಪ್ರೊಫೆಸರ್, ಪಿಎಚ್.ಡಿ.
ಬ್ಲಾಜ್ಕೊ ನಿಕೊಲಾಯ್ ಇಲಿಚ್
ಮಾಸ್ಕೋ - 2012
ಪರಿಚಯ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ವಿಷಯ
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು
ನಿರಾಕರಣೆ
ಸಂಯೋಗ
ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್
ತಾತ್ಪರ್ಯ
ಸಮಾನತೆ
ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಹೇಳಿಕೆ
ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್
ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್
ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ
ತೀರ್ಮಾನ
ಪರಿಚಯ
ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ನಮಗೆ ಬಂದಿರುವ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ನ "ಅನಾಲಿಟಿಕ್ಸ್" (384-322 BC). ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕವು ಇಪ್ಪತ್ತು ಶತಮಾನಗಳಿಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಪ್ರಮುಖ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿತ್ತು. BOOL ಅಥವಾ BUL, BUUL, ಜಾರ್ಜ್ (1815-1864) - ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಸ್ಥಾಪಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಅರಿಸ್ಟಾಟಿಲಿಯನ್ ತರ್ಕದ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿತು ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು. ಬೌದ್ಧ ತರ್ಕವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿತು, ಆದರೆ ಇದು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಯುರೋಪಿಯನ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಸ್ತಿಯಾಯಿತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ನ ತರ್ಕದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ನಿಯಮಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ವಿಷಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ, ಅವರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ದೇಶ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವಾಕ್ಯಗಳಾಗಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥಿತೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ತರ್ಕವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ
ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ನಿಬಂಧನೆಗಳು - ಮೂಲತತ್ವಗಳು - ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಕ್ಷೀಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕೈಗೊಂಡರು. ನಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಆರಂಭಗಳು ದೋಷರಹಿತ ಅಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಇಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು (ಬಿಂದು, ನೇರ ರೇಖೆ, ಸಮತಲ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸದ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅಗತ್ಯವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಬಂಧನೆಗಳ ಸತ್ಯವು ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ.
ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಕ್ಷೀಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಈ ವಿಧಾನವು 19 ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ. N. I. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ (1792-1856) ಕೃತಿಗಳು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸಿದವು. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಐದನೇ ನಿಲುವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಿದರು. ನಂತರ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಫ್. ಕ್ಲೈನ್ (1849-1925) ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ N. I. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು F. ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮುಖ್ಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಎರಡು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.
ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟೇಶನ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಆಯ್ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು (ಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ) ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು (ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು). ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಿ. ರಸ್ಸೆಲ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ. ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ , ಅದು ತನ್ನನ್ನು ತನ್ನ ಅಂಶವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸಹಜ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸೆಟ್ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ - ಅಸಹಜ ಒಂದು ಗೊಂಚಲು. ಎಲ್ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. L ಸೆಟ್ ಯಾವ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ? ಎಲ್ ವೇಳೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್, ನಂತರ ಎಲ್ Î ಎಲ್, ಅಂದರೆ. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಅದು ತನ್ನ ಅಂಶವಾಗಿ ತನ್ನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಹಜ . ಎಲ್ ವೇಳೆ - ಅಸಹಜ ಸೆಟ್, ನಂತರ ಎಲ್ Ï ಎಲ್, ಅಂದರೆ. ನಡುವೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ L ತನ್ನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಫೈನ್ . ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ZERMELO ಗೆ ಅಕ್ಷೀಯ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಂತರದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು ಮತ್ತು ಸುಧಾರಣೆಗಳು ಆಧುನಿಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳು ಅದರ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಡಿ. ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ (1862-1943) ಮತ್ತು ಅವರ ಶಾಲೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದೆ. ಅವು ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರರಿಂದ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ತರ್ಕವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮೆಥಮಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪುರಾವೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆದರು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ವಾಕ್ಯರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಇತರರಿಂದ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ವಿಷಯ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾದ ಜ್ಞಾನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಮೆಟಾಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ``ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ" ಆಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, "ಸಾಕ್ಷ್ಯ" (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ) ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಏಕೈಕ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ರೂಪದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ "ಯಾಂತ್ರಿಕ" ಪಠ್ಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ (ಸೂತ್ರಗಳು) ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ನಮ್ಮ ಆಲೋಚನೆಗಳಿಗೆ) ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಕೆಲವು ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶಬ್ದಾರ್ಥಕ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (``ಅರ್ಥ'' ಎಂಬ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ) ಮತ್ತು ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೆಮ್ಯಾಂಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಜನರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, "ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ - ``ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ'' ("ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಮತ್ತು "ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" ಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಸ್ತುವು ಪಠ್ಯದ ಸಾಲುಗಳು (ಅಕ್ಷರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು) ಇವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
ವರ್ಣಮಾಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್).
ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್ ಎಂಬ ಹಲವು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳು ತೀರ್ಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರದಿಂದ (ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಗಳ ಸೆಟ್) ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ನಿರ್ಣಯದ ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು
ನಿರಾಕರಣೆ
ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಯು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ "ನಿಜ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ವಿಶೇಷ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ನಿರಾಕರಣೆಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪಾತ್ರಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಬಾಹ್ಯ ನಿರಾಕರಣೆ (ಪ್ರತಿಪಾದನೆ) ಮತ್ತೊಂದು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಲ್ಲ) ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಾಕರಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯವಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರಾಕರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ನಂತರ ನಿರಾಕರಣೆ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.
ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರಾಕರಣೆಯು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿಶೇಷ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, "\negation", "-" ಅಥವಾ "-1" ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ಮುಲಾ A ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸೂತ್ರ -A ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ನಿರಾಕರಣೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರಾಕರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ನಿರಾಕರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕೆಲವು ಏಕೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ತತ್ವಗಳ ಬಗ್ಗೆ (ನೋಡಿ: ಡನ್ ಜೆ.ಎಂ. ಮತ್ತು ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಡ್‌ಗ್ರೀ G.M. ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳು (ಆಕ್ಸ್‌ಫರ್ಡ್, 2001).
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯ (ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ) ನಿರಾಕರಣೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಅಗತ್ಯತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: (I) A ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸುಳ್ಳು), ಆಗ ಅಲ್ಲ-A ತಪ್ಪು (ನಿಜ); (II) ಅಲ್ಲ-A ನಿಜ (ಸುಳ್ಳು), ನಂತರ A ತಪ್ಪು (ನಿಜ). ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು (I) ಮತ್ತು (II) ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (1) A p-iB => B (= -, A, "ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (1) ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರಾಕರಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ a ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ನಿರಾಕರಣೆ.ಆದಾಗ್ಯೂ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ (1) ಅನ್ನು ಎರಡು ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು: (2) A (= B => -,B p-Au(3)A(= - 1 - A, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ತಿಳಿದಿದೆ, "ವಿರೋಧಿ" ಮತ್ತು "ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆ ಪರಿಚಯ". ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (2) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (3) ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. 3) ಮತ್ತು "ಡಬಲ್ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ" ತತ್ವವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ: (4) -. - A = A. ಕನಿಷ್ಠ ನಿರಾಕರಣೆ (ಅಂದರೆ, ತೃಪ್ತಿಕರ ಸ್ಥಿತಿ (1) ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಗಳು (2) ಮತ್ತು (3) ಒಟ್ಟಿಗೆ), ಯಾವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ( 4) ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ನಿರಾಕರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ನಿರಾಕರಣೆ (5 ): ಒಂದು ವೇಳೆ - B, ನಂತರ ಯಾವುದೇ C ಗೆ A p C ("ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಆಸ್ತಿ") - ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ನಿರಾಕರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ತತ್ವ (6) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿರುತ್ತದೆ: B |=Au-S p A ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ C ಗೆ C p A. ಈ ನಿರಾಕರಣೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ನಿಜ. ಪ್ಯಾರಾಕಾನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ ಲಾಜಿಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ನಿರಾಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ನಿರಾಕರಣೆ (ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ (2), (3), (4)), ಇದಕ್ಕಾಗಿ (5) ಅಥವಾ (6) ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಆರ್ಥೋ-ನೆಗೆಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಮೂಲತತ್ವ ಮತ್ತು ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಆರ್ಥೋ-ನಿರಾಕರಣೆ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಬೂಲ್ ನಿರಾಕರಣೆ ಅಥವಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರಾಕರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆಂತರಿಕ ನಿರಾಕರಣೆ ಸರಳ ಹೇಳಿಕೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಕೊಪುಲಾ (ಋಣಾತ್ಮಕ ಕೊಪುಲಾ) ಮತ್ತು ಪದ ನಿರಾಕರಣೆ ಭಾಗವಾಗಿ ನಿರಾಕರಣೆ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಕೊಪುಲಾದ ಭಾಗವಾಗಿ ನಿರಾಕರಣೆಯು "ಅಲ್ಲ" ಎಂಬ ಕಣವನ್ನು ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯಾಪದದ ಮೊದಲು (ಒಂದು ಇದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಕ್ರಿಯಾಪದದ ಮೊದಲು ನಿಂತಿರುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಇವಾನ್ ಪೀಟರ್ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ"), ಅಥವಾ ವರ್ಗೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ತೀರ್ಪುಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪದ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ "ಅಲ್ಲ" ಅಥವಾ ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ("ಎಲ್ಲಾ ಬಲಿಯದ ಸೇಬುಗಳು ಹಸಿರು").
ಸಂಯೋಗ
ಎರಡು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಂಯೋಗವು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸಂಯೋಗದಿಂದ - ಯೂನಿಯನ್, ಸಂಪರ್ಕ), ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ - "ಮತ್ತು" ಸಂಯೋಗದ ಸಹಾಯದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಂಯೋಗದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಜವಾದ ವಾಕ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಗದ ಬಗ್ಗೆ). ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಗವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಕಾರ್ಯ; ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: &,); ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅದರ ಘಟಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ನಿರಾಕರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಗವು ಪ್ರತಿಪಾದನಾ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಯೋಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ (ಅಂದರೆ, A & B ಮತ್ತು B & A ನ ಸಮಾನತೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ, ಅಂದರೆ ಆದೇಶದ ಸಂಯೋಗದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ (ಅಂತಹ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: "ತರಬೇತುದಾರ ಶಿಳ್ಳೆ ಹೊಡೆದನು ಮತ್ತು ಕುದುರೆಗಳು ಓಡಿದವು").
ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್
ಎರಡು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ವಿಂಗಡಣೆ - ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜ
(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಟಿಯೊದಿಂದ - ಡಿಸ್ಯೂನಿಯನ್, ಐಸೋಲೇಶನ್), ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ - "ಅಥವಾ" ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಾಕ್ಯಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆ, ಪರ್ಯಾಯತೆ ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ವಿಘಟನೆಯು ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಕಾರ್ಯ) ಇದು A ಮತ್ತು B ವಾಕ್ಯಗಳಿಂದ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ A V B ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ವಿಘಟನೆಯ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ: <#"justify">ತಾತ್ಪರ್ಯ
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೂಚ್ಯತೆಯು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಬಿ ತಪ್ಪು ಮತ್ತು ಎ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಇಂಪ್ಲಿಕೇಶಿಯೊದಿಂದ - ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವುದು, ಇಂಪ್ಲಿಕೊದಿಂದ - ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು) - ವ್ಯಾಕರಣ ರಚನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ “ಒಂದು ವೇಳೆ .., ನಂತರ. ..”, ಇದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಎರಡು ಸರಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವಭಾವಿ (ನೆಲ) ಇದೆ - "ಇಫ್" ಪದದ ನಂತರ ಬರುವ ಹೇಳಿಕೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ (ಪರಿಣಾಮ) - "ನಂತರ" ಪದದ ನಂತರದ ಹೇಳಿಕೆ. ಒಂದು ಸೂಚ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ತರ್ಕದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ದೈನಂದಿನ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಎರಡರಲ್ಲೂ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವುದು.
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಗ್ರೌಂಡರ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೌಂಡೆಡ್ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದರ ಸ್ವಭಾವವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆವರಣದ ನಡುವೆ ನಡೆಯುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ತೀರ್ಮಾನದ ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ("ಎಲ್ಲಾ ಜೀವಂತ ಬಹುಕೋಶೀಯ ಜೀವಿಗಳು ಮರ್ತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜೆಲ್ಲಿ ಮೀನು ಅಂತಹ ಜೀವಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮರ್ತ್ಯವಾಗಿದೆ"). ಸಂಪರ್ಕವು ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿಯಮವಾಗಿರಬಹುದು (“ಒಂದು ದೇಹವು ಘರ್ಷಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟರೆ, ಅದು ಬಿಸಿಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ”) ಅಥವಾ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧ (“ಚಂದ್ರನು ಅಮಾವಾಸ್ಯೆಯಂದು ತನ್ನ ಕಕ್ಷೆಯ ನೋಡ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸೂರ್ಯಗ್ರಹಣ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ"). ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಾಮಾಜಿಕ ಮಾದರಿ, ನಿಯಮ, ಸಂಪ್ರದಾಯ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. (“ಆರ್ಥಿಕತೆಯು ಬದಲಾದರೆ, ರಾಜಕೀಯವೂ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ”, “ಒಂದು ಭರವಸೆ ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು”).
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸಂಪರ್ಕವು ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೊಂದಿಗೆ "ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಇದೆ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ನಾವು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯು "ಬಿಸ್ಮತ್ ಲೋಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡಕ್ಟೈಲ್ ಆಗಿದೆ" ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನನ್ನು "ಎಲ್ಲಾ ಲೋಹಗಳು ಡಕ್ಟೈಲ್" ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆ, ಸಮರ್ಥನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ಹಲವಾರು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು s.l ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಅಥವಾ ನಿಯಮ (“ನನಗೆ ಬೇಕಾದರೆ, ನಾನು ನನ್ನ ಮೇಲಂಗಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ”), ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ (“ಕಳೆದ ಬೇಸಿಗೆ ಶುಷ್ಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವರ್ಷ ಮಳೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ”), ವಿಚಿತ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಪನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ (“ ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ನಾನು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಮಹಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ"), ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ("ಉದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಎಲೆಕೋಸು ಬೆಳೆದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸೇಬು ಮರವು ತೋಟದಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ"), ಇತ್ಯಾದಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ಅವು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ವಿವಿಧ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು ವಸ್ತು ಪರಿಣಾಮ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂಚನೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಇಂಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕದ ಮುಖ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಪೂರ್ವಕಥೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಚ್ಯವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯು "A ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ B" A ಮತ್ತು B ನಲ್ಲಿ ಏನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ; "A ಭೌತಿಕವಾಗಿ B ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಂತಹ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸೂಚನೆಯನ್ನು (ತಾರ್ಕಿಕ) ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಾದರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: "ಎ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಬಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದರೆ "ಎ ನಿಜವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಬಿ ಸುಳ್ಳಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ."
ಸಂಬಂಧಿತ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಯೋಗವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂಚನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಮಾನತೆ
ಎರಡು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಲೇಟ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ - ಸಮಾನ) - ಸಮಾನತೆಯಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರು, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಸಮಾನತೆ (ಅರ್ಥ, ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ, ವಿಷಯ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅಥವಾ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆ) ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಹೋಲಿಕೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು; ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್; ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳ ಇತರ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆ (ಗುರುತಿನ)
(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ "ರಚನೆ" ಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ, "ರಚನೆ" ಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ). ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಡಿಸ್ಜೋಂಟ್ "ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕ-ಗಣಿತದ (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ (ಪರಿಚಯಿಸುವ) ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a/b ಮತ್ತು c/d ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ad=bc ಆಗಿದ್ದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ (ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪರಸ್ಪರ ಸಮನಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿ); ಸಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಮಾನವಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಒಬ್ಬರು ಆಗಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
"ಸಮಾನತೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಕೇವಲ) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿ ("ಸಮಾನತೆ" ಬದಲಿಗೆ "ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಮಾನತೆ", "ಸಮಾನತೆ" ಬದಲಿಗೆ "ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆ", "ಗುರುತಿನ" ಬದಲಿಗೆ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ಪದಗಳ ಸಮಾನತೆ" ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.).
ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಹೇಳಿಕೆ
ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್.
ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ("xA(x)") ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೂ x ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೇಳಿಕೆ A(x) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಸ್ತಿತ್ವ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್.
ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ($xA(x)) ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ವಸ್ತು x ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹೇಳಿಕೆ A(x) ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ರಚನೆ
"ಗಣಿತದ ತರ್ಕ" ವಿಭಾಗವು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆ ತರ್ಕ (ಮೊದಲ ಕ್ರಮ). ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕದ ಕೋಷ್ಟಕ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತ ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.
ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ
ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸದ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ವಿಷಯದ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸದ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಕ್ಷೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಇತಿಹಾಸವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತವಾಗಿದೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನೀಡಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ರಚನೆಯು ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು (ವಿವರಣೆಗಳು) ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳು (ಸ್ಪಷ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳು) ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅವರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಯಿತು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಪಾತ್ರದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತೀರ್ಮಾನವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ತರುವಾಯ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಯಿತು, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು: ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ತತ್ವವನ್ನು ಡಿ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ: "ನಾವು ಅಂಕಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಟೇಬಲ್‌ಗಳು, ಕುರ್ಚಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಯರ್ ಮಗ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕು." ಅಂತಹ ಬದಲಿ ನಂತರ ಪುರಾವೆಯು ಅದರ ಸಾಕ್ಷ್ಯಾಧಾರದ ಬಲವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಶೇಷ ಊಹೆಗಳು ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಧಿಸಿದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಲಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು D. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ "ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ" ನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಕೆಲಸವಾಗಿರಬಹುದು.
ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಹೇಳಲಾದ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ ಅಥವಾ "ಪ್ರಕೃತಿ" ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಾಬೀತಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿವೆ (ಸ್ಪಷ್ಟ ಸತ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ). ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಸ್ತುಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ನೀವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.
ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ, ಎಲ್ಲಾ ವಿಶೇಷ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅನಿವಾರ್ಯ ಅಕ್ಷೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಉಚಿತ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ, ವಿಷಯ-ಆಧಾರಿತ ಬಳಕೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಿಷಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಎಣಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನದ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನುಗ್ಗುವಿಕೆ, ಆದರೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. , ಭಾಷೆಯ ಸ್ಥಿರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭಾಷೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವುದು ಔಪಚಾರಿಕ ಅಕ್ಷೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಲ್ಲದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ತಾರ್ಕಿಕ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ವಸ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಷೆಯು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಸಾಧನಗಳನ್ನು (ಪದಗಳನ್ನು) ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳ ಬಳಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಷೆಯು ಕೆಲವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪರಿಗಣನೆಯ ಮುಖ್ಯ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಕಿರಿದಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಷೆಗೆ ಹೋದರೆ, ಉಪಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವು ಅದರ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೆಂಕೆಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಷೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ.
ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ
ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು (ತೀರ್ಪುಗಳು) ಆಧರಿಸಿದೆ - ಮೂಲತತ್ವಗಳು, ಅಥವಾ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ಗಳು, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ವಿಜ್ಞಾನದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಅನ್ವಯದ ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಗಣಿತ, ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಶಾಖೆಗಳು.
ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್ (ಪೈಥಾಗರಸ್, ಪ್ಲೇಟೋ, ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಯೂಕ್ಲಿಡ್) ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಆಧುನಿಕ ಹಂತವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಂಡಿಸಿದ ಔಪಚಾರಿಕ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆಯು ವಿಜ್ಞಾನದ ಭಾಷೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ (ಸೂತ್ರಗಳು) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಇತರರಿಂದ), ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯಮಗಳು. ಅಂತಹ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಥವಾ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಪುರಾವೆಯು ಸೂತ್ರಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟಾಥಿಯರಿ ಮೂಲಕ. ಅಕ್ಷೀಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಸ್ಥಿರತೆ, ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. 1931 ರಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟೈಸೇಶನ್ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಗೊಡೆಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತ), ಇದು ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದೇಶನದ ಬೆಂಬಲಿಗರು ಟೀಕಿಸಿದರು.
ತೀರ್ಮಾನ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ನಿಯಮಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಅನುಕೂಲಕರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಮಾನವ ಚಿಂತನೆಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು ಮತ್ತು ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿತು. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಬಹಳ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತ, ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಆಳವಾದ ನುಗ್ಗುವಿಕೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಪ್ರಬಲ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಸಿದ್ಧವಾದ ಉಪಕರಣವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮಾಹಿತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಉಪಕರಣಗಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಣಿತರಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕಾರ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ತಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು, ಅವರು ಯಾವ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ (ಅದು ಎಂಜಿನಿಯರ್, ಶಿಕ್ಷಕ, ವಕೀಲರು ಅಥವಾ ವೈದ್ಯರಾಗಿರಬಹುದು).
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಹೇಳಿಕೆ ಸಂಯೋಗ
ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ: #"ಸಮರ್ಥನೆ">1.
ಬೋಧನೆ
ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಬೇಕೇ?
ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ನಮ್ಮ ತಜ್ಞರು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಬೋಧನಾ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ.
ನಿಮ್ಮ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿಸಮಾಲೋಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದೀಗ ವಿಷಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಆಧುನಿಕ ತರ್ಕದ ಹೆಸರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು. ಮಹಡಿ. 19 ಆರಂಭ 20 ನೆಯ ಶತಮಾನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತರ್ಕವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು. ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ತರ್ಕದ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ…… ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತರ್ಕವು ತರ್ಕದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಭಾಷೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಾರ್ಕಿಕ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪದ "ಎಲ್. ಜೊತೆಗೆ." ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ... ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಎಪಿಸ್ಟೆಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಫಿಲಾಸಫಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ಇದನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಎಂ.ಎಲ್. ಇದು ಅದೇ ಅರಿಸ್ಟಾಟಿಲಿಯನ್ ಸಿಲೋಜಿಸ್ಟಿಕ್ ತರ್ಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ತೊಡಕಿನ ಮೌಖಿಕ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಯನ್ನು, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ... ... ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಕಲ್ಚರಲ್ ಸ್ಟಡೀಸ್
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ಗಣಿತದ ತರ್ಕ, ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ತೀರ್ಮಾನಗಳು); ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ... ಆಧುನಿಕ ವಿಶ್ವಕೋಶ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ತಾರ್ಕಿಕ ತರ್ಕ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ (ತೀರ್ಮಾನಗಳು); ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ತರ್ಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ... ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- (ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕ), ತರ್ಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ. ನಿಜ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳಾಗಬಹುದಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕುಶಲತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ, ಸೇರಿದಂತೆ... ... ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ಆಧುನಿಕ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. 19-20 ಕಲೆಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿ .... ... ಇತ್ತೀಚಿನ ತಾತ್ವಿಕ ನಿಘಂಟು
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ನಾಮಪದ, ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: 1 ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ (9) ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳ ASIS ನಿಘಂಟು. ವಿ.ಎನ್. ತ್ರಿಶಿನ್. 2013… ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ನಿಘಂಟು
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- - ದೂರಸಂಪರ್ಕ ವಿಷಯಗಳು, ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು EN ಗಣಿತದ ತರ್ಕ... ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುವಾದಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ- ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತರ್ಕ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ. ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸ್ಕೆಚ್. ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ
ಪುಸ್ತಕಗಳು
- ಗಣಿತದ ತರ್ಕ, ಎರ್ಶೋವ್ ಯೂರಿ ಲಿಯೊನಿಡೋವಿಚ್, ಪಾಲಿಯುಟಿನ್ ಎವ್ಗೆನಿ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್. ಪುಸ್ತಕವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತರ್ಕದ ಮೂಲ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ; ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶವಿದೆ... 1447 UAH ಗೆ ಖರೀದಿಸಿ (ಉಕ್ರೇನ್ ಮಾತ್ರ)
- ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತರ್ಕ, ಎರ್ಶೋವ್ ಯು.ಎಲ್.. ಪುಸ್ತಕವು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮೂಲ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ; ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶವಿದೆ...