ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು. ಪಾಠ “ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು:

ಯಾವಾಗಲೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

*ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಒಂದು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಭಾಗ) ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಘಾತಾಂಕದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅದರ ತಳಹದಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

* * *

*ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

* * *

ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

* * *

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಘಾತಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶ:

* * *

ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಆಧಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

* * *

ನೀವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಿಮಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸ ಬೇಕು, ಅದು ನಿಮಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಬಹುದು.

ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಹರಿಸಿ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ತೆರಳಿ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ; ಅವರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ!

ಅಷ್ಟೇ! ನಿಮಗೆ ಶುಭವಾಗಲಿ!

ವಿಧೇಯಪೂರ್ವಕವಾಗಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಕ್ರುಟಿಟ್ಸ್ಕಿಖ್

P.S: ನೀವು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲತಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೈಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿದರೆ ನಾನು ಕೃತಜ್ಞನಾಗಿದ್ದೇನೆ.

1. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.ಈ ವಿಧಾನವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (x) ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (ಎ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\ಫ್ರಾಕ್ (\ಲಾಗ್ _(ಬಿ)(x))(\ಲಾಗ್ _(ಬಿ)(ಎ)))). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ:

   • ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ ⁡ (− 3) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(-3))ಅಥವಾ ಲಾಗ್ 4 ⁡ (− 5) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(4)(-5))) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
   • ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದರೆ ln ⁡ (0) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ln(0)), "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
   • ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ( ಲಾಗ್ ⁡ (1) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(1))) ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x 0 = 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(0)=1)ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ X. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬದಲಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಡಿ.
   • ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

2. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.ಮೇಲಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನ್ವಯಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಲಾಗ್ ಬೌ log_(a)(x)).

   • ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 = ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2))=\log _(2)(16)).
   • ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ "ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ" ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

3. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.ಹುಡುಕಲು ಲಾಗ್ a ⁡ (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(a)(x)), ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ " ಒಂದು? = x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(?)=x)", ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿ: "ನೀವು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎ, ಹೊಂದಲು X?. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅದೃಷ್ಟವಂತರಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

   • ಉದಾಹರಣೆ 1 (ಮುಂದುವರಿದಿದೆ): ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ 2? = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(?)=16). "?" ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿಲ್ಲಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ದೋಷದಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(4)=8*2=16)
     ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 4: ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(2)(16)) = 4 .

4. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ.ಅನೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಿಮಗೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೃಪ್ತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

   • ಉದಾಹರಣೆ 2: ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) = ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ ಲಾಗ್_(7)(58)). ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬೇಸ್ 3 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ.
   • ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ 7? = 58 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(?)=58)ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣವೇ?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(3)=49*7=343)
     58 ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
   • ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(7)(58)).

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಶಕ್ತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳು >0 ಮತ್ತು >0 ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆ >0 x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 5x>0 x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಇದರರ್ಥ ODZ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತದವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 6 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಗುಣಾಂಕದ ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯ b? ಈ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

(ಹತ್ತು x ಮೈನಸ್ ಒಂಬತ್ತು ಮೂಲ ಮೂರರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ x ನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ನೀವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಅಸಮಾನತೆಗಳು >0 ಮತ್ತು X>0 ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯದ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 2 ರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಮೂಲದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಏಕೈಕ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಎದುರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯ: a,b,c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು c 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ)

ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇನ್ನಷ್ಟು. ಏಕೆಂದರೆ, ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಸಮಾನ

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು = ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮೀ, =ಎನ್, =ಕೆ(ಮೂಲದ A ಗೆ BE ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, BE ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ CE ಯಿಂದ ಬೇಸ್ CE ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ CE ಯಿಂದ ಬೇಸ್ CE ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಂತರ, ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಸಂಖ್ಯೆ b ಎಂಬುದು m ನ ಶಕ್ತಿಗೆ, b ಸಂಖ್ಯೆಯು n ನ ಶಕ್ತಿಗೆ c ಆಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ a ಎಂಬುದು ಪವರ್‌ಗೆ c ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಪದವಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ, ಶಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ =, ಆದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ =, ಪದವಿಯ ಆಧಾರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದವಿಯ ಘಾತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. =. ಆದ್ದರಿಂದ = ನಾವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: (ಸಂಖ್ಯೆಯ BE ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ಪರಿಣಾಮ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇಸ್ b ಗೆ ಹೋಗೋಣ. ನಂತರ

(ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿದಮ್ BE ಯಿಂದ ಬೇಸ್ BE ಗೆ ಭಾಗಿಸಿ a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಂದ BE ಗೆ ಬೇಸ್)

ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಇದರರ್ಥ a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಫಲಿತಾಂಶ 2. a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೀ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಲ್ಲ, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಮೀಆಧಾರಿತ ಎಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಮೀ.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪವರ್ ಎಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್ ಎ ಟು ಪವರ್ ಎಮ್) ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಚಲಿಸೋಣ ಎ.ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಸಬ್‌ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬಹುದು - ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮುಂದೆ. =1. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಭಾಗವು ಗಣನೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಎಮ್‌ನಲ್ಲಿ) m ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದರರ್ಥ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವನ್ನು m ನಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಇದರರ್ಥ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ತೆರಳಲು, ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

(ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಹತ್ತು x ಮೈನಸ್ ಒಂಬತ್ತು ಬೇಸ್ ಮೂರು)

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. 3 ಅನ್ನು ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ತರೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅಂಶವು x ನಿಂದ ಬೇಸ್ ಮೂರರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಛೇದವು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಬೇಸ್ ಮೂರರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯೋಣ: ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ (ಹತ್ತು x ಮೈನಸ್ ಒಂಬತ್ತು ಮೂಲ ಮೂರು ವರೆಗಿನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಜೊತೆಗೆ x ನಿಂದ ಬೇಸ್ ಮೂರರ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. (ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಫ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಹತ್ತು x ಮೈನಸ್ ಒಂಬತ್ತು ಮತ್ತು x ನಿಂದ ಬೇಸ್ ಮೂರು) ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ

ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂರು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು.

ಪೊಟೆನ್ಶಿಯೇಶನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. a+b+c=0 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು 1 ಮತ್ತು 0.1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ. ಇದು ನಂಬರ್ ಒನ್.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. (ಮೂರರಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಬಲಕ್ಕೆ ಎರಡರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್ ಮೂರು ಜೊತೆಗೆ ಎರಡರ ಮೂಲದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದರಿಂದ ಐದು ಪಟ್ಟು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್ ನಾಲ್ಕು)

ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೂರರ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರರ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾಲ್ಕರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂರು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು; ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ ಫೋರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಐದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ.

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ (ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗೆ, a ಬೇಸ್‌ಗೆ ಬೆಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೆಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ)

ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಬೇಸ್‌ನ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಸಬ್‌ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಹಾರದ ಬಲಕ್ಕೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಒಂದೂವರೆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಎರಡೆಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮುಂದೆ ಇಡುತ್ತೇವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ...

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು 16, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು 16.5 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಲಾಗ್2= ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಎ,log3= ಬಿ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಆರು ಮತ್ತು ಮೂರರ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ 18 ಅನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮ್-ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್ 6 ನೊಂದಿಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಂಶ (ಮೂರರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ (ಆರರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಬಿ.ಆರರನ್ನು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ lg2 ಮತ್ತು lg 3. ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: . ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಉತ್ತರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ

ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು

1. , ಅಲ್ಲಿ a,b,c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಎ, ಸಿ
2. , ಇಲ್ಲಿ a, b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಎ, ಬಿ
3. , ಇಲ್ಲಿ a,b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎ, ಮೀ

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಘಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ(ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ).

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x=log a b, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a x =b.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 8 = 3ಏಕೆಂದರೆ 8 = 2 3 . ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ b=a c, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರ. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಲಾಗ್ ಎ xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ಲಾಗ್ a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ಲಾಗ್ ಎ(X 1 . X 2 . X 3 ... x ಕೆ) = ಲಾಗ್ ಎ x 1 + ಲಾಗ್ ಎ x 2 + ಲಾಗ್ ಎ x 3 + ... + ಲಾಗ್ ಎ x ಕೆ.

ಇಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶ ಪ್ರಮೇಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲಗ್ಗೆ ಇಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನ ಎ 1= 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಲಾಗ್ ಎ 1 /ಬಿ= ಲಾಗ್ ಎ 1 - ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ= -ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ.

ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ:

ಲಾಗ್ ಎ 1 / ಬಿ = - ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ.

ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳುಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಲಾಗ್ 3 9= - ಲಾಗ್ 3 1 / 9 ; ಲಾಗ್ 5 1 / 125 = -ಲಾಗ್ 5 125.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲಾಗ್ ಒಂದು xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಒಂದು ವೈ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. log a x + log a y = log a (x y);

2. log a x - log a y = log a (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9 = ಲಾಗ್ 6 (4 9) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 (48: 3) = ಲಾಗ್ 2 16 = 4.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5 = ಲಾಗ್ 3 (135: 5) = ಲಾಗ್ 3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

1. ಲಾಗ್ ಒಂದು x n = ಎನ್ಲಾಗ್ ಒಂದು x;

3.

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: ಎ > 0, ಎ ≠ 1, X> 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 7 49 6

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಲಾಗ್ 7 49 6 = 6 ಲಾಗ್ 7 49 = 6 2 = 12

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.