ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಅಂದಾಜು ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅದು ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರಯೋಗ ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಡೇಟಾ) ನೋಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:
n-ಡಿಗ್ರಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ನೇರವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕನೀಡಿದ ಡೇಟಾ ಶ್ರೇಣಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೀಯ ಅಥವಾ ನ್ಯೂಟನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.
n-ಡಿಗ್ರಿ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿನೀಡಿರುವ ಡೇಟಾ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಬ್ದವನ್ನು (ಅಥವಾ ದೋಷಗಳನ್ನು) ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ: ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ (ಮಾಪನ ಅಥವಾ ಉಪಕರಣ ದೋಷಗಳು, ಅಸಮರ್ಪಕತೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ. ದೋಷಗಳು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ(ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನರಿ ಲೀಸ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್, OLS) ಒಂದು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು F(x) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅಂದಾಜು ಕರ್ವ್ F(x) ನಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು.
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜು ಕರ್ವ್
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು;
ಸಾಮಾನ್ಯ (ಅತಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ) ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು;
ಕೆಲವು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ನೋಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು,
ನೋಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಶ್ರೇಣಿ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮಾನದಂಡವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯಂತಹ ಹಲವಾರು "ಉತ್ತಮ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಬಹುಪದೀಯ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವು ಡಿಗ್ರಿ m ನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ
ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು ನೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ನೀಡಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ ರಚನೆಯ ಆಯಾಮ (ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು.
∙ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು m=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ).
∙ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು m=2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು) ನೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
∙ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು m=3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಟೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಘನ ಅಂದಾಜು).
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿ m ನ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ನೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಡಿಗ್ರಿ m ನ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳು;
ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, m + 1 ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು m + 1 ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ). ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅದು ಮೂಲ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜು. ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಮೂಲ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.
ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಅಂದಾಜು
(ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ)
ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಟೇಬಲ್ ನೋಡ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು;
ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳು.
ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ.
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ):
ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೀಡಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ) ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
1. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ:
N ಅಳತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ (ಮೀ) ಪದವಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:
2.1. ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗ)
- ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು (ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗ)
- ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ
2.2 ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರಚನೆ.
2.3 ಎಂ ಡಿಗ್ರಿಯ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
2.4. ಎಲ್ಲಾ ನೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತದ ನಿರ್ಣಯ
ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯ.
ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ, ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.
ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಂದಾಜು
ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಂತೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಪಾಠವನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದಾಜು ಪಾಠಗಳು.xls, ಶೀಟ್1 ನೋಡಿ)
ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಿಕೆಯು ಟ್ರೆಂಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜಿನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, S.L. ರಿವ್ಕಿನ್ ಮತ್ತು A.A. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಸ್ಟೀಮ್ನ ಎಂಥಾಲ್ಪಿ "ನೀರು ಮತ್ತು ನೀರಿನ ಆವಿಯ ಥರ್ಮೋಫಿಸಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು", M., "ಎನರ್ಜಿ", 1980. P ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಒತ್ತಡದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು kgf/cm2, ಕಾಲಮ್ i" ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ - kcal/kg ನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಚುರೇಶನ್ ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಗಿ ಎಂಥಾಲ್ಪಿ ಮತ್ತು "ಚಾರ್ಟ್ ವಿಝಾರ್ಡ್" ಆಯ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಲಿನ ಮೇಲೆ ಬಲ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ "ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್ ಸೇರಿಸಿ" ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಎಡ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಯಾವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನಮಗೆ ಐದು ಪ್ರಕಾರದ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ರೇಖೀಯ, ಶಕ್ತಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ. ಅವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಒಳ್ಳೆಯದು ಮತ್ತು ಅವರು ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು? - F1 ಗುಂಡಿಯನ್ನು ಒತ್ತಿ, ನಂತರ "ಉತ್ತರ ವಿಝಾರ್ಡ್" ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಗೋಚರಿಸುವ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ "ಅಂದಾಜು" ಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ನಂತರ "ಹುಡುಕಿ" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ, "ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳು" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ನಮ್ಮಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಸಂಪಾದಕರು:
ರೇಖೀಯ:
ಇಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ಎಂಬುದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಛೇದನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ (ಮುಕ್ತ ಪದ).
ಶಕ್ತಿ:
ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಇಲ್ಲಿ c ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್:
ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಘಾತೀಯ:
ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಇಲ್ಲಿ b ಮತ್ತು k ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ:
ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
ಇಲ್ಲಿ a, b1, b2, b3,... b6 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ "ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್ ಸೇರಿಸಿ" ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ, ನಂತರ "ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳು" ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಮೂದುಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: "ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೋರಿಸು" ಮತ್ತು "ಇಡಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯ R^2, ನಂತರ ಸರಿ ಬಟನ್ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು ನಮಗೆ R^2=0.9291 ನೀಡುತ್ತದೆ - ಇದು ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಕೆಟ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.
ಪವರ್-ಲಾ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು, ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್ ಮೇಲೆ ಬಲ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ "ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್" ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಎಡ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ "ಟೈಪ್" ಮತ್ತು "ಪವರ್" ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಈ ಬಾರಿ ನಮಗೆ R^2=0.999 ಸಿಕ್ಕಿತು.
ಎಕ್ಸೆಲ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಟ್ರೆಂಡ್ ಲೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
y=634.16*x^0.012
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಗರಿಷ್ಠ ಅಂದಾಜು ದೋಷವು 0.23 kcal/kg ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದು ಅದ್ಭುತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲುಕಪ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟ್ರೆಂಡ್ ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಇತರ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಂದಾಜು ನಮಗೆ R^2=0.9907 ನೀಡುತ್ತದೆ - ಪವರ್ ಆವೃತ್ತಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಟ್ರೆಂಡ್ ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ನೀಡುವ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಘಾತೀಯವು ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ - R^2=0.927.
ಪದವಿ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೀಯ ಅಂದಾಜು (ಇದು y=a+b1*x+b2*x^2) R^2=0.9896 ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿಗ್ರಿ 3 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು R^2=0.999 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿರೂಪದೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ P>0.07 kgf/cm2 ನಲ್ಲಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಯು ನಮಗೆ R^2=1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಇದು ಮೂಲ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜಿನ ನಡುವಿನ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಕ್ಸೆಲ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44
ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂಲ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ R^2=1 ಕೇವಲ ಅದ್ಭುತ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಹುಪದದ ಅಂದಾಜಿನ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು y=a+b1*x+b2*x^2 ರೂಪದ ಸರಳ ಬಹುಪದದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿದ್ಯುತ್-ಕಾನೂನು ಅಂದಾಜು ಆವೃತ್ತಿ y=634.16*x^0.012 ಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂದಾಜು ದೋಷವು 0.23 kcal/kg ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿತ್ತು. ನಾವು ಟ್ರೆಂಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಹೊರಬರಬಹುದು ಅಷ್ಟೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಏನನ್ನು ಸ್ಕ್ವೀಜ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ವಿದ್ಯುತ್-ಕಾನೂನು ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸೂಚನೆ. ಪತ್ತೆಯಾದ ದೋಷವು ಟ್ರೆಂಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಲ್ಲ.
6.7.3. ಗಣಿತದ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ
6.7.3.1. MathCad ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ
6.7.3.2. ಮ್ಯಾಟ್‌ಲ್ಯಾಬ್ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ
6.7.4. "ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ y=f(x) ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಇದರಿಂದ ವಿಚಲನ
f(x) ನಿಂದ g(x, a0, a1, ..., an) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ (ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದೆ. X ಸೆಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ X ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯ
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) ಕೋಷ್ಟಕ ಡೇಟಾಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.
ಅಂದಾಜು ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದೀಯ, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಥವಾ ಇತರ ಕಾರ್ಯ, ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವು ನಿಯಮದಂತೆ, ನಂತರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಅವರು ನಿಖರತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸರಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ:
ಅಲ್ಲಿ φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), ಮತ್ತು
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) - ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ m-ಡಿಗ್ರಿ).
ಸಂಭವನೀಯ ಆಧಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ-ಕಾನೂನು: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಎಂ<
e i = φ(x i, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
ಆಯ್ದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, a 0 , a 1 , ..., a n ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗುಣಾಂಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ a T ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಇಲ್ಲಿ (n+1) ನೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
E ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿತಿಯು a 0, a 1, ..., a m ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಅಂಶಗಳು ಗ್ರಾಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಬ್ಬರು (m+1) ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು
ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ y= a 0 +a 1 x ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ
ಕನಿಷ್ಠ ಷರತ್ತುಗಳು:
ನಂತರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂತಿಮ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
.
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು a1 ಗೆ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
.
ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 
(ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು):
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ 
- ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳು
.
ಎರಡನೇ ಡಿಗ್ರಿ y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ನ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಮಾನದಂಡವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
.
ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ 
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
0, a 1, a 2 ಗಾಗಿ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ 
- 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವು m ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗ್ರಾಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ G ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಲಭಾಗದ ಕಾಲಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಜಿ = 
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ
m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 ರ ಬಹುಪದದಿಂದ y 0, y 1, ..., y n ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನದ ಅಳತೆಯಾಗಿ (x)+...+a m φ m(x),
ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ
(n+1)– ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, m – ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಪದವಿ, n+1>=m.
ಚಿತ್ರ 6.7.2-1 ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಕ್ಕಿ. 6.7.2-1. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ
ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ n+1 ಎಂಬುದು х i, y i ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; i=0,1,..., n .
ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬ್ಲಾಕ್ ಅಜ್ಞಾತ c 0, c 1, ..., c m ಮತ್ತು m+1 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಮುಂದಿನ ಬ್ಲಾಕ್ - ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬ್ಲಾಕ್ - ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 0, ಜೊತೆಗೆ 1, ..., m ನೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.2-1. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಎರಡು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ.
| X | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| ವೈ | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
| i | X | x 2 | x 3 | x 4 | ವೈ | xy | x 2 ವರ್ಷ |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:
a0 = 5.022; a1 = -4.014; a2=1.002.
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯ
y ನ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ:
ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಉಳಿಕೆ)
.
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-1. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
 |
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-2. 1ನೇ, 2ನೇ ಮತ್ತು 3ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಟೇಬಲ್-ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು linfit (x,y,f) ಕಾರ್ಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x,y ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಂಕೇತಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಗುಣಾಂಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ರೂಟ್-ಮೀನ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ದೋಷ (сko). ಸಾಂಕೇತಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯು 1ನೇ, 2ನೇ ಮತ್ತು 3ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಟೇಬಲ್-ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ರು ಅಂದಾಜು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
 |
IN ಮಠಕಾಡ್ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು (ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂದಾಜು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ:
expfit(X,Y,g) y”=F(x, y, z) ರೂಪದ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ODE ಯ ಪರಿಹಾರ, ಇಲ್ಲಿ z=y’ ಅನ್ನು 4ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ Runge-Kutta ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕವೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. ODE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ: x ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ; y - ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್; g - ಗುಣಾಂಕಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ a, b ಮತ್ತು c; t - ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ.
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ corr() ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಷ್ಟಕ ಡೇಟಾವು ಕೆಲವು ವಿಧದ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಗುಣಾಂಕವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-3. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
   |
ಡೇಟಾ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ(ನೀಡಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆ) ಡೇಟಾ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. IN ಮಠಕಾಡ್ಒಂದು ವಿಶೇಷವೂ ಇದೆ ಕಾರ್ಯಮುನ್ನೋಟಗಳು ಮುನ್ಸೂಚನೆ (Y, m, n), ಇಲ್ಲಿ Y ಎಂಬುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು m ಎಂಬುದು ಸತತ Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭವಿಷ್ಯ ಕಾರ್ಯವು n Y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಡೇಟಾಗೆ ಯಾವುದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಅನುಸರಿಸುವ ಡೇಟಾದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಾಪೋಲೇಟೆಡ್ ಕಾರ್ಯವು ಮೃದುವಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ ಕಾರ್ಯವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಡೇಟಾದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-4. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದದಿಂದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು p=polyfit(x,y,n) ಕಾರ್ಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x,y ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಾಹಕಗಳು, n ಎಂಬುದು ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು p ಎಂಬುದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ n+1 ಉದ್ದದ ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು.
>>x=; >> x x = 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 >> y=[-1.15,-0.506,0.236,0.88,1.256]; >> y y = -1.1500 -0.5060 0.2360 0.8800 1.2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3.0990 -4.8152 >> y1=polyval(p1,x); >> y1 y1 = -1.0964 -0.4766 0.1432 0.7630 1.3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0.0918 >> ಕಥಾವಸ್ತು(x,y,"ko",x,y1,"r-")  >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1.1321 6.7219 -7.6229 >> y2=polyval(p2,x); >> y2 y2 = -1.1870 -0.4313 0.2338 0.8083 1.2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0.0518 >> ಕಥಾವಸ್ತು(x,y,"ko",x,y2,"r-")  |
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-5. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದದಿಂದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
 |
ಉದಾಹರಣೆ 6.7.3-5. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
6.7.4. ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು
"ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು"
ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ
1) ಸಾಕಷ್ಟು ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು
2) ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ
3) ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೇರೆ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು
4) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವಿಲ್ಲ
ವಿಷಯ 6.7. ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು
6.7.1. ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ
6.7.2. ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ
y ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ. ಇದರರ್ಥ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯ x ಮೌಲ್ಯ x ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅವಲಂಬನೆ y(x) ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಸಾಧ್ಯ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೆಟ್ (xi) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ (yi), 0 ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ( ಅಂದಾಜುಗಳು) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಅದರ ವಿಚಲನವು ಕಡಿಮೆಯಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ
ಮೂಲ ಟೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಪವರ್, ಸೈನುಸೈಡಲ್, ಇತ್ಯಾದಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಮೀಪ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. n ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬಹುಪದದ ಚಿಕ್ಕ ವಿಚಲನವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ aj ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ y=f(x). ಅಂದಾಜುಕೆಲವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ವಿವರಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(x),ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅನಾನುಕೂಲವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವಿಧಾನಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಫೈ (X)ಹಲವಾರು ಉಚಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ c1, c2, ..., cn,ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಾಮೀಪ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ f(x)ಮತ್ತು ಫೈ (X). ಯಶಸ್ವಿ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಮರ್ಥನೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿವೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಮತ್ತು ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕ ಅಂದಾಜು. ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದದ್ದು ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ: . ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n-1, ರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಆಯ್ದ ಅಂಕಗಳು. ಅಂದಾಜು ದೋಷಕಾರ್ಯಗಳು f(x)ಪದವಿಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ n-1, ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎನ್ಅಂಕಗಳು, ಆದೇಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎನ್.ಸಾರ ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ಚೌಕ ಅಂದಾಜುಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಅಂತರವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರ್ಯದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ f(x) ಮತ್ತುfi(X, ಸಿ). ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನಸರಾಸರಿ ಚೌಕದ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಇದು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ X, ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ [ a, b], ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ f(x)ಮತ್ತು ಫೈ (X)ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ (ನೋಡ್‌ಗಳು) x1, ..., x m, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮುಂದೆ, ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ವರ್ಗದ ಶೇಷಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅವರು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್
ಅವುಗಳ ತೊಡಕಿನ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಬಹು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ c . ಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜಿನ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದನು, ಅದು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳ ತೊಡಕಿನ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.
ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವುಗಳ ತೊಡಕಿನ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.