ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಪ್ರಸರಣ, ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ (ಎರಡನೆಯದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ):

D(x) = M((x-M(x)) 2).

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ:

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಏಕೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ? ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ವತಃ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಸ್ವರೂಪ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ನಾವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಹರಡುವಿಕೆ ಏನೆಂದು ನಾವು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಸರಣವು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಚೌಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಚಲನಗಳು (ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಪರಸ್ಪರ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಆಯ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಸರಣದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಸರಣದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ):

2) ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

с - const D(c) = 0

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೌಕರನು ನಿರಂತರ ಸಂಬಳವನ್ನು ಪಡೆದರೆ x = 30 (ಸಾವಿರ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು), ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರಸರಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

3) ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸರಣ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು:

с - const D(cx) = c 2 D(x)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೌಕರನ ವೇತನದ ಪ್ರಸರಣವು 4 (x - ವೇತನ, D (x) = 4) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ. ಇತರ ಉದ್ಯೋಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊದಲಿಗಿಂತ 20% ಹೆಚ್ಚು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡನೇ ಉದ್ಯೋಗಿಯ ವೇತನವು 1.2*x ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಎರಡನೇ ಉದ್ಯೋಗಿಯ ವೇತನದ ಪ್ರಸರಣವು D (1.2 * x) = ಆಗಿದೆ
= 1.2 2 *D(x) = 1.44*4 = 5.76.

4) ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

D(x + y) = D(x) + D(y) (ಸ್ವತಂತ್ರ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರನ ವೇತನದ ಪ್ರಸರಣವು 4 ಆಗಿರಲಿ (x ಅವನ ವೇತನ, D(x) = 4), ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು - 5 (y ಅವನ ವೇತನ, D(y) = 5). ನಂತರ ಒಟ್ಟು ವೇತನದ ಪ್ರಸರಣವು D(x + ಆಗಿರುತ್ತದೆ
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಮಿಕರ ವೇತನವು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಅವರು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಲ್ಲ) ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದು (3) ಮತ್ತು (4) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (-1) ಅಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ 1 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ (4) ಎರಡಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

5) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುವಾಗ (ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಾಗ), ಅದರ ಪ್ರಸರಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (2) ಮತ್ತು (4):

с – const D(x - с) = D(x)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಮಾಸಿಕ ವೇತನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು 800 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳು ಸಂಬಳದಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯಾಣದ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಾಗಿ ಪಾವತಿಸಲು, ನಂತರ ಸಂಬಳದ ಪ್ರಸರಣವು ಪ್ರಯಾಣ ಕಾರ್ಡ್‌ಗೆ ಪಾವತಿಯನ್ನು ಕಳೆದು ಇನ್ನೂ 4 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ದಿನಕ್ಕೆ ಮಾರಾಟವಾಗುವ ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ 18, 15, 28, 15 ಮತ್ತು 24 ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (0; 1; 2; 3; 4) ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - 100 - ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 2 ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ, ಸಹಾಯಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2

6,46-2,12 2 1,97.

ಪಡೆದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳು ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ("ಕಾರುಗಳು ವರ್ಗ"). ಆದ್ದರಿಂದ, 2.12 ರ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲಿನ ಮಾರಾಟದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸರಣವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರಸರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ . ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ).

ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ(RMS) ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ .

RMS = 1.4 (pcs.) - ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಅಥವಾ ಸ್ವಲ್ಪವೇ? ಬಹುಶಃ, ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣವು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಿನಕ್ಕೆ 10 ಕಾರುಗಳು, ನಂತರ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಸಣ್ಣ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
M = 2.12 (ತುಣುಕುಗಳು). ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂಚಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ: . ಇದು ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ನೀವು ಅದನ್ನು 100% ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು).

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕವು 1.4/2.12 = ಆಗಿದೆ
= 0.66 ಅಥವಾ 66%.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸದ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಸರಣವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಲವಾದ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ (ಪುರುಷ ಮತ್ತು ಸ್ತ್ರೀ ರೋಗಿಗಳ ನಡುವೆ), ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತಿರುವ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ.

ಹಂತಗಳು

ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ

1. ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ.ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ರಷ್ಯಾದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಅವರು ಹಲವಾರು ಸಾವಿರ ಕಾರುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯು ಕಾರಿನ ಸರಾಸರಿ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ನೈಜತೆಯಿಂದ ದೂರವಿರುತ್ತದೆ.

   • ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ 6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಫೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟವಾದ ಬನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ. ಮಾದರಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: 17, 15, 23, 7, 9, 13. ಇದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಫೆ ತೆರೆದಿರುವ ಪ್ರತಿ ದಿನವೂ ಮಾರಾಟವಾಗುವ ಬನ್‌ಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
   • ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಾದರಿಗಿಂತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ, ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

2. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.ಪ್ರಸರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

   • s 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s^(2)) = ∑[(x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- X) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s^(2))- ಇದು ಪ್ರಸರಣ. ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಚದರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
   • x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ.
   • x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))ನೀವು x̅ ಕಳೆಯಬೇಕು, ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.
   • x̅ - ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ (ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ).
   • n - ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

3. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.ಇದನ್ನು x̅ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     ಈಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 6 ಇವೆ): 84 ÷ 6 = 14.
     ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ x̅ = 14.
   • ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯು ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಮಾದರಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

4. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.ಈಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- x̅, ಎಲ್ಲಿ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ. ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:
     x 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಇದು ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ದೂರ) ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ (ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಂತರಗಳು).

5. ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- x̅ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- X. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಂದಿಗೂ 0 ವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:
     (x 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1))- X) 2 = 3 2 = 9 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (x_(2))- X) 2 = 1 2 = 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ - x̅) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ.

6. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.ಅಂದರೆ, ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸೂತ್ರದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ∑[( x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- X) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))]. ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ Σ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ. ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ (x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (x_(i))- X) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ; ಈಗ ಈ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು n - 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.ಕೆಲವು ಸಮಯದ ಹಿಂದೆ, ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರು; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ವರ್ಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅದು ಬದಲಾದಂತೆ, n - 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (ಕೇವಲ n ಬದಲಿಗೆ) ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವಿರಿ. n - 1 ರಿಂದ ವಿಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯು 6 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ, n = 6.
     ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ = s 2 = 166 6 - 1 = (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.ಸೂತ್ರವು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೌಲ್ಯದ ಚದರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಷ್ಟ; ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ s 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s^(2)), ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ s (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಗಳು).

   • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: s = √33.2 = 5.76.

   ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ

   1. ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ.ಸೆಟ್ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಲೆನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶದ ನಿವಾಸಿಗಳ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಎಲ್ಲಾ ನಿವಾಸಿಗಳ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

      • ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ 6 ಅಕ್ವೇರಿಯಂಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ವೇರಿಯಂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೀನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:
        x 1 = 5 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(6)=18)

   2. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು (ಇದು ಕೇವಲ ಅಂದಾಜು), ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ವಿವಿಧ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ:

      • σ 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)) = (∑(x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)))/ಎನ್
      • σ 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸರಣ ("ಸಿಗ್ಮಾ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್" ಎಂದು ಓದಿ). ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಚದರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
      • x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))- ಒಟ್ಟು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ.
      • Σ - ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i))ನೀವು μ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು, ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.
      • μ - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ.
      • n - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

   3. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.ಜನಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು μ (mu) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

      • ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ.
      • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥ: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

      • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:
        x 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 3 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
        x 4 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
        x 5 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
        x 6 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5

   5. ಪಡೆದ ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ.ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಅವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುತ್ತವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉತ್ತಮವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

      • ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:
        (x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))ಪ್ರತಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ (i = 1 ರಿಂದ i = 6 ವರೆಗೆ):
        (-5,5)2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)), ಎಲ್ಲಿ x n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(n))- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಮೌಲ್ಯ.
      • ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು:(( x 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)) + (x 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(2)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)) + ... + (x n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(n)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2)))/ಎನ್
      • ಈಗ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: (∑( x i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(i)) - μ) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ^(2))) / n ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸರಳ ಮತ್ತು ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. (ಗುಂಪು ಮಾಡದ ಡೇಟಾಗಾಗಿ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

2. ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ವ್ಯತ್ಯಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ):

ಇಲ್ಲಿ n ಆವರ್ತನ (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ X ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆ)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಈ ಪುಟವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನೀವು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1. 20 ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಡೇಟಾ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಮಧ್ಯಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಧ್ಯಂತರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ X max ಎಂಬುದು ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ;
X ನಿಮಿಷ - ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ;
n - ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ:

ನಾವು n=5 ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಂತ: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ಮಧ್ಯಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

X'i ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರ 159 – 165.6 = 162.3)

ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಪ್ರಸರಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಚೌಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸರಣದ ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು). ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ:

ಅಲ್ಲಿ i ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೌಲ್ಯ;
ಎ ಒಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ;
m1 ಎಂಬುದು ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ;
m2 - ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣ

(ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

ಈ ಪ್ರಸರಣ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ q = 1- p ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಗಳು

ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು x ನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ x ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಲೆಕ್ಕಿಸದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಶ-ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಸರಣವು ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ X ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕ್ರಮಗಳುಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ xi ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿ;
ni ಎಂಬುದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಅರ್ಹತೆಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಇಂಟ್ರಾಗ್ರೂಪ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಉಪಕರಣಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿತಿ, ಲಭ್ಯತೆ ಪರಿಕರಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳು, ಕಾರ್ಮಿಕರ ವಯಸ್ಸು, ಕಾರ್ಮಿಕ ತೀವ್ರತೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.), ಅರ್ಹತಾ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸಗಾರರು ಒಂದೇ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ).

ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶ-ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ. ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಂಪಿನ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತರ ಗುಂಪು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮ

ಈ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ನಿಯಮದ ಅರ್ಥಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಮೂರನೇ ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಭಾವದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸ್ಥಿರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಹೆಚ್ಚಿದ), ನಂತರ ಪ್ರಸರಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
2. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ n ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಹೆಚ್ಚಿದ), ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು n^2 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಳ).

ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಪಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವುದು:

ಡಿ(X)= npq.

ಪುರಾವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X- ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎವಿ ಪಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

X = X 1 +X 2 +…+ X ಪು,

ಎಲ್ಲಿ X 1 - ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, X 2 - ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ..., X p- ವಿ ಪ-ಮೀ .

ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ X 1 , X 2 , ..., X pಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇತರರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೊರೊಲರಿ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (§ 5 ನೋಡಿ):

ಡಿ(X)=ಡಿ(X 1)+ಡಿ(X 2)+ ...+ಡಿ(X p). (*)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ X 1 ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ

ಡಿ(X 1)=ಎಂ( )- [ಎಂ(X 1)] 2 . (**)

ಪರಿಮಾಣ X 1 - ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಅಧ್ಯಾಯ VII, § 2, ಉದಾಹರಣೆ 2 ನೋಡಿ) ಎಂ(X 1)=ಪು.

ಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ , ಇದು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: 1 2 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಮತ್ತು ಬಗ್ಗೆ 2 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ:

ಎಂ( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (**), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಡಿ(X 1)=p-p 2 =ಪು(1-ಪ)=pq

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ pq.ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ (*) ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು pq,ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಡಿ(X)= npq.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಮೌಲ್ಯದಿಂದ Xದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತುಆದ್ದರಿಂದ: n ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉತ್ಪನ್ನ npq ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 10 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.6 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X-ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಎನ್ =10, ಆರ್= 0.6. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಡಿ(X)= npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಸರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮ s( X) ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ X.ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಅಂದಾಜು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ Xರೇಖೀಯ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ a ( X) ರೇಖೀಯ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, a ಡಿ(X) - ಚದರ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

X
ಪ	0, 1	0, 4	0, 5

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ s( X).

ಪರಿಹಾರ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X:

ಎಂ(X) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X 2 :

ಎಂ(X 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಡಿ(X)= ಎಂ(X 2) - [ಎಂ(X)] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ರು (X)= =

ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರಲಿ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

ಪ್ರಸರಣವು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಸರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ನಿಕಟವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನವು ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಚದುರಿಹೋಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು M ನಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರಂತರವಾಗಿ 0 D(C)=0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

2. ಸ್ಥಿರವಾದ C ಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಮಾಣದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಸರಣವು ಸ್ಥಿರವಾದ D(CX)=C^2D(X) ವರ್ಗದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಮಾಣ X ಯ ಪ್ರಸರಣದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. X ಮತ್ತು Y ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4. ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಕೇಸ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಪ್ರಮೇಯ:

n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. - ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಗೋಚರತೆ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸೀಮಿತ, ಅರೆ-ಅನಂತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಸೇಂಟ್.

DSV ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ನಿರಂತರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು F(x) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕರಣವು x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (p1,p2,p3) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (x1,x2,x3) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ DSV ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ, ಭಾಗಶಃ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1.ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸೇರಿದೆ

2. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯ F(x2)

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (α,β) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ P(α) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪರಿಣಾಮ. ಒಂದು ಪ್ರಕರಣವು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಆಗಿದೆ.

4. X ಮೌಲ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (a,b) ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, x a ಗೆ F(x)=0 ಮತ್ತು x b ಗೆ F(x)=1

5. X ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕರಣವು x ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಏಕತೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ