ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂದರೇನು? ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದದ ಅರ್ಥ

ಅಥವಾ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ರೂಪದ ಸೀಮಿತ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), ಎಲ್ಲಿ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವು ರೂಪದ ಸೀಮಿತ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​m (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ c_(0)+c_(1)x^(1)+\ಡಾಟ್ಸ್ +c_(m)x^(m)), ಎಲ್ಲಿ

ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, "ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣ" ಮತ್ತು "ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ" ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್[ | ]

ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಬಹುಶಃ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ" ಮುಖ್ಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯು ಬಹುಪದಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: ಶೂನ್ಯ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯ ಪರಿಚಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಯಾಗಿ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವರ್ಗಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸರಳತೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ), ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ವಸ್ತುವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಬೀಜಗಣಿತ, ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು[ | ]

• ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))ಎಂದು ಕರೆದರು ಏಕಪದೀಯಅಥವಾ ಏಕಪದೀಯಬಹು ಸೂಚ್ಯಂಕ I = (i 1 , …, i n) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ I=(i_(1),\ಡಾಟ್ಸ್ ,\,i_(n))).
• ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕಪದ I = (0 , … , 0) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ I=(0,\ಡಾಟ್ಸ್,\,0))ಎಂದು ಕರೆದರು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.
• ಪೂರ್ಣ ಪದವಿ(ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಏಕಪದ c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (ಎನ್)))ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ | ನಾನು | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ |I|=i_(1)+i_(2)+\ಡಾಟ್ಸ್ +i_(n)).
• ಅನೇಕ ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು I, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು c I (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ c_(I))ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಪದದ ವಾಹಕ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪೀನದ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್.
• ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದವಿಅದರ ಏಕಪದಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ − ∞ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -\ಇನ್ಫ್ಟಿ ).
• ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಿಪದಅಥವಾ ದ್ವಿಪದ,
• ಮೂರು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಪದಿಯ.
• ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿವರ್ತಕ ರಿಂಗ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ R)(ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಇದಲ್ಲದೆ, ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ-ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತ R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ R)ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ R [x 1, x 2, ..., x n]. (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಆರ್.)
• ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಾಗಿ p (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p(x))ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು p (x) = 0 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p(x)=0)ಅದರ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು[ | ]

ಅವಕಾಶ ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎ)ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ R). ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ p(x)\in R)ಬಹುಪದದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ

p R: A → A (\ displaystyle p_(R):A\ to A).

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ A = R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ A=R).

ಒಂದು ವೇಳೆ R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ R)ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ), ಕಾರ್ಯ f p: R n → R (\ displaystyle f_(p):R^(n)\to R)ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ p ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಬಹುಪದಗಳು p 1 (x) ≡ x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p_(1)(x)\equiv x)ಮತ್ತು p 2 (x) ≡ x 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p_(2)(x)\equiv x^(2))ನಿಂದ Z 2 [ x ] (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (Z)_(2)[x])ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\ to \mathbb (Z) _(2)).

ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದಗಳ ವಿಧಗಳು[ | ]

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು [ | ]

ವಿಭಜನೆ [ | ]

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಬಹುಪದಗಳ ಪಾತ್ರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ p q (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ pq)ನಂತರ, ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಬಹುಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಪಅಥವಾ qಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ λ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ಲಂಬ್ಡಾ). ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಯ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ) ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x 4 - 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(4)-2), ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗದ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x)ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ).

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾರಿಗಾದರೂ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲು n > 2 (\displaystyle n>2)ನಿಂದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿವೆ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು. ಅಂತಹ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಬಹುಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಬಹುಪದವು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಉದಾಹರಣೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬಹುಪದವೇ? ಹೌದು, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 5a - 2b = 5a + (-2b).

ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಏಕಪದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವಿಲ್ಲ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಮತ್ತು ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಮಾನೋಮಿಯಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಏಕಪದವು ಒಂದು ಬಹುಪದದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ;

ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದರೇನು? ಬಹುಪದವು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯವು ಇರಬಾರದು, ನಂತರ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ಉದಾಹರಣೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವು 2 ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;

ಈಗ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಹುಪದದ ಉದಾಹರಣೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳು: 2a ಮತ್ತು 4a ಹೋಲುತ್ತವೆ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಅವರ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದವಿ

ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಏನು?

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಏಕಪದಗಳು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5h ನ ಪದವಿ ಎಷ್ಟು? ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5h ನ ಪದವಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬಹುಪದವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಏಕಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪದವಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. 5a 2 h 3 s 4 +1 ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಎಷ್ಟು? ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5a 2 h 3 s 4 + 1 ನ ಪದವಿ ಒಂಬತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬಹುಪದವು ಎರಡು ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮೊದಲ ಏಕಪದ 5a 2 h 3 s 4 ಅತ್ಯಧಿಕ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪದವಿ 9 ಆಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5 ರ ಪದವಿ ಏನು? ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5 ರ ಪದವಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದದ ಪದವಿ, ಅಂದರೆ. ಅಕ್ಷರಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ. ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಏನು, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯ? ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಬಹುಪದ, ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

ಇಲ್ಲಿ x, y, ..., w ≈ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಮತ್ತು A, B, ..., D (M ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಮತ್ತು k, l, ..., t (ಘಾತಗಳು ≈ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು) ≈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. Ахkyl┘..wm ರೂಪದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪದಗಳನ್ನು M ನ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮ, ಹಾಗೆಯೇ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು; ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದಲ್ಲಿ ≈ ಶಕ್ತಿಗಳು ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ. ರಚನೆಯು ಒಂದು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಏಕಪದ, ದ್ವಿಪದ ಅಥವಾ ತ್ರಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಸದಸ್ಯರು

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು (ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು). ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಆದರೆ ಬಹುಶಃ ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

ಅಲ್ಲಿ a0, a1,..., an ≈ ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ಮಾದರಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆ ಸದಸ್ಯರ ಪದವಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. M ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳಲ್ಲಿ (ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳಿವೆ; ಈ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪದವಿಯನ್ನು M ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಯ M. ಒಂದು ಪದವನ್ನು A ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು: xyz + x + y + z ಎಂಬುದು ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, 2x + y ≈ z + 1 ಎಂಬುದು ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ರೇಖೀಯ M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ . ಒಂದು ಮಾದರಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಒಂದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ರೂಪಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ (ಎರಡು, ಮೂರು) ಬೈನರಿ (ಬೈನರಿ), ಟ್ರೈಜಿಮಿನಲ್ (ತೃತೀಯ) (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz ಒಂದು ಟ್ರೈಜಿಮಿನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ ).

ಗಣಿತದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಪರಿವರ್ತಕ, ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿಗಳ ಸೆಟ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೋಡಿ ಉಂಗುರ) ≈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರ; ಈ ಉಂಗುರವು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಅನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಎಂಬ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ P = QR ಎಂಬ ಬಹುಪದೀಯ R(x) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, P ಅನ್ನು Q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; Q ಅನ್ನು ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು R ≈ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. P ಅನ್ನು Q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, P = QR + S ಎಂಬ ಬಹುಪದೀಯ P(x) ಮತ್ತು S(x) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು S(x) ನ ಪ್ರಮಾಣವು Q(x) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, P ಮತ್ತು Q ನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ P ಮತ್ತು Q ಭಾಜಕ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೋಡಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನ PQ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಬಹುಪದೀಯ R ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಆದರೆ P R ನಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ, Q R ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಪ್ರತಿ M ಅನ್ನು a ನಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ) ತಗ್ಗಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x4 + 1, ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳಿಂದ ═ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾದರಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ). ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x3 + yz2 + z3 ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

x, y, ..., w ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ), ನಂತರ M ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾದ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ (ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು M ನ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಣಿತದಿಂದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ದೋಷದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು (ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ; ಅದರ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ, ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆನ್ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ ). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಈ ಸತ್ಯವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಯಾವುದೇ ಸಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ಬೆಳಗಿದ. : ಕುರೋಶ್ ಎ.ಜಿ., ಹೈಯರ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ ಕೋರ್ಸ್, 9 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಎಂ., 1968; ಮಿಶಿನಾ A.P., ಪ್ರೊಸ್ಕುರ್ಯಕೋವ್ I.V., ಹೈಯರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, M., 1965.

ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಲೇಖನವು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಉಚಿತ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪದವಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯಮಗಳು - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಬಹುಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮತ್ತೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು 7 ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ತರಗತಿ. ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಮೊನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕಪದವು ಬಹುಪದದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: 5 , 0 , − 1 , X, 5 ಎ ಬಿ 3, x 2 · 0 , 6 · x · (- 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 1+x, a 2 + b 2 ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x ಬಹುಪದಗಳು.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಬಹುಪದದ ಸದಸ್ಯರುಅದರ ಘಟಕ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಬಹುಪದೀಯ 3 x 4 - 2 x y + 3 - y 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, 4 ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: 3 x 4, - 2 x y, 3 ಮತ್ತು - ವೈ 3. ಅಂತಹ ಏಕಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

2, 3 ತ್ರಿಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ದ್ವಿಪದಮತ್ತು ತ್ರಿಪದಿಯ.

ಇದು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x+y– ಒಂದು ದ್ವಿಪದ, ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 x 3 q - q x x x + 7 b ಒಂದು ತ್ರಿಪದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು a · x + b ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು x ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: x + 1, x · 7, 2 - 4 ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ x 2 + 3 · x - 5 ಮತ್ತು 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ತರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 + 5 x - 3 + y + 2 x ರೂಪದ ಬಹುಪದವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು 1 ಮತ್ತು - 3, 5 x ಮತ್ತು 2 x ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಬಹುಪದದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳುಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು 1 ಮತ್ತು - 3, 5 x ಮತ್ತು 2 x ಗಳು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಪದಗಳ ಸಮಾನ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ

ಎಲ್ಲಾ ಏಕಪದಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಏಕಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 x 2 - x y + 1 ಮತ್ತು __ಸೂತ್ರ__, ಮತ್ತು ನಮೂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z ಮತ್ತು 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ರೂಪ 3 · x 2 ಮತ್ತು − x 2, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು x · y 3 · x · z 2 ರೂಪದ ಏಕಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂದರ್ಭಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ಬಹುಪದದ ಉಚಿತ ಪದಅಕ್ಷರಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x 2 z + 5 ನ ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದ 7 a + 4 a b + b 3 ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಬಹುಪದದ ಪದವಿ - ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಘಟಕಗಳಾಗಿರುವ ಏಕಪದಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಅದರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5 x 3 - 4 ನ ಪ್ರಮಾಣವು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಏಕಪದಗಳು 3 ಮತ್ತು 0 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಆಗಿದೆ. ಬಹುಪದದ 4 x 2 y 3 - 5 x 4 y + 6 x ನಿಂದ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ಮತ್ತು 1, ಅಂದರೆ 5 .

ಪದವಿ ಸ್ವತಃ ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯದಿದ್ದಾಗ, ಆದರೆ ನೀವು ಅದರ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ. ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · a) · (c · b) c) + y 2 · z 2 = = - 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎದ್ದು ಕಾಣುತ್ತವೆ - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ಮತ್ತು y 2 · z 2 . ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 2 + 2 + 2 = 6 ಮತ್ತು 2 + 2 = 4 ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು 6 ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು 6 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 6 .

ಬಹುಪದೀಯ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಏಕಪದಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಬಹುಪದೀಯ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು.ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 ರೂಪದ ಬಹುಪದವು 4 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x ಮತ್ತು 7 ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 2, - 0, 5, 3 ಮತ್ತು 7. ಇದರರ್ಥ 2, - 0, 5, 3 ಮತ್ತು 7 ಅನ್ನು 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 ರೂಪದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದದ ನಿಯಮಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಮುಖ್ಯ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಬಹುಪದವು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು z/(x - x*y^2 + 4) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಹುಪದವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಏಕಪದಗಳು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಏಕಪದಗಳ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ.

ಬಹುಪದದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕುಪದ, ಪಂಚಪದ ಮತ್ತು ಇತರ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಹ ಹೆಸರುಗಳು, ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತು ಏಕಪದ ಎಂಬ ಪದವು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಏಕಪದವು ಬಹುಪದದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಏಕಪದವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಏಕಪದದಂತೆಯೇ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವು ಬಹುಪದದ ಅಂತಹ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪದಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು. ಬಹುಪದದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದ 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b ನಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

4*a*b^2*c^3 ಮತ್ತು 6*a*b^2*c^3 ಪದಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಈ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 10*a*b^2*c^3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಬಹುಪದೀಯ 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b ಅನ್ನು 10*a*b^2*c^3 - a* ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಬಿ . ಈ ನಮೂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಏಕಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನೂ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಏಕಪದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ಐದನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (5*x^3*y^ 2) ಐದನೆಯದು.