ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಿರಣಗಳು, ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸೇರಿವೆ.
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಗಳು
| ಹೆಸರು | ಚಿತ್ರ | ಅಸಮಾನತೆ | ಹುದ್ದೆ |
|---|---|---|---|
| ತೆರೆದ ಕಿರಣ | X > ಎ | (ಎ; +∞) | |
| X < ಎ | (-∞; ಎ) | ||
| ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣ | X ⩾ ಎ | [ಎ; +∞) | |
| X ⩽ ಎ | (-∞; ಎ] | ||
| ಲೈನ್ ವಿಭಾಗ | ಎ ⩽ X ⩽ ಬಿ | [ಎ; ಬಿ] | |
| ಮಧ್ಯಂತರ | ಎ < X < ಬಿ | (ಎ; ಬಿ) | |
| ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ | ಎ < X ⩽ ಬಿ | (ಎ; ಬಿ] | |
| ಎ ⩽ X < ಬಿ | [ಎ; ಬಿ) |
ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು X- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್- ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಗಡಿ ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದವುಗಳನ್ನು ತುಂಬಿದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣ
ತೆರೆದ ಕಿರಣಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕಿರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸೇರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ:
ಅಂತಹ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು X> 2. ತೆರೆದ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - (2; +∞), ಈ ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಎರಡರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಿರಣ.
ಅಸಮಾನತೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತುಂಬಿದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು X 2 ಮತ್ತು X 2 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು:
ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎರಡರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ. ಅಂಕಿಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಚೌಕ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಲೈನ್ ವಿಭಾಗ
ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಎರಡು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅಂಕಗಳು -2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ -2 ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು X 3 ಅಥವಾ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ [-2; 3], ಅಂತಹ ದಾಖಲೆಯು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರರಿಂದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ.
ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ
ಮಧ್ಯಂತರ- ಇದು ಈ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರದ ಎರಡು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅಂಕಗಳು -2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ -2 ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು< X < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಎರಡು ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಈ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: (-2; 3] ಮತ್ತು [-2; 3), ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರು, 3 ಸೇರಿದಂತೆ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಎರಡರಿಂದ ಮೂರು , ಮೈನಸ್ ಎರಡು ಸೇರಿದಂತೆ.
ಸಂಖ್ಯಾ ಮಧ್ಯಂತರ
ಮಧ್ಯಂತರ, ತೆರೆದ ಹರವು, ಮಧ್ಯಂತರ- ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ X, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು: ಎ < X < ಬಿ . ಮಧ್ಯಂತರವು ಅಂತ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಎ,ಬಿ) (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ] ಎ,ಬಿ[ ), ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ [ ಎ,ಬಿ] (ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ), ತುದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ( ಎ,ಬಿ), ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮಧ್ಯಂತರವು ಎಲ್ಲಾ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ - ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎ .
ಅವಧಿ ಮಧ್ಯಂತರಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಏಕೀಕರಣದ ಮೇಲೆ - ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ,
- ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವಾಗ - ನಿರೋಧನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು
- ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ - ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರ.
ಮೂಲಕ, ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಪದ ಮಧ್ಯಂತರಒಂದು ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ.
ಸಾಹಿತ್ಯ
- ವೈಗೋಡ್ಸ್ಕಿ M. ಯಾ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ. ಎಂ.: "ಆಸ್ಟ್ರೆಲ್", "ಎಎಸ್ಟಿ", 2002
ಸಹ ನೋಡಿ
ಲಿಂಕ್‌ಗಳು
ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.
ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:
ಲ್ಯಾಟ್ ನಿಂದ. ಮಧ್ಯಂತರ ಮಧ್ಯಂತರ, ದೂರ: ಸಂಗೀತದಲ್ಲಿ: ಮಧ್ಯಂತರವು ಎರಡು ಸ್ವರಗಳ ಎತ್ತರಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ; ಈ ಸ್ವರಗಳ ಧ್ವನಿ ಆವರ್ತನಗಳ ಅನುಪಾತ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ: ಮಧ್ಯಂತರ (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಎನ್ನುವುದು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
ಮಧ್ಯಂತರ, ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರವು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ x: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
ಮಧ್ಯಂತರ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಮೂಲ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ R ನ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ
ಅನುಕ್ರಮ A ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ
ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ- (ಗ್ರೀಕ್ ಮೈಕ್ರೋಸ್ ಸ್ಮಾಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೋಪಿಯೊ ಐ ಲುಕ್‌ನಿಂದ), ಬರಿಗಣ್ಣಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸದ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಉಪಕರಣ. ಸರಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕಗಳು, ಅಥವಾ ಭೂತಗನ್ನಡಿಗಳು, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕಗಳು, ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕಗಳು ಇವೆ. ಭೂತಗನ್ನಡಿ... ... ಗ್ರೇಟ್ ಮೆಡಿಕಲ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ
GOST R 53187-2008: ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್. ನಗರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಶಬ್ದ ಮಾನಿಟರಿಂಗ್- ಪರಿಭಾಷೆ GOST R 53187 2008: ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್. ನಗರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಶಬ್ದ ಮಾನಿಟರಿಂಗ್ ಮೂಲ ದಾಖಲೆ: 1 ದೈನಂದಿನ ಅಂದಾಜು ಧ್ವನಿ ಮಟ್ಟ. 2 ಸಂಜೆ ಅಂದಾಜು ಗರಿಷ್ಠ ಧ್ವನಿ ಮಟ್ಟ. 3 ರಾತ್ರಿ ಅಂದಾಜು ಧ್ವನಿ ಒತ್ತಡದ ಮಟ್ಟ... ನಿಘಂಟಿನ-ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ ಪ್ರಮಾಣಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ದಾಖಲಾತಿಗಳ ನಿಯಮಗಳು
ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಗೆ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ
ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ- (ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವು ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಇನ್ವೆಸ್ಟರ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ
ಉತ್ತರ - ಸೆಟ್ (-∞;+∞) ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ a ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು δ
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (a-δ; a+δ) ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ δ-ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ x ∈ X ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ x≤с (x≥c) ಹೊಂದಿರುವಂತಹ c ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಮೇಲಿನಿಂದ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ) ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್‌ನ ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಎರಡೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಗಡಿಗಳ ಚಿಕ್ಕ (ದೊಡ್ಡ) ಅನ್ನು ಈ ಸೆಟ್‌ನ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಈ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿವೆ: ರೇಖೆ, ತೆರೆದ ಕಿರಣ, ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣ, ವಿಭಾಗ, ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರ
ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಲು
ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ತೆರೆದ ಕಿರಣ
ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ 
ಅಥವಾ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ: 
.
ಮುಚ್ಚಿದ ಕಿರಣ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ 
ಅಥವಾ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ:.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಧ್ಯಂತರ
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ತೆರೆದ ಕಿರಣ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಪದನಾಮಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ. ತೆರೆದ ಕಿರಣವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು - ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿ, ಅದರ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ
ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಕ್ರಮವಾಗಿ,
3.ಕಾರ್ಯ.ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.
ಉತ್ತರ - x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, y ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೇತ F = y(x) ಎಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದವುಗಳಿಂದ) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
y = 3x2 – 2.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.
4.ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಏಕತಾನತೆ, ಸಮಾನತೆ, ಆವರ್ತಕತೆ.
ಉತ್ತರ -ಆವರ್ತಕತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
, ಅದು f(x+ 
)=f(x), ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ 
ಡಿ(ಎಫ್) ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ^ T ಅನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ. ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. F(-x) = f(x) ಗುಣವು D(f) ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. f(-x) = -f(x), ಆಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. A. y = cos (x) - ಸಹ; V. y = tg (x) - ಬೆಸ; S. y = (x); y=sin(x+1) - ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಏಕತಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f: X -> R ಅನ್ನು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು (ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ: 
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. X -> R ಕಾರ್ಯವು X ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ X ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ನ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ f ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು piecewise monotone ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ. y = cos x - piecewise ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯ.
ಬಿ) ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಲು
ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 6):
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.
ಪುರಾವೆ.ಒಂದು ಭಾಗವಿರಲಿ: . ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ರಿಂದ , ನಂತರ - ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮ: - ಬೆಸ. ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: , ಇದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸದ ಅಂಕಗಳು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ.
ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ , ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸಂಖ್ಯಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
| ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆ | ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪದನಾಮ | ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೆಸರು | ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: |
| a ≤ x ≤ b | [a; ಬಿ] | ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗ | a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗ |
| ಎ< x < b | (a; ಬಿ) | ಮಧ್ಯಂತರ | a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರ |
| a ≤ x< b | [a; ಬಿ) | ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ | ನಿಂದ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಮೊದಲು ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಎ. |
| ಎ< x ≤ b | (a; ಬಿ] | ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ | ನಿಂದ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಮೊದಲು ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಬಿ. |
| x ≥ a | [a; +∞) | ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ | ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತತೆಯವರೆಗೆ |
| x>a | (a; +∞) | ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ | ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತತೆಯವರೆಗೆ |
| x ≤ a | (- ∞; ಎ] | ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ | ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ವರೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ ಎ |
| X< a | (- ∞; ಎ) | ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ | ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಎ |
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆ Xಅವರ ನಡುವೆ.
ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ a ≤ x ≤ b, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಅಥವಾ ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಭಾಗ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: [ a; ಬಿ] - ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗ.
ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ< x < b , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮಧ್ಯಂತರ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ( a; ಬಿ)
ಇದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: a ನಿಂದ b ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರ.
ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು a ≤ x< b или ಎ<x ≤ ಬಿ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಹುದ್ದೆಗಳು:
ಒಂದು ≤ x ಹೊಂದಿಸಿ< b обозначается так:[a; ಬಿ), ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಮೊದಲು ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಎ.
ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎ<x ≤ ಬಿಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ:( a; ಬಿ], ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಮೊದಲು ಬಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಬಿ.
ಈಗ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ರೇಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಎ, ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಇದೆ.
ಎ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು x ≥ a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: [ a; +∞)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣದಿಂದ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ.
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ x>a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ( a; +∞)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣದಿಂದ ಎಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ.
ಎ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು x ≤ a, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಿರಣಎ .
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: - ∞; ಎ]-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಿರಣ ಎ.
ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ X< a , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ವರೆಗೆಎ .
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ( - ∞; ಎ)-ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ತೆರೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಣ ಎ.
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತಾನೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ( - ∞; + ∞ )
3) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು:
ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು 3(2x+7)=4x-1 ಆಗಿದೆ.
ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1 2x+5=8x-1 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. x2+1=0 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು (x+3)(x-4) =0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x1= -3, x2=4.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x-8=2 ಮತ್ತು x+10=20 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ x=10 ಮೂಲವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ನೀವು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ax=b ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
a¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
a=0, b=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
a=0, b¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 0x=b ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ x ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
16x-15x=88-40-12
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
x3-2x2-98x+18=0;
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು x1=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; x2= .
ಉತ್ತರ: 0; .
ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು x1=2, x2=3, x3=-3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
c) 7x ಅನ್ನು 3x+4x ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, ಆದ್ದರಿಂದ x1=-3, x2=- 4.
ಉತ್ತರ: -3; - 4.
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+1ç+½x-1ç=3.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: 
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ x-1 ಮತ್ತು x+1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. x -1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ x+1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ½x+1½=-x-1. ಮತ್ತು x>-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0 ನಲ್ಲಿ.
ಹೀಗಾಗಿ, 
ಅಂತೆಯೇ
a) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ½x+1½+½x-1½=3 x £-1, ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ x £-1.
ಬಿ) ಅವಕಾಶ -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) x>1 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು x>1 ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x1=-1.5; x2=1.5.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.
ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ" ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
ಉತ್ತರ: [-2; 0]
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ a.
ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ x ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು a ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.
a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು 0×x=-2 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ.
a¹1, a¹-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, x ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ;
a=-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ;
a¹±1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .
ಬಿ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ 5x-1>3x+2 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. x=2 ಗಾಗಿ ನಾವು 5·2-1>3·2+2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆ (ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆ); x=0 ಗಾಗಿ ನಾವು 5·0-1>3·0+2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ತಪ್ಪು ಹೇಳಿಕೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿದರೆ ಅದನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಒಂದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ನಾವು ನೀಡಿದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಳವಾದ ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಳ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 3. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ax+b>0 ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ, ನಾವು 2x-6+5-5x³6x-15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಸಂದರ್ಭ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಮಾನತೆ (ಸಮೀಕರಣ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಆದರೂ ಈ ಬಿಂದುವು ಮಾಡಿದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೂಲವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ). ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇದೆಲ್ಲವೂ (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ದೃಶ್ಯೀಕರಣ) ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ - ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರ.
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲು ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು (ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ವಿಭಾಗಗಳು, ಕಿರಣಗಳು) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಷಯವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ವೇರಿಯಬಲ್. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ x ಇರುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು - x ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.
ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಸ್ತುಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಳು).
ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್) ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂರು ವಿಧದ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಗಳು (ಏಕ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ) ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಲು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪದನಾಮಗಳು ಒಂದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವರು ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ವಸ್ತು, ವೇರಿಯಬಲ್ (ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಕಾರ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು (ಗಳನ್ನು) ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಮೇಲಿನಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು (ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ), ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಗಳು
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವಿಶೇಷ ಪದನಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಸುತ್ತಿನ ಮತ್ತು ಚದರ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆವರಣ ಎಂದರೆ ಈ ಆವರಣದ ಅಂಕಿ ರೇಖೆಯ (ಅಂತ್ಯ) ಅಂತಿಮ, ಗಡಿ-ವಿವರಣೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಚೌಕ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎಂದರೆ ಅಂತ್ಯವು ಅಂತರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ (ಈ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ) ಆವರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಆವರಣದ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿದ ಚದರ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು: (a;b) ⇔]a;b[
| ಅಂತರದ ಪ್ರಕಾರ (ಹೆಸರು) | ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ) | ಹುದ್ದೆ | ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬರೆಯುವುದು (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಚೈನ್ಡ್) |
|---|---|---|---|
| ಮಧ್ಯಂತರ (ತೆರೆದ) | (ಎ;ಬಿ) | ಎ< x < b | |
| ವಿಭಾಗ (ವಿಭಾಗ) | a ≤ x ≤ b | ||
| ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ (ಅರ್ಧ-ವಿಭಾಗ) | ಎ< x ≤ b | ||
| ರೇ | x ≤ ಬಿ | ||
| ತೆರೆದ ಕಿರಣ | (ಎ;+∞) | x>a | |
| ತೆರೆದ ಕಿರಣ | (-∞;b) | X< b | |
| ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ) | (-∞;+∞) , ಆದಾಗ್ಯೂ ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್-ಕ್ಯಾರಿಯರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ; ಉದಾಹರಣೆ: | x ∈(ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲ) | |
| ಸಮಾನತೆ | ಅಥವಾ x=a | x = a(ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ: a ≤ x ≤ a- ಉದ್ದ 1 ರ ಮಧ್ಯಂತರ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ - ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಭಾಗ) | |
| ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ | ∅ | ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಸಹ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ - ವೇರಿಯಬಲ್ x ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್). ಹುದ್ದೆ: x∈∅⇔x∈( ). |
ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು: ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಪದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರ ("ಮಧ್ಯಂತರ") - ತೆರೆದ, ಮುಚ್ಚಿದ, ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ (ಅರ್ಧ-ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ). ಹಲವು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿವೆ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಇವೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವೆ ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ಕೌಚಿ ಪ್ರಮೇಯ(ನೀವು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು).
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳು
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು - ಇದು ಅಸಮಾನತೆ, ಆದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು - ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನಾಗಿತ್ತು ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವಾಗಿ. ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು (ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ - ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು).
ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ - "(". ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವುಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ(ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ) ಅಥವಾ ಸಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರವೇಶದ ಉದಾಹರಣೆ: f x ≤ 30 g x 5 .
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಈ 4 ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರವಿದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
(1) x>b (2) aಇದಲ್ಲದೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಂದ (ಮೇಲೆ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ) ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿ).
ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ " ಮತ್ತು"ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸೆಟ್
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನದ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರ ಒಕ್ಕೂಟವಿದೆ: ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅವರು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಬ್ರಾಕೆಟ್ "[" ಮೂಲಕ ಒಂದುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು).
ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಬ್ರಾಕೆಟ್, ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ, ಸರಳ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ " ಅಥವಾ" ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ (ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್, ಸಂಗ್ರಹಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೆರಡನ್ನೂ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು - ಛೇದಕ ಮತ್ತು ಒಕ್ಕೂಟ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಛೇದಕಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಒಕ್ಕೂಟಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲನೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ಬಿ. ಯೂಲರ್-ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ.
A ∪ B - ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ A ∩ B - ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿಹಾರ