ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ (9 ನೇ ತರಗತಿ) ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಸೇರಿವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು?

ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಂತರ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 1 ನೇ ಪದವು 6 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 7 ನೇ ಪದವು 18 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು 7 ನೇ ಪದಕ್ಕೆ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಅಜ್ಞಾತ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: a n = (n - 1) * d + a 1 . ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 ಮತ್ತು a 7, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 18 = 6 + 6 * d. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: d = (18 - 6) /6 = 2. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಉತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

7 ನೇ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ನೀವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3: ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಈಗ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ - 4 ಮತ್ತು 5. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಭವಿಷ್ಯದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಪದಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ 1 = -4 ಮತ್ತು 5 = 5. ಇದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a 5 = a 1 + 4 * d. ಇಂದ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪಡೆದದ್ದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 1 ಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ಕಾಣೆಯಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ಇದು coincid ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4: ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಅವಧಿ

ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಈಗ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ 15 = 50 ಮತ್ತು 43 = 37. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳು 1 ಮತ್ತು ಡಿ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಮಾಹಿತಿಯು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: a 15 = a 1 + 14 * d ಮತ್ತು a 43 = a 1 + 42 * d. ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿವೆ (a 1 ಮತ್ತು d). ಇದರರ್ಥ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ಎಲ್ಲಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (ಕೇವಲ 3 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ).

d ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು 1 ಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಅನುಮಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಗತಿಯ 43 ನೇ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. ಸಣ್ಣ ದೋಷವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸಾವಿರಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5: ಮೊತ್ತ

ಈಗ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: 1, 2, 3, 4, ...,. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 100 ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು Enter ಕೀಲಿಯನ್ನು ಒತ್ತಿದ ತಕ್ಷಣ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನೀವು ಗಮನ ನೀಡಿದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು "ಗೌಸಿಯನ್" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜರ್ಮನ್, ಇನ್ನೂ ಕೇವಲ 10 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವನಾಗಿದ್ದನು, ಕೆಲವೇ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಹುಡುಗನಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವು ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಅನುಕ್ರಮದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅಂದರೆ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ಮತ್ತು ಈ ಮೊತ್ತಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ 50 (100/2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು 50 ಅನ್ನು 101 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6: n ನಿಂದ m ವರೆಗಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 3, 7, 11, 15, ..., 8 ರಿಂದ 14 ರವರೆಗಿನ ಅದರ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎಷ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. .

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 8 ರಿಂದ 14 ರವರೆಗಿನ ಅಜ್ಞಾತ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ.

m ಮತ್ತು n ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ n > m ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m ರಿಂದ, 2 ನೇ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ತೀರ್ಮಾನವೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಮೊತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದಕ್ಕೆ a m ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಮೊತ್ತ S n ನಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ n ಮತ್ತು m ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, S mn ಮೊತ್ತವು n, m, a 1 ಮತ್ತು d ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: S mn = 301.

ಮೇಲಿನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು n ನೇ ಪದದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಈ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸಲಹೆಯೆಂದರೆ ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಹಾರ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರೊಂದಿಗಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು a n ಮತ್ತು m ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ).

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಅನುಮಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.

ಹೌದು, ಹೌದು: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ನಿಮಗೆ ಆಟಿಕೆ ಅಲ್ಲ :)

ಒಳ್ಳೆಯದು, ಸ್ನೇಹಿತರೇ, ನೀವು ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಆಂತರಿಕ ಕ್ಯಾಪ್-ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ (ಇಲ್ಲ, ಹಾಗೆ: SOOOOO!) ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ದೀರ್ಘ ಪರಿಚಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹಿಂಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇನೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಹಲವಾರು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಹೊಂದಿವೆ? ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಏನೋ ಇದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವೇ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಸರಳವಾಗಿ ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈಗಾಗಲೇ ಐದು ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ಮತ್ತು $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಕೇವಲ $\sqrt(2)$ ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಯಪಡಬೇಡಿ).

ಆದ್ದರಿಂದ: ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ $d$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೇತ: $\left(((a)_(n)) \right)$ ಪ್ರಗತಿಯೇ ಆಗಿದೆ, $d$ ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದೇಶಿಸಿದರುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ: ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಓದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಮತ್ತು ಬೇರೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರುಜೋಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ (1; 2; 3) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಬರೆದರೆ (1; 2; 3; 4; ...) - ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕರ ನಂತರದ ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರಲಿವೆ ಎಂದು ಸುಳಿವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಅನೇಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ :)

ಪ್ರಗತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ - ಅದೇ ಸೆಟ್ (1; 2; 3; 4; ...). ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ಸರಿ, ಸರಿ: ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಉಳಿದ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ;
2. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, "ಸ್ಥಾಯಿ" ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ - ಅವು ಒಂದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (3; 3; 3; ...).

ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉಳಿದಿದೆ: ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು? ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ $d$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು:

1. $d \gt 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ;
2. $d \lt 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ;
3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $d=0$ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಾಯಿ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: (1; 1; 1; 1; ...), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳಿಗೆ $d$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮಯವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರ

ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \ಬಲ\)\]

ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ನೆರೆಯ ಪದಗಳು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯ $n$th ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು $n-1$th ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು $d$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನವುಗಳು). ಇದು ತುಂಬಾ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರದ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇದು ಮೊದಲನೆಯದು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ $\left((((a)_(n)) \right)$ ಆಗಿದ್ದರೆ $((a)_(1))=8,d=-5$.

ಪರಿಹಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ $((a)_(1))=8$ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d=-5$. ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು $n=1$, $n=2$ ಮತ್ತು $n=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಉತ್ತರ: (8; 3; -2)

ಅಷ್ಟೇ! ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, $n=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ - ಮೊದಲ ಪದವು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೊದಲ ಅವಧಿಗೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಯಿತು. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ನೀರಸ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬಂದವು.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಅದರ ಏಳನೇ ಪದವು −40 ಮತ್ತು ಅದರ ಹದಿನೇಳನೇ ಪದವು −50 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

\[((ಎ)_(7))=-40;\ಕ್ವಾಡ್ ((ಎ)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ end(align) \ಬಲ.\]

ನಾನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ (ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ), ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ! ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ:

\[\begin(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ಎ)_(1))=-40+6=-34. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)\]

ಈಗ, ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ! ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: (-34; -35; -36)

ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು $n$th ಮತ್ತು $m$th ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು $n-m$ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸರಳವಾದ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಆಸ್ತಿ - ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಅನೇಕ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಐದನೇ ಪದವು 8.4 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಹತ್ತನೇ ಪದವು 14.4 ಆಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಹದಿನೈದನೆಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, ಮತ್ತು ನಾವು $((a)_(15))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ಎ)_(10))-((ಎ)_(5))=5ಡಿ. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಆದರೆ ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, ಆದ್ದರಿಂದ $5d=6$, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ಎ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಉತ್ತರ: 20.4

ಅಷ್ಟೇ! ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಪ್ರಗತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು. ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ರಹಸ್ಯವಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತವೆ.

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕ್ಷಣವನ್ನು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯದೆಯೇ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹಲವಾರು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ ನಾವು ನಿದ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿವೆ -38.5; -35.8; ...?

ಪರಿಹಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ಅಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಎಡವಿ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.

ಪದಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯು ಎಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ (ಅಂದರೆ ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$) ಉಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ಬಲ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $n \lt 15\frac(7)(27)$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ (ಇದಲ್ಲದೆ: $n\in \mathbb(N)$), ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಮತಿಸುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ $n=15$ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 16 .

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಮಗೆ $((a)_(1))$ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ: $((a)_(5))$ ಮತ್ತು $((a)_(6))$, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಐದನೇ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((ಎ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ಎ)_(1))=-150-12=-162. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಈಗ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಈ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 56.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಕೊನೆಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಇಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $n=55$ ಆಯ್ಕೆಯು ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಇಂಡೆಂಟೇಶನ್‌ಗಳು

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ $\left(((a)_(n)) \right)$. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು

ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇನೆ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, ಮತ್ತು ಕೆಲವು $((a)_(1)) ,\ ((ಎ)_(2)),\ ((ಎ)_(3))$, ಇತ್ಯಾದಿ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾನು ಈಗ ನಿಮಗೆ ಹೇಳುವ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ "ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ" ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಪದಗಳಿಗೆ ಬರೆಯೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸರಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಏನು? ಮತ್ತು $((a)_(n-1))$ ಮತ್ತು $((a)_(n+1))$ ಪದಗಳು $((a)_(n)) $ ನಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ. . ಮತ್ತು ಈ ಅಂತರವು $d$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $((a)_(n-2))$ ಮತ್ತು $((a)_(n+2))$ ಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಹೇಳಬಹುದು - ಅವುಗಳನ್ನು $((a)_(n) ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ )$ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ $2d$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಜಾಹೀರಾತನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ

ಇದು ನಮಗೆ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ನೆರೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ $((a)_(n))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ನಾವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಅದರ ನೆರೆಯ ಪದಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಮೇಲಾಗಿ: ನಾವು ನಮ್ಮ $((a)_(n))$ ನಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಿಂದ ಹಿಂದೆ ಸರಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ $k$ ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ - ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ಆ. ನಮಗೆ $((a)_(100))$ ಮತ್ತು $((a)_(200))$ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೆಲವು $((a)_(150))$ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹುಡುಕಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ $((a)_ (150))=\frac(((ಎ)_(100))+((ಎ)_(200)))(2)$. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಈ ಸತ್ಯವು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಯಾವುದನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ಮತ್ತು $14+4((x)^(2))$ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಾಗಿರುವ $x$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ (ಸೂಚಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ).

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವರಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಕೇಂದ್ರ ಅಂಶ $x+1$ ಅನ್ನು ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು: $x=2$ ಮತ್ತು $x=-3$ ಉತ್ತರಗಳು.

ಉತ್ತರ: -3; 2.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ $$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ).

ಪರಿಹಾರ. ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ ಮಧ್ಯದ ಪದವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\ಕ್ವಾಡ್ \ಎಡ| \cdot 2 \ಬಲ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & (((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಮತ್ತೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ: $x=6$ ಮತ್ತು $x=1$.

ಉತ್ತರ: 1; 6.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಕೆಲವು ಕ್ರೂರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ ಅಥವಾ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ತರಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಅದ್ಭುತ ತಂತ್ರವಿದೆ: ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆಯೇ?

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರಲ್ಲಿ ನಾವು −3 ಮತ್ತು 2 ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಉತ್ತರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು? ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ($-6()^(2))$, $+1$ ಮತ್ತು $14+4(()^(2))$) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು. $x=-3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ -54; -2; 52 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ 50 ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. $x=2$ ಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಪ್ರಗತಿ, ಆದರೆ 27 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಯಸುವವರು ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಾವಾಗಿಯೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ: ಅಲ್ಲಿಯೂ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎರಡನೆಯದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಗತ್ಯ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ "ನಿರ್ಮಿಸಲು" ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅಂತಹ "ನಿರ್ಮಾಣ" ದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಂಗತಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಷಯದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು

ಮತ್ತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ, ಬಹುಶಃ. ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಇತರ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 6 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

$((a)_(n))$ ಮತ್ತು $d$ ಮೂಲಕ “ಎಡ ಬಾಲ” ಮತ್ತು $((a)_(k))$ ಮತ್ತು $d$ ಮೂಲಕ “ಬಲ ಬಾಲ” ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ಎಸ್; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ಎಸ್. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ $S$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಪರಸ್ಪರ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದೂರ ಸರಿಯಲು) ನಂತರ ನಾವು ಎಡವಿ ಬೀಳುವ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ$S$. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು:

ಸಮಾನ ಇಂಡೆಂಟೇಶನ್‌ಗಳು ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ

ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಾವು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವುಗಳು:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 8. ಮೊದಲ ಪದವು 66 ಆಗಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಹನ್ನೆರಡನೆಯ ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆಯೋಣ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಆದ್ದರಿಂದ, $d$ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಟ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವವರಿಗೆ: ನಾನು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ 11 ರ ಒಟ್ಟಾರೆ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು $d$ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದದ ಗುಣಾಂಕ 11 - ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ $((d)_(0))$ ನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ ಇದೆ), ಆದರೆ ಇದು ಗಮನಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಶೃಂಗವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $((d)_(0))$ ಬಿಂದುವು $f\left(d \right)=0$ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((ಡಿ)_(1))=-66;\ಕ್ವಾಡ್ ((ಡಿ)_(2))=-6. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆತುರಪಡಲಿಲ್ಲ: ಅವುಗಳ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, abscissa ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ -66 ಮತ್ತು −6:

\[((ಡಿ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

ಪತ್ತೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಲ್ಲ $((y)_(\min ))$ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ :)

ಉತ್ತರ: −36

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 9. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $-\frac(1)(6)$ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಅವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $x$, $y$ ಮತ್ತು $z$ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮದ "ಮಧ್ಯ" ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ - ಇದು $x$ ಮತ್ತು $z$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮತ್ತು $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $-\frac ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (1)( 6)$. ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತ $x$ ಮತ್ತು $z$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ $y$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಈಗ, $y$ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. $x$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $y=-\frac(1)(3)$ ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದಕ್ಕೇ

ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ! ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ.

ಉತ್ತರ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 10. 2 ಮತ್ತು 42 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ, ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮೊತ್ತವು 56 ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಂದಿನವುಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನಿಖರವಾಗಿ $n$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 2 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು 42 ಎಂದು ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \ಬಲ\)\]

\[((ಎ)_(2))+((ಎ)_(3))+((ಎ)_(ಎನ್-1))=56\]

ಆದಾಗ್ಯೂ, $((a)_(2))$ ಮತ್ತು $((a)_(n-1))$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 2 ಮತ್ತು 42 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ. ಮತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥ

\[((ಎ)_(2))+((ಎ)_(n-1))=2+42=44\]

ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ಎ)_(3))=56; \\ & ((ಎ)_(3))=56-44=12. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

$((a)_(3))$ ಮತ್ತು $((a)_(1))$ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಉಳಿದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ಎ)_(2))=2+5=7; \\ & ((ಎ)_(3))=12; \\ & ((ಎ)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ಎ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((ಎ)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗಾಗಲೇ 9 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಡ ತುದಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ - ಸಂಖ್ಯೆ 42. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಕೇವಲ 7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ಉತ್ತರ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಒಂದೆರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಒಳ್ಳೆಯದು, ಅದು ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಬರೆದದ್ದನ್ನು ಓದದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಠಿಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಇವುಗಳು OGE ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 11. ತಂಡವು ಜನವರಿಯಲ್ಲಿ 62 ಭಾಗಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಹಿಂದಿನ ತಿಂಗಳಿಗಿಂತ 14 ಹೆಚ್ಚು ಭಾಗಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು. ನವೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ ತಂಡವು ಎಷ್ಟು ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ತಿಂಗಳಿಂದ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

ನವೆಂಬರ್ ವರ್ಷದ 11 ನೇ ತಿಂಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $((a)_(11))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

\[((ಎ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ಆದ್ದರಿಂದ, ನವೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ 202 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 12. ಬುಕ್‌ಬೈಂಡಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವು ಜನವರಿಯಲ್ಲಿ 216 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹಿಂದಿನ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕಿಂತ 4 ಹೆಚ್ಚು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಿತು. ಡಿಸೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ ಎಷ್ಟು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬೈಂಡ್ ಮಾಡಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ. ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ಡಿಸೆಂಬರ್ ವರ್ಷದ ಕೊನೆಯ, 12 ನೇ ತಿಂಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $((a)_(12))$ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:

\[((ಎ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ಇದು ಉತ್ತರ - ಡಿಸೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ 260 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸರಿ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಓದಿದ್ದರೆ, ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅಭಿನಂದಿಸಲು ಆತುರಪಡುತ್ತೇನೆ: ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ "ಯುವ ಹೋರಾಟಗಾರರ ಕೋರ್ಸ್" ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಮುಂದಿನ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೋಗಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅದರಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ (ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು)

ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದದಿಂದ ಹೊಸ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಂತ ಅಥವಾ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿ ಹಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1) ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ

ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ. ಪ್ರಗತಿಯ ಪಕ್ಕದ ಬೆಸ (ಸಮ) ಪದಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು

ನೀವು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಜೀವನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

3) ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ kth ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ

4) ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯೆಂದರೆ kth ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುವನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಲವತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 4;7;...

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ

ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ನಲವತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅದರ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಏಳನೇ ಪದಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಹತ್ತರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

ನಾವು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಹಂತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಹತ್ತು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, 50 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅದರ 50 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಮೊದಲ 100 ರ ಮೊತ್ತ.

ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರಗತಿಯ ನೂರನೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ 50 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಗತಿಯ ಭಾಗದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಮತ್ತು ಮೊದಲ 100 ರ ಮೊತ್ತ

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು 250 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ

ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಕಂಡುಬರುವ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಮಾತ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಎಂಟು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 111 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

1+3+5+...+x=307.

ಪರಿಹಾರ: ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅವರು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದ ಕಾರಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೋರಿದರು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನ ಪಪೈರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೈಂಡ್ ಪಪೈರಸ್ (19 ನೇ ಶತಮಾನ BC) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಹತ್ತು ಜನರ ನಡುವೆ ಹತ್ತು ಅಳತೆಯ ಬ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಂಟನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಳತೆ."

ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರ ಗಣಿತದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೊಗಸಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಹೈಪ್ಸಿಕಲ್ಸ್ (2 ನೇ ಶತಮಾನ, ಅವರು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಹದಿನಾಲ್ಕನೆಯ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರು), ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು: “ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, 2 ನೇ ಅರ್ಧದ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ ವರ್ಗ 1/2 ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ನೇ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು an ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (a1, a2, a3 ... ಓದಿ: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ ).

ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು? ಇದರ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು (n) ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ d ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಒಂದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ನಂತರ ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

an =kn+b, ಆದರೆ b ಮತ್ತು k ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಿರುದ್ಧವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಇದೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ:

1. ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಒಂದು.
2. ಸಂಭಾಷಿಸು: ಒಂದು ವೇಳೆ, 2 ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಒಂದು, ಅಂದರೆ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
   ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಣವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: 2 ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

n + m = k + l (m, n, k ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣವನ್ನು an + am = ak + al ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ (Nth) ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು (a1) ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ (d) ನಾಲ್ಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನಲವತ್ತೈದನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) ಸೂತ್ರವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ kth ಪದಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಪರಿಮಿತ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಅರ್ಥ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

Sn = (a1+an) n/2.

1 ನೇ ಪದವು ಸಹ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1,2,3,...,n,..., ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಇದೆ, ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು - ಒಂದು ಪ್ರಗತಿ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು (ಸದಸ್ಯರು) ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ನೆರೆಯ ಸದಸ್ಯರು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ). ಈ ಸಂಖ್ಯೆ - ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ N. ಅಂಕಗಣಿತ ಪ್ರಗತಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ a (3) - a (2) = a (4) - a (3) = a (5) - a (4) = ... = a (j) - a(j-1) = d. ಡಿ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

d = a (j) - a (j-1).

ಹೈಲೈಟ್:

• ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ d > 0. ಉದಾಹರಣೆ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ನಂತರ ಡಿ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳು

ಪ್ರಗತಿಯ 2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (i-th, k-th), ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ಅಂದರೆ d = (a(i) – a(k))/(i-k).

ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಅವಧಿ

ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತ

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೊದಲ ಜೆ ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ಆದರೆ ರಿಂದ a(j) = a(1) + d(j – 1), ನಂತರ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.