ទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់គឺជាសាខាមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ សំណួរនៃការដោះស្រាយដែនកំណត់គឺទូលំទូលាយណាស់ ចាប់តាំងពីមានវិធីសាស្រ្តរាប់សិបសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់នៃប្រភេទផ្សេងៗ។ មាន nuances និងល្បិចរាប់សិបដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយនេះឬដែនកំណត់នោះ។ យ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងនៅតែព្យាយាមយល់អំពីប្រភេទដែនកំណត់សំខាន់ៗដែលត្រូវបានជួបប្រទះញឹកញាប់បំផុតក្នុងការអនុវត្ត។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃដែនកំណត់។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ប្រវត្តិសង្ខេប។ មានជនជាតិបារាំងម្នាក់ឈ្មោះ Augustin Louis Cauchy នៅសតវត្សរ៍ទី 19 ដែលបានផ្តល់និយមន័យយ៉ាងតឹងរឹងចំពោះគោលគំនិតជាច្រើននៃម៉ាតាន ហើយបានចាក់គ្រឹះរបស់វា។ វាត្រូវតែនិយាយថាគណិតវិទូដ៏គួរឱ្យគោរពនេះគឺជា, ហើយនឹងស្ថិតនៅក្នុងសុបិន្តអាក្រក់របស់សិស្សទាំងអស់នៃនាយកដ្ឋានរូបវិទ្យានិងគណិតវិទ្យាចាប់តាំងពីគាត់បានបង្ហាញពីចំនួនដ៏ធំនៃទ្រឹស្តីបទនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាហើយទ្រឹស្តីបទមួយគឺសាហាវជាងផ្សេងទៀត។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងនឹងមិនពិចារណានៅឡើយទេ។ ការកំណត់ដែនកំណត់ Cauchyប៉ុន្តែសូមព្យាយាមធ្វើរឿងពីរ៖
1. យល់ពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់។
2. រៀនដោះស្រាយប្រភេទសំខាន់ៗនៃដែនកំណត់។
ខ្ញុំសូមអភ័យទោសចំពោះការពន្យល់ដែលមិនមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្រ្តមួយចំនួន វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលសម្ភារៈអាចយល់បានសូម្បីតែទឹកតែដែលតាមពិតគឺជាកិច្ចការរបស់គម្រោង។
ដូច្នេះតើអ្វីជាដែនកំណត់?
ហើយគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃហេតុអ្វីបានជាលោកយាយ shaggy ...
ដែនកំណត់ណាមួយមានបីផ្នែក:
1) រូបតំណាងដែនកំណត់ដែលគេស្គាល់។
2) ធាតុនៅក្រោមរូបតំណាងដែនកំណត់ ក្នុងករណីនេះ . ធាតុអានថា "X មាននិន្នាការទៅមួយ" ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ - ពិតប្រាកដទោះបីជាជំនួសឱ្យ "X" នៅក្នុងការអនុវត្តមានអថេរផ្សេងទៀត។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង កន្លែងរបស់មួយអាចជាលេខណាមួយ ក៏ដូចជា infinity ()។
3) មុខងារនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ ក្នុងករណីនេះ .
ការថតដោយខ្លួនឯង។ 
អានដូចនេះ៖ "ដែនកំណត់នៃមុខងារដែល x មានទំនោរទៅរកការរួបរួម។"
សូមក្រឡេកមើលសំណួរសំខាន់បន្ទាប់ - តើកន្សោម "x" មានន័យយ៉ាងណា? ខិតខំទៅមួយ"? ហើយតើពាក្យ«តស៊ូ»មានន័យដូចម្តេច?
គំនិតនៃដែនកំណត់គឺជាគំនិតមួយ ដូច្នេះដើម្បីនិយាយ ថាមវន្ត. ចូរយើងបង្កើតលំដាប់មួយ៖ ដំបូង , បន្ទាប់មក , , …, 
, ….
នោះគឺកន្សោម "x ខិតខំទៅមួយ" គួរតែត្រូវបានយល់ដូចខាងក្រោម: "x" ជាប់លាប់លើតម្លៃ ដែលខិតទៅជិតការរួបរួមយ៉ាងជិតស្និត និងអនុវត្តស្របគ្នាជាមួយវា។.
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើ? ដោយផ្អែកលើខាងលើ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសមួយទៅក្នុងមុខងារក្រោមសញ្ញាកំណត់៖
ដូច្នេះច្បាប់ទីមួយ៖ នៅពេលផ្តល់ដែនកំណត់ណាមួយ ដំបូងយើងគ្រាន់តែព្យាយាមដោតលេខទៅក្នុងមុខងារ.
យើងបានចាត់ទុកដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែទាំងនេះក៏កើតឡើងនៅក្នុងការអនុវត្តផងដែរ ហើយមិនមែនកម្រទេ!
ឧទាហរណ៍ជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវាជាអ្វី? នេះគឺជាករណីនៅពេលដែលវាកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់ នោះគឺ៖ ដំបូង បន្ទាប់មក បន្ទាប់មក ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។
តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះមុខងារនៅពេលនេះ?
, , 
, …
ដូច្នេះ៖ ប្រសិនបើ នោះអនុគមន៍មានទំនោរទៅជាដកគ្មានដែនកំណត់:
និយាយដោយប្រយោល យោងទៅតាមច្បាប់ទីមួយរបស់យើង ជំនួសឱ្យ "X" យើងជំនួសភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបានចម្លើយ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀតជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចាប់ផ្តើមកើនឡើងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ហើយមើលឥរិយាបថនៃមុខងារ: 
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់:
និងឧទាហរណ៍ស៊េរីមួយទៀត៖
សូមព្យាយាមវិភាគផ្លូវចិត្តខាងក្រោមសម្រាប់ខ្លួនអ្នក ហើយចងចាំប្រភេទដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត៖
, , , , 
, , , , 
,
ប្រសិនបើអ្នកមានការសង្ស័យ អ្នកអាចយកម៉ាស៊ីនគិតលេខ ហើយអនុវត្តបន្តិច។
ក្នុងករណីនោះ សូមព្យាយាមបង្កើតលំដាប់ , , . ប្រសិនបើ , , .
! ចំណាំ៖ និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង វិធីសាស្រ្តក្នុងការបង្កើតលំដាប់នៃលេខជាច្រើននេះគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត វាពិតជាសមរម្យណាស់។
យកចិត្តទុកដាក់ផងដែរចំពោះរឿងខាងក្រោម។ ទោះបីជាដែនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចំនួនធំនៅកំពូល ឬសូម្បីតែមួយលានក៏ដោយ៖ នោះវាដូចគ្នាទាំងអស់ 
ចាប់តាំងពីមិនយូរមិនឆាប់ "X" នឹងចាប់ផ្តើមទទួលយកតម្លៃដ៏មហិមាបែបនេះ ដែលមួយលាននៅក្នុងការប្រៀបធៀបនឹងក្លាយជាមីក្រុបពិតប្រាកដ។
តើអ្នកត្រូវចងចាំ និងយល់ពីអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ?
1) នៅពេលដែលបានផ្តល់ដែនកំណត់ណាមួយ ដំបូងយើងគ្រាន់តែព្យាយាមជំនួសលេខទៅក្នុងមុខងារ។
2) អ្នកត្រូវតែយល់និងដោះស្រាយភ្លាមៗនូវដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុតដូចជា 
។ល។
លើសពីនេះទៅទៀត ដែនកំណត់មានអត្ថន័យធរណីមាត្រល្អណាស់។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីប្រធានបទ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានឯកសារបង្រៀន ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម. បន្ទាប់ពីអានអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងមិនត្រឹមតែយល់ពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបានស្គាល់ករណីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ នៅពេលដែលដែនកំណត់នៃមុខងារជាទូទៅ។ មិនមានទេ។!
នៅក្នុងការអនុវត្តជាអកុសលមានអំណោយតិចតួច។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តពិចារណាលើដែនកំណត់ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ដោយវិធីនេះនៅលើប្រធានបទនេះមាន វគ្គសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងជាទម្រង់ pdf ដែលមានប្រយោជន៍ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកមានពេលតិចតួចណាស់ក្នុងការរៀបចំ។ ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់សម្ភារៈគេហទំព័រគឺមិនអាក្រក់ជាងនេះទេ:
ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្រុមនៃដែនកំណត់នៅពេលដែល ហើយអនុគមន៍គឺជាប្រភាគដែលភាគបែង និងភាគបែងមានពហុនាម
ឧទាហរណ៍៖
គណនាដែនកំណត់ 
យោងទៅតាមច្បាប់របស់យើង យើងនឹងព្យាយាមជំនួសភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅក្នុងមុខងារ។ តើយើងទទួលបានអ្វីនៅលើកំពូល? ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ហើយតើមានអ្វីកើតឡើងនៅខាងក្រោម? ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ផងដែរ។ ដូច្នេះ យើងមានអ្វីដែលហៅថាភាពមិនប្រាកដប្រជានៃប្រភេទសត្វ។ មនុស្សម្នាក់ប្រហែលជាគិតថា ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់ ប៉ុន្តែក្នុងករណីទូទៅ នេះមិនមែនជាករណីទាំងអស់នោះទេ ហើយវាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តបច្ចេកទេសដំណោះស្រាយមួយចំនួន ដែលឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះ?
ដំបូងយើងក្រឡេកមើលលេខភាគហើយរកថាមពលខ្ពស់បំផុត៖ 
អំណាចនាំមុខនៅក្នុងភាគយកគឺពីរ។
ឥឡូវយើងមើលទៅភាគបែង ហើយក៏រកឃើញវាទៅកាន់អំណាចខ្ពស់បំផុត៖ 
កំរិតខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែងគឺពីរ។
បន្ទាប់មកយើងជ្រើសរើសអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគយក និងភាគបែង៖ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ពួកវាដូចគ្នា និងស្មើពីរ។
ដូច្នេះ វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយមានដូចខាងក្រោម៖ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយអំណាចខ្ពស់បំផុត។
នេះជាចម្លើយ ហើយមិនមែនជានិរន្តរភាពទាល់តែសោះ។
តើអ្វីជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏សំខាន់នៅក្នុងការរចនានៃការសម្រេចចិត្ត?
ទីមួយ យើងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ ប្រសិនបើមាន។
ទីពីរ គួរតែរំខានដំណោះស្រាយសម្រាប់ការពន្យល់កម្រិតមធ្យម។ ជាធម្មតាខ្ញុំប្រើសញ្ញា វាមិនមានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាទេ ប៉ុន្តែមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវបានរំខានសម្រាប់ការពន្យល់កម្រិតមធ្យម។
ទីបី ក្នុងដែនកំណត់ គួរតែសម្គាល់អ្វីដែលត្រូវទៅទីណា។ នៅពេលដែលការងារត្រូវបានគូរដោយដៃ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើវាតាមវិធីនេះ៖ 
វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញសម្រាប់កំណត់ចំណាំ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើកិច្ចការនេះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ប្រហែលជាគ្រូនឹងចង្អុលបង្ហាញពីចំណុចខ្វះខាតនៅក្នុងដំណោះស្រាយ ឬចាប់ផ្តើមសួរសំណួរបន្ថែមអំពីកិច្ចការនោះ។ តើអ្នកត្រូវការវាទេ?
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
ជាថ្មីម្តងទៀតនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង យើងរកឃើញក្នុងកម្រិតខ្ពស់បំផុត៖ 
កំរិតអតិបរិមាក្នុងលេខភាគ៖ ៣
កំរិតអតិបរិមាក្នុងភាគបែង៖ ៤
ជ្រើសរើស អស្ចារ្យបំផុត។តម្លៃក្នុងករណីនេះបួន។
យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយរបស់យើង ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ .
កិច្ចការពេញលេញអាចមើលទៅដូចនេះ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
កំរិតអតិបរិមានៃ “X” នៅក្នុងលេខភាគ៖ ២
កំរិតអតិបរមានៃ "X" នៅក្នុងភាគបែង៖ 1 (អាចសរសេរជា)
ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ . ដំណោះស្រាយចុងក្រោយអាចមើលទៅដូចនេះ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ
ការសម្គាល់មិនមានន័យថាចែកដោយសូន្យទេ (អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ) ប៉ុន្តែការបែងចែកដោយចំនួនមិនកំណត់។
ដូច្នេះ ដោយការបង្ហាញពីភាពមិនប្រាកដប្រជានៃប្រភេទសត្វ យើងប្រហែលជាអាចធ្វើបាន។ លេខចុងក្រោយសូន្យ ឬគ្មានកំណត់។
ដែនកំណត់ជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។
ក្រុមដែនកំណត់បន្ទាប់គឺស្រដៀងនឹងដែនកំណត់ដែលទើបតែបានពិចារណា៖ ភាគយក និងភាគបែងមានពហុនាម ប៉ុន្តែ "x" លែងមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែ ចំនួនកំណត់.
ឧទាហរណ៍ 4
ដោះស្រាយដែនកំណត់ 
ដំបូងយើងព្យាយាមជំនួស -1 ទៅជាប្រភាគ៖ 
ក្នុងករណីនេះអ្វីដែលគេហៅថាភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានទទួល។
ក្បួនទូទៅ៖ ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងមានពហុនាម ហើយមានទម្រង់មិនច្បាស់លាស់ នោះត្រូវបង្ហាញវា អ្នកត្រូវបញ្ចូលលេខភាគនិងភាគបែង.
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ភាគច្រើនអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង និង/ឬប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។ ប្រសិនបើរឿងទាំងនេះត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល សូមចូលទៅកាន់ទំព័រ រូបមន្ត និងតារាងគណិតវិទ្យានិងអានឯកសារបង្រៀន រូបមន្តក្តៅៗសម្រាប់មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលា. ដោយវិធីនេះ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបោះពុម្ពវាចេញ វាត្រូវបានទាមទារជាញឹកញាប់ ហើយព័ត៌មានត្រូវបានស្រូបយកបានល្អប្រសើរពីក្រដាស។
ដូច្នេះ ចូរយើងដោះស្រាយដែនកំណត់របស់យើង។ 
ចែកភាគយក និងភាគបែង
ដើម្បីជាកត្តាភាគយក អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖ 
ដំបូងយើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖
និងឫសការ៉េរបស់វា៖ ។
ប្រសិនបើការរើសអើងមានទំហំធំ ឧទាហរណ៍ 361 យើងប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ មុខងារនៃការស្រង់ចេញឫសការ៉េគឺនៅលើម៉ាស៊ីនគណនាសាមញ្ញបំផុត។
! ប្រសិនបើឫសមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាំងស្រុងទេ (ចំនួនប្រភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀសត្រូវបានទទួល) វាទំនងជាថាការរើសអើងត្រូវបានគណនាមិនត្រឹមត្រូវ ឬមានការវាយខុសនៅក្នុងកិច្ចការ។
បន្ទាប់យើងរកឃើញឫស៖ 
ដូចនេះ៖
ទាំងអស់។ ភាគយកត្រូវបានធ្វើជាកត្តា។
ភាគបែង។ ភាគបែងគឺជាកត្តាសាមញ្ញបំផុតរួចទៅហើយ ហើយគ្មានវិធីណាដើម្បីធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលនោះទេ។
ជាក់ស្តែង វាអាចត្រូវបានខ្លីទៅ៖
ឥឡូវនេះយើងជំនួស -1 ទៅក្នុងកន្សោមដែលនៅតែស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់៖
តាមធម្មជាតិ នៅក្នុងការប្រលង តេស្ត ឬការប្រឡង ដំណោះស្រាយមិនដែលត្រូវបានសរសេរលម្អិតបែបនេះទេ។ នៅក្នុងកំណែចុងក្រោយ ការរចនាគួរតែមើលទៅដូចនេះ៖
ចូរយើងធ្វើកត្តាភាគយក។ 
ឧទាហរណ៍ 5
គណនាដែនកំណត់ 
ទីមួយកំណែ "បញ្ចប់" នៃដំណោះស្រាយ
ចូរធ្វើកត្តាភាគនិងភាគបែង។
លេខភាគ៖
ភាគបែង៖ 
, 
តើអ្វីសំខាន់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ?
ដំបូង អ្នកត្រូវតែយល់ច្បាស់អំពីរបៀបដែលលេខភាគត្រូវបានបង្ហាញ ជាដំបូងយើងយក 2 ចេញពីតង្កៀប ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។ នេះជារូបមន្តដែលអ្នកត្រូវដឹង និងមើល។
អនុសាសន៍៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងដែនកំណត់មួយ (ស្ទើរតែគ្រប់ប្រភេទ) វាអាចទៅរួចក្នុងការដកលេខចេញពីតង្កៀប នោះយើងតែងតែធ្វើវា។
ជាងនេះទៅទៀត គួរតែផ្លាស់ទីលេខបែបនេះលើសពីរូបតំណាងកំណត់. ដើម្បីអ្វី? បាទ គ្រាន់តែដើម្បីកុំឲ្យគេចូលក្នុងផ្លូវ។ រឿងសំខាន់គឺមិនត្រូវបាត់បង់លេខទាំងនេះនៅពេលក្រោយក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ។
សូមចំណាំថានៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃដំណោះស្រាយ ខ្ញុំបានយករូបពីរចេញពីរូបតំណាងដែនកំណត់ ហើយបន្ទាប់មកដក។
! សំខាន់
កំឡុងពេលដំណោះស្រាយ បំណែកប្រភេទកើតឡើងជាញឹកញាប់។ កាត់បន្ថយប្រភាគនេះ។វាត្រូវបានហាមឃាត់
. ដំបូងអ្នកត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃភាគយកឬភាគបែង (ដាក់ -1 ចេញពីតង្កៀប) ។
នោះគឺសញ្ញាដកមួយលេចឡើងដែលត្រូវបានយកមកពិចារណានៅពេលគណនាដែនកំណត់ហើយមិនចាំបាច់បាត់បង់វាទាល់តែសោះ។
ជាទូទៅ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ជាញឹកញាប់បំផុតក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េពីរ ពោលគឺទាំងភាគយក និងភាគបែងមានត្រីកោណចតុកោណ។
វិធីសាស្រ្តគុណភាគយក និងភាគបែងដោយកន្សោមរួម
យើងបន្តពិចារណាលើភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់
ប្រភេទដែនកំណត់បន្ទាប់គឺស្រដៀងនឹងប្រភេទមុន។ រឿងតែមួយគត់ បន្ថែមពីលើពហុធា យើងនឹងបន្ថែមឫស។
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។
ដំបូងយើងព្យាយាមជំនួសលេខ 3 ទៅក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់
ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត - នេះគឺជារឿងដំបូងដែលអ្នកត្រូវធ្វើសម្រាប់ដែនកំណត់ណាមួយ។. សកម្មភាពនេះជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តដោយស្មារតី ឬជាទម្រង់ព្រាង។
ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល ដែលចាំបាច់ត្រូវលុបបំបាត់។ 
ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ លេខភាគរបស់យើងមានភាពខុសគ្នានៃឫស។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាជាទម្លាប់ក្នុងការកម្ចាត់ឫសប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន។ ដើម្បីអ្វី? ហើយជីវិតគឺងាយស្រួលជាងដោយគ្មានពួកគេ។
ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
|f(x) - a|< ε
при |x| >ន
ការកំណត់ដែនកំណត់ Cauchy
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់មួយនៃចំណុចនៅភាពគ្មានកំណត់ ដោយមាន |x| > លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x)ជា x ទំនោរទៅ infinity () ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយតូច ε > 0
មានលេខ N ε > Kអាស្រ័យលើ ε ដែលសម្រាប់ x, |x| > N ε, តម្លៃអនុគមន៍ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ε-neighborhood នៃចំណុច a:
|f (x)-a|< ε
.
ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។
ការសម្គាល់ខាងក្រោមក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ៖
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនេះដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល៖
.
នេះសន្មតថាតម្លៃជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍។
ដែនកំណត់ម្ខាង
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
|f(x) - a|< ε
при x < -N
មានករណីជាញឹកញាប់នៅពេលអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែតម្លៃវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាននៃអថេរ x (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត នៅតំបន់ជុំវិញចំណុច ឬ )។ ដូចគ្នានេះផងដែរដែនកំណត់នៅ infinity សម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាននៃ x អាចមានតម្លៃខុសគ្នា។ បន្ទាប់មកដែនកំណត់ម្ខាងត្រូវបានប្រើ។
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ឬដែនកំណត់ដែល x ទំនោរទៅដកគ្មានដែនកំណត់ () ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
.
ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ឬដែនកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅបូកគ្មានដែនកំណត់ ():
.
ដែនកំណត់មួយចំហៀងនៅ infinity ត្រូវបានបង្ហាញជាញឹកញាប់ដូចខាងក្រោម:
;
.
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានកំណត់
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍នៅគ្មានកំណត់៖
|f(x)| > M សម្រាប់ |x| > ន
និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់យោងទៅតាម Cauchy
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់មួយនៃចំណុចនៅភាពគ្មានទីកំណត់ ដោយមាន |x| > K ដែល K ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដែនកំណត់មុខងារ f (x)ដែល x មានទំនោរទៅ infinity () គឺស្មើនឹង infinityប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធំតាមអំពើចិត្តណាមួយ M > 0
មានលេខបែបនេះ N M > Kអាស្រ័យលើ M ដែលសម្រាប់ x, |x| > N M , តម្លៃអនុគមន៍ជារបស់សង្កាត់នៃចំណុចនៅគ្មានកំណត់៖
|f (x) | > ម.
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។
ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានដែនកំណត់នៃមុខងារមួយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.
ដូចគ្នានេះដែរ និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់ដែលស្មើនឹង និងត្រូវបានណែនាំ៖
.
.
និយមន័យនៃដែនកំណត់ម្ខាងនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។
.
.
.
ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។
.
.
.
ការកំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយដោយយោងទៅតាម Heine
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)បានកំណត់នៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ 0
កន្លែងណា ឬ .
ចំនួន a (finite ឬ infinity) ត្រូវបានគេហៅថា limit នៃអនុគមន៍ f (x)នៅចំណុច x 0
:
,
ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយ។ (xn), បម្លែងទៅជា x 0
:
,
ធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់, លំដាប់ (f(xn))បង្រួបបង្រួមទៅជា៖
.
ប្រសិនបើយើងយកជាសង្កាត់ដែលជាសង្កាត់នៃចំណុចដែលមិនមានសញ្ញានៅ infinity៖ នោះយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែល x ទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។ 0 ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់ខាងឆ្វេងឬខាងស្តាំនៃចំនុច x នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់
: ឬ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅដកអគ្មានកំណត់ និងបូកគ្មានដែនកំណត់ រៀងគ្នា។
និយមន័យ Heine និង Cauchy នៃដែនកំណត់គឺសមមូល។
ឧទាហរណ៍
ឧទាហរណ៍ ១
.
ការប្រើនិយមន័យរបស់ Cauchy ដើម្បីបង្ហាញវា។
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម៖
.
ចូរយើងស្វែងរកដែននិយមន័យនៃមុខងារ។
;
.
ដោយសារភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគគឺជាពហុនាម អនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់ លើកលែងតែចំណុចដែលភាគបែងបាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចទាំងនេះ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ;
ឫសគល់នៃសមីការ៖
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
.
ដូច្នេះមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅ .
.
យើងនឹងប្រើវានៅពេលក្រោយ។ -1
:
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅ infinity យោងទៅតាម Cauchy៖
តោះផ្លាស់ប្តូរភាពខុសគ្នា៖
;
;
;
.
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ និងគុណដោយ
.
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។
បន្ទាប់មក
ដោយសារអ្នកតែងតែអាចបង្កើនវាបាន ចូរយើងយក។
បន្ទាប់មកសម្រាប់នរណាម្នាក់,
នៅ។
នេះមានន័យថា។
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅ infinity យោងទៅតាម Cauchy៖
ឧទាហរណ៍ ២
1)
;
2)
.
ដោយប្រើនិយមន័យ Cauchy នៃដែនកំណត់ បង្ហាញថា:
1) ដំណោះស្រាយដែល x មានទំនោរទៅជាដកគ្មានកំណត់
ចាប់តាំងពី មុខងារត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់។
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលស្មើនឹងដកគ្មានកំណត់៖
;
.
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ និងគុណដោយ
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។
.
បន្ទាប់មក
.
បញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
វាធ្វើតាមថាសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ M មានលេខដូច្នេះសម្រាប់ ,
នេះមានន័យថា។
.
2) ដំណោះស្រាយដែល x មានទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់
.
តោះបំលែងមុខងារដើម។ គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ និងអនុវត្តភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ៖
.
យើងមាន៖
ដូច្នេះមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅ .
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃមុខងារនៅ៖
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណៈ .
.
តោះផ្លាស់ប្តូរភាពខុសគ្នា៖
;
.
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ និងគុណដោយ
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។
គុណភាគយក និងភាគបែងដោយ៖
អនុញ្ញាតឱ្យ
.
នៅ និង .
ចាប់តាំងពីវារក្សាសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយបន្ទាប់មក
អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖ CM. នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។ (x)មុខងារ
y = f គឺជាច្បាប់ (ច្បាប់) ដែលយោងទៅតាមធាតុនីមួយៗ x នៃសំណុំ X ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយធាតុមួយ និងតែមួយ y នៃសំណុំ Y ។ធាតុ x ∈ Xហៅ អាគុយម៉ង់មុខងារ.
ឬ អថេរឯករាជ្យធាតុ x ធាតុ yហៅ ∈ យ.
តម្លៃមុខងារ អថេរអាស្រ័យ.
សំណុំ X ត្រូវបានគេហៅថា អថេរឯករាជ្យដែននៃមុខងារ សំណុំនៃធាតុ y.
ដែលមានមុនក្នុងសំណុំ X ត្រូវបានហៅ តំបន់ ឬសំណុំនៃតម្លៃមុខងារមុខងារជាក់ស្តែងត្រូវបានគេហៅថា
.
កំណត់ពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) ប្រសិនបើមានលេខ M ដែលវិសមភាពមានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖មុខងារលេខត្រូវបានគេហៅថា
.
មានកំណត់ហៅ ប្រសិនបើមានលេខ M នោះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖គែមខាងលើ
ព្រំដែនខាងលើពិតប្រាកដ
.
មុខងារពិតត្រូវបានគេហៅថាលេខតូចបំផុតដែលកំណត់ជួរតម្លៃរបស់វាពីខាងលើ។ នោះគឺជាចំនួន s ដែលសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា និងសម្រាប់ណាមួយ មានអាគុយម៉ង់ដែលតម្លៃមុខងារលើសពី s′: ។ ព្រំដែនខាងលើនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានសម្គាល់ដូចខាងក្រោមៈហៅ រៀងៗខ្លួនគែមខាងក្រោម
ដែនកំណត់ទាបពិតប្រាកដ
.
មុខងារពិតត្រូវបានគេហៅថាចំនួនធំបំផុតដែលកំណត់ជួរតម្លៃរបស់វាពីខាងក្រោម។ នោះគឺជាលេខ i ដែលសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា និងសម្រាប់ណាមួយ មានអាគុយម៉ង់ដែលតម្លៃមុខងារគឺតិចជាង i′: ។
អតិបរិមានៃអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោមៈ
កំណត់ដែនកំណត់នៃមុខងារ
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចបញ្ចប់ ដោយមានករណីលើកលែងដែលអាចកើតមាននៃចំណុចខ្លួនឯង។
.
នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយមានរឿងបែបនេះ អាស្រ័យលើនោះសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលវិសមភាពមាន
.
ឬនៅ។
ដែនកំណត់នៃមុខងារមួយត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោមៈ
.
ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់នៃមុខងារអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
ដែនកំណត់ម្ខាង។
.
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ (ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង):
.
ដែនកំណត់ខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ (ដែនកំណត់ខាងស្តាំ)៖
;
.
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនិងស្តាំត្រូវបានបញ្ជាក់ជាញឹកញាប់ដូចខាងក្រោម:
ដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចនៅភាពគ្មានកំណត់
.
.
.
ដែនកំណត់នៅចំនុចគ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។
;
;
.
ពួកគេត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជា:
ការប្រើគំនិតនៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។
.
ប្រសិនបើយើងណែនាំពីគោលគំនិតនៃសង្កាត់ដែលបែកខ្ញែកនៃចំណុចមួយ នោះយើងអាចផ្តល់និយមន័យរួមនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំនុចកំណត់ និងឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖
;
;
.
នៅទីនេះសម្រាប់ចំណុចបញ្ចប់
;
;
.
សង្កាត់ណាមួយនៅ Infinity ត្រូវបានវាយលុក៖
ដែនកំណត់មុខងារគ្មានកំណត់
និយមន័យ ដែនកំណត់មុខងារ f (x)អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ដែលមានការវាយដំមួយចំនួននៃចំណុចមួយ (កម្រិតកំណត់ ឬនៅកម្រិតគ្មានកំណត់)។ 0
ជា x → xប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធំតាមអំពើចិត្តណាមួយ M > 0
ស្មើភាពគ្មានទីបញ្ចប់ > 0
មានលេខ δ M
.
អាស្រ័យលើ M ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ δ M - សង្កាត់នៃចំណុច៖ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.
ឬនៅ។
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
.
ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានដែនកំណត់នៃមុខងារមួយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.
.
អ្នកក៏អាចណែនាំនិយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់ដែលស្មើនឹង និង៖
និយមន័យជាសកលនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។
.
ការកំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយដោយយោងទៅតាម Heine
ដោយប្រើគោលគំនិតនៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយ យើងអាចផ្តល់និយមន័យជាសកលនៃដែនកំណត់កំណត់ និងគ្មានកំណត់នៃមុខងារ ដែលអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ទាំងកម្រិតកំណត់ (ពីរចំហៀង និងម្ខាង) និងចំណុចឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖
លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ X មួយចំនួន: ។
,
នៅចំណុច៖ 0
:
,
ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយបំប្លែងទៅជា x
.
ធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ X: ,
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនេះដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកលភាវូបនីយកម្ម៖ 0 ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់ខាងឆ្វេងនៃចំនុច x ជាសំណុំ X
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។ ប្រសិនបើវាជាដៃស្តាំ នោះយើងទទួលបាននិយមន័យនៃការកំណត់ត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់នៃចំណុចមួយនៅ infinity ជាសំណុំ X យើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ។
ទ្រឹស្តីបទ
និយមន័យ Cauchy និង Heine នៃដែនកំណត់នៃមុខងារគឺសមមូល។
ភស្តុតាង
លើសពីនេះ យើងសន្មតថាមុខងារដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ដែលត្រូវគ្នានៃចំណុច ដែលជាចំនួនកំណត់ ឬនិមិត្តសញ្ញាមួយ៖ .
វាក៏អាចជាចំណុចកំណត់មួយចំហៀង ពោលគឺមានទម្រង់ ឬ .
សង្កាត់មានពីរជ្រុងសម្រាប់ដែនកំណត់ម្ខាង និងម្ខាងសម្រាប់ដែនកំណត់ម្ខាង។ (x)លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍ fផ្លាស់ប្តូរ (ឬធ្វើឱ្យមិនបានកំណត់) ចំនួនកំណត់នៃពិន្ទុ x 0 .
1, x 2, x 3, ... x n 0
បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងមិនប៉ះពាល់ដល់អត្ថិភាព និងតម្លៃនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច x (x)ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់ នោះមានសង្កាត់ដែលដាច់នៃចំនុច x
.
ដែលមុខងារ f 0
មានកំណត់៖
.
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមាននៅចំណុច x 0
ដែនកំណត់មិនសូន្យ៖
បន្ទាប់មក សម្រាប់លេខណាមួយ c ពីចន្លោះពេល វាមានសង្កាត់ដែលដាច់នៃចំនុច x
ដើម្បីអ្វី,
, ប្រសិនបើ ;
, ប្រសិនបើ . 0
,
ប្រសិនបើនៅសង្កាត់មួយចំនួនដែលត្រូវបានវាយដំនៃចំណុចនោះគឺជាថេរនោះ។
ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់ និង និងនៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x
,
ប្រសិនបើនៅសង្កាត់មួយចំនួនដែលត្រូវបានវាយដំនៃចំណុចនោះគឺជាថេរនោះ។
នោះ។
,
ប្រសិនបើ និងនៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
ជាពិសេសប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចមួយ។
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង ; 0
:
,
ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង .
ប្រសិនបើនៅសង្កាត់មួយចំនួនដែលបានវាយប្រហារនៃចំណុច x
.
ហើយមានកំណត់ (ឬគ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់) ដែនកំណត់ស្មើគ្នា៖
, នោះ។
ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
msgstr "លក្ខណសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃកម្រិតនៃអនុគមន៍ ។"
គុណលក្ខណៈនព្វន្ធនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ និងត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។
;
;
;
ដើម្បីអ្វី,
ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់ជាក់លាក់៖
និង។
ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ C ជាចំនួនថេរ នោះគឺជាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក
បើអញ្ចឹង។
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។ ប្រសិនបើវាជាដៃស្តាំ នោះយើងទទួលបាននិយមន័យនៃការកំណត់ត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់នៃចំណុចមួយនៅ infinity ជាសំណុំ X យើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ។
ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ 0
"លក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍" ។ > 0
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។ 0
ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើសង្កាត់ដែលត្រូវបានគេវាយចេញខ្លះនៃកម្រិតកំណត់ ឬនៅចំណុច infinity x
.
មានដែនកំណត់កំណត់នៅចំណុចនេះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ ε ណាមួយ។
មានសង្កាត់ដែលត្រូវបានគេវាយដំនៃចំណុច x
ថាសម្រាប់ចំណុចណាមួយ និងពីសង្កាត់នេះ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
ដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ
.
ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចមួយ ឬមានតម្លៃខុសពីដែនកំណត់។
.
ដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះ ត្រូវតែមានសង្កាត់ដែលវាយដំនៃចំណុច ដែលសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍មិនមានចំណុច៖
.
ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចំណុច នោះសញ្ញាកំណត់អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍បន្ត៖
ខាងក្រោមនេះគឺជាទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នានឹងករណីនេះ។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃមុខងារបន្តនៃអនុគមន៍មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់នៃមុខងារ g(ត) 0
ជា t → t 0
:
.
ហើយវាស្មើនឹង x 0
នេះគឺជាចំណុច t
អាចមានកំណត់ ឬឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖ . (x)ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f 0
.
គឺបន្តនៅចំណុច x បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ f(g(t)) ហើយវាស្មើនឹង f:
.
(x0)
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
"ដែនកំណត់និងភាពបន្តនៃមុខងារស្មុគស្មាញ" ។
មុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់
ដែនកំណត់មុខងារគ្មានកំណត់
មុខងារគ្មានកំណត់
.
មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថាគ្មានកំណត់ប្រសិនបើផលបូក ភាពខុសគ្នា និងផលិតផល
នៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍ infinitesimal at គឺជាអនុគមន៍ infinitesimal នៅ .ផលិតផលនៃមុខងារកំណត់
នៅសង្កាត់មួយចំនួនដែលត្រូវបានវាយលុកនៃចំណុចទៅជា infinitesimal នៅគឺជាមុខងារ infinitesimal នៅ .
,
ដើម្បីឱ្យមុខងារមានកម្រិតកំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់
តើមុខងារគ្មានដែនកំណត់នៅឯណា។
"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារគ្មានកំណត់" ។
ដែនកំណត់មុខងារគ្មានកំណត់
មុខងារធំគ្មានកំណត់
.
មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថាមានទំហំធំគ្មានកំណត់ប្រសិនបើ
ផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ដែលមានព្រំដែន ស្ថិតនៅលើសង្កាត់ដែលដាច់មួយចំនួននៃចំណុច និងអនុគមន៍ធំគ្មានដែនកំណត់នៅ គឺជាអនុគមន៍ធំគ្មានកំណត់នៅ .
.
ប្រសិនបើអនុគមន៍មានទំហំធំគ្មានកំណត់សម្រាប់ ហើយមុខងារត្រូវបានចងនៅលើសង្កាត់ដែលបាក់បែកមួយចំនួននៃចំណុចនោះ
,
ប្រសិនបើមុខងារនេះ ស្ថិតនៅលើសង្កាត់ដែលមានការវាយដំមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព៖
ហើយមុខងារគឺគ្មានកំណត់នៅ៖
.
, និង (នៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច), បន្ទាប់មក
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក
"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់" ។
ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ធំ និងគ្មានកំណត់
ពីលក្ខណសម្បត្តិពីមុនទាំងពីរ មានការភ្ជាប់គ្នារវាងមុខងារដ៏ធំ និងគ្មានកំណត់។
ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយមានទំហំធំគ្មានដែនកំណត់ នោះមុខងារគឺគ្មានដែនកំណត់នៅ .
ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយគឺគ្មានដែនកំណត់សម្រាប់ , ហើយ , នោះមុខងារគឺធំមិនកំណត់សម្រាប់ .
,
.
ប្រសិនបើមុខងារ infinitesimal មានសញ្ញាជាក់លាក់មួយ នោះគឺវាវិជ្ជមាន (ឬអវិជ្ជមាន) លើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុចនោះ ការពិតនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:
.
ដូចគ្នាដែរ ប្រសិនបើមុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់មានសញ្ញាជាក់លាក់មួយ នោះពួកគេសរសេរថា:
.
បន្ទាប់មក ទំនាក់ទំនងនិមិត្តសញ្ញារវាងមុខងារតូច និងធំគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ
,
,
,
.
រូបមន្តបន្ថែមទាក់ទងនឹងនិមិត្តសញ្ញាគ្មានកំណត់អាចរកបាននៅលើទំព័រ
"ចំណុចនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ"
ដែនកំណត់នៃមុខងារ monotonic
ដែនកំណត់មុខងារគ្មានកំណត់
មុខងារដែលបានកំណត់លើសំណុំនៃចំនួនពិត X ត្រូវបានហៅ កើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងប្រសិនបើវិសមភាពដូចខាងក្រោមមានដូចជាទាំងអស់៖
.
ដូច្នោះហើយសម្រាប់ ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងបំពេញមុខងារនៃវិសមភាពខាងក្រោម៖
.
សម្រាប់ មិនថយចុះ:
.
សម្រាប់ មិនកើនឡើង:
.
វាធ្វើតាមថាមុខងារដែលកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនថយចុះដែរ។ មុខងារកាត់បន្ថយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនកើនឡើងដែរ។
មុខងារត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាប្រសិនបើវាមិនថយចុះ ឬមិនកើនឡើង។
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។ ប្រសិនបើវាជាដៃស្តាំ នោះយើងទទួលបាននិយមន័យនៃការកំណត់ត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់នៃចំណុចមួយនៅ infinity ជាសំណុំ X យើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ។
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនថយចុះនៅលើចន្លោះពេលដែល .
ប្រសិនបើវាត្រូវបានចងខាងលើដោយលេខ M: នោះមានដែនកំណត់កំណត់។
បើមិនកំណត់ពីខាងលើទេ .
ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោមដោយលេខ m: នោះមានដែនកំណត់កំណត់។
បើមិនកំណត់ពីខាងក្រោមទេ .
ប្រសិនបើចំនុច a និង b ស្ថិតក្នុងភាពគ្មានដែនកំណត់ នោះនៅក្នុងកន្សោម សញ្ញាកំណត់មានន័យថា .
;
.
ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានបង្កើតឱ្យកាន់តែបង្រួម។
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនថយចុះនៅលើចន្លោះពេលដែល .
;
.
បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់ម្ខាងនៅចំណុច a និង b៖
ទ្រឹស្តីបទស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារមិនបង្កើន។
នៅ និង .
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលដែលជាកន្លែងដែល .
ចាប់តាំងពីវារក្សាសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយបន្ទាប់មក
បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់ម្ខាង៖
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
"ដែនកំណត់នៃមុខងារ monotonic" ។
| អិល.ឌី. Kudryavtsev ។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ លេខ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2003 ។ |
| សម្រាប់អ្នកដែលចង់រៀនពីរបៀបស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះ។ យើងនឹងមិនស្វែងយល់អំពីទ្រឹស្ដីទេ ជាធម្មតាគ្រូបង្រៀន។ ដូច្នេះ "ទ្រឹស្តីគួរឱ្យធុញទ្រាន់" គួរតែត្រូវបានកត់ត្រានៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។ ប្រសិនបើនេះមិនមែនជាករណីទេនោះ អ្នកអាចអានសៀវភៅសិក្សាដែលយកចេញពីបណ្ណាល័យនៃស្ថាប័នអប់រំ ឬពីធនធានអ៊ីនធឺណិតផ្សេងទៀត។ ខ) $ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| ដំណោះស្រាយ |
|
ក) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ ខ)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0$$ ជារឿយៗមនុស្សផ្ញើមកយើងនូវដែនកំណត់ទាំងនេះជាមួយនឹងសំណើដើម្បីជួយដោះស្រាយពួកគេ។ យើងបានសម្រេចចិត្តរំលេចពួកវាជាឧទាហរណ៍ដាច់ដោយឡែក ហើយពន្យល់ថាដែនកំណត់ទាំងនេះគ្រាន់តែត្រូវចងចាំជាក្បួន។ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកបានទេ សូមផ្ញើវាមកពួកយើង។ យើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិត។ អ្នកនឹងអាចមើលវឌ្ឍនភាពនៃការគណនា និងទទួលបានព័ត៌មាន។ នេះនឹងជួយអ្នកឱ្យទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់របស់អ្នកពីគ្រូរបស់អ្នកទាន់ពេលវេលា! |
| ចម្លើយ |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x\to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$ |
អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់៖ $ \bigg [\ frac(0)(0) \bigg] $
| ឧទាហរណ៍ ៣ |
| ដោះស្រាយ $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| ដំណោះស្រាយ |
|
ដូចរាល់ដង យើងចាប់ផ្តើមដោយការជំនួសតម្លៃ $x$ ទៅក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់។ $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ តើមានអ្វីបន្ទាប់ទៀតឥឡូវនេះ? តើគួរមានអ្វីកើតឡើងនៅទីបញ្ចប់? ដោយសារនេះជាភាពមិនប្រាកដប្រជា នេះមិនមែនជាចម្លើយនៅឡើយទេ ហើយយើងបន្តការគណនា។ ដោយសារយើងមានពហុនាមនៅក្នុងភាគយក យើងនឹងបែងចែកវាដោយប្រើរូបមន្តដែលស្គាល់គ្រប់គ្នាពីសាលា $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ ។ តើអ្នកចាំទេ? អស្ចារ្យ! ឥឡូវនេះទៅប្រើវាជាមួយនឹងបទចម្រៀង :) យើងរកឃើញថាភាគយក $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ យើងបន្តដោះស្រាយដោយគិតពីការផ្លាស់ប្តូរខាងលើ៖ $$ \lim \limits_(x\to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x\to -1)\frac((x-1)(x+1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2$$ |
| ចម្លើយ |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2$$ |
ចូរយើងរុញដែនកំណត់ក្នុងឧទាហរណ៍ពីរចុងក្រោយទៅជាភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយពិចារណាពីភាពមិនច្បាស់លាស់៖ $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg] $
| ឧទាហរណ៍ 5 |
| គណនា $\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| ដំណោះស្រាយ |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? តើខ្ញុំគួរធ្វើអ្វី? កុំភ័យស្លន់ស្លោ ព្រោះអ្វីដែលមិនអាចទៅរួច។ វាចាំបាច់ក្នុងការយក x ចេញទាំងភាគយក និងភាគបែង ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយវា។ បន្ទាប់ពីនេះព្យាយាមគណនាដែនកំណត់។ តោះសាកល្បង... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x\to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x)))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ ដោយប្រើនិយមន័យពីឧទាហរណ៍ទី 2 និងការជំនួស infinity សម្រាប់ x យើងទទួលបាន៖ $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \\cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| ចម្លើយ |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាដែនកំណត់
ដូច្នេះ សូមសង្ខេបឧទាហរណ៍ដោយសង្ខេប និងបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់៖
- ជំនួសចំណុច x ទៅក្នុងកន្សោមបន្ទាប់ពីសញ្ញាកំណត់។ ប្រសិនបើចំនួនជាក់លាក់ ឬគ្មានដែនកំណត់ត្រូវបានទទួល នោះដែនកំណត់ត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង។ បើមិនដូច្នេះទេ យើងមានភាពមិនប្រាកដប្រជា៖ "សូន្យបែងចែកដោយសូន្យ" ឬ "ភាពគ្មានដែនកំណត់បែងចែកដោយភាពគ្មានកំណត់" ហើយបន្តទៅជំហានបន្ទាប់នៃការណែនាំ។
- ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនប្រាកដប្រជានៃ "សូន្យចែកនឹងសូន្យ" អ្នកត្រូវដាក់កត្តាភាគយក និងភាគបែង។ កាត់បន្ថយស្រដៀងគ្នា។ ជំនួសចំណុច x ទៅក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់។
- ប្រសិនបើភាពមិនប្រាកដប្រជាគឺ "បែងចែកដោយភាពគ្មានទីបញ្ចប់" នោះយើងយកទាំងភាគយក និងភាគបែង x ទៅកម្រិតធំបំផុត។ យើងកាត់អក្សរ X ។ យើងជំនួសតម្លៃនៃ x ពីក្រោមដែនកំណត់ទៅក្នុងកន្សោមដែលនៅសល់។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ អ្នកបានរៀនពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការដោះស្រាយដែនកំណត់ ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងវគ្គសិក្សា Calculus ។ ជាការពិតណាស់ ទាំងនេះមិនមែនជាបញ្ហាគ្រប់ប្រភេទដែលផ្តល់ដោយអ្នកប្រឡងនោះទេ ប៉ុន្តែមានតែដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុតប៉ុណ្ណោះ។ យើងនឹងនិយាយអំពីប្រភេទការងារផ្សេងទៀតនៅក្នុងអត្ថបទនាពេលខាងមុខ ប៉ុន្តែដំបូងអ្នកត្រូវរៀនមេរៀននេះ ដើម្បីឈានទៅមុខ។ ចូរពិភាក្សាអំពីអ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើមានឫស, ដឺក្រេ, សិក្សាមុខងារសមមូលគ្មានដែនកំណត់, ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់, ច្បាប់របស់ L'Hopital ។
ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចកំណត់ដែនកំណត់ដោយខ្លួនឯងបានទេ កុំភ័យ យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយ!
ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងគឺសមភាពដូចខាងក្រោមៈ
\begin(សមីការ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)
ដោយសារសម្រាប់ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $\sin\alpha\to(0)$ ពួកគេនិយាយថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ និយាយជាទូទៅក្នុងរូបមន្ត (1) ជំនួសឱ្យអថេរ $\alpha$ កន្សោមណាមួយអាចត្រូវបានដាក់នៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែង ដរាបណាលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖
- កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។
- កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា។
Corollaries ពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ:
\begin(សមីការ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)
ឧទាហរណ៍ដប់មួយត្រូវបានដោះស្រាយនៅលើទំព័រនេះ។ ឧទាហរណ៍លេខ 1 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត (2)-(4) ។ ឧទាហរណ៍លេខ 2 លេខ 3 លេខ 4 និងលេខ 5 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ ឧទាហរណ៍លេខ 6-10 មានដំណោះស្រាយដែលស្ទើរតែគ្មានយោបល់ ពីព្រោះការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍ពីមុន។ ដំណោះស្រាយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួនដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ។
ខ្ញុំសូមចំណាំថា វត្តមានរបស់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac (0) (0)$ មិនមានន័យថាការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។ ជួនកាលការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញគឺគ្រប់គ្រាន់ - ឧទាហរណ៍សូមមើល។
ឧទាហរណ៍លេខ 1
បង្ហាញថា $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ។
ក) ចាប់តាំងពី $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ បន្ទាប់មក៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
ចាប់តាំងពី $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ និង $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , នោះ៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
ខ) តោះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ $\alpha=\sin(y)$។ ចាប់តាំងពី $\sin(0)=0$ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $y\to(0)$ ។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃសូន្យ ដែល $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, ដូច្នេះ៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$
សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។
គ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\tg(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\tg(0)=0$ នោះលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ និង $y\to(0)$ គឺសមមូល។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃលេខសូន្យ ដែល $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ដូច្នេះដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃចំនុច a) យើងនឹងមាន៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$
សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។
ភាពស្មើគ្នា ក) ខ) គ) ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើរួមជាមួយនឹងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។
ឧទាហរណ៍លេខ 2
គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ និង $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. ហើយភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅជាសូន្យ បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$, i.e. រួចរាល់។ លើសពីនេះទៀត វាច្បាស់ណាស់ថាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងស្របគ្នា (ឧ. និងពេញចិត្ត)៖
ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរដែលបានរាយនៅដើមទំព័រត្រូវបានបំពេញ។ វាធ្វើតាមពីនេះដែលរូបមន្តអាចអនុវត្តបាន i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$។
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$។
ឧទាហរណ៍លេខ 3
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))x=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac (0)(0)$, ឧ. រួចរាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងមិនស្របគ្នាទេ។ នៅទីនេះអ្នកត្រូវកែសម្រួលកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន។ យើងត្រូវការកន្សោម $9x$ ដើម្បីស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មកវានឹងក្លាយជាការពិត។ សំខាន់ យើងខ្វះកត្តានៃ $9$ នៅក្នុងភាគបែង ដែលវាមិនពិបាកបញ្ចូលនោះទេ គ្រាន់តែគុណកន្សោមក្នុងភាគបែងដោយ $9។ តាមធម្មជាតិ ដើម្បីទូទាត់សងគុណនឹង ៩ ដុល្លារ អ្នកនឹងត្រូវចែកភ្លាមៗដោយ ៩ ដុល្លារ៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
ឥឡូវនេះកន្សោមនៅក្នុងភាគបែង និងនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុសស្របគ្នា។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរសម្រាប់ដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$ ។ ហើយនេះមានន័យថា៖
$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 4
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ នៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់នៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ភាគយកដែលមាន $\sin(5x)$ ទាមទារភាគបែង $5x$។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវចែកភាគយកដោយ $5x$ ហើយគុណនឹង $5x$ ភ្លាមៗ។ លើសពីនេះទៀត យើងនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នាជាមួយភាគបែង គុណ និងចែក $\tg(8x)$ ដោយ $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
កាត់បន្ថយ $x$ ហើយយក $\frac(5)(8)$ ថេរ ចេញពីសញ្ញាកំណត់ យើងទទួលបាន៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x)))( 8x)) $$
ចំណាំថា $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ បំពេញបានពេញលេញនូវតម្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ រូបមន្តខាងក្រោមគឺអាចអនុវត្តបាន៖
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1)=\frac(5)(8)។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 5
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ចាំថា $\cos(0)=1$) និង $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង អ្នកគួរតែកម្ចាត់កូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគយក ដោយបន្តទៅស៊ីនុស (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត) ឬតង់ហ្សង់ (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត)។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))$$
តោះត្រឡប់ទៅដែនកំណត់៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
ប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ គឺនៅជិតទម្រង់ដែលត្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងរួចទៅហើយ។ តោះធ្វើការបន្តិចជាមួយប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ដោយកែតម្រូវវាទៅដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង (ចំណាំថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយក និងនៅក្រោមស៊ីនុសត្រូវតែផ្គូផ្គង)៖
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
ចូរយើងត្រលប់ទៅដែនកំណត់ដែលកំពុងពិចារណា៖
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25 ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 6
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ និង $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ បន្ទាប់មក យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac(0)(0)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវាដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។ ចាប់តាំងពី $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ បន្ទាប់មក៖
$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)។$$
ឆ្លងទៅអំពើបាបក្នុងដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងមាន៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x)))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 7
គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ ប្រធានបទ $\alpha\neq \ បេតា $ ។
ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុននេះ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា មានភាពមិនច្បាស់លាស់ម្តងទៀត $\frac(0)(0)$។ ចូរផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុសដោយប្រើរូបមន្ត
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
ដោយប្រើរូបមន្តនេះយើងទទួលបាន:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ ត្រូវ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ អាល់ហ្វា^2)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 8
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ចងចាំថា $\sin(0)=\tg(0)=0$) និង $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ បន្ទាប់មកនៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ចូរបំបែកវាដូចខាងក្រោមៈ
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3)=\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 9
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ និង $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$ បន្ទាប់មកមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តអថេរ $\alpha \to 0$)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=x-3$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត (អត្ថប្រយោជន៍នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម) វាមានតម្លៃធ្វើការជំនួសដូចខាងក្រោម: $t=\frac(x-3)(2)$ ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាការជំនួសទាំងពីរអាចអនុវត្តបានក្នុងករណីនេះ វាគ្រាន់តែថាការជំនួសទីពីរនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការតិចជាងជាមួយប្រភាគ។ ចាប់តាំងពី $x\to(3)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$។
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\ ត្រូវ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 10
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $ ។
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តទៅការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តអថេរគឺ $\alpha\to(0)$)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=\frac(\pi)(2)-x$ ។ ចាប់តាំងពី $x\to\frac(\pi)(2)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 11
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$ ។
ក្នុងករណីនេះយើងមិនចាំបាច់ប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ សូមចំណាំថាទាំងដែនកំណត់ទីមួយ និងទីពីរមានតែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងលេខប៉ុណ្ណោះ។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ ជាងនេះទៅទៀត បន្ទាប់ពីការសម្រួល និងកាត់បន្ថយកត្តាមួយចំនួនខាងលើ ភាពមិនប្រាកដប្រជានឹងរលាយបាត់។ ខ្ញុំបានលើកឧទាហរណ៍នេះក្នុងគោលបំណងតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ ដើម្បីបង្ហាញថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់មិនមានន័យថាការប្រើប្រាស់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ចាំថា $\sin\frac(\pi)(2)=1$) និង $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា $\cos\frac(\pi)(2)=0$) បន្ទាប់មកយើងមាន ដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមានន័យថាយើងនឹងត្រូវការប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))))=\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x))=\frac(1)(1+1)=\frac(1)(2)។ $$
មានដំណោះស្រាយស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសៀវភៅដំណោះស្រាយរបស់ Demidovich (លេខ 475) ។ ចំពោះដែនកំណត់ទីពីរ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុនក្នុងផ្នែកនេះ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ហេតុអ្វីបានជាវាកើតឡើង? វាកើតឡើងដោយសារតែ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ និង $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីបំប្លែងកន្សោមក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ គោលដៅនៃសកម្មភាពរបស់យើងគឺសរសេរនូវផលបូកនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងជាផលិតផល។ ដោយវិធីនេះ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងប្រភេទស្រដៀងគ្នា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរមួយ ដែលធ្វើឡើងតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (សូមមើលឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍លេខ 9 ឬលេខ 10 នៅលើទំព័រនេះ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការជំនួសទេ បើទោះបីជាចង់បានក៏ដោយ ការជំនួសអថេរ $t=x-\frac(2\pi)(3)$ មិនពិបាកអនុវត្តទេ។
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ទៅ\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x))+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3))។ $$
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងមិនចាំបាច់អនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ជាការពិត អ្នកអាចធ្វើបែបនេះបានប្រសិនបើអ្នកចង់ (មើលកំណត់ត្រាខាងក្រោម) ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេ។
តើអ្វីទៅជាដំណោះស្រាយដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង? បង្ហាញ\លាក់
ដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងយើងទទួលបាន:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ ស្តាំ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( ៣))។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$។