នៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់បានអនុវត្តជំហានឯករាជ្យដំបូងក្នុងការសិក្សាការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយចាប់ផ្តើមសួរសំណួរដែលមិនស្រួល នោះវាមិនងាយស្រួលទៀតទេក្នុងការដកឃ្លាថា "ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងស្ពៃក្តោប"។ ដូច្នេះ ដល់ពេលកំណត់ហើយ លាតត្រដាងអាថ៌កំបាំងនៃកំណើត តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នា. បានចាប់ផ្តើមនៅក្នុងអត្ថបទ អំពីអត្ថន័យនៃដេរីវេដែលខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យសិក្សា ព្រោះនៅទីនោះយើងគ្រាន់តែមើលគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយចាប់ផ្តើមចុចលើបញ្ហាលើប្រធានបទ។ មេរៀនដូចគ្នានេះមានការតំរង់ទិសជាក់ស្តែងច្បាស់លាស់ លើសពីនេះទៅទៀត
ជាគោលការណ៍ គំរូដែលបានពិភាក្សាខាងក្រោមអាចត្រូវបានស្ទាត់ជំនាញជាផ្លូវការ (ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលមិនមានពេលវេលា/បំណងប្រាថ្នាដើម្បីស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃនិស្សន្ទវត្ថុ)។ វាក៏គួរឱ្យចង់បានផងដែរ (ប៉ុន្តែម្តងទៀតមិនចាំបាច់) ដើម្បីអាចស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ "សាមញ្ញ" - យ៉ាងហោចណាស់នៅកម្រិតនៃមេរៀនមូលដ្ឋានពីរ៖តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនិងដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។
ប៉ុន្តែមានរឿងមួយដែលយើងច្បាស់ជាមិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានពេលនេះគឺវា ដែនកំណត់មុខងារ. អ្នកត្រូវតែយល់ពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់ ហើយអាចដោះស្រាយវាបានយ៉ាងហោចណាស់នៅកម្រិតមធ្យម។ ហើយទាំងអស់ដោយសារតែដេរីវេ
មុខងារនៅចំណុចមួយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីការរចនានិងលក្ខខណ្ឌ: ពួកគេហៅ ការបង្កើនអាគុយម៉ង់;
- ការបង្កើនមុខងារ;
- ទាំងនេះគឺជានិមិត្តសញ្ញាតែមួយ ("ដីសណ្ត" មិនអាច "ដាច់" ចេញពី "X" ឬ "Y") ។
ជាក់ស្តែង អ្វីជាអថេរ "ថាមវន្ត" គឺថេរ និងលទ្ធផលនៃការគណនាដែនកំណត់ 
- លេខ (ពេលខ្លះ - "បូក" ឬ "ដក" គ្មានដែនកំណត់).
ជាចំណុចមួយ អ្នកអាចពិចារណាតម្លៃណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដែននៃនិយមន័យមុខងារដែលដេរីវេមាន។
ចំណាំ៖ ឃ្លា "ដែលដេរីវេមាន" - ជាទូទៅវាមានសារៈសំខាន់ណាស់។! ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ទោះបីជាចំណុចមួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ក៏ដោយ ដេរីវេរបស់វា។
មិនមាននៅទីនោះទេ។ ដូច្នេះរូបមន្ត
មិនអាចអនុវត្តបាននៅចំណុច
ហើយទម្រង់ខ្លីៗដោយគ្មានការកក់ទុកនឹងមិនត្រឹមត្រូវ។ ការពិតស្រដៀងគ្នានេះគឺជាការពិតសម្រាប់មុខងារផ្សេងទៀតដែលមាន "បំបែក" នៅក្នុងក្រាហ្វ ជាពិសេសសម្រាប់ arcsine និង arccosine ។
ដូច្នេះបន្ទាប់ពីការជំនួសយើងទទួលបានរូបមន្តធ្វើការទីពីរ:
យកចិត្តទុកដាក់ចំពោះកាលៈទេសៈដ៏អាក្រក់ដែលអាចបំភាន់ចានឆាំង៖ ក្នុងដែនកំណត់នេះ “x” ដែលជាអថេរឯករាជ្យ ដើរតួជាស្ថិតិ ហើយ “ឌីណាមិក” ត្រូវបានកំណត់ម្តងទៀតដោយការបង្កើន។ លទ្ធផលនៃការគណនាដែនកំណត់
គឺជាមុខងារដេរីវេ។
ដោយផ្អែកលើចំណុចខាងលើ យើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាធម្មតាចំនួនពីរ៖
- ស្វែងរក ដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ។
- ស្វែងរក មុខងារដេរីវេដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ។ កំណែនេះបើយោងតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំគឺជារឿងធម្មតាជាងហើយនឹងត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់ជាចម្បង។
ភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងភារកិច្ចគឺថាក្នុងករណីដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកលេខ (ជាជម្រើស គ្មានដែនកំណត់)ហើយនៅក្នុងទីពីរ -
មុខងារ លើសពីនេះទៀត និស្សន្ទវត្ថុប្រហែលជាមិនមានទាល់តែសោះ។
យ៉ាងម៉េច?
បង្កើតសមាមាត្រនិងគណនាដែនកំណត់។
តើវាមកពីណា?តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នា ? សូមអរគុណដល់ដែនកំណត់តែមួយគត់
ហាក់ដូចជាវេទមន្ត ប៉ុន្តែ
នៅក្នុងការពិត - បន្តិចនៃដៃនិងមិនមានការក្លែងបន្លំ។ នៅក្នុងថ្នាក់ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ?ខ្ញុំចាប់ផ្តើមមើលឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ដែលដោយប្រើនិយមន័យ ខ្ញុំបានរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ សម្រាប់គោលបំណងនៃការឡើងកំដៅនៃការយល់ដឹង យើងនឹងបន្តរំខាន តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយគោរពក្បួនដោះស្រាយ និងដំណោះស្រាយបច្ចេកទេស៖
ជាសំខាន់ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់ករណីពិសេសនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល ដែលជាធម្មតាលេចឡើងក្នុងតារាង៖ .
ដំណោះស្រាយត្រូវបានរៀបចំតាមបច្ចេកទេសតាមពីរវិធី។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដំបូងដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយ៖ ជណ្ដើរចាប់ផ្តើមដោយបន្ទះក្តារ ហើយមុខងារដេរីវេចាប់ផ្តើមដោយដេរីវេនៅចំនុចមួយ។
ពិចារណាចំណុចមួយចំនួន (ជាក់លាក់) ដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដែននៃនិយមន័យមុខងារដែលមានដេរីវេ។ ចូរយើងកំណត់ការកើនឡើងនៅចំណុចនេះ។ (ជាការពិតណាស់នៅក្នុងវិសាលភាព o / o -ya) ហើយសរសេរការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា៖
តោះគណនាដែនកំណត់៖
ភាពមិនប្រាកដប្រជា 0:0 ត្រូវបានលុបចោលដោយបច្ចេកទេសស្ដង់ដារ ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងសតវត្សទីមួយមុនគ.ស។ ចូរគុណ
ភាគបែង និងភាគបែងសម្រាប់កន្សោមរួម 
:
បច្ចេកទេសសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់បែបនេះត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងមេរៀនណែនាំ។ អំពីដែនកំណត់នៃមុខងារ.
ចាប់តាំងពីអ្នកអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេល
បន្ទាប់មកដោយបានធ្វើការជំនួស យើងទទួលបាន៖
ជាថ្មីម្តងទៀត សូមរីករាយជាមួយលោការីត៖
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ
ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាក្នុងការលើកកម្ពស់កិច្ចការដូចគ្នា។ វាគឺដូចគ្នាបេះបិទ ប៉ុន្តែសមហេតុផលជាងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការរចនា។ គំនិតគឺដើម្បីកម្ចាត់
subscript ហើយប្រើអក្សរជំនួសឱ្យអក្សរ។
ពិចារណាចំណុចបំពានដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដែននៃនិយមន័យមុខងារ (ចន្លោះពេល) ហើយកំណត់ការបន្ថែមនៅក្នុងវា។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ដោយវិធីនេះ ដូចក្នុងករណីភាគច្រើន អ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានការកក់ទុក ចាប់តាំងពីអនុគមន៍លោការីតគឺអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ។
បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នាគឺ៖
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖
ភាពសាមញ្ញនៃការរចនាគឺមានតុល្យភាពដោយការភាន់ច្រលំដែលអាច
កើតឡើងក្នុងចំណោមអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង (និងមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ) ។ យ៉ាងណាមិញ យើងធ្លាប់ដឹងពីការពិតដែលថាអក្សរ “X” ផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដែនកំណត់! ប៉ុន្តែនៅទីនេះអ្វីៗគឺខុសគ្នា៖ - រូបសំណាកបុរាណមួយ និង - អ្នកទស្សនានៅរស់ ដើរយ៉ាងលឿនតាមច្រករបៀងសារមន្ទីរ។ នោះគឺ "x" គឺ "ដូចជាថេរ" ។
ខ្ញុំនឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើការលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ជាជំហានៗ៖
(1)
ការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត
.
(2) ក្នុងវង់ក្រចក ចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ។
(3) នៅក្នុងភាគបែង យើងគុណសិប្បនិម្មិតដោយ "x" ដូច្នេះ
ទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ 
ខណៈពេលដែលជា គ្មានដែនកំណត់ទង្វើ។
ចម្លើយ៖ តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ៖
ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖
ខ្ញុំស្នើឱ្យបង្កើតរូបមន្តតារាងពីរបន្ថែមទៀតដោយខ្លួនឯង៖
ស្វែងរកដេរីវេតាមនិយមន័យ
ក្នុងករណីនេះ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយភ្លាមៗនូវការកើនឡើងដែលបានចងក្រងទៅជាភាគបែងរួម។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃកិច្ចការនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន (វិធីសាស្ត្រទីមួយ)។
ស្វែងរកដេរីវេតាមនិយមន័យ
ហើយនៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ដំណោះស្រាយត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការតាមវិធីទីពីរ។
មួយចំនួនទៀត។ ដេរីវេនៃតារាង. បញ្ជីពេញលេញអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា ឬឧទាហរណ៍ ភាគទី 1 នៃ Fichtenholtz ។ ខ្ញុំមិនឃើញចំណុចច្រើនទេក្នុងការចម្លងភស្តុតាងនៃច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាពីសៀវភៅ - ពួកគេក៏ត្រូវបានបង្កើតផងដែរ។
រូបមន្ត
ចូរបន្តទៅកិច្ចការដែលជួបប្រទះជាក់ស្តែង៖ ឧទាហរណ៍ ៥
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ
ដំណោះស្រាយ៖ ប្រើរចនាប័ទ្មរចនាដំបូង។ ចូរយើងពិចារណាចំណុចមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិ និងកំណត់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅវា។ បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នាគឺ៖
ប្រហែលជាអ្នកអានមួយចំនួនមិនទាន់បានយល់ច្បាស់អំពីគោលការណ៍ដែលការបង្កើនចាំបាច់ត្រូវធ្វើនោះទេ។ យកចំណុចមួយ (លេខ) ហើយរកតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវា៖ 
នោះគឺចូលទៅក្នុងមុខងារ
ជំនួសឱ្យ "X" អ្នកគួរតែជំនួស។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកវា។
ការបង្កើនមុខងារដែលបានចងក្រង វាអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញភ្លាមៗ. ដើម្បីអ្វី? សម្របសម្រួល និងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយឱ្យនៅកម្រិតមួយបន្ថែមទៀត។
យើងប្រើរូបមន្ត បើកតង្កៀប និងកាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន៖
ទួរគីត្រូវខ្ទេចគ្មានបញ្ហាជាមួយនឹងសាច់អាំងទេ៖
ជាលទ្ធផល៖ 
ដោយសារយើងអាចជ្រើសរើសចំនួនពិតណាមួយជាតម្លៃ យើងធ្វើការជំនួស និងទទួលបាន 
.
ចម្លើយ៖ 
តាមនិយមន័យ។
សម្រាប់គោលបំណងផ្ទៀងផ្ទាត់ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដោយប្រើច្បាប់
តារាងនិងភាពខុសគ្នា៖
វាតែងតែមានប្រយោជន៍ និងរីករាយក្នុងការដឹងចម្លើយត្រឹមត្រូវជាមុន ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការបែងចែកមុខងារដែលបានស្នើឡើងតាមរបៀប "រហ័ស" ទាំងផ្លូវចិត្ត ឬក្នុងសេចក្តីព្រាង នៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយ។
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ លទ្ធផលគឺជាក់ស្តែង៖
តោះត្រឡប់ទៅរចនាប័ទ្ម #2: ឧទាហរណ៍ 7
ចូរយើងស្វែងយល់ភ្លាមៗនូវអ្វីដែលគួរកើតឡើង។ ដោយ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ:
ដំណោះស្រាយ៖ ពិចារណាចំណុចបំពានដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ កំណត់ការបង្កើនអាគុយម៉ង់នៅវា និងបង្កើតការបន្ថែម
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖
(1) យើងប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ
(2) នៅក្រោមស៊ីនុស យើងបើកតង្កៀប នៅក្រោមកូស៊ីនុស យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។
(3) នៅក្រោមស៊ីនុស យើងលុបចោលលក្ខខណ្ឌ នៅក្រោមកូស៊ីនុស យើងបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ។
(4) ដោយសារតែភាពចម្លែកនៃស៊ីនុស យើងដក "ដក" ចេញ។ នៅក្រោមកូស៊ីនុស
យើងបង្ហាញថាពាក្យ។
(5) យើងអនុវត្តការគុណសិប្បនិម្មិតនៅក្នុងភាគបែងដើម្បីប្រើប្រាស់ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង. ដូច្នេះហើយ ភាពមិនប្រាកដប្រជាត្រូវបានលុបចោល ចូរយើងរៀបចំលទ្ធផល។
ចម្លើយ៖ តាមនិយមន័យ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ការលំបាកចម្បងនៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាគឺស្ថិតនៅលើ
ភាពស្មុគស្មាញនៃដែនកំណត់ខ្លាំង + ភាពដើមបន្តិចបន្តួចនៃការវេចខ្ចប់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តទាំងពីរនៃការរចនាកើតឡើង ដូច្នេះខ្ញុំរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តទាំងពីរនេះឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ពួកវាគឺសមមូល ប៉ុន្តែនៅតែក្នុងចំណាប់អារម្មណ៏ជាប្រធានបទរបស់ខ្ញុំ វាជាការគួរសមសម្រាប់អ្នកដែលអត់ចេះសោះក្នុងការប្រកាន់ភ្ជាប់ជម្រើសទី 1 ជាមួយ "X-zero"។
ដោយប្រើនិយមន័យ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
នេះជាកិច្ចការដែលអ្នកត្រូវដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ គំរូនេះត្រូវបានរចនាឡើងក្នុងស្មារតីដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍មុន។
សូមក្រឡេកមើលកំណែដ៏កម្រនៃបញ្ហា៖
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ។
ទីមួយ តើអ្វីគួរជាចំណុចសំខាន់? លេខ ចូរយើងគណនាចម្លើយតាមវិធីស្តង់ដារ៖
ដំណោះស្រាយ៖ តាមទស្សនៈច្បាស់លាស់ កិច្ចការនេះគឺសាមញ្ញជាង ព្រោះក្នុងរូបមន្ត ជំនួសឱ្យ
តម្លៃជាក់លាក់មួយត្រូវបានពិចារណា។
ចូរយើងកំណត់ការបង្កើននៅត្រង់ចំណុច ហើយសរសេរការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍៖
ចូរយើងគណនាដេរីវេនៅចំណុច៖
យើងប្រើរូបមន្តភាពខុសគ្នាតង់សង់ដ៏កម្រមួយ។ 
ហើយម្តងទៀតយើងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយទៅទីមួយ
ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់:
ចម្លើយ៖ តាមនិយមន័យនៃដេរីវេនៅចំណុចមួយ។
បញ្ហាគឺមិនពិបាកទេក្នុងការដោះស្រាយ "ជាទូទៅ" - វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការជំនួសក្រចកឬគ្រាន់តែអាស្រ័យលើវិធីសាស្ត្ររចនា។ ក្នុងករណីនេះ វាច្បាស់ណាស់ថា លទ្ធផលនឹងមិនមែនជាលេខទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារដែលទទួលបាន។
ឧទាហរណ៍ទី 10 ដោយប្រើនិយមន័យ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ 
នៅចំណុច
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
ភារកិច្ចប្រាក់រង្វាន់ចុងក្រោយគឺត្រូវបានបម្រុងទុកជាចម្បងសម្រាប់សិស្សដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែវានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់នរណាម្នាក់ផ្សេងទៀតទេ៖
តើមុខងារអាចខុសគ្នាទេ? 
នៅចំណុច?
ដំណោះស្រាយ៖ វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗគឺបន្តនៅចំណុចមួយ ប៉ុន្តែតើវាអាចខុសគ្នានៅទីនោះដែរឬទេ?
ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ និងមិនត្រឹមតែសម្រាប់មុខងារជាដុំៗប៉ុណ្ណោះទេ មានដូចខាងក្រោម៖
1) ស្វែងរកដេរីវេដៃឆ្វេងនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ: .
2) ស្វែងរកដេរីវេដៃស្តាំនៅចំណុចនេះ: .
៣) ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុម្ខាងមានកំណត់ និងស្របគ្នា៖
បន្ទាប់មកមុខងារគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុច
តាមធរណីមាត្រ មានតង់សង់ទូទៅនៅទីនេះ (សូមមើលផ្នែកទ្រឹស្តីនៃមេរៀន និយមន័យនិងអត្ថន័យនៃដេរីវេ).
ប្រសិនបើតម្លៃខុសគ្នាពីរត្រូវបានទទួល៖ 
(មួយក្នុងចំណោមដែលអាចប្រែទៅជាគ្មានកំណត់)បន្ទាប់មកមុខងារមិនខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនោះទេ។
ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុម្ខាងទាំងពីរគឺស្មើនឹងគ្មានកំណត់
(ទោះបីជាពួកគេមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា) នោះមុខងារគឺមិនមែនទេ។
គឺអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច ប៉ុន្តែមានដេរីវេគ្មានកំណត់ និងតង់សង់បញ្ឈរធម្មតាទៅក្រាហ្វ (សូមមើលឧទាហរណ៍មេរៀនទី 5សមីការធម្មតា។) .
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនអនុវត្តរូបមន្ត និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។
ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
1. y=x 7 +x 5 −x 4 +x 3 −x 2 +x–9 ។ ការអនុវត្តច្បាប់ ខ្ញុំ, រូបមន្ត 4, 2 និង 1. យើងទទួលបាន៖
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1 ។
2. y=3x 6 −2x+5 ។ យើងដោះស្រាយស្រដៀងគ្នាដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នានិងរូបមន្ត 3.
y'=3∙6x 5 −2=18x 5 −2។
ការអនុវត្តច្បាប់ ខ្ញុំ, រូបមន្ត 3, 5
និង 6
និង 1.
ការអនុវត្តច្បាប់ IV, រូបមន្ត 5
និង 1
.
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីប្រាំយោងទៅតាមច្បាប់ ខ្ញុំដេរីវេនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយយើងទើបតែរកឃើញដេរីវេនៃពាក្យទី១ (ឧទាហរណ៍ 4 ) ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ទី 2និង ទី៣លក្ខខណ្ឌ និង សម្រាប់ទី 1 summand យើងអាចសរសេរលទ្ធផលភ្លាមៗ។
ចូរយើងបែងចែក ទី 2និង ទី៣លក្ខខណ្ឌយោងទៅតាមរូបមន្ត 4
. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងបំប្លែងឫសនៃអំណាចទីបី និងទីបួននៅក្នុងភាគបែងទៅជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាប់មក យោងទៅតាម 4
រូបមន្ត យើងរកឃើញដេរីវេនៃអំណាច។
សូមមើលឧទាហរណ៍នេះនិងលទ្ធផល។ តើអ្នកបានចាប់គំរូទេ? ល្អ នេះមានន័យថាយើងមានរូបមន្តថ្មី ហើយអាចបន្ថែមវាទៅក្នុងតារាងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង។
ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីប្រាំមួយ ហើយទាញយករូបមន្តមួយទៀត។
ចូរយើងប្រើច្បាប់ IVនិងរូបមន្ត 4
. ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគលទ្ធផល។
សូមក្រឡេកមើលមុខងារនេះ និងដេរីវេរបស់វា។ ជាការពិតណាស់ អ្នកយល់ពីគំរូ ហើយត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីដាក់ឈ្មោះរូបមន្ត៖
រៀនរូបមន្តថ្មី!
ឧទាហរណ៍។
1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអាគុយម៉ង់ និងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ y= x ២ប្រសិនបើតម្លៃដំបូងនៃអាគុយម៉ង់គឺស្មើនឹង 4 និងថ្មី - 4,01 .
ដំណោះស្រាយ។
តម្លៃអាគុយម៉ង់ថ្មី។ x = x 0 + Δx. ចូរជំនួសទិន្នន័យ៖ 4.01=4+Δх ដូច្នេះការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δх=4.01-4=0.01 ។ ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយ តាមនិយមន័យគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃថ្មី និងមុននៃអនុគមន៍ i.e. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0) ។ ចាប់តាំងពីយើងមានមុខងារ y=x2, នោះ។ Δу=(x 0 + Δx) 2 − (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 − (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
ចម្លើយ៖ ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δх=0.01; ការបង្កើនមុខងារ Δу=0,0801.
ការបង្កើនមុខងារអាចត្រូវបានរកឃើញខុសគ្នា៖ Δy=y(x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801។
2. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x)នៅចំណុច x 0, ប្រសិនបើ f "(x 0) = 1.
ដំណោះស្រាយ។
តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចនៃ tangency x 0និងជាតម្លៃនៃតង់សង់នៃមុំតង់សង់ (អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ) ។ យើងមាន៖ f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 °,ដោយសារតែ tg45°=1 ។
ចម្លើយ៖ តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះបង្កើតជាមុំដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុកស្មើនឹង 45°.
3. ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=xn.
ភាពខុសគ្នាគឺជាសកម្មភាពនៃការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
នៅពេលស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ សូមប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ តាមវិធីដូចគ្នាដែលយើងបានទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដឺក្រេដេរីវេ៖ (x n)" = nx n-1.
ទាំងនេះគឺជារូបមន្ត។
តារាងដេរីវេវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការទន្ទេញដោយការបញ្ចេញពាក្យសំដី៖
1. ដេរីវេនៃបរិមាណថេរគឺសូន្យ។
2. X prime គឺស្មើនឹងមួយ។
3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។
4. ដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្តនៃសញ្ញាប័ត្រនេះដោយដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តគឺតិចជាងមួយ។
5. ដេរីវេនៃឫសគឺស្មើនឹងមួយចែកដោយឫសស្មើគ្នាពីរ។
6. ដេរីវេនៃមួយចែកនឹង x គឺស្មើនឹងដកមួយចែកនឹង x ការ៉េ។
7. ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស។
8. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសគឺស្មើនឹងដកស៊ីនុស។
9. ដេរីវេនៃតង់សង់គឺស្មើនឹងមួយចែកដោយការ៉េនៃកូស៊ីនុស។
10. ដេរីវេនៃកូតង់សង់គឺស្មើនឹងដកមួយចែកដោយការ៉េនៃស៊ីនុស។
យើងបង្រៀន ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា.
1.
ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេនៃពាក្យ។
2. ដេរីវេនៃផលិតផលមួយស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃកត្តាទីមួយ និងទីពីរបូកផលិតផលនៃកត្តាទីមួយ និងដេរីវេនៃកត្តាទីពីរ។
3. ដេរីវេនៃ "y" ចែកដោយ "ve" គឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគយកគឺ "y prime គុណនឹង "ve" ដក "y គុណនឹង ve prime" ហើយភាគបែងគឺ "ve ការ៉េ" ។
4. ករណីពិសេសនៃរូបមន្ត 3.
តោះរៀនទាំងអស់គ្នា!
ទំព័រ 1 នៃ 1 1
និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយដែលមានចំណុច \(x_0\) នៅខាងក្នុងវា។ ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ជាការបង្កើន \(\Delta x \) ដូចដែលវាមិនទុកចន្លោះពេលនេះទេ។ ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ \(\Delta y \) (នៅពេលផ្លាស់ទីពីចំណុច \(x_0 \) ទៅចំណុច \(x_0 + \Delta x \)) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x)\)។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ចំពោះសមាមាត្រនេះនៅ \(\Delta x \rightarrow 0\) នោះដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានហៅ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។\(y=f(x) \\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 \\) ហើយបញ្ជាក់ \(f"(x_0) \\) ។
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុ ចំណាំថា y" = f(x) គឺជាមុខងារថ្មី ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងមុខងារ y = f(x) ដែលកំណត់នៅគ្រប់ចំនុច x ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x).
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេគឺដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអាចគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x=a ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y នោះ f(a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់ :
\(k = f"(a)\)
ចាប់តាំងពី \(k = tg(a) \\) បន្ទាប់មកសមភាព \(f"(a) = tan(a) \\) គឺពិត។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ \(x\)៖
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ដីសណ្ត x\) ។ អត្ថន័យដ៏មានអត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលលទ្ធផលមានដូចខាងក្រោម៖ ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុច x ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ \(y = x^2\) សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ នោះយើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ស្វែងរកវា។
ចូរយើងបង្កើតវា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x)?
1. ជួសជុលតម្លៃនៃ \(x\) ស្វែងរក \(f(x)\)
2. ផ្តល់អាគុយម៉ង់ \(x\) បង្កើន \(\Delta x\) ទៅកាន់ចំណុចថ្មី \(x+ \Delta x \) ស្វែងរក \(f(x+ \Delta x) \)
3. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍៖ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. បង្កើតទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។
ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M(x; f(x)) ហើយសូមចាំថា មេគុណមុំនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x)។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" បានទេ។ នៅចំណុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅចំណុច x ។
ទាំងនេះគឺជាអាគុយម៉ង់ "ដៃលើ" ។ ចូរយើងផ្តល់ហេតុផលដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) រក្សា។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះ \(\Delta x \) ទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មក \(\Delta y \) នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវានឹងបន្តនៅចំណុចនោះ។.
សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ច្រាសគឺមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចប្រសព្វ” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយចំនួន តង់សង់មិនអាចទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះដេរីវេមិនមាននៅត្រង់ចំណុចនោះទេ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ \(y=\sqrt(x)\) គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x = 0 ។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះមិនមានមេគុណមុំទេ ដែលមានន័យថា \(f ។ "(0)\) មិនមានទេ។
ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារ - ភាពខុសគ្នា។ តើគេអាចសន្និដ្ឋានដោយរបៀបណាពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ថាវាខុសគ្នា?
ចម្លើយគឺពិតជាបានផ្តល់ជូនខាងលើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាអាចគូរតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។
ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជា "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលធ្វើឱ្យការងារនេះកាន់តែងាយស្រួល។ ប្រសិនបើ C ជាចំនួនថេរ ហើយ f=f(x) g=g(x) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន នោះខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន
$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $បញ្ហានៃការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាបញ្ហាចម្បងមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យានៅវិទ្យាល័យ និងនៅក្នុងគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងយល់ពេញលេញនូវមុខងារមួយ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វាដោយមិនយកដេរីវេរបស់វា។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា ក៏ដូចជាតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មូលដ្ឋាន។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។
ការយល់ដឹងអំពីនិយមន័យនេះគឺពិបាកណាស់ ចាប់តាំងពីគោលគំនិតនៃដែនកំណត់មិនត្រូវបានសិក្សាពេញលេញនៅក្នុងសាលា។ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្សេងៗ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការយល់ពីនិយមន័យទេ ចូរទុកវាឱ្យអ្នកគណិតវិទូ ហើយផ្លាស់ទីត្រង់ទៅការស្វែងរកដេរីវេ។
ដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ នៅពេលដែលយើងបែងចែកមុខងារមួយ យើងនឹងទទួលបានមុខងារថ្មី។
ដើម្បីកំណត់ពួកវា យើងនឹងប្រើអក្សរឡាតាំង f, g ។ល។
មានសញ្ញាណផ្សេងគ្នាជាច្រើនសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ។ យើងនឹងប្រើជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ឧទាហរណ៍ ការសរសេរ g" មានន័យថាយើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ g ។
តារាងដេរីវេ
ដើម្បីឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តល់តារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសំខាន់ៗ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម វាមិនចាំបាច់ធ្វើការគណនាស្មុគស្មាញទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការមើលតម្លៃរបស់វានៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)" = e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=500។
យើងឃើញថានេះជាអថេរ។ ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ គេដឹងថាដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ (រូបមន្ត ១)។
ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=x 100។
នេះគឺជាអនុគមន៍ថាមពលដែលនិទស្សន្តគឺ 100 ហើយដើម្បីស្វែងរកដេរីវេរបស់វា អ្នកត្រូវគុណអនុគមន៍ដោយនិទស្សន្ត ហើយកាត់បន្ថយវាដោយ 1 (រូបមន្ត 3)។
(x 100)"= 100 x 99
ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=5 x
នេះគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ចូរយើងគណនាដេរីវេរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត 4 ។
ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=log 4 x
យើងរកឃើញដេរីវេនៃលោការីតដោយប្រើរូបមន្ត 7 ។
(កំណត់ហេតុ 4 x)"= 1/x ln 4
ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើវាមិនមាននៅក្នុងតារាង។ អនុគមន៍ភាគច្រើនដែលបានសិក្សាមិនមែនជាបឋមទេ ប៉ុន្តែជាការបន្សំនៃអនុគមន៍បឋមដោយប្រើប្រតិបត្តិការសាមញ្ញ (បូក ដក គុណ ចែក និងគុណដោយលេខ)។ ដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ អ្នកត្រូវដឹងពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ខាងក្រោម អក្សរ f និង g តំណាងឱ្យមុខងារ ហើយ C គឺជាថេរ។
1. មេគុណថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ
ឧទាហរណ៍ 5. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= 6*x 8
យើងយកកត្តាថេរនៃ 6 ហើយបែងចែកតែ x 4 ប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាអនុគមន៍ថាមពល ដែលជាដេរីវេនៃដែលត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តទី 3 នៃតារាងដេរីវេ។
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x7 =48* x 7
2. ដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ
(f + g)"=f" + g"
ឧទាហរណ៍ 6. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 100 +sin x
អនុគមន៍គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលយើងអាចរកឃើញពីតារាង។ ចាប់តាំងពី (x 100)"= 100 x 99 និង (sin x)" = cos x ។ ដេរីវេនៃផលបូកនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះ៖
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេ
(f – g)"=f"–g"
ឧទាហរណ៍ 7. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 100 – cos x
អនុគមន៍នេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរ ដែលជាដេរីវេនៃដែលយើងអាចរកឃើញពីតារាងផងដែរ។ បន្ទាប់មកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយកុំភ្លេចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាចាប់តាំងពី (cos x)"= – sin x ។
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
ឧទាហរណ៍ 8. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=e x +tg x– x 2 ។
អនុគមន៍នេះមានទាំងផលបូកនិងភាពខុសគ្នា ចូរយើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុនៃពាក្យនីមួយៗ៖
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x ។ បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដើមគឺស្មើនឹង៖
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x −2 x
4. ដេរីវេនៃផលិតផល
(f * g)"=f" * g + f * g"
ឧទាហរណ៍ 9. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= cos x *e x
ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃកត្តានីមួយៗ (cos x)"=–sin x និង (e x)"=e x ។ ឥឡូវនេះសូមជំនួសអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅក្នុងរូបមន្តផលិតផល។ យើងគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមផលគុណនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរ។
(cos x* e x)"= e x cos x – e x * sin x
5. ដេរីវេនៃកូតា
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ឧទាហរណ៍ 10. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 50 /sin x
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃ quotient ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖ (x 50)"=50 x 49 និង (sin x)"= cos x ។ ការជំនួសដេរីវេនៃកូតាទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖
(x 50 / sin x)"= 50x 49 * sin x – x 50 * cos x/sin 2 x
ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលតំណាងដោយសមាសភាពនៃអនុគមន៍ជាច្រើន។ វាក៏មានច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញផងដែរ៖
(u (v))"=u"(v)*v"
ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារបែបនេះ។ ឲ្យ y= u(v(x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។ ចូរហៅមុខងារ u ខាងក្រៅ និង v - ខាងក្នុង។
ឧទាហរណ៍៖
y = sin (x 3) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។
បន្ទាប់មក y=sin(t) គឺជាមុខងារខាងក្រៅ
t = x 3 - ខាងក្នុង។
ចូរយើងព្យាយាមគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ។ យោងតាមរូបមន្តអ្នកត្រូវគុណដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុងនិងខាងក្រៅ។
(sin t)"=cos (t) - ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ (ដែល t = x 3)
(x 3)"=3x 2 - ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង
បន្ទាប់មក (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។
ភ័ស្តុតាង និងដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (e ទៅ x អំណាច) និងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (a ដល់ x អំណាច) ។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ e^2x, e^3x និង e^nx ។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។
ដេរីវេនៃនិទស្សន្តគឺស្មើនឹងនិទស្សន្តខ្លួនវា (ដេរីវេនៃ e ទៅ x អំណាចគឺស្មើនឹង e ទៅ x អំណាច):
(1)
(e x)′ = e x.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋាន a គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ខ្លួនវាគុណនឹងលោការីតធម្មជាតិនៃ a៖
(2)
.
ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អ៊ី ទៅជាថាមពល x
អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹងចំនួន e ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
.
នៅទីនេះវាអាចជាលេខធម្មជាតិ ឬចំនួនពិត។ បន្ទាប់យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ដេរីវេនៃរូបមន្តដេរីវេអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ពិចារណាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អ៊ី ទៅ x អំណាច៖
y = e x ។
មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
(3)
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរ x ។
តាមនិយមន័យ ដេរីវេមានដែនកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ចូរបំប្លែងកន្សោមនេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយវាទៅជាលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្បួនគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការការពិតដូចខាងក្រោម:
(4)
;
ក)ទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត៖
(5)
;
ខ)ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖
(6)
.
IN)
ភាពបន្តនៃលោការីត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារបន្តមួយ៖នេះគឺជាមុខងារដែលមានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់នេះគឺវិជ្ជមាន។
(7)
.
ឆ)
;
.
អត្ថន័យនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ:
ចូរយើងអនុវត្តការពិតទាំងនេះទៅដែនកំណត់របស់យើង (3) ។ យើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ (4):
.
ចូរធ្វើការជំនួស។
.
បន្ទាប់មក ; .
.
ដោយសារតែការបន្តនៃនិទស្សន្ត។
ដូច្នេះនៅពេលដែល, ។
.
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
.
ចូរធ្វើការជំនួស។
.
បន្ទាប់មក។ នៅ , ។ ហើយយើងមាន៖
ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត (៥)៖
.
(8)
បន្ទាប់មក
ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ (6) ។ ដោយសារមានដែនកំណត់វិជ្ជមាន ហើយលោការីតគឺបន្ត ដូច្នេះ៖ នៅទីនេះយើងក៏បានប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ (7) ។ បន្ទាប់មកដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
;
.
ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
.
ឥឡូវនេះយើងទទួលបានរូបមន្ត (2) សម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ a ។
យើងជឿថានិង។
(14)
.
(1)
.
បន្ទាប់មកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
;
.
កំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
.
ចូរបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងនឹងប្រើ
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
.
និងលោការីត។
(15)
.
ដូច្នេះ យើងបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ទៅជាទម្រង់ខាងក្រោម៖
;
.
ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃ e ទៅ x power
.