ផែនការ៖
1. ធាតុផ្សំនៃសមាសធាតុផ្សំ។
2. ច្បាប់ទូទៅនៃ combinatorics ។
4. ការអនុវត្តក្រាហ្វ (គ្រោងការណ៍) ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នា។
1. Combinatorics និងប្រភពដើមរបស់វា។បន្សំគឺជាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា ដែលសំណួរត្រូវបានសិក្សាអំពីចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា ដែលស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
Combinatorics មានដើមកំណើតនៅសតវត្សទី 16 ។ ការលេងល្បែងស៊ីសង (បៀរ គ្រាប់ឡុកឡាក់) បានកាន់កាប់កន្លែងដ៏ធំមួយនៅក្នុងជីវិតនៃស្រទាប់អភ័យឯកសិទ្ធិនៃសង្គមនៅពេលនោះ។ ឆ្នោតបានរីករាលដាល។ ជាដំបូង បញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នាដែលទាក់ទងនឹងការលេងល្បែងស៊ីសងជាចម្បង៖ តើមានវិធីប៉ុន្មានយ៉ាងដែលមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ 2 ឬ 3 គ្រាប់ ឬតាមវិធីជាច្រើនដែលមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបាន 2 ស្តេចនៅក្នុងហ្គេមបៀជាក់លាក់មួយ។ បញ្ហាទាំងនេះ និងបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃល្បែងស៊ីសង គឺជាកម្លាំងចលករក្នុងការអភិវឌ្ឍនៃ combinatorics និងបន្ថែមទៀតនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។
អ្នកទីមួយដែលរាប់ចំនួនបន្សំផ្សេងគ្នានៅពេលលេងគ្រាប់ឡុកឡាក់គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia ។ គាត់បានចងក្រងតារាង (ចំនួនវិធីដែល k អាចបង្ហាញនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគាត់មិនបានគិតគូរថាចំនួនពិន្ទុដូចគ្នាអាចធ្លាក់ចុះតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នាទេដូច្នេះតារាងរបស់គាត់មានកំហុសមួយចំនួនធំ។
ការសិក្សាទ្រឹស្ដីនៃបញ្ហាផ្សំគ្នាត្រូវបានធ្វើឡើងនៅសតវត្សទី 17 ដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Blaise Pascal និង Fermat ។ ចំណុចចាប់ផ្តើមនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ពួកគេគឺបញ្ហាល្បែងផងដែរ។
ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃ combinatorics ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ J. Bernoulli, G. Leibniz, L. Euler ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការងាររបស់ពួកគេតួនាទីសំខាន់ត្រូវបានលេងដោយកម្មវិធីសម្រាប់ហ្គេមផ្សេងៗ។
សព្វថ្ងៃនេះ វិធីសាស្រ្តរួមផ្សំត្រូវបានប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដឹកជញ្ជូន ជាពិសេសបញ្ហាកំណត់ពេលរៀបចំផែនការផលិតកម្ម និងការលក់ផលិតផលជាដើម។
2. ច្បាប់ទូទៅនៃ combinatorics ។ច្បាប់សរុប៖ប្រសិនបើវត្ថុ A មួយចំនួនអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី m ហើយវត្ថុ B តាមរបៀប k នោះវត្ថុ "A ឬ B" អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី m + k ។
ឧទាហរណ៍:
1. ចូរសន្មតថាមានបាល់ពណ៌ផ្សេងគ្នានៅក្នុងប្រអប់មួយ។ បាល់ 1 ត្រូវបានដកចេញដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?
ចម្លើយ៖ n វិធី។
ចូរចែកបាល់ n ទាំងនេះជាពីរប្រអប់៖ ទីមួយមានបាល់ m ទីពីរមានបាល់ k ។ បាល់ 1 ត្រូវបានទាញដោយចៃដន្យពីប្រអប់ដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ៖ បាល់អាចត្រូវបានដកចេញពីប្រអប់ទីមួយតាមវិធី m និងពីទីពីរតាមវិធី k ។ បន្ទាប់មកចំនួនសរុបនៃវិធីគឺ m + k = n ។
2. Semaphore សមុទ្រ។នៅក្នុង semaphore ដែនសមុទ្រ អក្សរនីមួយៗនៃអក្ខរក្រមត្រូវគ្នាទៅនឹងទីតាំងជាក់លាក់នៃទង់ជាតិពីរដែលទាក់ទងទៅនឹងរាងកាយរបស់អ្នកសញ្ញា។ តើសញ្ញាបែបនេះអាចមានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖ ចំនួនសរុបគឺជាផលបូកនៃមុខតំណែង នៅពេលដែលទង់ទាំងពីរស្ថិតនៅលើផ្នែកម្ខាងនៃតួអ្នកផ្តល់សញ្ញា និងទីតាំងនៅពេលដែលពួកគេស្ថិតនៅលើផ្នែកម្ខាងនៃតួអ្នកសញ្ញា។ នៅពេលរាប់ចំនួនមុខតំណែងដែលអាចធ្វើបាន ច្បាប់បូកត្រូវបានអនុវត្ត។
ច្បាប់ផលិតផល៖ប្រសិនបើវត្ថុ A អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី m ហើយបន្ទាប់ពីជម្រើសនីមួយៗនោះ វត្ថុ B ផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានជ្រើសរើស (ដោយមិនគិតពីជម្រើសនៃវត្ថុ A) តាមវិធី k បន្ទាប់មកគូនៃវត្ថុ "A និង B" អាចត្រូវបានជ្រើសរើសក្នុង m * k វិធី។
ឧទាហរណ៍:
1. តើលេខពីរខ្ទង់មានប៉ុន្មាន?ដំណោះស្រាយ៖ ចំនួនដប់អាចត្រូវបានតាងដោយលេខណាមួយពី 1 ដល់ 9 ។ ចំនួនមួយអាចត្រូវបានតាងដោយលេខណាមួយពី 0 ដល់ 9 ។ ប្រសិនបើចំនួនដប់គឺ 1 នោះចំនួននៃមួយអាចជាលេខណាមួយ (ពី 0 ។ ដល់ ៩)។ ដូច្នេះមានលេខពីរខ្ទង់ចំនួន 10 ដែលចំនួនដប់គឺ 1។ យើងហេតុផលស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ចំនួនផ្សេងទៀតនៃដប់។ បន្ទាប់មកយើងអាចគណនាបានថាមាន 9 *10 = 90 លេខពីរខ្ទង់។
2. មាន 2 ថត។ មួយមានគូបពហុពណ៌ m និងមួយទៀតមាន k បាល់ពហុពណ៌។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសគូ "Cube-Ball" តាមវិធីប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖ ជម្រើសនៃបាល់មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃគូបទេហើយផ្ទុយទៅវិញ។ ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដែលគូដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានជ្រើសរើសគឺ m * k ។
3. ចំនួនប្រជាជនដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ និងគំរូដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ចំនួនប្រជាជនដោយគ្មានពាក្យដដែលៗគឺជាសំណុំនៃចំនួនកំណត់មួយចំនួននៃធាតុផ្សេងគ្នា a 1, a 2, a 3, ..., a n ។
ឧទាហរណ៍៖សំណុំនៃ n បំណែកពហុពណ៌។
បរិមាណគំរូk (kន)គឺជាក្រុមនៃធាតុ m នៃចំនួនប្រជាជនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍៖ខ្សែបូចម្រុះមួយដែលដេរពីសំណល់ច្រើនពណ៌ដែលបានជ្រើសរើសពីលេខដែលបានផ្ដល់ឱ្យ។
ប្រកាសពីn ធាតុនីមួយៗkសំណាកបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ធាតុដែលមានធាតុ k នីមួយៗ ដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីក្នុងចំណោមធាតុ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប្រជាជនទូទៅ ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ហើយខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកទាំងនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុ ឬតាមលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់វា។
- ចំនួននៃការដាក់ពី n ដោយ k ។
ចំនួននៃការដាក់ពី n ដោយ k អាចកំណត់តាមវិធីដូចខាងក្រោម៖ វត្ថុជម្រើសដំបូងអាចត្រូវបានជ្រើសន វិធីបន្ទាប់មកវត្ថុទីពីរអាចត្រូវបានជ្រើសរើស n -1 វិធី។ល។
ការបំប្លែងរូបមន្តនេះ យើងមាន៖
វាគួរតែត្រូវបានចងចាំ 0!=1.
ឧទាហរណ៍:
1. មាន 17 ក្រុមដែលចូលរួមក្នុងការប្រកួតជើងឯកកម្រិត A នៃការប្រកួតបាល់ទាត់ថ្នាក់ទី 1 ។ មេដាយត្រូវបានប្រគល់ជូន៖ មាស ប្រាក់ និងសំរឹទ្ធ។ តើពួកគេអាចលេងបានប៉ុន្មានរបៀប?
ដំណោះស្រាយ៖បន្សំក្រុមដែលឈ្នះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងសមាសភាពនិងលំដាប់នៃធាតុ, i.e. ទីតាំងពី ១៧ ដល់ ៣ ។
2. សង្គមវិទ្យាសាស្ត្រមាន 25 នាក់។ ចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសប្រធានសង្គម អនុប្រធាន លេខាធិការវិទ្យាសាស្ត្រ និងហិរញ្ញិក។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ៖ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការគ្រប់គ្រងរបស់ក្រុមហ៊ុនមានភាពខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងសមាសភាពនិងលំដាប់នៃធាតុ, i.e. ទីតាំងពី 25 ទៅ 4 ។
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី នធាតុត្រូវបានគេហៅថា កន្លែងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី n ធាតុនៃ n , i.e. ទីតាំងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុប៉ុណ្ណោះ។
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ។
ឧទាហរណ៍:
1. តើលេខប្រាំខ្ទង់ខុសគ្នាប៉ុន្មានដែលអាចធ្វើបានពីខ្ទង់ 1, 2, 3, 4, 5 ដែលត្រូវមានលេខខុសគ្នា?
ដំណោះស្រាយ៖យើងមានការផ្លាស់ប្តូរធាតុ 5 ។2. តើអ្នកអាចប្រមូលសំណល់ពហុពណ៌ចំនួន 6 ចូលទៅក្នុងខ្សែបូចម្រុះពណ៌បានប៉ុន្មាន?ដំណោះស្រាយ៖យើងមានការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 6 ។
បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី នធាតុដោយkសំណាកបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាវត្ថុដែលមានធាតុ k នីមួយៗ ដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីក្នុងចំណោមធាតុ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប្រជាជនទូទៅដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ហើយខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុប៉ុណ្ណោះ។
- ចំនួនបន្សំនៃ n ដោយ k
ធាតុនីមួយៗបន្សំអាចត្រូវបានរៀបចំវិធី។ បន្ទាប់មកឧទាហរណ៍:1. ប្រសិនបើមនុស្ស 20 នាក់ចូលរួមក្នុងវគ្គពាក់កណ្តាលផ្តាច់ព្រ័ត្រនៃការប្រកួតជើងឯកអុក ហើយមានតែ 3 នាក់ប៉ុណ្ណោះឈានដល់វគ្គផ្តាច់ព្រ័ត្រ នោះតើអ្នកទាំងបីនេះអាចកំណត់បានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ៖ក្នុងករណីនេះ លំដាប់ដែលបីជាន់នេះមានទីតាំងមិនសំខាន់ទេ។ ដូច្នេះ បីគូដែលឈានដល់វគ្គផ្តាច់ព្រ័ត្រគឺបន្សំនៃ 20 គុណនឹង 3 ។
2. តើអ្នកអាចជ្រើសរើសប្រតិភូបីនាក់ក្នុងចំណោមមនុស្សដប់នាក់សម្រាប់សន្និសីទតាមវិធីប៉ុន្មាន?ដំណោះស្រាយ៖ក្នុងករណីនេះ លំដាប់ដែលបីជាន់នេះមានទីតាំងមិនសំខាន់ទេ។ ដូច្នេះ ប្រតិភូចំនួនបីគឺបូកបញ្ចូលគ្នានៃ 10 គុណនឹង 3 ។
អរូបី៖
4. ការប្រើប្រាស់ក្រាហ្វ (គ្រោងការណ៍) ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបន្សំ។
ក្នុងករណីដែលចំនួននៃជម្រើសដែលអាចធ្វើបាននៅជំហាននីមួយៗអាស្រ័យលើធាតុណាមួយដែលត្រូវបានជ្រើសរើសមុននោះ ដំណើរការនៃការបង្កើតបន្សំអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជា "ដើមឈើ" ។ ទីមួយ ដោយសារផ្នែកជាច្រើនត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយ ដោយសារមានជម្រើសផ្សេងគ្នាដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងនៅជំហានដំបូង។ ចាប់ពីចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនីមួយៗ គូរផ្នែកជាច្រើនតាមដែលអាចត្រូវបានជ្រើសរើសនៅជំហានទីពីរ ប្រសិនបើធាតុនេះត្រូវបានជ្រើសរើសនៅជំហានដំបូង។ល។
កិច្ចការ៖
នៅពេលចងក្រងពាក្យបញ្ជារបស់យានអវកាសបញ្ហានៃភាពឆបគ្នាខាងផ្លូវចិត្តរបស់អ្នកចូលរួមក្នុងការធ្វើដំណើរក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតនាវិកយានអវកាសដែលមានមនុស្ស 3 នាក់៖ មេបញ្ជាការម្នាក់ វិស្វករ និងវេជ្ជបណ្ឌិត។ មានបេក្ខភាព៤រូបសម្រាប់តំណែងមេបញ្ជាការ៖ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ជំនួសវិស្វករ ៣៖b 1, b 2, b 3 ។ សម្រាប់កន្លែងរបស់វេជ្ជបណ្ឌិត - 3: c 1, c 2, c 3. ការត្រួតពិនិត្យបានបង្ហាញថាមេបញ្ជាការa 1 គឺត្រូវគ្នានឹងចិត្តសាស្ត្រជាមួយវិស្វករ b 1 និង b 3និងវេជ្ជបណ្ឌិត គ ១ និង គ ៣ ។ មេបញ្ជាការ 2 - ជាមួយវិស្វករ b 1 និង b 2 ។ និងគ្រូពេទ្យទាំងអស់។ មេបញ្ជាការa 3 - ជាមួយវិស្វករb 1 និង b 2និងវេជ្ជបណ្ឌិតc 1 និង c 3. មេបញ្ជាការ a 4 - ជាមួយវិស្វករ និងវេជ្ជបណ្ឌិតទាំងអស់។ គ ២. លើសពីនេះទៀតវិស្វករb 1 មិនឆបគ្នាជាមួយវេជ្ជបណ្ឌិត c 3, ខ 2 - ជាមួយវេជ្ជបណ្ឌិត c 1 និង b 3 - ជាមួយវេជ្ជបណ្ឌិត c 2 ។ តើនាវិកកប៉ាល់អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះបានប៉ុន្មានរបៀប?
ដំណោះស្រាយ៖
តោះបង្កើត "ដើមឈើ" ដែលត្រូវគ្នា។
ចម្លើយ៖ 10 បន្សំ។
មែកធាងបែបនេះគឺជាក្រាហ្វ ហើយត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបន្សំ។
កិច្ចការ
. កំណត់ចំនួននៃសំណុំដែលបានបញ្ជាទិញទាំងអស់។
ប្រវែង rដែលអាចត្រូវបានផ្សំឡើងដោយធាតុនៃសំណុំ X
(
) ប្រសិនបើការជ្រើសរើសធាតុនីមួយៗ 
ត្រូវបានផលិតចេញពីសំណុំទាំងមូល X.
សំណុំដែលបានបញ្ជាទិញ 
គឺជាធាតុផ្សំនៃផលិតផល Cartesian 
, រួមមាន rមេគុណដូចគ្នា X. យោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផលចំនួននៃធាតុនៃសំណុំមួយ។ 
ស្មើ 
. យើងទទួលបានរូបមន្ត 
.
ឧទាហរណ៍. តើមានលេខទូរសព្ទបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលអាចប្រើបានទាំងដប់ខ្ទង់?
នៅទីនេះ 
និងលេខទូរសព្ទ័
២.១.៥. ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
កិច្ចការ
. កុម្ម៉ង់បានប៉ុន្មានឈុត 
អាចត្រូវបានផ្សំពី នធាតុនៃសំណុំ Xប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃសំណុំខុសគ្នា?
ធាតុទីមួយ 
អាចជ្រើសរើសបាន។ នវិធី។ ប្រសិនបើធាតុទីមួយត្រូវបានជ្រើសរើសរួចហើយ នោះធាតុទីពីរ 
អ្នកអាចជ្រើសរើសតែប៉ុណ្ណោះ 
វិធី ហើយប្រសិនបើបានជ្រើសរើសរួចហើយ 
ធាតុ 
បន្ទាប់មកធាតុ 
អាចជ្រើសរើសបាន។ 
វិធី (ពាក្យដដែលៗនៃធាតុដែលបានជ្រើសរើសរួចហើយមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទេ) ។ តាមក្បួនផលិតផលយើងទទួលបាន
រូបមន្តនេះត្រូវបានសរសេរខុសគ្នាដោយប្រើសញ្ញាណសំគាល់ 
. ដោយសារតែ
.
ឧទាហរណ៍. តើបញ្ជីអ្នកឈ្នះអូឡាំពិកប៉ុន្មាននាក់អាចមាន (លេខមួយ ទីពីរ លេខបី) ប្រសិនបើ 20 នាក់បានចូលរួម? មនុស្ស?
នៅទីនេះ 
លេខដែលត្រូវការគឺ
២.១.៦. ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសនៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ: ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកធាតុទាំងអស់នៃសំណុំចូលរួមក្នុងការដាក់ X, i.e. គំរូមានសមាសភាពដូចគ្នា និងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុប៉ុណ្ណោះ។ គំរូបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរ
. ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពី នធាតុឈរសម្រាប់ 
:
ឧទាហរណ៍។តើអ្នកអាចតម្រង់ជួរនៅបញ្ជីសាច់ប្រាក់បានប៉ុន្មានវិធីប្រសិនបើមនុស្សប្រាំមួយនាក់ចង់បានប្រាក់?
២.១.៧. ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
អនុញ្ញាតឱ្យឈុត Xរួមបញ្ចូល kធាតុផ្សេងៗ៖ 
.ការរៀបចំឡើងវិញជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ
ការតែងនិពន្ធ 
យើងនឹងហៅសំណុំនៃប្រវែងដែលបានបញ្ជា 
ដែលក្នុងនោះធាតុ 
ជួប 
ម្តង
. ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ 
.
ឧទាហរណ៍. ពីអក្សរ 
ចូរយើងសរសេរការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗនៃសមាសភាព 
. ប្រវែងរបស់វា។ 
, និងលិខិត កចូល 2 ដង ខ- 2 ដង, គ- ម្តង។ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះនឹងជាឧទាហរណ៍។ 
ឬ 
.
ចូរយើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរាប់ធាតុដូចគ្នាបេះបិទទាំងអស់ដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការបំប្លែងដោយសន្ទស្សន៍ផ្សេងគ្នា ឧ។ ជំនួសឱ្យការរៀបចំឡើងវិញ 
យើងទទួលបាន 
. ឥឡូវនេះធាតុទាំងអស់នៃការផ្លាស់ប្តូរគឺខុសគ្នា ហើយចំនួននៃការបំប្លែងបែបនេះគឺស្មើនឹង 
. ធាតុទីមួយកើតឡើងនៅក្នុងការជ្រើសរើស 
ម្តង។ ចូរដកសន្ទស្សន៍ចេញពីធាតុទីមួយ (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង យើងទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរ 
) ខណៈពេលដែលចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានឹងថយចុះដោយ 
ដង, ដោយសារតែ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃធាតុដូចគ្នា គំរូរបស់យើងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ប្រសិនបើយើងដកសន្ទស្សន៍ចេញពីធាតុទីពីរ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនឹងថយចុះ 
ម្តង។ ហើយដូច្នេះនៅលើរហូតដល់ធាតុដែលមានលេខ k- ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនឹងថយចុះ 
ម្តង។ យើងទទួលបានរូបមន្ត
ឧទាហរណ៍. តើអ្នកអាចទទួលបាន "ពាក្យ" ខុសគ្នាប៉ុន្មានដោយរៀបចំអក្សរនៃពាក្យ "ការបញ្ជូន" ឡើងវិញ?
នៅក្នុងពាក្យនេះ អក្សរ "e" និង "a" លេចឡើងពីរដង នៅសល់ម្តង។ យើងកំពុងនិយាយអំពីការរៀបចំឡើងវិញជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗនៃសមាសភាព 
ប្រវែង។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះគឺស្មើនឹង
២.១.៨. បន្សំ
កិច្ចការ . តើមានប៉ុន្មានឈុត rធាតុអាចត្រូវបានផ្សំដោយសំណុំដែលមាន នធាតុ?
ដំបូងយើងនឹងសរសេរសំណុំដែលបានបញ្ជាទិញ rធាតុនីមួយៗ។ ចំនួននៃសំណុំបែបនេះ (ទាំងនេះគឺជាកន្លែងពី នធាតុដោយ r) ស្មើ 
. ឥឡូវនេះយើងពិចារណាថាលំដាប់ដែលធាតុត្រូវបានសរសេរមិនសំខាន់ចំពោះយើងទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពី 
កន្លែងផ្សេងគ្នា, ខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃធាតុ, យើងទទួលបានការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយ។ ឧទាហរណ៍កន្លែងពីរផ្សេងគ្នា 
និង 
នៃធាតុពីរត្រូវគ្នាទៅនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយ។ 
. ដូច្នេះចំនួននៃបន្សំ 
វ 
ដងតិចជាងចំនួនកន្លែង 
:
ឧទាហរណ៍. ចំនួននៃវិធីដែលយើងអាចជ្រើសរើសបីនៃ wipers ប្រាំបីគឺ
Combinatorics គឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាសំណួរថាតើបន្សំប៉ុន្មាននៃប្រភេទជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ធាតុ) ។
ក្បួនគុណ (រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃបន្សំ)
ចំនួនសរុបនៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើសធាតុមួយពីក្រុមនីមួយៗ ហើយរៀបចំពួកវាតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ (នោះគឺទទួលបានសំណុំដែលបានបញ្ជាទិញ) គឺស្មើនឹង៖
ឧទាហរណ៍ ១
កាក់ត្រូវបានគេបោះចោល៣ដង។ តើអ្នកអាចរំពឹងបានលទ្ធផលបោះខុសគ្នាប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ
កាក់ទីមួយមានជម្រើស - ទាំងក្បាលឬកន្ទុយ។ សម្រាប់កាក់ទី 2 ក៏មានជម្រើសផ្សេងទៀតផងដែរ i.e. .
ចំនួនមធ្យោបាយដែលត្រូវការ៖
ច្បាប់បន្ថែម
ប្រសិនបើក្រុមទាំងពីរមិនមានធាតុរួម នោះជម្រើសនៃធាតុមួយទាំងពី , ឬពី , ... ឬពី អាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធី។
ឧទាហរណ៍ ២
មានសៀវភៅចំនួន 30 នៅលើធ្នើ ដែលក្នុងនោះ 20 ជាគណិតវិទ្យា 6 ជាបច្ចេកទេស និង 4 ជាសេដ្ឋកិច្ច។ តើមានវិធីប៉ុន្មានដើម្បីជ្រើសរើសសៀវភៅគណិតវិទ្យា ឬសៀវភៅសេដ្ឋកិច្ចមួយ?
ដំណោះស្រាយ
សៀវភៅគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី សៀវភៅសេដ្ឋកិច្ចតាមវិធី។
តាមក្បួនបូក មានវិធីជ្រើសរើសសៀវភៅគណិតវិទ្យា ឬសេដ្ឋកិច្ច។
ទីតាំងនិងការរៀបចំឡើងវិញ
ទីតាំង- ទាំងនេះគឺជាបណ្តុំនៃធាតុដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកទាំងនៅក្នុងសមាសភាពឬតាមលំដាប់នៃធាតុ។
ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៅពេលដែលធាតុដែលបានជ្រើសរើសមិនត្រូវបានត្រឡប់ទៅកាន់ចំនួនប្រជាជនវិញ មុនពេលជ្រើសរើសធាតុបន្ទាប់។ ការជ្រើសរើសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាការជ្រើសរើសតាមលំដាប់ដោយមិនប្រើពាក្យដដែលៗ ហើយលទ្ធផលរបស់វាគឺជាការដាក់ដោយមិនប្រើធាតុដដែលៗដោយ .
ចំនួននៃវិធីផ្សេងគ្នាដែលការជ្រើសរើសតាមលំដាប់អាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយមិនចាំបាច់ត្រឡប់ធាតុពីចំនួនប្រជាជននៃបរិមាណគឺស្មើនឹង៖
ឧទាហរណ៍ ៣
កាលវិភាគប្រចាំថ្ងៃមាន 5 មេរៀនផ្សេងៗគ្នា។ កំណត់ចំនួននៃជម្រើសកាលវិភាគនៅពេលជ្រើសរើសពី 11 វិញ្ញាសា។
ដំណោះស្រាយ
ជម្រើសកាលវិភាគនីមួយៗតំណាងឱ្យសំណុំនៃ 5 វិញ្ញាសាក្នុងចំណោម 11 ដែលខុសពីជម្រើសផ្សេងទៀតទាំងនៅក្នុងសមាសភាព និងលំដាប់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល:
ការរៀបចំឡើងវិញត្រូវបានបញ្ជាឱ្យប្រមូលដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុរបស់វា។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុគឺស្មើនឹង
ឧទាហរណ៍ 4
តើមនុស្ស 4 នាក់អាចអង្គុយនៅតុមួយបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ
ជម្រើសកន្លែងអង្គុយនីមួយៗមានលក្ខណៈខុសគ្នាតែតាមលំដាប់របស់អ្នកចូលរួមប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺវាជាការបំប្លែងធាតុ ៤ យ៉ាង៖
ទីតាំងជាមួយពាក្យដដែលៗនៅពេលដែលធាតុដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានត្រឡប់ទៅប្រជាជនវិញ មុនពេលជ្រើសរើសធាតុបន្ទាប់។ ការជ្រើសរើសនេះត្រូវបានគេហៅថាការជ្រើសរើសតាមលំដាប់ដោយការត្រឡប់ ហើយលទ្ធផលរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាការដាក់ជាមួយនឹងធាតុដដែលៗដោយ .
ចំនួនសរុបនៃវិធីផ្សេងគ្នាដែលការជ្រើសរើសអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីត្រឡប់ធាតុពីចំនួនប្រជាជននៃបរិមាណគឺស្មើនឹង
ឧទាហរណ៍ 5
ជណ្តើរយន្តឈប់នៅ 7 ជាន់។ តើអ្នកដំណើរ 6 នាក់នៅក្នុងកាប៊ីនជណ្តើរយន្តអាចចេញពីជាន់ទាំងនេះបានប៉ុន្មានវិធី?
ដើម្បីធានាថាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺត្រឹមត្រូវ និងត្រឹមត្រូវតាមដែលអាចធ្វើបាន មនុស្សជាច្រើនបានបញ្ជាឱ្យធ្វើការសាកល្បងដោយមិនគិតថ្លៃនៅលើគេហទំព័រនេះ។ អ្នកអាចអានព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែម (របៀបដាក់ពាក្យស្នើសុំ តម្លៃ ថ្ងៃផុតកំណត់ វិធីសាស្ត្រទូទាត់) នៅលើទំព័រ ទិញក្រដាសសាកល្បងអំពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ...
ដំណោះស្រាយ
វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនៃការចែកចាយអ្នកដំណើរឆ្លងកាត់ជាន់គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអ្នកដំណើរ 6 នាក់នៅទូទាំង 7 ជាន់ ដែលខុសពីការផ្សំផ្សេងទៀតទាំងនៅក្នុងសមាសភាព និងតាមលំដាប់របស់ពួកគេ។ ដោយសារអ្នកដំណើរម្នាក់ ឬច្រើននាក់អាចចេញពីជាន់ដូចគ្នា អ្នកដំណើរដូចគ្នាអាចកើតឡើងម្តងទៀត។ ដូច្នេះចំនួននៃបន្សំបែបនេះគឺស្មើនឹងចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗនៃ 7 ធាតុនៃ 6៖
បន្សំ
បន្សំនៃធាតុ n ដោយ k ត្រូវបានគេហៅថាបណ្តុំគ្មានលំដាប់ដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យធាតុមួយចំនួនត្រូវបានយកចេញពីប្រជាជនទូទៅក្នុងពេលតែមួយ (ឬធាតុត្រូវបានយកមកជាបន្តបន្ទាប់ប៉ុន្តែលំដាប់នៃរូបរាងរបស់ពួកគេមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេ) ។ ជាលទ្ធផលនៃការជ្រើសរើសធាតុដែលមិនបានរៀបចំក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីប្រជាជនទូទៅនៃបរិមាណ បន្សំត្រូវបានទទួលដែលត្រូវបានគេហៅថា បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពីធាតុដោយ។
ចំនួនបន្សំនៃធាតុគឺស្មើនឹង៖
ឧទាហរណ៍ ៦
មានផ្លែប៉ោមចំនួន 9 នៅក្នុងប្រអប់មួយ។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែប៉ោម៣ផ្លែពីប្រអប់បានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ
ជម្រើសនីមួយៗមានផ្លែប៉ោម 3 ផ្លែ ហើយខុសគ្នាតែនៅក្នុងសមាសភាពប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺពួកវាជាបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ 9៖
ចំនួនវិធីដែលអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែប៉ោម 3 ក្នុងចំណោម 9:
អនុញ្ញាតឱ្យធាតុត្រូវបានជ្រើសរើសពីចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃបរិមាណ ម្តងមួយៗ ហើយធាតុដែលបានជ្រើសរើសនីមួយៗត្រូវបានបញ្ជូនត្រឡប់ទៅប្រជាជនទូទៅវិញ មុនពេលជ្រើសរើសធាតុបន្ទាប់។ នេះកត់ត្រាថាតើធាតុណាខ្លះបានបង្ហាញខ្លួន និងប៉ុន្មានដង ប៉ុន្តែមិនគិតពីលំដាប់ដែលពួកគេបានបង្ហាញខ្លួននោះទេ។ ការប្រមូលផ្តុំលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា បន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗពីធាតុដោយ។
ចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗនៃធាតុដោយ៖
ឧទាហរណ៍ ៧
ប្រៃសណីយ៍មានលក់កាតប៉ុស្តាល់ ៣ ប្រភេទ។ តើអ្នកអាចទិញកាតប៉ុស្តាល់ចំនួន ៦ បានតាមវិធីប៉ុន្មាន?
នេះគឺជាភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗពី 3 ដល់ 6៖
ការបែងចែកសំណុំទៅជាក្រុម
អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នាត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមដូចនេះ បន្ទាប់មកក្រុមទីមួយរួមមានធាតុ ទីពីរ - ធាតុ ក្រុមទី - ធាតុ និង . ស្ថានភាពនេះត្រូវបានគេហៅថាការបែងចែកសំណុំទៅជាក្រុម។
ចំនួនភាគថាសជាក្រុម នៅពេលដែលធាតុធ្លាក់ចូលទៅក្នុងទីមួយ ធាតុចូលទៅក្នុងក្រុមទីពីរ ធាតុចូលទៅក្នុងក្រុម k គឺស្មើនឹង៖
ឧទាហរណ៍ ៨
មនុស្ស 16 នាក់ត្រូវបែងចែកជាបីក្រុមដែលទីមួយគួរតែមាន 5 នាក់ ទីពីរ - 7 នាក់ ទីបី - 4 នាក់។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ
នៅទីនេះ
ចំនួននៃការបែងចែកជា 3 ក្រុមរង:
គំនិតនៃច្បាប់ធរណីមាត្រនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកត្រូវបានបង្ហាញ ហើយឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានពិចារណា។ រូបមន្តសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
នៅក្នុង combinatorics ពួកគេសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ធាតុ) ។
កំណើតនៃ combinatorics ជាសាខាមួយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការងាររបស់ B. Pascal និង P. Fermat លើទ្រឹស្តីនៃល្បែង។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តផ្សំត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ G.V. Leibniz, J. Bernoulli និង L. Euler ។
ទស្សនវិទូ អ្នកនិពន្ធ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាជនជាតិបារាំង Blaise Pascal (1623-1662) បានបង្ហាញសមត្ថភាពគណិតវិទ្យាដ៏ឆ្នើមរបស់គាត់តាំងពីដើមដំបូងមក។ ចំណាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យារបស់ Pascal មានភាពចម្រុះណាស់។ Pascal បានបង្ហាញរឿងមួយ។
ពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រព្យាករណ៍ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal) បានរចនាម៉ាស៊ីនបូកសរុប (ម៉ាស៊ីនបន្ថែមរបស់ Pascal) បានផ្តល់វិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាមេគុណ binomial (ត្រីកោណ Pascal) គឺជាអ្នកដំបូងដែលកំណត់បានត្រឹមត្រូវ និងអនុវត្តវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសម្រាប់ភស្តុតាង។ បានធ្វើឱ្យជំហានដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគ្មានកំណត់ បានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅក្នុង hydrostatics Pascal បានបង្កើតច្បាប់មូលដ្ឋានរបស់ខ្លួន (ច្បាប់របស់ Pascal) ។ "លិខិតទៅខេត្តមួយ" របស់ Pascal គឺជាស្នាដៃនៃសុភាសិតបុរាណបារាំង។
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) គឺជាទស្សនវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ គណិតវិទូ រូបវិទ្យា និងជាអ្នកបង្កើត មេធាវី ប្រវត្តិវិទូ និងភាសាវិទូ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា រួមជាមួយនឹង I. Newton គាត់បានបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។ គាត់បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះ combinatorics ។ ជាពិសេសឈ្មោះរបស់គាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាទ្រឹស្តីលេខ។
Gottfried Wilhelm Leibniz មានរូបរាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍តិចតួច ដូច្នេះហើយបានផ្តល់ចំណាប់អារម្មណ៍ដល់មនុស្សដែលមានរូបរាងសាមញ្ញ។ ថ្ងៃមួយនៅទីក្រុងប៉ារីស គាត់បានចូលទៅក្នុងហាងលក់សៀវភៅដោយសង្ឃឹមថានឹងទិញសៀវភៅដោយទស្សនវិទូដែលគាត់ស្គាល់។ ពេលភ្ញៀវសួរអំពីសៀវភៅនេះ អ្នកលក់សៀវភៅបានពិនិត្យមើលគាត់ពីក្បាលដល់ចុងជើង ហើយនិយាយបែបចំអកថា៖ «ហេតុអ្វីបានជាអ្នកត្រូវការវា? តើអ្នកពិតជាមានសមត្ថភាពអានសៀវភៅបែបនេះមែនទេ? មុនពេលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមានពេលឆ្លើយ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅខ្លួនឯងបានចូលហាងដោយពាក្យថា “ជំរាបសួរ និងគោរពចំពោះមហាលីបនីស!” អ្នកលក់មិនអាចយល់ថានេះពិតជា Leibniz ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលសៀវភៅរបស់គាត់មានតម្រូវការខ្លាំងក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។
នៅពេលអនាគត ខាងក្រោមនេះនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់
លេម៉ា។អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយហើយនៅក្នុងសំណុំមួយ - ធាតុ។ បន្ទាប់មកចំនួនគូផ្សេងគ្នាទាំងអស់ដែលនឹងស្មើនឹង .
ភស្តុតាង។ជាការពិតណាស់ ជាមួយនឹងធាតុមួយពីសំណុំមួយ យើងអាចបង្កើតគូផ្សេងគ្នា និងសរុបនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។
ទីតាំង, ការផ្លាស់ប្តូរ, បន្សំ
សូមឱ្យយើងមានសំណុំនៃធាតុបី។ តើយើងអាចជ្រើសរើសធាតុទាំងពីរនេះតាមវិធីណាខ្លះ? .
និយមន័យ។ការរៀបចំសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាបន្សំដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ > ធាតុ ហើយខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងធាតុខ្លួនឯង ឬតាមលំដាប់នៃធាតុ។
ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុត្រូវបានតាងដោយ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការរៀបចំ" ដែលមានន័យថាការរៀបចំ) កន្លែងនិង .
ទ្រឹស្តីបទ។ចំនួននៃការដាក់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុគឺស្មើនឹង
ភស្តុតាង។ឧបមាថាយើងមានធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានទីតាំងដែលអាចធ្វើបាន។ យើងនឹងសាងសង់កន្លែងទាំងនេះតាមលំដាប់លំដោយ។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់ធាតុដាក់ទីមួយ។ ពីសំណុំធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យវាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធីផ្សេងៗ។ បន្ទាប់ពីជ្រើសរើសធាតុទីមួយហើយ នៅមានវិធីជ្រើសរើសធាតុទីពីរ។ល។ ដោយសារជម្រើសបែបនេះនីមួយៗផ្តល់កន្លែងថ្មី ជម្រើសទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាដោយសេរីជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះយើងមាន៖
ឧទាហរណ៍។តើទង់ជាតិអាចផ្សំឡើងដោយឆ្នូតផ្តេកចំនួនបីនៃពណ៌ផ្សេងគ្នាបានប៉ុនណា ប្រសិនបើមានសម្ភារៈជាប្រាំពណ៌?
ដំណោះស្រាយ។ចំនួនដែលត្រូវការនៃទង់បីក្រុម៖
និយមន័យ។ Permutation of a set of element គឺជាការរៀបចំធាតុក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។
ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុបីគឺ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងអស់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "permutation" ដែលមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" "ចលនា") ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
ឧទាហរណ៍។តើ rooks ត្រូវបានដាក់នៅលើ chessboard តាមរបៀបប៉ុន្មានដើម្បីកុំឱ្យពួកគេវាយប្រហារគ្នាទៅវិញទៅមក?
ដំណោះស្រាយ។ចំនួន rooks ដែលត្រូវការ
អា-ព្រីរី!
និយមន័យ។បន្សំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាការបន្សំដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុហើយខុសគ្នាយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយ (នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត -element សំណុំរងនៃសំណុំនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងបន្សំមិនដូចកន្លែងដាក់លំដាប់នៃធាតុមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេ។ ចំនួននៃបន្សំនៃធាតុ ធាតុនីមួយៗត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "បន្សំ" ដែលមានន័យថា "បន្សំ") ។
លេខ
បន្សំទាំងអស់ពីសំណុំពីរគឺ .
លក្ខណសម្បត្តិនៃលេខ (\sf C)_n^k
ជាការពិតណាស់ សំណុំរង -element នីមួយៗនៃសំណុំ -element ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នាទៅនឹងសំណុំរងមួយ និងតែមួយ -element នៃសំណុំដូចគ្នា។
ជាការពិត យើងអាចជ្រើសរើសសំណុំរងនៃធាតុតាមវិធីខាងក្រោម៖ ជួសជុលធាតុមួយ; ចំនួននៃសំណុំរង -element ដែលមានធាតុនេះគឺស្មើនឹង ; ចំនួននៃសំណុំរង -element ដែលមិនមានធាតុនេះគឺស្មើនឹង .
ត្រីកោណ Pascal
នៅក្នុងត្រីកោណនេះ លេខខ្លាំងក្នុងជួរនីមួយៗគឺស្មើនឹង 1 ហើយលេខដែលមិនខ្លាំងនីមួយៗគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលេខទាំងពីរខាងលើវាពីជួរមុន។ ដូច្នេះត្រីកោណនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលេខ។
ទ្រឹស្តីបទ។
ភស្តុតាង។ចូរយើងពិចារណាលើសំណុំនៃធាតុមួយ ហើយដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមតាមពីរវិធី៖ តើមានលំដាប់ប៉ុន្មានដែលអាចធ្វើបានពីធាតុនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
កំណត់ក្នុងធាតុនីមួយៗដែលមិនមានធាតុលេចឡើងពីរដង?
1 វិធី។ យើងជ្រើសរើសសមាជិកទីមួយនៃលំដាប់ បន្ទាប់មកទីពីរ ទីបី។ល។ សមាជិក
វិធីសាស្រ្ត 2 ។ ដំបូងយើងជ្រើសរើសធាតុពីសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបន្ទាប់មករៀបចំវាតាមលំដាប់ខ្លះ
គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះដោយ៖
ឧទាហរណ៍។តើអ្នកអាចជ្រើសរើសលេខ 5 ក្នុងចំណោម 36 ក្នុងហ្គេម “Sportloto” បានប៉ុន្មាន?
ចំនួនមធ្យោបាយដែលត្រូវការ
ភារកិច្ច។
1.
ស្លាកលេខរថយន្តមានអក្សររុស្សីចំនួន៣តួ (៣៣តួ) និងលេខ៤។ តើមានស្លាកលេខខុសគ្នាប៉ុន្មាន?
2.
មានកូនសោចំនួន 88 នៅលើព្យាណូ។ តើអ្នកអាចបង្កើតសំឡេងចំនួន ៦ ជាប់ៗគ្នាបានប៉ុន្មាន?
3.
តើមានលេខប្រាំមួយខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលចែកនឹង 5?
4.
តើកាក់ 7 ផ្សេងគ្នាអាចដាក់ក្នុងហោប៉ៅបីបានប៉ុន្មាន?
5.
តើលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលអ្នកអាចធ្វើឱ្យមានលេខ 5 យ៉ាងហោចម្តងក្នុងសញ្ញាគោលដប់របស់វា?
6.
តើមនុស្ស 20 នាក់អាចអង្គុយនៅតុមូលបានប៉ុន្មានរបៀប ដោយពិចារណាពីវិធីដូចគ្នា ប្រសិនបើពួកគេអាចទទួលបានមួយពីមួយទៀតដោយផ្លាស់ទីជារង្វង់?
7.
តើមានលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលបែងចែកដោយ 5 ហើយមិនមានលេខដូចគ្នា?
8.
នៅលើក្រដាសគូសដែលមានជ្រុងក្រឡា 1 សង់ទីម៉ែត្រ រង្វង់កាំ 100 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានគូរដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើនៃកោសិកា ហើយមិនប៉ះជ្រុងនៃកោសិកា។ តើរង្វង់នេះអាចប្រសព្វគ្នាបានប៉ុន្មានក្រឡា?
9.
តើលេខអាចត្រូវបានរៀបចំជួរគ្នាតាមវិធីប៉ុន្មានយ៉ាង ដើម្បីឱ្យលេខនៅជាប់គ្នា និងតាមលំដាប់ឡើង?
10.
តើលេខប្រាំខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានខ្ទង់ បើខ្ទង់នីមួយៗអាចប្រើបានតែម្តងគត់?
11.
ពីពាក្យ ROT ដោយរៀបចំអក្សរឡើងវិញ អ្នកអាចទទួលបានពាក្យដូចខាងក្រោម៖ TOP, ORT, OTR, TRO, RTO ។ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា anagrams ។ តើអ្នកអាចបង្កើតអាណាក្រាមប៉ុន្មានពីពាក្យ LOGARITHM?
12.
តោះហៅ ការបំបែកលេខធម្មជាតិ តំណាងរបស់វាជាផលបូកនៃលេខធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាភាគថាសទាំងអស់នៃលេខមួយ៖
ភាគថាសត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ប្រសិនបើវាខុសគ្នាទាំងចំនួនឬតាមលំដាប់នៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។
តើមានភាគខុសគ្នាប៉ុន្មាននៃលេខក្នុងលក្ខខណ្ឌ?
13.
តើមានលេខបីខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលមានលំដាប់លេខមិនកើនឡើង?
14.
តើមានលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលមានលំដាប់លេខមិនកើនឡើង?
15.
តើមនុស្ស ១៧ នាក់អាចអង្គុយក្នុងជួរគ្នាបានប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីឱ្យពួកគេនៅម្ខាង?
16.
ក្មេងស្រី និងក្មេងប្រុស ត្រូវបានអង្គុយដោយចៃដន្យនៅក្នុងកៅអីមួយជួរ។ តើគេអាចអង្គុយបានប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីកុំឲ្យមនុស្សស្រីពីរនាក់អង្គុយជិតគ្នា?
17.
ក្មេងស្រី និងក្មេងប្រុស ត្រូវបានអង្គុយដោយចៃដន្យនៅក្នុងកៅអីមួយជួរ។ តើគេអាចអង្គុយបានប៉ុន្មានរបៀប ដើម្បីឲ្យស្រីៗអង្គុយជិតគ្នា?
នៅក្នុង combinatorics ពួកគេសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ធាតុ) ។
កំណើតនៃ combinatorics ជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងស្នាដៃរបស់ B. Pascal និង P. Fermat លើទ្រឹស្តីនៃល្បែង។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តផ្សំត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ G.V. Leibniz, J. Bernoulli និង L. Euler ។
ទស្សនវិទូ អ្នកនិពន្ធ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាជនជាតិបារាំង Blaise Pascal (1623-1662) បានបង្ហាញសមត្ថភាពគណិតវិទ្យាដ៏ឆ្នើមរបស់គាត់តាំងពីដើមដំបូងមក។ ចំណាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យារបស់ Pascal មានភាពចម្រុះណាស់។ Pascal បានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទសំខាន់មួយនៃធរណីមាត្រទស្សន៍ទាយ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal) ដែលបានរចនាម៉ាស៊ីនបូកសរុប (ម៉ាស៊ីនបន្ថែមរបស់ Pascal) បានផ្តល់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាមេគុណ binomial (Pascal's triangle) គឺជាអ្នកដំបូងដែលកំណត់បានត្រឹមត្រូវ និងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ភ័ស្តុតាង និងបានធ្វើឱ្យជំហានដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគ្មានកំណត់ បានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅក្នុង hydrostatics Pascal បានបង្កើតច្បាប់មូលដ្ឋានរបស់ខ្លួន (ច្បាប់របស់ Pascal) ។ "លិខិតទៅខេត្តមួយ" របស់ Pascal គឺជាស្នាដៃនៃសុភាសិតបុរាណបារាំង។
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) - ទស្សនវិទូអាឡឺម៉ង់ គណិតវិទូ រូបវិទ្យា និងអ្នកបង្កើត មេធាវី ប្រវត្តិវិទូ ភាសាវិទូ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា រួមជាមួយនឹង I. Newton គាត់បានបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។ គាត់បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះ combinatorics ។ ជាពិសេសឈ្មោះរបស់គាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាទ្រឹស្តីលេខ។
Gottfried Wilhelm Leibniz មានរូបរាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍តិចតួច ដូច្នេះហើយបានផ្តល់ចំណាប់អារម្មណ៍ដល់មនុស្សដែលមានរូបរាងសាមញ្ញ។ ថ្ងៃមួយនៅទីក្រុងប៉ារីស គាត់បានចូលទៅក្នុងហាងលក់សៀវភៅដោយសង្ឃឹមថានឹងទិញសៀវភៅដោយទស្សនវិទូដែលគាត់ស្គាល់។ ពេលភ្ញៀវសួរអំពីសៀវភៅនេះ អ្នកលក់សៀវភៅបានពិនិត្យមើលគាត់ពីក្បាលដល់ចុងជើង ហើយនិយាយបែបចំអកថា៖ «ហេតុអ្វីបានជាអ្នកត្រូវការវា? តើអ្នកពិតជាមានសមត្ថភាពអានសៀវភៅបែបនេះមែនទេ? មុនពេលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមានពេលឆ្លើយ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅខ្លួនឯងបានចូលហាងដោយពាក្យថា “ជំរាបសួរ និងគោរពចំពោះមហាលីបនីស!” អ្នកលក់មិនអាចយល់ថានេះពិតជា Leibniz ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលសៀវភៅរបស់គាត់មានតម្រូវការខ្លាំងក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។
នៅពេលអនាគត ខាងក្រោមនេះនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់
លេម៉ា។អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយនិងនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។ បន្ទាប់មកចំនួនគូផ្សេងគ្នាទាំងអស់ដែលនឹងត្រូវស្មើគ្នា។
ភស្តុតាង។ជាការពិតណាស់ ជាមួយនឹងធាតុមួយពីសំណុំមួយ យើងអាចបង្កើតគូផ្សេងគ្នា និងសរុបនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។
ទីតាំង, ការផ្លាស់ប្តូរ, បន្សំ
សូមឱ្យយើងមានសំណុំនៃធាតុបី។ តើយើងអាចជ្រើសរើសធាតុពីរក្នុងចំណោមធាតុទាំងនេះតាមវិធីណាខ្លះ?
និយមន័យ។ការរៀបចំនៃសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាបន្សំដែលត្រូវបានផ្សំឡើងនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុហើយខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងធាតុខ្លួនឯងឬតាមលំដាប់នៃធាតុ។
ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុត្រូវបានតាងដោយ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការរៀបចំ" ដែលមានន័យថាការរៀបចំ) កន្លែងនិង។
ទ្រឹស្តីបទ។ចំនួននៃការដាក់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុគឺស្មើនឹង
ភស្តុតាង។ឧបមាថាយើងមានធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានទីតាំងដែលអាចធ្វើបាន។ យើងនឹងសាងសង់កន្លែងទាំងនេះតាមលំដាប់លំដោយ។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់ធាតុដាក់ទីមួយ។ ពីសំណុំធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យវាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធីផ្សេងៗ។ បន្ទាប់ពីជ្រើសរើសធាតុទីមួយ វានៅតែមានជម្រើសសម្រាប់ជ្រើសរើសធាតុទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដោយសារជម្រើសបែបនេះនីមួយៗផ្តល់កន្លែងថ្មី ជម្រើសទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាដោយសេរីជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះយើងមាន៖
ឧទាហរណ៍។តើទង់ជាតិអាចផ្សំឡើងដោយឆ្នូតផ្តេកចំនួនបីនៃពណ៌ផ្សេងគ្នាបានប៉ុនណា ប្រសិនបើមានសម្ភារៈជាប្រាំពណ៌?
ដំណោះស្រាយ។ចំនួនដែលត្រូវការនៃទង់បីក្រុម៖
និយមន័យ។ Permutation of a set of element គឺជាការរៀបចំធាតុក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។
ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុបីគឺ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការផ្លាស់ប្តូរ" ដែលមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" "ចលនា") ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
ឧទាហរណ៍។តើ 8 rooks អាចដាក់នៅលើក្តារអុកដោយរបៀបណា ដោយមិនបាច់វាយគ្នា?