និយមន័យ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a (ពហុគុណ) និងវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា (ពហុគុណ) គឺជាវ៉ិចទ័រទីបី c (ផលិតផល) ដែលត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោមៈ

1) ម៉ូឌុលរបស់វាជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមក្នុងរូប។ 155) បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺវាស្មើនឹងទិសដៅកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានរៀបរាប់។

3) ក្នុងករណីនេះទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c ត្រូវបានជ្រើសរើស (ពីពីរដែលអាចធ្វើទៅបាន) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ c បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (§ 110) ។

ការកំណត់៖ ឬ

បន្ថែមលើនិយមន័យ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះការពិចារណាលើតួរលេខ (តាមលក្ខខណ្ឌ) ប្រលេឡូក្រាម វាជាធម្មជាតិក្នុងការកំណត់តំបន់សូន្យ។ ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទទេ។

ដោយសារវ៉ិចទ័រទទេអាចត្រូវបានកំណត់ទិសដៅណាមួយ កិច្ចព្រមព្រៀងនេះមិនផ្ទុយនឹងកថាខណ្ឌទី 2 និងទី 3 នៃនិយមន័យនោះទេ។

ចំណាំ 1. នៅក្នុងពាក្យ "ផលិតផលវ៉ិចទ័រ" ពាក្យដំបូងបង្ហាញថាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពគឺជាវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាន; cf. § 104, ចំណាំ 1) ។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលជាវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រឹមត្រូវ (រូបភាព 156) ។

1. ដោយសារប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់គឺស្មើនឹងឯកតាមាត្រដ្ឋានមួយ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (ការេ) គឺស្មើនឹងលេខមួយ។ នេះមានន័យថាម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយ។

2. ដោយសារកាត់កែងទៅនឹងប្លង់គឺជាអ័ក្ស ផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺជាវ៉ិចទ័រ collinear ទៅវ៉ិចទ័រ k; ហើយដោយសារពួកវាទាំងពីរមានម៉ូឌុល 1 ផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺស្មើនឹង k ឬ -k ។

3. ក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដែលអាចមានទាំងពីរនេះ វ៉ិចទ័រទីមួយត្រូវតែជ្រើសរើស ព្រោះវ៉ិចទ័រ k បង្កើតជាប្រព័ន្ធដៃស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័រជាដៃឆ្វេង)។

ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំណោះស្រាយ។ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រស្មើនឹង k ឬ -k ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវជ្រើសរើស -k ដោយហេតុថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាប្រព័ន្ធដៃស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតជាដៃឆ្វេង)។ ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ 3. វ៉ិចទ័រមានប្រវែងស្មើនឹង 80 និង 50 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា ហើយបង្កើតបានជាមុំ 30°។ យកម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ a

ដំណោះស្រាយ។ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺស្មើនឹង

ឧទាហរណ៍ 4. រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នាដោយយកសង់ទីម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើគ្នា ប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹង 2000 សង់ទីម៉ែត្រ i.e.

ពីការប្រៀបធៀបនៃឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 វាច្បាស់ណាស់ថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើប្រវែងនៃកត្តាប៉ុណ្ណោះទេថែមទាំងលើជម្រើសនៃឯកតានៃប្រវែងផងដែរ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ក្នុងចំណោមបរិមាណរូបវន្តជាច្រើនដែលតំណាងដោយផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងនឹងពិចារណាតែពេលនៃកម្លាំងប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាចំណុចនៃការអនុវត្តកម្លាំង គ្រានៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលវ៉ិចទ័រ ចាប់តាំងពីម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនេះមានចំនួនស្មើទៅនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (រូបភាព 157) បន្ទាប់មក។ ម៉ូឌុលនៃពេលនេះស្មើនឹងផលគុណនៃមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់ ពោលគឺ កម្លាំងគុណនឹងចម្ងាយពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលកម្លាំងធ្វើសកម្មភាព។

នៅក្នុងមេកានិចវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់លំនឹងនៃរាងកាយរឹងវាចាំបាច់ដែលមិនត្រឹមតែផលបូកនៃវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យកងកម្លាំងដែលបានអនុវត្តលើរាងកាយគឺស្មើនឹងសូន្យប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ជាផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងផងដែរ។ ក្នុងករណីដែលកម្លាំងទាំងអស់ស្របទៅនឹងយន្តហោះតែមួយ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យគ្រាអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបូក និងដកនៃរ៉ិចទ័ររបស់វា។ ប៉ុន្តែ​ដោយ​មាន​ការ​ដឹកនាំ​ដោយ​បំពាន ការ​ជំនួស​បែប​នេះ​គឺ​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ។ អនុលោមតាមនេះ ផលិតផលវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាជាវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនជាលេខទេ។

៧.១. និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វ៉ិចទ័រ​បី​ដែល​មិន​មែន​ coplanar a, b និង c ដែល​បាន​យក​តាម​លំដាប់​ដែល​បាន​ចង្អុល​បង្ហាញ បង្កើត​ជា​វ៉ិចទ័រ​បី​ខាង​ស្ដាំ ប្រសិនបើ​ចាប់ពី​ចុង​វ៉ិចទ័រ​ទី​បី c នោះ​វេន​ខ្លី​បំផុត​ពី​វ៉ិចទ័រ​ទីមួយ a ទៅ​វ៉ិចទ័រ​ទីពីរ b ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ។ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយដៃឆ្វេងបីដង បើទ្រនិចនាឡិកា (សូមមើលរូប .16)។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និងវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដែល៖

1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b, i.e. c ^ a និង c ^ ខ ;

2. មាន​ប្រវែង​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ a និងខដូចនៅសងខាង (សូមមើលរូបទី 17) i.e.

3. វ៉ិចទ័រ a, b និង c បង្កើតជាដៃស្តាំបីដង។

ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានតំណាង a x b ឬ [a,b] ។ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងវ៉ិចទ័រឯកតា ខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ j និង k

(សូមមើលរូបទី 18)៖
i x j = k, j x k = i, k x i = j ។ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់

ខ្ញុំ xj = k ។ ^ 1) k^i, k

j ; 2) |k |=1 ប៉ុន្តែ |ខ្ញុំ x j

| = |i | និង|J | sin(90°)=1;

3) វ៉ិចទ័រ i, j និង

បង្កើតជាបីខាងស្តាំ (សូមមើលរូបទី 16)។

វ៉ិចទ័រ a xb និង b xa គឺ collinear មានម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ) ប៉ុន្តែត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា (បីដង a, b, a xb និង a, b, b x a នៃទិសផ្ទុយគ្នា) ។ ដូច្នេះ axb = -(b xa).

2. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិរួមបញ្ចូលគ្នាដោយគោរពតាមកត្តាមាត្រដ្ឋានពោលគឺ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង ខ(វ៉ិចទ័រ a, លីត្រប៉ុន្តែដេកនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា) ។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) និង ( លីត្រក) x ខ collinear ។ វាច្បាស់ណាស់ថាទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ពួកគេមានប្រវែងដូចគ្នា៖

នោះហើយជាមូលហេតុ លីត្រ(a xb)= លីត្រ xb ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ លីត្រ<0.

3. វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង ខគឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ a ||b<=>និង xb = 0 ។

ជាពិសេស i * i = j * j = k * k = 0 ។

4. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖

(a+b) xc = a xc + ខ xs

យើងនឹងទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

៧.៣. ការបង្ហាញផលិតផលឆ្លងកាត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ

យើងនឹងប្រើតារាងផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ i, ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងវ៉ិចទ័រឯកតា ខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនិង k:

ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅទីពីរស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃព្រួញនោះផលិតផលគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទីបីប្រសិនបើវាមិនស្របគ្នានោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក។

សូមអោយវ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងវ៉ិចទ័រឯកតា ខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ+a z និងនិង b = b x ខ្ញុំ+ ខ y ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងវ៉ិចទ័រឯកតា ខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ+b z និង. ចូរយើងស្វែងរកផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយគុណពួកវាជាពហុធា (យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ)៖

រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែខ្លី៖

ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (7.1) ទាក់ទងទៅនឹងការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃសមភាពជួរទីមួយ (7.2) គឺងាយស្រួលចងចាំ។

៧.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ការបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណ

យោងទៅតាមនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខ |a xb | =|a | *|b|sin g, i.e. S គូ = |a x b|. ដូច្នេះហើយ D S = 1/2|a x b| ។

ការកំណត់ពេលនៃកម្លាំងអំពីចំណុចមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅចំណុច A F = ABនិងអនុញ្ញាតឱ្យ អំពី- ចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងលំហ (សូមមើលរូបទី 20)។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យាថា ពេលនៃកម្លាំង ច ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច អំពីហៅថាវ៉ិចទ័រ មដែលឆ្លងកាត់ចំណុច អំពីនិង៖

1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច O, A, B;

2) លេខស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្លាំងក្នុងមួយដៃ

3) បង្កើតជាបីខាងស្តាំជាមួយវ៉ិចទ័រ OA និង A B ។

ដូច្នេះ M = OA x F ។

ស្វែងរកល្បឿនបង្វិលលីនេអ៊ែរ

ល្បឿន vចំណុច M នៃតួរឹងបង្វិលជាមួយល្បឿនមុំ វជុំវិញអ័ក្សថេរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តរបស់អយល័រ v =w xr ដែល r = OM ដែល O គឺជាចំណុចថេរមួយចំនួននៃអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 21) ។

និយមន័យ ការប្រមូលតាមលំដាប់នៃ (x 1 , x 2 , ... , x n) n លេខពិតត្រូវបានហៅ វ៉ិចទ័រ​វិមាត្រនិងលេខ x i (i = ) - សមាសធាតុ,ឬ កូអរដោនេ,

ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើរោងចក្រផលិតរថយន្តជាក់លាក់មួយត្រូវតែផលិតរថយន្តចំនួន 50 គ្រឿង រថយន្តដឹកទំនិញចំនួន 100 គ្រឿង រថយន្តក្រុងចំនួន 10 គ្រឿង គ្រឿងបន្លាស់ចំនួន 50 គ្រឿងសម្រាប់រថយន្ត និង 150 ឈុតសម្រាប់រថយន្តដឹកទំនិញ និងរថយន្តក្រុងក្នុងមួយវេន នោះកម្មវិធីផលិតរោងចក្រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាវ៉ិចទ័រ។ (50, 100, 10, 50, 150) ដែលមានធាតុផ្សំប្រាំ។

កំណត់ចំណាំ។ វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​អក្សរ​តូច​ដិត​ឬ​អក្សរ​ដិត​ជាមួយ​របារ​ឬ​ព្រួញ​នៅ​ខាង​លើ, ឧ. កឬ. វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកគេមានចំនួនដូចគ្នានៃសមាសភាគ ហើយសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។

សមាសធាតុវ៉ិចទ័រមិនអាចប្តូរបានទេ ឧទាហរណ៍ (3, 2, 5, 0, 1)និង (2, 3, 5, 0, 1) វ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា។
ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ។ការងារ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ដោយចំនួនពិតλ ហៅថាវ៉ិចទ័រλ x= (λ x 1, λ x 2, ... , λ x n) ។

ចំនួនទឹកប្រាក់x= (x 1 , x 2 , ... , x n) និង y= (y 1 , y 2 , ... , y n) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n) ។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។ន -ទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រ រ n ត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ដែលប្រតិបត្តិការនៃគុណនឹងចំនួនពិត និងការបូកត្រូវបានកំណត់។

រូបភាពសេដ្ឋកិច្ច។ រូបភាពសេដ្ឋកិច្ចនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ៖ ចន្លោះទំនិញ (ទំនិញ) នៅក្រោម ទំនិញយើង​នឹង​យល់​ពី​សេវាកម្ម​ល្អ ឬ​សេវាកម្ម​មួយ​ចំនួន​ដែល​បាន​ដាក់​លក់​នៅ​ពេល​ជាក់លាក់​មួយ​នៅ​កន្លែង​ជាក់លាក់។ ឧបមាថាមានចំនួនកំណត់ n នៃទំនិញដែលមាន។ បរិមាណនៃទំនិញនីមួយៗដែលបានទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសំណុំនៃទំនិញ

x= (x 1 , x 2 , ... , x n )

ដែល x i បង្ហាញពីចំនួននៃទំនិញ i-th ដែលទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់។ យើងនឹងសន្មត់ថាទំនិញទាំងអស់មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកតាមអំពើចិត្ត ដូច្នេះបរិមាណដែលមិនអវិជ្ជមាននៃទំនិញនីមួយៗអាចទិញបាន។ បន្ទាប់មកសំណុំទំនិញដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គឺជាវ៉ិចទ័រនៃទំហំទំនិញ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ) ។

ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , ... , អ៊ី m n-dimensional vectors ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខបែបនេះλ 1 , λ 2 , ... , λ m ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺមិនមែនសូន្យ ដូចជាសមភាពλ ១ អ៊ី 1 + λ 2 អ៊ី 2 +... + λ m អ៊ី m = 0; បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពោលគឺ សមភាពដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះ។ . អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង រ 3, បកស្រាយជាផ្នែកដឹកនាំ, ពន្យល់ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមួយគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនេះគឺសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ (ប៉ារ៉ាឡែល)។

ទ្រឹស្តីបទ ៣ . ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar (កុហកនៅក្នុងប្លង់តែមួយ)។

ឆ្វេងនិងស្តាំបីដងនៃវ៉ិចទ័រ។ បីដងនៃវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក, ខ, គហៅ ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើអ្នកសង្កេតមើលពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេឆ្លងកាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក, ខ, គនៅក្នុងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហាក់ដូចជាកើតឡើងតាមទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ។ ក, ខ, គ -នៅសល់បី. វ៉ិចទ័របីដងខាងស្តាំ (ឬខាងឆ្វេង) ត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា តម្រង់ទិស។

មូលដ្ឋាននិងកូអរដោនេ។ ត្រូកា អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក្នុង រ 3 ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននិងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 - មូលដ្ឋាន. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ កអាច​ត្រូវ​បាន​ពង្រីក​ដោយ​ឡែក​ទៅ​ជា​វ៉ិចទ័រ​មូលដ្ឋាន ដែល​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ក្នុង​សំណុំ​បែបបទ

ក= x ១ អ៊ី 1+x2 អ៊ី 2 + x ៣ អ៊ី 3, (1.1)

លេខ x 1 , x 2 , x 3 នៅក្នុងការពង្រីក (1.1) ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេកនៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 និងត្រូវបានកំណត់ ក(x 1, x 2, x 3) ។

មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 គឺជាគូកាត់កែង ហើយប្រវែងនៃពួកវានីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតានិងកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 - ចតុកោណ។វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃមូលដ្ឋាន orthonormal នឹងត្រូវបានតំណាងដោយ ខ្ញុំ, j, k ។

យើងនឹងសន្មតថានៅក្នុងលំហ រ 3 ប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានជ្រើសរើស (0, ខ្ញុំ, j, k}.

សិល្បៈវ៉ិចទ័រ។ សិល្បៈវ៉ិចទ័រ កទៅវ៉ិចទ័រ ខហៅថាវ៉ិចទ័រ គដែលត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌបីដូចខាងក្រោមៈ

1. ប្រវែងវ៉ិចទ័រ គជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បង្កើត​លើ​វ៉ិចទ័រ កនិង ខ, i.e.
គ= |a||b|អំពើបាប( ក^ខ).

2. វ៉ិចទ័រ គកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រនីមួយៗ កនិង ខ.

3. វ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គយកតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ បង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ។

សម្រាប់ផលិតផលឆ្លងកាត់ គការកំណត់ត្រូវបានណែនាំ គ =[ab] ឬ
c = ក × ខ.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខជាប់គ្នា បន្ទាប់មក បាប ( a^b) = 0 និង [ ab] = 0 ជាពិសេស [ អេ] = 0. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រឯកតា៖ [ អ៊ី]=k, [jk] = ខ្ញុំ, [គី]=j.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខបានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកូអរដោនេ ក(a 1, a 2, a 3) ខ(b 1, b 2, b 3) បន្ទាប់មក

ការងារចម្រុះ។ ប្រសិនបើផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ កនិង ខគុណនឹងវ៉ិចទ័រទីបី គ,បន្ទាប់មកផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របីត្រូវបានគេហៅថា ការងារចម្រុះហើយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា ក b គ.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេ។
ក(a 1, a 2, a 3) ខ(ខ ១, ខ ២, ខ ៣), គ(c 1, c 2, c 3) បន្ទាប់មក

.

ផលិតផលចំរុះមានការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ - វាគឺជាមាត្រដ្ឋានដែលស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតទៅនឹងបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលភីបដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័របី។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របង្កើតបានបីដងត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺជាលេខវិជ្ជមានស្មើនឹងបរិមាណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ប្រសិនបើវាជាបី ក, ខ, គ -ឆ្វេង a b គ<0 и V = - a b គដូច្នេះ V =|a b c|.

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហានៃជំពូកទី 1 ត្រូវបានគេសន្មត់ថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។ ឯកតាវ៉ិចទ័រ បង្វែរទិសជាមួយវ៉ិចទ័រ កចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា កអូ និមិត្តសញ្ញា r=អូមតំណាងដោយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M និមិត្តសញ្ញា a, AB ឬ|a|, | AB|ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង កនិង AB

ឧទាហរណ៍ 1.2. រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ក= 2ម+4ននិង ខ= m-n, កន្លែងណា មនិង n-ឯកតាវ៉ិចទ័រ និងមុំរវាង មនិង នស្មើនឹង 120 o ។

ដំណោះស្រាយ. យើងមានៈ cos φ = ab/ab ab =(2ម+4ន) (m-n) = 2ម 2 - 4ន 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ក = ; ក 2 = (2ម+4ន) (2ម+4ន) =
= 4ម 2 +16mn+16ន 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ដែលមានន័យថា a = . b = ; ខ 2 =
= (m-n)(m-n) = ម 2 -2mn+ន 2 = 1-2(-0.5)+1=3 មានន័យថា b=។ ទីបំផុតយើងមាន: cosφ = = -1/2, φ = 120 o ។

ឧទាហរណ៍ 1.3 ។ស្គាល់វ៉ិចទ័រ AB(-3,-2.6) និង B.C.(-2,4,4) គណនាប្រវែងនៃរយៈកំពស់ AD នៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ. កំណត់ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ដោយ S យើងទទួលបាន៖
ស = ១/២ មុនគ.ស. បន្ទាប់មក AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BCដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ A.C.មានកូអរដោនេ
. .

ឧទាហរណ៍ 1.4 . វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក(11,10,2) និង ខ(៤,០,៣)។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា គ,រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រ កនិង ខនិងដឹកនាំដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដង តាមលំដាប់ ក, ខ, គត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរ​យើង​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ គទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋានអ័រថូនិកត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ x, y, z ។

ចាប់តាំងពី គ ⊥ ក, គ ⊥ខ, នោះ។ ប្រហែល= 0,cb= 0. តាមល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃបញ្ហាគឺតម្រូវឱ្យ c = 1 និង a b គ >0.

យើងមានប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ស្វែងរក x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0 ។

ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន z = -4/3 x, y = -5/6 x ។ ការជំនួស y និង z ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងមាន៖ x 2 = 36/125 មកពីណា។
x =± . ការប្រើប្រាស់លក្ខខណ្ឌ a b c > 0 យើងទទួលបានវិសមភាព

ដោយគិតពីកន្សោមសម្រាប់ z និង y យើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពលទ្ធផលក្នុងទម្រង់៖ 625/6 x > 0 ដែលមានន័យថា x> 0 ។ ដូច្នេះ x = , y = - , z =- ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ពេលខ្លះវាកើតឡើងថាសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ បន្ថែមពីលើ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រកាន់តែច្រើនឡើងត្រូវបានទាមទារ។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ វាហាក់ដូចជាយើងកំពុងចូលទៅក្នុងព្រៃនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ នេះគឺខុស។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានឈើតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញណាស់ - ស្ទើរតែមិនស្មុគស្មាញជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលចំនុចវានឹងមានសូម្បីតែកិច្ចការធម្មតាតិចជាងមុន។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងជឿជាក់ ឬបានជឿជាក់រួចហើយនោះ គឺមិនធ្វើឱ្យមានកំហុសក្នុងការគណនាទេ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងឆ្ងាយៗ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរនៅលើផ្តេក វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដើម្បីស្តារ ឬទទួលបានចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំបន្ថែមទៀតអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើសដោយជ្រើសរើស

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្តភ្លាមៗ? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ ឬបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវ​នេះ អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​លេង​សើច​ទាល់​តែ​សោះ ព្រោះ​យើង​នឹង​ពិចារណា មានតែវ៉ិចទ័រលំហហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ និងដំណើរការក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

ប្រតិបត្តិការនេះ ដូចគ្នានឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋានដែរ ពាក់ព័ន្ធ វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យទាំងនេះជាអក្សរដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងដោយដូចតទៅ៖ . មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់ប្រើដើម្បីបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រតាមវិធីនេះ ក្នុងតង្កៀបការ៉េដែលមានឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាជាក់ស្តែងគឺ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតនេះគឺជាកន្លែងដែលឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការនេះមកពី។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំផ្សេងៗគ្នា ការកំណត់ក៏អាចខុសគ្នាដែរ ខ្ញុំនឹងប្រើអក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ៖ ផលិតផលវ៉ិចទ័រ non-collinearវ៉ិចទ័រ យកតាមលំដាប់នេះ។ហៅថា VECTOR ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

តោះបំបែកនិយមន័យ មានរឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើននៅទីនេះ!

ដូច្នេះ ចំណុចសំខាន់ៗខាងក្រោមអាចត្រូវបានគូសបញ្ជាក់៖

1) វ៉ិចទ័រដើមដែលចង្អុលបង្ហាញដោយព្រួញក្រហមតាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. វានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាករណីនៃវ៉ិចទ័រ collinear បន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានកំណត់យ៉ាងតឹងរឹង: – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"និងមិន "ក្លាយជា" ជាមួយ "a" ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ raspberry)។ នោះគឺសមភាពគឺជាការពិត .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះជាចំណុចសំខាន់ណាស់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះមានស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺជាគ្រោងការណ៍ ហើយតាមធម្មជាតិ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមទេ។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តធរណីមាត្រមួយ៖ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា. ដូច្នេះ ដោយ​ផ្អែក​លើ​ខាងលើ រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ប្រវែង​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​គឺ​ត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថារូបមន្តគឺអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងទេ។ តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺថានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

ចូរយើងទទួលបានរូបមន្តសំខាន់ទីពីរ។ អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) ចែកវាទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរ។ ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ (ការដាក់​ស្រមោល​ពណ៌​ក្រហម) អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត៖

4) ការពិតសំខាន់ស្មើគ្នាគឺថាវ៉ិចទ័រគឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​គ្នា (ព្រួញ​រ៉ាស្បឺរី) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម​ដែរ។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋានមាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតគ្រប់គ្រាន់អំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសអវកាសជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ. ផ្សំផ្លូវចិត្ត ម្រាមដៃសន្ទស្សន៍ជាមួយវ៉ិចទ័រនិង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍ និងម្រាមដៃតូចចុចវាទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជាលទ្ធផល មេដៃ- ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះ​គឺ​ជា​គោល​ការ​តម្រង់​ទិស​ខាង​ស្ដាំ (វា​គឺ​ជា​មួយ​ក្នុង​រូប​នេះ)។ ឥឡូវនេះផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រ ( លិបិក្រមនិងម្រាមដៃកណ្តាល) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផលមេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ ប្រហែល​ជា​អ្នក​មាន​សំណួរ៖ តើ​មូលដ្ឋាន​មួយ​ណា​ដែល​មាន​ការ​តម្រង់​ទិស? "កំណត់" ទៅម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសខាងឆ្វេងនៃលំហ (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). និយាយក្នុងន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬលំហរទិសក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ ការតំរង់ទិសនៃលំហត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយកញ្ចក់ធម្មតាបំផុត ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់មើល" បន្ទាប់មកក្នុងករណីទូទៅវា នឹងមិនអាចផ្សំវាជាមួយ "ដើម" បានទេ។ និយាយអញ្ចឹង លើកម្រាមដៃបីឡើងលើកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

...តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី ស្តាំ និងឆ្វេងតម្រង់ទិសមូលដ្ឋាន ពីព្រោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្ត្រាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យខ្លាច =)

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត វានៅតែត្រូវបានគេមើលឃើញថាមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅជាប់គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បត់" ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសនៃសូន្យឬ 180 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងសូន្យដែលមានន័យថាតំបន់គឺសូន្យ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ . និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ផលិតផលវ៉ិចទ័រខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តវាជារឿយៗត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយពួកគេត្រូវបានសរសេរថាវាស្មើនឹងសូន្យ។

ករណីពិសេសគឺជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវា៖

ដោយប្រើផលិតផលវ៉ិចទ័រ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ ហើយយើងក៏នឹងវិភាគបញ្ហានេះផងដែរ ក្នុងចំណោមបញ្ហាផ្សេងទៀត។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង អ្នកប្រហែលជាត្រូវការ តារាងត្រីកោណមាត្រដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

អញ្ចឹងតោះដុតភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ ទេ នេះ​មិន​មែន​ជា​ការ​វាយ​ខុស​ទេ ខ្ញុំ​បាន​បង្កើត​ទិន្នន័យ​ដំបូង​ដោយ​ចេតនា​ក្នុង​ឃ្លា​ដដែល។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌអ្នកត្រូវស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលឆ្លងកាត់) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌអ្នកត្រូវស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថាចម្លើយមិននិយាយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រទាល់តែសោះ តំបន់នៃរូបភពអាស្រ័យហេតុនេះ វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែមើលអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងរកតាមលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើចំណុចនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាអាចហាក់ដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកសរសេរអក្សរសាស្ត្រច្រើនក្នុងចំណោមគ្រូ ហើយកិច្ចការនេះមានឱកាសល្អក្នុងការត្រលប់មកវិញសម្រាប់ការកែប្រែ។ ទោះបីជានេះមិនមែនជាការយល់ឃើញដ៏វែងឆ្ងាយនោះទេ - ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ នោះមនុស្សម្នាក់ទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សម្នាក់នោះមិនយល់ពីរឿងសាមញ្ញៗ និង/ឬមិនបានយល់ពីខ្លឹមសារនៃកិច្ចការនោះទេ។ ចំណុចនេះត្រូវតែស្ថិតក្រោមការគ្រប់គ្រងជានិច្ចនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ និងមុខវិជ្ជាផ្សេងទៀតផងដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានភ្ជាប់បន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយការចូល ខ្ញុំមិនបានធ្វើបែបនេះទេ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកគ្រប់គ្នាយល់អំពីរឿងនោះ ហើយជាការកំណត់សម្រាប់រឿងដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ដ៏ពេញនិយមសម្រាប់ដំណោះស្រាយ DIY:

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់ ជាទូទៅត្រីកោណអាចធ្វើទារុណកម្មអ្នក។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងនឹងត្រូវការ៖

លក្ខណសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខបំពាន លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានបន្លិចនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងន័យជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើផងដែរ ជួនកាលគេហៅថា ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - សមាគមឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរអាចផ្លាស់ទីបានយ៉ាងងាយស្រួលនៅខាងក្រៅផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិត តើពួកគេគួរធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ មិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងការបើកតង្កៀបផងដែរ។

ដើម្បីបង្ហាញ សូមមើលឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖លក្ខខណ្ឌម្តងទៀតទាមទារឱ្យស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងយកចំនួនថេរនៅខាងក្រៅវិសាលភាពនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងផ្លាស់ទីថេរនៅខាងក្រៅម៉ូឌុល ហើយម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(3) នៅសល់គឺច្បាស់។

ចម្លើយ:

ដល់ពេលត្រូវបន្ថែមអុសបន្ថែមលើភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . ការចាប់គឺថាវ៉ិចទ័រ "tse" និង "de" ត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយនឹកឃើញខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 នៃមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងបែងចែកដំណោះស្រាយជាបីដំណាក់កាល៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត ចូរយើងបង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់មានពាក្យថាវែងទេ!

(1) ជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងបើកតង្កៀបយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងផ្លាស់ទីថេរទាំងអស់លើសពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច ជំហានទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) លក្ខខណ្ឌទីមួយ និងចុងក្រោយគឺស្មើនឹងសូន្យ (សូន្យវ៉ិចទ័រ) ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិដ៏ស្រស់ស្អាត។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 3៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ដំណាក់កាលទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងបន្ទាត់មួយ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលត្រូវបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងការធ្វើតេស្ត នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

បានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal, បង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ នៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលនៃកត្តាកំណត់ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ ក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី យើង "ដាក់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយយើងដាក់ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង- ជាដំបូងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវគុណក្នុងលំដាប់ផ្សេងគ្នា នោះជួរដេកគួរតែត្រូវបានប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ដំណោះស្រាយ៖ ធីកគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយក្នុងមេរៀននេះ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (វ៉ិចទ័រសូន្យ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះនឹងមិនមានទំហំធំខ្លាំងទេ ដោយសារមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងអាស្រ័យលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបមន្តការងារមួយចំនួន។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របី:

ដូច្នេះ​ពួកគេ​បាន​តម្រង់​ជួរ​គ្នា​ដូច​រថភ្លើង ហើយ​មិន​អាច​រង់ចាំ​ការ​កំណត់​អត្តសញ្ញាណ​បាន​ឡើយ។

ទីមួយ និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ការងារចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ យកតាមលំដាប់នេះ។, បានហៅ បរិមាណ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា “+” ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា “–” ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺ ការរៀបចំវ៉ិចទ័រឡើងវិញនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកអាចស្មាន មិនកើតឡើងដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

៣) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំនឹងកត់សម្គាល់ការពិតជាក់ស្តែងមួយ៖ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាបន្តិច ខ្ញុំធ្លាប់ប្រើដើម្បីសម្គាល់ផលិតផលចម្រុះដោយ , និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ “pe”។

តាមនិយមន័យ ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) កុំបារម្ភម្តងទៀតអំពីគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ ផលិតផលចម្រុះអាចជាអវិជ្ជមាន: .

ដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យធ្វើតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

មុននឹងផ្តល់គំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ចូរយើងងាកទៅរកសំណួរនៃការតំរង់ទិសនៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ a →, b →, c → ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងដាក់វ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ពីចំនុចមួយ។ ការតំរង់ទិសនៃបី a → , b → , c → អាចជាស្តាំឬឆ្វេងអាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c →ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ប្រភេទនៃបីបី a → , b → , c → នឹងត្រូវបានកំណត់ពីទិសដៅដែលវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានធ្វើឡើងពីវ៉ិចទ័រ a → ទៅ b → ពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ c → .

ប្រសិនបើវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានអនុវត្តច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះបីដងនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា - ឆ្វេង.

បន្ទាប់​មក​យក​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ a → និង b → ។ ចូរយើងគូររូបវ៉ិចទ័រ A B → = a → និង A C → = b → ពីចំនុច A ។ ចូរយើងសង់វ៉ិចទ័រ A D → = c → ដែលកាត់កែងគ្នាទាំង A B → និង A C → ។ ដូច្នេះនៅពេលសាងសង់វ៉ិចទ័រដោយខ្លួនឯង A D → = c → យើងអាចធ្វើវាតាមពីរវិធីដោយផ្តល់ឱ្យវានូវទិសដៅមួយឬផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាព) ។

លំដាប់បីនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → អាចជា ដូចដែលយើងបានរកឃើញ ស្តាំ ឬឆ្វេង អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។

ពីខាងលើយើងអាចណែនាំនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ និយមន័យនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រពីរដែលបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ។

និយមន័យ ១

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → និង b → យើង​នឹង​ហៅ​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​កំណត់​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​នៃ​លំហ​បី​វិមាត្រ​ដូច​ជា៖

• ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → និង b → ជាប់គ្នា វានឹងក្លាយជាសូន្យ។
• វានឹងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a → ​​ និងវ៉ិចទ័រ b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• បីដងនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → មានទិសដៅដូចគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → មានសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ a → × b → ។

សំរបសំរួលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

ដោយសារវ៉ិចទ័រណាមួយមានកូអរដោនេជាក់លាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ យើងអាចណែនាំនិយមន័យទីពីរនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វាដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ២

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៃលំហរបីវិមាត្រ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → = (a x ; a y ; a z) និង b → = ( ​​b x ; b y ; b z ) ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ c → = a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k → , ដែល i → , j → , k → គឺជាវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបី ដែលជួរទីមួយមានវ៉ិចទ័រ i → , j → , k → ជួរទីពីរមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → និងជួរទីបី មាន​កូអរដោណេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ b → ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​រាង​ចតុកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ នេះ​ជា​កត្តា​កំណត់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​មើល​ទៅ​ដូច​នេះ៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ការពង្រីកកត្តាកំណត់នេះទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមភាព៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j y → a x · a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k →

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វាត្រូវបានគេដឹងថាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោនេត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z បន្ទាប់មកនៅលើមូលដ្ឋាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានបង្ហាញ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

1. អង់ទីករ a → × b → = − b → × a → ;
2. ការចែកចាយ a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ឬ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativity λ a → × b → = λ a → × b → ឬ a → × (λ b →) = λ a → × b → ដែល λ ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។

ទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះមានភស្តុតាងសាមញ្ញ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចបញ្ជាក់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិប្រឆាំងការកុម្មុយនិស្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ភស្តុតាងនៃការប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ប្តូរ

តាមនិយមន័យ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z និង b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z ។ ហើយប្រសិនបើជួរពីរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានប្តូរ នោះតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគួរតែផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a - b → × a → , ដែលនិងបង្ហាញថាផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺប្រឆាំង។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ - ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ

ក្នុងករណីភាគច្រើនមានបញ្ហាបីប្រភេទ។

នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ និងមុំរវាងពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ក្នុងករណីនេះ សូមប្រើរូបមន្តខាងក្រោម c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកប្រវែងនៃផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ប្រសិនបើអ្នកដឹង a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយកំណត់ប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → យើងដោះស្រាយបញ្ហានេះ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 ២ ២.

ចម្លើយ៖ 15 2 2 .

បញ្ហានៃប្រភេទទីពីរមានទំនាក់ទំនងជាមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ, នៅក្នុងពួកគេផលិតផលវ៉ិចទ័រ, ប្រវែងរបស់វា, ល។ ត្រូវបានស្វែងរកតាមរយៈកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a → = (a x; a y; a z) និង b → = (b x; b y; b z) .

ចំពោះ​បញ្ហា​ប្រភេទ​នេះ អ្នក​អាច​ដោះស្រាយ​ជម្រើស​ការងារ​បាន​ច្រើន។ ឧទាហរណ៍ មិនមែនកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ ប៉ុន្តែការពង្រីករបស់វាទៅជាវ៉ិចទ័រសំរបសំរួលនៃទម្រង់ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → និង c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ឬវ៉ិចទ័រ a → និង b → អាចបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេ និងចំណុចបញ្ចប់។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ២

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ។ ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់របស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យទីពីរ យើងរកឃើញផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរក្នុងកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ a → × b → = (a y · b z − a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y − a y · b x) · k → = = (1 · 1 - ( 3) · ( − 1)) · i → + (((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) − 1 · 0) · k → = = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ប្រសិនបើយើងសរសេរផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស នោះដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នេះមើលទៅដូចនេះ៖ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ចម្លើយ៖ a → × b → = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ឧទាហរណ៍ ៣

រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → ដែល i →, j →, k → គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ i → - j → × i → + j → + k → នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

គេដឹងថាវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → មានកូអរដោនេ (1; - 1; 0) និង (1; 1; 1) រៀងគ្នា។ ចូរយើងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយប្រើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស បន្ទាប់មកយើងមាន i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 − 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រ i → - j → × i → + j → + k → មានកូអរដោនេ (- 1 ; - 1 ; 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយប្រើរូបមន្ត (មើលផ្នែកលើការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ)៖ i → - j → × i → + j → + k → = − 1 2 + − 1 2 + 2 2 = ៦.

ចម្លើយ៖ i → − j → × i → + j → + k → = 6 ។ .

ឧទាហរណ៍ 4

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណ កូអរដោនេនៃបីពិន្ទុ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅ A B → និង A C → នៅពេលតែមួយ។

ដំណោះស្រាយ

វ៉ិចទ័រ A B → និង A C → មានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម (- 1 ; 2 ; 2) និង (0 ; 4 ; 1) រៀងគ្នា។ ដោយបានរកឃើញផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → វាច្បាស់ណាស់ថាវាជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងតាមនិយមន័យទាំង A B → និង A C → នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់យើង។ ចូររកវា A B → × A C → = i → j → k → − 1 2 2 0 4 1 = − 6 i → + j → − 4 k → ។

ចម្លើយ៖ - 6 i → + j → − 4 k → . - មួយនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែង។

បញ្ហានៃប្រភេទទីបីគឺផ្តោតលើការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់​ពី​អនុវត្ត​ការ​ដែល​យើង​នឹង​ទទួល​បាន​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។

ឧទាហរណ៍ 5

វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 3 និង 4 រៀងគ្នា។ រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × − 2 · b → + − b → × a → + − b → × − 2 · ខ → .

ដំណោះស្រាយ

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងអាចសរសេរ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × − 2 ខ → + − b → × a → + − b → × − 2 ខ →

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាគម យើងយកមេគុណលេខចេញពីសញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងកន្សោមចុងក្រោយ៖ 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + − b → × − 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (− 2) · a → × b → + (− 1) · b → × a → + (− 1) · (− 2) · b → × b → = = 3 a → × a → − 6 a → × b → − b → × a → + 2 b → × b →

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ a → × a → និង b → × b → ស្មើនឹង 0 ដោយហេតុថា a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 និង b → × b → = b → · b → · sin . .

ពី anticommutativity នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រវាដូចខាងក្រោម - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ខ → ។ .

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិរបស់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាព 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = − 5 · a → × b → ។

តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ពោលគឺ មុំរវាងពួកវាស្មើនឹង π 2 ។ ឥឡូវនេះអ្វីៗដែលនៅសល់គឺត្រូវជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្តសមស្រប៖ 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 ។

ចម្លើយ៖ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 60 ។

ប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមនិយមន័យគឺស្មើនឹង a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ។ ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ (ពីវគ្គសិក្សា) ថាតំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីររបស់វាគុណនឹងស៊ីនុសនៃមុំរវាងភាគីទាំងនេះ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម - ត្រីកោណទ្វេដែលជាផលិតផលនៃជ្រុងក្នុងទម្រង់ជាវ៉ិចទ័រ a → និង b → ដែលដាក់ចេញពីចំណុចមួយដោយស៊ីនុសនៃ មុំរវាងពួកវា sin ∠ a →, b → ។

នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

នៅក្នុងមេកានិច សាខាមួយនៃរូបវិទ្យា អរគុណចំពោះផលិតផលវ៉ិចទ័រ អ្នកអាចកំណត់ពេលនៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចមួយក្នុងលំហ។

និយមន័យ ៣

នៅពេលកម្លាំង F → អនុវត្តទៅចំណុច B ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច A យើងនឹងយល់ពីផលិតផលវ៉ិចទ័រខាងក្រោម A B → × F → ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter