សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរគឺជាសមីការណាមួយដែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a*x+b*y=s.នៅទីនេះ x និង y គឺជាអថេរពីរ a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួន។
ខាងក្រោមនេះជាមួយចំនួន ឧទាហរណ៍នៃសមីការលីនេអ៊ែរ។
1. 10*x + 25*y = 150;
ដូចជាសមីការដែលមានមិនស្គាល់មួយ សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ (មិនស្គាល់) ក៏មានដំណោះស្រាយផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5 ជាមួយនឹង x=8 និង y=3 ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ 8-3=5។ ក្នុងករណីនេះ គូនៃលេខ x=8 និង y=3 ត្រូវបាននិយាយថាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5។ អ្នកក៏អាចនិយាយបានថា លេខគូ x=8 និង y=3 បំពេញសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5។
ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ a*x + b*y = c គឺជាគូនៃលេខណាមួយ (x,y) ដែលបំពេញសមីការនេះ ពោលគឺប្រែសមីការដែលមានអថេរ x និង y ទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សូមកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលគូនៃលេខ x និង y ត្រូវបានសរសេរនៅទីនេះ។ ធាតុនេះខ្លីជាង និងងាយស្រួលជាង។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចាំថា កន្លែងទីមួយក្នុងកំណត់ត្រាបែបនេះគឺជាតម្លៃនៃអថេរ x ហើយទីពីរគឺជាតម្លៃនៃអថេរ y ។
សូមចំណាំថា លេខ x=11 និង y=8, x=205 និង y=200 x=4.5 និង y=-0.5 ក៏បំពេញសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5 ដូច្នេះហើយគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរនេះ។
ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់ពីរ មិនមែនតែមួយទេ។រាល់សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងការមិនស្គាល់ពីរមានដំណោះស្រាយខុសៗគ្នាជាច្រើនគ្មានកំណត់។ នោះគឺមាន ខុសគ្នាជាច្រើនគ្មានកំណត់លេខពីរ x និង y ដែលបំប្លែងសមីការលីនេអ៊ែរទៅជាអត្តសញ្ញាណពិត។
ប្រសិនបើសមីការជាច្រើនដែលមានអថេរពីរមានដំណោះស្រាយដូចគ្នាបេះបិទ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការសមមូល។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើសមីការជាមួយមិនស្គាល់ពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះពួកគេក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាសមមូលដែរ។
លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់ពីរ
1. លក្ខខណ្ឌណាមួយនៅក្នុងសមីការអាចផ្ទេរពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត ប៉ុន្តែចាំបាច់ត្រូវប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅជាសញ្ញាផ្ទុយ។ សមីការលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើម។
2. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងតម្លៃដើម។
ការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់គឺជាបញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏ចំណាស់ជាងគេមួយ។ រួចហើយនៅដើមសហវត្សទី 2 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូនបានដឹងពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះជាមួយនឹងអថេរពីរ។ តំបន់នៃគណិតវិទ្យានេះឈានដល់ការរីកចំរើនខ្លាំងបំផុតនៅក្នុងប្រទេសក្រិកបុរាណ។ ប្រភពចម្បងរបស់យើងគឺ Diophantus' Arithmetic ដែលមានសមីការជាច្រើនប្រភេទ។ នៅក្នុងនោះ Diophantus (តាមឈ្មោះរបស់គាត់ ឈ្មោះសមីការគឺសមីការ Diophantine) គិតទុកជាមុននូវវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនសម្រាប់សិក្សាសមីការនៃដឺក្រេទី 2 និងទី 3 ដែលអភិវឌ្ឍតែនៅក្នុងសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។
សមីការ Diophantine សាមញ្ញបំផុតគឺ ax + y = 1 (សមីការដែលមានអថេរពីរដឺក្រេទីមួយ) x2 + y2 = z2 (សមីការដែលមានអថេរបីដឺក្រេទីពីរ)
សមីការពិជគណិតត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងពេញលេញបំផុត ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេគឺជាបញ្ហាសំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងពិជគណិតក្នុងសតវត្សទី 16 និង 17 ។
នៅដើមសតវត្សទី 19 ស្នាដៃរបស់ P. Fermat, L. Euler, K. Gauss បានស៊ើបអង្កេតសមីការ Diophantine នៃទម្រង់៖ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 ដែល a, b, c , d, e, f គឺជាលេខ; x, y អថេរមិនស្គាល់។
នេះគឺជាសមីការដឺក្រេទី 2 ដែលមិនស្គាល់ពីរ។
K. Gauss បានបង្កើតទ្រឹស្ដីទូទៅនៃទម្រង់រាងបួនជ្រុង ដែលជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភេទមួយចំនួនដែលមានអថេរពីរ (សមីការ Diophantine)។ មានសមីការ Diophantine ជាក់លាក់មួយចំនួនធំ ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្របឋម។ /p>
សម្ភារៈទ្រឹស្តី។
នៅក្នុងផ្នែកនៃការងារនេះ គោលគំនិតគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋាននឹងត្រូវបានពិពណ៌នា ពាក្យនឹងត្រូវបានកំណត់ ហើយទ្រឹស្តីបទពង្រីកនឹងត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ ដែលត្រូវបានសិក្សា និងពិចារណានៅពេលដោះស្រាយសមីការជាមួយអថេរពីរ។
និយមន័យ 1: សមីការនៃទម្រង់ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 ដែល a, b, c, d, e, f ជាលេខ; x, y អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថាសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានអថេរពីរ។
នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា សមីការ quadratic ax2 + bx + c = 0 ត្រូវបានសិក្សា ដែល a, b, c ជាចំនួន x variable ដែលមានអថេរមួយ។ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ៖
1. ការស្វែងរកឫសដោយប្រើអ្នករើសអើង;
2. ការស្វែងរកឫសសម្រាប់មេគុណគូនៅក្នុង (យោងទៅតាម D1=);
3. ការស្វែងរកឫសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta;
4. ការស្វែងរកឫសដោយញែកការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះនៃ binomial មួយ។
ការដោះស្រាយសមីការមានន័យថាការស្វែងរកឫសគល់របស់វាទាំងអស់ឬការបញ្ជាក់ថាវាមិនមាន។
និយមន័យទី 2: ឫសនៃសមីការគឺជាលេខដែលនៅពេលជំនួសដោយសមីការ បង្កើតបានជាសមភាពពិត។
និយមន័យទី 3: ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានអថេរពីរត្រូវបានគេហៅថាជាគូនៃលេខ (x, y) នៅពេលដែលជំនួសទៅក្នុងសមីការវាប្រែទៅជាសមភាពពិត។
ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ច្រើនតែមាន ការជំនួសសមីការជាមួយនឹងសមីការសមមូល ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយមួយដែលងាយស្រួលជាង។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។
និយមន័យទី៤៖ សមីការពីរត្រូវបានគេនិយាយថាសមមូល ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនីមួយៗនៃសមីការមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការផ្សេងទៀត ហើយច្រាសមកវិញ ហើយសមីការទាំងពីរត្រូវបានពិចារណាក្នុងដែនតែមួយ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការជាមួយអថេរពីរ ប្រើទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបំបែកសមីការទៅជាផលបូកនៃការ៉េពេញលេញ (ដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់)។
សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) ការពង្រីក a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) កើតឡើង
ចូរយើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌដែលការពង្រីក (2) កើតឡើងសម្រាប់សមីការ (1) នៃអថេរពីរ។
ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើមេគុណ a, b, c នៃសមីការ (1) បំពេញលក្ខខណ្ឌ a0 និង 4ab – c20 នោះការពង្រីក (2) ត្រូវបានកំណត់តាមវិធីតែមួយគត់។
ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការ (1) ដែលមានអថេរពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (2) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបំពេញ។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ត្រូវបានអនុវត្ត។
វិធីសាស្រ្តលេខ 1 ។ ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 ។
1. សូមពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ a=2, b=1, c=2 ដែលមានន័យថា a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40។
2. លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបំពេញ;
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ផ្នែកទាំងពីរនៃអត្តសញ្ញាណគឺសមមូល។ ចូរយើងសម្រួលផ្នែកខាងស្តាំនៃអត្តសញ្ញាណ។
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)។
5. យើងគណនាមេគុណសម្រាប់អថេរដូចគ្នាជាមួយនឹងថាមពលរបស់វា។
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ ដោះស្រាយវា និងស្វែងរកតម្លៃនៃមេគុណ។
7. ជំនួសមេគុណទៅជា (2) បន្ទាប់មកសមីការនឹងយកទម្រង់
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
ដូច្នេះសមីការដើមគឺស្មើនឹងសមីការ
2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3) សមីការនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ។
ចម្លើយ៖ (-១; ១) ។
ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់លើប្រភេទនៃការពង្រីក (3) អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាវាមានលក្ខណៈដូចគ្នាបេះបិទក្នុងទម្រង់នៃការបំបែកការ៉េពេញលេញពីសមីការការ៉េដែលមានអថេរមួយ៖ ax2 + inx + c = a(x +)2 + ។
ចូរយើងអនុវត្តបច្ចេកទេសនេះនៅពេលដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរ។ ចូរយើងដោះស្រាយ ដោយប្រើការជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ សមីការការ៉េដែលមានអថេរពីរដែលត្រូវបានដោះស្រាយរួចហើយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ។
វិធីសាស្រ្តលេខ ២៖ ដោះស្រាយសមីការ 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 ។
ដំណោះស្រាយ៖ 1. ចូរស្រមៃមើល 2x2 ជាផលបូកនៃពាក្យពីរ x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 ។
2. ចូរយើងដាក់ពាក្យជាក្រុមតាមរបៀបដែលយើងអាចបត់វាដោយប្រើរូបមន្តនៃការ៉េពេញលេញ។
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0 ។
3. ជ្រើសរើសការេពេញលេញពីកន្សោមក្នុងតង្កៀប។
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0 ។
4. សមីការនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។
ចម្លើយ៖ (-១; ១) ។
ប្រសិនបើអ្នកប្រៀបធៀបលទ្ធផល អ្នកអាចមើលឃើញថាសមីការដោះស្រាយដោយវិធីលេខ 1 ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ និងវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ ហើយសមីការដោះស្រាយដោយវិធីលេខ 2 ដោយប្រើការស្រង់ចេញនៃការ៉េពេញលេញមានឫសដូចគ្នា។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការការ៉េដែលមានអថេរពីរអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាផលបូកនៃការ៉េតាមពីរវិធី៖
➢ វិធីសាស្រ្តទីមួយគឺវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ ដែលផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ និងការពង្រីក (2)។
➢ វិធីទីពីរគឺប្រើការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជ្រើសរើសការ៉េដែលបំពេញតាមលំដាប់លំដោយ។
ជាការពិតណាស់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាវិធីសាស្ត្រទីពីរគឺល្អជាងព្រោះវាមិនតម្រូវឱ្យមានការពង្រីកការទន្ទេញ (2) និងលក្ខខណ្ឌ។
វិធីសាស្រ្តនេះក៏អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់សមីការ quadratic ដែលមានអថេរបី។ ការញែកការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះនៅក្នុងសមីការបែបនេះគឺពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្ម។ ខ្ញុំនឹងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរប្រភេទនេះនៅឆ្នាំក្រោយ។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាមុខងារដែលមានទម្រង់: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ quadratic នៃអថេរពីរ។ អនុគមន៍ចតុកោណដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា៖
ក្នុងការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា (ការសរសេរកម្មវិធីការ៉េ)
ជាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងធរណីមាត្រ (ទម្រង់រាងចតុកោណ)
នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (កាត់បន្ថយសមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរទៅជាទម្រង់ Canonical) ។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តនីតិវិធីនៃការញែកការ៉េពេញលេញចេញពីសមីការបួនជ្រុង (អថេរមួយ ពីរ ឬច្រើន)។
បន្ទាត់ដែលសមីការត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការរាងបួនជ្រុងនៃអថេរពីរត្រូវបានហៅថាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ។
នេះគឺជារង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា។
នៅពេលសាងសង់ក្រាហ្វនៃខ្សែកោងទាំងនេះ វិធីសាស្ត្រនៃការញែកការ៉េពេញលេញជាលំដាប់ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។
សូមក្រឡេកមើលពីរបៀបដែលវិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញដំណើរការជាលំដាប់ដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។
ផ្នែកជាក់ស្តែង។
ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបំបែកជាលំដាប់នៃការ៉េពេញលេញ។
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
ចម្លើយ៖ (-១; ១) ។
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
ចម្លើយ៖ (០.៥; - ០.៥) ។
3. 3x2 + 4y2 − 6xy − 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 − 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
ចម្លើយ៖ (-១; ១) ។
ដោះស្រាយសមីការ៖
1. 2x2 + 3y2 − 4xy + 6y +9 = 0
(កាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
ចម្លើយ៖ (-៣; -៣)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(កាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ -3(x+y)2+(y-1)2=0)
ចម្លើយ៖ (-១; ១)
3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0
(កាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ (x+y)2 +2(y+7)2=0)
ចម្លើយ៖ (៧; -៧)
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។
នៅក្នុងការងារវិទ្យាសាស្ត្រនេះ សមីការដែលមានអថេរពីរនៃសញ្ញាបត្រទីពីរត្រូវបានសិក្សា ហើយវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាត្រូវបានពិចារណា។ កិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយខ្លីជាងមួយត្រូវបានបង្កើត និងពិពណ៌នា ដោយផ្អែកលើការញែកការ៉េពេញលេញ និងជំនួសសមីការជាមួយនឹងប្រព័ន្ធសមមូលនៃសមីការ ជាលទ្ធផល នីតិវិធីសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការដែលមានអថេរពីរមាន ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។
ចំណុចសំខាន់នៃការងារគឺថាបច្ចេកទេសដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងមុខងារចតុកោណ បង្កើតខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ និងការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃកន្សោម។
ដូច្នេះ បច្ចេកទេសនៃការបំបែកសមីការលំដាប់ទីពីរដែលមានអថេរពីរទៅជាផលបូកនៃការ៉េមានកម្មវិធីជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
វិធីសាស្រ្តរបស់អ្នកនិពន្ធចំពោះប្រធានបទនេះគឺមិនចៃដន្យទេ។ សមីការដែលមានអថេរពីរត្រូវបានជួបប្រទះជាលើកដំបូងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាថ្នាក់ទី 7 ។ សមីការមួយដែលមានអថេរពីរមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ នេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ដែលបានផ្តល់ជា ax + by=c ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សា សិស្សសិក្សាប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ។ ជាលទ្ធផល ស៊េរីនៃបញ្ហាទាំងមូលដែលមានលក្ខខណ្ឌមានកម្រិតលើមេគុណនៃសមីការ ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេធ្លាក់ចេញពីការមើលឃើញរបស់គ្រូ ហើយដូច្នេះសិស្ស។
យើងកំពុងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ពីរនៅក្នុងចំនួនគត់ ឬលេខធម្មជាតិ។
នៅសាលា លេខធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 4-6 ។ នៅពេលពួកគេបញ្ចប់ការសិក្សា មិនមែនសិស្សទាំងអស់ចងចាំពីភាពខុសគ្នារវាងសំណុំនៃលេខទាំងនេះទេ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយបញ្ហាដូចជា "ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ ax + by = c ក្នុងចំនួនគត់" ត្រូវបានរកឃើញកាន់តែខ្លាំងឡើងនៅលើការប្រឡងចូលសាកលវិទ្យាល័យ និងនៅក្នុងឯកសារប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។
ការដោះស្រាយសមីការមិនច្បាស់លាស់បង្កើតការគិតឡូជីខល ភាពវៃឆ្លាត និងការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការវិភាគ។
ខ្ញុំស្នើឱ្យបង្កើតមេរៀនជាច្រើនលើប្រធានបទនេះ។ ខ្ញុំមិនមានការណែនាំច្បាស់លាស់អំពីពេលវេលានៃមេរៀនទាំងនេះទេ។ ធាតុមួយចំនួនក៏អាចប្រើនៅថ្នាក់ទី 7 (សម្រាប់ថ្នាក់ខ្លាំង)។ មេរៀនទាំងនេះអាចយកមកធ្វើជាមូលដ្ឋាន និងបង្កើតវគ្គបណ្ដុះបណ្ដាលតូចមួយស្ដីពីការបណ្ដុះបណ្ដាលមុនវិជ្ជាជីវៈនៅថ្នាក់ទី៩។ ហើយជាការពិតណាស់ សម្ភារៈនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងថ្នាក់ទី 10-11 ដើម្បីរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
- ពាក្យដដែលៗ និងចំណេះដឹងទូទៅលើប្រធានបទ "សមីការលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរ"
- បណ្តុះចំណាប់អារម្មណ៍ការយល់ដឹងលើប្រធានបទ
- អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ បង្កើតការទូទៅ ផ្ទេរចំណេះដឹងទៅកាន់ស្ថានភាពថ្មី។
មេរៀនទី 1។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់។
1) អង្គការ។ ពេល
2) ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន។
និយមន័យ។ សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរគឺជាសមីការនៃទម្រង់
mx + ny = k ដែល m, n, k ជាលេខ, x, y ជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ 5x+2y=10
និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានអថេរពីរគឺជាតម្លៃគូនៃអថេរដែលប្រែសមីការទៅជាសមភាពពិត។
សមីការដែលមានអថេរពីរដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។
1. 5x+2y=12 (2)y = −2.5x+6
សមីការនេះអាចមានដំណោះស្រាយមួយចំនួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកតម្លៃ x ណាមួយ ហើយស្វែងរកតម្លៃ y ដែលត្រូវគ្នា។
ចូរ x = 2, y = −2.5 2+6 = 1
x = 4, y = −2.5 4+6 =- 4
គូនៃលេខ (2; 1); (4;-4) - ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1) ។
សមីការនេះមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។
3) ប្រវត្តិសាស្រ្ត
សមីការ Indefinite (Diophantine) គឺជាសមីការដែលមានអថេរច្រើនជាងមួយ។
នៅសតវត្សទី 3 ។ AD - Diophantus នៃ Alexandria បានសរសេរថា "នព្វន្ធ" ដែលគាត់បានពង្រីកសំណុំនៃលេខទៅជាសនិទានភាព និងណែនាំនិមិត្តសញ្ញាពិជគណិត។
Diophantus ក៏បានពិចារណាអំពីបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការមិនកំណត់ ហើយគាត់បានផ្តល់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនកំណត់នៃសញ្ញាបត្រទីពីរ និងទីបី។
4) សិក្សាសម្ភារៈថ្មី។
និយមន័យ៖ សមីការ Diophantine inhomogeneous លំដាប់ទីមួយដែលមានពីរមិនស្គាល់ x, y គឺជាសមីការនៃទម្រង់ mx + ny = k, ដែល m, n, k, x, y Z k0
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១.
ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ k ក្នុងសមីការ (1) មិនត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (GCD) នៃលេខ m និង n នោះសមីការ (1) មិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។
ឧទាហរណ៍៖ 34x – 17y = 3 ។
GCD (34; 17) = 17, 3 មិនត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយ 17, មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
ឱ្យ k ចែកដោយ gcd (m, n) ។ តាមរយៈការបែងចែកមេគុណទាំងអស់ យើងអាចធានាថា m និង n ក្លាយជាបឋមដែលទាក់ទង។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ២.
ប្រសិនបើ m និង n នៃសមីការ (1) ជាលេខសំខាន់ នោះសមីការនេះមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៣.
ប្រសិនបើមេគុណ m និង n នៃសមីការ (1) គឺជាលេខ coprime នោះសមីការនេះមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់៖
កន្លែងណា (; ) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1), t Z
និយមន័យ។ សមីការ Diophantine ដូចគ្នាលំដាប់ទីមួយជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ពីរ x, y គឺជាសមីការនៃទម្រង់ mx + ny = 0, ដែល (2)
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៤.
ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខ coprime នោះដំណោះស្រាយណាមួយចំពោះសមីការ (2) មានទម្រង់ 
5) កិច្ចការផ្ទះ។ ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល៖
- 9x − 18y = 5
- x + y = xy
- កុមារជាច្រើនកំពុងរើសផ្លែប៉ោម។ ក្មេងប្រុសម្នាក់ៗប្រមូលបាន ២១ គីឡូក្រាម ហើយក្មេងស្រីប្រមូលបាន ១៥ គីឡូក្រាម។ សរុបមកប្រមូលបាន ១៧៤ គីឡូក្រាម។ តើក្មេងប្រុសប៉ុន្មាននាក់ និងក្មេងស្រីប៉ុន្មាននាក់រើសផ្លែប៉ោម?
មតិយោបល់។ មេរៀននេះមិនផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ទេ។ ដូច្នេះកុមារដោះស្រាយកិច្ចការផ្ទះដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទី 1 និងការជ្រើសរើស។
មេរៀនទី 2 ។
1) ពេលវេលារៀបចំ
2) ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ
1) 9x − 18y = 5
5 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 9 មិនមានដំណោះស្រាយជាលេខទាំងមូលទេ។
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសអ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយ
ចម្លើយ៖ (0;0), (2;2)
៣) ចូរយើងបង្កើតសមីការ៖
ឱ្យក្មេងប្រុសជា x, x Z, និងក្មេងស្រី y, y Z បន្ទាប់មកយើងអាចបង្កើតសមីការ 21x + 15y = 174
សិស្សជាច្រើនដែលបានសរសេរសមីការមួយនឹងមិនអាចដោះស្រាយវាបានទេ។
ចម្លើយ៖ ក្មេងប្រុស ៤ នាក់ ស្រី ៦ នាក់។
3) រៀនសម្ភារៈថ្មី។
ដោយបានជួបប្រទះការលំបាកក្នុងការបំពេញកិច្ចការផ្ទះ សិស្សត្រូវបានគេជឿជាក់លើតម្រូវការដើម្បីរៀនវិធីសាស្រ្តរបស់ពួកគេសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនច្បាស់លាស់។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេខ្លះ។
I. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ពិចារណាការបែងចែកដែលនៅសល់។
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនទាំងមូល 3x – 4y = 1 ។
ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះផ្នែកខាងស្តាំត្រូវតែបែងចែក។ ចូរយើងពិចារណាករណីបី។
ចម្លើយ៖ កន្លែងណា m Z ។
វិធីសាស្ត្រដែលបានពិពណ៌នាគឺងាយស្រួលប្រើ ប្រសិនបើលេខ m និង n មិនតូច ប៉ុន្តែអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាសាមញ្ញ។
ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនទាំងមូល។
អនុញ្ញាតឱ្យ y = 4n បន្ទាប់មក 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4 * (4-7n) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ។
y = 4n + 1 បន្ទាប់មក 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ទេ។
y = 4n + 2 បន្ទាប់មក 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ទេ។
y = 4n + 3 បន្ទាប់មក 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ទេ។
ដូច្នេះ y = 4n បន្ទាប់មក
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
ចម្លើយ៖ ដែលជាកន្លែងដែល n Z ។
II. សមីការមិនច្បាស់លាស់នៃសញ្ញាបត្រទី 2
ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងប៉ះតែលើដំណោះស្រាយនៃសមីការ Diophantine លំដាប់ទីពីរប៉ុណ្ណោះ។
និងគ្រប់ប្រភេទនៃសមីការ យើងនឹងពិចារណាករណីនៅពេលដែលយើងអាចអនុវត្តភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ ឬវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃកត្តាកត្តា។
ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនទាំងមូល។
13 គឺជាចំនួនបឋម ដូច្នេះវាអាចជាកត្តាតែបួនប៉ុណ្ណោះ៖ 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
ចូរយើងពិចារណាករណីទាំងនេះ
ចម្លើយ៖ (៧;-៣), (៧;៣), (-៧;៣), (-៧;-៣)។
4) កិច្ចការផ្ទះ។
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល៖
(x − y)(x + y) = ៤
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = ២ | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | មិនសម | មិនសម |
| 2x = −4 | មិនសម | មិនសម |
| x = −2 | ||
| y = 0 |
ចម្លើយ៖ (-២;០), (២;០) ។
ចម្លើយ៖ (-១០;៩), (-៥;៣), (-២;-៣), (-១;-៩), (១;៩), (២;៣), (៥;-៣) , (១០;-៩)។
វី) 
ចម្លើយ៖ (២;-៣), (-១;-១), (-៤;០), (២;២), (-១;៣), (-៤;៥)។
លទ្ធផល។ តើការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនទាំងមូលមានន័យដូចម្តេច?
តើអ្នកដឹងពីវិធីអ្វីខ្លះសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនច្បាស់លាស់?
កម្មវិធី៖
លំហាត់សម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាល។
1) ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល។
| ក) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 − 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| គ) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| ឃ) 9x − 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x − 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x − 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = −2 + 7n, n Z |
| g) 19x − 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) ស្វែងរកចំនួនគត់ដែលមិនអវិជ្ជមានចំពោះសមីការ។
ក្នុងវគ្គគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៧ យើងជួបគ្នាជាលើកដំបូង សមីការដែលមានអថេរពីរប៉ុន្តែពួកគេត្រូវបានសិក្សាតែនៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានពីរមិនស្គាល់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលស៊េរីទាំងមូលនៃបញ្ហាដែលលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំនៅលើមេគុណនៃសមីការដែលកំណត់ពួកវាមិនអាចមើលឃើញ។ លើសពីនេះ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដូចជា "ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ ឬចំនួនគត់" ក៏ត្រូវបានគេមិនអើពើ ទោះបីជាបញ្ហាប្រភេទនេះត្រូវបានរកឃើញកាន់តែច្រើនឡើងៗនៅក្នុងឯកសារប្រឡងរដ្ឋ និងនៅក្នុងការប្រឡងចូលក៏ដោយ។
តើសមីការមួយណានឹងត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ?
ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ឬ xy = 12 គឺជាសមីការក្នុងអថេរពីរ។
ពិចារណាសមីការ 2x – y = 1 ។ វាក្លាយជាការពិតនៅពេលដែល x = 2 និង y = 3 ដូច្នេះគូនៃតម្លៃអថេរនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៅក្នុងសំណួរ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការណាមួយដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃគូលំដាប់ (x; y) តម្លៃនៃអថេរដែលបង្វែរសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខពិត។
សមីការដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរអាច៖
ក) មានដំណោះស្រាយមួយ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + 5y 2 = 0 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (0; 0);
ខ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ឧទាហរណ៍ (5 -|x|) 2 + (|y|–2) 2 = 0 មាន 4 ដំណោះស្រាយ៖ (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - ២);
វី) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + y 2 + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ;
ឆ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ឧទាហរណ៍ x + y = 3. ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះនឹងជាលេខដែលផលបូកស្មើនឹង 3 ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះអាចសរសេរជាទម្រង់ (k; 3 – k) ដែល k គឺពិតប្រាកដ។ ចំនួន។
វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរគឺវិធីសាស្ត្រផ្អែកលើកន្សោមកត្តា ញែកការេពេញលេញ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការការ៉េ កន្សោមមានកំណត់ និងវិធីសាស្ត្រប៉ាន់ស្មាន។ សមីការជាធម្មតាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់មួយដែលប្រព័ន្ធសម្រាប់ស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់អាចទទួលបាន។
ការបំបែកឯកតា
ឧទាហរណ៍ ១.
ដោះស្រាយសមីការ៖ xy − 2 = 2x – y ។
ដំណោះស្រាយ។
យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌសម្រាប់គោលបំណងនៃកត្តាកត្តា៖
(xy + y) – (2x + 2) = 0. ពីតង្កៀបនីមួយៗ យើងដកកត្តាទូទៅមួយ៖
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y − 2) = 0. យើងមាន៖
y = 2, x – ចំនួនពិតណាមួយ ឬ x = -1, y – ចំនួនពិតណាមួយ។
ដូច្នេះ ចម្លើយគឺជាគូទាំងអស់នៃទម្រង់ (x; 2), x € R និង (-1; y), y € R ។
សមភាពនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានដល់សូន្យ
ឧទាហរណ៍ ២.
ដោះស្រាយសមីការ៖ 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y) ។
ដំណោះស្រាយ។
ការដាក់ជាក្រុម៖
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. ឥឡូវតង្កៀបនីមួយៗអាចបត់បានដោយប្រើរូបមន្តភាពខុសគ្នាការ៉េ។
(3x − 2) 2 + (2y − 3) 2 = 0 ។
ផលបូកនៃកន្សោមមិនអវិជ្ជមានពីរគឺសូន្យលុះត្រាតែ 3x – 2 = 0 និង 2y – 3 = 0 ។
នេះមានន័យថា x = 2/3 និង y = 3/2 ។
ចម្លើយ៖ (២/៣; ៣/២) ។
វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មាន
ឧទាហរណ៍ ៣.
ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2 ។
ដំណោះស្រាយ។
នៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ យើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញមួយ៖
((x + 1) 2 + 1)((y − 2) 2 + 2) = 2. ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន 
អត្ថន័យនៃកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក។
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 និង (y − 2) 2 + 2 ≥ 2 បន្ទាប់មកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺតែងតែយ៉ាងហោចណាស់ 2 ។ សមភាពអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើ៖
(x + 1) 2 + 1 = 1 និង (y − 2) 2 + 2 = 2 ដែលមានន័យថា x = −1, y = 2 ។
ចម្លើយ៖ (-១; ២) ។
ចូរយើងស្គាល់វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរពីរនៃដឺក្រេទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តនេះមានការព្យាបាលសមីការ ការ៉េដោយគោរពតាមអថេរមួយចំនួន.
ឧទាហរណ៍ 4 ។
ដោះស្រាយសមីការ៖ x 2 − 6x + y − 4√y + 13 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរដោះស្រាយសមីការជាសមីការការ៉េសម្រាប់ x ។ តោះស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) ២. សមីការនឹងមានដំណោះស្រាយតែនៅពេល D = 0 នោះគឺប្រសិនបើ y = 4 ។ យើងជំនួសតម្លៃ y ទៅក្នុងសមីការដើម ហើយរកឃើញថា x = 3 ។
ចម្លើយ៖ (៣; ៤)។
ជាញឹកញាប់នៅក្នុងសមីការជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរដែលពួកគេចង្អុលបង្ហាញ ការរឹតបន្តឹងលើអថេរ.
ឧទាហរណ៍ 5 ។
ដោះស្រាយសមីការជាលេខទាំងមូល៖ x 2 + 5y 2 = 20x + 2 ។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 2 = −5y 2 + 20x + 2 ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការលទ្ធផលនៅពេលចែកនឹង 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 2 ។ ដូច្នេះ x 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ។ ប៉ុន្តែការេនៃ a លេខដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 1 ឬ 4 ។ ដូច្នេះសមភាពគឺមិនអាចទៅរួចទេហើយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។
ឧទាហរណ៍ ៦.
ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3 ។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរគូសបញ្ជាក់ការេពេញលេញនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ៖
((|x|– 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការតែងតែធំជាង ឬស្មើ 3 ។ សមភាពគឺអាចធ្វើទៅបាន |x| – 2 = 0 និង y + 3 = 0 ។ដូច្នេះ x = ± 2, y = −3 ។
ចម្លើយ៖ (២; -៣) និង (-២; -៣) ។
ឧទាហរណ៍ ៧.
សម្រាប់រាល់គូនៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (x;y) បំពេញសមីការ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33 គណនាផលបូក (x + y) ។ សូមបញ្ជាក់ចំនួនតិចបំផុតនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ៖
(x 2 − 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. ដោយសារ x និង y ជាចំនួនគត់ នោះការេរបស់ពួកគេក៏ជាចំនួនគត់ផងដែរ។ យើងទទួលបានផលបូកនៃការេនៃចំនួនគត់ពីរស្មើនឹង 37 ប្រសិនបើយើងបូក 1 + 36។ ដូច្នេះ៖
(x − y) 2 = 36 និង (y + 2) 2 = 1 
(x − y) 2 = 1 និង (y + 2) 2 = 36 ។
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនេះ ហើយពិចារណាថា x និង y ជាអវិជ្ជមាន យើងរកឃើញដំណោះស្រាយ៖ (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8) ។
ចម្លើយ៖ -១៧.
កុំអស់សង្ឃឹម ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយមិនស្គាល់ពីរ។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយ។
នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងអថេរពីរ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូបង្រៀន សូមចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!
គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
សមភាព f (x; y) = 0តំណាងឱ្យសមីការដែលមានអថេរពីរ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះគឺជាគូនៃតម្លៃអថេរដែលប្រែសមីការដែលមានអថេរពីរទៅជាសមភាពពិត។
ប្រសិនបើយើងមានសមីការជាមួយអថេរពីរ នោះតាមប្រពៃណី យើងត្រូវដាក់ x នៅក្នុងកន្លែងដំបូង និង y នៅកន្លែងទីពីរ។
ពិចារណាសមីការ x – 3y = 10. គូ (10; 0), (16; 2), (-2; -4) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលកំពុងពិចារណា ខណៈដែលគូ (1; 5) មិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ។
ដើម្បីស្វែងរកគូផ្សេងទៀតនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត - ឧទាហរណ៍ x ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ y ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ
x = 10 + 3y ។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃ x ដោយជ្រើសរើសតម្លៃបំពាននៃ y ។
ប្រសិនបើ y = 7 នោះ x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31 ។
ប្រសិនបើ y = −2 នោះ x = 10 + 3 ∙ (−2) = 10 − 6 = 4 ។
ដូច្នេះគូ (31; 7), (4; -2) ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។
ប្រសិនបើសមីការដែលមានអថេរពីរមានឫសដូចគ្នា នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។
សម្រាប់សមីការដែលមានអថេរពីរ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបំប្លែងសមមូលនៃសមីការមានសុពលភាព។
ពិចារណាក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ។
អនុញ្ញាតឱ្យសមីការដែលមានអថេរពីរ f(x; y) = 0 ដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វាអាចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ ដោយទទួលបានសំណុំជាក់លាក់នៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ។ សំណុំនៃចំនុចនេះនៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វនៃសមីការ f(x; y) = 0 ។
ដូច្នេះក្រាហ្វនៃសមីការ y – x 2 = 0 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2; ក្រាហ្វនៃសមីការ y – x = 0 គឺជាបន្ទាត់ត្រង់; ក្រាហ្វនៃសមីការ y – 3 = 0 គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ។ល។
សមីការនៃទម្រង់ ax + by = c ដែល x និង y ជាអថេរ ហើយ a, b និង c ជាលេខ ត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរ; លេខ a, b ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃអថេរ, c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។
ក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរ អ័ក្ស + ដោយ = គ គឺ៖
ចូរយើងគូរសមីការ 2x – 3y = −6 ។
1. ដោយសារតែ គ្មានមេគុណនៃអថេរណាមួយគឺសូន្យទេ បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃសមីការនេះនឹងជាបន្ទាត់ត្រង់។
2. ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់មួយ យើងត្រូវដឹងយ៉ាងហោចណាស់ពីរចំណុចរបស់វា។ ជំនួសតម្លៃ x ទៅក្នុងសមីការ ហើយទទួលបានតម្លៃ y និងច្រាសមកវិញ៖
ប្រសិនបើ x = 0 បន្ទាប់មក y = 2; (0 ∙ x − 3y = −6);
ប្រសិនបើ y = 0 នោះ x = −3; (2x − 3 ∙ 0 = −6)។ 
ដូច្នេះ យើងទទួលបានពីរចំណុចនៅលើក្រាហ្វ៖ (0; 2) និង (-3; 0) ។
3. ចូរគូរបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំនុចដែលទទួលបាន ហើយទទួលបានក្រាហ្វនៃសមីការ
2x − 3y = −6 ។
ប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរ ax + by = c មានទម្រង់ 0 ∙ x + 0 ∙ y = c នោះយើងត្រូវពិចារណាករណីពីរ៖
1. c = 0. ក្នុងករណីនេះ គូណាមួយ (x; y) បំពេញសមីការ ហេតុដូច្នេះហើយក្រាហ្វនៃសមីការគឺជាយន្តហោះកូអរដោនេទាំងមូល។
2. c ≠ 0. ក្នុងករណីនេះ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ ដែលមានន័យថាក្រាហ្វរបស់វាមិនមានចំណុចតែមួយទេ។
blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។