សមីការ - តើវាជាអ្វី? និយមន័យនៃពាក្យ, ឧទាហរណ៍។ ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរ។ ដំណោះស្រាយ, ឧទាហរណ៍។

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលមាន "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ច្រើន ... ")

សមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការលីនេអ៊ែរមិនមែនជាប្រធានបទពិបាកបំផុតក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាទេ។ ប៉ុន្តែ​មាន​ល្បិច​មួយ​ចំនួន​នៅ​ទីនោះ​ដែល​អាច​ផ្គុំ​បាន​សូម្បី​តែ​សិស្ស​ដែល​បាន​ហ្វឹកហាត់​ក៏​ដោយ។ តោះស្វែងយល់?)

ជាធម្មតាសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានកំណត់ជាសមីការនៃទម្រង់៖

ពូថៅ + ខ = 0 កន្លែងណា ក និង ខ- លេខណាមួយ។

2x + 7 = 0. នៅទីនេះ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 នៅទីនេះ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 នៅទីនេះ a=12, b=1/2

គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេមែនទេ? ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកមិនកត់សំគាល់ពាក្យ៖ "កន្លែងដែល a និង b ជាលេខណាមួយ"... ហើយប្រសិនបើអ្នកកត់សម្គាល់ហើយគិតអំពីវាដោយមិនដឹងខ្លួន?) បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើ a=0, b=0(លេខណាមួយអាចធ្វើទៅបាន?) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានការបញ្ចេញមតិគួរឱ្យអស់សំណើច៖

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់ទេ! ប្រសិនបើនិយាយថា a=0,ក b=5,នេះប្រែទៅជាអ្វីដែលមិនធម្មតាទាំងស្រុង៖

ដែល​រំខាន​និង​ធ្វើ​ឲ្យ​ខូច​ទំនុក​ចិត្ត​លើ​មុខ​វិជ្ជា​គណិត​វិទ្យា បាទ…) ជាពិសេស​ពេល​ប្រឡង។ ប៉ុន្តែចេញពីកន្សោមចម្លែកទាំងនេះ អ្នកក៏ត្រូវស្វែងរក X! ដែលមិនមានទាល់តែសោះ។ ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល X នេះងាយស្រួលរកណាស់។ យើងនឹងរៀនធ្វើវា។ នៅក្នុងមេរៀននេះ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់សមីការលីនេអ៊ែរដោយរូបរាងរបស់វា? វាអាស្រ័យលើរូបរាង។) ល្បិចគឺថាសមីការលីនេអ៊ែរមិនត្រឹមតែជាសមីការនៃទម្រង់ប៉ុណ្ណោះទេ ពូថៅ + ខ = 0 ប៉ុន្តែក៏មានសមីការណាមួយដែលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នេះដោយការបំប្លែង និងភាពសាមញ្ញ។ ហើយអ្នកណាដឹងថាតើវាធ្លាក់ចុះឬអត់?)

សមីការលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានទទួលស្គាល់យ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងករណីមួយចំនួន។ ឧបមាថាប្រសិនបើយើងមានសមីការដែលមានតែមិនស្គាល់ដល់ដឺក្រេទីមួយនិងលេខ។ ហើយនៅក្នុងសមីការមិនមានទេ។ ប្រភាគចែកដោយ មិនស្គាល់ , នេះសំខាន់! និងបែងចែកដោយ លេខឬប្រភាគជាលេខ - នោះជាការស្វាគមន៍! ឧទាហរណ៍៖

នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។ មានប្រភាគនៅទីនេះ ប៉ុន្តែមិនមាន x នៅក្នុងការេ គូប ។ល។ និងគ្មាន x នៅក្នុងភាគបែង ពោលគឺឧ។ ទេ ការបែងចែកដោយ x. ហើយនេះគឺជាសមីការ

មិនអាចហៅថាលីនេអ៊ែរបានទេ។ នៅទីនេះ X's គឺទាំងអស់នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 1 ប៉ុន្តែមាន ការបែងចែកដោយកន្សោមជាមួយ x. បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ និងការបំប្លែង អ្នកអាចទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរ សមីការការ៉េ ឬអ្វីដែលអ្នកចង់បាន។

វាប្រែថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញមួយចំនួនរហូតដល់អ្នកស្ទើរតែដោះស្រាយវា។ នេះជាការខកចិត្ត។ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​កិច្ចការ​ជា​ក្បួន គេ​មិន​សួរ​អំពី​ទម្រង់​នៃ​សមីការ​ទេ មែនទេ? កិច្ចការសួររកសមីការ សម្រេចចិត្ត។នេះធ្វើឱ្យខ្ញុំសប្បាយចិត្ត។ )

ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយទាំងមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែររួមមានការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទនៃសមីការ។ ដោយវិធីនេះ ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ (ពីរក្នុងចំណោមពួកគេ!) គឺជាមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ សមីការទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យា។និយាយម្យ៉ាងទៀតដំណោះស្រាយ ណាមួយ។សមីការចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការបំប្លែងទាំងនេះ។ ក្នុងករណីសមីការលីនេអ៊ែរ វា (ដំណោះស្រាយ) គឺផ្អែកលើការបំប្លែងទាំងនេះ ហើយបញ្ចប់ដោយចម្លើយពេញលេញ។ វាសមហេតុផលក្នុងការធ្វើតាមតំណ មែនទេ?) លើសពីនេះទៅទៀត វាក៏មានឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរនៅទីនោះផងដែរ។

ជាដំបូង សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ដោយគ្មានបញ្ហា។ ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការនេះ។

x − 3 = 2 − 4x

នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។ X's គឺទាំងអស់នៅក្នុងអំណាចដំបូង, មិនមានការបែងចែកដោយ X's ។ ប៉ុន្តែតាមពិត វាមិនមានបញ្ហាចំពោះយើងទេថាតើវាជាប្រភេទសមីការបែបណា។ យើងត្រូវដោះស្រាយវា។ គ្រោងការណ៍នៅទីនេះគឺសាមញ្ញ។ ប្រមូលអ្វីៗទាំងអស់ដោយ X នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយគ្មាន X (លេខ) នៅខាងស្តាំ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវផ្ទេរ - 4x ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៃសញ្ញា, ជាការពិតណាស់, និង - 3 - ទៅខាងស្តាំ។ ដោយវិធីនេះគឺ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាដំបូងនៃសមីការ។ភ្ញាក់ផ្អើល? នេះមានន័យថាអ្នកមិនបានធ្វើតាមតំណទេ ប៉ុន្តែឥតប្រយោជន៍...) យើងទទួលបាន៖

x + 4x = 2 + 3

ខាង​ក្រោម​នេះ​គឺ​ជា​រឿង​ស្រដៀង​គ្នា យើង​ពិចារណា៖

តើយើងត្រូវការអ្វីសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ? បាទ ដើម្បីឱ្យមាន X សុទ្ធនៅខាងឆ្វេង! ប្រាំគឺនៅតាមផ្លូវ។ កម្ចាត់ទាំងប្រាំដោយជំនួយ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាទីពីរនៃសមីការ។មានន័យថា យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 5។ យើងទទួលបានចម្លើយរួចរាល់៖

ជាការពិតណាស់ឧទាហរណ៍បឋម។ នេះគឺសម្រាប់ការឡើងកំដៅផែនដី។) វាមិនច្បាស់ទេថាហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំចងចាំការបំប្លែងដូចគ្នានៅទីនេះ? យល់ព្រម។ ចូរយើងយកគោដោយស្នែង។) ចូរយើងសម្រេចចិត្តអ្វីមួយកាន់តែរឹងមាំ។

ឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាសមីការ៖

តើយើងចាប់ផ្តើមនៅឯណា? ជាមួយ X - ទៅខាងឆ្វេងដោយគ្មាន X - ទៅខាងស្តាំ? វាអាចទៅរួច។ ជំហានតូចៗនៅតាមផ្លូវដ៏វែងមួយ។ ឬ​អ្នក​អាច​ធ្វើ​វា​ភ្លាមៗ​តាម​វិធី​សកល និង​មាន​ឥទ្ធិពល។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើអ្នកមានការបំប្លែងដូចគ្នានៃសមីការនៅក្នុងឃ្លាំងអាវុធរបស់អ្នក។

ខ្ញុំសួរអ្នកនូវសំណួរសំខាន់មួយ៖ តើអ្នកមិនចូលចិត្តអ្វីជាងគេអំពីសមីការនេះ?

95 ក្នុងចំណោម 100 នាក់នឹងឆ្លើយថា: ប្រភាគ ! ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ ចូរយើងកម្ចាត់ពួកគេ។ ដូច្នេះយើងចាប់ផ្តើមភ្លាមៗជាមួយ ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណទីពីរ. តើអ្នកត្រូវការអ្វីដើម្បីគុណប្រភាគនៅខាងឆ្វេងដោយ ដើម្បីឱ្យភាគបែងត្រូវបានកាត់បន្ថយទាំងស្រុង? នោះហើយជាសិទ្ធិនៅ 3. ហើយនៅខាងស្ដាំ? ដោយ 4. ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងគុណទាំងពីរដោយ លេខដូចគ្នា។. តើយើងអាចចេញដោយរបៀបណា? តោះគុណទាំងសងខាងដោយ 12! ទាំងនោះ។ ទៅភាគបែងរួម។ បន្ទាប់មកទាំងបីនិងបួននឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ កុំភ្លេចថាអ្នកត្រូវគុណផ្នែកនីមួយៗ ទាំងស្រុង. នេះជាអ្វីដែលជំហានដំបូងមើលទៅ៖

ការពង្រីកតង្កៀប៖

យកចិត្តទុកដាក់! លេខរៀង (x+2)ខ្ញុំដាក់វានៅក្នុងតង្កៀប! នេះគឺដោយសារតែនៅពេលគុណប្រភាគ ភាគយកទាំងមូលត្រូវបានគុណ! ឥឡូវអ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

ពង្រីកតង្កៀបដែលនៅសល់៖

មិន​មែន​ជា​ឧទាហរណ៍​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ការ​សប្បាយ​ចិត្ត​ដ៏​បរិសុទ្ធ!) ឥឡូវ​សូម​ចងចាំ​អក្ខរាវិរុទ្ធ​ពី​សាលា​បឋមសិក្សា៖ ជាមួយ X - ទៅខាងឆ្វេងដោយគ្មាន X - ទៅខាងស្តាំ!ហើយអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនេះ៖

នេះ​ជា​ការ​ស្រដៀង​គ្នា​មួយ​ចំនួន៖

ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ 25, i.e. អនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទីពីរម្តងទៀត៖

នោះហើយជាវា។ ចម្លើយ៖ X=0,16

សូមចំណាំ៖ ដើម្បីនាំយកសមីការច្រឡំដើមទៅជាទម្រង់ដ៏ល្អ យើងបានប្រើពីរ (គ្រាន់តែពីរ!) ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ- ការបកប្រែឆ្វេងស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា និងគុណ-ចែកសមីការដោយចំនួនដូចគ្នា។ នេះជាវិធីសាស្រ្តសកល! យើងនឹងធ្វើការតាមរបៀបនេះជាមួយ ណាមួយ។ សមីការ! ពិត​ជា​នរណា​ម្នាក់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំធុញទ្រាន់នឹងការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នានេះគ្រប់ពេលវេលា។ )

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរគឺសាមញ្ញ។ យើង​យក​សមីការ​ហើយ​សម្រួល​វា​ដោយ​ប្រើ​ការ​បំប្លែង​ដូចគ្នា​រហូត​ដល់​យើង​ទទួល​បាន​ចម្លើយ។ បញ្ហាចម្បងនៅទីនេះគឺនៅក្នុងការគណនាមិនមែននៅក្នុងគោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយនោះទេ។

ប៉ុន្តែ... មានការភ្ញាក់ផ្អើលបែបនេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរបឋមបំផុត ដែលពួកគេអាចជំរុញអ្នកឱ្យចូលទៅក្នុងភាពស្រឡាំងកាំងខ្លាំង...) ជាសំណាងល្អ អាចមានការភ្ញាក់ផ្អើលបែបនេះតែពីរប៉ុណ្ណោះ។ ចូរហៅពួកគេថាករណីពិសេស។

ករណីពិសេសក្នុងការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។

ការភ្ញាក់ផ្អើលដំបូង។

ឧបមាថាអ្នកជួបសមីការជាមូលដ្ឋាន អ្វីមួយដូចជា៖

2x+3=5x+5 − 3x − 2

ធុញបន្តិច យើងរំកិលវាដោយអក្សរ X ទៅឆ្វេង ដោយគ្មាន X ទៅស្តាំ... ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អឥតខ្ចោះ... យើងទទួលបាន៖

2x-5x+3x=5-2-3

យើងរាប់ហើយ... អូយ!!! យើងទទួលបាន៖

សមភាពនេះនៅក្នុងខ្លួនវាមិនត្រូវបានគេជំទាស់ទេ។ សូន្យពិតជាសូន្យ។ តែ X បាត់! ហើយយើងត្រូវសរសេរក្នុងចម្លើយ តើ x ស្មើនឹងអ្វី?បើមិនដូច្នេះទេ ដំណោះស្រាយមិនរាប់ទេ ត្រូវ…) Deadlock?

ស្ងប់ស្ងាត់! ក្នុងករណីគួរឱ្យសង្ស័យបែបនេះ ច្បាប់ទូទៅបំផុតនឹងជួយសង្រ្គោះអ្នក។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ? តើការដោះស្រាយសមីការមានន័យដូចម្តេច? នេះមានន័យថា ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ x ដែលនៅពេលជំនួសទៅក្នុងសមីការដើមនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមភាពត្រឹមត្រូវ។

ប៉ុន្តែយើងមានសមភាពពិតប្រាកដ រួចហើយវាដំណើរការ! 0=0 តើ​ត្រឹមត្រូវ​ជាង​ប៉ុន្មាន?! វានៅសល់ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើ x នេះកើតឡើងអ្វី។ តើតម្លៃរបស់ X អាចត្រូវបានជំនួសដោយអ្វី ដើមសមីការប្រសិនបើ x ទាំងនេះ តើពួកគេនឹងនៅតែត្រូវបានកាត់បន្ថយដល់សូន្យទេ?មក?)

បាទ!!! X អាចត្រូវបានជំនួស ណាមួយ!តើអ្នកចង់បានមួយណា? យ៉ាងហោចណាស់ 5 យ៉ាងហោចណាស់ 0.05 យ៉ាងហោចណាស់ -220 ។ ពួកគេនឹងនៅតែធ្លាក់ចុះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនជឿខ្ញុំ អ្នកអាចពិនិត្យមើលវាបាន។) ជំនួសតម្លៃណាមួយនៃ X ទៅក្នុង ដើមសមីការនិងគណនា។ គ្រប់ពេលវេលា អ្នកនឹងទទួលបានការពិតដ៏បរិសុទ្ធ៖ 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ជាដើម។

នេះជាចម្លើយរបស់អ្នក៖ x - លេខណាមួយ។

ចម្លើយអាចត្រូវបានសរសេរជានិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាផ្សេងៗគ្នា ខ្លឹមសារមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ និងពេញលេញ។

ការភ្ញាក់ផ្អើលទីពីរ។

ចូរយកសមីការលីនេអ៊ែរបឋមដូចគ្នា ហើយប្តូរលេខតែមួយនៅក្នុងវា។ នេះជាអ្វីដែលយើងនឹងសម្រេចចិត្ត៖

2x+1=5x+5 − 3x − 2

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ យើងទទួលបានអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍៖

ដូចនេះ។ យើងបានដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយទទួលបានសមភាពចម្លែកមួយ។ នៅក្នុងន័យគណិតវិទ្យាយើងទទួលបាន សមភាពមិនពិត។ប៉ុន្តែ​ក្នុង​ន័យ​សាមញ្ញ នេះ​មិន​ពិត​ទេ។ រ៉ាវ។ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងនេះក្តី ការមិនសមហេតុសមផលនេះគឺជាហេតុផលដ៏ល្អសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។)

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងគិតដោយផ្អែកលើច្បាប់ទូទៅ។ អ្វី​ដែល x នៅ​ពេល​ជំនួស​ទៅ​ក្នុង​សមីការ​ដើម នឹង​ផ្តល់​ឱ្យ​យើង ពិតសមភាព? បាទ គ្មាន! មិនមាន X បែបនេះទេ។ មិនថាអ្នកដាក់បញ្ចូលអ្វីទេ អ្វីៗនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ មានតែរឿងមិនសមហេតុសមផលនឹងនៅដដែល)។

នេះជាចម្លើយរបស់អ្នក៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

នេះក៏ជាចម្លើយពេញលេញផងដែរ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចម្លើយបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់។

ដូចនេះ។ ឥឡូវនេះខ្ញុំសង្ឃឹមថាការបាត់ខ្លួនរបស់ X ក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការណាមួយ (មិនមែនគ្រាន់តែជាលីនេអ៊ែរ) នឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកយល់ច្រឡំទាល់តែសោះ។ នេះ​ជា​បញ្ហា​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​រួច​ទៅ​ហើយ។)

ឥឡូវនេះ យើងបានដោះស្រាយរាល់បញ្ហានៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ វាសមហេតុផលក្នុងការដោះស្រាយពួកគេ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

សមីការ​គឺ​ជា​កន្សោម​គណិតវិទ្យា​ដែល​ជា​សមភាព​មួយ​និង​មាន​ការ​មិន​ស្គាល់។ ប្រសិនបើសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់តម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអ្វីដែលមិនស្គាល់រួមបញ្ចូលនៅក្នុងវានោះវាត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ; ឧទាហរណ៍៖ ទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់ (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) រក្សាទុកសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។

ប្រសិនបើសមីការដែលមាន x មិនស្គាល់មានសម្រាប់តែតម្លៃជាក់លាក់នៃ x និងមិនមែនសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ដូចជានៅក្នុងករណីនៃអត្តសញ្ញាណ នោះវាអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងការកំណត់តម្លៃទាំងនោះនៃ x ដែល សមីការគឺត្រឹមត្រូវ។ តម្លៃបែបនេះនៃ x ត្រូវបានគេហៅថាឫសឬដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ ឧទាហរណ៍ លេខ 5 គឺជាឫសនៃសមីការ 2x + 7 = 17 ។

នៅក្នុងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលហៅថា ទ្រឹស្តីសមីការ មុខវិជ្ជាសំខាន់នៃការសិក្សាគឺវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា ការយកចិត្តទុកដាក់ជាច្រើនត្រូវបានបង់ចំពោះសមីការ។

ប្រវត្តិនៃការសិក្សាសមីការបានត្រលប់មកវិញជាច្រើនសតវត្ស។ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញបំផុតដែលបានរួមចំណែកក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីសមីការគឺ៖

Archimedes (គ.ស.២៨៧-២១២ មុនគ.ស) គឺជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ គណិតវិទូ និងមេកានិច។ ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាបញ្ហាដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការគូប Archimedes បានរកឃើញតួនាទីនៃលក្ខណៈដែលក្រោយមកត្រូវបានគេហៅថាអ្នករើសអើង។

Francois Viet រស់នៅក្នុងសតវត្សទី 16 ។ គាត់បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហាផ្សេងៗក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាពិសេស គាត់បានណែនាំអំពីការរចនាអក្សរសម្រាប់មេគុណនៃសមីការ និងបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការការ៉េ។

Leonhard Euler (១៧០៧-១៧៨៣) - គណិតវិទូ មេកានិច រូបវិទ្យា និងតារាវិទូ។ អ្នកនិពន្ធ St. 800 ធ្វើការលើការវិភាគគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីលេខ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល មេកានិចសេឡេស្ទាល គណិតវិទ្យា អុបទិក បាល់ទិក ការសាងសង់កប៉ាល់ ទ្រឹស្ដីតន្ត្រី។ល។ គាត់មានឥទ្ធិពលយ៉ាងសំខាន់លើការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ។ គាត់ទទួលបានរូបមន្ត (រូបមន្តអយល័រ) ដែលបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអថេរ x តាមរយៈអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813) គណិតវិទូ និងមេកានិចជនជាតិបារាំង។ គាត់បានអនុវត្តការស្រាវជ្រាវដ៏ឆ្នើម រួមទាំងការស្រាវជ្រាវលើពិជគណិត (មុខងារស៊ីមេទ្រីនៃឫសនៃសមីការ លើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ទ្រឹស្តីនៃដំណោះស្រាយឯកវចនៈ វិធីសាស្ត្រនៃការប្រែប្រួលនៃថេរ)។

J. Lagrange និង A. Vandermonde គឺជាគណិតវិទូជនជាតិបារាំង។ នៅឆ្នាំ 1771 វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (វិធីសាស្រ្តជំនួស) ត្រូវបានគេប្រើជាលើកដំបូង។

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់។ គាត់បានសរសេរសៀវភៅមួយដែលបង្ហាញពីទ្រឹស្តីនៃសមីការសម្រាប់ការបែងចែករង្វង់មួយ (ឧទាហរណ៍សមីការ xn - 1 = 0) ដែលតាមវិធីជាច្រើនគឺជាគំរូដើមនៃទ្រឹស្តី Galois ។ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះគាត់បានបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងពួកវានិងការសាងសង់ពហុកោណធម្មតា។ ជាលើកដំបូងចាប់តាំងពីអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណគាត់បានបោះជំហានទៅមុខយ៉ាងសំខាន់ក្នុងបញ្ហានេះ ពោលគឺគាត់បានរកឃើញតម្លៃទាំងអស់នៃ n ដែល n-gon ធម្មតាអាចត្រូវបានសាងសង់ដោយត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់។ ខ្ញុំបានសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែម។ ខ្ញុំបានសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធនៃសមីការអាចត្រូវបានបន្ថែម បែងចែក និងគុណ។

O. I. Somov - ពង្រឹងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងស្នាដៃសំខាន់ៗ និងជាច្រើន ក្នុងចំណោមនោះ ទ្រឹស្តីនៃសមីការពិជគណិតមួយចំនួននៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។

Galois Evariste (1811-1832) - គណិតវិទូជនជាតិបារាំង។ គុណសម្បត្តិចម្បងរបស់គាត់គឺការបង្កើតសំណុំនៃគំនិតដែលគាត់បានមកទាក់ទងនឹងការបន្តនៃការស្រាវជ្រាវលើការរលាយនៃសមីការពិជគណិតដែលចាប់ផ្តើមដោយ J. Lagrange, N. Abel និងអ្នកដទៃ ហើយបានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃសមីការពិជគណិតនៃ សញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងដោយមិនស្គាល់មួយ។

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - ការងាររបស់គាត់រួមបញ្ចូលគ្នានូវវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តវិភាគនៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ ស្នាដៃរបស់គាត់ក៏មានផលប៉ះពាល់យ៉ាងសំខាន់ទៅលើទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរផងដែរ។

P. Ruffini - គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី។ គាត់បានលះបង់ការងារមួយចំនួនដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនអាចដោះស្រាយបាននៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 5 ដោយប្រើភាពបិទជិតនៃសំណុំជំនួស។

ទោះបីជាការពិតដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានសិក្សាសមីការអស់រយៈពេលជាយូរក៏ដោយ ក៏វិទ្យាសាស្ត្រមិនដឹងពីរបៀប និងពេលណាដែលមនុស្សត្រូវការប្រើសមីការ។ គេគ្រាន់តែដឹងថាមនុស្សបានដោះស្រាយបញ្ហាដែលនាំទៅរកដំណោះស្រាយនៃសមីការសាមញ្ញបំផុតចាប់តាំងពីពេលដែលពួកគេក្លាយជាមនុស្ស។ មួយទៀត 3 - 4 ពាន់ឆ្នាំមុនគ។ អ៊ី ជនជាតិអេស៊ីប និងបាប៊ីឡូនបានដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ។ ក្បួនដោះស្រាយសមីការទាំងនេះស្របគ្នានឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើពួកគេទៅដល់ទីនោះដោយរបៀបណានោះទេ។

នៅប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ និងបាប៊ីឡូន វិធីសាស្ត្រទីតាំងមិនពិតត្រូវបានប្រើប្រាស់។ សមីការនៃដឺក្រេទី 1 ជាមួយមិនស្គាល់មួយតែងតែអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax + b = c ដែលក្នុងនោះ a, b, c គឺជាចំនួនគត់។ យោងតាមច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ax = c − b,

ប្រសិនបើ b > c នោះ c b គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន។ លេខអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានស្គាល់សម្រាប់ប្រជាជនអេហ្ស៊ីប និងប្រជាជនក្រោយៗទៀតជាច្រើន (ពួកគេបានចាប់ផ្តើមប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាដោយជើងស្មើគ្នាជាមួយនឹងលេខវិជ្ជមានតែនៅក្នុងសតវត្សទីដប់ប្រាំពីរប៉ុណ្ណោះ)។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ វិធីសាស្ត្រទីតាំងមិនពិតត្រូវបានបង្កើត។ នៅក្នុងក្រដាស Ahmes បញ្ហា 15 ត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រនេះ។ ជនជាតិអេហ្ស៊ីបមានសញ្ញាពិសេសមួយសម្រាប់លេខមិនស្គាល់ ដែលរហូតមកដល់ពេលថ្មីៗនេះត្រូវបានអានថា "របៀប" និងបកប្រែថា "ហ៊ាប" ("ហ៊ាប" ឬ "ចំនួនមិនស្គាល់" នៃគ្រឿង)។ ឥឡូវ​នេះ​ពួក​គេ​អាន​តិច​តួច​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ៖ “បាទ”។ វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយដែល Ahmes ប្រើត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃទីតាំងមិនពិតមួយ។ ដោយប្រើវិធីនេះ សមីការនៃទម្រង់ ax = b ត្រូវបានដោះស្រាយ។ វិធីសាស្រ្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបែងចែកផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការដោយ a. វាត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយទាំងជនជាតិអេស៊ីប និងបាប៊ីឡូន។ មនុស្សផ្សេងគ្នាបានប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមុខតំណែងមិនពិតពីរ។ ជនជាតិអារ៉ាប់បានធ្វើយន្តការនេះ ហើយទទួលបានទម្រង់បែបបទដែលវាត្រូវបានផ្ទេរទៅសៀវភៅសិក្សារបស់ប្រជាជនអឺរ៉ុប រួមទាំងនព្វន្ធរបស់ Magnitsky ផងដែរ។ Magnitsky ហៅដំណោះស្រាយថាជា "ច្បាប់មិនពិត" ហើយសរសេរនៅក្នុងផ្នែកនៃសៀវភៅរបស់គាត់ដែលរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តនេះ:

ផ្នែកនេះគឺមានល្បិចខ្លាំងណាស់, ដោយសារតែអ្នកអាចដាក់អ្វីគ្រប់យ៉ាងជាមួយវា។ មិនត្រឹមតែអ្វីដែលមាននៅក្នុងភាពជាពលរដ្ឋប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់ក្នុងលំហរផងដែរ ដែលត្រូវបានចុះបញ្ជីក្នុងលំហស្ថានសួគ៌ ដូចដែលអ្នកប្រាជ្ញមានតម្រូវការ។

ខ្លឹមសារនៃកំណាព្យរបស់ Magnitsky អាចត្រូវបានសង្ខេបដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោម: ផ្នែកនព្វន្ធនេះគឺពិបាកណាស់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចគណនាមិនត្រឹមតែអ្វីដែលត្រូវការក្នុងការអនុវត្តប្រចាំថ្ងៃប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏អាចដោះស្រាយសំណួរ "ខ្ពស់ជាង" ដែលប្រឈមមុខនឹង "ប្រាជ្ញា" ផងដែរ។ Magnitsky ប្រើ "ច្បាប់មិនពិត" ក្នុងទម្រង់ដែលជនជាតិអារ៉ាប់បានផ្តល់ឱ្យវាដោយហៅវាថា "នព្វន្ធនៃកំហុសពីរ" ឬ "វិធីសាស្រ្តនៃមាត្រដ្ឋាន" ។ គណិតវិទូឥណ្ឌាជារឿយៗបានផ្តល់បញ្ហានៅក្នុងខ។ បញ្ហាផ្កាឈូក៖

នៅពីលើបឹងដ៏ស្ងប់ស្ងាត់ ពាក់កណ្តាលរង្វាស់ពីលើទឹក ឃើញផ្កាឈូកពណ៌។ គាត់ធំឡើងតែម្នាក់ឯង ហើយខ្យល់ដូចជារលកបានបត់គាត់ទៅម្ខាង ហើយលែងមានទៀត។

ផ្កានៅលើទឹក។ ភ្នែកអ្នកនេសាទបានរកឃើញគាត់ពីរម៉ែត្រពីកន្លែងដែលគាត់ធំឡើង។ តើទឹកបឹងនៅទីនេះមានជម្រៅប៉ុន្មាន? ខ្ញុំនឹងសួរអ្នកនូវសំណួរមួយ។

ប្រភេទនៃសមីការ

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ ax + b = 0 ដែល a និង b ជាចំនួនថេរមួយចំនួន។ ប្រសិនបើ a មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការមានឫសតែមួយ៖ x = − b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.)។

ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ៖ 4x + 12 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ចាប់តាំងពី a = 4, និង b = 12, បន្ទាប់មក x = − 12: 4; x = − ៣.

ពិនិត្យ៖ 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0 ។

ចាប់តាំងពី 0 = 0 បន្ទាប់មក -3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ។ x = −3

ប្រសិនបើ a ស្មើសូន្យ ហើយ b ស្មើសូន្យ នោះឫសនៃសមីការ ax + b = 0 គឺជាលេខណាមួយ។

ឧទាហរណ៍៖

0 = 0. ដោយសារ 0 ស្មើនឹង 0 នោះឫសនៃសមីការ 0x + 0 = 0 គឺជាលេខណាមួយ។

ប្រសិនបើ a ស្មើសូន្យ ហើយ b មិនស្មើសូន្យ នោះសមីការ ax + b = 0 គ្មានឫសទេ។

ឧទាហរណ៍៖

0 = 6. ដោយសារ 0 មិនស្មើនឹង 6 នោះ 0x – 6 = 0 គ្មានឫសទេ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធដែលសមីការទាំងអស់មានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធមានន័យថាស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា។

មុននឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ អ្នកអាចកំណត់ចំនួនដំណោះស្រាយរបស់វា។

ឲ្យប្រព័ន្ធសមីការ៖ (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

ប្រសិនបើ a1 ចែកនឹង a2 មិនស្មើនឹង b1 ចែកនឹង b2 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ប្រសិនបើ a1 ចែកនឹង a2 ស្មើនឹង b1 ចែកនឹង b2 ប៉ុន្តែស្មើនឹង c1 ចែកនឹង c2 នោះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ a1 ចែកនឹង a2 ស្មើនឹង b1 ចែកនឹង b2 ហើយស្មើនឹង c1 ចែកនឹង c2 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគេហៅថាដំណាលគ្នា។

ប្រព័ន្ធដែលជាប់លាប់ត្រូវបានគេហៅថាច្បាស់លាស់ប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់នៃដំណោះស្រាយ ហើយមិនកំណត់ប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់វាគ្មានកំណត់។

ប្រព័ន្ធដែលមិនមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាឬផ្ទុយ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ៖

1) វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើស។ នេះជាវិធីសាមញ្ញបំផុត។ វាមាននៅក្នុងការជ្រើសតម្លៃត្រឹមត្រូវទាំងអស់នៃមិនស្គាល់ដោយការរាប់បញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ចូរ x = 1. បន្ទាប់មក

4 = 6. ដោយសារ 4 មិនស្មើនឹង 6 ដូច្នេះការសន្មត់របស់យើងថា x = 1 គឺមិនត្រឹមត្រូវទេ។

ឱ្យ x = 2 ។

6 = 6. ដោយសារ 6 ស្មើនឹង 6 ដូច្នេះការសន្មត់របស់យើងថា x = 2 គឺត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ x = ២.

2) វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ

វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការផ្ទេរពាក្យទាំងអស់ដែលមានភាពមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយអ្នកដែលស្គាល់ទៅខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ នាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា និងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍៖

ដោះស្រាយសមីការ។

5x − 4 = 11 + 2x;

5x − 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5 ។

ចម្លើយ។ x = ៥.

3) វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។

វាមាននៅក្នុងការសាងសង់ក្រាហ្វនៃមុខងារនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ y = 0 ក្រាហ្វនឹងស្របទៅនឹងការចាត់តាំង។ ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស x នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ឧទាហរណ៍៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ចូរ y = 7. បន្ទាប់មក y = 2x + 3 ។

ចូរយើងធ្វើផែនការមុខងារនៃសមីការទាំងពីរ៖

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

នៅថ្នាក់ទីប្រាំពីរ ពួកគេសិក្សាវិធីបីយ៉ាងដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

1) វិធីសាស្រ្តជំនួស។

វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការបង្ហាញមួយដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមួយផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការមួយ។ កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀត ដែលបន្ទាប់មកប្រែទៅជាសមីការមួយដែលមានមិនស្គាល់មួយ ហើយបន្ទាប់មកវាត្រូវបានដោះស្រាយ។ តម្លៃលទ្ធផលនៃមិនស្គាល់នេះត្រូវបានជំនួសដោយសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដើម ហើយតម្លៃនៃមិនស្គាល់ទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

5x − 2y − 2 = 1 ។

3x + y = 4; y = 4 − 3x ។

ចូរជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការមួយផ្សេងទៀត៖

5x – 2 (4 – 3x) -2 = 1;

5x − 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1 .

ចូរជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការ 3x + y = 4 ។

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 − 3; y = 1 ។

ការប្រឡង។

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

ចម្លើយ៖ x = 1; y = 1 ។

2) វិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែម។

វិធីសាស្រ្តនេះគឺថាប្រសិនបើប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសមីការដែលនៅពេលដែលបានបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យបង្កើតសមីការជាមួយមួយដែលមិនស្គាល់បន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយសមីការនេះយើងនឹងទទួលបានតម្លៃនៃមិនស្គាល់មួយ។ តម្លៃលទ្ធផលនៃមិនស្គាល់នេះត្រូវបានជំនួសដោយសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដើម ហើយតម្លៃនៃមិនស្គាល់ទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

/3у – 2х = 5,

5x − 3y = 4 ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល។

3x = 9; : (3) x = 3 ។

ចូរជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការ 3y – 2x = 5 ។

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3 ។

ដូច្នេះ x = 3; y = 3 2/3 ។

ការប្រឡង។

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

ចម្លើយ។ x = 3; y = 3 2/3

3) វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការពិតដែលថាសមីការត្រូវបានគ្រោងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃសមីការប្រសព្វគ្នា នោះកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃសមីការគឺជាបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល នោះប្រព័ន្ធនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃសមីការបញ្ចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

18x + 3y − 1 = 8 ។

2x − y = 5; 18x + 3y − 1 = 8;

Y = 5 − 2x; 3y = 9 − 18x; : (3) y = 2x − 5. y = 3 − 6x ។

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2x − 5 និង y = 3 – 6x នៅលើប្រព័ន្ធកូអរដោណេដូចគ្នា។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2x − 5 និង y = 3 − 6x ប្រសព្វត្រង់ចំនុច A (1; −3) ។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះនឹងមាន x = 1 និង y = −3 ។

ការប្រឡង។

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (−3) − 1 = 8 ។

18 - 9 – 1 = 8;

ចម្លើយ។ x = 1; y = −3 ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ដោយផ្អែកលើអ្វីទាំងអស់ខាងលើ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការគឺចាំបាច់នៅក្នុងពិភពសម័យទំនើប មិនត្រឹមតែសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាឧបករណ៍វិទ្យាសាស្ត្រផងដែរ។ ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​ជា​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ជា​ច្រើន​បាន​សិក្សា​ពី​បញ្ហា​នេះ ហើយ​បន្ត​សិក្សា​វា​ទៀត។

តាមក្បួនមួយ សមីការលេចឡើងនៅក្នុងបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកបរិមាណជាក់លាក់។ សមីការអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតបញ្ហាជាភាសាពិជគណិត។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការ យើងទទួលបានតម្លៃនៃបរិមាណដែលចង់បាន ដែលត្រូវបានគេហៅថាមិនស្គាល់។ Andrey មានលុយជាច្រើននៅក្នុងកាបូបរបស់គាត់។ ប្រសិនបើអ្នកគុណលេខនេះដោយ 2 ហើយបន្ទាប់មកដក 5 អ្នកនឹងទទួលបាន 10 ។ តើ Andrey មានលុយប៉ុន្មាន? ចូរកំណត់ចំនួនលុយដែលមិនស្គាល់ជា x ហើយសរសេរសមីការ៖ 2x-5=10 ។

ដើម្បីនិយាយអំពី វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការជាដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន ហើយស្គាល់ច្បាស់ជាមួយនឹងសញ្ញាណដែលទទួលយកជាទូទៅ។ សម្រាប់ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃសមីការ មានក្បួនដោះស្រាយផ្សេងគ្នាសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយសមីការគឺកម្រិតទីមួយដោយមិនស្គាល់មួយ។ មនុស្សជាច្រើនស្គាល់រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េពីសាលា។ បច្ចេកទេសនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់នឹងជួយអ្នកដោះស្រាយសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ សំណុំនៃលេខដែលសមីការត្រូវបានកំណត់គឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងដំណោះស្រាយរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងរវាងសមីការ និងក្រាហ្វមុខងារក៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ ចាប់តាំងពីការតំណាងឱ្យសមីការតាមក្រាហ្វិកគឺជាជំនួយដ៏ល្អក្នុងការដោះស្រាយពួកគេ។

ការពិពណ៌នា. សមីការគឺជាសមភាពគណិតវិទ្យាដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់មួយ ឬច្រើន ឧទាហរណ៍ 2x+3y=0។

កន្សោមទាំងសងខាងនៃសញ្ញាស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ. អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំងបង្ហាញពីមិនស្គាល់។ ទោះបីជាអាចមានចំនួនមិនស្គាល់ក៏ដោយ ខាងក្រោមយើងនឹងនិយាយអំពីសមីការដែលមានមិនស្គាល់មួយ ដែលយើងនឹងកំណត់ដោយ x ។

ដឺក្រេនៃសមីការគឺជាថាមពលអតិបរិមាដែលមិនស្គាល់អាចត្រូវបានលើកឡើង។ ឧ.
$3x^4+6x-1=0$ គឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីបួន $x-4x^2+6x=8$ គឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។

លេខដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានគុណត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ. នៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ថាមពលទីបួនដែលមិនស្គាល់មានមេគុណ 3 ។ ប្រសិនបើនៅពេលជំនួស x ជាមួយលេខនេះ សមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពេញចិត្ត នោះលេខនេះត្រូវបានគេនិយាយថាបំពេញសមីការ។ វាត្រូវបានគេហៅថា ការដោះស្រាយសមីការឬឫសរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ 3 គឺជាឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការ 2x+8=14 ចាប់តាំងពី 2*3+8=6+8=14។

ការដោះស្រាយសមីការ. ឧបមាថាយើងចង់ដោះស្រាយសមីការ 2x+5=11។

អ្នកអាចជំនួសតម្លៃ x មួយចំនួនទៅក្នុងវា ឧទាហរណ៍ x=2 ។ ជំនួស x ជាមួយ 2 ហើយទទួលបាន: 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9 ។

មានអ្វីខុសនៅទីនេះ ព្រោះនៅខាងស្តាំនៃសមីការ យើងគួរតែទទួលបាន 11។ តោះសាកល្បង x=3: 2*3+5=6+5=11។

ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។ វាប្រែថាប្រសិនបើមិនស្គាល់យកតម្លៃ 3 បន្ទាប់មក សមភាពគឺពេញចិត្ត. ដូច្នេះ​ហើយ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​លេខ 3 ជា​ដំណោះស្រាយ​សម្រាប់​សមីការ។

វិធីសាស្រ្តដែលយើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើស. ជាក់ស្តែងវាមិនស្រួលក្នុងការប្រើប្រាស់។ ជាងនេះទៅទៀត វាមិនអាចហៅថាជាវិធីសាស្រ្តបានទេ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់វាគ្រាន់តែព្យាយាមអនុវត្តវាទៅសមីការនៃទម្រង់ $x^4-5x^2+16=2365$ ។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ. មានអ្វីដែលគេហៅថា "ច្បាប់នៃហ្គេម" ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នក។ គោលដៅរបស់យើងគឺដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលបំពេញសមីការ។ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវកំណត់អត្តសញ្ញាណមិនស្គាល់តាមមធ្យោបាយណាមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរលក្ខខណ្ឌនៃសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត។ ច្បាប់ទីមួយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគឺ...

1. នៅពេលផ្លាស់ទីសមាជិកនៃសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត សញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ៖ បូកការផ្លាស់ប្តូរទៅជាដក និងច្រាសមកវិញ។ ពិចារណាជាឧទាហរណ៍សមីការ 2x + 5 = 11 ។ ចូរផ្លាស់ទី 5 ពីខាងឆ្វេងទៅខាងស្តាំ: 2x = 11-5 ។ សមីការនឹងក្លាយជា 2x=6 ។

ចូរយើងបន្តទៅច្បាប់ទីពីរ។
2. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានគុណ និងបែងចែកដោយចំនួនដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ។ ចូរអនុវត្តច្បាប់នេះចំពោះសមីការរបស់យើង៖ $x=\frac62=3$ ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព មានតែ x ដែលមិនស្គាល់នៅសេសសល់ ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញតម្លៃរបស់វា ហើយដោះស្រាយសមីការ។

យើងទើបតែបានមើលបញ្ហាសាមញ្ញបំផុត - សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់មួយ។. សមីការនៃប្រភេទនេះតែងតែមានដំណោះស្រាយ លើសពីនេះ ពួកវាតែងតែអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើប្រតិបត្តិការសាមញ្ញបំផុត៖ បូក ដក គុណ និងចែក។ Alas, មិនមែនសមីការទាំងអស់គឺសាមញ្ញដូច្នេះ។ លើសពីនេះទៅទៀតកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញរបស់ពួកគេកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាឧទាហរណ៍ សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយដោយសិស្សវិទ្យាល័យណាមួយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ឬសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងត្រូវបានសិក្សាតែនៅក្នុងវិទ្យាល័យប៉ុណ្ណោះ។

នៅក្នុងវីដេអូនេះ យើងនឹងវិភាគសំណុំសមីការលីនេអ៊ែរទាំងមូលដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកវាត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញបំផុត។

ដំបូង​យើង​កំណត់៖ អ្វី​ទៅ​ជា​សមីការ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​មួយ​ណា​ហៅ​ថា​សាមញ្ញ​បំផុត?

សមីការ​លីនេអ៊ែរ​គឺ​ជា​មួយ​ក្នុង​នោះ​មាន​អថេរ​តែ​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ ហើយ​ត្រឹម​ដឺក្រេ​ទី​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ។

សមីការសាមញ្ញបំផុតមានន័យថាការសាងសង់៖

សមីការលីនេអ៊ែរផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញបំផុតដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ៖

1. ពង្រីកវង់ក្រចក ប្រសិនបើមាន;
2. ផ្លាស់ទីពាក្យដែលមានអថេរទៅម្ខាងនៃសញ្ញាស្មើគ្នា និងពាក្យដោយគ្មានអថេរទៅម្ខាងទៀត។
3. ផ្តល់ពាក្យស្រដៀងគ្នាទៅខាងឆ្វេងនិងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា;
4. ចែកសមីការលទ្ធផលដោយមេគុណនៃអថេរ $x$ ។

ជាការពិតណាស់ក្បួនដោះស្រាយនេះមិនតែងតែជួយទេ។ ការពិតគឺថា ពេលខ្លះបន្ទាប់ពីម៉ាស៊ីនទាំងអស់នេះ មេគុណនៃអថេរ $x$ ប្រែទៅជាស្មើសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះជម្រើសពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន:

1. សមីការមិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលអ្វីមួយដូចជា $0\cdot x=8$ ប្រែចេញ i.e. នៅខាងឆ្វេងគឺសូន្យ ហើយនៅខាងស្តាំគឺជាលេខក្រៅពីសូន្យ។ នៅក្នុងវីដេអូខាងក្រោម យើងនឹងពិនិត្យមើលហេតុផលមួយចំនួនដែលថាហេតុអ្វីបានជាស្ថានភាពនេះអាចទៅរួច។
2. ដំណោះស្រាយគឺជាលេខទាំងអស់។ ករណីតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបានគឺនៅពេលដែលសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសំណង់ $0\cdot x=0$ ។ វាពិតជាឡូជីខលណាស់ដែលមិនថាយើងជំនួស $x$ អ្វីក៏ដោយ វានឹងនៅតែបង្ហាញថា "សូន្យស្មើនឹងសូន្យ" ពោលគឺឧ។ សមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដែលទាំងអស់នេះដំណើរការដោយប្រើឧទាហរណ៍ជីវិតពិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ

សព្វថ្ងៃនេះយើងកំពុងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយមានតែអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុតប៉ុណ្ណោះ។ ជាទូទៅ សមីការលីនេអ៊ែរ មានន័យថាសមភាពណាមួយដែលមានអថេរមួយពិតប្រាកដ ហើយវាទៅត្រឹមដឺក្រេទីមួយប៉ុណ្ណោះ។

សំណង់បែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖

1. ដំបូងអ្នកត្រូវពង្រីកវង់ក្រចកប្រសិនបើមាន (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយរបស់យើង);
2. បន្ទាប់មកផ្សំស្រដៀងគ្នា
3. ចុងក្រោយ ញែកអថេរ i.e. ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលភ្ជាប់ជាមួយអថេរ—លក្ខខណ្ឌដែលវាមាន — ទៅម្ខាង ហើយផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលនៅសេសសល់ដោយគ្មានវាទៅម្ខាងទៀត។

បន្ទាប់មក តាមក្បួនមួយ អ្នកត្រូវយកចំនួនស្រដៀងគ្នានៅផ្នែកនីមួយៗនៃសមភាពលទ្ធផល ហើយបន្ទាប់ពីនោះនៅសល់ទាំងអស់ត្រូវបែងចែកដោយមេគុណនៃ "x" ហើយយើងនឹងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ។

តាមទ្រឹស្ដី នេះមើលទៅស្រស់ស្អាត និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត សូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យដែលមានបទពិសោធន៍ក៏អាចធ្វើខុសក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញដែរ។ ជាធម្មតា កំហុសត្រូវបានធ្វើឡើងនៅពេលបើកតង្កៀប ឬនៅពេលគណនា "បូក" និង "ដក"។

លើសពីនេះ វាកើតឡើងថាសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់ ឬថាដំណោះស្រាយគឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល ពោលគឺឧ។ លេខណាមួយ។ យើងនឹងពិនិត្យមើល subtleties ទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងចាប់ផ្តើម ដូចដែលអ្នកបានយល់រួចហើយ ជាមួយនឹងកិច្ចការដ៏សាមញ្ញបំផុត។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញ

ជាដំបូង ខ្ញុំសូមសរសេរគ្រោងការណ៍ទាំងមូលម្តងទៀត ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុត៖

1. ពង្រីកតង្កៀបប្រសិនបើមាន។
2. យើងញែកអថេរ i.e. យើងផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាន "X's" ទៅម្ខាង ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលគ្មាន "X's" ទៅម្ខាងទៀត។
3. យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។
4. យើងបែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមេគុណនៃ "x" ។

ជាការពិតណាស់គ្រោងការណ៍នេះមិនតែងតែដំណើរការទេមាន subtleties និងល្បិចមួយចំនួននៅក្នុងវាហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្គាល់ពួកគេ។

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងនៃសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញ

កិច្ចការទី 1

ជំហានដំបូងតម្រូវឱ្យយើងបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែពួកគេមិននៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះទេ ដូច្នេះយើងរំលងជំហាននេះ។ នៅជំហានទីពីរយើងត្រូវញែកអថេរ។ សូមចំណាំ៖ យើងកំពុងនិយាយតែអំពីលក្ខខណ្ឌបុគ្គលប៉ុណ្ណោះ។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានៅខាងឆ្វេង និងស្តាំ ប៉ុន្តែនេះត្រូវបានធ្វើរួចហើយនៅទីនេះ។ ដូច្នេះយើងបន្តទៅជំហានទីបួន៖ បែងចែកដោយមេគុណ៖

\\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ដូច្នេះយើងទទួលបានចម្លើយ។

កិច្ចការទី 2

យើងអាចមើលឃើញវង់ក្រចកនៅក្នុងបញ្ហានេះ ដូច្នេះសូមពង្រីកពួកវា៖

ទាំងនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំ យើងឃើញការរចនាប្រហាក់ប្រហែលគ្នា ប៉ុន្តែ ចូរយើងធ្វើទៅតាម algorithm i.e. ការបំបែកអថេរ៖

នេះ​ជា​ការ​ស្រដៀង​គ្នា​មួយ​ចំនួន៖

តើនេះដំណើរការនៅឫសអ្វី? ចម្លើយ៖ សម្រាប់ណាមួយ។ ដូច្នេះយើងអាចសរសេរថា $x$ គឺជាលេខណាមួយ។

កិច្ចការទី 3

សមីការលីនេអ៊ែរទីបីគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះ:

\\[\left(6-x\right)+\left(12+x\right)-\left(3-2x\right)=15\]

មានតង្កៀបជាច្រើននៅទីនេះ ប៉ុន្តែពួកវាមិនត្រូវបានគុណនឹងអ្វីនោះទេ ពួកគេត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ចូរបំបែកពួកគេចុះ៖

យើងអនុវត្តជំហានទីពីរដែលយើងស្គាល់រួចហើយ៖

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

តោះធ្វើគណិតវិទ្យា៖

យើងអនុវត្តជំហានចុងក្រោយ - បែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមេគុណនៃ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

អ្វីដែលត្រូវចងចាំនៅពេលដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រសិនបើយើងមិនអើពើនឹងកិច្ចការសាមញ្ញពេក ខ្ញុំចង់និយាយដូចខាងក្រោម៖

• ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយខាងលើ មិនមែនគ្រប់សមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយទេ ជួនកាលវាគ្មានឫសគល់ទេ។
• ទោះបីជាមានឫសក៏ដោយ វាអាចមានសូន្យក្នុងចំណោមពួកវា - មិនមានអ្វីខុសជាមួយនោះទេ។

លេខសូន្យគឺជាលេខដូចគ្នានឹងលេខផ្សេងទៀត អ្នកមិនគួររើសអើងវាតាមមធ្យោបាយណាមួយ ឬសន្មតថាប្រសិនបើអ្នកទទួលបានលេខសូន្យ នោះអ្នកបានធ្វើអ្វីមួយខុសហើយ។

លក្ខណៈពិសេសមួយទៀតគឺទាក់ទងទៅនឹងការបើកតង្កៀប។ សូមចំណាំ៖ នៅពេលដែលមាន "ដក" នៅពីមុខពួកវា យើងដកវាចេញ ប៉ុន្តែនៅក្នុងវង់ក្រចក យើងប្តូរសញ្ញាទៅជា ទល់មុខ. ហើយបន្ទាប់មកយើងអាចបើកវាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ៖ យើងនឹងទទួលបានអ្វីដែលយើងបានឃើញនៅក្នុងការគណនាខាងលើ។

ការយល់ដឹងពីការពិតដ៏សាមញ្ញនេះ នឹងជួយអ្នកឱ្យជៀសផុតពីកំហុសឆ្គងដ៏ល្ងង់ខ្លៅ និងឈឺចាប់នៅក្នុងវិទ្យាល័យ នៅពេលដែលការធ្វើរឿងបែបនេះត្រូវបានទទួលយក។

ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរស្មុគស្មាញ

ចូរបន្តទៅសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ឥឡូវនេះ សំណង់នឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ ហើយនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងផ្សេងៗ មុខងារបួនជ្រុងនឹងលេចឡើង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមិនគួរខ្លាចរឿងនេះទេ ព្រោះប្រសិនបើយោងទៅតាមផែនការរបស់អ្នកនិពន្ធ យើងកំពុងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ នោះក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណើរការបំប្លែង ម៉ូណូមីលទាំងអស់ដែលមានមុខងារបួនជ្រុងប្រាកដជានឹងលុបចោល។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ជាក់ស្តែងជំហានដំបូងគឺត្រូវបើកតង្កៀប។ ចូរយើងធ្វើយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន៖

ឥឡូវ​យើង​មើល​ភាព​ឯកជន៖

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

នេះ​ជា​ការ​ស្រដៀង​គ្នា​មួយ​ចំនួន៖

ជាក់ស្តែង សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ ដូច្នេះយើងនឹងសរសេរវានៅក្នុងចម្លើយ៖

\[\varnothing\]

ឬមិនមានឫស។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

យើងអនុវត្តសកម្មភាពដូចគ្នា។ ជំហានដំបូង៖

ចូរផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយអថេរទៅខាងឆ្វេង ហើយដោយគ្មានវា - ទៅខាងស្តាំ៖

នេះ​ជា​ការ​ស្រដៀង​គ្នា​មួយ​ចំនួន៖

ជាក់ស្តែង សមីការលីនេអ៊ែរនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ ដូច្នេះយើងនឹងសរសេរវាតាមវិធីនេះ៖

\[\varnothing\],

ឬមិនមានឫស។

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

សមីការទាំងពីរត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង។ ដោយប្រើកន្សោមទាំងពីរនេះជាឧទាហរណ៍ យើងត្រូវបានគេជឿជាក់ម្តងទៀតថា សូម្បីតែនៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុត អ្វីគ្រប់យ៉ាងប្រហែលជាមិនសាមញ្ញទេ៖ វាអាចមានមួយ ឬគ្មាន ឬច្រើនគ្មានកំណត់។ ក្នុង​ករណី​របស់​យើង យើង​បាន​ចាត់​ទុក​សមីការ​ពីរ ដែល​ទាំង​ពីរ​មិន​មាន​ឫសគល់។

ប៉ុន្តែខ្ញុំចង់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកទៅការពិតមួយទៀត៖ របៀបធ្វើការជាមួយវង់ក្រចក និងរបៀបបើកពួកវា ប្រសិនបើមានសញ្ញាដកនៅពីមុខពួកគេ។ ពិចារណាកន្សោមនេះ៖

មុនពេលបើក អ្នកត្រូវគុណគ្រប់យ៉ាងដោយ "X"។ សូមចំណាំ៖ គុណ រយៈពេលនីមួយៗ. នៅខាងក្នុងមានពាក្យពីរ - រៀងគ្នាពីរពាក្យនិងគុណ។

ហើយមានតែបន្ទាប់ពីការបំប្លែងដែលមើលទៅហាក់ដូចជាបឋម ប៉ុន្តែការបំប្លែងដ៏សំខាន់ និងគ្រោះថ្នាក់បំផុតត្រូវបានបញ្ចប់ តើអ្នកអាចបើកតង្កៀបពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃការពិតដែលថាមានសញ្ញាដកបន្ទាប់ពីវា។ បាទ/ចាស៎៖ មានតែពេលនេះទេ នៅពេលដែលការបំប្លែងត្រូវបានបញ្ចប់ យើងចាំថាមានសញ្ញាដកនៅពីមុខតង្កៀប ដែលមានន័យថាអ្វីៗខាងក្រោមគ្រាន់តែប្តូរសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះតង្កៀបខ្លួនឯងបាត់ហើយសំខាន់បំផុតផ្នែកខាងមុខ "ដក" ក៏បាត់ដែរ។

យើងធ្វើដូចគ្នាជាមួយសមីការទីពីរ៖

វាមិនមែនដោយចៃដន្យទេដែលខ្ញុំយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការពិតតូចៗ ដែលហាក់ដូចជាមិនសំខាន់ទាំងនេះ។ ដោយសារតែការដោះស្រាយសមីការគឺតែងតែជាលំដាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ដែលអសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពសាមញ្ញៗឱ្យបានច្បាស់លាស់ និងប្រកបដោយសមត្ថភាព នាំឱ្យសិស្សវិទ្យាល័យមករកខ្ញុំ ហើយរៀនម្តងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញបែបនេះ។

ប្រាកដណាស់ ថ្ងៃនឹងមកដល់ ពេលដែលអ្នកនឹងពង្រឹងជំនាញទាំងនេះដល់ចំណុចនៃស្វ័យប្រវត្តិកម្ម។ អ្នក​នឹង​លែង​ត្រូវ​ធ្វើ​ការ​បំប្លែង​ជា​ច្រើន​ទៀត​រាល់​ពេល​អ្នក​នឹង​សរសេរ​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​នៅ​លើ​បន្ទាត់​មួយ។ ប៉ុន្តែខណៈពេលដែលអ្នកទើបតែរៀន អ្នកត្រូវសរសេរសកម្មភាពនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។

ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរកាន់តែស្មុគស្មាញ

អ្វី​ដែល​យើង​នឹង​ដោះស្រាយ​នៅ​ពេល​នេះ ស្ទើរតែ​មិន​អាច​ហៅ​ថា​កិច្ចការ​សាមញ្ញ​បំផុត​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​អត្ថន័យ​នៅ​ដដែល។

កិច្ចការទី 1

\[\left(7x+1\right)\left(3x-1\right)-21(((x)^(2))=3\]

ចូរគុណធាតុទាំងអស់នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ៖

តោះធ្វើឯកជនភាពខ្លះ៖

នេះ​ជា​ការ​ស្រដៀង​គ្នា​មួយ​ចំនួន៖

តោះបំពេញជំហានចុងក្រោយ៖

\\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

នេះគឺជាចម្លើយចុងក្រោយរបស់យើង។ ហើយទោះបីជាការពិតដែលថានៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយយើងមានមេគុណជាមួយនឹងមុខងារបួនជ្រុងក៏ដោយពួកគេបានលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមកដែលធ្វើឱ្យសមីការលីនេអ៊ែរនិងមិនមានរាងបួនជ្រុង។

កិច្ចការទី 2

\[\left(1-4x\right)\left(1-3x\right)=6x\left(2x-1\right)\]

ចូរយើងអនុវត្តជំហានដំបូងដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖ គុណធាតុនីមួយៗពីតង្កៀបទីមួយដោយធាតុនីមួយៗពីទីពីរ។ គួរតែមានពាក្យថ្មីសរុបចំនួន 4 បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តគុណនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖

ចូរផ្លាស់ទីពាក្យ "X" ទៅខាងឆ្វេង ហើយពាក្យដែលគ្មាន - ទៅខាងស្តាំ៖

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

នេះគឺជាពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងបានទទួលចម្លើយចុងក្រោយ។

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

កំណត់ចំណាំសំខាន់បំផុតអំពីសមីការទាំងពីរនេះគឺដូចខាងក្រោម៖ ដរាបណាយើងចាប់ផ្តើមគុណតង្កៀបដែលមានច្រើនជាងមួយពាក្យ នេះត្រូវបានធ្វើដោយយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖ យើងយកពាក្យទីមួយពីលេខទីមួយ ហើយគុណនឹងធាតុនីមួយៗពី ទីពីរ; បន្ទាប់មកយើងយកធាតុទីពីរពីទីមួយ ហើយស្រដៀងគ្នានឹងគុណនឹងធាតុនីមួយៗពីទីពីរ។ ជាលទ្ធផលយើងនឹងមាន 4 អាណត្តិ។

អំពីផលបូកពិជគណិត

ជា​មួយ​នឹង​ឧទាហរណ៍​ចុង​ក្រោយ​នេះ ខ្ញុំ​ចង់​រំលឹក​សិស្ស​ថា​អ្វី​ជា​ផលបូក​ពិជគណិត។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបុរាណ ដោយ $1-7$ យើងមានន័យថាសំណង់សាមញ្ញមួយ៖ ដកប្រាំពីរចេញពីមួយ។ នៅក្នុងពិជគណិតយើងមានន័យថាដូចខាងក្រោមនេះ: ទៅលេខ "មួយ" យើងបន្ថែមលេខផ្សេងទៀតគឺ "ដកប្រាំពីរ" ។ នេះជារបៀបដែលផលបូកពិជគណិតខុសពីផលបូកនព្វន្ធធម្មតា។

ដរាបណា នៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់ ការបូក និងគុណនីមួយៗ អ្នកចាប់ផ្តើមឃើញសំណង់ស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ អ្នកនឹងមិនមានបញ្ហាអ្វីនៅក្នុងពិជគណិតនៅពេលធ្វើការជាមួយពហុនាម និងសមីការ។

ជាចុងក្រោយ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀតដែលនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលយើងទើបតែបានមើល ហើយដើម្បីដោះស្រាយវា យើងនឹងត្រូវពង្រីកក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដាររបស់យើងបន្តិច។

ការដោះស្រាយសមីការជាមួយប្រភាគ

ដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការបែបនេះ យើងនឹងត្រូវបន្ថែមមួយជំហានទៀតទៅក្បួនដោះស្រាយរបស់យើង។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីក្បួនដោះស្រាយរបស់យើង៖

1. បើកតង្កៀប។
2. អថេរដាច់ដោយឡែក។
3. នាំយកស្រដៀងគ្នា។
4. បែងចែកដោយសមាមាត្រ។

Alas, ក្បួនដោះស្រាយដ៏អស្ចារ្យនេះ, សម្រាប់ប្រសិទ្ធភាពរបស់វា, ប្រែទៅជាមិនសមរម្យទាំងស្រុងនៅពេលដែលយើងមានប្រភាគនៅពីមុខយើង។ ហើយនៅក្នុងអ្វីដែលយើងនឹងឃើញខាងក្រោម យើងមានប្រភាគនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំក្នុងសមីការទាំងពីរ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីធ្វើការក្នុងករណីនេះ? បាទ វាសាមញ្ញណាស់! ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវបន្ថែមមួយជំហានទៀតទៅក្បួនដោះស្រាយ ដែលអាចធ្វើបានទាំងមុន និងក្រោយសកម្មភាពដំបូង ពោលគឺកម្ចាត់ប្រភាគ។ ដូច្នេះក្បួនដោះស្រាយនឹងមានដូចខាងក្រោម:

1. កម្ចាត់ប្រភាគ។
2. បើកតង្កៀប។
3. អថេរដាច់ដោយឡែក។
4. នាំយកស្រដៀងគ្នា។
5. បែងចែកដោយសមាមាត្រ។

តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការ "កម្ចាត់ប្រភាគ"? ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​អាច​ធ្វើ​បាន​ទាំង​ក្រោយ និង​មុន​ជំហាន​ស្តង់ដារ​ដំបូង? តាមពិតនៅក្នុងករណីរបស់យើង ប្រភាគទាំងអស់គឺជាលេខនៅក្នុងភាគបែងរបស់ពួកគេ i.e. នៅគ្រប់ទីកន្លែងភាគបែងគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខនេះ យើងនឹងកម្ចាត់ប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

\[\frac(\left(2x+1\right)\left(2x-3\right))(4)=((x)^(2))-1\]

ចូរយើងកម្ចាត់ប្រភាគនៅក្នុងសមីការនេះ៖

\[\frac(\left(2x+1\right)\left(2x-3\right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1\right)\cdot 4\]

សូមចំណាំ: អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានគុណនឹង "បួន" ម្តង, i.e. ដោយ​សារ​តែ​អ្នក​មាន​វង់ក្រចក​ពីរ​មិន​មាន​ន័យ​ថា​អ្នក​ត្រូវ​គុណ​លេខ​មួយ​ដោយ "បួន" ទេ។ ចូរសរសេរចុះ៖

\[\left(2x+1\right)\left(2x-3\right)=\left((((x)^(2))-1\right)\cdot 4\]

ឥឡូវនេះសូមពង្រីក៖

យើងញែកអថេរ៖

យើងអនុវត្តការកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា៖

\[-4x=-1\left| :\left(-4\right)\right.\]

\\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

យើងបានទទួលដំណោះស្រាយចុងក្រោយហើយ សូមបន្តទៅសមីការទីពីរ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

\\[\frac(\left(1-x\right)\left(1+5x\right))(5)+((x)^(2))=1\]

នៅទីនេះយើងអនុវត្តសកម្មភាពដូចគ្នាទាំងអស់៖

\\[\frac(\left(1-x\right)\left(1+5x\right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

នោះហើយជាមូលដ្ឋានដែលខ្ញុំចង់ប្រាប់អ្នកនៅថ្ងៃនេះ។

ចំណុចសំខាន់ៗ

ការរកឃើញសំខាន់ៗគឺ៖

• ដឹងពីក្បួនដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។
• សមត្ថភាពក្នុងការបើកតង្កៀប។
• កុំបារម្ភ ប្រសិនបើអ្នកមានមុខងារបួនជ្រុងនៅកន្លែងណាមួយ ទំនងជាពួកវានឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយក្នុងដំណើរការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត។
• មានឫសបីប្រភេទនៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ សូម្បីតែប្រភេទសាមញ្ញបំផុត៖ ឫសតែមួយ បន្ទាត់លេខទាំងមូលគឺជាឫស ហើយគ្មានឫសអ្វីទាំងអស់។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះនឹងជួយអ្នកឱ្យធ្វើជាម្ចាស់លើប្រធានបទសាមញ្ញមួយ ប៉ុន្តែមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងបន្ថែមទៀតអំពីគណិតវិទ្យាទាំងអស់។ ប្រសិនបើមានអ្វីមួយមិនច្បាស់លាស់ សូមចូលទៅកាន់គេហទំព័រ ហើយដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញនៅទីនោះ។ រង់ចាំ​មើល រឿង​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ជា​ច្រើន​ទៀត​កំពុង​រង់ចាំ​អ្នក!

52. ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតនៃសមីការ.
ឧទាហរណ៍ ១.

5/(x–1)–3/(x+1)=15/(x 2–1)

ភាគបែងទូទៅគឺ x 2 – 1 ចាប់តាំងពី x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) ។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយ x 2 – 1។ យើងទទួលបាន៖

ឬបន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយ

5(x + 1) – 3(x − 1) = 15

5x + 5 − 3x + 3 = 15

2x = 7 និង x = 3½

ចូរយើងពិចារណាសមីការមួយទៀត៖

5/(x−1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

ការដោះស្រាយដូចខាងលើយើងទទួលបាន៖

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ឬ 2x = 2 និង x = 1 ។

សូមមើលថាតើសមភាពរបស់យើងមានភាពយុត្តិធម៌ដែរឬទេ ប្រសិនបើយើងជំនួស x ក្នុងសមីការនីមួយៗដែលបានពិចារណាជាមួយនឹងលេខដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ដំបូងយើងទទួលបាន៖

យើងឃើញថាមិនមានកន្លែងសម្រាប់ការសង្ស័យទេ៖ យើងបានរកឃើញលេខសម្រាប់ x ដែលសមភាពដែលត្រូវការគឺត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរយើងទទួលបាន៖

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ឬ 5/0 – 3/2 = 15/0

នៅទីនេះការសង្ស័យកើតឡើង៖ យើងប្រឈមមុខនឹងការបែងចែកដោយសូន្យ ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ។ ប្រសិនបើនៅពេលអនាគត យើងអាចផ្តល់ជាក់លាក់មួយ ទោះបីដោយប្រយោល មានន័យថា ការបែងចែកនេះ យើងអាចយល់ស្របថាដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ x – 1 បំពេញសមីការរបស់យើង។ រហូតដល់ពេលនោះ យើងត្រូវទទួលស្គាល់ថាសមីការរបស់យើងមិនមានដំណោះស្រាយដែលមានអត្ថន័យផ្ទាល់នោះទេ។

ករណីស្រដៀងគ្នានេះអាចកើតឡើងនៅពេលដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគដែលមាននៅក្នុងសមីការ ហើយភាគបែងទាំងនេះខ្លះនៅពេលដែលដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញ បង្វែរទៅសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ ២.

អ្នកអាចមើលឃើញភ្លាមៗថាសមីការនេះមានទម្រង់នៃសមាមាត្រ៖ សមាមាត្រនៃលេខ x + 3 ទៅលេខ x – 1 គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃលេខ 2x + 3 ទៅលេខ 2x – 2។ អនុញ្ញាតឱ្យនរណាម្នាក់នៅក្នុង ទិដ្ឋភាពនៃកាលៈទេសៈនេះ សម្រេចចិត្តអនុវត្តនៅទីនេះ ដើម្បីដោះលែងសមីការពីប្រភាគ ដែលជាទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសមាមាត្រ (ផលិតផលនៃពាក្យខ្លាំងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃពាក្យកណ្តាល)។ បន្ទាប់មកគាត់នឹងទទួលបាន៖

(x + 3) (2x − 2) = (2x + 3) (x − 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3 ។

នៅទីនេះ ការភ័យខ្លាចថាយើងនឹងមិនអាចដោះស្រាយសមីការនេះអាចត្រូវបានលើកឡើងដោយការពិតដែលថាសមីការរួមបញ្ចូលពាក្យជាមួយ x 2 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងអាចដក 2x 2 ពីភាគីទាំងពីរនៃសមីការ - វានឹងមិនបំបែកសមីការទេ។ បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌជាមួយ x 2 ត្រូវបានបំផ្លាញ ហើយយើងទទួលបាន៖

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

ចូរផ្លាស់ទីពាក្យដែលមិនស្គាល់ទៅខាងឆ្វេង និងពាក្យដែលគេស្គាល់ទៅខាងស្តាំ យើងទទួលបាន៖

3x = 3 ឬ x = 1

ចងចាំសមីការនេះ។

(x+3)/(x − 1) = (2x + 3)/(2x − 2)

យើងនឹងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាតម្លៃដែលបានរកឃើញសម្រាប់ x (x = 1) ធ្វើឱ្យភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗបាត់។ យើងត្រូវតែបោះបង់ចោលដំណោះស្រាយបែបនេះ រហូតដល់យើងពិចារណាសំណួរនៃការបែងចែកដោយសូន្យ។

ប្រសិនបើយើងកត់សំគាល់ផងដែរថាការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាមាត្រធ្វើឱ្យមានភាពស្មុគស្មាញដល់បញ្ហា ហើយសមីការសាមញ្ញអាចទទួលបានដោយការគុណភាគីទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយភាគបែងរួមគឺ 2(x – 1) - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ 2x – 2 = 2 (x − 1) បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

2(x + 3) = 2x – 3 ឬ 2x + 6 = 2x – 3 ឬ 6 = –3,

ដែលមិនអាចទៅរួចទេ។

កាលៈទេសៈនេះបង្ហាញថាសមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយណាមួយដែលមានអត្ថន័យផ្ទាល់ដែលនឹងមិនប្រែក្លាយភាគបែងនៃសមីការនេះទៅជាសូន្យទេ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ៖

(3x + 5)/(x − 1) = (2x + 18)/(2x − 2)

ចូរគុណទាំងសងខាងនៃសមីការ 2(x – 1) ពោលគឺដោយភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន៖

6x + 10 = 2x + 18

ដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញមិនធ្វើឱ្យភាគបែងរលាយបាត់ឡើយ ហើយមានអត្ថន័យផ្ទាល់៖

ឬ ១១ = ១១

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ជំនួសឱ្យការគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ 2(x – 1) ត្រូវប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាមាត្រ ពួកគេនឹងទទួលបាន៖

(3x + 5)(2x − 2) = (2x + 18)(x − 1) ឬ
6x 2 + 4x − 10 = 2x 2 + 16x − 18 ។

នៅទីនេះលក្ខខណ្ឌដែលមាន x 2 នឹងមិនត្រូវបានបំផ្លាញទេ។ ការផ្លាស់ទីពាក្យដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ហើយពាក្យដែលគេស្គាល់ទៅខាងស្តាំ យើងនឹងទទួលបាន

4x 2 − 12x = −8

x 2 − 3x = −2

ឥឡូវនេះយើងនឹងមិនអាចដោះស្រាយសមីការនេះបានទេ។ នៅពេលអនាគត យើងនឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយពីរសម្រាប់វា៖ 1) អ្នកអាចយក x = 2 និង 2) អ្នកអាចយក x = 1 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទាំងពីរ៖

1) 2 2 – 3 2 = –2 និង 2) 1 2 – 3 1 = –2

ប្រសិនបើយើងចងចាំសមីការដំបូង

(3x + 5) / (x − 1) = (2x + 18) / (2x − 2)

នោះយើងនឹងឃើញថាឥឡូវនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទាំងពីររបស់វា៖ 1) x = 2 គឺជាដំណោះស្រាយដែលមានអត្ថន័យផ្ទាល់ ហើយមិនបង្វែរភាគបែងទៅជាសូន្យ 2) x = 1 គឺជាដំណោះស្រាយដែលបំប្លែងភាគបែងទៅជាសូន្យ និង មិនមានអត្ថន័យផ្ទាល់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

ចូរយើងស្វែងរកភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការនេះដោយធ្វើការបែងចែកភាគបែងនីមួយៗ៖

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)

3) x 2 − 2x − 3 = x 2 − 3x + x − 3 = x (x − 3) + (x − 3) = (x − 3) (x + 1)។

ភាគបែងទូទៅគឺ (x − 3) (x − 2) (x + 1) ។

ចូរគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការនេះ (ហើយឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរវាឡើងវិញជា៖

ដោយភាគបែងធម្មតា (x − 3) (x − 2) (x + 1) ។ បន្ទាប់មក បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយប្រភាគនីមួយៗ យើងទទួលបាន៖

3(x+1) − 2(x − 3) = 2(x − 2) ឬ
3x + 3 − 2x + 6 = 2x − 4 ។

ពីទីនេះយើងទទួលបាន៖

-x = −13 និង x = 13 ។

ដំណោះ​ស្រាយ​នេះ​មាន​អត្ថន័យ​ផ្ទាល់៖ វា​មិន​ធ្វើ​ឲ្យ​ភាគបែង​រលាយ​បាត់​ឡើយ។

ប្រសិនបើយើងយកសមីការ៖

បន្ទាប់មក ធ្វើដូចខាងលើ យើងនឹងទទួលបាន

3(x+1) − 2(x − 3) = x − 2

3x + 3 − 2x + 6 = x − 2

3x–2x–x=–3–6–2,

តើអ្នកនឹងយកវាពីណា?

ដែលមិនអាចទៅរួចទេ។ កាលៈទេសៈនេះបង្ហាញថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការចុងក្រោយដែលមានអត្ថន័យផ្ទាល់។