បញ្ជាក់វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃដេរីវេអតិបរមា។ ដេរីវេតាមទិស

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ u = f (x, y, z)បន្តនៅក្នុងតំបន់មួយចំនួន ឃនិងមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៅក្នុងតំបន់នេះ។ ចូរយើងជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅក្នុងតំបន់ដែលកំពុងពិចារណា M(x,y,z)ហើយគូរវ៉ិចទ័រពីវា។ ស, កូស៊ីនុសទិសដែលមាន cosα, cosβ, cosγ។ នៅលើវ៉ិចទ័រ ស នៅចម្ងាយ Δ សពីការចាប់ផ្តើមរបស់វា យើងនឹងរកឃើញចំណុចមួយ។ ម 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z) កន្លែងណា

ចូរយើងស្រមៃមើលការបង្កើនពេញលេញនៃមុខងារ fក្នុងទម្រង់៖

កន្លែងណា

បន្ទាប់ពីបែងចែកដោយ Δ សយើងទទួលបាន៖

ដោយសារតែ សមភាពពីមុនអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

ជម្រាល។

និយមន័យដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៅត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ u = f (x, y, z)ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ ស និងត្រូវបានកំណត់។

ក្នុងករណីនេះពី (1) យើងទទួលបាន:

(2)

ចំណាំ 1. និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកគឺជាករណីពិសេសនៃដេរីវេទិសដៅ។ ឧទាហរណ៍នៅពេល យើងទទួលបាន៖

ចំណាំ 2. ខាងលើ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរត្រូវបានកំណត់ថាជាមេគុណមុំនៃតង់ហ្សង់ទៅបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃផ្ទៃដែលជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានប្លង់។ x = x 0និង y = y 0. នៅក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះយើងអាចពិចារណាដេរីវេនៃមុខងារនេះក្នុងទិសដៅ លីត្រនៅចំណុច M(x 0, y 0)ជាមេគុណមុំនៃបន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច មស្របទៅនឹងអ័ក្ស O zនិងត្រង់ លីត្រ.

និយមន័យវ៉ិចទ័រដែលសំរបសំរួលនៅចំណុចនីមួយៗនៃតំបន់ជាក់លាក់មួយគឺជាដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ u = f (x, y, z)នៅចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលមុខងារ u = f (x, y, z) ។

ការដាក់ឈ្មោះ៖ ថ្នាក់ទី យូ = .

លក្ខណៈសម្បត្តិជម្រាល។

1. ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រមួយចំនួន ស ស្មើនឹងការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ grad យូទៅវ៉ិចទ័រ ស . ភស្តុតាង។ វ៉ិចទ័រទិសដៅឯកតា ស មើលទៅដូចជា អ៊ីអេស =(cosα, cosβ, cosγ) ដូច្នេះផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (4.7) គឺជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រថ្នាក់ទី យូនិង អ៊ី ស នោះគឺជាការព្យាករណ៍ដែលបានបញ្ជាក់។

2. ដេរីវេនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ ស មានតម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង |grad យូ|, ប្រសិនបើទិសដៅនេះស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃជម្រាល។ ភស្តុតាង។ ចូរយើងសម្គាល់មុំរវាងវ៉ិចទ័រ ស និងថ្នាក់ទី យូតាមរយៈ φ បន្ទាប់មកពីទ្រព្យសម្បត្តិ 1 វាធ្វើតាមថា | grad យូ|∙cosφ, (4.8) ដូច្នេះតម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វាត្រូវបានសម្រេចនៅφ=0 ហើយស្មើនឹង |grad យូ|.

3. ដេរីវេក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅថ្នាក់វ៉ិចទ័រ យូ, គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ភស្តុតាង។ ក្នុងករណីនេះក្នុងរូបមន្ត (4.8)

4. ប្រសិនបើ z = f(x,y)គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ បន្ទាប់មក grad f= ដឹកនាំកាត់កែងទៅបន្ទាត់កម្រិត f (x,y) = c,ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។

Extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុល។ ល័ក្ខខ័ណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខ្លាំង។ លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម។ វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrange ។ ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។

និយមន័យ ១.ចំណុច M 0 (x 0, y 0)បានហៅ ចំណុចអតិបរមាមុខងារ z = f (x, y),ប្រសិនបើ f (x o, y o) > f(x,y)សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។ (x, y) ម ០.

និយមន័យ ២. ចំណុច M 0 (x 0, y 0)បានហៅ ចំណុចអប្បបរមាមុខងារ z = f (x, y),ប្រសិនបើ f (x o, y o) < f(x,y)សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។ (x, y)ពីសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចមួយ។ ម ០.

ចំណាំ 1. ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

ចំណាំ 2. ចំណុចខ្លាំងសម្រាប់មុខងារនៃចំនួនអថេរណាមួយត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ១(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុលនិយម) ។ ប្រសិនបើ M 0 (x 0, y 0)- ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ z = f (x, y),បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្នែកទីមួយនៃអនុគមន៍នេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

ភស្តុតាង។

ចូរយើងជួសជុលតម្លៃនៃអថេរ នៅ, រាប់ y = y 0. បន្ទាប់មកមុខងារ f (x, y 0)នឹងជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ Xសម្រាប់ការដែល x = x 0គឺជាចំណុចខ្លាំង។ ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ Fermat ឬមិនមាន។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចគ្នាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ .

និយមន័យ ៣.ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនដែលដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចស្ថានីមុខងារនេះ។

មតិយោបល់។ ដូច្នេះ ភាពខ្លាំងអាចទៅដល់បានតែនៅទីតាំងស្ថានីប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់សង្កេតឃើញនៅត្រង់ចំណុចនីមួយៗនោះទេ។

ទ្រឹស្តីបទ ២(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម)។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច M 0 (x 0, y 0)ដែលជាចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ z = f (x, y),មុខងារនេះមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តរហូតដល់លំដាប់ទី 3 រួមបញ្ចូល។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មក៖

1) f(x,y)មាននៅចំណុច ម ០អតិបរមាប្រសិនបើ AC-B² > 0, ក < 0;

2) f(x,y)មាននៅចំណុច ម ០អប្បបរមាប្រសិនបើ AC-B² > 0, ក > 0;

3) មិនមានជ្រុលនៅចំណុចសំខាន់ប្រសិនបើ AC-B² < 0;

4) ប្រសិនបើ AC-B² = 0 ត្រូវការការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ z = x² - ២ xy + 2y² + 2 x.ដើម្បីស្វែងរកចំណុចស្ថានី យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ . ដូច្នេះចំនុចស្ថានីគឺ (-2,-1) ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នា ក = 2, IN = -2, ជាមួយ= 4. បន្ទាប់មក AC-B² = 4 > 0 ដូច្នេះ នៅចំណុចស្ថានី ភាពខ្លាំងត្រូវបានឈានដល់ ពោលគឺអប្បបរមា (ចាប់តាំងពី ក > 0).

លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម។

និយមន័យ ៤.ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មុខងារ f (x 1, x 2,…, x n)ត្រូវបានចងភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌបន្ថែមក្នុងទម្រង់ មសមីការ ( ម< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)

ដែលអនុគមន៍ φ i មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្ត បន្ទាប់មកសមីការ (1) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃការតភ្ជាប់.

និយមន័យ ៥.អតិបរមានៃមុខងារ f (x 1, x 2,…, x n)នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ (1) ត្រូវបានបំពេញវាត្រូវបានហៅ ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ.

មតិយោបល់។ យើងអាចផ្តល់ជូននូវការបកស្រាយធរណីមាត្រខាងក្រោមនៃលក្ខខណ្ឌលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរពីរ៖ អនុញ្ញាតឱ្យអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ f(x,y)ទាក់ទងដោយសមីការ φ (x,y)= 0 កំណត់ខ្សែកោងមួយចំនួននៅក្នុងយន្តហោះ O xy. ការស្ថាបនាឡើងវិញកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ O ពីចំណុចនីមួយៗនៃខ្សែកោងនេះ។ xyរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយផ្ទៃ z = f (x, y),យើងទទួលបានខ្សែកោងលំហដែលស្ថិតនៅលើផ្ទៃខាងលើខ្សែកោងφ (x,y)= 0. ភារកិច្ចគឺដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃខ្សែកោងលទ្ធផល ដែលជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីទូទៅមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចខ្លាំងដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ f (x, y) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមសម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ ដោយណែនាំនិយមន័យខាងក្រោមជាមុនសិន៖

និយមន័យ ៦.មុខងារ L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

កន្លែងណា λ ខ្ញុំ –ខ្លះថេរ ហៅថា មុខងារ Lagrangeនិងលេខ λi– មេគុណ Lagrange មិនកំណត់.

ទ្រឹស្តីបទ(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ)។ លក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃមុខងារមួយ។ z = f (x, y)នៅក្នុងវត្តមាននៃសមីការ coupling φ ( x, y)= 0 អាចសម្រេចបានតែនៅចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange ប៉ុណ្ណោះ។ L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y) ។

វាលមាត្រដ្ឋានផ្នែកមួយនៃលំហ (ឬលំហទាំងអស់) ត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចនីមួយៗដែលតម្លៃលេខនៃបរិមាណមាត្រដ្ឋានមួយចំនួនត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍

តួដែលមានតម្លៃសីតុណ្ហភាពជាក់លាក់នៅចំណុចនីមួយៗគឺជាវាលមាត្រដ្ឋាន។

រាងកាយមិនដូចគ្នា ដែលចំណុចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងដង់ស៊ីតេជាក់លាក់មួយ - វាលដង់ស៊ីតេមាត្រដ្ឋាន។

ក្នុងករណីទាំងអស់នេះ បរិមាណមាត្រដ្ឋាន U មិនអាស្រ័យលើពេលវេលាទេ ប៉ុន្តែអាស្រ័យលើទីតាំង (កូអរដោនេ) នៃចំណុច M ក្នុងលំហ ពោលគឺវាជាមុខងារនៃអថេរបី ដែលវាត្រូវបានគេហៅថា មុខងារវាល. ហើយផ្ទុយទៅវិញរាល់មុខងារនៃអថេរបី u=f(x,y,z)បញ្ជាក់វាលមាត្រដ្ឋានមួយចំនួន។

មុខងារវាលមាត្រដ្ឋានរាបស្មើអាស្រ័យលើអថេរពីរ z=f(x,y).

ពិចារណាលើវាលមាត្រដ្ឋាន u=f(x,y,z)។

វ៉ិចទ័រដែលកូអរដោណេជាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ដែលគណនានៅចំណុចមួយត្រូវបានហៅ ជម្រាលមុខងារនៅចំណុចនេះ ឬជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន។

ពិចារណាវ៉ិចទ័រ និងចំណុចពីរនៅលើវា។ M 0 (x 0 , y 0 , z 0)និង។ ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនមុខងារក្នុងទិសដៅ៖

ដេរីវេតាមទិសដែនកំណត់ខាងក្រោមត្រូវបានហៅប្រសិនបើវាមាន៖

តើកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រនៅឯណា? α, β, γ គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើ .

សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ រូបមន្តទាំងនេះយកទម្រង់៖

ឬ ,

ដោយសារតែ .

មានទំនាក់ទំនងរវាងជម្រាល និងដេរីវេនៃទិសដៅនៅចំណុចដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ។ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃជម្រាលនៃអនុគមន៍ និងវ៉ិចទ័រនៃទិសដៅមួយចំនួនគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះ៖

ផលវិបាក។ដេរីវេនៃទិសដៅមានតម្លៃធំបំផុត ប្រសិនបើទិសដៅនេះស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃជម្រាល (កំណត់វាដោយខ្លួនឯងដោយប្រើនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន ហើយសន្មតថា)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

1. ជម្រាលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងមានម៉ូឌុលជាលេខស្មើនឹងអត្រានៃការកើនឡើងនេះ៖

2. ដេរីវេនៃទិសដៅគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅ: ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកមុខងារក្នុងទិសដៅនេះកើនឡើង ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកមុខងារថយចុះ។

3. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រស្របគ្នាជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រមួយ នោះដេរីវេដែលទាក់ទងនឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះស្របគ្នានឹងដេរីវេផ្នែកដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ .

ឧទាហរណ៍

មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ , ចំណុច A(1, 2)និងវ៉ិចទ័រ។

ស្វែងរក៖ ១);

ដំណោះស្រាយ

1) ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ ហើយគណនាវានៅចំណុច A ។

, .

បន្ទាប់មក .

2) ស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ៖ ; .

អក្សរសិល្ប៍ [ 1,2]

សំណួរសាកល្បងខ្លួនឯង៖

1. អ្វីទៅដែលហៅថាមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលជាដែននិយមន័យរបស់វា?

2. តើនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

3. តើអ្វីជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេដោយផ្នែក?

4. ដូចម្តេចដែលហៅថាជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

5. ដូចម្តេចដែលហៅថា ដេរីវេទិសដៅ?

6. បង្កើតច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

ជម្រើសទី 1

កិច្ចការទី 1

ក) ; ខ) ;

វី); ឆ) .

កិច្ចការទី 2ពិនិត្យមុខងារសម្រាប់ភាពបន្ត៖ ស្វែងរកចំណុចមិនបន្តនៃមុខងារ និងកំណត់ប្រភេទរបស់វា។ បង្កើតក្រាហ្វគ្រោងការណ៍នៃអនុគមន៍។

កិច្ចការលេខផ្តល់ចំនួនកុំផ្លិច Z. ទាមទារ៖ សរសេរលេខ Z ជាទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ។ .

កិច្ចការទី 4 ។

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) ។

កិច្ចការទី 5 ។ស៊ើបអង្កេតមុខងារមួយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយដោយប្រើលទ្ធផលស្រាវជ្រាវ បង្កើតក្រាហ្វ។ .

កិច្ចការទី 6 ។អនុគមន៍ z=f(x,y) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិនិត្យមើលថាតើអត្តសញ្ញាណ F≡0 មានដែរឬទេ?

កិច្ចការទី 7បានផ្តល់មុខងារមួយ។ Z=x 2 +xy+y 2, ចំណុច និងវ៉ិចទ័រ។ ស្វែងរក៖

1) grad zនៅចំណុច ក;

2) ដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ កក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ .

ជម្រើសទី 2

កិច្ចការទី 1គណនាដែនកំណត់នៃមុខងារដោយមិនប្រើច្បាប់របស់ L'Hopital ។

ក) ; ខ) ;

វី) ; ឆ) .

កិច្ចការទី 3ផ្តល់ចំនួនកុំផ្លិច Z. ទាមទារ៖ សរសេរលេខ Z ជាទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ។

កិច្ចការទី 4 ។ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយនៃមុខងារទាំងនេះ។

ដោយការណែនាំអំពីគំនិតនៃដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន យើងបានបង្កើនអថេរនីមួយៗ ដោយបន្សល់ទុកនូវអាគុយម៉ង់ផ្សេងទៀតទាំងអស់មិនផ្លាស់ប្តូរ។ ជាពិសេសប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារនៃអថេរពីរ z = f (x, y) នោះអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ការកើនឡើង Δx ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍មានការផ្លាស់ប្តូរពីចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេ។ (x,y) ដល់ចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (x + Δx ; y); ឬអថេរ y ត្រូវបានផ្តល់ការបង្កើន Δy ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍មានការផ្លាស់ប្តូរពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (x,y) ទៅចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេ (x; y + Δy) (សូមមើលរូបភាព 5.6 ។ ) ដូច្នេះចំនុចដែលយើងយកដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍បានផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៅលើយន្តហោះ (ទាំងស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ឬស្របទៅនឹង ordinate) ។ ឥឡូវនេះសូមឱ្យយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលទិសដៅអាចត្រូវបានយកតាមអំពើចិត្ត i.e. ការបង្កើនត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យអថេរជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។ ចំពោះករណីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ យើងនឹងផ្លាស់ទីទៅចំណុច (x + Δx; y + Δy) ហើយការផ្លាស់ទីលំនៅនឹងជា Δ លីត្រ(សូមមើលរូបភាព 5.6) ។

នៅពេលផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅមួយ អនុគមន៍ z នឹងកើនឡើង Δ លីត្រ z = f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y) ដែលហៅថាការបង្កើនអនុគមន៍ z ក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ លីត្រ.

ដេរីវេនៃ z លីត្រ` ក្នុងទិសដៅ លីត្រ មុខងារនៃអថេរពីរ
z = f(x,y) គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការបង្កើនមុខងារក្នុងទិសដៅនេះទៅនឹងតម្លៃផ្លាស់ទីលំនៅΔ លីត្រដូចដែលក្រោយមកមានទំនោរទៅសូន្យ, i.e. .

ដេរីវេ z លីត្រ` កំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅ លីត្រ.

គោលគំនិតនៃដេរីវេទិសដៅអាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅនឹងមុខងារជាមួយនឹងចំនួនអថេរណាមួយ។

រូបភាព 5.6 - ផ្លាស់ទីចំណុចក្នុងទិសដៅមួយ។ លីត្រ

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថា z លីត្រ` = z x `cos α + z y `cos β ដែល α និង β គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយទិសដៅនៃចលនានៃចំណុចជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ (សូមមើលរូបភាព 5.6) ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ z = ln (x 2 + xy) ត្រង់ចំនុច
(3; 1) ក្នុងទិសដៅពីចំណុចនេះទៅចំណុច (6; -3) (សូមមើលរូបភាព 5.7) ។

ដើម្បីធ្វើវាដំបូងត្រូវរកភាគនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុច (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4 ។

ចំណាំថា Δx = 6 – 3 = 3; Δy = −3–1 = −4; (Δ លីត្រ) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ លីត្រ| = 5. បន្ទាប់មក cos α = 3/5; cos β = -4/5; z លីត្រ` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1–1*4)/(4*5) = 3/20។

មុខងារជម្រាល

ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា យើងដឹងថាវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះគឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំ។ ការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វាមានកូអរដោនេពីរ។ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដោយដកកូអរដោណេចាប់ផ្តើមពីកូអរដោនេចុង។

គោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានពង្រីកទៅលំហ n-dimensional (ជំនួសឱ្យកូអរដោនេពីរវានឹងមាន n កូអរដោនេ)។

ជម្រាល grad z នៃអនុគមន៍ z = f(x 1, x 2, ...x n) គឺជាវ៉ិចទ័រនៃដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ឧ. វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោនេ .

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលនៃមុខងារកំណត់ទិសដៅនៃការលូតលាស់លឿនបំផុតនៃកម្រិតនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ z = 2x 1 + x 2 (មើលរូបភាព 5.8) ជម្រាលនៅចំណុចណាមួយនឹងមានកូអរដោនេ (2; 1) ។ អ្នកអាចសាងសង់វានៅលើយន្តហោះតាមវិធីផ្សេងៗ ដោយយកចំណុចណាមួយជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចភ្ជាប់ចំណុច (0; 0) ទៅចំណុច (2; 1) ឬចំណុច (1; 0) ទៅចំណុច (3; 1) ឬចំណុច (0; 3) ទៅចំណុច (2; 4) ឬដូច្នេះនៅលើ។ (សូមមើលរូបភាព 5.8) ។ វ៉ិចទ័រទាំងអស់ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះនឹងមានកូអរដោនេ (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

ពីរូបភាព 5.8 វាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាកម្រិតនៃមុខងារកើនឡើងក្នុងទិសដៅនៃជម្រាលចាប់តាំងពីបន្ទាត់កម្រិតដែលបានសាងសង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃកម្រិត 4 > 3 > 2 ។

រូបភាព 5.8 - ជម្រាលនៃអនុគមន៍ z = 2x 1 + x 2

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀត - អនុគមន៍ z = 1/(x 1 x 2) ។ ជម្រាលនៃអនុគមន៍នេះនឹងលែងដូចគ្នានៅចំណុចផ្សេងៗទៀតហើយ ព្រោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2))។

រូបភាព 5.9 បង្ហាញបន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍ z = 1/(x 1 x 2) សម្រាប់កម្រិត 2 និង 10 (បន្ទាត់ត្រង់ 1/(x 1 x 2) = 2 ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុច ហើយបន្ទាត់ត្រង់
1/(x 1 x 2) = 10 – បន្ទាត់រឹង)។

រូបភាព 5.9 - ជម្រាលនៃអនុគមន៍ z = 1/(x 1 x 2) នៅចំណុចផ្សេងៗ

ជាឧទាហរណ៍ សូមយកចំណុច (0.5; 1) ហើយគណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ៖ (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2) ។ ចំណាំថាចំនុច (0.5; 1) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់កម្រិត 1/(x 1 x 2) = 2 ពីព្រោះ z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. ដើម្បីពណ៌នាវ៉ិចទ័រ ( -4; -2) ក្នុងរូបភាព 5.9 យើងភ្ជាប់ចំនុច (0.5; 1) ជាមួយចំនុច (-3.5; -1) ព្រោះ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

ចូរយកចំណុចមួយទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ឧទាហរណ៍ ចំណុច (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)។ ចូរយើងគណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ។
(-1/(1 2*0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4) ។ ដើម្បីពណ៌នាក្នុងរូបភាព 5.9 យើងភ្ជាប់ចំណុច (1; 0.5) ជាមួយចំណុច (-1; -3.5) ព្រោះ (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4) ។

ចូរយកចំណុចមួយទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ប៉ុន្តែឥឡូវនេះនៅក្នុងត្រីមាសកូអរដោនេដែលមិនវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍ ចំណុច (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2) ។ ជម្រាលនៅចំណុចនេះនឹងស្មើនឹង
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) ។ ចូរយើងពណ៌នាវានៅក្នុងរូបភាពទី 5.9 ដោយភ្ជាប់ចំនុច (-0.5; -1) ជាមួយចំនុច (3.5; 1) ព្រោះ (3.5 – (-0.5); 1 – (−1)) = (4; 2) ។

គួរកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងករណីទាំងបីដែលបានពិចារណា ជម្រាលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការលូតលាស់នៃកម្រិតមុខងារ (ឆ្ពោះទៅរកបន្ទាត់កម្រិត 1/(x 1 x 2) = 10 > 2)។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលគឺតែងតែកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់កម្រិត (ផ្ទៃកម្រិត) ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។