វិធីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយឫស។ ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយជាក្បួនដោយប្រើរូបមន្ត។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតគឺ៖

sinx = ក

cosx = ក

tgx = ក

ctgx = ក

x គឺជាមុំដែលត្រូវរក
a គឺជាលេខណាមួយ។

ហើយនេះគឺជារូបមន្តដែលអ្នកអាចសរសេរភ្លាមៗនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការសាមញ្ញបំផុតទាំងនេះ។

សម្រាប់ស៊ីនុស៖

សម្រាប់កូស៊ីនុស៖

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

សម្រាប់តង់សង់៖

x = arctan a + π n, n ∈ Z

សម្រាប់កូតង់សង់៖

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

តាមពិតនេះគឺជាផ្នែកទ្រឹស្តីនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត។ លើសពីនេះទៅទៀតអ្វីគ្រប់យ៉ាង!) គ្មានអ្វីទាំងអស់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួននៃកំហុសលើប្រធានបទនេះគឺគ្រាន់តែចេញពីតារាង។ ជាពិសេសប្រសិនបើឧទាហរណ៍នេះបង្វែរបន្តិចពីគំរូ។ ហេតុអ្វី?

បាទ ពីព្រោះមនុស្សជាច្រើនសរសេរអក្សរទាំងនេះ។ ដោយមិនយល់ពីអត្ថន័យរបស់វា!គាត់សរសេរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ក្រែងមានរឿងកើតឡើង...) នេះចាំបាច់ត្រូវតម្រៀបចេញ។ ត្រីកោណមាត្រសម្រាប់មនុស្ស ឬមនុស្សសម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ !?)

តោះគិតមើល?

មុំមួយនឹងស្មើនឹង Arccos មួយ, ទីពីរ៖ - Arccos ក។

ហើយវានឹងដំណើរការតាមរបៀបនេះជានិច្ច។សម្រាប់ណាមួយ។ ក.

ប្រសិនបើអ្នកមិនជឿខ្ញុំ សូមដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព ឬប៉ះរូបភាពនៅលើកុំព្យូទ័របន្ទះរបស់អ្នក។) ខ្ញុំបានប្តូរលេខ ក ទៅនឹងអ្វីមួយអវិជ្ជមាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងទទួលបានជ្រុងមួយ។ Arccos មួយ, ទីពីរ៖ - Arccos ក។

ដូច្នេះ ចម្លើយ​អាច​តែង​តែ​សរសេរ​ជា​ពីរ​ស៊េរី​នៃ​ឫស៖

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = − arccos a + 2π n, n ∈ Z

ចូរ​រួម​បញ្ចូល​ស៊េរី​ទាំងពីរ​នេះ​ជា​មួយ​៖

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់។ យើងបានទទួលរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតជាមួយកូស៊ីនុស។

ប្រសិនបើអ្នកយល់ថានេះមិនមែនជាប្រភេទនៃប្រាជ្ញាទំនើបមួយចំនួននោះទេប៉ុន្តែ គ្រាន់តែជាកំណែខ្លីនៃចម្លើយពីរស៊េរីប៉ុណ្ណោះអ្នកក៏នឹងអាចដោះស្រាយកិច្ចការ "C" ផងដែរ។ ជាមួយនឹងវិសមភាព ជាមួយនឹងការជ្រើសរើសឫសពីចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ... ចម្លើយដែលមានបូក/ដកមិនដំណើរការទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកចាត់ទុកចម្លើយក្នុងលក្ខណៈអាជីវកម្ម ហើយបំបែកវាជាចម្លើយពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា នោះអ្វីៗទាំងអស់នឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។) តាមពិត នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងកំពុងពិនិត្យមើលវា។ អ្វី, របៀបនិងកន្លែងណា។

នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

sinx = ក

យើងក៏ទទួលបានឫសពីរស៊េរីផងដែរ។ ជានិច្ច។ ហើយស៊េរីទាំងពីរនេះក៏អាចថតបានដែរ។ ក្នុងបន្ទាត់មួយ។ មានតែបន្ទាត់នេះទេដែលនឹងកាន់តែពិបាក៖

x = (−1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៅតែដដែល។ គណិតវិទូគ្រាន់តែបង្កើតរូបមន្តមួយ ជំនួសឱ្យធាតុពីរសម្រាប់ស៊េរីឫស។ អស់ហើយ!

តោះ​ទៅ​ពិនិត្យ​គណិត​វិទ្យា​? ហើយអ្នកមិនដែលដឹងទេ ... )

នៅក្នុងមេរៀនមុន ដំណោះស្រាយ (ដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយ) នៃសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយស៊ីនុស ត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត៖

ចម្លើយ​បាន​នាំ​ចេញ​ជា​ពីរ​ស៊េរី​នៃ​ឫស៖

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាដោយប្រើរូបមន្ត យើងទទួលបានចម្លើយ៖

x = (−1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

តាមពិត នេះជាចម្លើយដែលមិនទាន់ចប់ arcsin 0.5 = π / 6 ។ចម្លើយពេញលេញនឹងមានៈ

x = (−1) ន π / ៦+ π n, n ∈ Z

នេះ​លើក​ជា​សំណួរ​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍។ ឆ្លើយតបតាមរយៈ x 1; x ២ (នេះ​ជា​ចម្លើយ​ត្រឹម​ត្រូវ!) និង​ឆ្លង​កាត់​ភាព​ឯកា X (ហើយនេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ!) - តើពួកគេដូចគ្នាឬអត់? យើងនឹងដឹងឥឡូវនេះ។ )

យើងជំនួសចម្លើយជាមួយ x ១ តម្លៃ ន =0; 1; ២; ល។ យើងរាប់ យើងទទួលបានឫសជាបន្តបន្ទាប់៖

x 1 = π/6; 13π/6; ២៥π/៦ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ជាមួយនឹងការជំនួសដូចគ្នានៅក្នុងការឆ្លើយតបជាមួយ x ២ , យើងទទួលបាន:

x 2 = 5π/6; ១៧π/៦; ២៩π/៦ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ឥឡូវនេះសូមជំនួសតម្លៃ ន (0; 1; 2; 3; 4 ... ) ចូលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការនៅលីវ X . នោះគឺយើងលើកដកមួយទៅសូន្យអំណាច បន្ទាប់មកទៅទីមួយ ទីពីរ។ល។ ជាការប្រសើរណាស់, យើងជំនួស 0 ចូលទៅក្នុងពាក្យទីពីរ; 1; ២ ៣; ៤ ជាដើម។ ហើយយើងរាប់។ យើងទទួលបានស៊េរី៖

x = π/6; 5π/6; 13π/6; ១៧π/៦; ២៥π/៦ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

នោះហើយជាអ្វីដែលអ្នកអាចមើលឃើញ។) រូបមន្តទូទៅផ្តល់ឱ្យយើង ពិតជាលទ្ធផលដូចគ្នា។ដូចចម្លើយទាំងពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងពេលតែមួយតាមលំដាប់។ គណិតវិទូមិនត្រូវបានគេបោកបញ្ឆោតទេ។ )

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយតង់សង់ និងកូតង់សង់ក៏អាចត្រូវបានពិនិត្យផងដែរ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនធ្វើទេ។) ពួកគេគឺសាមញ្ញរួចទៅហើយ។

ខ្ញុំបានសរសេរការជំនួសទាំងអស់នេះ ហើយពិនិត្យជាពិសេស។ នៅទីនេះវាសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីរឿងសាមញ្ញមួយ៖ មានរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្របឋម។ គ្រាន់តែសង្ខេបខ្លីៗនៃចម្លើយ។សម្រាប់ភាពខ្លីនេះ យើងត្រូវបញ្ចូលបូក/ដកទៅក្នុងដំណោះស្រាយកូស៊ីនុស និង (-1) n ទៅក្នុងដំណោះស្រាយស៊ីនុស។

សិលាចារឹកទាំងនេះមិនជ្រៀតជ្រែកក្នុងមធ្យោបាយណាមួយនៅក្នុងកិច្ចការដែលអ្នកគ្រាន់តែត្រូវសរសេរចម្លើយចំពោះសមីការបឋម។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយវិសមភាព ឬបន្ទាប់មកអ្នកត្រូវធ្វើអ្វីមួយជាមួយនឹងចម្លើយ៖ ជ្រើសរើសឫសនៅលើចន្លោះពេល ពិនិត្យមើល ODZ ។ល។ សិលាចារឹកទាំងនេះអាចដោះស្រាយមនុស្សម្នាក់យ៉ាងងាយស្រួល។

ដូច្នេះតើខ្ញុំគួរធ្វើអ្វី? បាទ/ចាស សរសេរចម្លើយជាពីរស៊េរី ឬដោះស្រាយសមីការ/វិសមភាពដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ បន្ទាប់មកសិលាចារឹកទាំងនេះបាត់ ហើយជីវិតកាន់តែងាយស្រួល។ )

យើងអាចសង្ខេប។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត មានរូបមន្តចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ បួនបំណែក។ ពួកវាល្អសម្រាប់ការសរសេរភ្លាមៗនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ៖

sinx = 0.3

យ៉ាងងាយស្រួល៖ x = (−1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

គ្មានបញ្ហា៖ x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

យ៉ាងងាយស្រួល៖ x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

សល់មួយ៖ x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

ប្រសិនបើអ្នកភ្លឺដោយចំណេះដឹង សរសេរចម្លើយភ្លាមៗ៖

x = ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

បន្ទាប់មកអ្នកកំពុងភ្លឺហើយនេះ ... នោះ ... ពីភក់។) ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ មិនយល់ហេតុអ្វី? អានអ្វីដែល arc cosine ។ លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការដើម មានតម្លៃតារាងនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ កូតង់សង់ - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ល។ - ចម្លើយតាមរយៈ arches នឹងមិនត្រូវបានបញ្ចប់។ Arches ត្រូវតែបំប្លែងទៅជារ៉ាដ្យង់។

ហើយប្រសិនបើអ្នកឆ្លងកាត់វិសមភាពដូចជា

បន្ទាប់មកចម្លើយគឺ៖

x π n, n ∈ Z

មានការសមហេតុសមផលដ៏កម្រ បាទ...) នៅទីនេះអ្នកត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ អ្វីដែលយើងនឹងធ្វើនៅក្នុងប្រធានបទដែលត្រូវគ្នា។

សម្រាប់​អ្នក​ដែល​អាន​យ៉ាង​ខ្លាំង​ដល់​បន្ទាត់​ទាំង​នេះ។ ខ្ញុំគ្រាន់តែមិនអាចជួយបាន ប៉ុន្តែសូមកោតសរសើរចំពោះកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងទីតានិករបស់អ្នក។ ប្រាក់រង្វាន់សម្រាប់អ្នក។ )

ប្រាក់រង្វាន់៖

នៅពេលសរសេររូបមន្តក្នុងស្ថានភាពប្រយុទ្ធដ៏គួរឱ្យព្រួយបារម្ភ សូម្បីតែអ្នកប្រមឹកតាមរដូវកាល ជារឿយៗមានការភ័ន្តច្រឡំអំពីកន្លែងណា π n, និងកន្លែងណា 2π n. នេះជាល្បិចសាមញ្ញសម្រាប់អ្នក។ ក្នុង គ្រប់គ្នារូបមន្តមានតម្លៃ π ន. លើកលែងតែរូបមន្តតែមួយគត់ដែលមានអ័ក្សកូស៊ីនុស។ វាឈរនៅទីនោះ 2 π ន. ពីរប៉ែន ពាក្យ​គន្លឹះ - ពីរ។នៅក្នុងរូបមន្តដូចគ្នានេះមាន ពីរចុះហត្ថលេខានៅដើម។ បូកនិងដក។ ហើយនៅទីនោះ ហើយនៅទីនោះ - ពីរ។

ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកសរសេរ ពីរចុះហត្ថលេខានៅមុខអ័ក្សកូស៊ីនុស វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅចុងបញ្ចប់ ពីរប៉ែន ហើយវាក៏កើតឡើងតាមវិធីផ្សេងដែរ។ មនុស្សនឹងនឹកសញ្ញា ± ដល់ទីបញ្ចប់ សរសេរត្រឹមត្រូវ។ ពីរ Pien ហើយគាត់នឹងយល់ឃើញរបស់គាត់។ មានអ្វីមួយនៅខាងមុខ ពីរសញ្ញា! បុគ្គល​នោះ​នឹង​ត្រឡប់​ទៅ​ដើម​វិញ ហើយ​កែ​កំហុស​! ដូចនេះ។ )

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

នៅពេលដោះស្រាយច្រើន។ បញ្ហាគណិតវិទ្យាជាពិសេសអ្វីដែលកើតឡើងមុនថ្នាក់ទី 10 លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលបានអនុវត្តដែលនឹងនាំទៅដល់គោលដៅត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ បញ្ហាបែបនេះរួមមាន ឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ វិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ សមីការប្រភាគ និងសមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានីមួយៗដែលបានរៀបរាប់ដោយជោគជ័យមានដូចខាងក្រោម៖ អ្នកត្រូវបង្កើតបញ្ហាប្រភេទណាដែលអ្នកកំពុងដោះស្រាយ ចងចាំនូវលំដាប់សកម្មភាពចាំបាច់ដែលនឹងនាំទៅដល់លទ្ធផលដែលចង់បាន ពោលគឺឧ។ ឆ្លើយ ហើយធ្វើតាមជំហានទាំងនេះ។

វាច្បាស់ណាស់ថាជោគជ័យ ឬបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយអាស្រ័យជាចម្បងទៅលើរបៀបដែលប្រភេទនៃសមីការដែលត្រូវបានដោះស្រាយត្រូវបានកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ របៀបដែលលំដាប់នៃដំណាក់កាលទាំងអស់នៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញ។ ជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ និងការគណនាដូចគ្នាបេះបិទ។

ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រ។វាមិនពិបាកទាល់តែសោះក្នុងការបង្កើតការពិតដែលថាសមីការគឺត្រីកោណមាត្រ។ ការលំបាកកើតឡើងនៅពេលកំណត់លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ជួនកាលវាពិបាកក្នុងការកំណត់ប្រភេទរបស់វាដោយផ្អែកលើរូបរាងនៃសមីការមួយ។ ហើយដោយមិនដឹងពីប្រភេទនៃសមីការ វាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្ររាប់សិប។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អ្នកត្រូវព្យាយាម៖

1. នាំយកមុខងារទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការទៅជា "មុំដូចគ្នា";
2. នាំយកសមីការទៅជា "មុខងារដូចគ្នាបេះបិទ";
3. កត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ល។

ចូរយើងពិចារណា វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

I. ការកាត់បន្ថយដល់សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។បង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមាសធាតុដែលគេស្គាល់។

ជំហានទី 2ស្វែងរកអាគុយម៉ង់អនុគមន៍ដោយប្រើរូបមន្ត៖

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ ។

sin x = a; x = (−1) n arcsin a + πn, n Є Z ។

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z ។

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z ។

ជំហានទី 3ស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

2 cos(3x − π/4) = -√2 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) cos(3x − π/4) = -√2/2 ។

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z ។

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

II. ការជំនួសអថេរ

ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។កាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់ពិជគណិតដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយ។

ជំហានទី 2សម្គាល់មុខងារលទ្ធផលដោយអថេរ t (បើចាំបាច់ ណែនាំការរឹតបន្តឹងលើ t) ។

ជំហានទី 3សរសេរ និងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផល។

ជំហានទី 4 ។ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។

ជំហានទី 5ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

ឧទាហរណ៍។

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0 ។

2) ឲ្យ sin (x/2) = t, where |t| ≤ ១.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ឬ e = -3/2, មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ |t| ≤ ១.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π + 4πn, n Є Z ។

III. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលំដាប់សមីការ

ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ជំនួសសមីការនេះជាមួយលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់កាត់បន្ថយកម្រិត៖

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x) ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត I និង II ។

ឧទាហរណ៍។

cos 2x + cos 2 x = 5/4 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4 ។

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

IV. សមីការដូចគ្នា។

ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។កាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាទម្រង់

a) sin x + b cos x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ)

ឬទិដ្ឋភាព

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ) ។

ជំហានទី 2ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

ក) cos x ≠ 0;

ខ) cos 2 x ≠ 0;

ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ tan x៖

ក) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0 ។

ជំហានទី 3ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

5sin 2 x + 3sin x cos x − 4 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x − 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x − 4sin² x − 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x − 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0 ។

2) tg 2 x + 3tg x − 4 = 0 ។

3) អនុញ្ញាតឱ្យ tg x = t បន្ទាប់មក

t 2 + 3t − 4 = 0;

t = 1 ឬ t = -4 ដែលមានន័យថា

tg x = 1 ឬ tg x = −4 ។

ពីសមីការទីមួយ x = π/4 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។

V. វិធីសាស្រ្តបំប្លែងសមីការដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ កាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាសមីការដែលដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត I, II, III, IV ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0 ។

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ឬ 2cos x + 1 = 0;

ពីសមីការទីមួយ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ cos x = -1/2 ។

យើងមាន x = π/4 + πn/2, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z ។

ជាលទ្ធផល x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

សមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រគឺខ្លាំងណាស់ សំខាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍របស់ពួកគេទាមទារការខិតខំប្រឹងប្រែងយ៉ាងសំខាន់ ទាំងផ្នែកសិស្ស និងផ្នែកគ្រូ។

បញ្ហាជាច្រើននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី រូបវិទ្យា ជាដើម ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបង្កប់នូវចំណេះដឹង និងជំនាញជាច្រើនដែលទទួលបានដោយការសិក្សាពីធាតុផ្សំនៃត្រីកោណមាត្រ។

សមីការត្រីកោណមាត្រកាន់កាប់កន្លែងសំខាន់មួយនៅក្នុងដំណើរការនៃការរៀនគណិតវិទ្យា និងការអភិវឌ្ឍន៍ផ្ទាល់ខ្លួនជាទូទៅ។

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។

អាចកម្ម៉ង់បាន ដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក!!!

សមភាពដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (`sin x, cos x, tan x` ឬ `ctg x`) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រ ហើយវាគឺជារូបមន្តរបស់ពួកគេដែលយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀត។

សមីការសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានគេហៅថា `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` ដែល `x` ជាមុំដែលត្រូវរក `a` គឺជាចំនួនណាមួយ។ ចូរយើងសរសេររូបមន្តឫសសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ។

1. សមីការ `sin x=a` ។

សម្រាប់ `|a|>1` វាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ពេល `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. សមីការ `cos x = a`

សម្រាប់ `|a|>1` - ដូចក្នុងករណីស៊ីនុស វាមិនមានដំណោះស្រាយក្នុងចំណោមចំនួនពិតទេ។

ពេល `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ករណីពិសេសសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងក្រាហ្វ។

3. សមីការ `tg x=a`

មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. សមីការ `ctg x=a`

ក៏​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​ដំណោះ​ស្រាយ​សម្រាប់​តម្លៃ​ណាមួយ​នៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រក្នុងតារាង

សម្រាប់ស៊ីនុស៖
សម្រាប់កូស៊ីនុស៖
សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស៖

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយមានពីរដំណាក់កាល៖

• ដោយមានជំនួយពីការបំលែងវាទៅជាសាមញ្ញបំផុត;
• ដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញបំផុតដែលទទួលបានដោយប្រើរូបមន្តឫស និងតារាងដែលបានសរសេរខាងលើ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយចម្បងដោយប្រើឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្ត្រពិជគណិត។

វិធីសាស្រ្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការជំនួសអថេរមួយ និងជំនួសវាទៅជាសមភាព។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ធ្វើការជំនួស៖ `cos(x+\frac \pi 6)=y` បន្ទាប់មក `2y^2-3y+1=0`,

យើងរកឃើញឫស៖ `y_1=1, y_2=1/2` ដែលករណីពីរដូចខាងក្រោម៖

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n` ។

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n` ។

ការបំបែកឯកតា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `sin x + cos x = 1` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង៖ `sin x+cos x-1=0`។ ដោយប្រើ យើងបំប្លែង និងកំណត់ផ្នែកខាងឆ្វេង៖

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n` ។
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`។

ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

ដំបូងអ្នកត្រូវកាត់បន្ថយសមីការត្រីកោណមាត្រនេះទៅជាទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ពីរ៖

`a sin x + b cos x = 0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ) ឬ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ)។

បន្ទាប់មកចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `cos x \ne 0` - សម្រាប់ករណីទីមួយ និងដោយ `cos^2 x \ne 0` - សម្រាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ `tg x`: `a tg x+b=0` និង `a tg^2 x + b tg x +c =0` ដែលចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរផ្នែកខាងស្តាំជា `1=sin^2 x+cos^2 x`៖

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0` ។

នេះគឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ យើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយ `cos^2 x \ne 0` យើងទទួលបាន៖

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0` ។ សូមណែនាំការជំនួស `tg x=t` លទ្ធផលជា `t^2 + t - 2=0` ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ `t_1=-2` និង `t_2=1` ។ បន្ទាប់មក៖

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ផ្លាស់ទីទៅពាក់កណ្តាលមុំ

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `11 sin x − 2 cos x = 10` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេ ជាលទ្ធផល៖ `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

អនុវត្តវិធីសាស្ត្រពិជគណិតដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ យើងទទួលបាន៖

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

សេចក្តីផ្តើមនៃមុំជំនួយ

នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ `a sin x + b cos x = c` ដែល a, b, c ជាមេគុណ និង x ជាអថេរ បែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ `sqrt (a^2+b^2)`៖

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`។

មេគុណ​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ស៊ីនុស និង​កូស៊ីនុស ពោល​គឺ​ផល​បូក​នៃ​ការ​ការ៉េ​របស់​វា​ស្មើ​នឹង 1 ហើយ​ម៉ូឌុល​របស់​វា​មិន​ធំ​ជាង 1។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ពួក​វា​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) = sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` បន្ទាប់មក៖

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x = C` ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `3 sin x + 4 cos x = 2` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយ `sqrt (3^2+4^2)` ​​យើងទទួលបាន៖

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=``\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`។

ចូរយើងសម្គាល់ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ។ ចាប់តាំងពី `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` បន្ទាប់មកយើងយក `\varphi=arcsin 4/5` ជាមុំជំនួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់៖

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ដោយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំសម្រាប់ស៊ីនុស យើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

សមីការត្រីកោណមាត្រប្រភាគ

ទាំងនេះគឺជាសមភាពជាមួយប្រភាគដែលភាគយក និងភាគបែងមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`។

ដំណោះស្រាយ។ គុណ និងចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពដោយ `(1+cos x)`។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ដោយពិចារណាថាភាគបែងមិនអាចស្មើនឹងសូន្យ យើងទទួលបាន `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ។

ចូរ​គណនា​ភាគយក​នៃ​ប្រភាគ​ទៅ​សូន្យ៖ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`។ បន្ទាប់មក `sin x=0` ឬ `1-sin x=0`។

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z` ។

ដោយសារ `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ដំណោះស្រាយគឺ `x=2\pi n, n \in Z` និង `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ ក្នុង Z` ។

ចម្លើយ។ `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z` ។

ត្រីកោណមាត្រ និងសមីការត្រីកោណមាត្រ ជាពិសេស ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃធរណីមាត្រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ ការសិក្សាចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់ទី 10 តែងតែមានភារកិច្ចសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ដូច្នេះព្យាយាមចងចាំរូបមន្តទាំងអស់នៃសមីការត្រីកោណមាត្រ - ពួកគេប្រាកដជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក!

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកមិនចាំបាច់ទន្ទេញវាទេ រឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ពីខ្លឹមសារ និងអាចទាញយកវាបាន។ វាមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។ មើលដោយខ្លួនឯងដោយមើលវីដេអូ។

តម្រូវឱ្យមានចំនេះដឹងនៃរូបមន្តមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ - ផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស កន្សោមតង់សង់តាមរយៈស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស និងផ្សេងទៀត។ សម្រាប់អ្នកដែលភ្លេចពួកគេឬមិនស្គាល់ពួកគេយើងសូមណែនាំឱ្យអានអត្ថបទ "" ។
ដូច្នេះ យើងដឹងពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន វាដល់ពេលដែលត្រូវប្រើវាក្នុងការអនុវត្តហើយ។ ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តត្រឹមត្រូវ វាជាសកម្មភាពដ៏គួរឱ្យរំភើបមួយ ដូចជាឧទាហរណ៍ ការដោះស្រាយគូបរបស់ Rubik ។

ដោយផ្អែកលើឈ្មោះខ្លួនវាច្បាស់ណាស់ថាសមីការត្រីកោណមាត្រគឺជាសមីការដែលមិនស្គាល់គឺស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។
មានអ្វីដែលហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។ នេះគឺជាអ្វីដែលពួកគេមើលទៅដូច: sinx = a, cos x = a, tan x = a ។ ចូរយើងពិចារណា របៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្របែបនេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងនឹងប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយ។

sinx = ក

cos x = ក

តាន់ x = ក

គ្រែ x = ក

សមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយត្រូវបានដោះស្រាយជាពីរដំណាក់កាល៖ យើងកាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយវាជាសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។
មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួន 7 ដែលសមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានដោះស្រាយ។

1. វិធីសាស្រ្តជំនួសនិងជំនួសអថេរ

ដោះស្រាយសមីការ 2cos 2 (x + / 6) – 3sin (/3 – x) +1 = 0

ដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន៖

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

ជំនួស cos (x + / 6) ជាមួយ y ដើម្បីសម្រួល និងទទួលបានសមីការការ៉េធម្មតា៖

2y 2 – 3y + 1 + 0

ឫសគល់គឺ y 1 = 1, y 2 = 1/2

ឥឡូវ​យើង​ទៅ​តាម​លំដាប់​បញ្ច្រាស

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ y ហើយទទួលបានជម្រើសចម្លើយពីរ៖

2. ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រតាមរយៈការបង្កើតកត្តា

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ sin x + cos x = 1?

ចូរផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេងដើម្បីឱ្យ 0 នៅខាងស្តាំ៖

sin x + cos x − 1 = 0

ចូរយើងប្រើអត្តសញ្ញាណដែលបានពិភាក្សាខាងលើ ដើម្បីសម្រួលសមីការ៖

sin x − 2 sin 2 (x/2) = 0

ចូរយើងធ្វើកត្តា៖

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

យើងទទួលបានសមីការពីរ

3. ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

សមីការគឺដូចគ្នាដោយគោរពតាមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ប្រសិនបើពាក្យទាំងអស់របស់វាទាក់ទងទៅនឹងស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃកម្រិតដូចគ្នានៃមុំដូចគ្នា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា សូមបន្តដូចខាងក្រោម៖

ក) ផ្ទេរសមាជិកទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង;

ខ) យកកត្តាទូទៅទាំងអស់ចេញពីតង្កៀប;

គ) ស្មើកត្តាទាំងអស់ និងតង្កៀបទៅ 0;

ឃ) សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទាបជាងមួយត្រូវបានទទួលនៅក្នុងតង្កៀប ដែលនៅក្នុងវេនត្រូវបានបែងចែកទៅជាស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។

e) ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ tg ។

ដោះស្រាយសមីការ 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

ចូរប្រើរូបមន្ត sin 2 x + cos 2 x = 1 ហើយកម្ចាត់ពីរបើកនៅខាងស្តាំ៖

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

ចែកដោយ cos x៖

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

ជំនួស tan x ជាមួយ y ហើយទទួលបានសមីការការ៉េ៖

y 2 + 4y +3 = 0 ដែលឫសគឺ y 1 = 1, y 2 = 3

ពីទីនេះយើងរកឃើញដំណោះស្រាយពីរចំពោះសមីការដើម៖

x 2 = arctan 3 + k

4. ការដោះស្រាយសមីការតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរទៅជាមុំពាក់កណ្តាល

ដោះស្រាយសមីការ 3sin x − 5cos x = 7

តោះបន្តទៅ x/2៖

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

តោះផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង៖

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

ចែកដោយ cos(x/2)៖

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. សេចក្តីផ្តើមនៃមុំជំនួយ

សម្រាប់ការពិចារណា ចូរយើងយកសមីការនៃទម្រង់៖ a sin x + b cos x = c,

ដែល a, b, c គឺជាមេគុណបំពានមួយចំនួន ហើយ x គឺមិនស្គាល់។

ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ៖



ឥឡូវនេះមេគុណនៃសមីការនេះបើយោងតាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមានលក្ខណៈសម្បត្តិ sin និង cos ពោលគឺ ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេគឺមិនលើសពី 1 និងផលបូកនៃការ៉េ = 1 ។ ចូរយើងសម្គាល់ពួកវារៀងៗខ្លួនជា cos និង sin ដែលជាកន្លែងដែល - នេះគឺជា មុំជំនួយដែលគេហៅថា។ បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖

cos * sin x + sin * cos x = C

ឬ sin(x + ) = C

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុតនេះគឺ

x = (−1) k * arcsin C − + k, កន្លែងណា



គួរកត់សំគាល់ថា សញ្ញាណ cos និង sin អាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបាន។

ដោះស្រាយសមីការ sin 3x – cos 3x = 1

មេគុណនៅក្នុងសមីការនេះគឺ៖

a = , b = −1 ដូច្នេះចែកទាំងសងខាងដោយ = 2

មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ការពិនិត្យ បំណងប្រាថ្នា! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីប្រឆាំងមេរោគ។

សៀវភៅណែនាំ និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអ៊ីនធឺណេតអាំងតេក្រាលសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10 ពី 1C
យើងដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងធរណីមាត្រ។ កិច្ចការអន្តរកម្មសម្រាប់ការសាងសង់ក្នុងលំហ
បរិស្ថានកម្មវិធី "1C: Mathematical Constructor 6.1"

អ្វីដែលយើងនឹងសិក្សា៖
1. តើសមីការត្រីកោណមាត្រជាអ្វី?

3. វិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
4. សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។
5. ឧទាហរណ៍។

តើសមីការត្រីកោណមាត្រជាអ្វី?

បុរស, យើងបានសិក្សារួចហើយ arcsine, arccosine, arctangent និង arccotangent ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលសមីការត្រីកោណមាត្រជាទូទៅ។

សមីការត្រីកោណមាត្រគឺជាសមីការដែលអថេរមួយត្រូវបានផ្ទុកនៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវទម្រង់នៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត៖

1) ប្រសិនបើ |a|≤ 1 នោះសមីការ cos(x) = a មានដំណោះស្រាយ៖

X = ± arccos(a) + 2πk

2) ប្រសិនបើ |a|≤ 1 នោះសមីការ sin(x) = a មានដំណោះស្រាយ៖

៣) បើ |a| > 1 បន្ទាប់មកសមីការ sin(x) = a និង cos(x) = a មិនមានដំណោះស្រាយ 4) សមីការ tg(x)=a មានដំណោះស្រាយ៖ x=arctg(a)+ πk

5) សមីការ ctg(x)=a មានដំណោះស្រាយ៖ x=arcctg(a)+ πk

សម្រាប់រូបមន្តទាំងអស់ k គឺជាចំនួនគត់

សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតមានទម្រង់៖ T(kx+m)=a, T គឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ៖ ក) sin(3x)= √3/2

ដំណោះស្រាយ៖

ក) អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ 3x = t បន្ទាប់មកយើងនឹងសរសេរសមីការរបស់យើងឡើងវិញក្នុងទម្រង់:

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺ៖ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn ។

ពីតារាងតម្លៃយើងទទួលបាន៖ t = ((-1)^n) ×π/3+ πn ។

ចូរត្រឡប់ទៅអថេររបស់យើងវិញ៖ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

បន្ទាប់មក x = ((-1)^n) × π/9+ πn/3

ចម្លើយ៖ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 ដែល n ជាចំនួនគត់។ (-1)^n – ដកមួយទៅអំណាចនៃ n ។

ឧទាហរណ៍ច្រើនទៀតនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

ដំណោះស្រាយ៖

ក) លើកនេះ យើងបន្តទៅការគណនាឫសនៃសមីការភ្លាមៗ៖

X/5= ± arccos(1) + 2πk។ បន្ទាប់មក x/5= πk => x=5πk

ចម្លើយ៖ x=5πk ដែល k ជាចំនួនគត់។

ខ) យើងសរសេរវាជាទម្រង់៖ 3x- π/3=arctg(√3)+ πk។ យើងដឹងថា៖ arctan(√3) = π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

ចម្លើយ៖ x=2π/9 + πk/3 ដែល k ជាចំនួនគត់។

ដោះស្រាយសមីការ៖ cos(4x) = √2/2 ។ ហើយស្វែងរកឫសទាំងអស់នៅលើផ្នែក។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការរបស់យើងក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖ 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

ឥឡូវ​យើង​មើល​ថា តើ​ឫស​អ្វី​ធ្លាក់​មក​លើ​ផ្នែក​របស់​យើង។ នៅ k នៅ k = 0, x = π/16 យើងស្ថិតនៅក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ជាមួយ k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 យើងវាយម្តងទៀត។
សម្រាប់ k=2, x= π/16+ π=17π/16 ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងមិនបានវាយទេ ដែលមានន័យថាសម្រាប់ k ធំ យើងក៏ច្បាស់ជាមិនប៉ះដែរ។

ចម្លើយ៖ x= π/16, x= 9π/16

ដំណោះស្រាយសំខាន់ពីរ។

យើងបានក្រឡេកមើលសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែក៏មានភាពស្មុគស្មាញជាងនេះផងដែរ។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី និងវិធីសាស្រ្តនៃកត្តាកត្តាត្រូវបានប្រើ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

តោះដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការរបស់យើង យើងនឹងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី ដោយបង្ហាញ៖ t=tg(x)។

ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសយើងទទួលបាន: t 2 + 2t -1 = 0

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖ t=-1 និង t=1/3

បន្ទាប់មក tg(x)=-1 និង tg(x)=1/3 យើងទទួលបានសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់របស់វា។

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk ។

ចម្លើយ៖ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ

ដោះស្រាយសមីការ៖ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរប្រើអត្តសញ្ញាណ: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

សមីការរបស់យើងនឹងយកទម្រង់៖ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

ចូរយើងណែនាំការជំនួស t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េរបស់យើងគឺឫស៖ t=2 និង t=-1/2

បន្ទាប់មក cos(x)=2 និង cos(x)=-1/2។

ដោយសារតែ កូស៊ីនុសមិនអាចយកតម្លៃធំជាងមួយបានទេ បន្ទាប់មក cos(x)=2 មិនមានឫសគល់ទេ។

សម្រាប់ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x = ± 2π/3 + 2πk

ចម្លើយ៖ x = ± 2π/3 + 2πk

សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។

និយមន័យ៖ សមីការនៃទម្រង់ sin(x)+b cos(x) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ។

សមីការនៃទម្រង់

សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ ចែកវាដោយ cos(x)៖ អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយកូស៊ីនុសបានទេ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ សូមប្រាកដថានេះមិនមែនជាករណី៖
អនុញ្ញាតឱ្យ cos(x)=0 បន្ទាប់មក asin(x)+0=0 => sin(x)=0 ប៉ុន្តែស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកដោយសុវត្ថិភាព។ ដោយសូន្យ។

ដោះស្រាយសមីការ៖
ឧទាហរណ៍៖ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយកកត្តាទូទៅចេញ៖ cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

បន្ទាប់មកយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ៖

Cos(x)=0 និង cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 នៅ x= π/2 + πk;

ពិចារណាសមីការ cos(x)+sin(x)=0 ចែកសមីការរបស់យើងដោយ cos(x)៖

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

ចម្លើយ៖ x = π/2 + πk និង x = -π/4+πk

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ?
បុរសៗ តែងតែអនុវត្តតាមច្បាប់ទាំងនេះ!

1. មើលថាតើមេគុណ a ស្មើនឹងអ្វី ប្រសិនបើ a=0 នោះសមីការរបស់យើងនឹងយកទម្រង់ cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) ដែលជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលមាននៅលើស្លាយមុន

2. ប្រសិនបើ a≠0 នោះអ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ cosine ការ៉េ យើងទទួលបាន៖

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=tg(x) ហើយទទួលបានសមីការ៖

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ៖ ៣

ដោះស្រាយសមីការ៖
ដំណោះស្រាយ៖

ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយការ៉េកូស៊ីនុស៖

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖ t=-3 និង t=1

បន្ទាប់មក៖ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

ចម្លើយ៖ x=-arctg(3) + πk និង x= π/4+ πk

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ: 4

ដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើង៖

យើងអាចដោះស្រាយសមីការបែបនេះ៖ x= − π/4 + 2πk និង x = 5π/4 + 2πk

ចម្លើយ៖ x= − π/4 + 2πk និង x = 5π/4 + 2πk

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ៖ ៥

ដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើង៖

ចូរយើងណែនាំការជំនួស tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េរបស់យើងនឹងជាឫស៖ t=-2 និង t=1/2

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ tg(2x)=-2 និង tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ចម្លើយ៖ x=-arctg(2)/2 + πk/2 និង x=arctg(1/2)/2+ πk/2

បញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

1) ដោះស្រាយសមីការ

ក) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

២) ដោះស្រាយសមីការ៖ sin(3x) = √3/2 ។ ហើយស្វែងរកឫសទាំងអស់នៅលើផ្នែក [π/2; π] ។

៣) ដោះស្រាយសមីការ៖ cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 = 0

4) ដោះស្រាយសមីការ៖ 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ដោះស្រាយសមីការ៖ 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

៦) ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 (2x) -1 - cos(x) = √3/2 -sin 2 (2x)