តង់សង់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅកូស៊ីនុស។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ៖ និយមន័យ ឧទាហរណ៍

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបផ្តល់ឱ្យ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំ និងលេខក្នុងត្រីកោណមាត្រ. នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីសញ្ញាណ ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃធាតុ និងផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ សរុបសេចក្តីមក ចូរយើងគូរភាពស្របគ្នារវាងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ និងធរណីមាត្រ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់

សូមមើលពីរបៀបដែលគំនិតនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយក្រោយមកទៀត ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានសិក្សា ដែលនិយាយអំពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល និងលេខ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញនិយមន័យទាំងអស់នេះ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងផ្តល់យោបល់ចាំបាច់។

មុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែង

ពីវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រ យើងដឹងពីនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ជាសមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់រូបមន្តរបស់ពួកគេ។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំមួយគឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកផ្ទុយទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណកែងគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំ- នេះគឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកទល់មុខទៅនឹងផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នា។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំ- នេះគឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងភាគីផ្ទុយ។

ការរចនាសម្រាប់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក៏ត្រូវបានណែនាំនៅទីនោះផងដែរ - sin, cos, tg និង ctg រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ ABC ជាត្រីកោណកែងដែលមានមុំខាងស្តាំ C នោះស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុងម្ខាង BC ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស AB នោះគឺ sin∠A=BC/AB។

និយមន័យទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួច ពីប្រវែងដែលគេស្គាល់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ ក៏ដូចជាពីតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់។ កូតង់សង់ និងប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាង ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងដឹងថាក្នុងត្រីកោណកែងជើង AC ស្មើនឹង 3 ហើយអ៊ីប៉ូតេនុស AB ស្មើនឹង 7 នោះយើងអាចគណនាតម្លៃកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A តាមនិយមន័យ៖ cos∠A=AC/ AB = 3/7 ។

មុំបង្វិល

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រពួកគេចាប់ផ្តើមមើលមុំកាន់តែទូលំទូលាយ - ពួកគេណែនាំគំនិតនៃមុំនៃការបង្វិល។ ទំហំនៃមុំបង្វិលមិនដូចមុំស្រួចទេ មិនត្រូវបានកំណត់ត្រឹម 0 ទៅ 90 ដឺក្រេទេ មុំបង្វិលគិតជាដឺក្រេ (និងជារ៉ាដ្យង់) អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតណាមួយពី −∞ ទៅ +∞ ។

នៅក្នុងពន្លឺនេះ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ មិនត្រូវបានផ្តល់ជាមុំស្រួចនោះទេ ប៉ុន្តែជាមុំនៃទំហំបំពាន - មុំនៃការបង្វិល។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈកូអរដោនេ x និង y នៃចំណុច A 1 ដែលចំណុចចាប់ផ្តើមដែលគេហៅថា A (1, 0) ដំណើរការបន្ទាប់ពីការបង្វិលរបស់វាដោយមុំ α ជុំវិញចំណុច O - ការចាប់ផ្តើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ និងកណ្តាលនៃរង្វង់ឯកតា។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα គឺជាការកំណត់នៃចំណុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំណុច A 1 នោះគឺ cosα = x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃចំនុច A 1 ទៅនឹង abscissa របស់វា នោះគឺ tanα = y/x ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa នៃចំណុច A 1 ទៅនឹងការចាត់តាំងរបស់វា ពោលគឺ ctgα = x/y ។

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំណាមួយ α ចាប់តាំងពីយើងតែងតែអាចកំណត់ abscissa និង ordinate នៃចំណុច ដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមដោយមុំα។ ប៉ុន្តែតង់សង់ និងកូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំណាមួយឡើយ។ តង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំ α ដែលចំណុចចាប់ផ្តើមទៅចំណុចសូន្យ abscissa (0, 1) ឬ (0, −1) ហើយវាកើតឡើងនៅមុំ 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad)។ ជាការពិតណាស់ នៅមុំនៃការបង្វិលបែបនេះ កន្សោម tgα=y/x មិនសមហេតុផលទេ ព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ ចំពោះកូតង់សង់ វាមិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំ α ដែលចំណុចចាប់ផ្តើមទៅចំណុចជាមួយនឹងលេខសូន្យ (1, 0) ឬ (−1, 0) ហើយវាកើតឡើងសម្រាប់មុំ 180° k, k ∈Z (π·k rad) ។

ដូច្នេះ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំបង្វិលណាមួយ តង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ហើយកូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 180° ·k , k∈Z (π·k rad) ។

និយមន័យរួមមានការរចនាដែលយើងស្គាល់រួចហើយ sin, cos, tg និង ctg ពួកវាក៏ត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល (ពេលខ្លះអ្នកអាចរកឃើញការរចនា tan និង cotcorresponding to tangent និង cotangent) . ដូច្នេះស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល 30 ដឺក្រេអាចសរសេរជា sin30° ធាតុ tg(−24°17′) និង ctgα ត្រូវគ្នាទៅនឹងតង់សង់នៃមុំបង្វិល −24 ដឺក្រេ 17 នាទី និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα . សូមចាំថានៅពេលសរសេររង្វាស់រ៉ាដ្យង់នៃមុំ ការកំណត់ "រ៉ាដ" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ ឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃបី pi rad ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងថា cos3·π។

សរុបសេចក្តីមកចំណុចនេះ គួរកត់សំគាល់ថា នៅពេលនិយាយអំពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល ឃ្លា “មុំបង្វិល” ឬពាក្យ “បង្វិល” ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ នោះគឺជំនួសឱ្យឃ្លា "sine of the rotation angle alpha" ឃ្លា "sine of the alpha angle" ឬសូម្បីតែខ្លីជាង "sine alpha" ជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើ។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះកូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់។

យើងក៏នឹងនិយាយផងដែរថា និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែងគឺស្របនឹងនិយមន័យដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។ យើងនឹងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនេះ។

លេខ

និយមន័យ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ t គឺជាលេខដែលស្មើនឹងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលគិតជា t រ៉ាដ្យង់ រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃលេខ 8·π តាមនិយមន័យគឺជាលេខដែលស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំ 8·π rad ។ ហើយកូស៊ីនុសនៃមុំ 8·π rad គឺស្មើនឹងមួយ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃលេខ 8·π គឺស្មើនឹង 1 ។

មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាចំនួនពិតនីមួយៗ t ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ ហើយស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់តាមរយៈកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ។ សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះឱ្យបានលំអិត។

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលការឆ្លើយឆ្លងត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងចំនួនពិត និងចំណុចនៅលើរង្វង់មួយ៖

លេខ 0 ត្រូវបានកំណត់ចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0);
លេខវិជ្ជមាន t ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីតាមរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយដើរផ្លូវនៃប្រវែង t;
លេខអវិជ្ជមាន t ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីតាមរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកា ហើយដើរផ្លូវនៃប្រវែង |t| .

ឥឡូវនេះយើងបន្តទៅនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃលេខ t ។ ចូរយើងសន្មត់ថាលេខ t ត្រូវគ្នានឹងចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ A 1 (x, y) (ឧទាហរណ៍ លេខ &pi/2; ត្រូវនឹងចំនុច A 1 (0, 1))។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃលេខ t គឺជាលំដាប់នៃចំនុចនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវនឹងលេខ t នោះគឺ sint = y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃលេខ t ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំនុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ cost = x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃការចាត់តាំងទៅ abscissa នៃចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ tgt = y/x ។ នៅក្នុងរូបមន្តសមមូលមួយផ្សេងទៀត តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃចំនួននេះទៅនឹងកូស៊ីនុស នោះគឺ tgt=sint/cost ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa ទៅនឹងការចាត់តាំងនៃចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ ctgt=x/y ។ រូបមន្តមួយទៀតគឺនេះ៖ តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសនៃចំនួន t ទៅស៊ីនុសនៃលេខ t: ctgt = cost/sint ។

នៅទីនេះយើងកត់សម្គាល់ថានិយមន័យដែលទើបតែផ្តល់គឺស្របនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមកថាខណ្ឌនេះ។ ជាការពិតណាស់ ចំណុចនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t ស្របគ្នានឹងចំណុចដែលទទួលបានដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមដោយមុំ t រ៉ាដ្យង់។

វានៅតែមានតម្លៃក្នុងការបញ្ជាក់ចំណុចនេះ។ ឧបមាថាយើងមានធាតុចូល sin3 ។ តើយើងអាចយល់បានថាយើងកំពុងនិយាយអំពីស៊ីនុសនៃលេខ 3 ឬស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃ 3 រ៉ាដ្យង់? នេះជាធម្មតាច្បាស់លាស់ពីបរិបទ បើមិនដូច្នេះទេ វាទំនងជាមិនមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋានទេ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ និងលេខ

យោងតាមនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន មុំបង្វិលនីមួយៗαត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ sinα ក៏ដូចជាតម្លៃ cosα។ លើសពីនេះ មុំបង្វិលទាំងអស់ក្រៅពី 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgα និងតម្លៃផ្សេងទៀតលើសពី 180°k, k∈Z (πk rad) – តម្លៃ នៃ ctgα ។ ដូច្នេះ sinα, cosα, tanα និង ctgα គឺជាមុខងារនៃមុំα។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មុំ។

យើងអាចនិយាយស្រដៀងគ្នាអំពីអនុគមន៍ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ ជាការពិតណាស់ លេខពិតនីមួយៗ t ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ ក៏ដូចជាតម្លៃផងដែរ។ លើសពីនេះទៀត លេខទាំងអស់ក្រៅពី π/2+π·k, k∈Z ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgt, និងលេខ π·k, k∈Z - តម្លៃ ctgt ។

មុខងារស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន.

ជាធម្មតាវាច្បាស់ពីបរិបទថាតើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ ឬអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងអាចគិតពីអថេរឯករាជ្យជារង្វាស់មុំ (អាគុយម៉ង់មុំ) និងអាគុយម៉ង់ជាលេខ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅសាលាយើងសិក្សាជាចម្បងនូវមុខងារលេខ នោះគឺជាមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ ក៏ដូចជាតម្លៃមុខងារដែលត្រូវគ្នាជាលេខ។ ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយជាពិសេសអំពីអនុគមន៍នោះ គួរតែពិចារណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់លេខ។

ទំនាក់ទំនងរវាងនិយមន័យពីធរណីមាត្រ និងត្រីកោណមាត្រ

ប្រសិនបើយើងពិចារណាមុំបង្វិល α ចាប់ពី 0 ដល់ 90 ដឺក្រេ នោះនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលក្នុងបរិបទនៃត្រីកោណមាត្រគឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់។ មុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រ។ ចូរយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃរឿងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពណ៌នារង្វង់ឯកតានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ Oxy ។ ចូរសម្គាល់ចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0) ។ ចូរយើងបង្វិលវាដោយមុំ α ចាប់ពី 0 ដល់ 90 ដឺក្រេ យើងទទួលបានចំនុច A 1 (x, y) ។ ចូរយើងទម្លាក់កាត់កែង A 1 H ពីចំណុច A 1 ទៅអ័ក្សអុក។

វាងាយមើលឃើញថានៅក្នុងត្រីកោណកែងមុំ A 1 OH ស្មើនឹងមុំបង្វិល α ប្រវែងជើង OH ជាប់នឹងមុំនេះគឺស្មើនឹង abscissa នៃចំនុច A 1 ពោលគឺ |OH |=x ប្រវែងជើង A 1 H ទល់មុខនឹងមុំស្មើរនឹងចំនុច A 1 នោះគឺ |A 1 H|=y ហើយប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស OA 1 គឺស្មើនឹងមួយ។ ដោយសារវាជាកាំនៃរង្វង់ឯកតា។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យពីធរណីមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចα ក្នុងត្រីកោណកែង A 1 OH គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស ពោលគឺ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y។ ហើយតាមនិយមន័យពីត្រីកោណមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល α គឺស្មើនឹងការចាត់តាំងនៃចំណុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។ នេះបង្ហាញថាការកំណត់ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងកំណត់ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលαនៅពេលដែលαមានពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

ដូចគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា និយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចα គឺស្របជាមួយនឹងនិយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα។

ឯកសារយោង។

ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 7-9៖ សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [អិល។ S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ។ល។] ។ - ទី 20 ed ។ M.: ការអប់រំ, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8 ។
Pogorelov A.V.ធរណីមាត្រ៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-9 ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A.V. Pogorelov ។ - លើកទី 2 - M. : ការអប់រំ, 2001. - 224 ទំ។ : ill ។ - ISBN 5-09-010803-X ។
ពិជគណិត និងអនុគមន៍បឋម: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 9 នៃអនុវិទ្យាល័យ / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; កែសម្រួលដោយបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា O.N. Golovin - 4th ed. អិមៈការអប់រំឆ្នាំ ១៩៦៩ ។
ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 ។ មធ្យម សាលា/យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; អេដ។ S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill - ISBN 5-09-002727-7
ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc ។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. អេដ។ A. N. Kolmogorov - ទី 14 ed - M.: Education, 2004. - 384 pp.: ill - ISBN 5-09-013651-3 ។
Mordkovich A.G.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ ថ្នាក់ទី 10 ។ នៅក្នុង 2 ផ្នែកទី 1: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំទូទៅ (កម្រិតទម្រង់) / A.G. Mordkovich, P. V. Semenov ។ - ទី 4 ed ។ , បន្ថែម។ - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0 ។
ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; កែសម្រួលដោយ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M.I.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 ។ មធ្យម សាលា - ទី 3 ed ។ - M.: ការអប់រំ, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4 ។
Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា, ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

សេចក្តីណែនាំ

វីដេអូលើប្រធានបទ

សូមចំណាំ

នៅពេលគណនាជ្រុងនៃត្រីកោណកែង ចំណេះដឹងអំពីលក្ខណៈរបស់វាអាចដើរតួនាទីមួយ៖
1) ប្រសិនបើជើងនៃមុំខាងស្តាំស្ថិតនៅទល់មុខមុំ 30 ដឺក្រេនោះវាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស។
2) អ៊ីប៉ូតេនុសគឺតែងតែវែងជាងជើងណាមួយ;
3) ប្រសិនបើរង្វង់មួយត្រូវបានគូសរង្វង់ជុំវិញត្រីកោណខាងស្តាំ នោះកណ្តាលរបស់វាត្រូវតែស្ថិតនៅចំកណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស។

អ៊ីប៉ូតេនុស គឺជាផ្នែកម្ខាងក្នុងត្រីកោណកែងដែលទល់មុខមុំ 90 ដឺក្រេ។ ដើម្បីគណនាប្រវែងរបស់វា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីប្រវែងនៃជើងមួយ និងទំហំនៃមុំស្រួចមួយនៃត្រីកោណ។

សេចក្តីណែនាំ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីជើងមួយ និងមុំដែលនៅជាប់នឹងវា។ ដើម្បីឱ្យជាក់លាក់ អនុញ្ញាតឱ្យទាំងនេះជាភាគី |AB| និងមុំα។ បន្ទាប់មកយើងអាចប្រើរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសត្រីកោណមាត្រ - សមាមាត្រកូស៊ីនុសនៃជើងដែលនៅជាប់នឹង។ ទាំងនោះ។ នៅក្នុងសញ្ញាណរបស់យើង cos α = |AB| / |AC|។ ពីនេះយើងទទួលបានប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស |AC| = |AB| / cos α។
បើយើងស្គាល់ខាង|BC| និងមុំ α បន្ទាប់មកយើងនឹងប្រើរូបមន្តដើម្បីគណនាស៊ីនុសនៃមុំ - ស៊ីនុសនៃមុំគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស៖ sin α = |BC| / |AC|។ យើងរកឃើញថាប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ |AC| = |BC| / cos α។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ អោយប្រវែងជើង |AB|។ = 15. និងមុំ α = 60° ។ យើងទទួលបាន |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30 ។
សូមក្រឡេកមើលពីរបៀបដែលអ្នកអាចពិនិត្យមើលលទ្ធផលរបស់អ្នកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវគណនាប្រវែងជើងទីពីរ |BC| ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំតង់ α = |BC| / |AC| យើងទទួលបាន |BC| = |AB| * តាន α = 15 * តាន់ 60° = 15 * √3 ។ បន្ទាប់មក យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ យើងទទួលបាន 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900។ ពិនិត្យរួចរាល់។

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

បន្ទាប់ពីគណនាអ៊ីប៉ូតេនុស សូមពិនិត្យមើលថាតើតម្លៃលទ្ធផលត្រូវនឹងទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ។

ប្រភព៖

តារាងនៃលេខបឋមពី 1 ដល់ 10000

ជើងគឺជាជ្រុងខ្លីពីរនៃត្រីកោណកែងដែលបង្កើតជាចំណុចកំពូលដែលមានទំហំ 90°។ ផ្នែកទីបីនៅក្នុងត្រីកោណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីប៉ូតេនុស។ ជ្រុង និងមុំទាំងអស់នៃត្រីកោណនេះត្រូវបានទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមកដោយទំនាក់ទំនងជាក់លាក់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាប្រវែងនៃជើងប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានគេដឹង។

សេចក្តីណែនាំ

ប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរៀនសម្រាប់ជើង (A) ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរ (B និង C) នៃត្រីកោណខាងស្តាំ។ ទ្រឹស្តីបទនេះចែងថាផលបូកនៃប្រវែងការ៉េនៃជើងគឺស្មើនឹងការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុស។ វាបន្តពីនេះដែលប្រវែងនៃជើងនីមួយៗស្មើនឹងឫសការ៉េនៃប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងទីពីរ៖ A=√(C²-B²)។

ប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្ទាល់ “ស៊ីនុស” សម្រាប់មុំស្រួច ប្រសិនបើទំហំនៃមុំ (α) ស្ថិតនៅទល់មុខជើងដែលកំពុងត្រូវបានគណនា ហើយប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស (C) ត្រូវបានគេស្គាល់។ នេះបញ្ជាក់ថាស៊ីនុសនៃសមាមាត្រដែលគេស្គាល់នេះនៃប្រវែងនៃជើងដែលចង់បានទៅប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស។ នេះមានន័យថាប្រវែងជើងដែលចង់បានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស និងស៊ីនុសនៃមុំដែលគេស្គាល់៖ A=C∗sin(α)។ សម្រាប់បរិមាណដែលគេស្គាល់ដូចគ្នា អ្នកក៏អាចប្រើ cosecant និងគណនាប្រវែងដែលត្រូវការដោយបែងចែកប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសដោយ cosecant នៃមុំដែលគេស្គាល់ A=C/cosec(α)។

ប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសត្រីកោណមាត្រដោយផ្ទាល់ ប្រសិនបើបន្ថែមលើប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស (C) ទំហំនៃមុំស្រួច (β) ដែលនៅជាប់នឹងវត្ថុដែលចង់បានក៏ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ។ កូស៊ីនុសនៃមុំនេះគឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជើងដែលចង់បាន និងអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រវែងជើងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំដែលគេស្គាល់៖ A=C∗cos(β)។ អ្នកអាចប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍ secant និងគណនាតម្លៃដែលចង់បានដោយបែងចែកប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសដោយ secant នៃមុំដែលគេស្គាល់ A=C/sec(β)។

ទាញយករូបមន្តដែលត្រូវការពីនិយមន័យស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដេរីវេនៃតង់សង់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ប្រសិនបើបន្ថែមលើតម្លៃនៃមុំស្រួច (α) ដែលស្ថិតនៅទល់មុខជើងដែលចង់បាន (A) ប្រវែងនៃជើងទីពីរ (B) ត្រូវបានគេស្គាល់។ . តង់សង់នៃមុំទល់មុខនឹងជើងដែលចង់បានគឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជើងនេះទៅនឹងប្រវែងនៃជើងទីពីរ។ នេះមានន័យថាតម្លៃដែលចង់បាននឹងស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងជើងដែលគេស្គាល់ និងតង់សង់នៃមុំដែលគេស្គាល់៖ A=B∗tg(α)។ ពីបរិមាណដែលគេស្គាល់ដូចគ្នានេះ រូបមន្តផ្សេងទៀតអាចទទួលបាន ប្រសិនបើយើងប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍កូតង់សង់។ ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីគណនាប្រវែងជើង វានឹងចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជើងដែលគេស្គាល់ទៅនឹងកូតង់សង់នៃមុំដែលគេស្គាល់៖ A=B/ctg(α)។

វីដេអូលើប្រធានបទ

ពាក្យ "kathet" មកពីភាសាក្រិក។ នៅក្នុងការបកប្រែពិតប្រាកដ វាមានន័យថា បន្ទាត់បំពង់ ពោលគឺកាត់កែងទៅនឹងផ្ទៃផែនដី។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជើងគឺជាជ្រុងដែលបង្កើតជាមុំខាងស្តាំនៃត្រីកោណខាងស្តាំ។ ផ្នែកទល់មុខមុំនេះត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីប៉ូតេនុស។ ពាក្យ "cathet" ត្រូវបានគេប្រើផងដែរនៅក្នុងស្ថាបត្យកម្មនិងបច្ចេកវិទ្យាផ្សារ។

secant នៃមុំនេះត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកអ៊ីប៉ូតេនុសដោយជើងដែលនៅជាប់គ្នា នោះគឺ secCAB = c/b ។ លទ្ធផលគឺចំរុះនៃកូស៊ីនុស ពោលគឺវាអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើរូបមន្ត secCAB=1/cosSAB ។
cosecant គឺស្មើនឹង quotient នៃអ៊ីប៉ូតេនុស ដែលបែងចែកដោយភាគីផ្ទុយ និងជាច្រាសនៃស៊ីនុស។ វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត cosecCAB=1/sinCAB

ជើងទាំងពីរត្រូវបានតភ្ជាប់ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក និងដោយកូតង់សង់មួយ។ ក្នុងករណីនេះតង់ហ្សង់នឹងជាសមាមាត្រនៃចំហៀង a ទៅចំហៀង b ពោលគឺ ម្ខាងទល់មុខទៅចំហៀង។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត tgCAB=a/b ។ ដូច្នោះហើយ សមាមាត្របញ្ច្រាសនឹងជាកូតង់សង់៖ ctgCAB=b/a ។

ទំនាក់ទំនងរវាងទំហំនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងទាំងពីរត្រូវបានកំណត់ដោយ Pythagoras ក្រិកបុរាណ។ មនុស្សនៅតែប្រើទ្រឹស្តីបទ និងឈ្មោះរបស់គាត់។ វានិយាយថាការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង នោះគឺ c2 = a2 + b2 ។ ដូច្នោះហើយជើងនីមួយៗនឹងស្មើនឹងឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នារវាងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងផ្សេងទៀត។ រូបមន្តនេះអាចសរសេរជា b=√(c2-a2)។

ប្រវែងនៃជើងក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈទំនាក់ទំនងដែលអ្នកស្គាល់។ យោងតាមទ្រឹស្ដីស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ជើងមួយគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុខងារមួយក្នុងចំណោមមុខងារទាំងនេះ។ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជា និង ឬកូតង់សង់។ ជើង a អាចត្រូវបានរកឃើញឧទាហរណ៍ ដោយប្រើរូបមន្ត a = b*tan CAB ។ តាមរបៀបដូចគ្នា អាស្រ័យលើតង់សង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬ ជើងទីពីរត្រូវបានកំណត់។

ពាក្យ "cathet" ក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងស្ថាបត្យកម្មផងដែរ។ វាត្រូវបានគេអនុវត្តទៅរដ្ឋធានី Ionic និងបំពង់កាត់កណ្តាលខ្នងរបស់វា។ នោះគឺក្នុងករណីនេះ ពាក្យនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាផ្សារដែកមាន "ជើងផ្សារដែក" ។ ដូចនៅក្នុងករណីផ្សេងទៀតនេះគឺជាចម្ងាយខ្លីបំផុត។ នៅទីនេះយើងកំពុងនិយាយអំពីគម្លាតរវាងផ្នែកមួយដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងព្រំដែននៃស៊ាមដែលមានទីតាំងនៅលើផ្ទៃនៃផ្នែកផ្សេងទៀត។

វីដេអូលើប្រធានបទ

ប្រភព៖

តើអ្វីទៅជាជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុសក្នុងឆ្នាំ 2019

ស៊ីនុសមុំស្រួច α នៃត្រីកោណកែងគឺជាសមាមាត្រ ទល់មុខជើងទៅអ៊ីប៉ូតេនុស។
វាត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: sin α។

កូស៊ីនុសមុំស្រួច α នៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។
វាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: cos α។

តង់សង់មុំស្រួច α គឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកផ្ទុយទៅនឹងផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នា។
វាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: tg α។

កូតង់សង់មុំស្រួច α គឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងម្ខាងទៀត។
វាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: ctg α។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយអាស្រ័យតែលើទំហំនៃមុំប៉ុណ្ណោះ។

ច្បាប់៖

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងត្រីកោណកែង៖

(α - មុំស្រួចទល់នឹងជើង ខ និងនៅជាប់នឹងជើង ក . ចំហៀង ជាមួយ - អ៊ីប៉ូតេនុស។ β - មុំស្រួចទីពីរ) ។

ខ sin α = - គ	sin 2 α + cos 2 α = 1
ក cos α = - គ	1 1 + តង់ 2 α = -- cos 2 α
ខ តាន α = - ក	1 1 + ctg 2 α = -- បាប 2 α
ក ctg α = - ខ	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
បាប α tg α = -- cos α

នៅពេលដែលមុំស្រួចកើនឡើងsin α និងtan α កើនឡើង និងcos α ថយចុះ។

សម្រាប់មុំស្រួច α ណាមួយ៖

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

ឧទាហរណ៍ - ការពន្យល់:

អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងត្រីកោណ ABC
AB = 6,
BC = 3,
មុំ A = 30º។

ចូរយើងស្វែងយល់ពីស៊ីនុសនៃមុំ A និងកូស៊ីនុសនៃមុំ B ។

ដំណោះស្រាយ។

1) ដំបូងយើងរកឃើញតម្លៃនៃមុំ B ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ៖ ចាប់តាំងពីក្នុងត្រីកោណកែងផលបូកនៃមុំស្រួចគឺ 90º បន្ទាប់មកមុំ B = 60º៖

B = 90º – 30º = 60º។

2) ចូរគណនា sin A. យើងដឹងថាស៊ីនុសស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផ្នែកទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សម្រាប់មុំ A ជ្រុងម្ខាងគឺចំហៀង BC ។ ដូច្នេះ៖

BC ៣ ១
sin A=--=-=-
AB ៦ ២

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនា cos B. យើងដឹងថា កូស៊ីនុស គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សម្រាប់មុំ B ជើងដែលនៅជាប់គ្នាគឺម្ខាង BC ។ នេះមានន័យថាយើងត្រូវបែងចែក BC ដោយ AB ម្តងទៀត - នោះគឺអនុវត្តសកម្មភាពដូចគ្នានឹងពេលគណនាស៊ីនុសនៃមុំ A៖

BC ៣ ១
cos B =--=-=-
AB ៦ ២

លទ្ធផលគឺ៖
sin A = cos B = 1/2 ។

sin 30º = cos 60º = 1/2 ។

វាកើតឡើងពីនេះថានៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយស៊ីនុសនៃមុំស្រួចមួយគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចផ្សេងទៀត - និងច្រាសមកវិញ។ នេះគឺជាអ្វីដែលរូបមន្តទាំងពីររបស់យើងមានន័យ៖
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

ចូរធ្វើឱ្យប្រាកដថានេះម្តងទៀត:

1) អនុញ្ញាតឱ្យ α = 60º។ ការជំនួសតម្លៃនៃ α ទៅក្នុងរូបមន្តស៊ីនុស យើងទទួលបាន៖
sin (90º – 60º) = cos 60º។
sin 30º = cos 60º។

2) ឱ្យ α = 30º។ ការជំនួសតម្លៃនៃ α ទៅក្នុងរូបមន្តកូស៊ីនុស យើងទទួលបាន៖
cos (90°–30º) = sin 30º។
cos 60° = sin 30º។

(សម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែមអំពីត្រីកោណមាត្រ សូមមើលផ្នែកពិជគណិត)

កម្រិតមធ្យម

ត្រីកោណកែង។ មគ្គុទ្ទេសក៍គំនូរពេញលេញ (2019)

ត្រីកោណចតុកោណ។ កម្រិតចូល។

នៅក្នុងបញ្ហា មុំខាងស្តាំគឺមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ - ខាងឆ្វេងទាប ដូច្នេះអ្នកត្រូវរៀនស្គាល់ត្រីកោណស្តាំក្នុងទម្រង់នេះ

ហើយនៅក្នុងនេះ។

ហើយនៅក្នុងនេះ។

តើអ្វីដែលល្អអំពីត្រីកោណកែង? មែនហើយ... ជាដំបូងមានឈ្មោះដ៏ស្រស់ស្អាតពិសេសសម្រាប់ភាគីរបស់វា។

យកចិត្តទុកដាក់លើគំនូរ!

ចងចាំហើយកុំច្រឡំ៖ មានជើងពីរ ហើយមានអ៊ីប៉ូតេនុសតែមួយ(មួយនិងតែមួយគត់, តែមួយគត់និងវែងបំផុត)!

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានពិភាក្សាអំពីឈ្មោះ, ឥឡូវនេះអ្វីដែលសំខាន់បំផុត: ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ។

ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាគន្លឹះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹងត្រីកោណកែង។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ Pythagoras ក្នុងសម័យមិននឹកស្មានដល់ទាំងស្រុង ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក វាបាននាំមកនូវអត្ថប្រយោជន៍ជាច្រើនដល់អ្នកដែលស្គាល់វា។ ហើយអ្វីដែលល្អបំផុតអំពីវាគឺថាវាសាមញ្ញ។

ដូច្នេះ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖

តើអ្នកចាំរឿងកំប្លែងថា "ខោ Pythagorean ស្មើគ្នានៅគ្រប់ទិសទី!"?

តោះគូរខោ Pythagorean ដូចគ្នា ហើយមើលពួកវា។

មើលទៅមិនដូចខោខ្លីទេ? អញ្ចឹងតើខាងណា ហើយនៅត្រង់ណា? តើរឿងកំប្លែងនេះមកពីណា ហើយហេតុអ្វី? ហើយរឿងកំប្លែងនេះត្រូវបានភ្ជាប់យ៉ាងជាក់លាក់ជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៉ា ឬកាន់តែជាក់លាក់ជាមួយនឹងវិធីដែល Pythagoras ខ្លួនឯងបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទរបស់គាត់។ ហើយគាត់បានបង្កើតវាដូចនេះ៖

"ផលបូក តំបន់នៃការ៉េសាងសង់នៅលើជើងគឺស្មើនឹង តំបន់ការ៉េសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។

តើវាពិតជាមានសំឡេងខុសគ្នាបន្តិចមែនទេ? ដូច្នេះហើយ នៅពេលដែល Pythagoras គូរសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទរបស់គាត់ នេះគឺជារូបភាពដែលចេញមក។

ក្នុងរូបភាពនេះ ផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េតូចគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េធំ។ ហើយដើម្បីឱ្យកុមារអាចចងចាំបានកាន់តែច្បាស់ថា ផលបូកនៃការ៉េនៃជើងគឺស្មើនឹងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស នោះមាននរណាម្នាក់បានបញ្ចេញគំនិតកំប្លែងអំពីខោ Pythagorean ។

ហេតុអ្វីបានជាឥឡូវនេះយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ?

តើ Pythagoras រងទុក្ខហើយនិយាយអំពីការ៉េទេ?

អ្នកឃើញទេ នៅសម័យបុរាណគ្មាន... ពិជគណិត! មិនមានសញ្ញានិងអ្វីៗផ្សេងទៀត។ មិនមានសិលាចារឹកទេ។ នឹកស្មានមិនដល់ថា សិស្សសម័យបុរាណ កំសត់យ៉ាងណា នឹកឃើញគ្រប់ពាក្យ?! ហើយយើងអាចរីករាយដែលយើងមានរូបមន្តសាមញ្ញមួយនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ។ ចូរធ្វើវាម្តងទៀតដើម្បីចងចាំវាកាន់តែប្រសើរ៖

វាគួរតែងាយស្រួលឥឡូវនេះ៖

ការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

ជាការប្រសើរណាស់ ទ្រឹស្តីបទដ៏សំខាន់បំផុតអំពីត្រីកោណកែងត្រូវបានពិភាក្សា។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ពីរបៀបដែលវាត្រូវបានបញ្ជាក់ សូមអានទ្រឹស្ដីកម្រិតខាងក្រោម ហើយឥឡូវនេះតោះទៅបន្តទៀត... ចូលទៅក្នុងព្រៃងងឹត... នៃត្រីកោណមាត្រ! ចំពោះពាក្យដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណស្តាំ។

តាមពិតទៅ អ្វីៗមិនគួរឱ្យខ្លាចទាល់តែសោះ។ ជាការពិតណាស់ និយមន័យ "ពិតប្រាកដ" នៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ គួរតែត្រូវបានមើលនៅក្នុងអត្ថបទ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំពិតជាមិនចង់មែនទេ? យើងអាចអរសប្បាយ៖ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាអំពីត្រីកោណកែង អ្នកអាចបំពេញរឿងសាមញ្ញដូចខាងក្រោម៖

ហេតុអ្វីបានជាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងគ្រាន់តែជាជ្រុង? តើជ្រុងណា? ដើម្បីយល់ពីរឿងនេះ អ្នកត្រូវដឹងពីរបៀបដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1 - 4 ត្រូវបានសរសេរជាពាក្យ។ មើលយល់ហើយចាំ!

1.
តាមពិតវាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

ចុះមុំវិញ? តើមានជើងទល់មុខជ្រុង ពោលគឺជើងទល់មុខ (សម្រាប់មុំ)? ជាការពិតណាស់មាន! នេះជាជើង!

ចុះមុំវិញ? មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ តើជើងមួយណានៅជាប់នឹងជ្រុង? ជាការពិតណាស់ជើង។ នេះមានន័យថាសម្រាប់មុំជើងគឺនៅជាប់គ្នា, និង

ឥឡូវនេះ យកចិត្តទុកដាក់! មើលអ្វីដែលយើងទទួលបាន៖

មើលថាឡូយប៉ុណ្ណា៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅតង់សង់ និងកូតង់សង់។

តើខ្ញុំអាចសរសេរវាដោយរបៀបណាឥឡូវនេះ? តើជើងទាក់ទងនឹងមុំគឺជាអ្វី? ផ្ទុយទៅវិញ - វា "កុហក" ទល់មុខជ្រុង។ ចុះជើងវិញ? នៅជិតជ្រុង។ ដូច្នេះតើយើងបានទទួលអ្វីខ្លះ?

សូមមើលពីរបៀបដែលភាគបែង និងភាគបែងបានប្តូរកន្លែង?

ហើយឥឡូវនេះជ្រុងម្តងទៀតហើយបានផ្លាស់ប្តូរ:

បន្ត

ចូរយើងសរសេរដោយសង្ខេបនូវអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបានរៀន។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖

ទ្រឹស្តីបទចំបងអំពីត្រីកោណកែងគឺទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ

និយាយអីញ្ចឹង តើអ្នកចាំបានច្បាស់ថាជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុសជាអ្វី? ប្រសិនបើមិនសូវល្អទេសូមមើលរូបភាព - ធ្វើឱ្យចំណេះដឹងរបស់អ្នក។

វាពិតជាអាចទៅរួចដែលអ្នកបានប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរជាច្រើនដងរួចមកហើយ ប៉ុន្តែតើអ្នកធ្លាប់ឆ្ងល់ថាហេតុអ្វីបានជាទ្រឹស្តីបទបែបនេះជាការពិត? តើខ្ញុំអាចបញ្ជាក់វាដោយរបៀបណា? ចូរធ្វើដូចក្រិកបុរាណ។ តោះគូរការ៉េជាមួយចំហៀង។

សូមមើលពីរបៀបដែលយើងបែងចែកភាគីរបស់វាទៅជាផ្នែកនៃប្រវែងហើយ!

ឥឡូវតោះភ្ជាប់ចំនុចដែលបានសម្គាល់

នៅទីនេះ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងបានកត់សម្គាល់អ្វីផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែអ្នកខ្លួនឯងមើលគំនូរ ហើយគិតថាហេតុអ្វីបានជាវាដូច្នេះ។

តើផ្ទៃដីនៃការ៉េធំជាងនេះជាអ្វី? ត្រូវហើយ។ ចុះចំណែកតំបន់តូចវិញ? ប្រាកដណាស់, ។ ផ្ទៃដីសរុបនៃជ្រុងទាំងបួននៅសល់។ ស្រមៃថាយើងបានយកពួកគេពីរនាក់ក្នុងពេលតែមួយ ហើយផ្អៀងពួកគេទល់មុខគ្នាជាមួយនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់ពួកគេ។ តើមានអ្វីកើតឡើង? ចតុកោណកែងពីរ។ នេះមានន័យថាតំបន់នៃ "កាត់" គឺស្មើគ្នា។

តោះដាក់វាទាំងអស់គ្នាឥឡូវនេះ។

តោះបំលែង៖

ដូច្នេះយើងបានទៅលេង Pythagoras - យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទរបស់គាត់តាមរបៀបបុរាណ។

ត្រីកោណកែង និងត្រីកោណមាត្រ

សម្រាប់ត្រីកោណកែង ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុងទល់មុខនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស

កូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

តង់សង់នៃមុំស្រួចគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផ្នែកទល់មុខទៅនឹងផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នា។

កូតង់សង់នៃមុំស្រួចគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងផ្នែកផ្ទុយ។

ហើយម្តងទៀតទាំងអស់នេះជាទម្រង់ថេប្លេត៖

វាងាយស្រួលណាស់!

សញ្ញានៃសមភាពនៃត្រីកោណកែង

I. នៅលើភាគីទាំងពីរ

II. ដោយជើងនិងអ៊ីប៉ូតេនុស

III. ដោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច

IV. នៅតាមបណ្តោយជើងនិងមុំស្រួច

ក)

ខ)

យកចិត្តទុកដាក់! វាមានសារៈសំខាន់ណាស់នៅទីនេះដែលជើងគឺ "សមរម្យ" ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើវាទៅដូចនេះ៖

បន្ទាប់មក ត្រីកោណមិនស្មើគ្នាទោះបីជាការពិតដែលថាពួកគេមានមុំស្រួចដូចគ្នាមួយ។

វាចាំបាច់ណាស់។ នៅក្នុងត្រីកោណទាំងពីរ ជើងគឺនៅជាប់គ្នា ឬទាំងពីរគឺផ្ទុយគ្នា។.

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលសញ្ញានៃសមភាពនៃត្រីកោណកែងខុសគ្នាពីសញ្ញាធម្មតានៃសមភាពនៃត្រីកោណទេ? សូមក្រឡេកមើលប្រធានបទ "ហើយយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាសម្រាប់សមភាពនៃត្រីកោណ "ធម្មតា" ធាតុបីនៃពួកគេត្រូវតែស្មើគ្នា: ភាគីទាំងពីរនិងមុំរវាងពួកវាមុំពីរនិងចំហៀងរវាងពួកវាឬបីភាគី។ ប៉ុន្តែសម្រាប់សមភាពនៃត្រីកោណកែង មានតែធាតុពីរដែលត្រូវគ្នាគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ អស្ចារ្យណាស់មែនទេ?

ស្ថានភាពគឺប្រហែលដូចគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង។

សញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង

I. តាមមុំស្រួច

II. នៅលើភាគីទាំងពីរ

III. ដោយជើងនិងអ៊ីប៉ូតេនុស

មធ្យមក្នុងត្រីកោណកែង

ហេតុអ្វីបានជាយ៉ាងនេះ?

ជំនួសឱ្យត្រីកោណកែង សូមពិចារណាចតុកោណកែងទាំងមូល។

តោះគូរអង្កត់ទ្រូងហើយពិចារណាចំណុចមួយ - ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង។ តើអ្នកដឹងអ្វីខ្លះអំពីអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ?

ហើយមានអ្វីមកពីនេះ?

ដូច្នេះវាប្រែចេញ

- មធ្យម៖

ចងចាំការពិតនេះ! ជួយបានច្រើន!

អ្វីដែលគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលជាងនេះទៅទៀតនោះគឺផ្ទុយទៅវិញក៏ពិតដែរ។

តើអ្វីដែលល្អអាចទទួលបានពីការពិតដែលមធ្យមទាញទៅអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស? តោះមើលរូបភាព

មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ យើងមាន៖ មានន័យថា ចំងាយពីចំនុចទៅចំនុចកំពូលទាំងបីនៃត្រីកោណ ប្រែជាស្មើគ្នា។ ប៉ុន្តែមានចំនុចមួយគត់នៅក្នុងត្រីកោណ គឺចំងាយពីចំនុចកំពូលទាំងបីនៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយនេះគឺជាចំនុចកណ្តាលនៃរង្វង់។ ដូច្នេះតើមានអ្វីកើតឡើង?

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមជាមួយ "ក្រៅពី ... " ។

តោះមើលនិង។

ប៉ុន្តែត្រីកោណស្រដៀងគ្នាមានមុំស្មើគ្នាទាំងអស់!

ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីនិង

ឥឡូវយើងគូរវាជាមួយគ្នា៖

តើអត្ថប្រយោជន៍អ្វីដែលអាចទទួលបានពីភាពស្រដៀងគ្នា "បីដង" នេះ?

ជាឧទាហរណ៍ - រូបមន្តពីរសម្រាប់កម្ពស់នៃត្រីកោណកែង។

ចូរយើងសរសេរទំនាក់ទំនងរបស់ភាគីដែលត្រូវគ្នា៖

ដើម្បីស្វែងរកកម្ពស់យើងដោះស្រាយសមាមាត្រនិងទទួលបាន រូបមន្តទីមួយ "កម្ពស់ក្នុងត្រីកោណកែង":

ដូច្នេះ ចូរយើងអនុវត្តភាពស្រដៀងគ្នា៖

តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងឥឡូវនេះ?

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងដោះស្រាយសមាមាត្រនិងទទួលបានរូបមន្តទីពីរ:

អ្នកត្រូវចងចាំរូបមន្តទាំងពីរនេះឱ្យបានល្អ ហើយប្រើរូបមន្តដែលងាយស្រួលជាង។ ចូរយើងសរសេរពួកវាម្តងទៀត

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖

ក្នុងត្រីកោណកែង ការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការេនៃជើង៖ .

សញ្ញានៃសមភាពនៃត្រីកោណកែង៖

នៅលើភាគីទាំងពីរ៖
ដោយជើងនិងអ៊ីប៉ូតេនុស៖ ឬ
តាមបណ្តោយជើង និងមុំស្រួចជាប់គ្នា៖ ឬ
តាមបណ្តោយជើង និងមុំស្រួចទល់មុខ៖ ឬ
ដោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច៖ ឬ។

សញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង៖

ជ្រុងស្រួចមួយ៖ ឬ
ពីសមាមាត្រនៃជើងពីរ៖
ពីសមាមាត្រនៃជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុស៖ ឬ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណស្តាំ

ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជ្រុងទល់មុខនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស៖
កូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស៖
តង់សង់នៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែង គឺជាសមាមាត្រនៃជ្រុងម្ខាងទៅម្ខាងទៀត៖
កូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែងមួយគឺសមាមាត្រនៃជ្រុងជាប់គ្នាទៅនឹងជ្រុងទល់មុខ ៖ .

កម្ពស់នៃត្រីកោណកែង៖ ឬ។

នៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយ មេដ្យានដែលទាញចេញពីចំណុចកំពូលនៃមុំស្តាំគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស៖ .

ផ្ទៃនៃត្រីកោណកែង៖

តាមរយៈជើង៖