តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បឋម។ រូបមន្តមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូល

នៅសាលារៀន មនុស្សជាច្រើនបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល ឬមានការលំបាកណាមួយជាមួយពួកគេ។ អត្ថបទនេះនឹងជួយអ្នកស្វែងយល់ ព្រោះអ្នកនឹងរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងនោះ។ តារាងអាំងតេក្រាល។.

អាំងតេក្រាល។គឺជាការគណនា និងគោលគំនិតសំខាន់មួយក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ រូបរាងរបស់វាបានមកពីគោលបំណងពីរ៖
គោលដៅដំបូង- ស្តារមុខងារដោយប្រើដេរីវេរបស់វា។
គោលដៅទីពីរ- ការគណនាផ្ទៃដែលស្ថិតនៅចម្ងាយពីក្រាហ្វទៅអនុគមន៍ f(x) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដែល a ធំជាង ឬស្មើ x ធំជាង ឬស្មើ b និងអ័ក្ស x ។

គោលដៅទាំងនេះនាំយើងទៅរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់និងមិនកំណត់។ ការតភ្ជាប់រវាងអាំងតេក្រាលទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងការស្វែងរកលក្ខណៈសម្បត្តិ និងការគណនា។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងហូរចេញ ហើយអ្វីៗប្រែប្រួលតាមពេលវេលា ដំណោះស្រាយថ្មីត្រូវបានរកឃើញ ការបន្ថែមត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណ ដោយហេតុនេះនាំឱ្យអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងគ្មានកំណត់ចំពោះទម្រង់នៃការរួមបញ្ចូលផ្សេងទៀត។

តើមានអ្វីកើតឡើង អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អ្នកសួរ។ នេះគឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ F(x) នៃអថេរ x មួយក្នុងចន្លោះពេលធំជាង x ធំជាង b ។ ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារណាមួយ F(x) ក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការរចនាណាមួយ x ដេរីវេគឺស្មើនឹង F(x) ។ វាច្បាស់ណាស់ថា F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f(x) ក្នុងចន្លោះពេល a គឺធំជាង x គឺធំជាង b ។ នេះមានន័យថា F1(x) = F(x) + C. C - គឺជាអថេរ និង antiderivative សម្រាប់ f(x) ក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺមិនបញ្ច្រាស់; សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) - 2 អង្គបដិប្រាណខុសគ្នាតែនៅក្នុងថេរ។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទនៃការគណនាអាំងតេក្រាល វាប្រែថាការបន្តនីមួយៗក្នុងចន្លោះពេល a

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ត្រូវបានយល់ថាជាដែនកំណត់ក្នុងផលបូកអាំងតេក្រាល ឬនៅក្នុងស្ថានភាពនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់មួយចំនួន (a,b) ដែលមាន antiderivative F នៅលើវា មានន័យថាភាពខុសគ្នានៃកន្សោមរបស់វានៅចុងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ F(b) - F(a) ។

ដើម្បីបង្ហាញពីការសិក្សាអំពីប្រធានបទនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យមើលវីដេអូ។ វាប្រាប់លម្អិត និងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកអាំងតេក្រាល។

តារាងអាំងតេក្រាលនីមួយៗនៅក្នុងខ្លួនវាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ព្រោះវាជួយក្នុងការដោះស្រាយប្រភេទជាក់លាក់នៃអាំងតេក្រាលមួយ។

គ្រប់ប្រភេទសម្ភារៈការិយាល័យ និងច្រើនទៀត។ អ្នកអាចទិញតាមរយៈហាងអនឡាញ v-kant.ru ។ ឬគ្រាន់តែធ្វើតាមតំណភ្ជាប់ស្ថានីសាម៉ារ៉ា (http://v-kant.ru) គុណភាពនិងតម្លៃនឹងធ្វើឱ្យអ្នកភ្ញាក់ផ្អើល។

មុខងារ Antiderivative និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការពិត 1. សមាហរណកម្មគឺជាសកម្មភាពបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា ពោលគឺការស្ដារមុខងារមួយពីដេរីវេដែលស្គាល់នៃអនុគមន៍នេះ។ ដូច្នេះមុខងារត្រូវបានស្តារឡើងវិញ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា ប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x).

និយមន័យ 1. មុខងារ ច(x f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xចាប់ពីចន្លោះពេលនេះ សមភាពទទួលបាន ច "(x)=f(x) នោះគឺមុខងារនេះ។ f(x) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ច(x). .

ឧទាហរណ៍មុខងារ ច(x) = បាប x គឺជាអង់ទីករនៃមុខងារ f(x) = cos x នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលចាប់តាំងពីតម្លៃណាមួយនៃ x (អំពើបាប x)" = (cos x) .

និយមន័យ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) គឺជាសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វា។. ក្នុងករណីនេះសញ្ញាណត្រូវបានប្រើ

∫

f(x)dx

,

តើសញ្ញានៅឯណា ∫ ហៅថាសញ្ញាអាំងតេក្រាល មុខងារ f(x) - មុខងាររួម និង f(x)dx - ការបញ្ចេញមតិរួម។

ដូច្នេះប្រសិនបើ ច(x) - សារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មមួយចំនួនសម្រាប់ f(x), នោះ។

∫

f(x)dx = ច(x) +គ

កន្លែងណា គ - ថេរ (អថេរ) ។

ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃសំណុំនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រោមគឺសមរម្យ។ សូមឱ្យមានទ្វារមួយ (ទ្វារឈើបុរាណ) ។ មុខងាររបស់វាគឺ "ធ្វើជាទ្វារ" ។ តើទ្វារធ្វើពីអ្វី? ធ្វើពីឈើ។ នេះមានន័យថាសំណុំនៃ antiderivatives នៃ integrand នៃអនុគមន៍ "to be a door" នោះគឺ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វា គឺជា function "to be a tree + C" ដែល C ជាថេរ ដែលនៅក្នុងបរិបទនេះអាច សម្គាល់ឧទាហរណ៍ប្រភេទនៃដើមឈើ។ ដូចជាទ្វារត្រូវបានផលិតពីឈើដោយប្រើឧបករណ៍មួយចំនួន ដេរីវេនៃមុខងារមួយត្រូវបាន "បង្កើតឡើង" ពីមុខងារប្រឆាំងដេរីវេដោយប្រើ រូបមន្តដែលយើងបានរៀនពេលកំពុងសិក្សាពីដេរីវេ .

បន្ទាប់មកតារាងមុខងារនៃវត្ថុទូទៅ និងវត្ថុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវគ្នា ("ដើម្បីជាទ្វារ" - "ដើម្បីក្លាយជាដើមឈើ" "ដើម្បីជាស្លាបព្រា" - "ទៅជាលោហៈ" ។ល។) គឺស្រដៀងទៅនឹងតារាងមូលដ្ឋាន។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។ តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់រាយបញ្ជីមុខងារទូទៅ ដែលបង្ហាញពីអង្គបដិប្រាណដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ នៅក្នុងផ្នែកនៃបញ្ហាលើការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អាំងតេក្រាលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដោយមិនមានការខិតខំប្រឹងប្រែងច្រើន ពោលគឺការប្រើតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងជាមុនសិន ទើបអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងបាន។

ការពិត 2. នៅពេលស្ដារមុខងារជា antiderivative យើងត្រូវយកទៅក្នុងគណនី arbitrary constant (ថេរ) គហើយដើម្បីកុំឱ្យសរសេរបញ្ជីនៃអង្គបដិប្រាណដែលមានចំនួនថេរផ្សេងៗពីលេខ 1 ដល់គ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវសរសេរសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណដោយអថេរតាមអំពើចិត្ត។ គឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖ ៥ x³+C ដូច្នេះ ថេរដែលបំពាន (ថេរ) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនៃ antiderivative ចាប់តាំងពី antiderivative អាចជាមុខងារមួយ ឧទាហរណ៍ 5 x³+4 ឬ 5 x³+3 ហើយនៅពេលដែលបែងចែកខុសគ្នា 4 ឬ 3 ឬថេរផ្សេងទៀតទៅសូន្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតបញ្ហានៃការរួមបញ្ចូល: សម្រាប់មុខងារនេះ។ f(x) ស្វែងរកមុខងារបែបនេះ ច(x), ដេរីវេស្មើនឹង f(x).

ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរកសំណុំនៃ antiderivatives នៃមុខងារមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ ចំពោះ​មុខងារ​នេះ អង់​ទី​ដេ​រីវេ​គឺជា​មុខងារ​

មុខងារ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់មុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេ ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) ឬដែលជារឿងដូចគ្នា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ច(x) គឺស្មើគ្នា f(x) dx, i.e.

(2)

ដូច្នេះ អនុគមន៍​គឺ​ជា​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​អនុគមន៍។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមែនជាថ្នាំប្រឆាំងតែមួយគត់សម្រាប់ . ពួកគេក៏បម្រើជាមុខងារផងដែរ។

កន្លែងណា ជាមួយ- ថេរដោយបំពាន។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។

ដូច្នេះប្រសិនបើមាន antiderivative មួយសម្រាប់មុខងារមួយ នោះសម្រាប់វាមានចំនួនមិនកំណត់នៃ antiderivatives ដែលខុសគ្នាដោយពាក្យថេរមួយ។ អង់ទីករដេរីវេទាំងអស់សម្រាប់មុខងារមួយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងលើ។ នេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្លូវការនៃការពិត 2) ។ប្រសិនបើ ច(x) - ប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xបន្ទាប់មក antiderivative ផ្សេងទៀតសម្រាប់ f(x) នៅចន្លោះពេលដូចគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ ច(x) + គ, កន្លែងណា ជាមួយ- ថេរដោយបំពាន។

ក្នុងឧទាហរណ៍បន្ទាប់ យើងងាកទៅតារាងអាំងតេក្រាល ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទី 3 បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ យើងធ្វើដូចនេះមុននឹងអានតារាងទាំងមូលដើម្បីឱ្យខ្លឹមសារនៃខាងលើមានភាពច្បាស់លាស់។ ហើយបន្ទាប់ពីតារាង និងលក្ខណៈសម្បត្តិ យើងនឹងប្រើពួកវាទាំងស្រុង កំឡុងពេលរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកសំណុំនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញសំណុំនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ នៅពេលនិយាយអំពីរូបមន្តពីតារាងអាំងតេក្រាល សម្រាប់ពេលនេះគ្រាន់តែទទួលយកថាមានរូបមន្តបែបនេះនៅទីនោះ ហើយយើងនឹងសិក្សាតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយខ្លួនវាបន្តិចបន្ថែមទៀត។

1) ការអនុវត្តរូបមន្ត (7) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 3 យើងទទួលបាន

2) ការប្រើរូបមន្ត (10) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 1/3 យើងមាន

3) ចាប់តាំងពី

បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (7) ជាមួយ ន= -1/4 យើងរកឃើញ

វាមិនមែនជាមុខងារខ្លួនវាដែលត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលនោះទេ។ fនិងផលិតផលរបស់វាដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx. នេះត្រូវបានធ្វើជាចម្បងក្នុងគោលបំណងដើម្បីចង្អុលបង្ហាញពីអថេរដែល antiderivative ត្រូវបានស្វែងរក។ ឧ.

, ;

នៅទីនេះក្នុងករណីទាំងពីរ អាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹង ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វានៅក្នុងករណីដែលត្រូវបានពិចារណាប្រែទៅជាខុសគ្នា។ ក្នុងករណីដំបូង មុខងារនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរ xហើយនៅក្នុងទីពីរ - ជាមុខងារនៃ z .

ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលមុខងារនោះ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរកខ្សែកោង y=F(x)ហើយយើងដឹងរួចហើយថាតង់សង់នៃមុំតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) abscissa នៃចំណុចនេះ។

យោងតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ តង់សង់នៃមុំទំនោរនៃតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃខ្សែកោង y=F(x)ស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេ F"(x). ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកមុខងារបែបនេះ F(x)សម្រាប់ការដែល F"(x)=f(x). មុខងារដែលត្រូវការនៅក្នុងកិច្ចការ F(x)គឺជាថ្នាំប្រឆាំងនឹងមេរោគ f(x). លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺពេញចិត្តមិនមែនដោយខ្សែកោងមួយទេ ប៉ុន្តែដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោង។ y=F(x)- ខ្សែកោងមួយក្នុងចំណោមខ្សែកោងទាំងនេះ និងខ្សែកោងផ្សេងទៀតអាចទទួលបានពីវាដោយការបកប្រែស្របគ្នាតាមអ័ក្ស អូ.

ចូរហៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ f(x)ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ប្រសិនបើ F"(x)=f(x)បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃមុខងារ y=F(x)មានខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ ដូចក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ ចម្ងាយនៃខ្សែកោងនីមួយៗពីប្រភពដើមនៃកូអរដោណេត្រូវបានកំណត់ដោយថេរសមាហរណកម្មតាមអំពើចិត្ត គ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

អង្គហេតុ 4. ទ្រឹស្តីបទ 1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាស្មើនឹងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 5. ទ្រឹស្តីបទ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) ស្មើនឹងមុខងារ f(x) រហូតដល់រយៈពេលថេរ , i.e.

(3)

ទ្រឹស្តីបទទី 1 និងទី 2 បង្ហាញថាភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

ការពិត 6. ទ្រឹស្តីបទ 3. កត្តាថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ , i.e.

នៅក្នុងសម្ភារៈមុននេះ បញ្ហានៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានពិចារណា ហើយកម្មវិធីផ្សេងៗរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញ៖ ការគណនាជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វ ការដោះស្រាយបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព សិក្សាមុខងារសម្រាប់ monotonicity និង extrema ។ $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$$\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$$\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

រូបភាពទី 1 ។

បញ្ហានៃការស្វែងរកល្បឿនភ្លាមៗ $v(t)$ ដោយប្រើដេរីវេនៅតាមបណ្តោយផ្លូវដែលគេស្គាល់ពីមុនបានធ្វើដំណើរ ដែលបង្ហាញដោយអនុគមន៍ $s(t)$ ក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ។

រូបភាពទី 2 ។

បញ្ហាបញ្ច្រាសក៏ជារឿងធម្មតាដែរ នៅពេលដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកផ្លូវ $s(t)$ ឆ្លងកាត់ដោយចំនុចមួយក្នុងពេលវេលា $t$ ដោយដឹងពីល្បឿននៃចំនុច $v(t)$។ ប្រសិនបើយើងរំលឹកឡើងវិញ ល្បឿនភ្លាមៗ $v(t)$ ត្រូវបានរកឃើញថាជាដេរីវេនៃមុខងារផ្លូវ $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ ។ នេះមានន័យថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស នោះគឺគណនាផ្លូវ អ្នកត្រូវស្វែងរកមុខងារដែលដេរីវេនៃនឹងស្មើនឹងមុខងារល្បឿន។ ប៉ុន្តែយើងដឹងថាដេរីវេនៃផ្លូវគឺជាល្បឿន នោះគឺ $s'(t) = v(t)$ ។ ល្បឿនស្មើនឹងពេលវេលាបង្កើនល្បឿន៖ $v=at$។ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាមុខងារផ្លូវដែលចង់បាននឹងមានទម្រង់៖ $s(t) = \frac(at^2)(2)$ ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាដំណោះស្រាយពេញលេញទេ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញនឹងមានទម្រង់៖ $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$ ដែល $C$ គឺថេរខ្លះ។ ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​បែប​នេះ​នឹង​ពិភាក្សា​បន្ថែម​ទៀត។ សម្រាប់ពេលនេះ សូមពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ៖ $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$។

គួរកត់សម្គាល់ថាការស្វែងរកផ្លូវដែលផ្អែកលើល្បឿនគឺជាអត្ថន័យរូបវន្តនៃអង្គបដិប្រាណ។

មុខងារលទ្ធផល $s(t)$ ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative នៃអនុគមន៍ $v(t)$។ ឈ្មោះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមិនធម្មតាមែនទេ? វាមានអត្ថន័យដ៏អស្ចារ្យដែលពន្យល់ពីខ្លឹមសារនៃគោលគំនិតនេះហើយនាំទៅរកការយល់ដឹងរបស់វា។ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាវាមានពាក្យពីរ "ទីមួយ" និង "រូបភាព" ។ ពួកគេនិយាយដោយខ្លួនឯង។ នោះ​គឺ​ថា​នេះ​គឺ​ជា​មុខងារ​ដែល​ជា​ដំបូង​សម្រាប់​ដេរីវេ​ដែល​យើង​មាន។ ហើយការប្រើនិស្សន្ទវត្ថុនេះ យើងកំពុងស្វែងរកមុខងារដែលនៅដើមដំបូងគឺ "រូបទីមួយ" "រូបទីមួយ" ពោលគឺ ប្រឆាំងដេរីវេ។ ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថាមុខងារបុព្វកាល ឬ antiderivative ។

ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ ដំណើរការនៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរក antiderivative ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូល។ ប្រតិបត្តិការនៃការធ្វើសមាហរណកម្មគឺជាការបញ្ច្រាសនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នា។ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។

និយមន័យ។អង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ $f(x)$ នៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយគឺជាអនុគមន៍ $F(x)$ ដែលដេរីវេនៃគឺស្មើនឹងអនុគមន៍នេះ $f(x)$ សម្រាប់ $x$ ទាំងអស់ពីចន្លោះពេលដែលបានបញ្ជាក់៖ $F' (x)=f (x)$។

នរណាម្នាក់អាចមានសំណួរ៖ តើ $F(x)$ និង $f(x)$ មកពីណាក្នុងនិយមន័យ ប្រសិនបើដំបូងយើងកំពុងនិយាយអំពី $s(t)$ និង $v(t)$។ ការពិតគឺថា $s(t)$ និង $v(t)$ គឺជាករណីពិសេសនៃការកំណត់មុខងារដែលមានអត្ថន័យជាក់លាក់ក្នុងករណីនេះ នោះគឺជាមុខងារនៃពេលវេលា និងមុខងារនៃល្បឿនរៀងគ្នា។ វាដូចគ្នាជាមួយនឹងអថេរ $t$ - វាតំណាងឱ្យពេលវេលា។ ហើយ $f$ និង $x$ គឺជាវ៉ារ្យ៉ង់ប្រពៃណីនៃការកំណត់ទូទៅនៃអនុគមន៍ និងអថេររៀងគ្នា។ វាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះសញ្ញាណនៃ antiderivative $F(x)$។ ជាដំបូង $F$ គឺជាដើមទុន។ Antiderivatives ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរធំ។ ទីពីរ អក្សរគឺដូចគ្នា៖ $F$ និង $f$។ នោះគឺសម្រាប់មុខងារ $g(x)$ សារធាតុប្រឆាំងនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ $G(x)$ សម្រាប់ $z(x)$ – ដោយ $Z(x)$ ។ ដោយមិនគិតពីសញ្ញាណ ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកមុខងារប្រឆាំងគឺតែងតែដូចគ្នា។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.បង្ហាញថាអនុគមន៍ $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ គឺជាអង់ទីករនៃអនុគមន៍ $f(x)=\cos5x$។

ដើម្បីបញ្ជាក់វា យើងនឹងប្រើនិយមន័យ ឬជាការពិតដែលថា $F'(x)=f(x)$ ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x=\cos5x$ ។ នេះមានន័យថា $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ គឺជាសារធាតុប្រឆាំងនៃ $f(x)=\cos5x$។ Q.E.D.

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកមុខងារមួយណាដែលត្រូវនឹងអង់ទីករខាងក្រោម៖ ក) $F(z)=\tg z$; ខ) $G(l) = \sin l$។

ដើម្បីស្វែងរកមុខងារដែលត្រូវការ ចូរយើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា៖
ក) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ខ) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$ ។

ឧទាហរណ៍ ៣.តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អង្គ​បដិវត្ត​សម្រាប់ $f(x)=0$?
ចូរយើងប្រើនិយមន័យ។ ចូរយើងគិតពីមុខងារណាមួយដែលអាចមានដេរីវេស្មើនឹង $0$។ ដោយរំលឹកតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងឃើញថាថេរណាមួយនឹងមានដេរីវេ។ យើងរកឃើញថាអង្គបដិប្រាណដែលយើងកំពុងស្វែងរកគឺ៖ $F(x)=C$។

ដំណោះស្រាយលទ្ធផលអាចត្រូវបានពន្យល់តាមធរណីមាត្រ និងរូបវន្ត។ តាមធរណីមាត្រ វាមានន័យថាតង់សង់ទៅក្រាហ្វ $y=F(x)$ គឺផ្ដេកនៅចំណុចនីមួយៗនៃក្រាហ្វនេះ ហើយដូច្នេះវាស្របគ្នានឹងអ័ក្ស $Ox$ ។ តាមរូបវិទ្យា វាត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតថា ចំណុចដែលមានល្បឿនស្មើនឹងសូន្យនៅតែស្ថិតនៅនឹងកន្លែង ពោលគឺផ្លូវដែលវាបានធ្វើដំណើរគឺមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ដោយផ្អែកលើនេះ យើងអាចបង្កើតទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។ (សញ្ញានៃភាពជាប់លាប់នៃមុខងារ) ប្រសិនបើចន្លោះពេលខ្លះ $F'(x) = 0$ នោះមុខងារ $F(x)$ នៅលើចន្លោះពេលនេះគឺថេរ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។កំណត់មុខងារណាមួយជាអង្គបដិប្រាណនៃ a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; ខ) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; គ) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$ ដែល $a$ ជាលេខមួយចំនួន។
ដោយប្រើនិយមន័យនៃ antiderivative មួយ យើងសន្និដ្ឋានថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងត្រូវគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ antiderivative ដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង។ នៅពេលគណនា សូមចាំថា ដេរីវេនៃថេរ ពោលគឺនៃចំនួនណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ក) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ខ) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
គ) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$ ។

តើយើងឃើញអ្វី? មុខងារផ្សេងគ្នាជាច្រើនគឺជាបុព្វបទនៃមុខងារដូចគ្នា។ នេះបង្ហាញថាមុខងារណាមួយមានអង់ទីករជាច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយពួកវាមានទម្រង់ $F(x) + C$ ដែល $C$ ជាថេរតាមអំពើចិត្ត។ នោះ​គឺ​ប្រតិបត្តិការ​នៃ​ការ​ធ្វើ​សមាហរណកម្ម​គឺ​មាន​តម្លៃ​ច្រើន​មិន​ដូច​ប្រតិបត្តិការ​នៃ​ការ​ធ្វើ​ខុស​គ្នា​នោះ​ទេ​។ ដោយផ្អែកលើនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃវត្ថុធាតុប្រឆាំង។

ទ្រឹស្តីបទ។ (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម) អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ $F_1$ និង $F_2$ ជាការប្រឆាំងនៃអនុគមន៍ $f(x)$ នៅចន្លោះពេលមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះពេលនេះ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ $F_2=F_1+C$ ដែល $C$ គឺថេរខ្លះ។

ការពិតនៃវត្តមាននៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃ antiderivatives អាចត្រូវបានបកស្រាយតាមធរណីមាត្រ។ ដោយប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលតាមអ័ក្ស $Oy$ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានក្រាហ្វនៃអង្គបដិប្រាណទាំងពីរសម្រាប់ $f(x)$ ពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃ antiderivative ។

វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាដោយជ្រើសរើស $ C$ ថេរ អ្នកអាចធានាថាក្រាហ្វនៃ antiderivative ឆ្លងកាត់ចំណុចជាក់លាក់មួយ។

រូបភាពទី 3 ។

ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, ក្រាហ្វដែលឆ្លងកាត់ចំនុច $(3; 1)$ ។
ដំបូង​យើង​ស្វែង​រក​សារធាតុ​ប្រឆាំង​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ​ទាំងអស់​សម្រាប់ $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$។
បន្ទាប់មក យើងនឹងរកឃើញលេខ C ដែលក្រាហ្វ $y=\frac(x^3)(9)+x+C$ នឹងឆ្លងកាត់ចំនុច $(3; 1)$។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទៅក្នុងសមីការក្រាហ្វ ហើយដោះស្រាយវាសម្រាប់ $C$៖
$1= \frac(3^3)(9)+3+C$, $C=-5$។
យើងទទួលបានក្រាហ្វ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ ដែលត្រូវគ្នានឹង antiderivative $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ ។

តារាងថ្នាំប្រឆាំងនឹងមេរោគ

តារាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុអាចត្រូវបានចងក្រងដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

តារាងថ្នាំប្រឆាំងនឹងមេរោគ

មុខងារ	ថ្នាំប្រឆាំងការចម្លង
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\ ក្នុង R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\ sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃតារាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ សម្រាប់សំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុនីមួយៗដែលមានទីតាំងនៅជួរខាងស្តាំ ស្វែងរកដេរីវេទីវ ដែលនឹងមានលទ្ធផលនៅក្នុងមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេង។

ច្បាប់មួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារជាច្រើនមានទម្រង់ស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយអាចជាការរួមផ្សំគ្នាដោយបំពាននៃផលបូក និងផលិតផលនៃមុខងារពីតារាងនេះ។ ហើយនៅទីនេះសំណួរកើតឡើង: របៀបគណនា antiderivatives នៃមុខងារបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ ពីតារាង យើងដឹងពីរបៀបគណនា antiderivatives នៃ $x^3$, $\sin x$ និង $10$។ ឧទាហរណ៍ តើគេអាចគណនា antiderivative $x^3-10\sin x$ យ៉ាងដូចម្តេច? ក្រឡេកមើលទៅមុខ វាមានតម្លៃគួរកត់សម្គាល់ថាវានឹងស្មើនឹង $\frac(x^4)(4)+10\cos x$។
1. ប្រសិនបើ $F(x)$ គឺជា antiderivative សម្រាប់ $f(x)$, $G(x)$ for $g(x)$, បន្ទាប់មកសម្រាប់ $f(x)+g(x)$ នោះ antiderivative នឹងត្រូវបាន ស្មើនឹង $F(x)+G(x)$។
2. ប្រសិនបើ $F(x)$ គឺជា antiderivative សម្រាប់ $f(x)$ ហើយ $a$ គឺថេរ នោះសម្រាប់ $af(x)$ antiderivative គឺ $aF(x)$ ។
3. ប្រសិនបើសម្រាប់ $f(x)$ សារធាតុប្រឆាំងគឺ $F(x)$, $a$ និង $b$ គឺថេរ នោះ $\frac(1)(a) F(ax+b)$ គឺជាសារធាតុប្រឆាំង។ សម្រាប់ $f (ax+b)$ ។
ដោយប្រើច្បាប់ដែលទទួលបានយើងអាចពង្រីកតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំង។

មុខងារ	ថ្នាំប្រឆាំងការចម្លង
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់៖

ក) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

ខ) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

គ) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$ ។

ក) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

ខ) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

គ) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$ ។

នៅលើទំព័រនេះអ្នកនឹងឃើញ៖

1. តាមពិតតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - វាអាចត្រូវបានទាញយកជាទម្រង់ PDF និងបោះពុម្ព។

2. វីដេអូអំពីរបៀបប្រើតារាងនេះ;

3. បណ្តុំនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រឆាំងដេរីវេពីសៀវភៅសិក្សា និងការធ្វើតេស្តផ្សេងៗ។

នៅក្នុងវីដេអូខ្លួនយើងផ្ទាល់ យើងនឹងវិភាគបញ្ហាជាច្រើនដែលអ្នកត្រូវគណនាមុខងារប្រឆាំងដេរីវេនៃមុខងារ ដែលជារឿយៗស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតនោះ វាមិនមែនជាមុខងារថាមពលទេ។ មុខងារទាំងអស់ដែលត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាងដែលបានស្នើឡើងខាងលើត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង ដូចជាឧបករណ៍ចម្លង។ បើគ្មានពួកគេ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីអាំងតេក្រាល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ថ្ងៃនេះយើងបន្តសិក្សាពីបុព្វកាល ហើយបន្តទៅប្រធានបទដែលស្មុគស្មាញបន្តិច។ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុន យើងបានក្រឡេកមើលតែអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារថាមពល និងសំណង់ស្មុគស្មាញបន្តិច ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលត្រីកោណមាត្រ និងច្រើនទៀត។

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅក្នុងមេរៀនចុងក្រោយ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ មិនដូចនិស្សន្ទវត្ថុ គឺមិនដែលត្រូវបានដោះស្រាយ "ទាំងស្រុង" ដោយប្រើច្បាប់ស្តង់ដារណាមួយឡើយ។ ជាងនេះទៅទៀត ដំណឹងអាក្រក់គឺថា មិនដូចដេរីវេទីវទេ អង់ទីឌីរីវេវ ប្រហែលជាមិនត្រូវបានគេពិចារណាទាល់តែសោះ។ ប្រសិនបើយើងសរសេរអនុគមន៍ចៃដន្យទាំងស្រុង ហើយព្យាយាមស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា នោះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ យើងនឹងជោគជ័យ ប៉ុន្តែអង្គបដិប្រាណនឹងស្ទើរតែមិនត្រូវបានគណនាក្នុងករណីនេះ។ ប៉ុន្តែ​មាន​ដំណឹង​ល្អ៖ មាន​ថ្នាក់​ធំ​គួរសម​នៃ​មុខងារ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា អនុគមន៍​បឋម ដែល​ជា​អង្គ​បដិវត្តន៍​ដែល​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​គណនា។ ហើយរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលើគ្រប់ប្រភេទនៃការធ្វើតេស្ត ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ និងការប្រឡងតាមការពិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអនុគមន៍បឋមទាំងនេះតាមរយៈការបូក ដក និងសកម្មភាពសាមញ្ញផ្សេងទៀត។ គំរូនៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានគណនា និងចងក្រងជាតារាងពិសេសជាយូរមកហើយ។ វាគឺជាមុខងារ និងតារាងទាំងនេះ ដែលយើងនឹងធ្វើការជាមួយថ្ងៃនេះ។

ប៉ុន្តែយើងនឹងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ៖ ចូរយើងចាំថា អ្វីជាសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម ហេតុអ្វីបានជាមានច្រើនមិនចេះចប់ និងរបៀបកំណត់រូបរាងទូទៅរបស់វា។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ខ្ញុំ​បាន​លើក​យក​បញ្ហា​សាមញ្ញ​ចំនួន​ពីរ។

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ងាយៗ

ឧទាហរណ៍ #1

ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថា $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ហើយជាទូទៅវត្តមានរបស់ $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ប្រាប់​យើង​ភ្លាមៗ​ថា អនុគមន៍​ដែល​ត្រូវការ​ប្រឆាំង​ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍​គឺ​ទាក់ទង​នឹង​ត្រីកោណមាត្រ។ ហើយជាការពិត ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង យើងនឹងឃើញថា $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ គឺគ្មានអ្វីលើសពី $\text(arctg)x$ ទេ។ ដូច្នេះសូមសរសេរវាចុះ៖

ដើម្បីស្វែងរក អ្នកត្រូវសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\\[\frac(\pi)(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text()) (3)+C\]

ឧទាហរណ៍លេខ 2

យើងក៏កំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅទីនេះផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង នោះពិតជាមានអ្វីកើតឡើង៖

យើងត្រូវស្វែងរកក្នុងចំណោមសំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានចង្អុលបង្ហាញ:

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\frac(\text()\!\!\pi\!\text( ))(6)+C\]

ចុងក្រោយ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

វាសាមញ្ញណាស់។ បញ្ហាតែមួយគត់គឺថាដើម្បីគណនាប្រឆាំងដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ អ្នកត្រូវរៀនតារាងនៃ antiderivatives ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយបន្ទាប់ពីសិក្សាតារាងដេរីវេសម្រាប់អ្នកខ្ញុំគិតថានេះនឹងមិនមានបញ្ហាទេ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

សូមមើលពីរបៀបដែលទាំងអស់នេះដំណើរការនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ #1

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលខ្លឹមសារនៃតង្កៀបនោះ យើងនឹងសម្គាល់ឃើញថា នៅក្នុងតារាងនៃអង្គបដិប្រាណ មិនមានកន្សោមបែបនេះសម្រាប់ $((e)^(x))$ ទៅជាការ៉េទេ ដូច្នេះការ៉េនេះត្រូវតែពង្រីក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖

ចូរយើងស្វែងរក antiderivative សម្រាប់ពាក្យនីមួយៗ៖

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2))\right))^(x))\to \frac((((\left((e))^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \\right))^(x))\to \frac((((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x)))) \]

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ប្រមូល​ពាក្យ​ទាំងអស់​ទៅ​ក្នុង​កន្សោម​តែ​មួយ ហើយ​ទទួល​បាន​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​ទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍លេខ 2

លើកនេះដឺក្រេគឺធំជាង ដូច្នេះរូបមន្តគុណនឹងអក្សរកាត់នឹងស្មុគស្មាញណាស់។ ដូច្នេះសូមបើកតង្កៀប៖

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ព្យាយាម​យក​រូបមន្ត​ប្រឆាំង​នឹង​រូបមន្ត​របស់​យើង​ពី​ការ​សាង​សង់​នេះ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញ ឬអរូបីនៅក្នុងអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនោះទេ។ ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាតាមតារាង ប៉ុន្តែសិស្សដែលយកចិត្តទុកដាក់ប្រហែលជានឹងសម្គាល់ឃើញថា antiderivative $((e)^(2x))$ គឺកាន់តែជិតទៅនឹង $((e)^(x))$ ជាង $((a )^(x))$។ ដូច្នេះ ប្រហែល​ជា​មាន​ច្បាប់​ពិសេស​មួយ​ចំនួន​ទៀត​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​ដឹង​ពី​ការ​ប្រឆាំង​នឹង $((e)^(x))$ ដើម្បី​ស្វែងរក $((e)^(2x))$? បាទ មានច្បាប់បែបនេះ។ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត វាគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវាដោយប្រើកន្សោមដូចគ្នាដែលយើងទើបតែបានធ្វើការជាមួយជាឧទាហរណ៍។

ច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives

តោះសរសេរមុខងាររបស់យើងម្តងទៀត៖

ក្នុងករណីមុន យើងប្រើរូបមន្តខាងក្រោមដើម្បីដោះស្រាយ៖

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ ចូរ​ធ្វើ​វា​ខុស​គ្នា​បន្តិច៖ ចូរ​យើង​ចាំ​ពី​មូលដ្ឋាន​អ្វី $((e)^(x))\to (e)^(x))$។ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយរួចមកហើយ ពីព្រោះនិស្សន្ទវត្ថុ $((e)^(x))$ គឺគ្មានអ្វីលើសពី $((e)^(x))$ ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុរបស់វានឹងស្មើនឹង $((e) ^ (x))$។ ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាយើងមាន $((e)^(2x))$ និង $((e)^(-2x))$ ។ ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ស្វែង​រក​ដេរីវេនៃ $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x\right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

ចូរ​សរសេរ​ការ​សាង​សង់​របស់​យើង​ម្ដង​ទៀត៖

\[((\left(((e)^(2x)) \\right))^(\prime))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2)\right))^(\prime ))\]

នេះមានន័យថានៅពេលដែលយើងរកឃើញ antiderivative $((e)^(2x))$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

\[(((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចពីមុន ប៉ុន្តែយើងមិនបានប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរក $((a)^(x))$ ទេ។ ឥឡូវនេះវាហាក់ដូចជាឆោតល្ងង់: ហេតុអ្វីបានជាភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនានៅពេលមានរូបមន្តស្តង់ដារ? ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងកន្សោមស្មុគស្មាញបន្តិចអ្នកនឹងឃើញថាបច្ចេកទេសនេះមានប្រសិទ្ធភាពណាស់ i.e. ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង។

ជា​ការ​កក់​ក្តៅ ចូរ​យើង​រក​ឃើញ​វត្ថុ​ប្រឆាំង​នៃ $((e)^(2x))$ ក្នុង​វិធី​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ៖

\[(((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot ឆ្វេង(-2\right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime))\]

នៅពេលគណនាការសាងសង់របស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ដូចគ្នា ប៉ុន្តែ​បាន​ដើរ​ផ្លូវ​ផ្សេង។ វាគឺជាផ្លូវនេះ ដែលឥឡូវនេះហាក់បីដូចជាស្មុគស្មាញបន្តិចសម្រាប់ពួកយើង ដែលនៅពេលអនាគតនឹងកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ការគណនាសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញ និងការប្រើប្រាស់តារាង។

យកចិត្តទុកដាក់! នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ណាស់៖ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុអាចរាប់បានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើការគណនានិងការគណនាទាំងអស់ស្មើគ្នានោះចម្លើយនឹងដូចគ្នា។ យើងទើបតែបានឃើញវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃ $((e)^(-2x))$ - នៅលើដៃម្ខាង យើងបានគណនា antiderivative នេះ "ត្រឹមត្រូវតាមរយៈ" ដោយប្រើនិយមន័យ និងគណនាវាដោយប្រើការបំប្លែង ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងចាំបានថា $((e)^(-2x))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $(((\left(((e)^(-2))) \right))^(x))$ ហើយមានតែពេលនោះទេដែលយើងបានប្រើ សារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ $((a)^(x))$ ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ លទ្ធផលគឺដូចគ្នា ដូចដែលបានរំពឹងទុក។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​យល់​ពី​ចំណុច​ទាំង​អស់​នេះ វា​ដល់​ពេល​ត្រូវ​បន្ត​ទៅ​កាន់​អ្វី​ដែល​សំខាន់​ជាង​នេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគសំណង់សាមញ្ញចំនួនពីរ ប៉ុន្តែបច្ចេកទេសដែលនឹងត្រូវប្រើនៅពេលដោះស្រាយវាជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពល និងមានប្រយោជន៍ជាងការ "ដំណើរការ" រវាងវត្ថុប្រឆាំងដែលនៅជិតខាងពីតារាង។

ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ ការស្វែងរកអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ #1

ចូរ​បំបែក​ចំនួន​ដែល​មាន​ក្នុង​លេខ​ជា​ប្រភាគ​បី​ដាច់​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា៖

នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរធម្មជាតិ និងអាចយល់បាន - សិស្សភាគច្រើនមិនមានបញ្ហាជាមួយវាទេ។ ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវការបញ្ចេញមតិរបស់យើងដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះសូមចងចាំរូបមន្តនេះ៖

ក្នុងករណីរបស់យើងយើងនឹងទទួលបានដូចខាងក្រោម:

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់នេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍លេខ 2

មិនដូចប្រភាគមុនទេ ភាគបែងមិនមែនជាផលិតផលទេ ប៉ុន្តែជាផលបូក។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនអាចបែងចែកប្រភាគរបស់យើងទៅជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញមួយចំនួនទៀតទេ ប៉ុន្តែយើងត្រូវព្យាយាមធ្វើយ៉ាងណាឱ្យប្រាកដថា ភាគយកមានកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលនឹងភាគបែង។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើវា៖

សញ្ញាណនេះដែលនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា "ការបន្ថែមសូន្យ" នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកប្រភាគជាពីរផ្នែកម្តងទៀត៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖

នោះហើយជាការគណនាទាំងអស់។ ទោះបីជាមានភាពស្មុគ្រស្មាញខ្លាំងជាងបញ្ហាមុនក៏ដោយ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាតូចជាង។

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលការលំបាកចម្បងក្នុងការធ្វើការជាមួយថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេទីបស្ថិតនៅ នេះគឺជាការកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅក្នុងកិច្ចការទីពីរ។ ការពិតគឺថា ដើម្បីជ្រើសរើសធាតុមួយចំនួនដែលងាយស្រួលគណនាតាមតារាង យើងត្រូវដឹងពីអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកពិតប្រាកដ ហើយវាគឺនៅក្នុងការស្វែងរកធាតុទាំងនេះដែលការគណនាទាំងមូលនៃ antiderivatives មាន។

ម៉្យាងទៀត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ គ្រាន់តែទន្ទេញចាំតារាងនៃ antiderivatives ប៉ុណ្ណោះ - អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញអ្វីមួយដែលមិនទាន់មាន ប៉ុន្តែអ្នកនិពន្ធនិងអ្នកចងក្រងនៃបញ្ហានេះមានន័យយ៉ាងណា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគណិតវិទូ គ្រូបង្រៀន និងសាស្រ្តាចារ្យជាច្រើនតែងតែជជែកគ្នាឥតឈប់ឈរ៖ "តើអ្វីទៅដែលទទួលយកវត្ថុធាតុចម្លង ឬសមាហរណកម្ម - តើវាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍ ឬវាជាសិល្បៈពិត?" តាមពិតតាមគំនិតផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ ការរួមបញ្ចូលមិនមែនជាសិល្បៈទាល់តែសោះ - មិនមានអ្វីអស្ចារ្យនៅក្នុងវាទេ វាគ្រាន់តែជាការអនុវត្ត និងការអនុវត្តបន្ថែមទៀត។ ហើយដើម្បីអនុវត្ត ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍បីយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរបន្ថែមទៀត។

យើងបណ្តុះបណ្តាលក្នុងការរួមបញ្ចូលក្នុងការអនុវត្ត

កិច្ចការទី 1

ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\\[\frac(1)(1+((x)^(2))))\to \text(arctg)x\]

ចូរយើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

បញ្ហាលេខ 2

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចតទៅ៖

ការប្រឆាំងដេរីវេសរុបនឹងស្មើនឹង៖

បញ្ហាលេខ 3

ភាពលំបាកនៃបញ្ហានេះគឺថា មិនដូចមុខងារមុនៗខាងលើទេ វាមិនមានអថេរ $x$ ទាល់តែសោះ i.e. យើង​មិន​យល់​ពី​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បន្ថែម​ឬ​ដក​ដើម្បី​ទទួល​បាន​អ្វី​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​នឹង​អ្វី​ដែល​មាន​ខាង​ក្រោម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតាមពិត កន្សោមនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាសាមញ្ញជាងកន្សោមមុនៗ ពីព្រោះមុខងារនេះអាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះអ្នកអាចសួរថា: ហេតុអ្វីបានជាមុខងារទាំងនេះស្មើគ្នា? តោះពិនិត្យ៖

ចូរយើងសរសេរវាម្តងទៀត៖

តោះផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើងបន្តិច៖

ហើយនៅពេលដែលខ្ញុំពន្យល់ទាំងអស់នេះដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ ស្ទើរតែតែងតែមានបញ្ហាដូចគ្នាកើតឡើង៖ ជាមួយនឹងមុខងារទីមួយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាង ឬតិច ជាមួយនឹងទីពីរ អ្នកក៏អាចដោះស្រាយវាដោយសំណាង ឬការអនុវត្ត ប៉ុន្តែតើអ្នកយល់បែបណា ចាំបាច់ត្រូវមានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីបី? តាមពិតកុំខ្លាចអី។ បច្ចេកទេសដែលយើងបានប្រើនៅពេលគណនា antiderivative ចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា "ការបំបែកមុខងារទៅជាសាមញ្ញបំផុតរបស់វា" ហើយនេះគឺជាបច្ចេកទេសដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ ហើយមេរៀនវីដេអូដាច់ដោយឡែកមួយនឹងត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះវា។

ក្នុងពេលនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យត្រឡប់ទៅអ្វីដែលយើងទើបតែបានសិក្សា ពោលគឺមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញខ្លះៗចំពោះបញ្ហាជាមួយនឹងខ្លឹមសាររបស់វា។

បញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប្រឆាំងដេរីវេ

កិច្ចការទី 1

ចូរយើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោមៈ

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5\right))^(x))=((10)^(x) )\]

ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃកន្សោមនេះ គ្រាន់តែប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ ។

ក្នុងករណីរបស់យើង antiderivative នឹងមានលក្ខណៈដូចនេះ:

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ បើ​ប្រៀប​ធៀប​ទៅ​នឹង​ការ​រចនា​ដែល​យើង​ទើប​តែ​ដោះ​ស្រាយ​មួយ​នេះ​មើល​ទៅ​សាមញ្ញ​ជាង។

បញ្ហាលេខ 2

ជាថ្មីម្តងទៀត វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាមុខងារនេះអាចបែងចែកបានយ៉ាងងាយទៅជាពាក្យពីរដាច់ដោយឡែក គឺប្រភាគពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។ តោះសរសេរឡើងវិញ៖

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃពាក្យទាំងនេះនីមួយៗដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ៖

ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញកាន់តែច្រើនជាក់ស្តែងនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធៀបនឹងមុខងារថាមពលក៏ដោយ បរិមាណសរុបនៃការគណនា និងការគណនាបានប្រែទៅជាសាមញ្ញជាង។

ជាការពិតណាស់ សម្រាប់សិស្សដែលមានចំណេះដឹង អ្វីដែលយើងទើបតែបានពិភាក្សា (ជាពិសេសប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃអ្វីដែលយើងបានវិភាគពីមុន) អាចហាក់ដូចជាការបញ្ចេញមតិបឋម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលជ្រើសរើសបញ្ហាទាំងពីរនេះសម្រាប់មេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមិនបានកំណត់គោលដៅក្នុងការប្រាប់អ្នកពីបច្ចេកទេសដ៏ស្មុគស្មាញ និងស្មុគ្រស្មាញមួយទៀតនោះទេ - អ្វីដែលខ្ញុំចង់បង្ហាញអ្នកនោះគឺថា អ្នកមិនគួរភ័យខ្លាចក្នុងការប្រើប្រាស់បច្ចេកទេសពិជគណិតស្តង់ដារដើម្បីបំប្លែងមុខងារដើមឡើយ។ .

ដោយប្រើបច្ចេកទេស "សម្ងាត់"

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិនិត្យមើលបច្ចេកទេសគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលនៅលើដៃម្ខាង វាហួសពីអ្វីដែលយើងបានពិភាក្សាជាចម្បងនៅថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាដំបូងមិនស្មុគស្មាញទាល់តែសោះ ពោលគឺ។ សូម្បីតែសិស្សដែលទើបចាប់ផ្តើមក៏អាចធ្វើជាម្ចាស់វា ហើយទីពីរវាត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃការធ្វើតេស្ត និងការងារឯករាជ្យ i.e. ចំនេះដឹងរបស់វានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ បន្ថែមពីលើចំណេះដឹងអំពីតារាងថ្នាំប្រឆាំងមេរោគ។

កិច្ចការទី 1

ជាក់ស្តែងយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តើយើងគួរធ្វើអ្វីក្នុងករណីនេះ? ចូរយើងគិតអំពីវា៖ $x-5$ ខុសពី $x$ មិនច្រើនទេ - ពួកគេទើបតែបន្ថែម $-5$ ។ តោះសរសេរដូចនេះ៖

\[(((x)^(៤))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5)\right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

តោះព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេនៃ $((\left(x-5\right))^(5))$:

\[(((\left(((\left(x-5\right))^(5))\right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))) ^(4))\cdot ((\left(x-5\right)))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))^(4))\]

វាធ្វើតាមពីនេះ៖

\[((\left(x-5\right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5\right))))^(5)))(5)\ ត្រូវ))^(\prime))\]

មិនមានតម្លៃបែបនេះនៅក្នុងតារាងទេ ដូច្នេះឥឡូវនេះ យើងបានទាញយករូបមន្តនេះដោយខ្លួនឯង ដោយប្រើរូបមន្ត antiderivative ស្តង់ដារសម្រាប់មុខងារថាមពល។ ចូរសរសេរចម្លើយដូចនេះ៖

បញ្ហាលេខ 2

សិស្សជាច្រើនដែលមើលដំណោះស្រាយដំបូងអាចគិតថាអ្វីៗទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់៖ គ្រាន់តែជំនួស $x$ នៅក្នុងមុខងារថាមពលជាមួយនឹងកន្សោមលីនេអ៊ែរ នោះអ្វីៗនឹងធ្លាក់ចុះ។ ជាអកុសលអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេហើយឥឡូវនេះយើងនឹងឃើញរឿងនេះ។

ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[((x)^(៩))\to \frac(((x)^(១០)))(១០)\]

\[(((\left(((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\cdot ((\left(4-3x\right))^(\prime))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x\right))^(9))\cdot \left(-3\right)=-30\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\]

ត្រលប់ទៅនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង យើងអាចសរសេរ៖

\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x\right)) )^(៩))\]

\[((\left(4-3x\right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x\right))))^(10)))(-30) \right))^(\prime))\]

នេះភ្លាមៗដូចខាងក្រោមៈ

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរសំខាន់កាលពីលើកមុនទេ នោះនៅក្នុងករណីទីពីរ ជំនួសឱ្យ $-10$, $-30$ បានបង្ហាញខ្លួន។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $-10$ និង $-30$? ជាក់ស្តែងដោយកត្តានៃ $-3$ ។ សំណួរ៖ តើវាមកពីណា? ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឱ្យជិត អ្នកអាចមើលឃើញថាវាត្រូវបានគេយកជាលទ្ធផលនៃការគណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ - មេគុណដែលឈរនៅ $x$ បង្ហាញនៅក្នុង antiderivative ខាងក្រោម។ នេះជាច្បាប់សំខាន់ណាស់ ដែលដំបូងឡើយខ្ញុំមិនមានគម្រោងពិភាក្សាអ្វីទាំងអស់នៅក្នុងមេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែបើគ្មានវាទេ ការបង្ហាញអំពីថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេតាមតារាងនឹងមិនពេញលេញទេ។

ដូច្នេះសូមធ្វើវាម្តងទៀត។ សូមឱ្យមានមុខងារថាមពលចម្បងរបស់យើង:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ឥឡូវនេះជំនួសឱ្យ $x$ ចូរជំនួសកន្សោម $kx+b$ ។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលនោះ? យើងត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោមៈ

\[((\left(kx+b\right))^(n))\to \frac((((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1) \\ ស្តាំ) \\ cdot k) \\]

តើ​យើង​ទាមទារ​នេះ​លើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី? សាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃសំណង់ដែលបានសរសេរខាងលើ៖

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1\right)\cdot k)\right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1\right)\cdot k)\cdot \left(n+1\right)\cdot ((\left(kx+b\right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b\right))^(n))\]

នេះ​ជា​កន្សោម​ដដែល​ដែល​មាន​ពី​ដើម។ ដូច្នេះ រូបមន្តនេះក៏ត្រឹមត្រូវដែរ ហើយវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបំពេញបន្ថែមតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬវាប្រសើរជាងក្នុងការទន្ទេញតារាងទាំងមូល។

ការសន្និដ្ឋានពី“ អាថ៌កំបាំង៖ បច្ចេកទេស៖

• មុខងារទាំងពីរដែលយើងទើបតែបានពិនិត្យនោះ តាមពិតទៅ អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា antiderivatives ដែលបានបង្ហាញក្នុងតារាងដោយការពង្រីកដឺក្រេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងអាចច្រើន ឬតិចអាចទប់ទល់នឹងសញ្ញាប័ត្រទី 4 នោះខ្ញុំក៏មិនគិតថាសញ្ញាបត្រទីប្រាំបួនហ៊ានដែរ។ បង្ហាញ។
• ប្រសិនបើយើងពង្រីកដឺក្រេ យើងនឹងបញ្ចប់ជាមួយនឹងបរិមាណនៃការគណនាដែលកិច្ចការសាមញ្ញនឹងនាំយើងនូវពេលវេលាដ៏ច្រើនមិនសមរម្យ។
• នោះហើយជាមូលហេតុដែលបញ្ហាបែបនេះដែលមានកន្សោមលីនេអ៊ែរមិនចាំបាច់ត្រូវបានដោះស្រាយ "ក្បាលវែង" ទេ។ ដរាបណាអ្នករកឃើញសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេដែលខុសពីមួយនៅក្នុងតារាងដោយវត្តមានកន្សោម $kx+b$ នៅខាងក្នុង នោះភ្លាមចងចាំរូបមន្តដែលបានសរសេរខាងលើជំនួសវាទៅក្នុងតារាង antiderivative របស់អ្នក ហើយអ្វីៗនឹងប្រែជាខ្លាំង។ លឿន និងងាយស្រួលជាង។

ជាធម្មតា ដោយសារភាពស្មុគស្មាញ និងភាពធ្ងន់ធ្ងរនៃបច្ចេកទេសនេះ យើងនឹងត្រលប់ទៅការពិចារណារបស់វាច្រើនដងក្នុងមេរៀនវីដេអូនាពេលអនាគត ប៉ុន្តែនោះជាអ្វីទាំងអស់សម្រាប់ថ្ងៃនេះ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះពិតជាអាចជួយសិស្សទាំងនោះដែលចង់យល់អំពីវត្ថុបុរាណ និងការរួមបញ្ចូល។

អាំងតេក្រាលសំខាន់ៗដែលសិស្សគ្រប់រូបគួរដឹង

អាំងតេក្រាលដែលបានរាយបញ្ជីគឺជាមូលដ្ឋាន, មូលដ្ឋាននៃមូលដ្ឋានគ្រឹះ។ រូបមន្តទាំងនេះប្រាកដជាត្រូវចងចាំ។ នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ អ្នកនឹងត្រូវប្រើវាជានិច្ច។

យកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះរូបមន្ត (5), (7), (9), (12), (13), (17) និង (19) ។ កុំភ្លេចបន្ថែម C ថេរទៅចម្លើយរបស់អ្នកនៅពេលបញ្ចូល!

អាំងតេក្រាលនៃថេរមួយ។

∫ A d x = A x + C (1)

ការរួមបញ្ចូលមុខងារថាមពល

តាមការពិត វាអាចកំណត់ខ្លួនយើងត្រឹមតែរូបមន្ត (5) និង (7) ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលដែលនៅសល់ពីក្រុមនេះកើតឡើងជាញឹកញាប់ ដែលវាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់បន្តិចចំពោះពួកគេ។

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

ជាការពិតណាស់រូបមន្ត (8) (ប្រហែលជាងាយស្រួលបំផុតសម្រាប់ការទន្ទេញចាំ) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (9) ។ រូបមន្ត (10) និង (11) សម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសអ៊ីពែរបូល និងកូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលគឺបានមកយ៉ាងងាយស្រួលពីរូបមន្ត (8) ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការចងចាំទំនាក់ទំនងទាំងនេះដោយសាមញ្ញ។

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

អាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

កំហុស​ដែល​សិស្ស​តែង​តែ​ធ្វើ​គឺ​ពួកគេ​ច្រឡំ​សញ្ញា​ក្នុង​រូបមន្ត (១២) និង (១៣)។ ដោយចងចាំថាដេរីវេនៃស៊ីនុសស្មើនឹងកូស៊ីនុស ដោយសារហេតុផលមួយចំនួន មនុស្សជាច្រើនជឿថាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ sinx គឺស្មើនឹង cosx ។ នេះមិនមែនជាការពិតទេ! អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹង "ដកកូស៊ីនុស" ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលនៃ cosx គឺស្មើនឹង "គ្រាន់តែស៊ីនុស"៖

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

អាំងតេក្រាលដែលកាត់បន្ថយទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

រូបមន្ត (16) ដែលនាំទៅដល់អាកតង់សង់ គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (17) សម្រាប់ a=1 ។ ដូចគ្នានេះដែរ (18) គឺជាករណីពិសេសនៃ (19) ។

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញជាង

វាត្រូវបានណែនាំឱ្យចងចាំរូបមន្តទាំងនេះផងដែរ។ ពួកគេក៏ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ដែរ ហើយទិន្នផលរបស់ពួកគេគឺគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់។

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a> 0) (24)

ច្បាប់ទូទៅនៃការរួមបញ្ចូល

1) អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) អាំងតេក្រាលនៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖ ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

វាងាយមើលឃើញថាទ្រព្យសម្បត្តិ (26) គ្រាន់តែជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃទ្រព្យសម្បត្តិ (25) និង (27) ។

4) អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ប្រសិនបើមុខងារខាងក្នុងគឺលីនេអ៊ែរ៖ ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

នៅទីនេះ F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ f(x)។ សូមចំណាំ៖ រូបមន្តនេះដំណើរការតែនៅពេលដែលមុខងារខាងក្នុងគឺ Ax + B។

សំខាន់៖ មិនមានរូបមន្តសកលសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ ក៏ដូចជាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃប្រភាគ៖

∫ f (x) g (x) d x = ?

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

ជាការពិតណាស់ នេះមិនមានន័យថាប្រភាគ ឬផលិតផលមិនអាចរួមបញ្ចូលបានទេ។ វាគ្រាន់តែថារាល់ពេលដែលអ្នកឃើញអាំងតេក្រាលដូចជា (30) អ្នកនឹងត្រូវបង្កើតវិធីដើម្បី "ប្រយុទ្ធ" វា។ ក្នុងករណីខ្លះ ការធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែកនឹងជួយអ្នក ហើយអ្នកនឹងត្រូវធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ហើយជួនកាលសូម្បីតែរូបមន្តពិជគណិត "សាលា" ឬត្រីកោណមាត្រក៏អាចជួយបាន។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ឧទាហរណ៍ 1. រកអាំងតេក្រាល៖ ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

ចូរយើងប្រើរូបមន្ត (25) និង (26) (អាំងតេក្រាលនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបាន៖ ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 ឃ x

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

សាកល្បងខ្លួនអ្នកដោយភាពខុសគ្នា៖ យកដេរីវេនៃអនុគមន៍លទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាវាស្មើនឹងអាំងតេក្រាលដើម។

តារាងសង្ខេបនៃអាំងតេក្រាល។

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + គ

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

x + x 2 + a 2 | + គ

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x 2 − a 2 | + គ

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a> 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |