ការបន្ថែមដោយអំណាចស្មើគ្នា។ សញ្ញាប័ត្រនិងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ប្រសិនបើអំណាចពីរត្រូវបានគុណ (ឬបែងចែក) ដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តដូចគ្នា នោះមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានគុណ (ឬបែងចែក) ហើយនិទស្សន្តនៃលទ្ធផលអាចត្រូវបានទុកដូចគ្នានឹងកត្តា (ឬភាគលាភ។ និងចែក) ។

ជាទូទៅនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

នៅពេលបែងចែក b មិនអាចស្មើនឹង 0 បានទេ ពោលគឺក្បួនទីពីរត្រូវតែបំពេញបន្ថែមដោយលក្ខខណ្ឌ b ≠ 0 ។

ឧទាហរណ៍៖
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ទាំងនេះ យើងនឹងបង្ហាញថាច្បាប់-លក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាគឺត្រឹមត្រូវ។ តោះដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទាំងនេះ ដូចជាយើងមិនដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

ដូចដែលយើងឃើញហើយ ចម្លើយស្របគ្នានឹងចម្លើយដែលទទួលបាននៅពេលច្បាប់ត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ការដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកងាយស្រួលក្នុងការគណនា។

ចំណាំថាកន្សោម 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 អាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) ។

កន្សោមនេះនៅក្នុងវេនគឺជាអ្វីមួយក្រៅពី (2 × 3) 3. នោះគឺ 6 3 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃដឺក្រេដែលមានសូចនាករដូចគ្នាអាចត្រូវបានប្រើក្នុងទិសដៅផ្ទុយ។ ឧទាហរណ៍ 18 2 ជាអ្វី?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍៖
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ

"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ"គឺជាសំណួរដ៏ពេញនិយមមួយនៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរក ដែលបង្ហាញចំណាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ យើងបានប្រមូលសម្រាប់អ្នកនូវរាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រ (លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់) នៅកន្លែងតែមួយ។ អ្នកអាចទាញយកកំណែខ្លីនៃសន្លឹកបន្លំ "លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ"ជាទម្រង់ .pdf ដូច្នេះបើចាំបាច់ អ្នកអាចចងចាំពួកវាបានយ៉ាងងាយស្រួល ឬស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកគេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដោយផ្ទាល់នៅលើគេហទំព័រ។ ព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយឧទាហរណ៍បានពិភាក្សាខាងក្រោម។

ទាញយកសន្លឹកបន្លំ "លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ" (ទម្រង់។pdf)

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ (ដោយសង្ខេប)

    ក 0=1 ប្រសិនបើ ក≠0

    ក 1=ក

    (−ក)ន=មួយ, ប្រសិនបើ ន- សូម្បីតែ

    (−ក)ន=−មួយ, ប្រសិនបើ ន- សេស

    (ក⋅ខ)ន=មួយ⋅bn

    (ab)ន=អានប៊ីន

    ក−ន=1មួយ

    (ab)−ន=(បា)ន

    មួយ⋅ព្រឹក=មួយ+ម

    អាណាម=មួយ−ម

    (មួយ)ម=មួយ⋅ម

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ (ឧទាហរណ៍)

ទ្រព្យសម្បត្តិសញ្ញាប័ត្រទី 1លេខណាមួយក្រៅពីសូន្យទៅសូន្យគឺស្មើនឹងមួយ។ ក 0=1 ប្រសិនបើ ក≠0 ឧទាហរណ៍៖ 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

ទ្រព្យសម្បត្តិសញ្ញាបត្រទី ២លេខណាមួយទៅអំណាចទីមួយគឺស្មើនឹងលេខខ្លួនឯង។ ក 1=ក ឧទាហរណ៍៖ 231=23, (−9,3)1=−9,3

ទ្រព្យសម្បត្តិសញ្ញាបត្រទី ៣លេខណាមួយទៅថាមពលគូគឺវិជ្ជមាន។ មួយ=មួយ, ប្រសិនបើ ន- គូ (ចែកដោយ 2) ចំនួនគត់ (− ក)ន=មួយ, ប្រសិនបើ ន- គូ (ចែកដោយ 2) ចំនួនគត់ ឧទាហរណ៍៖ 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

ទ្រព្យសម្បត្តិសញ្ញាប័ត្រទី ៤លេខណាមួយទៅថាមពលសេសរក្សាសញ្ញារបស់វា។ មួយ=មួយ, ប្រសិនបើ ន- សេស (មិនបែងចែកដោយ 2) ចំនួនគត់ (− ក)ន=−មួយ, ប្រសិនបើ ន- សេស (មិនបែងចែកដោយ 2) ចំនួនគត់ ឧទាហរណ៍៖ 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៥ផលិតផលនៃលេខដែលបានលើកឡើង អូទៅជាថាមពល អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃលេខដែលបានលើកឡើង សវ នេះ សញ្ញាបត្រ (និងផ្ទុយមកវិញ) ។ ( ក⋅ខ)ន=មួយ⋅bnខណៈពេលដែល ក, ខ, ន ឧទាហរណ៍៖ (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៦គុណនាម (ការបែងចែក) នៃលេខដែលបានលើកឡើង អូទៅជាថាមពល អាចត្រូវបានតំណាងថាជាកូតានៃលេខដែលបានលើកឡើង សវ នេះ សញ្ញាបត្រ (និងផ្ទុយមកវិញ) ។ ( ab)ន=អានប៊ីនខណៈពេលដែល ក, ខ, ន- លេខណាមួយដែលមានសុពលភាព (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) ឧទាហរណ៍៖ (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៧លេខណាមួយទៅជាថាមពលអវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងចំនួនបដិវត្តរបស់វាទៅនឹងថាមពលនោះ។ (លេខសងខាងគឺជាលេខដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែគុណដើម្បីទទួលបានមួយ។ ) ក−ន=1មួយខណៈពេលដែល កនិង ន- លេខណាមួយដែលមានសុពលភាព (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) ឧទាហរណ៍៖ 7−2=172=149

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៨ប្រភាគណាមួយនៃអំណាចអវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងប្រភាគច្រាសនៃអំណាចនោះ។ ( ab)−ន=(បា)នខណៈពេលដែល ក, ខ, ន- លេខណាមួយដែលមានសុពលភាព (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) ឧទាហរណ៍៖ (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៩នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល។ មួយ⋅ព្រឹក=មួយ+មខណៈពេលដែល ក, ន, ម- លេខណាមួយដែលមានសុពលភាព (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) ឧទាហរណ៍៖ 23⋅25=23+5=28 ចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រនេះត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃដឺក្រេ 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)=47−3=44

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១០នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានដក ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល។ អាណាម=មួយ−មខណៈពេលដែល ក, ន, ម- លេខណាមួយដែលមានសុពលភាព (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) ឧទាហរណ៍៖(1,4)2(1,4)3=1.42+3=1.45 ចំណាំពីរបៀបដែលទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលនេះអនុវត្តចំពោះអំណាចអវិជ្ជមាន3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១១កាល​ណា​លើក​អំណាច​ទៅ​ជា​អំណាច អំណាច​ត្រូវ​បាន​គុណ។ ( មួយ)ម=មួយ⋅មឧទាហរណ៍៖ (23)2=23⋅2=26=64

តារាងថាមពលរហូតដល់ 10

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលគ្រប់គ្រងក្នុងការចងចាំតារាងដឺក្រេទាំងមូល ហើយតើអ្នកណាត្រូវការវានៅពេលដែលវាងាយស្រួលរក? តារាងថាមពលរបស់យើងរួមមានទាំងតារាងការ៉េ និងគូបដ៏ពេញនិយម (ពី 1 ដល់ 10) ក៏ដូចជាតារាងថាមពលផ្សេងទៀតដែលមិនសូវមានជាទូទៅ។ ជួរឈរនៃតារាងអំណាចបង្ហាញពីមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ (ចំនួនដែលត្រូវការបង្កើនថាមពល) ជួរដេកបង្ហាញពីនិទស្សន្ត (អំណាចដែលលេខត្រូវលើកឡើង) និងនៅចំនុចប្រសព្វនៃ ជួរ​ឈរ​ដែល​ចង់​បាន​និង​ជួរ​ដេក​ដែល​ចង់​បាន​គឺ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​បង្កើន​ចំនួន​ដែល​ចង់​បាន​ទៅ​អំណាច​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។ មានបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើតារាងថាមពល។ ភារកិច្ចភ្លាមៗគឺត្រូវគណនា ន អំណាចនៃលេខមួយ។ បញ្ហាបញ្ច្រាស ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើតារាងអំណាច អាចស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ « តើគួរលើកចំនួនអំណាចអ្វី? ក ដើម្បីទទួលបានលេខ ខ ?" ឬ "លេខអ្វីសម្រាប់អំណាច ន ផ្តល់លេខ ខ ?".

តារាងថាមពលរហូតដល់ 10

1 ន

2 ន

3 ន

4 ន

5 ន

6 ន

7 ន

8 ន

9 ន

10 ន

របៀបប្រើតារាងសញ្ញាប័ត្រ

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការប្រើប្រាស់តារាងថាមពល។

ឧទាហរណ៍ ១. តើ​លេខ​អ្វី​កើត​ឡើង​ពី​ការ​លើក​លេខ​៦​ដល់​លេខ​៨?នៅក្នុងតារាងដឺក្រេយើងរកមើលជួរទី 6 នចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាលេខ 6 ត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពល។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងតារាងអំណាចយើងរកមើលជួរទី 8 ដោយហេតុថាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែត្រូវបានលើកទៅអំណាចនៃ 8 ។ នៅចំណុចប្រសព្វយើងមើលចម្លើយ: 1679616 ។

ឧទាហរណ៍ ២. តើ​លេខ ៩ ត្រូវ​លើក​ទៅ​អំណាច​អ្វី​ទើប​បាន ៧២៩?នៅក្នុងតារាងដឺក្រេយើងរកមើលជួរទី 9 នហើយយើងចុះទៅលេខ 729 (ជួរទីបីនៃតារាងដឺក្រេរបស់យើង)។ លេខ​បន្ទាត់​គឺ​ជា​សញ្ញាប័ត្រ​ដែល​ត្រូវ​ការ នោះ​គឺ​ជា​ចម្លើយ៖ ៣.

ឧទាហរណ៍ ៣. តើ​លេខ​អ្វី​ត្រូវ​លើក​ទៅ​អំណាច​លេខ ៧ ដើម្បី​ទទួល​បាន ២១៨៧?នៅក្នុងតារាងដឺក្រេ យើងរកមើលជួរទី 7 បន្ទាប់មកផ្លាស់ទីតាមវាទៅខាងស្តាំទៅលេខ 2187 នមានន័យថា ចម្លើយគឺ៖ ៣.

ឧទាហរណ៍ 4 ។ តើ​អ្នក​ត្រូវ​បង្កើន​អំណាច​អ្វី​ទៅ​ដើម្បី​បាន 63?នៅក្នុងតារាងដឺក្រេយើងរកឃើញជួរឈរ 2 នហើយយើងទៅចុះរហូតដល់យើងជួប 63... ប៉ុន្តែរឿងនេះនឹងមិនកើតឡើងទេ។ យើងនឹងមិនដែលឃើញលេខ 63 នៅក្នុងជួរឈរនេះ ឬនៅក្នុងជួរឈរផ្សេងទៀតនៃតារាងអំណាចទេ ដែលមានន័យថាគ្មានចំនួនគត់ពី 1 ដល់ 10 ផ្តល់លេខ 63 នៅពេលលើកឡើងទៅជាចំនួនគត់ពី 1 ដល់ 10។ ដូច្នេះហើយមិនមាន ចម្លើយ។

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនីមួយៗ ជួនកាលមានភាពស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការសរសេរ ហើយពួកគេព្យាយាមធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ នេះធ្លាប់ជាករណីជាមួយប្រតិបត្តិការបន្ថែម។ មនុស្សត្រូវការដើម្បីអនុវត្តការបន្ថែមម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នាឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកំរាលព្រំ Persian មួយរយដែលការចំណាយគឺ 3 កាក់មាសសម្រាប់គ្នា។ 3+3+3+…+3=300។ ដោយសារលក្ខណៈពិបាករបស់វា វាត្រូវបានគេសម្រេចចិត្តកាត់ចំណាំទៅជា 3 * 100 = 300។ តាមពិត សញ្ញា "បីដងមួយរយ" មានន័យថាអ្នកត្រូវយកមួយ មួយរយបីហើយបន្ថែមវាជាមួយគ្នា។ មេគុណចាប់បាន និងទទួលបានប្រជាប្រិយភាពជាទូទៅ។ ប៉ុន្តែពិភពលោកមិននៅស្ងៀមទេ ហើយនៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាល តម្រូវការបានកើតឡើងដើម្បីអនុវត្តការគុណម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នា។ ខ្ញុំចាំបាននូវពាក្យប្រឌិតរបស់ឥណ្ឌាចាស់មួយអំពីឥសីម្នាក់ដែលសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីក្នុងបរិមាណខាងក្រោមជារង្វាន់សម្រាប់ការងារដែលបានធ្វើ៖ សម្រាប់ការ៉េទីមួយនៃក្តារអុក គាត់បានសុំគ្រាប់ធញ្ញជាតិមួយ សម្រាប់ទីពីរ - ពីរ សម្រាប់ទីបី - បួន។ សម្រាប់ទីប្រាំ - ប្រាំបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះជារបៀបដែលមេគុណដំបូងនៃអំណាចបានបង្ហាញខ្លួន ពីព្រោះចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិគឺស្មើនឹងពីរទៅនឹងថាមពលនៃចំនួនក្រឡា។ ឧទាហរណ៍ នៅលើក្រឡាចុងក្រោយនឹងមាន 2*2*2*...*2 = 2^63 គ្រាប់ធញ្ញជាតិ ដែលស្មើនឹងលេខ 18 តួអក្សរដែលតាមពិតគឺជាអត្ថន័យនៃពាក្យប្រឌិត។

ប្រតិបត្តិការនៃនិទស្សន្តចាប់បានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយតម្រូវការដើម្បីអនុវត្តការបូក ដក ការបែងចែក និងគុណនៃអំណាចក៏កើតឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ក្រោយមកទៀតគឺមានតម្លៃពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមថាមពលគឺសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការយល់ថាតើពួកគេមកពីណាប្រសិនបើប្រតិបត្តិការថាមពលត្រូវបានជំនួសដោយការគុណ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងអ្នកត្រូវយល់ពីវាក្យស័ព្ទមូលដ្ឋានមួយចំនួន។ កន្សោម a ^ b (អាន "a ដល់អំណាចនៃ b") មានន័យថាចំនួន a គួរតែត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា b ដងដោយ "a" ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃអំណាចនិង "b" និទស្សន្តនៃអំណាច។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺដូចគ្នា នោះរូបមន្តត្រូវបានយកមកយ៉ាងសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2^3 * 2^4 ។ ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលគួរកើតឡើង អ្នកគួរតែស្វែងរកចម្លើយនៅលើកុំព្យូទ័រមុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ។ ការបញ្ចូលកន្សោមនេះទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញណាមួយ ម៉ាស៊ីនស្វែងរក ដោយវាយ "គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងដូចគ្នា" ឬកញ្ចប់គណិតវិទ្យា លទ្ធផលនឹងមាន 128 ។ ឥឡូវសូមសរសេរកន្សោមនេះ៖ 2^3 = 2*2*2, និង 2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 ។ វាប្រែថា 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) ។ វាប្រែថាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានដែលបានលើកឡើងទៅជាអំណាចស្មើនឹងផលបូកនៃអំណាចទាំងពីរពីមុន។

អ្នក​ប្រហែល​ជា​គិត​ថា​នេះ​ជា​ឧបទ្ទវហេតុ ប៉ុន្តែ​ទេ៖ ឧទាហរណ៍​ផ្សេង​ទៀត​អាច​បញ្ជាក់​បាន​តែ​ច្បាប់​នេះ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ជាទូទៅ រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ a^n * a^m = a^(n+m) ។ វាក៏មានច្បាប់មួយដែលថាលេខណាមួយទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ។ នៅទីនេះយើងគួរចងចាំក្បួននៃអំណាចអវិជ្ជមាន: a^(-n) = 1 / a^n ។ នោះគឺប្រសិនបើ 2^3 = 8 បន្ទាប់មក 2^(-3) = 1/8 ។ ដោយប្រើច្បាប់នេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ និងមួយនៅសល់។ ពីនេះ ក្បួនគឺបានមកពី quotient នៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាននេះទៅមួយដឺក្រេស្មើនឹង quotient នៃភាគលាភនិងផ្នែកចែក: a^n: a^m = a^(n-m) ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ។ ការគុណគឺជាប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរ ដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវតែបន្ថែមនិទស្សន្តគុណ៖ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. បន្ទាប់អ្នកត្រូវដោះស្រាយការបែងចែកដោយអំណាចអវិជ្ជមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖ 2^1:2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. វាប្រែថាប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយអវិជ្ជមានដឺក្រេគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណដោយនិទស្សន្តវិជ្ជមានស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះចម្លើយចុងក្រោយគឺ 8 ។

មានឧទាហរណ៍ដែលការគុណនៃអំណាចដែលមិនមែនជា Canonical កើតឡើង។ ការ​គុណ​អំណាច​ជាមួយ​នឹង​មូលដ្ឋាន​ផ្សេងៗ​ច្រើន​តែ​ពិបាក​ជាង ហើយ​ពេល​ខ្លះ​ក៏​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ដែរ។ ឧទាហរណ៍ខ្លះនៃបច្ចេកទេសដែលអាចកើតមានផ្សេងៗគ្នាគួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729។ ជាក់ស្តែង មានគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្តែ​គួរ​កត់​សម្គាល់​ថា មូលដ្ឋាន​ទាំង​អស់​មាន​អំណាច​ខុសៗ​គ្នា​នៃ​បី។ 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6 ។ ដោយប្រើច្បាប់ (a^n) ^m = a^(n*m) អ្នកគួរតែសរសេរកន្សោមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង៖ 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12-10+6) = 3^(11) ។ ចម្លើយ៖ ៣^១១។ ក្នុងករណីដែលមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ a^n * b^n = (a*b) ^n ដំណើរការសម្រាប់សូចនាករស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 3^3 * 7^3 = 21^3 ។ បើមិនដូច្នោះទេ នៅពេលដែលមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្តខុសគ្នា ការគុណពេញលេញមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ ពេលខ្លះអ្នកអាចសម្រួលផ្នែកខ្លះ ឬងាកទៅរកជំនួយពីបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ការបូកនិងដកនៃអំណាច

វាច្បាស់ណាស់ថាលេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ a 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង អំណាចស្មើគ្នានៃអថេរដូចគ្នា។អាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺស្មើនឹង 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើអ្នកយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែត្រូវបានផ្សំដោយបន្ថែមពួកវាជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនស្មើនឹងពីរដងនៃការេនៃ a ប៉ុន្តែទៅពីរដងនៃគូបនៃ a ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

អំណាចគុណ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណ ដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត ដោយសរសេរពួកវាម្តងមួយៗ ដោយមាន ឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

លទ្ធផលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នាបេះបិទ។
កន្សោមនឹងយកទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។

ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ចំនួនទឹកប្រាក់ដឺក្រេនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ។

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលគុណដែលស្មើនឹង 2 + 3 ដែលជាផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានយកជាកត្តាជាច្រើនដងដូចជាអំណាចនៃ n;

ហើយ m ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

នោះហើយជាមូលហេតុ, អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយបន្ថែមនិទស្សន្តនៃអំណាច។

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x ៤ − y ៤ ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលមាននិទស្សន្ត អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaaaa។

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើអ្នកគុណផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដែលបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនដឺក្រេ។

ដូចេនះ (a − y).(a + y) = a 2 − y 2 ។
(a 2 − y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 − y 4 ។
(a 4 − y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 − y 8 ។

ការបែងចែកដឺក្រេ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀត ដោយដកពីភាគលាភ ឬដោយដាក់វាជាទម្រង់ប្រភាគ។

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺស្មើនឹង a 3 ។

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac $ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

នៅពេលបែងចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac = y$ ។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac = a^n$ ។

ឬ៖
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់ក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃនៃដឺក្រេ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $ ។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើមេគុណ និងការបែងចែកអំណាចឱ្យបានល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាមួយប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac $ ចម្លើយ៖ $\frac $ ។

2. បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac$ ឬ 2x ។

3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2 /a 3 និង a -3 /a -4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
a 2 .a -4 គឺ a -2 ជាភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។

4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4 / y 3 ដោយ 3 / y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ

យើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងនឹងយល់ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិនិងសូន្យ។ អំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។

ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗជាច្រើនដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងងាយស្រួលក្នុងការគណនាក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយថាមពល។

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 1
ផលិតផលនៃអំណាច

នៅពេលគុណនឹងអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃអំណាចត្រូវបានបន្ថែម។

a m · a n = a m + n ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចនេះក៏អនុវត្តចំពោះផលិតផលនៃអំណាចបី ឬច្រើនផងដែរ។

  • សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
    b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • បង្ហាញវាជាសញ្ញាប័ត្រ។
    6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
  • បង្ហាញវាជាសញ្ញាប័ត្រ។
    (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

    • សូមចំណាំថានៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់យើងកំពុងនិយាយតែអំពីការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។. វាមិនអនុវត្តចំពោះការបន្ថែមរបស់ពួកគេទេ។

    អ្នកមិនអាចជំនួសផលបូក (3 3 + 3 2) ជាមួយ 3 5 បានទេ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើ
    រាប់ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 និង 3 5 = 243

    ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 2
    សញ្ញាបត្រផ្នែក

    នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។

  • សរសេរកូតាជាថាមពល
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • គណនា។

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតា។
3 8: t = 3 ៤

ចម្លើយ៖ t = 3 4 = 81

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលេខ 1 និងលេខ 2 អ្នកអាចធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ និងអនុវត្តការគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍។ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិទស្សន្ត។

2 11 − 5 = 2 6 = 64

សូមចំណាំថានៅក្នុង Property 2 យើងគ្រាន់តែនិយាយអំពីការបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

អ្នកមិនអាចជំនួសភាពខុសគ្នា (4 3 −4 2) ជាមួយ 4 1 ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើអ្នកគណនា (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 និង 4 1 = 4

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 3
ការបង្កើនកម្រិតមួយទៅជាអំណាច

នៅពេលបង្កើនដឺក្រេទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

(a n) m = a n · m ដែល “a” ជាលេខណាមួយ ហើយ “m”, “n” គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

យើងរំលឹកអ្នកថា កូតាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​លើក​យក​ប្រភាគ​មួយ​ទៅ​អានុភាព​លម្អិត​នៅ​ទំព័រ​បន្ទាប់។

វិធីបង្កើនអំណាច

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណអំណាច? តើអំណាចមួយណាអាចគុណបាន ហើយមួយណាមិនអាច? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណលេខដោយថាមពល?

នៅក្នុងពិជគណិត អ្នកអាចរកឃើញផលិតផលនៃអំណាចនៅក្នុងករណីពីរ៖

1) ប្រសិនបើដឺក្រេមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា;

2) ប្រសិនបើដឺក្រេមានសូចនាករដូចគ្នា។

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវតែទុកនៅដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបន្ថែម៖

នៅពេលគុណដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា សូចនាករទាំងមូលអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប៖

សូមក្រឡេកមើលរបៀបគុណអំណាចដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឯកតា​មិន​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ក្នុង​និទស្សន្ត​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​គុណ​នឹង​អំណាច គេ​គិត​ដល់​៖

នៅពេលគុណ វាអាចមានអំណាចណាមួយ។ គួរចងចាំថា អ្នកមិនចាំបាច់សរសេរសញ្ញាគុណមុនអក្សរទេ៖

នៅក្នុងកន្សោម និទស្សន្តត្រូវបានធ្វើជាមុនសិន។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគុណលេខដោយថាមពល អ្នកគួរតែអនុវត្តនិទស្សន្តជាមុនសិន ហើយមានតែការគុណប៉ុណ្ណោះ៖

គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

វីដេអូបង្រៀននេះអាចរកបានដោយការជាវ

មាន​ការ​ជាវ​ហើយ​ឬ​នៅ? ចូល

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសិក្សាពីការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូច។ ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ និងបង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពីសុពលភាពនៃសមភាព . បន្ទាប់មកយើងនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃពាក្យសុំរបស់វានៅលើលេខជាក់លាក់ហើយបញ្ជាក់វា។ យើងក៏នឹងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗផងដែរ។

ប្រធានបទ៖ ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

មេរៀន៖ គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា (រូបមន្ត)

1. និយមន័យជាមូលដ្ឋាន

និយមន័យជាមូលដ្ឋាន៖

ន- និទស្សន្ត,

— នអំណាចនៃលេខមួយ។

២.សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទ្រឹស្តីបទ ១

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: ប្រសិនបើ ក- លេខណាមួយ; ននិង kលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មក៖

ដូចនេះ ក្បួនទី១៖

3. ភារកិច្ចពន្យល់

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ករណីពិសេសបានបញ្ជាក់ពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រឹស្តីបទលេខ 1 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវានៅក្នុងករណីទូទៅ នោះគឺសម្រាប់ណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង k

៤.ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ១

បានផ្តល់លេខ ក- ណាមួយ; លេខ ននិង k –ធម្មជាតិ។ បញ្ជាក់៖

ភស្តុតាងគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ។

5. ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 1

ឧទាហរណ៍ 1៖គិតថាវាជាសញ្ញាប័ត្រ។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងប្រើទ្រឹស្តីបទទី១។

និង)

6. ទ្រឹស្តីបទទូទៅ ១

ភាពទូទៅដែលប្រើនៅទីនេះ៖

7. ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទ 1

៨.ការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ១

ឧទាហរណ៍ 2៖គណនា (អ្នកអាចប្រើតារាងនៃអំណាចមូលដ្ឋាន) ។

ក) (យោងតាមតារាង)

ខ)

ឧទាហរណ៍ 3៖សរសេរវាជាថាមពលជាមួយមូលដ្ឋាន 2 ។

ក)

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖កំណត់សញ្ញានៃលេខ៖

, ក -អវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីនិទស្សន្តនៅ -13 គឺសេស។

ឧទាហរណ៍ 5៖ជំនួស (·) ដោយអំណាចនៃលេខដែលមានមូលដ្ឋាន r:

យើងមាន, នោះគឺ។

9. សង្ខេប

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. និងផ្សេងៗទៀត។ ពិជគណិតទី 7 ។ M. : ការត្រាស់ដឹង។ ឆ្នាំ ២០១០

1. ជំនួយការសាលា (ប្រភព)។

1. បង្ហាញជាអំណាច៖

ក) ខ) គ) ឃ) ង)

3. សរសេរជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 2:

4. កំណត់សញ្ញានៃលេខ:

ក)

5. ជំនួស (·) ដោយអំណាចនៃលេខដែលមានមូលដ្ឋានមួយ។ r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r ៦

គុណនិងការបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសិក្សាពីគុណនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តស្មើគ្នា។ ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានអំពីការគុណ និងបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងការបង្កើនអំណាចទៅជាអំណាច។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើត និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទស្តីពីគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា។ ហើយបន្ទាប់មកដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាមួយចំនួន។

រំលឹកនិយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះ ក- មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ,

— នអំណាចនៃលេខមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង k,បែបនោះ។ ន > kសមភាពគឺពិត៖

នៅពេលបែងចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានដក ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

ទ្រឹស្ដីទាំងអស់ដែលបានរាយបញ្ជីគឺនិយាយអំពីអំណាចដែលមានដូចគ្នា។ ហេតុផលនៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងមើលដឺក្រេដោយដូចគ្នា។ សូចនាករ.

ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​គុណ​អំណាច​ជាមួយ​និទស្សន្ត​ដូចគ្នា។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ចូរយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់កំណត់សញ្ញាបត្រ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ពីឧទាហរណ៍វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញ ប៉ុន្តែនេះនៅតែត្រូវបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វានៅក្នុងករណីទូទៅ នោះគឺសម្រាប់ណាមួយ។ កនិង ខនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៤

សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខនិងធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពគឺពិត៖

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទ ៤ .

តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ៖

ដូច្នេះ​យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា​ .

ដើម្បីគុណអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណគោល ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៥

ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទសម្រាប់បែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា។

សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខ() និងធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពគឺពិត៖

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទ ៥ .

ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងពាក្យ

ដូច្នេះ យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា​។

ដើម្បីបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាទៅគ្នាទៅវិញទៅមក វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបែងចែកមូលដ្ឋានមួយដោយមួយទៀត ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ៤

ឧទាហរណ៍ 1៖បង្ហាញជាផលិតផលនៃអំណាច។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងប្រើទ្រឹស្តីបទ ៤។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម សូមរំលឹករូបមន្ត៖

ទ្រឹស្តីបទទូទៅ ៤

ទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទ ៤៖

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទទូទៅ ៤

បន្តដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ 2៖សរសេរវាជាថាមពលនៃផលិតផល។

ឧទាហរណ៍ 3៖សរសេរវាជាថាមពលជាមួយនិទស្សន្ត 2 ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖គណនាតាមវិធីសមហេតុផលបំផុត។

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិត 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. និងផ្សេងៗទៀត។​ ពិជគណិត 7.M. ២០០៦

2. ជំនួយការសាលា (ប្រភព)។

1. បង្ហាញជាផលិតផលនៃអំណាច៖

ក) ; ខ) ; វី); ជី);

2. សរសេរជាថាមពលនៃផលិតផល៖

3. សរសេរជាថាមពលជាមួយនិទស្សន្ត 2៖

4. គណនាតាមវិធីសមហេតុផលបំផុត។

មេរៀនគណិតវិទ្យា លើប្រធានបទ "គុណ និងការបែងចែកអំណាច"

ផ្នែក៖គណិតវិទ្យា

គោលដៅគរុកោសល្យ:

  • សិស្សនឹងរៀនបែងចែករវាងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅក្នុងករណីនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា;
  • សិស្សនឹងមានឱកាសអាចអនុវត្តការបំប្លែងដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា និងអាចអនុវត្តការបំប្លែងនៅក្នុងកិច្ចការរួមបញ្ចូលគ្នា។

    • កិច្ចការ:

  • រៀបចំការងាររបស់សិស្សដោយធ្វើឡើងវិញនូវសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។
  • ធានាកម្រិតនៃការបន្តពូជដោយការអនុវត្តប្រភេទផ្សេងៗនៃលំហាត់;
  • រៀបចំការត្រួតពិនិត្យលើការវាយតម្លៃខ្លួនឯងរបស់សិស្សតាមរយៈការសាកល្បង។

    • ឯកតាសកម្មភាពនៃការបង្រៀន៖ការកំណត់សញ្ញាបត្រជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ; សមាសធាតុសញ្ញាបត្រ; និយមន័យឯកជន; ច្បាប់បន្សំនៃគុណ។

    I. រៀបចំការបង្ហាញពីជំនាញរបស់សិស្សអំពីចំណេះដឹងដែលមានស្រាប់។ (ជំហានទី 1)

    ក) ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង៖

    2) បង្កើតនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

    a n = a a a a … a (n ដង)

    b k = b b b a… b (k ដង) បញ្ជាក់ចម្លើយ។

    II. ការរៀបចំការវាយតម្លៃដោយខ្លួនឯងនៃកម្រិតជំនាញរបស់សិស្សនៅក្នុងបទពិសោធន៍បច្ចុប្បន្ន។ (ជំហានទី 2)

    ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង៖ (ការងារបុគ្គលជាពីរកំណែ។ )

    A1) បង្ហាញផលិតផល 7 7 7 7 x x x ជាថាមពល៖

    A2) តំណាងអំណាច (-3) 3 x 2 ជាផលិតផល

    ក៣) គណនា៖ −2 3 2 + 4 5 3

    ខ្ញុំជ្រើសរើសចំនួនកិច្ចការក្នុងការធ្វើតេស្តស្របតាមការរៀបចំកម្រិតថ្នាក់។

    ខ្ញុំផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវគន្លឹះនៃការធ្វើតេស្តសម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ៖ ឆ្លងកាត់ - មិនឆ្លងកាត់។

    III. កិច្ចការអប់រំ និងការអនុវត្ត (ជំហានទី 3) + ជំហានទី 4 (សិស្សខ្លួនឯងនឹងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិ)

  • គណនា៖ 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 = ?
  • សាមញ្ញ៖ a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

    • ខណៈពេលដែលកំពុងដោះស្រាយបញ្ហា 1) និង 2) សិស្សស្នើដំណោះស្រាយ ហើយខ្ញុំក្នុងនាមជាគ្រូបង្រៀន រៀបចំថ្នាក់ដើម្បីស្វែងរកវិធីធ្វើឱ្យសាមញ្ញអំណាចនៅពេលគុណនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

    គ្រូ៖ មក​រក​វិធី​សម្រួល​អំណាច​ពេល​គុណ​នឹង​មូលដ្ឋាន​ដូចគ្នា។

    ធាតុមួយលេចឡើងនៅលើចង្កោម៖

    ប្រធានបទនៃមេរៀនត្រូវបានរៀបចំឡើង។ គុណនៃអំណាច។

    គ្រូ៖ បង្កើតច្បាប់សម្រាប់បែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

    ហេតុផល៖ តើ​សកម្មភាព​អ្វី​ត្រូវ​ប្រើ​ដើម្បី​ពិនិត្យ​មើល​ការបែងចែក? a 5: a 3 = ? នោះ a 2 a 3 = a 5

    ខ្ញុំត្រលប់ទៅដ្យាក្រាម - ចង្កោមមួយហើយបន្ថែមទៅធាតុ - .. នៅពេលបែងចែកយើងដកនិងបន្ថែមប្រធានបទនៃមេរៀន។ ... និងការបែងចែកសញ្ញាបត្រ។

    IV. ការប្រាស្រ័យទាក់ទងជាមួយសិស្សនូវដែនកំណត់នៃចំណេះដឹង (ជាអប្បបរមា និងអតិបរមា)។

    គ្រូ៖ ភារកិច្ចអប្បបរមាសម្រាប់មេរៀនថ្ងៃនេះ គឺរៀនអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយភារកិច្ចអតិបរមាគឺត្រូវអនុវត្តគុណ និងចែកជាមួយគ្នា។

    យើងសរសេរនៅលើក្តារ ៖ a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

    V. ការរៀបចំការសិក្សាសម្ភារៈថ្មី។ (ជំហានទី 5)

    ក) យោងតាមសៀវភៅសិក្សា៖ លេខ 403 (a, c, e) ភារកិច្ចដែលមានពាក្យខុសៗគ្នា

    លេខ 404 (a, d, f) ការងារឯករាជ្យ បន្ទាប់មកខ្ញុំរៀបចំការត្រួតពិនិត្យទៅវិញទៅមក ផ្តល់សោ។

    ខ) តើសមភាពតម្លៃណាដែល m មានសុពលភាព? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

    កិច្ចការ៖ បង្ហាញឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ការបែងចែក។

    គ) លេខ ៤១៧ (ក) លេខ ៤១៨ (ក) អន្ទាក់សម្រាប់សិស្ស: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2 ។

    VI. សង្ខេបនូវអ្វីដែលបានរៀន ធ្វើកិច្ចការវិនិច្ឆ័យ (ដែលលើកទឹកចិត្តសិស្ស មិនមែនគ្រូឱ្យសិក្សាប្រធានបទនេះ) (ជំហានទី 6)

    ការងាររោគវិនិច្ឆ័យ។

    សាកល្បង(ដាក់គន្លឹះនៅខាងក្រោយម្សៅ)។

    ជម្រើសកិច្ចការ៖ តំណាងឱ្យកូតា x ១៥ ជាថាមពល៖ x ៣; តំណាងជាថាមពលនៃផលិតផល (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; តើ m មួយណាជាសមភាព a 16 a m = a 32 ត្រឹមត្រូវ? រកតម្លៃនៃកន្សោម h 0: h 2 នៅ h = 0.2; គណនាតម្លៃនៃកន្សោម (5 2 5 0): 5 2 .

    សង្ខេបមេរៀន។ ការឆ្លុះបញ្ចាំង។ខ្ញុំបែងចែកថ្នាក់ជាពីរក្រុម។

    ស្វែងរកអាគុយម៉ង់នៅក្នុងក្រុម I: ដើម្បីស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ និងក្រុម II - អាគុយម៉ង់ដែលនឹងនិយាយថាអ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានលក្ខណៈសម្បត្តិ។ យើងស្តាប់ចម្លើយទាំងអស់ ហើយធ្វើការសន្និដ្ឋាន។ នៅក្នុងមេរៀនជាបន្តបន្ទាប់ អ្នកអាចផ្តល់ទិន្នន័យស្ថិតិ ហើយហៅតារាងថា "វាហួសពីការជឿ!"

  • មនុស្សជាមធ្យមញ៉ាំត្រសក់ ៣២ ១០ ២ គីឡូក្រាមក្នុងជីវិតរបស់ពួកគេ។
  • សត្វ​ស្វា​នេះ​អាច​ហោះ​ហើរ​មិន​ឈប់​បាន​ចម្ងាយ ៣,២ ១០ ២ គីឡូម៉ែត្រ។
  • នៅពេលដែលកញ្ចក់ប្រេះ ស្នាមប្រេះរីករាលដាលក្នុងល្បឿនប្រហែល 5 10 3 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។
  • កង្កែបមួយក្បាលស៊ីមូសជាង 3 តោនក្នុងមួយជីវិត។ ដោយប្រើសញ្ញាប័ត្រសរសេរជាគីឡូក្រាម។
  • ត្រីដែលរីកធំជាងគេត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាត្រីសមុទ្រ - ព្រះច័ន្ទ (Mola mola) ដែលពងរហូតដល់ 300,000,000 ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតប្រហែល 1.3 មីលីម៉ែត្រក្នុងមួយពង។ សរសេរលេខនេះដោយប្រើថាមពល។

    • VII. កិច្ចការផ្ទះ។

    ព័ត៌មានប្រវត្តិសាស្ត្រ។ លេខ​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​លេខ Fermat។

    ទំ.១៩. លេខ 403 លេខ 408 លេខ 417

    អក្សរសិល្ប៍បានប្រើ៖

  • សៀវភៅសិក្សា "ពិជគណិត-៧" អ្នកនិពន្ធ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al ។
  • សម្ភារៈ Didactic សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. ស៊ូវ៉ូវ។
  • សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។
  • ទស្សនាវដ្តី "ខេវ៉ាន" ។

    • លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ, ទម្រង់, ភស្តុតាង, ឧទាហរណ៍។

    បន្ទាប់ពីអំណាចនៃចំនួនត្រូវបានកំណត់ វាជាឡូជីខលក្នុងការនិយាយអំពី លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃថាមពលនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលប៉ះលើនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់នូវភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេ ហើយក៏បង្ហាញពីរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

    ការរុករកទំព័រ។

    លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ

    តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ អំណាច a n គឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ ផ្អែកលើនិយមន័យនេះ និងការប្រើប្រាស់ផងដែរ។ គុណលក្ខណៈនៃចំនួនពិតយើងអាចទទួលបាន និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ:

  • ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដឺក្រេ a m ·a n = a m + n, ទូទៅរបស់វា a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 + n 2 + ... + n k;
  • ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា a m:a n =a m−n ;
  • ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកម្រិតនៃផលិតផល (a·b) n =a n·b n, ផ្នែកបន្ថែមរបស់វា (a 1·a 2·…·a k) n =a 1 n·a 2 n·…·a k n ;
  • ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតាទៅកម្រិតធម្មជាតិ (a:b) n =a n:b n ;
  • ការបង្កើនកម្រិតទៅជាថាមពល (a m) n = a m·n, ទូទៅរបស់វា (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  • ការប្រៀបធៀបសញ្ញាបត្រជាមួយសូន្យ៖
    • ប្រសិនបើ a> 0 បន្ទាប់មក n> 0 សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n;
    • ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មក a n = 0;
    • ប្រសិនបើ 2·m>0 ប្រសិនបើ 2·m−1 n ;
    • ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា m>n បន្ទាប់មកសម្រាប់ 0m n ហើយសម្រាប់ a>0 វិសមភាព a m>a n គឺពិត។

      • ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាសមភាពសរសេរទាំងអស់គឺ ដូចគ្នាបេះបិទតាមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ ទាំងផ្នែកខាងស្តាំ និងផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ a m ·a n = a m + n ជាមួយ ការបញ្ចេញមតិសាមញ្ញជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើក្នុងទម្រង់ m + n = a m ·a n ។

      ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលពួកវានីមួយៗដោយលំអិត។

      ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាដែលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n សមភាព a m ·a n = a m+n គឺពិត។

      អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទនៃទម្រង់ m ·a n អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផល . ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ កន្សោមលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរជា ហើយផលិតផលនេះគឺជាថាមពលនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ m+n នោះគឺ m+n ។ នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

      ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ ចូរយកដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា 2 និងអំណាចធម្មជាតិ 2 និង 3 ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេយើងអាចសរសេរសមភាព 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វាដោយគណនាតម្លៃនៃកន្សោម 2 2 · 2 3 និង 2 5 ។ អនុវត្តនិទស្សន្ត យើងមាន 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 និង 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 ចាប់តាំងពីយើងទទួលបានតម្លៃស្មើគ្នា នោះសមភាព 2 2 ·2 3 = 2 5 គឺត្រឹមត្រូវ ហើយវាបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។

      ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រមួយ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ អាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅជាផលិតផលនៃអំណាចបី ឬច្រើនដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ដូច្នេះសម្រាប់លេខណាមួយ k នៃលេខធម្មជាតិ n 1 , n 2 , …, n k សមភាព a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 + n 2 +… + n k គឺពិត។

      ឧទាហរណ៍ (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      យើងអាចបន្តទៅទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់នៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ a និងលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត m និង n ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ m>n នោះសមភាព a m:a n = a m−n គឺពិត។

      មុននឹងបង្ហាញភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិភាក្សាអំពីអត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនៅក្នុងទម្រង់បែបបទ។ លក្ខខណ្ឌ a≠0 គឺចាំបាច់ដើម្បីជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យចាប់តាំងពី 0 n = 0 ហើយនៅពេលដែលយើងស្គាល់ការបែងចែក យើងបានយល់ស្របថាយើងមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។ លក្ខខណ្ឌ m>n ត្រូវបានណែនាំ ដើម្បីកុំឱ្យយើងហួសពីនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ m>n និទស្សន្ត m−n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងក្លាយជាសូន្យ (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m−n) ឬលេខអវិជ្ជមាន (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m−n ·a n =a (m−n) +n =a m ពីសមភាពលទ្ធផល a m−n ·a n =a m និងពីការភ្ជាប់រវាងគុណ និងចែក វាធ្វើតាមថា m−n គឺជាកូតានៃអំណាច a m និង a n មូលដ្ឋានដូចគ្នា។

      ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយកពីរដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា π និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 5 និង 2 ភាពស្មើគ្នា π 5:π 2 = π 5 − 3 = π 3 ត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃដឺក្រេ។

      ឥឡូវនេះសូមពិចារណា ទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលផលិតផល៖ ថាមពលធម្មជាតិ n នៃផលគុណនៃចំនួនពិតទាំងពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a·b) n =a n·b n ។

      ជាការពិតណាស់ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងមាន . ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការគុណ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា ដែលស្មើនឹង a n · b n ។

      នេះជាឧទាហរណ៍៖ .

      ទ្រព្យសម្បត្តិនេះពង្រីកដល់អំណាចនៃផលិតផលនៃកត្តាបីឬច្រើន។ នោះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រធម្មជាតិ n នៃផលិតផលនៃកត្តា k ត្រូវបានសរសេរជា (a 1·a 2·…·a k) n =a 1 n·a 2 n·…·a k n ។

      សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់យើងនឹងបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ សម្រាប់ផលិតផលនៃកត្តាបីដល់អំណាចនៃ 7 យើងមាន .

      ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតានៅក្នុងប្រភេទ៖ កូតានៃចំនួនពិត a និង b, b≠0 ទៅនឹងថាមពលធម្មជាតិ n គឺស្មើនឹង quotient នៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a:b) n =a n:b n ។

      ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ដូច្នេះ (a:b) n·b n =((a:b)·b) n =a n ហើយពីសមភាព (a:b) n·b n =a n វាដូចខាងក្រោមថា (a:b) n គឺជាកូតានៃ ការបែងចែក a n នៅលើ bn ។

      ចូរយើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះដោយប្រើលេខជាក់លាក់ជាឧទាហរណ៍៖ .

      ឥឡូវនេះ ចូរយើងបញ្ចេញសំឡេង ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនអំណាចទៅជាអំណាចមួយ។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n អំណាចនៃ m ទៅអំណាចនៃ n គឺស្មើនឹងអំណាចនៃចំនួន a ជាមួយនិទស្សន្ត m·n នោះគឺ (a m) n = a m·n ។

      ឧទាហរណ៍ (5 2) 3 = 5 2·3 =5 6 ។

      ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិពីអំណាចទៅសញ្ញាបត្រគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោមៈ .

      ទ្រព្យ​ដែល​គេ​ពិចារណា​អាច​ពង្រីក​ពី​មួយ​កម្រិត​ទៅ​មួយ​ដឺក្រេ ។ល។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ p, q, r និង s, សមភាព . ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ ចូរយើងលើកឧទាហរណ៍ជាមួយលេខជាក់លាក់៖ (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 ។

      វានៅសល់ដើម្បីរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

      ចូរចាប់ផ្តើមដោយការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបសូន្យ និងថាមពលជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

      ជាដំបូង សូមបញ្ជាក់ថា a > 0 សម្រាប់ a > 0 ។

      ផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូចខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃគុណ។ ការពិតនេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណបង្ហាញថា លទ្ធផលនៃការគុណចំនួនលេខវិជ្ជមានណាមួយក៏នឹងជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ហើយអំណាចនៃចំនួន a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ n តាមនិយមន័យគឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ អាគុយម៉ង់ទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់មូលដ្ឋានវិជ្ជមានណាមួយ ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់ 3 5>0, (0.00201) 2>0 និង .

      វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាដែលមាន a=0 ដឺក្រេនៃ n គឺសូន្យ។ ជាការពិតណាស់ 0 n = 0·0·…·0=0 ។ ឧទាហរណ៍ 0 3 = 0 និង 0 762 = 0 ។

      ចូរបន្តទៅមូលដ្ឋានអវិជ្ជមាននៃសញ្ញាបត្រ។

      ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី នៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺជាលេខគូ ចូរសម្គាល់វាជា 2·m ដែល m គឺជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មក . យោងតាមច្បាប់សម្រាប់គុណលេខអវិជ្ជមាន ផលិតផលនីមួយៗនៃទម្រង់ a·a គឺស្មើនឹងផលគុណនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ a និង a ដែលមានន័យថាវាជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះផលិតផលក៏នឹងមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ។ និងសញ្ញាបត្រ 2·m ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ (−6) 4>0 , (−2,2) 12>0 និង .

      ជាចុងក្រោយ នៅពេលដែលមូលដ្ឋាន a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ហើយនិទស្សន្តគឺជាលេខសេស 2 m−1 បន្ទាប់មក . ផលិតផលទាំងអស់ a·a គឺជាលេខវិជ្ជមាន ផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងនេះក៏វិជ្ជមានផងដែរ ហើយការគុណរបស់វាដោយចំនួនអវិជ្ជមានដែលនៅសល់ លទ្ធផលជាលេខអវិជ្ជមាន។ ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះ (−5) 3 17 n n គឺជាផលគុណនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃ n វិសមភាពពិត a លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព វិសមភាពដែលអាចបង្ហាញបាននៃទម្រង់ a n n ក៏ជាការពិត។ ឧទាហរណ៍ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិនេះ វិសមភាព 3 7 7 និង .

      វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីនៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ចូរយើងបង្កើតវា។ នៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានវិជ្ជមានដូចគ្នាបេះបិទតិចជាងមួយ និទស្សន្តដែលតូចជាងគឺធំជាង។ ហើយនៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាធំជាងមួយ អ្នកដែលនិទស្សន្តធំជាងគឺធំជាង។ ចូរយើងបន្តទៅភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។

      ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ m>n និង 0m n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរភាពខុសគ្នា a m − a n ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។ ភាពខុសគ្នាដែលបានកត់ត្រា បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀប នឹងមានទម្រង់ a n ·(a m−n−1) ។ ផលិតផលលទ្ធផលគឺអវិជ្ជមានជាផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមាន a n និងលេខអវិជ្ជមាន m−n −1 (a n គឺវិជ្ជមានជាថាមពលធម្មជាតិនៃចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺអវិជ្ជមានចាប់តាំងពី m−n > 0 ដោយសារលក្ខខណ្ឌដំបូង m>n, មកពីណាដែលវាកើតឡើងនៅពេលដែល 0m−n តិចជាងការរួបរួម) ។ ដូច្នេះ a m −a n m n ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។ ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់វិសមភាពត្រឹមត្រូវ។

      វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ផ្នែកទីពីរនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ m>n និង a>1 a m>a n គឺជាការពិត។ ភាពខុសគ្នា a m −a n បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀបបង្កើតជា n ·(a m−n −1) ។ ផលិតផលនេះគឺវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី m−n> 0 ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដំបូង និងសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ m-n គឺធំជាងមួយ។ ដូច្នេះ a m −a n > 0 និង a m > a n ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយវិសមភាព 3 7 > 3 2 ។

      លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់

      ដោយសារចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមានស្របគ្នានឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដែលបានរាយបញ្ជី និងបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

      យើងបានកំណត់សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមានចំនួនគត់ ក៏ដូចជាសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ តាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ បង្ហាញដោយសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងនិទស្សន្តសូន្យ និងនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ខណៈពេលដែលជាការពិត មូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺខុសគ្នាពីសូន្យ។

      ដូច្នេះ សម្រាប់ចំនួនពិត និងមិនមែនសូន្យណាមួយ a និង b ក៏ដូចជាចំនួនគត់ m និង n ខាងក្រោមគឺពិត៖ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្ត:

    • a m ·a n = a m + n ;
    • a m:a n =a m−n;
    • (a·b) n =a n·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n = a m · n ;
    • ប្រសិនបើ n គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះ a និង b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង a n n និង a −n > b −n ;
    • ប្រសិនបើ m និង n ជាចំនួនគត់ ហើយ m>n បន្ទាប់មកសម្រាប់ 0m n និងសម្រាប់ a>1 វិសមភាព a m>a n កាន់។

      • នៅពេល a = 0 អំណាច a m និង a n យល់បានតែនៅពេលដែល m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះលក្ខណសម្បត្តិដែលទើបតែសរសេរចុះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ករណីដែល a=0 និងលេខ m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

      ការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗមិនពិបាកទេ ដើម្បីធ្វើវា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនពិត។ ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា ទ្រព្យសម្បត្តិពីថាមពលទៅថាមពលមានសម្រាប់ទាំងចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវបង្ហាញថា ប្រសិនបើ p ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ ហើយ q ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ នោះសមភាព (a p) q = a p ·q, (a −p) q =a (−p) · q, (a p) −q =a p·(−q) និង (a −p) −q =a (−p)·(−q) ។ តោះធ្វើបែបនេះ។

      សម្រាប់ p និង q វិជ្ជមាន សមភាព (a p) q =a p·q ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះយើងមាន (a 0) q = 1 q = 1 និង a 0·q =a 0 = 1, wherece (a 0) q =a 0·q ។ ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ q=0 បន្ទាប់មក (a p) 0 =1 និង a p·0 =a 0 =1, wherece (a p) 0 =a p·0 ។ ប្រសិនបើទាំងពីរ p=0 និង q=0 បន្ទាប់មក (a 0) 0 =1 0 =1 និង a 0·0 =a 0 =1, whence (a 0) 0 = a 0·0 ។

      ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថា (a −p) q =a (−p)·q ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក . ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃ quotients ទៅអំណាចដែលយើងមាន . ចាប់តាំងពី 1 ទំ = 1 · 1 · ... · 1 = 1 និងបន្ទាប់មក . កន្សោមចុងក្រោយ តាមនិយមន័យ គឺជាអំណាចនៃទម្រង់ a −(p·q) ដែលដោយសារក្បួនគុណ អាចសរសេរជា (−p)·q ។

      ដូចគ្នានេះដែរ .

      និង .

      ដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នា អ្នកអាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់សមភាព។

      នៅចុងបញ្ចប់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកត់ត្រា វាមានតម្លៃនៅលើភស្តុតាងនៃវិសមភាព a −n > b −n ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −n និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ដែលលក្ខខណ្ឌ a ពេញចិត្ត។ . ចូរយើងសរសេរចុះ និងបំប្លែងភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាពនេះ៖ . ដោយលក្ខខណ្ឌ ក n n ដូច្នេះ b n −a n > 0 ។ ផលិតផល a n · b n ក៏ជាផលវិជ្ជមានផងដែរ ព្រោះជាផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមាន a n និង b n ។ បន្ទាប់មកប្រភាគលទ្ធផលគឺវិជ្ជមានដែលជាកូតានៃចំនួនវិជ្ជមាន b n −a n និង a n · b n ។ ដូច្នេះតើ a −n > b −n មកពីណា ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

      ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដូចគ្នានឹងទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។

      លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល

      យើងកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគដោយពង្រីកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ទៅវា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹងអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ ពោលគឺ៖

    1. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ សម្រាប់ a> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0;
    2. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ សម្រាប់ a>0;
    3. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលទៅជាអំណាចប្រភាគ សម្រាប់ a> 0 និង b> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0 និង (ឬ) b≥0;
    4. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រភាគទៅជាអំណាចប្រភាគ សម្រាប់ a>0 និង b>0 ហើយប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0 និង b>0;
    5. ទ្រព្យសម្បត្តិពីកម្រិតទៅសញ្ញាបត្រ សម្រាប់ a> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0;
    6. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផលស្មើគ្នា៖ សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ;
    7. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត និងមូលដ្ឋានស្មើគ្នា៖ សម្រាប់លេខសនិទាន p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a>0 – វិសមភាព a p>a q ។

      8. ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ លើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធនៃសញ្ញាបត្រទី n និងលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ភស្តុតាង។

      តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ និងបន្ទាប់មក . លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម។ លើសពីនេះ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ យើងទទួលបាន ពីនោះតាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ យើងមាន ហើយសូចនាករនៃសញ្ញាបត្រដែលទទួលបានអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោម: . នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

      ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង៖

      សមភាពដែលនៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា៖

      ចូរបន្តទៅការបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ។ ចូរសរសេរលេខសនិទាន p ជា m/n ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ។ លក្ខខណ្ឌ p 0 ក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ m 0 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ m> 0 និង am m ។ ពីវិសមភាពនេះ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫស យើងមាន ហើយដោយសារ a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ វិសមភាពលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា a p p ។

      ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់ m m > b m , មកពីណា , a p > b p ។

      វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់លេខសមហេតុផល p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a> 0 – វិសមភាព a p > a q ។ យើងតែងតែអាចកាត់បន្ថយលេខសនិទាន p និង q ទៅជាភាគបែងរួម ទោះបីជាយើងទទួលបានប្រភាគធម្មតា ហើយដែល m 1 និង m 2 ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុង​ករណី​នេះ លក្ខខណ្ឌ p>q នឹង​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​លក្ខខណ្ឌ m 1 > m 2 ដែល​អនុវត្ត​តាម​ច្បាប់​សម្រាប់​ការ​ប្រៀបធៀប​ប្រភាគ​ធម្មតា​ជាមួយ​ភាគបែង​ដូចគ្នា។ បន្ទាប់មកដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិសម្រាប់ 0m 1 m 2 និងសម្រាប់ a>1 វិសមភាព a m 1 > a m 2 ។ វិសមភាពទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញស្របតាម និង . ហើយនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្តទៅវិសមភាព ហើយតាមនោះ។ ពីទីនេះយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានចុងក្រោយ៖ សម្រាប់ p>q និង 0p q និងសម្រាប់ a>0 - វិសមភាព a p>a q ។

      លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល

      តាមវិធីដែលសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផលត្រូវបានកំណត់ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ដូច្នេះសម្រាប់ a> 0, b>0 និងលេខមិនសមហេតុផល p និង q ខាងក្រោមគឺពិត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល:

      1. a p ·a q = a p + q ;
      2. a p:a q =a p−q;
      3. (a·b) p = a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q = a p ·q ;
      6. សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ;
      7. សម្រាប់លេខមិនសមហេតុផល p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a>0 – វិសមភាព a p>a q ។

        8. ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ p និង q សម្រាប់ a> 0 មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។

    • ពិជគណិត - ថ្នាក់ទី១០។ មេរៀនសមីការត្រីកោណមាត្រ មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត" សម្ភារៈបន្ថែម សូមគោរព អ្នកប្រើប្រាស់ កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ពិនិត្យ និងផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ […]
    • ការប្រកួតប្រជែងមួយត្រូវបានបើកសម្រាប់មុខតំណែង “អ្នកលក់ - អ្នកប្រឹក្សា”៖ ទំនួលខុសត្រូវ៖ ការលក់ទូរសព្ទ និងគ្រឿងបន្លាស់សម្រាប់ទំនាក់ទំនងចល័ត សេវាកម្មអតិថិជនសម្រាប់អតិថិជន Beeline, Tele2, MTS, ការតភ្ជាប់គម្រោង និងសេវាកម្មពន្ធ Beeline និង Tele2, ការប្រឹក្សា MTS [… ]
    • រូបមន្ត Parallelepiped A parallelepiped គឺជាពហុកោណដែលមានមុខ 6 ដែលនីមួយៗជាប៉ារ៉ាឡែល។ គូប​មួយ​គឺ​ជា​ប៉ារ៉ាឡែល​ពី​មុខ​នីមួយៗ​ដែល​ជា​ចតុកោណ។ parallelepiped ណាមួយត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ 3 […]
    • អនុម័តច្បាប់ស្តីពីអចលនវត្ថុគ្រួសារ អនុម័តច្បាប់សហព័ន្ធស្តីពីការបែងចែកដីឡូតិ៍ជូនប្រជាពលរដ្ឋដែលមានឆន្ទៈនីមួយៗនៃសហព័ន្ធរុស្សី ឬគ្រួសារប្រជាពលរដ្ឋសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍អចលនទ្រព្យគ្រួសារលើវាតាមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ 1. ដីឡូតិ៍គឺ បែងចែកសម្រាប់ […]
    • សង្គមសម្រាប់ការការពារសិទ្ធិអ្នកប្រើប្រាស់ Astana ដើម្បីទទួលបានកូដ PIN ដើម្បីចូលប្រើឯកសារនេះនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង សូមផ្ញើសារ SMS ជាមួយនឹងអក្សរ Zan ទៅកាន់លេខអតិថិជនរបស់ប្រតិបត្តិករ GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ដោយ ផ្ញើសារ SMS ទៅកាន់លេខ […]
    • អធិការកិច្ចនៃ GOSTEKHNADZOR នៃតំបន់ BRYANSK បង្កាន់ដៃសម្រាប់ការបង់ប្រាក់កាតព្វកិច្ចរដ្ឋ (ទាញយក-12.2 kb) ពាក្យស្នើសុំចុះឈ្មោះសម្រាប់បុគ្គល (ទាញយក-12 kb) ពាក្យស្នើសុំចុះបញ្ជីសម្រាប់នីតិបុគ្គល (ទាញយក-11.4 kb) 1. នៅពេលចុះឈ្មោះរថយន្តថ្មី : 1.application 2.passport […]
    • អក្ខរាវិរុទ្ធ N និង NN នៅក្នុងផ្នែកផ្សេងគ្នានៃសុន្ទរកថា S.G. ZELINSKAYA DIDACTIC MATERIAL លំហាត់ទ្រឹស្តី 1. តើ nn ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងគុណនាមនៅពេលណា? 2. ដាក់ឈ្មោះករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់ទាំងនេះ។ 3. របៀបបែងចែកគុណនាមពាក្យដោយបច្ច័យ -n- ពីការចូលរួមជាមួយ […]
    • Pivoev V.M. ទស្សនវិជ្ជា និងវិធីសាស្រ្តនៃវិទ្យាសាស្ត្រ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់អនុបណ្ឌិត និងនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb សៀវភៅសិក្សាត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់និស្សិតជាន់ខ្ពស់ ថ្នាក់អនុបណ្ឌិត និងនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា។ សង្គម និង […]

    • បន្ទាប់ពីអំណាចនៃចំនួនត្រូវបានកំណត់ វាជាឡូជីខលក្នុងការនិយាយអំពី លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃថាមពលនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលប៉ះលើនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់នូវភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេ ហើយក៏បង្ហាញពីរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

    ការរុករកទំព័រ។

    លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ

    តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ អំណាច a n គឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ ផ្អែកលើនិយមន័យនេះ និងការប្រើប្រាស់ផងដែរ។ គុណលក្ខណៈនៃចំនួនពិតយើងអាចទទួលបាន និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ:

    1. ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ a m ·a n = a m + n, ទូទៅរបស់វា;
    2. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា a m:a n =a m−n ;
    3. ទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចផលិតផល (a·b) n =a n·b n, ផ្នែកបន្ថែមរបស់វា;
    4. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតាទៅកម្រិតធម្មជាតិ (a:b) n =a n:b n ;
    5. ការបង្កើនកម្រិតទៅជាថាមពល (a m) n = a m·n, ទូទៅរបស់វា។ (((a n 1)n 2)…) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
    6. ការប្រៀបធៀបសញ្ញាបត្រជាមួយសូន្យ៖
      • ប្រសិនបើ a> 0 បន្ទាប់មក n> 0 សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n;
      • ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មក a n = 0;
      • ប្រសិនបើ ក<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ប្រសិនបើ ក<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
    7. ប្រសិនបើ a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន និង a
    8. ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា m > n បន្ទាប់មកនៅ 0 0 វិសមភាព a m > a n គឺពិត។

    ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាសមភាពសរសេរទាំងអស់គឺ ដូចគ្នាបេះបិទតាមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ ទាំងផ្នែកខាងស្តាំ និងផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ a m ·a n = a m + n ជាមួយ ការបញ្ចេញមតិសាមញ្ញជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើក្នុងទម្រង់ m + n = a m ·a n ។

    ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលពួកវានីមួយៗដោយលំអិត។

      ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាដែលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n សមភាព a m ·a n = a m+n គឺពិត។

      អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នានៃទម្រង់ m ·a n អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផល។ ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ កន្សោមលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរជា ហើយផលិតផលនេះគឺជាថាមពលនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ m+n នោះគឺ m+n ។ នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

      ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ ចូរយកដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា 2 និងអំណាចធម្មជាតិ 2 និង 3 ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេយើងអាចសរសេរសមភាព 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វាដោយគណនាតម្លៃនៃកន្សោម 2 2 · 2 3 និង 2 5 ។ ការអនុវត្តនិទស្សន្ត យើងមាន 2 2·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32និង 2 5 =2·2·2·2·2=32 ចាប់តាំងពីតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានទទួល នោះសមភាព 2 2·2 3 =2 5 គឺត្រឹមត្រូវ ហើយវាបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។

      ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រមួយ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ អាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅជាផលិតផលនៃអំណាចបី ឬច្រើនដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ដូច្នេះសម្រាប់លេខ k ណាមួយនៃលេខធម្មជាតិ n 1, n 2, …, n k សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

      ឧ. (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      យើងអាចបន្តទៅទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់នៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ a និងលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត m និង n ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ m>n នោះសមភាព a m:a n = a m−n គឺពិត។

      មុននឹងបង្ហាញភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិភាក្សាអំពីអត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនៅក្នុងទម្រង់បែបបទ។ លក្ខខណ្ឌ a≠0 គឺចាំបាច់ដើម្បីជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យចាប់តាំងពី 0 n = 0 ហើយនៅពេលដែលយើងស្គាល់ការបែងចែក យើងបានយល់ព្រមថាយើងមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។ លក្ខខណ្ឌ m>n ត្រូវបានណែនាំ ដើម្បីកុំឱ្យយើងហួសពីនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ m>n និទស្សន្ត m−n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងក្លាយជាសូន្យ (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m−n) ឬលេខអវិជ្ជមាន (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m

      ភស្តុតាង។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព a m−n ·a n =a (m−n)+n=a m. ពីសមភាពលទ្ធផល a m−n ·a n =a m ហើយវាកើតឡើងថា m−n គឺជាកូតានៃអំណាច a m និង a n ។ នេះបង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

      ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយកពីរដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា π និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 5 និង 2 ភាពស្មើគ្នា π 5:π 2 = π 5 − 3 = π 3 ត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃដឺក្រេ។

      ឥឡូវនេះសូមពិចារណា ទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលផលិតផល៖ ថាមពលធម្មជាតិ n នៃផលគុណនៃចំនួនពិតទាំងពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a·b) n =a n·b n ។

      ជាការពិតណាស់ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងមាន . ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការគុណ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា ដែលស្មើនឹង a n · b n ។

      នេះជាឧទាហរណ៍៖ .

      ទ្រព្យសម្បត្តិនេះពង្រីកដល់អំណាចនៃផលិតផលនៃកត្តាបីឬច្រើន។ នោះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រធម្មជាតិ n នៃផលិតផលនៃកត្តា k ត្រូវបានសរសេរជា (a 1·a 2·…·a k) n =a 1 n·a 2 n·…·a k n.

      សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់យើងនឹងបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ សម្រាប់ផលិតផលនៃកត្តាបីដល់អំណាចនៃ 7 យើងមាន .

      ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតានៅក្នុងប្រភេទ៖ កូតានៃចំនួនពិត a និង b, b≠0 ទៅនឹងថាមពលធម្មជាតិ n គឺស្មើនឹង quotient នៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a:b) n =a n:b n ។

      ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ដូច្នេះ (a:b) n b n = ((a:b) b) n = a nហើយពីសមភាព (a:b) n · b n = a n វាដូចខាងក្រោមថា (a: b) n គឺជា quotient នៃ n ចែកនឹង b n ។

      ចូរយើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះដោយប្រើលេខជាក់លាក់ជាឧទាហរណ៍៖ .

      ឥឡូវនេះ ចូរយើងបញ្ចេញសំឡេង ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនអំណាចទៅជាអំណាចមួយ។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n អំណាចនៃ m ទៅអំណាចនៃ n គឺស្មើនឹងអំណាចនៃចំនួន a ជាមួយនិទស្សន្ត m·n នោះគឺ (a m) n = a m·n ។

      ឧទាហរណ៍ (5 2) 3 = 5 2·3 =5 6 ។

      ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិពីអំណាចទៅសញ្ញាបត្រគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោមៈ .

      ទ្រព្យ​ដែល​គេ​ពិចារណា​អាច​ពង្រីក​ពី​មួយ​កម្រិត​ទៅ​មួយ​ដឺក្រេ ។ល។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ p, q, r និង s, សមភាព . ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ នេះជាឧទាហរណ៍ដែលមានលេខជាក់លាក់៖ (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      វានៅសល់ដើម្បីរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

      ចូរចាប់ផ្តើមដោយការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបសូន្យ និងថាមពលជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

      ជាដំបូង សូមបញ្ជាក់ថា a > 0 សម្រាប់ a > 0 ។

      ផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូចខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃគុណ។ ការពិតនេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណបង្ហាញថា លទ្ធផលនៃការគុណចំនួនលេខវិជ្ជមានណាមួយក៏នឹងជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ហើយអំណាចនៃចំនួន a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ n តាមនិយមន័យគឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ អាគុយម៉ង់ទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថាសម្រាប់មូលដ្ឋានវិជ្ជមានណាមួយ ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់ 3 5>0, (0.00201) 2>0 និង .

      វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាដែលមាន a=0 ដឺក្រេនៃ n គឺសូន្យ។ ជាការពិតណាស់ 0 n = 0·0·…·0=0 ។ ឧទាហរណ៍ 0 3 = 0 និង 0 762 = 0 ។

      ចូរបន្តទៅមូលដ្ឋានអវិជ្ជមាននៃសញ្ញាបត្រ។

      ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី នៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺជាលេខគូ ចូរសម្គាល់វាជា 2·m ដែល m គឺជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មក . សម្រាប់ផលិតផលនីមួយៗនៃទម្រង់ a·a គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃលេខ a និង a ដែលមានន័យថាវាជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះផលិតផលក៏នឹងមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ។ និងសញ្ញាបត្រ 2·m ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ (−6) 4>0 , (−2,2) 12>0 និង .

      ជាចុងក្រោយ នៅពេលដែលមូលដ្ឋាន a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ហើយនិទស្សន្តគឺជាលេខសេស 2 m−1 បន្ទាប់មក . ផលិតផលទាំងអស់ a·a គឺជាលេខវិជ្ជមាន ផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងនេះក៏វិជ្ជមានផងដែរ ហើយការគុណរបស់វាដោយចំនួនអវិជ្ជមានដែលនៅសល់ លទ្ធផលជាលេខអវិជ្ជមាន។ ដោយសារទ្រព្យនេះ (−5) ៣<0 , (−0,003) 17 <0 и .

      ចូរបន្តទៅលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិដូចគ្នា ដែលមានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ នៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដូចគ្នា n តិចជាងថាមពលដែលមូលដ្ឋានតូចជាង ហើយធំជាងគឺថាមពលដែលមូលដ្ឋានធំជាង។ . ចូរយើងបញ្ជាក់។

      វិសមភាព a n លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពវិសមភាពដែលអាចបញ្ជាក់បាននៃទម្រង់ a n ក៏ជាការពិតដែរ។ (២.២) ៧ និង .

      វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីនៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ចូរយើងបង្កើតវា។ នៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានវិជ្ជមានដូចគ្នាបេះបិទតិចជាងមួយ និទស្សន្តដែលតូចជាងគឺធំជាង។ ហើយនៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាធំជាងមួយ អ្នកដែលនិទស្សន្តធំជាងគឺធំជាង។ ចូរយើងបន្តទៅភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។

      ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ m>n និង 0 0 ដោយសារលក្ខខណ្ឌដំបូង m>n ដែលមានន័យថានៅ 0

      វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ផ្នែកទីពីរនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ m>n និង a>1 a m>a n គឺជាការពិត។ ភាពខុសគ្នា a m −a n បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀបបង្កើតជា n ·(a m−n −1) ។ ផលិតផលនេះគឺវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី m−n> 0 ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដំបូង និងសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ m-n គឺធំជាងមួយ។ ដូច្នេះ a m −a n > 0 និង a m > a n ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយវិសមភាព 3 7 > 3 2 ។

    លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់

    ដោយសារចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមានស្របគ្នានឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដែលបានរាយបញ្ជី និងបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

    យើងបានកំណត់សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមានចំនួនគត់ ក៏ដូចជាសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ តាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ បង្ហាញដោយសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងនិទស្សន្តសូន្យ និងនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ខណៈពេលដែលជាការពិត មូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺខុសគ្នាពីសូន្យ។

    ដូច្នេះ សម្រាប់ចំនួនពិត និងមិនមែនសូន្យណាមួយ a និង b ក៏ដូចជាចំនួនគត់ m និង n ខាងក្រោមគឺពិត៖ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្ត:

    1. a m ·a n = a m + n ;
    2. a m:a n =a m−n;
    3. (a·b) n =a n·b n ;
    4. (a:b) n =a n:b n ;
    5. (a m) n = a m · n ;
    6. ប្រសិនបើ n គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះ a និង b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង a b-n ;
    7. ប្រសិនបើ m និង n គឺជាចំនួនគត់ ហើយ m > n បន្ទាប់មកនៅ 0 1 វិសមភាព a m > a n កាន់កាប់។

    នៅពេល a = 0 អំណាច a m និង a n យល់បានតែនៅពេលដែល m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះលក្ខណសម្បត្តិដែលទើបតែសរសេរចុះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ករណីដែល a=0 និងលេខ m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

    ការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗមិនពិបាកទេ ដើម្បីធ្វើវា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនពិត។ ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា ទ្រព្យសម្បត្តិពីថាមពលទៅថាមពលមានសម្រាប់ទាំងចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវបង្ហាញថា ប្រសិនបើ p ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ ហើយ q ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ នោះសមភាព (a p) q = a p ·q, (a −p) q =a (−p) · q, (a p) −q =a p·(−q) និង (a −p) −q =a (−p)·(−q). តោះធ្វើបែបនេះ។

    សម្រាប់ p និង q វិជ្ជមាន សមភាព (a p) q =a p·q ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះយើងមាន (a 0) q = 1 q = 1 និង a 0·q =a 0 = 1, wherece (a 0) q =a 0·q ។ ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ q=0 បន្ទាប់មក (a p) 0 =1 និង a p·0 =a 0 =1, wherece (a p) 0 =a p·0 ។ ប្រសិនបើទាំងពីរ p=0 និង q=0 បន្ទាប់មក (a 0) 0 =1 0 =1 និង a 0·0 =a 0 =1, whence (a 0) 0 = a 0·0 ។

    ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថា (a −p) q =a (−p)·q ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក . ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃ quotients ទៅអំណាចដែលយើងមាន . ចាប់តាំងពី 1 ទំ = 1 · 1 · ... · 1 = 1 និងបន្ទាប់មក . កន្សោមចុងក្រោយ តាមនិយមន័យ គឺជាអំណាចនៃទម្រង់ a −(p·q) ដែលដោយសារក្បួនគុណ អាចសរសេរជា (−p)·q ។

    ដូចគ្នានេះដែរ .

    និង .

    ដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នា អ្នកអាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់សមភាព។

    នៅចុងបញ្ចប់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកត់ត្រា វាមានតម្លៃនៅលើភស្តុតាងនៃវិសមភាព a −n > b −n ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −n និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ដែលលក្ខខណ្ឌ a ពេញចិត្ត។ . ដោយលក្ខខណ្ឌ ក 0. ផលិតផល a n · b n ក៏ជាផលវិជ្ជមានផងដែរ ព្រោះជាផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមាន a n និង b n ។ បន្ទាប់មកប្រភាគលទ្ធផលគឺវិជ្ជមានដែលជាកូតានៃចំនួនវិជ្ជមាន b n −a n និង a n · b n ។ ដូច្នេះតើ a −n > b −n មកពីណា ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

    ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដូចគ្នានឹងទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។

    លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល

    យើងកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគដោយពង្រីកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ទៅវា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹងអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ ពោលគឺ៖

    ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ និងលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ភស្តុតាង។

    តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ និងបន្ទាប់មក . លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម។ លើសពីនេះ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ យើងទទួលបាន ពីនោះតាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ យើងមាន ហើយសូចនាករនៃសញ្ញាបត្រដែលទទួលបានអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោម: . នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

    ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង៖

    សមភាពដែលនៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា៖

    ចូរបន្តទៅការបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a b ទំ។ ចូរសរសេរលេខសនិទាន p ជា m/n ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ។ លក្ខខណ្ឌទំ<0 и p>0 ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌ m<0 и m>0 តាម។ សម្រាប់ m>0 និង a

    ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់ m<0 имеем a m >b m មកពីណា នោះហើយជា p > b p ។

    វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជី។ ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់លេខសនិទាន p និង q, p>q នៅ 0 0 – វិសមភាព a p > a q ។ យើងតែងតែអាចកាត់បន្ថយលេខសនិទាន p និង q ទៅជាភាគបែងរួម ទោះបីជាយើងទទួលបានប្រភាគធម្មតា ហើយដែល m 1 និង m 2 ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុងករណីនេះ លក្ខខណ្ឌ p>q នឹងឆ្លើយតបទៅនឹងលក្ខខណ្ឌ m 1 > m 2 ដែលបន្តពី។ បន្ទាប់មកដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិនៅ 0 1 - វិសមភាព a m 1 > a m 2 ។ វិសមភាពទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញស្របតាម និង . ហើយនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្តទៅវិសមភាព ហើយតាមនោះ។ ពីទីនេះយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានចុងក្រោយ៖ សម្រាប់ p>q និង 0 0 – វិសមភាព a p > a q ។

    លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល

    តាមវិធីដែលសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផលត្រូវបានកំណត់ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ដូច្នេះសម្រាប់ a> 0, b>0 និងលេខមិនសមហេតុផល p និង q ខាងក្រោមគឺពិត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល:

    1. a p ·a q = a p + q ;
    2. a p:a q =a p−q;
    3. (a·b) p = a p ·b p ;
    4. (a:b) p =a p:b p ;
    5. (a p) q = a p ·q ;
    6. សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p b p ;
    7. សម្រាប់លេខមិនសមហេតុផល p និង q, p>q នៅ 0 0 – វិសមភាព a p > a q ។

    ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ p និង q សម្រាប់ a> 0 មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។

    ឯកសារយោង។

    • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. សៀវភៅ​គណិតវិទ្យា​សម្រាប់​ថ្នាក់​ទី​៥។ ស្ថាប័នអប់រំ។
    • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិត៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៧។ ស្ថាប័នអប់រំ។
    • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៨។ ស្ថាប័នអប់រំ។
    • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៩។ ស្ថាប័នអប់រំ។
    • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។
    • Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស)។