ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធដែលមានបីមិនស្គាល់។ ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបីក្នុងគណិតវិទ្យា

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាសំណុំនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដែលត្រូវបានពិចារណារួមគ្នា។

ប្រព័ន្ធមួយអាចមានសមីការចំនួនណាមួយជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំនៃតម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលបំពេញសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ពោលគឺបង្វែរពួកវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថាស្របគ្នា;

វិធីសាស្រ្តផ្សេងៗត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ។

អនុញ្ញាតឱ្យ
(ចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់)។

វិធីសាស្រ្ត Cramer

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

(7)

ដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់
តោះអនុវត្តរូបមន្តរបស់ Cramer៖

(8)

កន្លែងណា - កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ធាតុដែលជាមេគុណនៃមិនស្គាល់៖

.

ទទួលបានដោយការជំនួសជួរឈរទីមួយនៃកត្តាកំណត់ ជួរសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

.

ដូចគ្នានេះដែរ៖

;
.

ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖

.

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងប្រើរូបមន្ត (៨)៖

;

;

;

;

ចម្លើយ៖
.

សម្រាប់ប្រព័ន្ធណាមួយ។ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ អ្នកដែលមិនស្គាល់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់៖

ដំណោះស្រាយម៉ាទ្រីស

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (7) នៃសមីការលីនេអ៊ែរបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបីដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។

ដោយប្រើក្បួននៃការគុណម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធសមីការនេះអាចសរសេរជា៖
, កន្លែងណា

.

អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស មិន degenerate, i.e.
. គុណទាំងសងខាងនៃសមីការម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស
, បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស , យើង​ទទួល​បាន:
.

ពិចារណា
, យើង​មាន

(9)

ឧទាហរណ៍ ២.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស៖

.

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងណែនាំម៉ាទ្រីស៖

- ពីមេគុណនៃមិនស្គាល់;

- ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរជាសមីការម៉ាទ្រីស៖
.

ចូរយើងប្រើរូបមន្ត (9) ។ ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
យោងតាមរូបមន្ត (៦)៖

;

.

អាស្រ័យហេតុនេះ

បាន​ទទួល:

.

ចម្លើយ៖
.

វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ (វិធីសាស្ត្រ Gauss)

គំនិតចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តដែលបានប្រើគឺដើម្បីលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ ចូរយើងពន្យល់ពីអត្ថន័យនៃវិធីសាស្រ្តនេះដោយប្រើប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

.

ចូរសន្មតថា
(ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកយើងផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃសមីការ ដោយជ្រើសរើសជាសមីការទីមួយ ដែលមេគុណនៅ មិនស្មើនឹងសូន្យ)។

ជំហានដំបូង៖ ក) បែងចែកសមីការ
នៅលើ
; ខ) គុណសមីការលទ្ធផលដោយ
និងដកពី
; គ) បន្ទាប់មកគុណនឹងលទ្ធផល
និងដកពី
. ជាលទ្ធផលនៃជំហានដំបូងយើងនឹងមានប្រព័ន្ធ:

,

ជំហានទីពីរ៖ យើងដោះស្រាយជាមួយសមីការ
និង
ដូចគ្នាទៅនឹងសមីការ
.

ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ stepwise :

ពីប្រព័ន្ធបំលែង ការមិនស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់តាមលំដាប់លំដោយដោយគ្មានការលំបាក។

មតិយោបល់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ជាជំហានៗ មិនមែនជាប្រព័ន្ធនៃសមីការខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែជាម៉ាទ្រីសនៃមេគុណ មិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍ ៣.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

.

យើងនឹងសរសេរការផ្លាស់ប្តូរពីម៉ាទ្រីសមួយទៅម៉ាទ្រីសមួយទៀតដោយប្រើសញ្ញាសមមូល ~ ។

~
~
~
~

~
.

ដោយប្រើម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងសរសេរប្រព័ន្ធបំប្លែង៖

.

ចម្លើយ៖
.

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់នោះ ប្រព័ន្ធជំហានត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជារាងត្រីកោណ ពោលគឺទៅមួយ ដែលសមីការចុងក្រោយនឹងមានមួយដែលមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនច្បាស់លាស់ ពោលគឺមួយដែលក្នុងនោះចំនួនមិនស្គាល់គឺធំជាងចំនួនសមីការឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះនឹងមិនមានប្រព័ន្ធត្រីកោណទេ ព្រោះសមីការចុងក្រោយនឹងមានច្រើនជាងមួយមិនស្គាល់ (ប្រព័ន្ធមាន ចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់) ។ នៅពេលដែលប្រព័ន្ធមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះបន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ stepwise វានឹងមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ តម្លៃនៃទម្រង់
នោះគឺជាសមីការដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់មានមេគុណសូន្យ ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺគ្មានសូន្យ (ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ)។ វិធីសាស្ត្រ Gauss អាចអនុវត្តបានចំពោះប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ (សម្រាប់ណាមួយ។
និង ).

ទ្រឹស្តីបទអត្ថិភាពសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ចម្លើយចំពោះសំណួរថាតើប្រព័ន្ធនេះត្រូវគ្នាឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតែនៅចុងបញ្ចប់នៃការគណនាប៉ុណ្ណោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជារឿយៗវាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការដោះស្រាយសំណួរនៃភាពឆបគ្នា ឬភាពមិនស៊ីគ្នានៃប្រព័ន្ធសមីការដោយមិនស្វែងរកដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ខាងក្រោម។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ មិនស្គាល់៖

(10)

ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធ (10) មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ

.

គឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសពង្រីករបស់វា។

.

លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (10) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ពិចារណាប្រព័ន្ធដូចគ្នា (លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ) នៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

.

ប្រព័ន្ធនេះតែងតែស្របគ្នាចាប់តាំងពីវាមានដំណោះស្រាយសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមផ្តល់លក្ខខណ្ឌដែលប្រព័ន្ធក៏មានដំណោះស្រាយក្រៅពីសូន្យ។

តេម៉ា ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការបន្ទាត់មានដំណោះស្រាយសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វា គឺស្មើនឹងសូន្យ៖

.

ដូច្នេះប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយគឺតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកមានដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាសូន្យផ្សេងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីវិធីមួយដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបីនៅក្នុងករណី
.

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើ
ហើយសមីការទីមួយ និងទីពីរគឺមិនសមាមាត្រ (ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ) បន្ទាប់មកសមីការទីបីគឺជាលទ្ធផលនៃពីរដំបូង។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការពីរជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបី។ អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​មិន​ស្គាល់​ឥត​គិត​ថ្លៃ​នឹង​លេច​ឡើង ដែល​តម្លៃ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ៖

.

ដំណោះស្រាយ។ កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

.

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយសូន្យ។ អ្នក​អាច​សម្គាល់​ឃើញ​ថា​សមីការ​ពីរ​ដំបូង​ជា​ឧទាហរណ៍​មិន​សមាមាត្រ​ទេ ដូច្នេះ​ពួកវា​គឺ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ។ ទីបីគឺជាផលវិបាកនៃពីរដំបូង (វាប្រែថាប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមពីរដងទីពីរទៅសមីការទីមួយ) ។ បដិសេធវា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានបីមិនស្គាល់៖

.

ឧបមាថា ឧ.
, យើង​ទទួល​បាន

.

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ យើងបង្ហាញ និង តាមរយៈ :
. ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរជា:
, កន្លែងណា - លេខបំពាន។

ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ៖

.

ដំណោះស្រាយ។ វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថានៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះមានសមីការឯករាជ្យតែមួយគត់ (ពីរផ្សេងទៀតគឺសមាមាត្រទៅនឹងវា)។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការមួយជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបី។ មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃចំនួនពីរលេចឡើង។ ការស្វែងរកឧទាហរណ៍ពីសមីការទីមួយ
សម្រាប់បំពាន និង យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះ។ ទម្រង់ទូទៅនៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរ, ដែលជាកន្លែងដែល និង - លេខបំពាន។

សំណួរសាកល្បងខ្លួនឯង

បង្កើតច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ មិនស្គាល់។

តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ?

តើវិធីសាស្រ្តរបស់ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាអ្វី?

បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

បង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយ nonzero ទៅនឹងប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ៖

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

កំណត់តម្លៃអ្វី និង ប្រព័ន្ធសមីការ

ក) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់;

ខ) គ្មានដំណោះស្រាយ;

គ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។

16.
; 17.
;

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នាខាងក្រោម៖

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

ចម្លើយចំពោះឧទាហរណ៍

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- លេខបំពាន។

6.
, កន្លែងណា - លេខបំពាន។

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, កន្លែងណា - លេខបំពាន។

12. កន្លែងណា និង - លេខបំពាន។

13.
; 14.
កន្លែងណា និង - លេខបំពាន។

15. Ǿ; 16. ក)
; ខ)
; វី)
.

17. ក)
; ខ)
; វី)
;

18.
; 19.
; 20. កន្លែងណា - លេខបំពាន។

21. កន្លែងណា - លេខបំពាន។

22. កន្លែងណា - លេខបំពាន។

23. កន្លែងណា និង - លេខបំពាន។

ខ្លឹមសារមេរៀន

សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ

សិស្សសាលាម្នាក់មាន 200 រូប្លិដើម្បីញ៉ាំអាហារថ្ងៃត្រង់នៅសាលា។ នំមួយមានតម្លៃ 25 រូប្លិ ហើយកាហ្វេមួយពែងមានតម្លៃ 10 រូប្លិ៍។ តើអ្នកអាចទិញនំខេក និងកាហ្វេប៉ុន្មានពែងក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍?

ចូរយើងសម្គាល់ចំនួននំដោយ xនិងចំនួនពែងកាហ្វេឆ្លងកាត់ y. បន្ទាប់មកតម្លៃនៃនំនឹងត្រូវបានតាងដោយកន្សោម 25 xនិង​តម្លៃ​កាហ្វេ​ក្នុង​មួយ​កែវ ១០ y .

25x —តម្លៃ xនំ
10y —តម្លៃ yពែងកាហ្វេ

ចំនួនទឹកប្រាក់សរុបគួរតែមាន 200 រូប្លិ៍។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរពីរ xនិង y

25x+ 10y= 200

តើសមីការនេះមានឫសប៉ុន្មាន?

វាទាំងអស់គឺអាស្រ័យលើចំណង់អាហាររបស់សិស្ស។ ប្រសិនបើគាត់ទិញនំ 6 និងកាហ្វេ 5 ពែងនោះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខ 6 និង 5 ។

គូនៃតម្លៃ 6 និង 5 ត្រូវបានគេនិយាយថាជាឫសគល់នៃសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ សរសេរជា (6; 5) ដោយលេខទីមួយជាតម្លៃនៃអថេរ xនិងទីពីរ - តម្លៃនៃអថេរ y .

6 និង 5 មិនមែនជាឫសតែមួយគត់ដែលបញ្ច្រាសសមីការ 25 x+ 10y= 200 ទៅអត្តសញ្ញាណ។ ប្រសិនបើចង់បាន សិស្សម្នាក់អាចទិញនំខេក 4 និងកាហ្វេ 10 ពែងសម្រាប់តម្លៃ 200 រូបដដែល ប្រសិនបើចង់បាន។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 គឺជាគូនៃតម្លៃ (4; 10) ។

លើសពីនេះទៅទៀត សិស្សសាលាប្រហែលជាមិនទិញកាហ្វេទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែទិញនំខេកក្នុងតម្លៃ ២០០ រូល។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 នឹងជាតម្លៃ 8 និង 0

ឬផ្ទុយទៅវិញ កុំទិញនំ ប៉ុន្តែទិញកាហ្វេក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍ទាំងមូល។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 តម្លៃនឹងជា 0 និង 20

ចូរយើងព្យាយាមរាយបញ្ជីឫសគល់ដែលអាចកើតមាននៃសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របថាតម្លៃ xនិង yជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំចំនួនគត់។ ហើយសូមឱ្យតម្លៃទាំងនេះធំជាង ឬស្មើសូន្យ៖

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

នេះនឹងមានភាពងាយស្រួលសម្រាប់សិស្សខ្លួនឯង។ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការទិញនំទាំងមូលជាជាងឧទាហរណ៍ នំទាំងមូល និងនំពាក់កណ្តាល។ វាក៏ងាយស្រួលជាងក្នុងការយកកាហ្វេក្នុងពែងទាំងមូលជាជាងឧទាហរណ៍ ពែងទាំងមូល និងកន្លះពែង។

ចំណាំថាសម្រាប់សេស xវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រេចបានសមភាពក្នុងកាលៈទេសៈណាមួយ។ y. បន្ទាប់មកតម្លៃ xលេខខាងក្រោមនឹងជា 0, 2, 4, 6, 8. ហើយដឹង xអាចត្រូវបានកំណត់យ៉ាងងាយស្រួល y

ដូច្នេះ យើងបានទទួលគូនៃតម្លៃខាងក្រោម (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). គូទាំងនេះគឺជាដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់នៃសមីការ 25 x+ 10y= 200. ពួកគេបង្វែរសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

សមីការនៃទម្រង់ ax + ដោយ = គហៅ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរពីរ. ដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់នៃសមីការនេះគឺជាតម្លៃគូ ( x; y) ដែលប្រែវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ចំណាំផងដែរថាប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ ax + b y = c ,បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាវាត្រូវបានសរសេរ Canonicalទម្រង់ (ធម្មតា) ។

សមីការលីនេអ៊ែរមួយចំនួននៅក្នុងអថេរពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) អាចត្រូវបាននាំយកមកក្នុងចិត្ត ax + ដោយ = គ. ចូរបើកតង្កៀបនៅលើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះហើយទទួលបាន 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . យើងដាក់ជាក្រុមពាក្យដែលមិនស្គាល់នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយពាក្យដែលគ្មានមិនស្គាល់នៅខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នាទាំងសងខាង យើងទទួលបានសមីការ ១៦ x+ 8y= 32. សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax + ដោយ = គនិងជា Canonical ។

សមីការ 25 បានពិភាក្សាពីមុន x+ 10y= 200 ក៏ជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរក្នុងទម្រង់ Canonical ។ នៅក្នុងសមីការនេះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក , ខនិង គគឺស្មើនឹងតម្លៃ 25, 10 និង 200 រៀងគ្នា។

តាមពិតសមីការ ax + ដោយ = គមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។ ការដោះស្រាយសមីការ 25x+ 10y= 200, យើងស្វែងរកឫសរបស់វាតែលើសំណុំនៃចំនួនគត់។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានគូជាច្រើននៃតម្លៃដែលប្រែក្លាយសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ ប៉ុន្តែនៅលើសំណុំនៃលេខសនិទានភាព សមីការ 25 x+ 10y= 200 នឹងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ដើម្បីទទួលបានគូថ្មីនៃតម្លៃ អ្នកត្រូវយកតម្លៃដែលបំពានសម្រាប់ xបន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ y. ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកអថេរ xតម្លៃ 7. បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ។ ២៥ × ៧ + 10y= 200 ដែលអាចបង្ហាញបាន។ y

អនុញ្ញាតឱ្យ x= ១៥. បន្ទាប់មកសមីការ 25x+ 10y= 200 ក្លាយជា 25 × 15 + 10y= 200. ពីទីនេះយើងរកឃើញ y = −17,5

អនុញ្ញាតឱ្យ x=−៣. បន្ទាប់មកសមីការ 25x+ 10y= 200 ក្លាយជា 25 × (−3) + 10y= 200. ពីទីនេះយើងរកឃើញ y = −27,5

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមានអថេរពីរ

សម្រាប់សមីការ ax + ដោយ = គអ្នកអាចយកតម្លៃបំពានជាច្រើនដងតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត xនិងស្វែងរកតម្លៃសម្រាប់ y. យកដោយឡែកពីគ្នា សមីការបែបនេះនឹងមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។

ប៉ុន្តែវាក៏កើតឡើងផងដែរដែលអថេរ xនិង yមិនត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយសមីការមួយ ប៉ុន្តែដោយសមីការពីរ។ ក្នុងករណីនេះពួកគេបង្កើតអ្វីដែលគេហៅថា ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ. ប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះអាចមានតម្លៃមួយគូ (ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត៖ "ដំណោះស្រាយមួយ")។

វាក៏អាចកើតឡើងផងដែរដែលថាប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទាល់តែសោះ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរអាចមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់នៅក្នុងករណីកម្រ និងពិសេស។

សមីការលីនេអ៊ែរពីរបង្កើតជាប្រព័ន្ធនៅពេលដែលតម្លៃ xនិង yចូលទៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការដំបូងបំផុត 25 x+ 10y= ២០០។ មួយគូនៃតម្លៃសម្រាប់សមីការនេះគឺគូ (6; 5) ។ នេះគឺជាករណីមួយនៅពេលដែលសម្រាប់ 200 រូប្លិអ្នកអាចទិញនំ 6 និងកាហ្វេ 5 ពែង។

ចូរបង្កើតបញ្ហាដើម្បីឱ្យគូ (6; 5) ក្លាយជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់សមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចូរយើងបង្កើតសមីការមួយផ្សេងទៀតដែលនឹងភ្ជាប់ដូចគ្នា។ xនំនិង yពែងកាហ្វេ។

ចូរយើងរៀបរាប់អត្ថបទនៃបញ្ហាដូចខាងក្រោមៈ

"សិស្សបានទិញនំជាច្រើន និងកាហ្វេជាច្រើនពែងក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍។ នំមួយមានតម្លៃ 25 រូប្លិ ហើយកាហ្វេមួយពែងមានតម្លៃ 10 រូប្លិ៍។ តើសិស្សទិញនំ និងកាហ្វេប៉ុន្មានពែង បើគេដឹងថាចំនួននំខេកគឺមួយឯកតាធំជាងចំនួនពែងកាហ្វេ?

យើងមានសមីការទីមួយរួចហើយ។ នេះគឺជាសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតសមីការសម្រាប់លក្ខខណ្ឌ "ចំនួននំខេកគឺមួយឯកតាធំជាងចំនួនពែងកាហ្វេ" .

ចំនួននំគឺ xហើយចំនួនពែងកាហ្វេគឺ y. អ្នកអាចសរសេរឃ្លានេះដោយប្រើសមីការ x-y= 1. សមីការនេះនឹងមានន័យថាភាពខុសគ្នារវាងនំ និងកាហ្វេគឺ 1 ។

x = y+ ១. សមីការនេះមានន័យថាចំនួននំខេកគឺមួយច្រើនជាងចំនួនពែងកាហ្វេ។ ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានសមភាពមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅចំនួនពែងនៃកាហ្វេ។ នេះអាចយល់បានយ៉ាងងាយស្រួល ប្រសិនបើយើងប្រើគំរូមាត្រដ្ឋានដែលយើងបានពិចារណានៅពេលសិក្សាបញ្ហាសាមញ្ញបំផុត៖

យើងទទួលបានសមីការពីរ៖ ២៥ x+ 10y= 200 និង x = y+ 1. ចាប់តាំងពីតម្លៃ xនិង yពោលគឺ 6 និង 5 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកពួកគេរួមគ្នាបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ។ ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធនេះ។ ប្រសិនបើសមីការបង្កើតជាប្រព័ន្ធ នោះពួកវាត្រូវបានដាក់ស៊ុមដោយសញ្ញាប្រព័ន្ធ។ និមិត្តសញ្ញាប្រព័ន្ធគឺជាដង្កៀបកោង៖

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងមើលឃើញពីរបៀបដែលយើងមកដល់តម្លៃ 6 និង 5. មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ។ តោះមើលការពេញនិយមបំផុតរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តជំនួស

ឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្តនេះនិយាយដោយខ្លួនឯង។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺដើម្បីជំនួសសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត ដោយបានបង្ហាញពីអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរពីមុន។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើង មិនចាំបាច់បង្ហាញអ្វីនោះទេ។ នៅក្នុងសមីការទីពីរ x = y+ 1 អថេរ xបានបង្ហាញរួចហើយ។ អថេរនេះស្មើនឹងកន្សោម y+ ១. បន្ទាប់មកអ្នកអាចជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីមួយជំនួសឱ្យអថេរ x

បន្ទាប់ពីជំនួសកន្សោម y+ 1 ទៅក្នុងសមីការទីមួយជំនួសវិញ។ xយើងទទួលបានសមីការ 25(y+ 1) + 10y= 200 . នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរមួយ។ សមីការនេះគឺងាយស្រួលដោះស្រាយណាស់៖

យើងបានរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ y. ឥឡូវនេះ ចូរយើងជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការមួយ ហើយស្វែងរកតម្លៃ x. សម្រាប់ការនេះវាងាយស្រួលប្រើសមីការទីពីរ x = y+ ១. ចូរយើងជំនួសតម្លៃនៅក្នុងវា។ y

នេះមានន័យថាគូ (6; 5) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ ដូចដែលយើងចង់បាន។ យើងពិនិត្យ និងធ្វើឱ្យប្រាកដថាគូ (6; 5) បំពេញប្រព័ន្ធ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ចូរជំនួសសមីការទីមួយ x= 2 + yចូលទៅក្នុងសមីការទីពីរ 3 x− 2y= ៩. នៅក្នុងសមីការទីមួយ អថេរ xស្មើនឹងកន្សោម 2 + y. ចូរជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរជំនួសវិញ។ x

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ x. ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមជំនួសតម្លៃ yទៅក្នុងសមីការទីមួយ x= 2 + y

នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាតម្លៃគូ (5; 3)

ឧទាហរណ៍ ៣. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

នៅទីនេះ មិនដូចឧទាហរណ៍ពីមុនទេ អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរមិនត្រូវបានបង្ហាញច្បាស់លាស់ទេ។

ដើម្បីជំនួសសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត ដំបូងអ្នកត្រូវការ។

វាត្រូវបានណែនាំឱ្យបង្ហាញអថេរដែលមានមេគុណមួយ។ អថេរមានមេគុណមួយ។ xដែលមាននៅក្នុងសមីការទីមួយ x+ 2y= ១១. ចូរយើងបង្ហាញពីអថេរនេះ។

បន្ទាប់ពីកន្សោមអថេរ xប្រព័ន្ធរបស់យើងនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងជំនួសសមីការទីមួយទៅជាសមីការទីពីរ ហើយស្វែងរកតម្លៃ y

ចូរជំនួស y x

នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (3; 4)

ជាការពិតណាស់ អ្នកក៏អាចបង្ហាញអថេរមួយ។ y. ឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ yលទ្ធផលមិនមែនជាសមីការសាមញ្ញទេ ដែលនឹងចំណាយពេលច្រើនដើម្បីដោះស្រាយ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

យើងឃើញថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងបង្ហាញ xងាយស្រួលជាងការបង្ហាញ y .

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

ចូរយើងបង្ហាញនៅក្នុងសមីការទីមួយ x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

y

ចូរជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក x. អ្នកអាចប្រើសមីការដើម 7 x+ 9y= 8 ឬប្រើសមីការដែលអថេរត្រូវបានបង្ហាញ x. យើងនឹងប្រើសមីការនេះព្រោះវាងាយស្រួល៖

នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (5; −3)

វិធីសាស្រ្តបន្ថែម

វិធីសាស្ត្របន្ថែមរួមមានការបន្ថែមសមីការដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធតាមពាក្យ។ ការបន្ថែមនេះនាំឱ្យមានសមីការថ្មីជាមួយនឹងអថេរមួយ។ ហើយការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺសាមញ្ញណាស់។

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ចូរបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ។ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ។ យើងទទួលបានសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

សូមក្រឡេកមើលពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត 3 x= 27 ដែលឫសគល់គឺ 9. ដឹងពីតម្លៃ xអ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ y. ចូរយើងជំនួសតម្លៃ xចូលទៅក្នុងសមីការទីពីរ x-y= ៣. យើងទទួលបាន 9 - y= ៣. ពី​ទីនេះ y= 6 .

នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (9; 6)

ឧទាហរណ៍ ២

ចូរបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ។ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ។ នៅក្នុងសមភាពលទ្ធផល យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានេះ៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត 5 x= 20 ដែលឫសគល់គឺ 4. ដឹងពីតម្លៃ xអ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ y. ចូរយើងជំនួសតម្លៃ xទៅក្នុងសមីការទីមួយ 2 x+y= ១១. តោះ 8+ y= ១១. ពី​ទីនេះ y= 3 .

នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (4; 3)

ដំណើរការបន្ថែមមិនត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិតទេ។ វាត្រូវតែធ្វើដោយផ្លូវចិត្ត។ នៅពេលបន្ថែម សមីការទាំងពីរត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ។ នោះគឺដោយវិធីនេះ។ ac + ដោយ = គ .

ពីឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថាគោលបំណងសំខាន់នៃការបន្ថែមសមីការគឺដើម្បីកម្ចាត់អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ។ ប៉ុន្តែវាមិនតែងតែអាចដោះស្រាយបានភ្លាមៗនូវប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែមនោះទេ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំមកជាទម្រង់មួយដែលសមីការដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធនេះអាចបន្ថែមបាន។

ឧទាហរណ៍ប្រព័ន្ធ អាចត្រូវបានដោះស្រាយភ្លាមៗដោយប្រើវិធីបន្ថែម។ នៅពេលបន្ថែមសមីការទាំងពីរ លក្ខខណ្ឌ yនិង -yនឹងបាត់ទៅវិញ ដោយសារផលបូករបស់ពួកគេគឺសូន្យ។ ជាលទ្ធផល សមីការសាមញ្ញបំផុត 11 ត្រូវបានបង្កើតឡើង x= 22 ដែលឫសគល់គឺ 2. បន្ទាប់មកវានឹងអាចកំណត់បាន។ yស្មើនឹង 5 ។

និងប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្ត្របន្ថែមមិនអាចដោះស្រាយភ្លាមៗបានទេ ព្រោះវាមិននាំទៅដល់ការបាត់ខ្លួននៃអថេរណាមួយឡើយ។ ការបន្ថែមនឹងលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការ 8 x+ y= 28 ដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនដូចគ្នា មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះអ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ច្បាប់នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ សមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការ (ឬសមីការទាំងពីរ) អាចត្រូវបានគុណដោយលេខណាមួយ។ លទ្ធផលនឹងជាប្រព័ន្ធសមមូល ដែលឫសគល់នឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងប្រព័ន្ធមុន។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធដំបូងបំផុត ដែលពិពណ៌នាអំពីចំនួននំ និងកាហ្វេដែលសិស្សសាលាបានទិញ។ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺជាគូនៃតម្លៃ (6; 5) ។

ចូរគុណសមីការទាំងពីរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធនេះដោយលេខមួយចំនួន។ ឧបមាថាយើងគុណសមីការទីមួយដោយ 2 ហើយទីពីរដោយ 3

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រព័ន្ធមួយ។
ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះនៅតែជាគូនៃតម្លៃ (6; 5)

នេះមានន័យថាសមីការដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ការអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធវិញ។ ដែលយើងមិនអាចដោះស្រាយដោយប្រើវិធីបន្ថែម។

គុណសមីការទីមួយដោយ 6 និងទីពីរដោយ −2

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

ចូរយើងបន្ថែមសមីការដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។ ការបន្ថែមធាតុផ្សំ ១២ xនិង −12 xលទ្ធផលនឹងជា 0 បូក 18 yនិង ៤ yនឹងផ្តល់ឱ្យ 22 yហើយការបន្ថែម 108 និង −20 ផ្តល់ឱ្យ 88។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការ 22 y= 88, ពីទីនេះ y = 4 .

ប្រសិនបើដំបូងវាពិបាកក្នុងការបន្ថែមសមីការនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នក នោះអ្នកអាចសរសេរពីរបៀបដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយបន្ថែមជាមួយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ សមីការទីពីរ៖

ដោយដឹងថាតម្លៃនៃអថេរ yស្មើ 4 អ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ x. ចូរជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការ ឧទាហរណ៍ទៅក្នុងសមីការទីមួយ 2 x+ 3y= ១៨. បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរមួយ 2 x+ 12 = 18 ។ ចូរផ្លាស់ទី 12 ទៅខាងស្តាំ ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា យើងទទួលបាន 2 x= 6, ពីទីនេះ x = 3 .

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

ចូរគុណសមីការទីពីរដោយ −1 ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ចូរយើងបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ការបន្ថែមសមាសធាតុ xនិង −xលទ្ធផលនឹងជា 0 បូក 5 yនិង ៣ yនឹងផ្តល់ឱ្យ 8 yហើយការបន្ថែម 7 និង 1 ផ្តល់ឱ្យ 8 ។ លទ្ធផលគឺសមីការ 8 y= 8 ដែលឫសគល់គឺ 1. ដឹងថាតម្លៃ yស្មើនឹង 1 អ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ x .

ចូរជំនួស yនៅក្នុងសមីការទីមួយយើងទទួលបាន x+ 5 = 7 ដូច្នេះ x= 2

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

វាជាការចង់បានដែលពាក្យដែលមានអថេរដូចគ្នាមានទីតាំងនៅខាងក្រោមមួយទៀត។ ដូច្នេះនៅក្នុងសមីការទីពីរ លក្ខខណ្ឌ 5 yនិង −2 xតោះប្តូរកន្លែង។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ចូរគុណសមីការទីពីរដោយ 3។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមយើងទទួលបានសមីការ 8 y= 16 ដែល root គឺ 2 ។

ចូរជំនួស yនៅក្នុងសមីការទីមួយយើងទទួលបាន 6 x− ១៤ = ៤០ ។ ចូរផ្លាស់ទីពាក្យ −14 ទៅខាងស្តាំ ប្តូរសញ្ញា ហើយទទួលបាន 6 x= ៥៤. ពី​ទីនេះ x= 9.

ឧទាហរណ៍ ៦. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

ចូរយើងកម្ចាត់ប្រភាគ។ គុណសមីការទីមួយដោយ 36 និងទីពីរដោយ 12

នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល សមីការទីមួយអាចគុណនឹង −5 ហើយទីពីរដោយ 8

ចូរយើងបន្ថែមសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត −13 y= −១៥៦ ។ ពី​ទីនេះ y= ១២. ចូរជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក x

ឧទាហរណ៍ ៧. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

ចូរយើងនាំយកសមីការទាំងពីរទៅជាទម្រង់ធម្មតា។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តច្បាប់នៃសមាមាត្រនៅក្នុងសមីការទាំងពីរ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទីមួយ ផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានតំណាងជា ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរជា នោះប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

យើងមានសមាមាត្រ។ ចូរគុណពាក្យជ្រុល និងកណ្តាលរបស់វា។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ចូរគុណសមីការទីមួយដោយ −3 ហើយបើកតង្កៀបទីពីរ៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមសមីការទាំងនេះ យើងទទួលបានសមភាពជាមួយនឹងសូន្យទាំងសងខាង៖

វាប្រែថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។

ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​អាច​គ្រាន់​តែ​យក​តម្លៃ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​ពី​លើ​មេឃ​សម្រាប់ xនិង y. យើង​អាច​បញ្ជាក់​តម្លៃ​មួយ ហើយ​តម្លៃ​មួយ​ទៀត​នឹង​ត្រូវ​កំណត់​អាស្រ័យ​លើ​តម្លៃ​ដែល​យើង​បញ្ជាក់។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យ x= ២. ចូរជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការតម្លៃសម្រាប់ yដែលនឹងបំពេញសមីការទាំងពីរ៖

លទ្ធផលគូនៃតម្លៃ (2; −2) នឹងបំពេញប្រព័ន្ធ៖

ចូរយើងស្វែងរកគូតម្លៃផ្សេងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យ x= 4. ចូរយើងជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងប្រព័ន្ធ៖

អ្នកអាចប្រាប់ដោយភ្នែកថាតម្លៃ yស្មើសូន្យ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានតម្លៃគូ (4; 0) ដែលបំពេញប្រព័ន្ធរបស់យើង៖

ឧទាហរណ៍ ៨. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

គុណសមីការទីមួយដោយ 6 និងទីពីរដោយ 12

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអ្វីដែលនៅសេសសល់៖

ចូរគុណសមីការទីមួយដោយ −1 ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមសមីការ 6 ត្រូវបានបង្កើតឡើង ខ= 48 ដែលឫសគឺ 8. ជំនួស ខចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក ក

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបី

សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបីរួមមានអថេរបីដែលមានមេគុណ ក៏ដូចជាពាក្យស្កាត់។ នៅក្នុងទម្រង់ Canonical វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ax + by + cz = ឃ

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។ ដោយផ្តល់តម្លៃអថេរពីរផ្សេងគ្នា តម្លៃទីបីអាចត្រូវបានរកឃើញ។ ដំណោះស្រាយក្នុងករណីនេះគឺជាតម្លៃបីដង ( x; y; z) ដែលប្រែសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ប្រសិនបើអថេរ x, y, zត្រូវបានតភ្ជាប់គ្នាដោយសមីការបី បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមានអថេរបីត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាដែលអនុវត្តចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

ចូរយើងបង្ហាញនៅក្នុងសមីការទីបី x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមធ្វើការជំនួស។ អថេរ xគឺស្មើនឹងការបញ្ចេញមតិ 3 − 2y − 2z . ចូរជំនួសកន្សោមនេះទៅជាសមីការទីមួយ និងទីពីរ៖

ចូរបើកតង្កៀបក្នុងសមីការទាំងពីរ ហើយបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

យើងបានមកដល់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ ជាលទ្ធផលអថេរ yនឹងបាត់ ហើយយើងអាចរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ z

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ y. ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាងាយស្រួលប្រើសមីការ − y+ z= 4. ជំនួសតម្លៃទៅក្នុងវា។ z

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ x. ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាងាយស្រួលប្រើសមីការ x= 3 − 2y − 2z . ចូរយើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងវា។ yនិង z

ដូច្នេះតម្លៃបីដង (3; −2; 2) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធរបស់យើង។ តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យ យើងត្រូវប្រាកដថាតម្លៃទាំងនេះបំពេញប្រព័ន្ធ៖

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីបន្ថែម

ចូរបន្ថែមសមីការទីមួយជាមួយទីពីរ គុណនឹង −2 ។

ប្រសិនបើសមីការទីពីរត្រូវបានគុណនឹង −2 វាយកទម្រង់ −6x+ 6y − 4z = −4 . ឥឡូវយើងបន្ថែមវាទៅសមីការទីមួយ៖

យើងឃើញថា ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម តម្លៃនៃអថេរត្រូវបានកំណត់ x. វាស្មើនឹងមួយ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសំខាន់វិញ។ ចូរបន្ថែមសមីការទីពីរជាមួយទីបី គុណនឹង −1 ។ ប្រសិនបើសមីការទីបីត្រូវបានគុណនឹង −1 វាយកទម្រង់ −4x + 5y − 2z = −1 . ឥឡូវយើងបន្ថែមវាទៅសមីការទីពីរ៖

យើងទទួលបានសមីការ x− 2y= −1 ។ ចូរយើងជំនួសតម្លៃនៅក្នុងវា។ xដែលយើងបានរកឃើញមុន។ បន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់តម្លៃ y

ឥឡូវនេះយើងដឹងពីអត្ថន័យ xនិង y. នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់តម្លៃ z. ចូរប្រើសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ៖

ដូច្នេះតម្លៃបីដង (1; 1; 1) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធរបស់យើង។ តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យ យើងត្រូវប្រាកដថាតម្លៃទាំងនេះបំពេញប្រព័ន្ធ៖

បញ្ហាលើការតែងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ភារកិច្ចនៃការរៀបចំប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ចូលអថេរជាច្រើន។ បន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានចងក្រងដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ពីសមីការដែលបានចងក្រងពួកគេបង្កើតជាប្រព័ន្ធមួយ ហើយដោះស្រាយវា។ ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធវាចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយរបស់វាបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែរឬទេ។

បញ្ហា 1. រថយន្ត Volga បានបើកចេញពីទីក្រុងទៅកសិដ្ឋានសមូហភាព។ នាង​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​មួយ​ទៀត ដែល​ខ្លី​ជាង​ផ្លូវ​ដំបូង​៥​គីឡូម៉ែត្រ។ សរុប​រថយន្ត​ធ្វើ​ដំណើរ​បាន​ចម្ងាយ​៣៥​គីឡូម៉ែត្រ​។ តើផ្លូវនីមួយៗមានប្រវែងប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ?

ដំណោះស្រាយ

អនុញ្ញាតឱ្យ x —ប្រវែងផ្លូវទីមួយ y- ប្រវែងទីពីរ។ ប្រសិនបើរថយន្តបានធ្វើដំណើរជុំវិញ 35 គីឡូម៉ែត្រ នោះសមីការទីមួយអាចត្រូវបានសរសេរជា x+ y= 35. សមីការនេះពិពណ៌នាអំពីផលបូកនៃប្រវែងផ្លូវទាំងពីរ។

គេ​ថា​រថយន្ត​បាន​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​ដែល​ខ្លី​ជាង​មុន​៥​គីឡូម៉ែត្រ ។ បន្ទាប់មកសមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា x− y= 5. សមីការនេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នារវាងប្រវែងផ្លូវគឺ 5 គីឡូម៉ែត្រ។

ឬសមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា x= y+ ៥. យើងនឹងប្រើសមីការនេះ។

ដោយសារតែអថេរ xនិង yនៅក្នុងសមីការទាំងពីរបង្ហាញពីចំនួនដូចគ្នា បន្ទាប់មកយើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធមួយពីពួកវា៖

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនដែលបានសិក្សាពីមុន។ ក្នុង​ករណី​នេះ វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ប្រើ​វិធី​ជំនួស ដោយ​សារ​ក្នុង​សមីការ​ទីពីរ អថេរ xបានបង្ហាញរួចហើយ។

ជំនួសសមីការទីពីរទៅក្នុងទីមួយ ហើយស្វែងរក y

ចូរជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ yនៅក្នុងសមីការទីពីរ x= y+ ៥ ហើយ​យើង​នឹង​រក​ឃើញ x

ប្រវែងនៃផ្លូវទីមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមរយៈអថេរ x. ឥឡូវនេះយើងបានរកឃើញអត្ថន័យរបស់វា។ អថេរ xស្មើនឹង 20. មានន័យថាប្រវែងផ្លូវទីមួយគឺ 20 គីឡូម៉ែត្រ។

ហើយប្រវែងនៃផ្លូវទីពីរត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ y. តម្លៃនៃអថេរនេះគឺ 15 ។ នេះមានន័យថាប្រវែងផ្លូវទីពីរគឺ 15 គីឡូម៉ែត្រ។

សូមពិនិត្យមើល។ ជាដំបូង ត្រូវប្រាកដថាប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយ (20; 15) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាឬអត់។

គេ​បាន​និយាយ​ថា រថយន្ត​នេះ​ធ្វើ​ដំណើរ​ក្នុង​ចម្ងាយ​ផ្លូវ​សរុប ៣៥ គីឡូម៉ែត្រ។ យើងបន្ថែមប្រវែងផ្លូវទាំងពីរ ហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយ (២០; ១៥) បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ៖ 20 គីឡូម៉ែត្រ + 15 គីឡូម៉ែត្រ = 35 គីឡូម៉ែត្រ

លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ រថយន្ត​នោះ​បាន​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​មួយ​ទៀត ដែល​ខ្លី​ជាង​ផ្លូវ​ដំបូង​៥​គីឡូម៉ែត្រ . យើងឃើញដំណោះស្រាយនោះ (២០; ១៥) ក៏បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះដែរ ព្រោះ ១៥ គីឡូម៉ែត្រខ្លីជាង ២០ គីឡូម៉ែត្រ ៥ គីឡូម៉ែត្រ៖ 20 គីឡូម៉ែត្រ − 15 គីឡូម៉ែត្រ = 5 គីឡូម៉ែត្រ

នៅពេលបង្កើតប្រព័ន្ធ វាមានសារៈសំខាន់ដែលអថេរតំណាងឱ្យលេខដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធរបស់យើងមានសមីការពីរ។ សមីការទាំងនេះនៅក្នុងវេនមានអថេរ xនិង yដែលតំណាងឱ្យលេខដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរ គឺប្រវែងផ្លូវ 20 គីឡូម៉ែត្រ និង 15 គីឡូម៉ែត្រ។

បញ្ហា ២. អ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា ហើយអ្នកដេកសរុប 300 នាក់។ វាត្រូវបានគេដឹងថាអ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងអ្នកដេកស្រល់ទាំងអស់។ កំណត់ថាតើមានអ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ប៉ុន្មាននាក់ដោយឡែកពីគ្នា បើអ្នកដេកដើមឈើអុកនីមួយៗមានទម្ងន់ 46 គីឡូក្រាម ហើយអ្នកដេកស្រល់នីមួយៗមានទម្ងន់ 28 គីឡូក្រាម។

ដំណោះស្រាយ

អនុញ្ញាតឱ្យ xដើមឈើអុក និង yអ្នកដេកស្រល់ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា។ ប្រសិនបើមានអ្នកដេកសរុប 300 នាក់ នោះសមីការទីមួយអាចត្រូវបានសរសេរជា x+y = 300 .

អ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 46 xគីឡូក្រាម ហើយស្រល់មានទម្ងន់ 28 yគក។ ដោយសារអ្នកដេកដើមឈើអុកមានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងអ្នកដេកស្រល់ សមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា 28y − 46x= 1000 . សមីការនេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នានៃម៉ាស់រវាងដើមឈើអុក និងស្រល់គឺ 1000 គីឡូក្រាម។

តោន​ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​គីឡូក្រាម ដោយ​សារ​តែ​ម៉ាស់​ដើម​អុក និង​ស្រល់​ត្រូវ​បាន​វាស់​ជា​គីឡូក្រាម។

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការពីរដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធ

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ។ ចូរយើងបង្ហាញនៅក្នុងសមីការទីមួយ x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ជំនួសសមីការទីមួយទៅជាសមីការទីពីរ ហើយស្វែងរក y

ចូរជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការ x= 300 − yហើយស្វែងយល់ថាតើវាជាអ្វី x

នេះមានន័យថាដើមឈើអុក 100 និងដើមស្រល់ 200 ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា។

ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយ (100; 200) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែរឬទេ។ ជាដំបូង ត្រូវប្រាកដថាប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖

គេ​ថា​មាន​អ្នក​ដេក​សរុប​៣០០​នាក់ ។ យើងបន្ថែមចំនួនអ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ ហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយ (100; 200) បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ៖ 100 + 200 = 300.

លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ អ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងអ្នកដេកស្រល់ទាំងអស់។ . យើងឃើញថាដំណោះស្រាយ (100; 200) ក៏បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះផងដែរ ចាប់តាំងពី 46 × 100 គីឡូក្រាមនៃអ្នកដេកដើមឈើអុកគឺស្រាលជាង 28 × 200 គីឡូក្រាមនៃអ្នកដេកស្រល់: 5600 គីឡូក្រាម - 4600 គីឡូក្រាម = 1000 គីឡូក្រាម។

បញ្ហា ៣. យើងបានយកលោហៈធាតុស្ពាន់-នីកែលចំនួនបីក្នុងសមាមាត្រ 2:1, 3:1 និង 5:1 ដោយទម្ងន់។ ដុំដែលមានទំងន់ 12 គីឡូក្រាមត្រូវបានផ្សំពីពួកវាជាមួយនឹងសមាមាត្រនៃមាតិកាទង់ដែងនិងនីកែលនៃ 4: 1 ។ ស្វែងរកម៉ាស់នៃបំណែកដើមនីមួយៗ ប្រសិនបើម៉ាស់ទីមួយនៃពួកវាគឺពីរដងនៃម៉ាស់ទីពីរ។

ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ មនុស្សបានប្រើសមីការនៅសម័យបុរាណ ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក ការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេកាន់តែកើនឡើង។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដែលមានចំនួនបីមិនស្គាល់ មិនមានដំណោះស្រាយក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ ទោះបីជាសមីការមានចំនួនច្រើនក៏ដោយ។ តាមក្បួនប្រព័ន្ធប្រភេទនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួសឬប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តទីពីរធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់នៅដំណាក់កាលដំបូងថាតើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយដែរឬទេ។

ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវប្រព័ន្ធខាងក្រោមនៃសមីការបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

\[\left\(\begin(ម៉ាទ្រីស) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(ម៉ាទ្រីស)\right.\]

អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ Ax = B ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ \ មិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ចូរស្វែងរកកត្តាកំណត់ជំនួយ \ ប្រសិនបើវាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ នោះគ្មានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នា នោះមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ 3 ដែលមាន 3 មិនស្គាល់ កត្តាកំណត់ដែលមិនមែនជាសូន្យគឺតែងតែស្របគ្នា និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលគណនាដោយរូបមន្ត៖

ចម្លើយ៖ ទទួលបានដំណោះស្រាយ

\[\left\(\begin(ម៉ាទ្រីស) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(ម៉ាទ្រីស)\right។\]

តើ​ខ្ញុំ​អាច​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ​ដោយ​មិន​ស្គាល់​ចំនួន​បី​តាម​អ៊ីនធឺណិត​នៅ​ទីណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https://site ។ កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលតែប៉ុន្មានវិនាទីប៉ុណ្ណោះ។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកនៅតែមានសំណួរ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម VKontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីនៅក្នុងមិនស្គាល់ចំនួនបី

សមីការលីនេអ៊ែរ (សមីការដឺក្រេទីមួយ) ដែលមានពីរមិនស្គាល់

និយមន័យ ១. សមីការលីនេអ៊ែរ (សមីការដឺក្រេទីមួយ) ដែលមានពីរមិនស្គាល់ x និង y ដាក់ឈ្មោះសមីការនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីសមភាព (2) អថេរ y តាមរយៈអថេរ x:

ពីរូបមន្ត (3) វាដូចខាងក្រោមថាដំណោះស្រាយទៅសមីការ (2) គឺជាគូទាំងអស់នៃទម្រង់

ដែល x ជាលេខណាមួយ។

ចំណាំ។ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយទៅនឹងឧទាហរណ៍ទី 1 សមីការ (2) មាន ដំណោះស្រាយជាច្រើន។. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់វា។ មិនមែនលេខមួយគូទេ។ (x; y) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយណាមួយចំពោះសមីការ (2) លេខ x អាចត្រូវបានគេយកជាណាមួយ ហើយលេខ y អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (3) ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរនៅក្នុងមិនស្គាល់ពីរ

និយមន័យ ៣. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ x និង y ហៅប្រព័ន្ធសមីការនៃទម្រង់

កន្លែងណា ក 1 , ខ 1 , គ 1 , ក 2 , ខ 2 , គ 2 - លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ៤. នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ (4) លេខ ក 1 , ខ 1 , ក 2 , ខ 2 ត្រូវបានហៅនិងលេខ គ 1 , គ 2 – សមាជិកឥតគិតថ្លៃ.

និយមន័យ ៥. ដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (4)ហៅ​លេខ​មួយ​គូ ( x; y) ដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមួយ និងសមីការនៃប្រព័ន្ធ (4) ។

និយមន័យ ៦. ប្រព័ន្ធទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា សមមូល (សមមូល)ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធសមីការទីមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីពីរ ហើយដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទីពីរគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយ។

សមមូលនៃប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា ""

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើ ដែលយើងនឹងបង្ហាញជាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ (5) លុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ X

ដល់ទីបញ្ចប់នេះ យើងបំប្លែងប្រព័ន្ធ (5) ដំបូងទៅជាទម្រង់មួយដែលមេគុណសម្រាប់ x ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាដូចគ្នា។

ប្រសិនបើសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ (5) ត្រូវបានគុណដោយមេគុណនៅ x ក្នុងសមីការទីពីរ (លេខ 7) ហើយសមីការទីពីរត្រូវបានគុណដោយមេគុណ x ក្នុងសមីការទីមួយ (លេខ 2) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (5) នឹងយកទម្រង់

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមនៅលើប្រព័ន្ធ (6):

• ពីសមីការទីពីរ យើងដកសមីការទីមួយ ហើយជំនួសសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាលទ្ធផល។

ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធ (6) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធសមមូល

ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ y= 3 ហើយការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន

ចម្លើយ។ (-២; ៣) ។

ឧទាហរណ៍ ៣. ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p ដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការ

ក) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់;

ខ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

វ) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដំណោះស្រាយ។ ការបង្ហាញ x ដល់ y ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (7) និងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ (7) យើងទទួលបាន

ចូរយើងសិក្សាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ (8) អាស្រ័យលើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទំ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងពិចារណាសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (8)៖

y (2 - ទំ) (2 + ទំ) = 2 + ទំ

(9)

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមីការ (9) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

ដូច្នេះក្នុងករណី , ប្រព័ន្ធ (7) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

ប្រសិនបើ ទំ= - 2 បន្ទាប់មកសមីការ (9) យកទម្រង់

ហើយដំណោះស្រាយរបស់វាគឺលេខណាមួយ។ . ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (7) គឺ សំណុំគ្មានកំណត់គ្រប់គ្នា គូនៃលេខ

,

ដែល y ជាលេខណាមួយ។

ប្រសិនបើ ទំ= 2 បន្ទាប់មកសមីការ (9) យកទម្រង់

និងគ្មានដំណោះស្រាយ ដែលបង្កប់ន័យប្រព័ន្ធនោះ (7) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។.

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីនៅក្នុងមិនស្គាល់ចំនួនបី

និយមន័យ ៧. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី x, y និង z ហៅប្រព័ន្ធសមីការដែលមានទម្រង់

កន្លែងណា ក 1 , ខ 1 , គ 1 , ឃ 1 , ក 2 , ខ 2 , គ 2 , ឃ 2 , ក 3 , ខ 3 , គ 3 , ឃ 3 - លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ៨. នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ (១០) លេខ ក 1 , ខ 1 , គ 1 , ក 2 , ខ 2 , គ 2 , ក 3 , ខ 3 , គ 3 ហៅ មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់និងលេខ ឃ 1 , ឃ 2 , ឃ 3 – សមាជិកឥតគិតថ្លៃ.

និយមន័យ ៩. ដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (១០)ដាក់ឈ្មោះបីលេខ (x; y ; z) , នៅពេលជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការទាំងបីនៃប្រព័ន្ធ (10) សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (11) ដោយប្រើ វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់.

ដើម្បីធ្វើរឿងនេះជាមុនសិន យើងដកអ្វីដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ y ដោយអនុវត្តការបំប្លែងខាងក្រោមលើប្រព័ន្ធ (១១)៖

• យើងនឹងទុកសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធមិនផ្លាស់ប្តូរ។
• ទៅសមីការទីពីរ យើងបន្ថែមសមីការទីមួយ ហើយជំនួសសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងផលបូកលទ្ធផល។
• ពីសមីការទីបី យើងដកសមីការទីមួយ ហើយជំនួសសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងលទ្ធផលខុសគ្នា។

ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធ (11) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធសមមូល

ឥឡូវ​នេះ លុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ x ដោយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមនៅលើប្រព័ន្ធ (12)៖

• យើងនឹងទុកសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធមិនផ្លាស់ប្តូរ។
• ពីសមីការទីបី យើងដកសមីការទីពីរ ហើយជំនួសសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងលទ្ធផលខុសគ្នា។

ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធ (12) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធសមមូល

ពីប្រព័ន្ធ (13) យើងរកឃើញជាប់លាប់

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

ចម្លើយ។ (១; ២; -២) ។

ឧទាហរណ៍ 5 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថាពីប្រព័ន្ធនេះមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានភាពងាយស្រួល លទ្ធផលដោយបន្ថែមសមីការទាំងបីនៃប្រព័ន្ធ៖

យើងបង្កើតកត្តាកំណត់សំខាន់សម្រាប់ប្រព័ន្ធ

និងគណនាវា។

បន្ទាប់មកយើងបង្កើតកត្តាកំណត់បន្ថែម

និងគណនាពួកគេ។

យោងតាមច្បាប់របស់ Cramer ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត

;
;
, ប្រសិនបើ

1)

តោះគណនា៖

ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ចម្លើយ៖ (១; ២; ៣)

2)

តោះគណនា៖

ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់សំខាន់
ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយបន្ថែមទៀតមិនស្មើនឹងសូន្យទេ (ក្នុងករណីរបស់យើង។
) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

3)

តោះគណនា៖

ដោយសារកត្តាកំណត់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយចំនួនគ្មានកំណត់ ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយខ្លួនឯង៖

ក)
ខ)

ចម្លើយ៖ ក) (១; ២; ៥) ខ) ;;

មេរៀន​អនុវត្ត​លេខ ៣ លើ​ប្រធានបទ៖

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រពីរ និងកម្មវិធីរបស់វា។

1. ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ
និង
បន្ទាប់មកយើងរកឃើញផលិតផលមាត្រដ្ឋានដោយប្រើរូបមន្ត៖

∙

2.If បន្ទាប់មកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

1. ផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរ
និង

យើងរកឃើញផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេដូចខាងក្រោមៈ

.

2. វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

ផលិតផល scalar ត្រូវបានរកឃើញដូចនេះ៖

3.
,

3.1 ការស្វែងរកការងាររបស់កម្លាំងថេរនៅលើផ្នែកត្រង់នៃផ្លូវ

1) នៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំង 15 N រាងកាយបានផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ 2 ម៉ែត្រ។ មុំរវាងកម្លាំងនិងទិសដៅនៃចលនា  = 60 0 ។ គណនាការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងដើម្បីផ្លាស់ទីរាងកាយ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ដំណោះស្រាយ៖

2) ផ្តល់ឱ្យ:

ដំណោះស្រាយ៖

3) រាងកាយបានផ្លាស់ប្តូរពីចំណុច M (1; 2; 3) ទៅចំណុច N (5; 4; 6) ក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំង 60N ។ មុំរវាងទិសនៃកម្លាំង និងវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ =45 0 ។ គណនាការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ

ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ៖

យោងតាមរូបមន្ត
ស្វែងរក​ការងារ:

3.2 ការកំណត់អ័រតូហ្គោននៃវ៉ិចទ័រពីរ

វ៉ិចទ័រពីរគឺរាងពងក្រពើប្រសិនបើ
នោះគឺ

ដោយសារតែ

1)

- មិនរាងមូល

2)

- រាងជ្រុង

3) កំណត់នូវអ្វីដែល  វ៉ិចទ័រ
និង
orthogonal ទៅវិញទៅមក។

ដោយសារតែ
, នោះ។
, មានន័យថា

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

ក)

. ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេ។

ខ) គណនាចំនួនការងារដែលកម្លាំងផលិត
ប្រសិនបើចំណុចនៃកម្មវិធីរបស់វា ផ្លាស់ទី rectilinearly បានផ្លាស់ប្តូរពីចំណុច M (5; -6; 1) ទៅចំណុច N (1; -2; 3)

គ) កំណត់ថាតើវ៉ិចទ័រមានរាងមូលឬអត់
និង

ចម្លើយ៖ ក) ១ ខ) ១៦ គ) បាទ

3.3 រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ

1)

. ស្វែងរក .

យើង​ស្វែងរក

ជំនួសក្នុងរូបមន្ត៖

.

១). បានផ្តល់ឱ្យគឺជាចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) ។ រកមុំនៅចំនុចកំពូល A ។

ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងរូបមន្ត៖

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0)។ កំណត់មុំខាងក្នុងនៅចំនុចកំពូល A ។

ចម្លើយ៖ ៩០ អូ

មេរៀន​អនុវត្តន៍​លេខ ៤ លើ​ប្រធានបទ៖

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ និងកម្មវិធីរបស់វា។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ស្វែង​រក​ផល​គុណ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ៖

	មើល​ទៅ​ដូច​ជា

1) ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចូរយើងបង្កើតកត្តាកំណត់ ហើយគណនាវា (ដោយប្រើក្បួនរបស់ Sarrus ឬទ្រឹស្តីបទស្តីពីការពង្រីកកត្តាកំណត់ទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ)។

វិធីសាស្រ្តទី 1: យោងទៅតាមច្បាប់របស់ Sarrus

វិធីទី ២៖ ពង្រីកកត្តាកំណត់ទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ។

2) ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

៤.១. ការគណនាតំបន់នៃប៉ារ៉ាឡែលឡូរ៉ាមដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រពីរ។

1) គណនាផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ

២). ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ និងម៉ូឌុលរបស់វា។

៤.២. ការគណនាតំបន់នៃត្រីកោណមួយ។

ឧទាហរណ៍៖ ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1)។ គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រពីរដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូលដូចគ្នា។

ចូរយើងស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេ។

៤.៣. ការកំណត់ភាពរួមនៃវ៉ិចទ័រពីរ

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ
និង
គឺ collinear បន្ទាប់មក

ពោលគឺ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវតែសមាមាត្រ។

ក) វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ ::
,
.

ពួកវាជាប់គ្នាដោយសារតែ
និង

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយប្រភាគនីមួយៗ យើងទទួលបានសមាមាត្រ

ខ) វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

.

ពួកវាមិនជាប់គ្នាទេពីព្រោះ
ឬ

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

ក) តើអ្វីជាតម្លៃនៃ m និង n ជាវ៉ិចទ័រ
collinear?

ចម្លើយ៖
;

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ និងម៉ូឌុលរបស់វា។
,
.

ចម្លើយ៖
,
.

មេរៀន​អនុវត្ត​លេខ ៥ លើ​ប្រធានបទ៖

បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ

បញ្ហាទី 1. រកសមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(-2; 3) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់

1. រកចំណោទនៃបន្ទាត់
.

គឺ​ជា​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​ដែល​មាន​មេគុណ​មុំ និង​ការ​ចាត់តាំង​ដំបូង (
) នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
.

2. ដោយសារបន្ទាត់ MN និង AC ស្របគ្នា មេគុណមុំរបស់វាស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។
.

3. ដើម្បីស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ AC យើងប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយដែលមានជម្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ:

. នៅក្នុងរូបមន្តនេះជំនួសវិញ។ និង ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច A(-2; 3) ជំនួសវិញ។ ចូរជំនួស – 3. ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសយើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖

កិច្ចការទី 2 ។ ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(1; -2) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់។

1. ចូរយើងរកចំណោទនៃបន្ទាត់។

នេះគឺជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ ដែលក្នុងទម្រង់ទូទៅត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត។ ការប្រៀបធៀបសមីការយើងឃើញថា A = 2, B = –3 ។ ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
. ការជំនួស A = 2 និង B = –3 ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ MN ។ ដូច្នេះ
.

2. ដោយសារបន្ទាត់ MN និង KS ស្របគ្នា មេគុណមុំគឺស្មើគ្នា៖
.

3. ដើម្បីស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ KS យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចជាមួយនឹងមេគុណមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ
. នៅក្នុងរូបមន្តនេះជំនួសវិញ។ និង ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច K(–2; 3) ជំនួសវិញ។

បញ្ហាលេខ 3. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(–1; –3) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់។

1. គឺជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ ដែលក្នុងទម្រង់ទូទៅត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត។

ហើយយើងរកឃើញថា A = 3, B = 4 ។

ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
. ការជំនួស A = 3 និង B = 4 ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ MN៖
.

2. ដោយសារបន្ទាត់ MN និង KD កាត់កែង មេគុណមុំរបស់វាមានសមាមាត្រច្រាស និងផ្ទុយគ្នាក្នុងសញ្ញា៖

.

3. ដើម្បីស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ KD យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចជាមួយនឹងមេគុណមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ

. នៅក្នុងរូបមន្តនេះជំនួសវិញ។ និង ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច K(–1;–3) ជំនួសវិញ។ តោះជំនួស ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសយើងទទួលបាន:

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

1. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(–4; 1) ស្របនឹងបន្ទាត់
.

ចម្លើយ៖
.

2. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(5; –2) ស្របនឹងបន្ទាត់
.

3. ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(–2, –6) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់
.

4. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(7; –2) កាត់កែងទៅបន្ទាត់
.

ចម្លើយ៖
.

5. រកសមីការកាត់កែងដែលទម្លាក់ពីចំនុច K(–6; 7) ទៅបន្ទាត់ត្រង់
.