ស៊េរី និងពហុកោណនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ សព្វវចនាធិប្បាយដ៏អស្ចារ្យនៃប្រេងនិងឧស្ម័ន

នៅក្នុងផ្នែកនៃវគ្គសិក្សាដែលបានឧទ្ទិសដល់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ យើងបានណែនាំរួចហើយនូវគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតនៃអថេរចៃដន្យ។ នៅទីនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគំនិតនេះ និងបង្ហាញពីវិធីដែលអថេរចៃដន្យអាចត្រូវបានពិពណ៌នា និងកំណត់លក្ខណៈ។

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ អថេរចៃដន្យគឺជាបរិមាណដែល ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អាចទទួលយកតម្លៃមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុនថាមួយណានោះទេ។ យើងក៏បានយល់ព្រមក្នុងការបែងចែករវាងអថេរចៃដន្យនៃប្រភេទមិនបន្ត (ដាច់) និងប្រភេទបន្ត។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃបរិមាណមិនបន្តអាចត្រូវបានរាយបញ្ជីជាមុន។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃបរិមាណបន្តមិនអាចត្រូវបានរាយបញ្ជីជាមុន ហើយបន្តបំពេញចន្លោះជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្ត៖

1) ចំនួននៃការលេចឡើងនៃអាវធំក្នុងអំឡុងពេលបោះកាក់បី (តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន 0, 1, 2, 3);

2) ភាពញឹកញាប់នៃរូបរាងនៃអាវធំនៅក្នុងការពិសោធន៍ដូចគ្នា (តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន);

3) ចំនួននៃធាតុដែលបរាជ័យនៅក្នុងឧបករណ៍ដែលមានធាតុប្រាំ (តម្លៃដែលអាចមានគឺ 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) ចំនួននៃការបុកនៅលើយន្តហោះគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបិទវា (តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) ចំនួនយន្តហោះដែលត្រូវបានបាញ់ទម្លាក់នៅក្នុងការប្រយុទ្ធតាមអាកាស (តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន 0, 1, 2, ..., N ដែលជាចំនួនសរុបនៃយន្តហោះដែលចូលរួមក្នុងសមរភូមិ) ។

ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យបន្ត៖

1) abscissa (ordinate) នៃចំណុចនៃផលប៉ះពាល់នៅពេលបាញ់;

2) ចម្ងាយពីចំណុចនៃផលប៉ះពាល់ទៅកណ្តាលនៃគោលដៅ;

3) កំហុសម៉ែត្រកម្ពស់;

4) ពេលវេលាប្រតិបត្តិការមិនដំណើរការនៃបំពង់វិទ្យុ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របនៅក្នុងអ្វីដែលខាងក្រោមដើម្បីបង្ហាញពីអថេរចៃដន្យដោយអក្សរធំ និងតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដោយអក្សរតូចដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍ - ចំនួននៃការចុចបីដង; តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន: .

ចូរយើងពិចារណាអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្តជាមួយនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន។ តម្លៃនីមួយៗគឺអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែមិនប្រាកដទេ ហើយតម្លៃ X អាចយកពួកវានីមួយៗជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។ ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ តម្លៃ X នឹងយកតម្លៃមួយក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនេះ i.e. មួយនៃក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនត្រូវគ្នានឹងកើតឡើង៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដោយអក្សរ p ជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ដែលត្រូវគ្នា៖

ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា (5.1.1) បង្កើតក្រុមពេញលេញ

ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងមួយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនេះត្រូវបានចែកចាយយ៉ាងដូចម្ដេចក្នុងចំណោមតម្លៃបុគ្គល។ អថេរចៃដន្យនឹងត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងពេញលេញពីទស្សនៈដែលអាចកើតមាន ប្រសិនបើយើងបញ្ជាក់ការចែកចាយនេះ ពោលគឺឧ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញឱ្យច្បាស់ថាតើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ (5.1.1) មានអ្វីខ្លះ។ ជាមួយនេះ យើងនឹងបង្កើតអ្វីដែលគេហៅថាច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ។

ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ គឺជាទំនាក់ទំនងណាមួយដែលបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ យើងនឹងនិយាយអំពីអថេរចៃដន្យដែលវាជាកម្មវត្ថុនៃច្បាប់ចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទម្រង់ដែលច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្តអាចត្រូវបានបញ្ជាក់។ ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការបញ្ជាក់ច្បាប់នេះគឺជាតារាងដែលរាយតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ៖

យើងនឹងហៅតារាងបែបនេះថាជាស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ។

ដើម្បីផ្តល់ឱ្យស៊េរីការចែកចាយនូវរូបរាងដែលមើលឃើញកាន់តែច្រើន ពួកគេតែងតែងាកទៅរកតំណាងក្រាហ្វិករបស់វា៖ តម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគូសតាមអ័ក្សតម្រៀប។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ចំណុចលទ្ធផលត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយផ្នែកត្រង់។ តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពហុកោណចែកចាយ (រូបភាព 5.1.1) ។ ពហុកោណនៃការចែកចាយ ដូចជាស៊េរីចែកចាយ កំណត់លក្ខណៈទាំងស្រុងនៃអថេរចៃដន្យ។ វាគឺជាទម្រង់មួយនៃច្បាប់នៃការចែកចាយ។

ជួនកាលការបកស្រាយ "មេកានិច" នៃស៊េរីចែកចាយគឺងាយស្រួល។ ចូរយើងស្រមៃថាម៉ាស់ជាក់លាក់មួយស្មើនឹងមួយត្រូវបានចែកចាយតាមអ័ក្ស abscissa តាមរបៀបដែលម៉ាស់ត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅចំនុចនីមួយៗរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកស៊េរីចែកចាយត្រូវបានបកស្រាយថាជាប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់មួយចំនួនដែលមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស abscissa ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្តជាមួយនឹងច្បាប់ចែកចាយរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 1. ការពិសោធន៍មួយត្រូវបានអនុវត្តដែលព្រឹត្តិការណ៍អាចឬមិនលេចឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺ 0.3 ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានពិចារណា - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ឧ. អថេរចៃដន្យលក្ខណៈនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដោយយកតម្លៃ 1 ប្រសិនបើវាលេចឡើង និង 0 ប្រសិនបើវាមិនបង្ហាញ) ។ បង្កើតស៊េរីចែកចាយ និងពហុកោណនៃការចែកចាយរ៉ិចទ័រ។

ដំណោះស្រាយ។ បរិមាណមានតែតម្លៃពីរប៉ុណ្ណោះ៖ 0 និង 1. ស៊េរីចែកចាយនៃបរិមាណមានទម្រង់៖

ពហុកោណចែកចាយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ៥.១.២.

ឧទាហរណ៍ 2. ខ្មាន់កាំភ្លើងបាញ់បីគ្រាប់ទៅកាន់គោលដៅមួយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅជាមួយនឹងការបាញ់នីមួយៗគឺ 0.4 ។ សម្រាប់​ការ​វាយ​នីមួយៗ អ្នក​បាញ់​នឹង​ទទួល​បាន 5 ពិន្ទុ។ បង្កើតស៊េរីចែកចាយសម្រាប់ចំនួនពិន្ទុដែលទទួលបាន។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងកំណត់ចំនួនពិន្ទុដែលបានដាក់។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន៖ .

យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលើការធ្វើឡើងវិញនៃការពិសោធន៍៖

ស៊េរីចែកចាយតម្លៃមានទម្រង់៖

ពហុកោណចែកចាយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ៥.១.៣.

ឧទាហរណ៍ 3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍មួយគឺស្មើនឹង . ស៊េរីនៃការពិសោធន៍ឯករាជ្យត្រូវបានអនុវត្ត ដែលបន្តរហូតដល់ការកើតឡើងដំបូងនៃព្រឹត្តិការណ៍ បន្ទាប់ពីនោះការពិសោធន៍ត្រូវបានបញ្ឈប់។ អថេរចៃដន្យ - ចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្ត។ សាងសង់ស៊េរីនៃការចែកចាយតម្លៃ។

ដំណោះស្រាយ។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន: 1, 2, 3, ... (តាមទ្រឹស្ដីពួកគេមិនត្រូវបានកំណត់ដោយអ្វីទាំងអស់) ។ ដើម្បីឱ្យបរិមាណទទួលយកតម្លៃ 1 វាចាំបាច់ដែលព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ដំបូង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះគឺស្មើគ្នា។ ដើម្បីឱ្យបរិមាណទទួលយកតម្លៃ 2 វាចាំបាច់ដែលព្រឹត្តិការណ៍មិនលេចឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ដំបូង ប៉ុន្តែវាលេចឡើងក្នុងលើកទីពីរ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះគឺស្មើនឹង កន្លែង ជាដើម។ ស៊េរីចែកចាយតម្លៃមានទម្រង់៖

ការតែងតាំងប្រាំដំបូងនៃពហុកោណចែកចាយសម្រាប់ករណីត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ៥.១.៤.

ឧទាហរណ៍ទី 4. ខ្មាន់កាំភ្លើងបាញ់ចំគោលដៅមួយរហូតដល់ការវាយដំដំបូង មានគ្រាប់ចំនួន 4 គ្រាប់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដំនីមួយៗគឺ 0.6 ។ សាងសង់ស៊េរីចែកចាយសម្រាប់បរិមាណគ្រាប់រំសេវដែលមិនទាន់បានចំណាយ។

អថេរចៃដន្យ៖ ដាច់ពីគ្នា និងបន្ត។

នៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ stochastic ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមត្រូវបានបង្កើតឡើង - លទ្ធផលដែលអាចកើតមាននៃការពិសោធន៍នេះ។ វាត្រូវបានគេជឿថានៅលើចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ តម្លៃចៃដន្យ X ប្រសិនបើច្បាប់ (ច្បាប់) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយោងទៅតាមព្រឹត្តិការណ៍បឋមនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយលេខ។ ដូច្នេះ អថេរ X អាច​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​អនុគមន៍​ដែល​បាន​កំណត់​លើ​ចន្លោះ​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​បឋម។

■ អថេរចៃដន្យ- បរិមាណដែលក្នុងអំឡុងពេលធ្វើតេស្តនីមួយៗត្រូវយកតម្លៃលេខមួយ ឬតម្លៃផ្សេងទៀត (វាមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុនថាមួយណា) អាស្រ័យលើហេតុផលចៃដន្យដែលមិនអាចយកមកពិចារណាជាមុន។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានតាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង ហើយតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានតាងដោយអក្សរតូច។ ដូច្នេះនៅពេលបោះចោល ព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើងដែលភ្ជាប់ជាមួយនឹងលេខ x ដែល x ជាចំនួនពិន្ទុរមូរ។ ចំនួនពិន្ទុគឺជាអថេរចៃដន្យ ហើយលេខ 1, 2, 3, 4, 5, 6 គឺជាតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃតម្លៃនេះ។ ចម្ងាយដែលគ្រាប់ផ្លោងនឹងធ្វើដំណើរនៅពេលបាញ់ចេញពីកាំភ្លើងក៏ជាអថេរចៃដន្យ (អាស្រ័យលើការដំឡើងនៃការមើលឃើញ កម្លាំង និងទិសដៅនៃខ្យល់ សីតុណ្ហភាព និងកត្តាផ្សេងទៀត) ហើយតម្លៃដែលអាចមាននៃតម្លៃនេះជាកម្មសិទ្ធិ។ ទៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ (a; b) ។

■ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក- អថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដាច់ដោយឡែកពីគ្នាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់។ ចំនួន​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដាច់​ពី​គ្នា​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់។

■ អថេរចៃដន្យបន្ត- អថេរចៃដន្យដែលអាចយកតម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍ ចំនួនពិន្ទុដែលបានរមៀលនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ពិន្ទុសម្រាប់ការធ្វើតេស្តគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។ ចម្ងាយដែលកាំជ្រួចហោះពេលបាញ់ចេញពីកាំភ្លើង កំហុសរង្វាស់នៃសូចនាករនៃពេលវេលាដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃសម្ភារៈអប់រំ កម្ពស់ និងទម្ងន់របស់មនុស្ស គឺជាអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ- ការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ ឧ។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននីមួយៗ x i ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p i ដែលអថេរចៃដន្យអាចយកតម្លៃនេះ។ ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាតារាង (ក្នុងទម្រង់តារាង) វិភាគ (ក្នុងទម្រង់រូបមន្ត) និងក្រាហ្វិក។

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X យកតម្លៃ x 1 , x 2 , …, x n ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p 1 , p 2 , …, p n រៀងគ្នា i.e. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n ។ នៅពេលបញ្ជាក់ច្បាប់ចែកចាយនៃបរិមាណនេះក្នុងតារាង ជួរទីមួយនៃតារាងមានតម្លៃដែលអាចមាន x 1 , x 2 , ... , x n ហើយជួរទីពីរមានប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកវា

X	x ១	x ២	…	x ន
ទំ	ទំ ១	ទំ២	…	ទំ ន

ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X យកតម្លៃមួយ និងតម្លៃតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើបាន ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ X=x 1, X=x 2, ..., X=x n បង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញនៃគូដែលមិនត្រូវគ្នា ព្រឹត្តិការណ៍ ហើយដូច្នេះ ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ , i.e. p 1 + p 2 +… + p n =1 ។

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។ ពហុកោណចែកចាយ (ពហុកោណ) ។

ដូចដែលអ្នកដឹង អថេរចៃដន្យគឺជាអថេរដែលអាចទទួលយកតម្លៃជាក់លាក់អាស្រ័យលើករណី។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានតាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (X, Y, Z) ហើយតម្លៃរបស់វាត្រូវបានតាងដោយអក្សរតូចដែលត្រូវគ្នា (x, y, z) ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានបែងចែកទៅជាមិនបន្ត (ដាច់) និងបន្ត។

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាអថេរចៃដន្យដែលយកតែសំណុំតម្លៃកំណត់ ឬគ្មានកំណត់ (រាប់បាន) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមិនសូន្យជាក់លាក់។

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺជាមុខងារដែលភ្ជាប់តម្លៃនៃអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ។ ច្បាប់ចែកចាយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីខាងក្រោម។

1. ច្បាប់នៃការចែកចាយអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយតារាង:

ដែល λ>0, k = 0, 1, 2, … ។

គ) ដោយប្រើមុខងារចែកចាយ F(x) ដែលកំណត់សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ x ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរ X នឹងយកតម្លៃតិចជាង x, i.e. F(x) = P(X< x).

មុខងារ F(x)

3. ច្បាប់ចែកចាយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាក្រាហ្វិក - ដោយពហុកោណចែកចាយ (ពហុកោណ) (មើលកិច្ចការទី 3) ។

ចំណាំថាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនវាមិនចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយនោះទេ។ ក្នុងករណីខ្លះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងលេខមួយឬច្រើនដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសំខាន់បំផុតនៃច្បាប់ចែកចាយ។ នេះអាចជាលេខដែលមានអត្ថន័យនៃ "តម្លៃមធ្យម" នៃអថេរចៃដន្យ ឬលេខដែលបង្ហាញពីទំហំមធ្យមនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា។ លេខប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ។

លក្ខណៈជាលេខជាមូលដ្ឋាននៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖

• ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក M(X) = Σ x i p i ។
  សម្រាប់ការចែកចាយទ្វេរនាម M(X)=np, សម្រាប់ការចែកចាយ Poisson M(X)=λ
• ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា D(X)= M 2 ឬ D(X) = M(X 2)− 2 ។ ភាពខុសគ្នា X–M(X) ត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
  សម្រាប់ការចែកចាយទ្វេរនាម D(X)=npq សម្រាប់ការចែកចាយ Poisson D(X)=λ
• គម្លាតការ៉េមធ្យម (គម្លាតស្តង់ដារ) σ(X)=√D(X)។

· សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញនៃស៊េរីបំរែបំរួល រូបភាពក្រាហ្វិករបស់វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ តាមក្រាហ្វិក ស៊េរីបំរែបំរួលអាចត្រូវបានបង្ហាញជាពហុកោណ អ៊ីស្តូក្រាម និងប្រមូលផ្តុំ។

· ពហុកោណចែកចាយ (តាមព្យញ្ជនៈពហុកោណចែកចាយ) ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ខូច ដែលត្រូវបានសាងសង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ តម្លៃនៃគុណលក្ខណៈត្រូវបានគ្រោងនៅលើ abscissa ប្រេកង់ដែលត្រូវគ្នា (ឬប្រេកង់ដែលទាក់ទង) - នៅលើ ordinate ។ ចំណុច (ឬ) ត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ហើយពហុកោណចែកចាយត្រូវបានទទួល។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ពហុកោណត្រូវបានប្រើដើម្បីពណ៌នាស៊េរីបំរែបំរួលដាច់ពីគ្នា ប៉ុន្តែពួកវាក៏អាចប្រើសម្រាប់ស៊េរីចន្លោះពេលផងដែរ។ ក្នុងករណីនេះ ចំនុចដែលត្រូវគ្នានឹងចំនុចកណ្តាលនៃចន្លោះពេលទាំងនេះត្រូវបានគូសនៅលើអ័ក្ស abscissa ។

ឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សាខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាតម្លៃដែលបានប្រើសម្រាប់ការវិភាគអាស្រ័យលើហេតុផលចៃដន្យដូច្នេះអថេរបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ចៃដន្យ. ក្នុងករណីភាគច្រើន ពួកវាកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការសង្កេត ឬការពិសោធន៍ ដែលត្រូវបានធ្វើតារាងក្នុងជួរទីមួយ ដែលតម្លៃសង្កេតផ្សេងៗនៃអថេរ X ត្រូវបានកត់ត្រាទុក ហើយនៅទីពីរ ប្រេកង់ដែលត្រូវគ្នា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលតារាងនេះត្រូវបានគេហៅថា ការចែកចាយអថេរចៃដន្យ Xឬ ស៊េរីបំរែបំរួល. សម្រាប់ស៊េរីបំរែបំរួល យើងបានរកឃើញមធ្យម ការបែកខ្ញែក និងគម្លាតស្តង់ដារ។

បន្តប្រសិនបើតម្លៃរបស់វាបំពេញចន្លោះលេខជាក់លាក់។

អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ដាច់ប្រសិនបើតម្លៃរបស់វាទាំងអស់អាចត្រូវបានរាប់ជាលេខ (ជាពិសេសប្រសិនបើវាត្រូវការចំនួនកំណត់នៃតម្លៃ)។

មានរឿងពីរដែលត្រូវកត់សម្គាល់ លក្ខណៈសម្បត្តិតារាងបែងចែកអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖

លេខទាំងអស់នៅជួរទីពីរនៃតារាងគឺវិជ្ជមាន។

ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងមួយ។

អនុលោមតាមការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើង វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួននៃការសង្កេត ការចែកចាយជាក់ស្តែងខិតទៅជិតទ្រឹស្តីដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់តារាង។

លក្ខណៈសំខាន់នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ដែលយកតម្លៃ , , ... , .with probabilities , , ... , ត្រូវបានគេហៅថាលេខ៖

តម្លៃដែលរំពឹងទុកត្រូវបានគេហៅថាមធ្យមផងដែរ។

លក្ខណៈសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃអថេរចៃដន្យរួមមាន វ៉ារ្យង់ (8) និងគម្លាតស្តង់ដារ (9) ។

កន្លែង៖ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃ X.

. (9)

ការបង្ហាញក្រាហ្វិកនៃព័ត៌មានគឺអាចមើលឃើញច្រើនជាងតារាងមួយ ដូច្នេះសមត្ថភាពនៃសៀវភៅបញ្ជី MS Excel ក្នុងការបង្ហាញទិន្នន័យដែលមាននៅក្នុងពួកវាក្នុងទម្រង់ជាតារាង ក្រាហ្វ និងអ៊ីស្តូក្រាមផ្សេងៗត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់។ ដូច្នេះ បន្ថែមពីលើតារាង ការចែកចាយអថេរចៃដន្យក៏ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើ ពហុកោណចែកចាយ. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ , , ... ត្រូវបានសាងសង់នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ និងតភ្ជាប់ដោយផ្នែកត្រង់។

ដើម្បីទទួលបានចតុកោណកែងចែកចាយដោយប្រើ MS Excel អ្នកត្រូវតែ៖

1. ជ្រើសរើសផ្ទាំង “Insert” ® “Area Chart” នៅលើរបារឧបករណ៍។

2. ធ្វើឱ្យផ្ទៃគំនូសតាងដែលលេចឡើងនៅលើសន្លឹក MS Excel ដោយប្រើប៊ូតុងកណ្ដុរខាងស្ដាំ ហើយប្រើពាក្យបញ្ជា "ជ្រើសរើសទិន្នន័យ" នៅក្នុងម៉ឺនុយបរិបទ។

អង្ករ។ 6. ការជ្រើសរើសប្រភពទិន្នន័យ

ដំបូង យើងកំណត់ជួរទិន្នន័យសម្រាប់តារាង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបញ្ចូលជួរ C6:I6 ទៅក្នុងផ្ទៃសមស្របនៃប្រអប់ "ជ្រើសរើសប្រភពទិន្នន័យ" (វាបង្ហាញតម្លៃប្រេកង់ដែលហៅថា Series1 រូបភព 7)។

អង្ករ។ 7. ការបន្ថែមជួរទី 1

ដើម្បីផ្លាស់ប្តូរឈ្មោះស៊េរី អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសប៊ូតុង ផ្លាស់ប្តូរតំបន់ “ធាតុរឿងព្រេង (ស៊េរី)” (សូមមើលរូបភាពទី 7) ហើយដាក់ឈ្មោះវា។

ដើម្បីបន្ថែមស្លាកអ័ក្ស X អ្នកត្រូវតែប្រើប៊ូតុង "កែសម្រួល" នៅក្នុងតំបន់ "ស្លាកអ័ក្សផ្តេក (ប្រភេទ)" ។
(រូបភាពទី 8) និងចង្អុលបង្ហាញតម្លៃនៃស៊េរី (ជួរ $C$6:$I$6)។

អង្ករ។ 8. ទិដ្ឋភាពចុងក្រោយនៃប្រអប់ "ជ្រើសរើសប្រភពទិន្នន័យ"

ការជ្រើសរើសប៊ូតុងមួយក្នុងប្រអប់ ជ្រើសរើសប្រភពទិន្នន័យ
(រូបភាពទី 8) នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានពហុកោណដែលត្រូវការនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ (រូបភាពទី 9) ។

អង្ករ។ 9. ការចែកចាយពហុកោណនៃអថេរចៃដន្យមួយ។

សូមធ្វើការកែប្រែខ្លះៗចំពោះការរចនានៃព័ត៌មានក្រាហ្វិកលទ្ធផល៖

ចូរបន្ថែមស្លាកសម្រាប់អ័ក្ស X;

តោះកែសម្រួលស្លាកអ័ក្ស Y;

- ចូរបន្ថែមចំណងជើងសម្រាប់ដ្យាក្រាម "ពហុកោណការចែកចាយ"។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះជ្រើសផ្ទាំង "ធ្វើការជាមួយគំនូសតាង" នៅក្នុងតំបន់របារឧបករណ៍ ផ្ទាំង "ប្លង់" និងនៅក្នុងរបារឧបករណ៍ដែលលេចឡើង ប៊ូតុងដែលត្រូវគ្នា៖ "ចំណងជើងគំនូសតាង" "ចំណងជើងអ័ក្ស" (រូបភាព 10) ។

អង្ករ។ 10. ទិដ្ឋភាពចុងក្រោយនៃពហុកោណចែកចាយអថេរចៃដន្យ

ចម្លើយ៖ ពិចារណាអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្ត Xជាមួយនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន។ តម្លៃនីមួយៗគឺអាចធ្វើទៅបានប៉ុន្តែមិនជាក់លាក់និងតម្លៃ Xអាចទទួលយកពួកវានីមួយៗជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។ ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍តម្លៃ Xនឹងយកតម្លៃមួយក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនេះ ពោលគឺ មួយនៃក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នានឹងកើតឡើង៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដោយអក្សរ រជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ដែលត្រូវគ្នា៖

នោះគឺការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃផ្សេងៗអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយតារាងចែកចាយ ដែលក្នុងនោះតម្លៃទាំងអស់ដែលយកដោយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដែលត្រូវគ្នា ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងក្រោម។ ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា (3.1) បង្កើតជាក្រុមពេញលេញ ពោលគឺ ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងមួយ។ ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ មិនអាចបង្ហាញជាទម្រង់តារាងបានទេ ដោយសារចំនួននៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យបែបនេះគឺគ្មានដែនកំណត់ សូម្បីតែក្នុងចន្លោះពេលមានកំណត់ក៏ដោយ។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានតម្លៃជាក់លាក់ណាមួយគឺសូន្យ។ អថេរចៃដន្យនឹងត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងពេញលេញពីទស្សនៈប្រូបាប៊ីលីតេ ប្រសិនបើយើងបញ្ជាក់ការចែកចាយនេះ ពោលគឺយើងបង្ហាញឱ្យច្បាស់នូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ។ ជាមួយនេះ យើងនឹងបង្កើតអ្វីដែលគេហៅថាច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ។ ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ គឺជាទំនាក់ទំនងណាមួយដែលបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ យើងនឹងនិយាយអំពីអថេរចៃដន្យដែលវាជាកម្មវត្ថុនៃច្បាប់ចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទម្រង់ដែលច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្តអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ X.ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការបញ្ជាក់ច្បាប់នេះគឺជាតារាងដែលរាយតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ៖

x ខ្ញុំ	x 1	x 2	× × ×	x ន
ទំ	ទំ 1	ទំ 2	× × ×	ទំ ន

យើងនឹងហៅតារាងបែបនេះថាជាស៊េរីនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X.

អង្ករ។ ៣.១

ដើម្បីផ្តល់ឱ្យស៊េរីការចែកចាយនូវរូបរាងដែលមើលឃើញកាន់តែច្រើន ពួកគេតែងតែងាកទៅរកតំណាងក្រាហ្វិករបស់វា៖ តម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគូសតាមអ័ក្សតម្រៀប។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ចំណុចលទ្ធផលត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយផ្នែកត្រង់។ តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពហុកោណចែកចាយ (រូបភាព 3.1) ។ ពហុកោណចែកចាយ ក៏ដូចជាស៊េរីចែកចាយ កំណត់លក្ខណៈទាំងស្រុងនៃអថេរចៃដន្យ។ វាគឺជាទម្រង់មួយនៃច្បាប់នៃការចែកចាយ។ ជួនកាលការបកស្រាយ "មេកានិច" នៃស៊េរីចែកចាយគឺងាយស្រួល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្រមៃថាម៉ាស់ជាក់លាក់មួយស្មើនឹងការរួបរួមត្រូវបានចែកចាយតាមអ័ក្ស abscissa ដូច្នេះនៅក្នុង នម៉ាស់ត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅចំនុចនីមួយៗរៀងៗខ្លួន . បន្ទាប់មកស៊េរីចែកចាយត្រូវបានបកស្រាយថាជាប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់មួយចំនួនដែលមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស abscissa ។

បទពិសោធន៍ គឺជាការអនុវត្តលក្ខខណ្ឌ និងសកម្មភាពមួយចំនួន ដែលបាតុភូតចៃដន្យដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានអង្កេត។ ការពិសោធន៍អាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈគុណភាព និងបរិមាណ។ បរិមាណចៃដន្យ គឺជាបរិមាណដែលតាមលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អាចទទួលយកតម្លៃមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ហើយវាមិនត្រូវបានដឹងជាមុនថាមួយណា។

អថេរចៃដន្យត្រូវបានតាងជាធម្មតា (X,Y,Z) និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នា (x,y,z)

Discrete គឺជាអថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នាទៅវិញទៅមកដែលអាចប៉ាន់ស្មានលើស។ បរិមាណបន្តដែលតម្លៃដែលអាចធ្វើបានបន្តបំពេញជួរជាក់លាក់មួយ។ ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ គឺជាទំនាក់ទំនងណាមួយដែលបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ ជួរចែកចាយ និងពហុកោណ។ ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃច្បាប់ចែកចាយនៃបរិមាណដាច់ពីគ្នាគឺជាស៊េរីចែកចាយ។ ការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃស៊េរីចែកចាយគឺជាពហុកោណចែកចាយ។

អ្នកក៏អាចស្វែងរកព័ត៌មានដែលអ្នកចាប់អារម្មណ៍នៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រ Otvety.Online ។ ប្រើទម្រង់ស្វែងរក៖

បន្ថែមលើប្រធានបទ 13. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។ ពហុកោណចែកចាយ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយអថេរចៃដន្យ ឧទាហរណ៍៖

1. 13. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់វា។ ពហុកោណចែកចាយ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយអថេរចៃដន្យ។ ឧទាហរណ៍។
2. គំនិតនៃ "អថេរចៃដន្យ" និងការពិពណ៌នារបស់វា។ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងច្បាប់របស់វា (ស៊េរី) នៃការចែកចាយ។ អថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យ។ ឧទាហរណ៍។
3. 14. អថេរចៃដន្យ ប្រភេទរបស់វា។ ច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក (DRV) ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់បង្កើតអថេរចៃដន្យ (SV) ។
4. 16. ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។ លក្ខណៈជាលេខនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ការបែកខ្ញែក និងគម្លាតស្តង់ដារ។
5. ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាលើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងឧទាហរណ៍នៃការបង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ KX, X"1, X + K, XV ដោយផ្អែកលើការចែកចាយអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ X និង Y ។
6. គំនិតនៃអថេរចៃដន្យ។ ច្បាប់នៃការចែកចាយករណីដាច់ដោយឡែក។ បរិមាណ។ ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដោយចៃដន្យ។ បរិមាណ។