នៅក្នុងអត្ថបទនេះ វិធីសាស្រ្តត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ (SLAEs)។ វិធីសាស្រ្តគឺវិភាគ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃពីឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៅទីនោះ។ មិនដូចវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬរូបមន្តរបស់ Cramer នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកក៏អាចធ្វើការជាមួយដំណោះស្រាយដែលមានចំនួនគ្មានកំណត់។ ឬពួកគេមិនមានវាទាល់តែសោះ។
តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian?
ដំបូងយើងត្រូវសរសេរប្រព័ន្ធសមីការរបស់យើងនៅក្នុងវាមើលទៅដូចនេះ។ យកប្រព័ន្ធ៖
មេគុណត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់តារាង ហើយលក្ខខណ្ឌទំនេរត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរដាច់ដោយឡែកនៅខាងស្ដាំ។ ជួរឈរដែលមានសមាជិកដោយឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបំបែកចេញដើម្បីភាពងាយស្រួល ម៉ាទ្រីសដែលរួមបញ្ចូលជួរឈរនេះត្រូវបានហៅថាពង្រីក។
បន្ទាប់មក ម៉ាទ្រីសចម្បងដែលមានមេគុណត្រូវតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ។ នេះគឺជាចំណុចសំខាន់នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ បន្ទាប់ពីឧបាយកលមួយចំនួន ម៉ាទ្រីសគួរតែមើលទៅ ដូច្នេះផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាមានតែសូន្យប៉ុណ្ណោះ៖
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើអ្នកសរសេរម៉ាទ្រីសថ្មីម្តងទៀតជាប្រព័ន្ធសមីការ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថា ជួរចុងក្រោយមានតម្លៃនៃឫសមួយរួចហើយ ដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការខាងលើ ឫសមួយទៀតត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។
នេះគឺជាការពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ក្នុងន័យទូទៅបំផុត។ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើភ្លាមៗប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ? ឬមានច្រើនឥតកំណត់? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរទាំងនេះ និងសំណួរជាច្រើនទៀត ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីគ្នានូវធាតុទាំងអស់ដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។
ម៉ាទ្រីស, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។
មិនមានអត្ថន័យលាក់កំបាំងនៅក្នុងម៉ាទ្រីសទេ។ នេះគ្រាន់តែជាវិធីងាយស្រួលមួយក្នុងការកត់ត្រាទិន្នន័យសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយវា។ សូម្បីតែសិស្សសាលាក៏មិនចាំបាច់ខ្លាចពួកគេដែរ។
ម៉ាទ្រីសតែងតែមានរាងចតុកោណកែងព្រោះវាងាយស្រួលជាង។ សូម្បីតែនៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងចុះមកក្នុងការសាងសង់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ត្រីកោណ ចតុកោណកែងមួយលេចឡើងក្នុងធាតុ ដោយមានតែលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះនៅកន្លែងដែលគ្មានលេខ។ លេខសូន្យប្រហែលជាមិនត្រូវបានសរសេរទេ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានបង្កប់ន័យ។
ម៉ាទ្រីសមានទំហំ។ "ទទឹង" របស់វាគឺជាចំនួនជួរដេក (m) "ប្រវែង" គឺជាចំនួនជួរឈរ (n) ។ បន្ទាប់មកទំហំនៃម៉ាទ្រីស A (អក្សរធំឡាតាំងជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្គាល់ពួកវា) នឹងត្រូវបានតំណាងថាជា A m ×n ។ ប្រសិនបើ m=n នោះម៉ាទ្រីសនេះគឺការ៉េ ហើយ m=n គឺជាលំដាប់របស់វា។ ដូច្នោះហើយ ធាតុណាមួយនៃម៉ាទ្រីស A អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខជួរ និងជួររបស់វា៖ a xy ; x - លេខជួរ, ការផ្លាស់ប្តូរ, y - លេខជួរ, ការផ្លាស់ប្តូរ។
ខមិនមែនជាចំណុចសំខាន់នៃការសម្រេចចិត្តនោះទេ។ ជាគោលការណ៍ ប្រតិបត្តិការទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់ជាមួយសមីការខ្លួនឯង ប៉ុន្តែការសម្គាល់នឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ ហើយវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់ច្រឡំនៅក្នុងវា។
កំណត់
ម៉ាទ្រីសក៏មានកត្តាកំណត់ផងដែរ។ នេះគឺជាលក្ខណៈសំខាន់ណាស់។ មិនចាំបាច់ស្វែងរកអត្ថន័យរបស់វាឥឡូវនេះទេ អ្នកអាចបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានគណនា ហើយបន្ទាប់មកប្រាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសដែលវាកំណត់។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់គឺតាមរយៈអង្កត់ទ្រូង។ អង្កត់ទ្រូងស្រមើលស្រមៃត្រូវបានគូរក្នុងម៉ាទ្រីស; ធាតុដែលមាននៅលើពួកវានីមួយៗត្រូវបានគុណហើយបន្ទាប់មកផលិតផលលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែម: អង្កត់ទ្រូងដែលមានជម្រាលទៅខាងស្តាំ - មានសញ្ញាបូកដោយមានជម្រាលទៅខាងឆ្វេង - មានសញ្ញាដក។
វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាកត្តាកំណត់អាចត្រូវបានគណនាសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសចតុកោណ អ្នកអាចធ្វើដូចខាងក្រោម៖ ជ្រើសរើសតូចបំផុតពីចំនួនជួរដេក និងចំនួនជួរឈរ (សូមឱ្យវាជា k) ហើយបន្ទាប់មកសម្គាល់ជួរឈរ k និង k ដោយចៃដន្យក្នុងម៉ាទ្រីស។ ធាតុនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរឈរ និងជួរដេកដែលបានជ្រើសរើសនឹងបង្កើតម៉ាទ្រីសការ៉េថ្មី។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺជាលេខដែលមិនមែនជាសូន្យនោះ វាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសចតុកោណដើម។
មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian វាមិនឈឺចាប់ក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់នោះទេ។ ប្រសិនបើវាប្រែជាសូន្យ នោះយើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាម៉ាទ្រីសមានទាំងចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬគ្មានទាល់តែសោះ។ ក្នុងករណីដ៏ក្រៀមក្រំបែបនេះ អ្នកត្រូវទៅបន្ថែមទៀត ហើយស្វែងយល់អំពីចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។
ចំណាត់ថ្នាក់ប្រព័ន្ធ
មានរឿងដូចជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ។ នេះគឺជាលំដាប់អតិបរមានៃកត្តាកំណត់មិនសូន្យរបស់វា (ប្រសិនបើយើងចងចាំអំពីអនីតិជនមូលដ្ឋាន យើងអាចនិយាយបានថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស គឺជាលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋាន)។
ដោយផ្អែកលើស្ថានភាពជាមួយនឹងចំណាត់ថ្នាក់ SLAE អាចត្រូវបានបែងចែកជា:
- រួម។ យូនៅក្នុងប្រព័ន្ធរួមគ្នា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង (ដែលមានតែមេគុណ) ស្របពេលជាមួយនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក (ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)។ ប្រព័ន្ធបែបនេះមានដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់តែមួយទេ ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធរួមគ្នាត្រូវបានបែងចែកទៅជា៖
- - ជាក់លាក់- មានដំណោះស្រាយតែមួយ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធមួយចំនួន ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស និងចំនួនមិនស្គាល់ (ឬចំនួនជួរឈរដែលជារឿងដូចគ្នា) គឺស្មើគ្នា។
- - មិនបានកំណត់ -ជាមួយនឹងចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់។
- មិនឆបគ្នា។ យូនៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗ និងពង្រីកមិនស្របគ្នាទេ។ ប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺល្អព្រោះក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណោះស្រាយវាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានទាំងភស្តុតាងដែលមិនច្បាស់លាស់នៃភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធ (ដោយមិនគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសធំ) ឬដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ទូទៅសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ការផ្លាស់ប្តូរបឋម
មុនពេលបន្តដោយផ្ទាល់ទៅការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ អ្នកអាចធ្វើឱ្យវាកាន់តែស្មុគស្មាញ និងងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា។ នេះត្រូវបានសម្រេចតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរបឋម - ដូចជាការអនុវត្តរបស់ពួកគេមិនផ្លាស់ប្តូរចម្លើយចុងក្រោយតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការបំប្លែងបឋមមួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសុពលភាពសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសដែល SLAE បម្រើជាប្រភពប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាបញ្ជីនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ៖
- ការរៀបចំបន្ទាត់ឡើងវិញ។ ជាក់ស្តែង ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃសមីការនៅក្នុងកំណត់ត្រាប្រព័ន្ធ នោះនឹងមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះក៏អាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរផងដែរ កុំភ្លេច ពិតណាស់ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។
- ការគុណធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរដោយមេគុណជាក់លាក់មួយ។ មានប្រយោជន៍ណាស់! វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួនធំនៅក្នុងម៉ាទ្រីស ឬដកលេខសូន្យ។ ការសម្រេចចិត្តជាច្រើនដូចជាធម្មតានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប៉ុន្តែប្រតិបត្តិការបន្ថែមទៀតនឹងកាន់តែងាយស្រួល។ រឿងចំបងគឺថាមេគុណមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។
- ការដកជួរដេកជាមួយនឹងកត្តាសមាមាត្រ។ នេះជាផ្នែកមួយបន្ទាប់ពីកថាខណ្ឌមុន។ ប្រសិនបើជួរពីរ ឬច្រើនក្នុងម៉ាទ្រីសមានមេគុណសមាមាត្រ នោះនៅពេលដែលជួរដេកមួយត្រូវបានគុណ/បែងចែកដោយមេគុណសមាមាត្រនោះ ជួរដេកដូចគ្នាបេះបិទចំនួនពីរ (ឬច្រើនជាងនេះ) ហើយជួរបន្ថែមអាចត្រូវបានយកចេញដោយបន្សល់ទុក។ តែមួយ។
- ការដកបន្ទាត់ទទេ។ ប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរ ជួរដេកមួយត្រូវបានទទួលនៅកន្លែងណាមួយដែលធាតុទាំងអស់ រួមទាំងពាក្យទំនេរគឺសូន្យ នោះជួរដេកបែបនេះអាចត្រូវបានគេហៅថាសូន្យ ហើយបោះចេញពីម៉ាទ្រីស។
- ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ ធាតុនៃមួយទៀត (នៅក្នុងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា) គុណនឹងមេគុណជាក់លាក់មួយ។ ការផ្លាស់ប្តូរដែលមិនច្បាស់លាស់ និងសំខាន់បំផុតនៃការទាំងអស់។ វាគឺមានតម្លៃនៅលើវានៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀត។
ការបន្ថែមខ្សែអក្សរគុណនឹងកត្តាមួយ។
ដើម្បីងាយស្រួលយល់ វាមានតម្លៃបំបែកដំណើរការនេះមួយជំហានម្តងៗ។ ជួរពីរត្រូវបានយកចេញពីម៉ាទ្រីស៖
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b ២
ចូរនិយាយថាអ្នកត្រូវបន្ថែមទីមួយទៅទីពីរគុណនឹងមេគុណ "-2" ។
a" 21 = a 21 + −2 ×a 11
a" 22 = a 22 + −2 ×a 12
a" 2n = a 2n + −2 ×a 1n
បន្ទាប់មកជួរទីពីរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានជំនួសដោយថ្មីមួយហើយជួរទីមួយនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n|b ២
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមេគុណគុណអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលលទ្ធផលនៃការបន្ថែមជួរដេកពីរធាតុមួយនៃជួរថ្មីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ វាអាចទៅរួចក្នុងការទទួលបានសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធមួយដែលនឹងមានមួយដែលមិនសូវស្គាល់។ ហើយប្រសិនបើអ្នកទទួលបានសមីការបែបនេះពីរ នោះប្រតិបត្តិការអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត និងទទួលបានសមីការដែលនឹងមានចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនពីរ។ ហើយប្រសិនបើរាល់ពេលដែលអ្នកបង្វែរមេគុណមួយទៅជាសូន្យសម្រាប់ជួរទាំងអស់ដែលនៅខាងក្រោមជួរដើម នោះអ្នកអាច ដូចជាជណ្តើរ ចុះទៅបាតនៃម៉ាទ្រីស ហើយទទួលបានសមីការជាមួយនឹងលេខមិនស្គាល់មួយ។ នេះត្រូវបានគេហៅថាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។
ជាទូទៅ
សូមឱ្យមានប្រព័ន្ធមួយ។ វាមានសមីការ m និង n ឫសមិនស្គាល់។ អ្នកអាចសរសេរវាដូចខាងក្រោមៈ
ម៉ាទ្រីសចម្បងត្រូវបានចងក្រងពីមេគុណប្រព័ន្ធ។ ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ហើយដើម្បីភាពងាយស្រួល បំបែកដោយបន្ទាត់មួយ។
- ជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានគុណដោយមេគុណ k = (-a 21 /a 11);
- ជួរទីមួយដែលបានកែប្រែ និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានបន្ថែម។
- ជំនួសឱ្យជួរទីពីរ លទ្ធផលនៃការបន្ថែមពីកថាខណ្ឌមុនត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីស។
- ឥឡូវនេះមេគុណទីមួយក្នុងជួរទីពីរថ្មីគឺ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ។
ឥឡូវនេះការផ្លាស់ប្តូរស៊េរីដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត មានតែជួរទីមួយ និងទីបីប៉ុណ្ណោះដែលពាក់ព័ន្ធ។ ដូច្នោះហើយ នៅជំហាននីមួយៗនៃក្បួនដោះស្រាយ ធាតុ 21 ត្រូវបានជំនួសដោយ 31 ។ បន្ទាប់មកអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ 41, ... a m1 ។ លទ្ធផលគឺជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុទីមួយក្នុងជួរដេកគឺសូន្យ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវភ្លេចអំពីបន្ទាត់ទី 1 ហើយអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នាដោយចាប់ផ្តើមពីជួរទីពីរ:
- មេគុណ k = (-a 32 /a 22);
- បន្ទាត់ដែលបានកែប្រែទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ "បច្ចុប្បន្ន";
- លទ្ធផលនៃការបន្ថែមត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងជួរទី 3 ទី 4 និងដូច្នេះនៅលើបន្ទាត់ខណៈពេលដែលទីមួយនិងទីពីរនៅតែមិនមានការផ្លាស់ប្តូរ;
- នៅក្នុងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ធាតុពីរដំបូងគឺស្មើនឹងសូន្យរួចហើយ។
ក្បួនដោះស្រាយត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់មេគុណ k = (-a m,m-1 /a mm) លេចឡើង។ នេះមានន័យថាពេលចុងក្រោយដែលក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានប្រតិបត្តិគឺសម្រាប់សមីការទាបប៉ុណ្ណោះ។ ឥឡូវនេះ ម៉ាទ្រីសមើលទៅដូចជាត្រីកោណ ឬមានរាងជាជំហាន។ នៅក្នុងបន្ទាត់ខាងក្រោមមានសមភាព a mn × x n = b m ។ មេគុណនិងពាក្យសេរីត្រូវបានគេដឹងហើយឫសត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា៖ x n = b m / a mn ។ ឫសលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលដើម្បីស្វែងរក x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ។ ហើយបន្តដោយភាពស្រដៀងគ្នា៖ នៅក្នុងជួរបន្ទាប់នីមួយៗមានឫសថ្មី ហើយដោយបានទៅដល់ "កំពូល" នៃប្រព័ន្ធ អ្នកអាចរកឃើញដំណោះស្រាយជាច្រើន។ វានឹងមានតែមួយ។
នៅពេលដែលគ្មានដំណោះស្រាយ
ប្រសិនបើនៅក្នុងជួរម៉ាទ្រីសមួយ ធាតុទាំងអស់ លើកលែងតែពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរនេះមើលទៅដូចជា 0 = b ។ វាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ហើយចាប់តាំងពីសមីការបែបនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ នោះសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺទទេ ពោលគឺវាខូច។
នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់
វាអាចកើតឡើងដែលថានៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានជួរដេកដែលមានមេគុណធាតុមួយនៃសមីការនិងរយៈពេលទំនេរមួយ។ មានតែបន្ទាត់ដែលនៅពេលសរសេរឡើងវិញនឹងមើលទៅដូចជាសមីការដែលមានអថេរពីរឬច្រើន។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះ ចម្លើយអាចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់នៃដំណោះស្រាយទូទៅ។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច?
អថេរទាំងអស់នៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានបែងចែកទៅជាមូលដ្ឋាន និងឥតគិតថ្លៃ។ មូលដ្ឋានគឺជាអ្នកដែលឈរ "នៅលើគែម" នៃជួរដេកនៅក្នុងម៉ាទ្រីសជំហាន។ នៅសល់គឺឥតគិតថ្លៃ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ អថេរមូលដ្ឋានត្រូវបានសរសេរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួល ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាដំបូងចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចុងក្រោយនៃពួកគេ ដែលពិតប្រាកដមានតែអថេរមូលដ្ឋានមួយដែលនៅសល់ វានៅតែនៅម្ខាង ហើយអ្វីៗផ្សេងទៀតត្រូវបានផ្ទេរទៅម្ខាងទៀត។ នេះត្រូវបានធ្វើសម្រាប់សមីការនីមួយៗដែលមានអថេរមូលដ្ឋានមួយ។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ កន្សោមដែលទទួលបានសម្រាប់វាត្រូវបានជំនួសជំនួសឱ្យអថេរមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺម្តងទៀតកន្សោមដែលមានអថេរមូលដ្ឋានតែមួយ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ម្តងទៀតពីទីនោះ ហើយបន្តរហូតដល់អថេរមូលដ្ឋាននីមួយៗត្រូវបានសរសេរជាកន្សោមជាមួយអថេរឥតគិតថ្លៃ។ នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅរបស់ SLAE ។
អ្នកក៏អាចស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធផងដែរ - ផ្តល់ឱ្យអថេរឥតគិតថ្លៃតម្លៃណាមួយហើយបន្ទាប់មកសម្រាប់ករណីជាក់លាក់នេះគណនាតម្លៃនៃអថេរមូលដ្ឋាន។ មានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ជាច្រើនដែលមិនអាចកំណត់បាន។
ដំណោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់
នេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួលវាជាការប្រសើរក្នុងការបង្កើតម៉ាទ្រីសរបស់វាភ្លាមៗ
វាត្រូវបានគេដឹងថានៅពេលដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian សមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរទីមួយនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរនៅចុងបញ្ចប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះវានឹងមានផលចំណេញច្រើនជាងប្រសិនបើធាតុខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសតូចបំផុត - បន្ទាប់មកធាតុដំបូងនៃជួរដេកដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការនឹងប្រែទៅជាសូន្យ។ នេះមានន័យថានៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានចងក្រងវានឹងមានអត្ថប្រយោជន៍ក្នុងការដាក់ជួរទីពីរជំនួសឱ្យជួរទីមួយ។
ជួរទីពីរ៖ k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k ×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k ×a 12 = −1 + (−3) × 2 = −7
a" 23 = a 23 + k ×a 13 = 1 + (-3) × 4 = −11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = −24
ជួរទីបី៖ k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k ×a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k ×a 12 = 1 + (-5) × 2 = −9
a" 3 3 = a 33 + k ×a 13 = 2 + (-5) × 4 = −18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = −57
ឥឡូវនេះ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ អ្នកត្រូវសរសេរម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងលទ្ធផលកម្រិតមធ្យមនៃការផ្លាស់ប្តូរ។
ជាក់ស្តែង ម៉ាទ្រីសបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ការយល់ឃើញដោយប្រើប្រតិបត្តិការជាក់លាក់។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចដក "ដក" ទាំងអស់ចេញពីជួរទីពីរដោយគុណធាតុនីមួយៗដោយ "-1" ។
វាក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរថានៅក្នុងជួរទីបីធាតុទាំងអស់គឺគុណនឹងបី។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចកាត់ខ្សែអក្សរដោយលេខនេះ ដោយគុណធាតុនីមួយៗដោយ "-1/3" (ដក - ក្នុងពេលតែមួយ ដើម្បីលុបតម្លៃអវិជ្ជមាន)។
មើលទៅស្អាតជាង។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវចាកចេញពីបន្ទាត់ទីមួយតែម្នាក់ឯងហើយធ្វើការជាមួយទីពីរនិងទីបី។ ភារកិច្ចគឺត្រូវបន្ថែមបន្ទាត់ទីពីរទៅជួរទីបី គុណនឹងមេគុណដែលធាតុ 32 ក្លាយជាស្មើសូន្យ។
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលបំប្លែងខ្លះ ចម្លើយមិនប្រែទៅជាចំនួនគត់ វាត្រូវបានណែនាំអោយរក្សាភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលត្រូវទុក។ វា "ដូចជា" ក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតា ហើយបានតែពេលនោះទេ ពេលទទួលបានចម្លើយ សម្រេចថាត្រូវបង្គត់ និងបំប្លែងទៅទម្រង់ថតផ្សេងទៀត)
a" 32 = a 32 + k ×a 22 = 3 + (−3/7) × 7 = 3 + (−3) = 0
a" 33 = a 33 + k ×a 23 = 6 + (−3/7) × 11 = −9/7
b" 3 = b 3 + k ×b 2 = 19 + (−3/7) × 24 = −61/7
ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរម្តងទៀតជាមួយនឹងតម្លៃថ្មី។
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញម៉ាទ្រីសលទ្ធផលមានទម្រង់ជំហានរួចហើយ។ ដូច្នេះការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀតដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian មិនត្រូវបានទាមទារទេ។ អ្វីដែលអ្នកអាចធ្វើបាននៅទីនេះគឺដកមេគុណរួម "-1/7" ចេញពីជួរទីបី។
ឥឡូវនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រស់ស្អាត។ អ្វីដែលនៅសល់ត្រូវធ្វើគឺសរសេរម៉ាទ្រីសម្តងទៀតក្នុងទម្រង់នៃប្រព័ន្ធសមីការ ហើយគណនាឫស
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
ក្បួនដោះស្រាយដែលឫសនឹងត្រូវបានរកឃើញឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថា ចលនាបញ្ច្រាសនៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ សមីការ (៣) មានតម្លៃ z៖
y = (24 − 11 × (61/9))/7 = −65/9
ហើយសមីការទីមួយអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញ x:
x = (12 − 4z − 2y)/1 = 12 − 4 × (61/9) - 2 × (−65/9) = -6/9 = −2/3
យើងមានសិទ្ធិហៅការរួមប្រព័ន្ធបែបនេះ ហើយថែមទាំងកំណត់ថាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ចម្លើយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
x 1 = −2/3, y = −65/9, z = 61/9 ។
ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធមិនច្បាស់លាស់
វ៉ារ្យ៉ង់នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានវិភាគឥឡូវនេះវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណាករណីប្រសិនបើប្រព័ន្ធនេះមិនច្បាស់លាស់ នោះគឺជាដំណោះស្រាយជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់សម្រាប់វា។
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 − 3x 5 = −2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 − x 5 = 12 (4)
រូបរាងនៃប្រព័ន្ធគឺគួរឱ្យព្រួយបារម្ភរួចទៅហើយព្រោះចំនួននៃមិនស្គាល់គឺ n = 5 ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសគឺពិតជាតិចជាងចំនួននេះរួចទៅហើយព្រោះចំនួនជួរដេកគឺ m = 4 ពោលគឺ។ លំដាប់ធំបំផុតនៃ determinant-square គឺ 4. នេះមានន័យថា មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយអ្នកត្រូវរកមើលរូបរាងទូទៅរបស់វា។ វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់សមីការលីនេអ៊ែរអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើដូចនេះ។
ទីមួយ ដូចធម្មតា ម៉ាទ្រីសពង្រីកត្រូវបានចងក្រង។
ជួរទីពីរ៖ មេគុណ k = (-a 21 /a 11) = -3 ។ នៅក្នុងជួរទីបី ធាតុទីមួយគឺមុនពេលការបំប្លែង ដូច្នេះអ្នកមិនចាំបាច់ប៉ះអ្វីនោះទេ អ្នកត្រូវទុកវាឱ្យដូចដើម។ ជួរទីបួន៖ k = (-a 4 1 /a 11) = −5
ដោយការគុណធាតុនៃជួរទីមួយដោយមេគុណនីមួយៗនៅក្នុងវេន និងបន្ថែមពួកវាទៅជួរដែលត្រូវការ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញជួរទីពីរ ទីបី និងទីបួនមានធាតុសមាមាត្រទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ទីពីរ និងទីបួន ជាទូទៅដូចគ្នាបេះបិទ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានយកចេញភ្លាមៗ ហើយនៅសល់មួយអាចត្រូវបានគុណដោយមេគុណ "-1" និងទទួលបានបន្ទាត់លេខ 3។ ហើយម្តងទៀត ចេញពីបន្ទាត់ដូចគ្នាទាំងពីរ ទុកមួយ។
លទ្ធផលគឺម៉ាទ្រីសដូចនេះ។ ខណៈពេលដែលប្រព័ន្ធមិនទាន់ត្រូវបានសរសេរនៅឡើយ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់អថេរមូលដ្ឋាននៅទីនេះ - អ្នកដែលឈរនៅមេគុណ 11 = 1 និង 22 = 1 និងឥតគិតថ្លៃ - នៅសល់ទាំងអស់។
នៅក្នុងសមីការទីពីរមានអថេរមូលដ្ឋានតែមួយគត់ - x 2 ។ នេះមានន័យថាវាអាចត្រូវបានបង្ហាញពីទីនោះដោយសរសេរវាតាមរយៈអថេរ x 3 , x 4 , x 5 ដែលមិនគិតថ្លៃ។
យើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការទីមួយ។
លទ្ធផលគឺជាសមីការដែលអថេរមូលដ្ឋានតែមួយគត់គឺ x 1 ។ ចូរធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹង x 2 ។
អថេរមូលដ្ឋានទាំងអស់ ដែលមានពីរ ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃចំនួនឥតគិតថ្លៃចំនួនបី ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ទូទៅ។
អ្នកក៏អាចបញ្ជាក់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃប្រព័ន្ធ។ សម្រាប់ករណីបែបនេះ សូន្យជាធម្មតាត្រូវបានជ្រើសរើសជាតម្លៃសម្រាប់អថេរឥតគិតថ្លៃ។ បន្ទាប់មកចម្លើយនឹងមានៈ
16, 23, 0, 0, 0.
ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធមិនសហការ
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នានៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺលឿនបំផុត។ វាបញ្ចប់ភ្លាមៗនៅពេលដែលនៅដំណាក់កាលណាមួយ សមីការត្រូវបានទទួល ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។ នោះគឺដំណាក់កាលនៃការគណនាឫសដែលវែងឆ្ងាយនិងធុញទ្រាន់ត្រូវបានលុបចោល។ ប្រព័ន្ធខាងក្រោមត្រូវបានពិចារណា៖
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = −2 (2)
4x + y − 3z = 5 (3)
ដូចធម្មតា ម៉ាទ្រីសត្រូវបានចងក្រង៖
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
ហើយវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖
k 1 = −2k 2 = −4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទីមួយ បន្ទាត់ទីបីមានសមីការនៃទម្រង់
ដោយគ្មានដំណោះស្រាយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ហើយចម្លើយនឹងជាសំណុំទទេ។
គុណសម្បត្តិនិងគុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ
ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រណាមួយដើម្បីដោះស្រាយ SLAEs នៅលើក្រដាសដោយប្រើប៊ិច នោះវិធីសាស្ត្រដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះមើលទៅទាក់ទាញបំផុត។ វាពិបាកជាងក្នុងការយល់ច្រលំនៅក្នុងការបំប្លែងបឋមជាជាងប្រសិនបើអ្នកត្រូវស្វែងរកដោយខ្លួនឯងនូវកត្តាកំណត់ ឬម៉ាទ្រីសច្រាសល្បិចមួយចំនួន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកប្រើកម្មវិធីសម្រាប់ធ្វើការជាមួយទិន្នន័យនៃប្រភេទនេះ ឧទាហរណ៍ សៀវភៅបញ្ជី នោះវាបង្ហាញថាកម្មវិធីបែបនេះមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រចម្បងនៃម៉ាទ្រីសរួចហើយ - កត្តាកំណត់ អនីតិជន ច្រាស ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកប្រាកដថាម៉ាស៊ីននឹងគណនាតម្លៃទាំងនេះដោយខ្លួនឯង ហើយនឹងមិនធ្វើឱ្យមានកំហុស វាជាការគួរប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬរូបមន្តរបស់ Cramer ព្រោះការប្រើប្រាស់របស់វាចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់ដោយការគណនាកត្តាកំណត់ និងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ការដាក់ពាក្យ
ដោយសារដំណោះស្រាយ Gaussian គឺជាក្បួនដោះស្រាយ ហើយម៉ាទ្រីសពិតជាអារេពីរវិមាត្រ វាអាចប្រើក្នុងការសរសេរកម្មវិធី។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីអត្ថបទដាក់ខ្លួនវាថាជាមគ្គុទ្ទេសក៍ "សម្រាប់អត់ចេះសោះ" វាគួរតែត្រូវបាននិយាយថាកន្លែងដែលងាយស្រួលបំផុតក្នុងការដាក់វិធីសាស្រ្តគឺសៀវភៅបញ្ជីឧទាហរណ៍ Excel ។ ជាថ្មីម្តងទៀត SLAE ណាមួយដែលបានបញ្ចូលទៅក្នុងតារាងក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស នឹងត្រូវបានចាត់ទុកដោយ Excel ជាអារេពីរវិមាត្រ។ ហើយសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយពួកគេមានពាក្យបញ្ជាល្អ ៗ ជាច្រើន៖ ការបន្ថែម (អ្នកអាចបន្ថែមម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នាប៉ុណ្ណោះ!) ការគុណដោយលេខគុណនៃម៉ាទ្រីស (ក៏មានការរឹតបន្តឹងជាក់លាក់) ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនិងប្តូរហើយសំខាន់បំផុត , ការគណនាកត្តាកំណត់។ ប្រសិនបើកិច្ចការដែលប្រើពេលនេះត្រូវបានជំនួសដោយពាក្យបញ្ជាតែមួយ វាអាចកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសបានលឿនជាងមុន ហើយដូច្នេះបង្កើតភាពឆបគ្នា ឬភាពមិនស៊ីគ្នារបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ (ស្វែងរកតម្លៃបែបនេះនៃ xi មិនស្គាល់ដែលបង្វែរសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាព)។
យើងដឹងថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាច៖
1) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនមែនសន្លាក់).
2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។
3) មានដំណោះស្រាយតែមួយ។
ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសមិនសមស្របទេ ក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្ត Gauss – ឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងអាចប្រើប្រាស់បានសម្រាប់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ, ដែល ក្នុងគ្រប់ករណីនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ! ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តខ្លួនវាដំណើរការដូចគ្នានៅក្នុងករណីទាំងបី។ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រ Cramer និង matrix ត្រូវការចំណេះដឹងអំពីកត្តាកំណត់ នោះដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការចំណេះដឹងអំពីប្រតិបត្តិការនព្វន្ធប៉ុណ្ណោះ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចចូលប្រើបានសូម្បីតែសិស្សសាលាបឋមសិក្សា។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ( នេះគឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងតែនៃមេគុណនៃការមិនស្គាល់ បូកនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
1) ជាមួយ trokiម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញនៅកន្លែងខ្លះ។
2) ប្រសិនបើសមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរដេកលេចឡើង (ឬមាន) នៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះអ្នកគួរតែ លុបពី ម៉ាទ្រីស ជួរ ទាំង នេះ លើក លែង តែ មួយ ។
3) ប្រសិនបើជួរសូន្យលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាគួរតែជាផងដែរ។ លុប.
4) ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអាចជា គុណ (ចែក)ទៅលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ។
5) ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។
នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត Gauss ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss មានពីរដំណាក់កាល៖
- "ការផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់" - ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋមនាំយកម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរទៅជាទម្រង់ជំហាន "ត្រីកោណ"៖ ធាតុនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងធំគឺស្មើនឹងសូន្យ (ការផ្លាស់ទីពីលើចុះក្រោម) ។ ឧទាហរណ៍ចំពោះប្រភេទនេះ៖
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ
1) ចូរយើងពិចារណាសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមេគុណសម្រាប់ x 1 គឺស្មើនឹង K. ទីពីរ ទីបី។ល។ យើងបំប្លែងសមីការដូចខាងក្រោម៖ យើងបែងចែកសមីការនីមួយៗ (មេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ រួមទាំងពាក្យទំនេរ) ដោយមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ x 1 ដែលមាននៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយគុណនឹង K។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងដកលេខទីមួយចេញពី សមីការទីពីរ (មេគុណមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃ)។ សម្រាប់ x 1 ក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបានមេគុណ 0។ ពីសមីការបំប្លែងទីបី យើងដកសមីការទីមួយរហូតដល់សមីការទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយ សម្រាប់ x 1 ដែលមិនស្គាល់មានមេគុណ 0 ។
2) ចូរយើងបន្តទៅសមីការបន្ទាប់។ អនុញ្ញាតឱ្យនេះជាសមីការទីពីរ ហើយមេគុណសម្រាប់ x 2 ស្មើនឹង M. យើងបន្តជាមួយសមីការ "ទាប" ទាំងអស់ដូចដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ដូច្នេះ "ក្រោម" x 2 ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទាំងអស់នឹងមានសូន្យ។
3) បន្តទៅសមីការបន្ទាប់ ហើយបន្តរហូតដល់មួយចុងក្រោយមិនស្គាល់ ហើយពាក្យសេរីដែលបានបំប្លែងនៅតែមាន។
- "ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស" នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ចលនា "បាតឡើងលើ") ។
ពីសមីការ "ទាប" ចុងក្រោយយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដំបូងមួយ - មិនស្គាល់ x n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការបឋម A * x n = B ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ x 3 = 4 ។ យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការបន្ទាប់ "ខាងលើ" ហើយដោះស្រាយវាដោយគោរពទៅនឹងមិនស្គាល់បន្ទាប់។ ឧទាហរណ៍ x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. ហើយបន្តរហូតដល់យើងរកឃើញទាំងអស់ដែលមិនស្គាល់។
ឧទាហរណ៍។
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដូចដែលអ្នកនិពន្ធខ្លះណែនាំ៖
ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖
យើងមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ យើងគួរតែមានមួយនៅទីនោះ។ បញ្ហាគឺថាមិនមានឯកតានៅក្នុងជួរឈរទីមួយទាល់តែសោះដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ តោះធ្វើដូចនេះ៖
. ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1 ។ នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយបន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើមាន "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងណាស់។ អ្នកណាដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើសកម្មភាពបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ –1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។
ជំហានទី 2 . ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។
ជំហានទី 3 . ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃខ្សែទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដែរ ហើយវាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅកន្លែងទីពីរ ដូច្នេះនៅលើ "ជំហាន" ទីពីរ យើងមានឯកតាដែលត្រូវការ។
ជំហានទី 4 . ជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង 2 ។
ជំហានទី 5 . ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។
សញ្ញាដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (កម្រជាងនេះទៅទៀតគឺជាការវាយអក្សរខុស) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់"។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជា (0 0 11 |23) ខាងក្រោម ហើយតាមនោះ 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងអំឡុងពេលបឋមសិក្សា។ ការផ្លាស់ប្តូរ។
ចូរធ្វើបញ្ច្រាស; ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នក ដំណើរការពីបាតឡើង។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ លទ្ធផលគឺជាអំណោយមួយ៖
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1 ដូច្នេះ x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
ចម្លើយ៖ x 1 = −1, x 2 = 3, x 3 = 1 ។
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង។ យើងទទួលបាន
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
ចែកសមីការទីពីរដោយ 5 និងទីបីដោយ 3 ។
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
គុណសមីការទីពីរ និងទីបីដោយ 4 យើងទទួលបាន៖
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមាន៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
ចែកសមីការទីបីដោយ 0.64៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
គុណសមីការទីបីដោយ 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
ដកទីពីរចេញពីសមីការទីបី យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសពង្រីក "ជំហាន"៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ដូច្នេះ ដោយសារកំហុសបានប្រមូលផ្តុំកំឡុងពេលគណនា យើងទទួលបាន x 3 = 0.96 ឬប្រហែល 1។
x 2 = 3 និង x 1 = −1 ។
ដោយការដោះស្រាយតាមវិធីនេះ អ្នកនឹងមិនដែលច្រឡំក្នុងការគណនាទេ ហើយទោះបីជាមានកំហុសក្នុងការគណនាក៏ដោយ អ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផល។
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺងាយស្រួលក្នុងការសរសេរកម្មវិធី ហើយមិនគិតពីលក្ខណៈជាក់លាក់នៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នោះទេ ព្រោះក្នុងការអនុវត្ត (ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច និងបច្ចេកទេស) ត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយមេគុណដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។
ខ្ញុំសូមជូនពរឱ្យអ្នកទទួលបានជោគជ័យ! ជួបគ្នាក្នុងថ្នាក់! គ្រូបង្រៀន Dmitry Aystrakhanov ។
គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 16-18 មក គណិតវិទូបានចាប់ផ្តើមសិក្សាមុខងារយ៉ាងខ្លាំងក្លា ដោយសារអ្វីដែលជីវិតរបស់យើងបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងច្រើន។ បច្ចេកវិជ្ជាកុំព្យូទ័រនឹងមិនមានទេបើគ្មានចំណេះដឹងនេះ។ គោលគំនិត ទ្រឹស្តីបទ និងបច្ចេកទេសដំណោះស្រាយផ្សេងៗត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ សមីការលីនេអ៊ែរ និងមុខងារ។ វិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសជាសកល និងសមហេតុផលសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេគឺវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ម៉ាទ្រីស, ចំណាត់ថ្នាក់របស់ពួកគេ, កត្តាកំណត់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចត្រូវបានគណនាដោយមិនប្រើប្រតិបត្តិការស្មុគស្មាញ។
តើអ្វីទៅជា SLAU
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានគំនិតនៃ SLAE - ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ តើនាងដូចអ្វី? នេះគឺជាសំណុំនៃសមីការ m ជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនស្គាល់ដែលចង់បាន ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងជា x, y, z ឬ x 1, x 2 ... x n ឬនិមិត្តសញ្ញាផ្សេងទៀត។ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian មានន័យថាការស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមានចំនួនមិនស្គាល់ និងសមីការដូចគ្នា នោះគេហៅថាប្រព័ន្ធលំដាប់លេខ។
វិធីសាស្រ្តដ៏ពេញនិយមបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAEs
នៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំនៃការអប់រំមធ្យមសិក្សាវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានសិក្សា។ ភាគច្រើនទាំងនេះគឺជាសមីការសាមញ្ញដែលមានពីរមិនស្គាល់ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រដែលមានស្រាប់សម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកវានឹងមិនចំណាយពេលច្រើនទេ។ នេះអាចដូចជាវិធីសាស្រ្តជំនួសមួយ នៅពេលដែលមួយទៀតមកពីសមីការមួយ ហើយជំនួសទៅជាសមីការដើម។ ឬវិធីសាស្រ្តនៃការដកនិងបូកតាមកាលកំណត់។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានចាត់ទុកថាងាយស្រួលបំផុត និងជាសកលបំផុត។ វាធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ណាមួយ។ ហេតុអ្វីបានជាបច្ចេកទេសពិសេសនេះចាត់ទុកថាសមហេតុផល? វាសាមញ្ញ។ រឿងល្អអំពីវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសគឺថាវាមិនតម្រូវឱ្យមានការសរសេរឡើងវិញនូវនិមិត្តសញ្ញាដែលមិនចាំបាច់ច្រើនដងដោយមិនស្គាល់វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការធ្វើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើមេគុណ - ហើយអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលគួរឱ្យទុកចិត្ត។
តើ SLAEs ប្រើក្នុងការអនុវត្តនៅឯណា?
ដំណោះស្រាយចំពោះ SLAEs គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ។ នៅក្នុងយុគសម័យកុំព្យូទ័របច្ចេកវិទ្យាខ្ពស់របស់យើង មនុស្សដែលមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍ហ្គេម និងកម្មវិធីផ្សេងទៀតត្រូវដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធបែបនេះ អ្វីដែលពួកគេតំណាងឱ្យ និងរបៀបពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលលទ្ធផល។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ អ្នកសរសេរកម្មវិធីបង្កើតកម្មវិធីគណនាពិជគណិតលីនេអ៊ែរពិសេស ដែលរួមបញ្ចូលប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរផងដែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាដំណោះស្រាយដែលមានស្រាប់ទាំងអស់។ រូបមន្ត និងបច្ចេកទេសសាមញ្ញផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពឆបគ្នា SLAU
ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចដោះស្រាយបានលុះត្រាតែវាឆបគ្នា។ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់ ចូរយើងតំណាងឱ្យ SLAE ក្នុងទម្រង់ Ax=b ។ វាមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើ rang(A) ស្មើនឹង rang(A,b)។ ក្នុងករណីនេះ (A,b) គឺជាម៉ាទ្រីសទម្រង់បន្ថែមដែលអាចទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយសរសេរវាឡើងវិញជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ វាប្រែថាការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺងាយស្រួលណាស់។
ប្រហែលជានិមិត្តសញ្ញាខ្លះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងទេ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវពិចារណាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយឧទាហរណ៍។ ឧបមាថាមានប្រព័ន្ធ៖ x+y=1; 2x-3y=6 ។ វាមានសមីការតែពីរប៉ុណ្ណោះ ដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់។ ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វាស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក។ តើឋានៈជាអ្វី? នេះគឺជាចំនួនបន្ទាត់ឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 2 Matrix A នឹងមានមេគុណដែលមានទីតាំងនៅជិតមិនស្គាល់ ហើយមេគុណដែលស្ថិតនៅខាងក្រោយសញ្ញា “=” ក៏សមនឹងម៉ាទ្រីសពង្រីកផងដែរ។
ហេតុអ្វីបានជា SLAEs អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស?
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពត្រូវគ្នានេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian cascade អ្នកអាចដោះស្រាយម៉ាទ្រីស និងទទួលបានចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានតែមួយសម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងមូល។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសធម្មតាគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីករបស់វា ប៉ុន្តែតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានចំនួនចម្លើយគ្មានកំណត់។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីស
មុននឹងបន្តទៅការដោះស្រាយម៉ាទ្រីស អ្នកត្រូវដឹងថាតើសកម្មភាពអ្វីខ្លះដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើធាតុរបស់វា។ មានការផ្លាស់ប្តូរបឋមជាច្រើន៖
- ដោយការសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវា អ្នកអាចគុណធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីដោយមេគុណដូចគ្នា។
- ដើម្បីបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical អ្នកអាចប្តូរជួរដេកស្របគ្នាពីរ។ ទម្រង់ Canonical បង្កប់ន័យថាធាតុម៉ាទ្រីសទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងធំក្លាយជាធាតុមួយ ហើយធាតុដែលនៅសល់ក្លាយជាសូន្យ។
- ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលនៃម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។
វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss
ខ្លឹមសារនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងសមីការមិនដូចគ្នា ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺដើម្បីលុបបំបាត់បន្តិចម្តងៗនូវអ្វីដែលមិនស្គាល់។ ចូរនិយាយថាយើងមានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលក្នុងនោះមានពីរមិនស្គាល់។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ សមីការត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរមេគុណដែលនៅជិតមិនស្គាល់នីមួយៗក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ អ្នកនឹងត្រូវសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម។ ប្រសិនបើសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការមានចំនួនមិនស្គាល់តិចជាង នោះ "0" ត្រូវតែដាក់ជំនួសធាតុដែលបាត់។ វិធីសាស្រ្តបំប្លែងដែលគេស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីស៖ គុណ ចែកដោយលេខ បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីទៅគ្នាទៅវិញទៅមក និងផ្សេងទៀត។ វាប្រែថានៅក្នុងជួរនីមួយៗវាចាំបាច់ក្នុងការទុកអថេរមួយដែលមានតម្លៃ "1" នៅសល់គួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅសូន្យ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងច្បាស់លាស់ជាងនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 2x2
ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងយកប្រព័ន្ធសាមញ្ញនៃសមីការពិជគណិត ដែលក្នុងនោះនឹងមាន 2 មិនស្គាល់។
ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញទៅក្នុងម៉ាទ្រីសពង្រីក។
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះ មានតែប្រតិបត្តិការពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទាមទារ។ យើងត្រូវនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ដូច្នេះមានមួយនៅតាមបណ្តោយអង្កត់ទ្រូងមេ។ ដូច្នេះ ការផ្ទេរពីទម្រង់ម៉ាទ្រីសត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធវិញ យើងទទួលបានសមីការ៖ 1x+0y=b1 និង 0x+1y=b2 ដែល b1 និង b2 គឺជាចម្លើយលទ្ធផលនៅក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយ។
- សកម្មភាពទីមួយនៅពេលដោះស្រាយម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនឹងមានដូចនេះ៖ ជួរទីមួយត្រូវតែគុណនឹង -7 ហើយបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នាទៅជួរទីពីរដើម្បីកម្ចាត់មួយដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរ។
- ចាប់តាំងពីការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ពាក់ព័ន្ធនឹងការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical នោះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នាជាមួយនឹងសមីការទីមួយ ហើយដកអថេរទីពីរចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដកជួរទីពីរពីទីមួយហើយទទួលបានចម្លើយដែលត្រូវការ - ដំណោះស្រាយនៃ SLAE ។ ឬដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប យើងគុណជួរទីពីរដោយកត្តានៃ -1 ហើយបន្ថែមធាតុនៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ វាជារឿងដូចគ្នា។
ដូចដែលយើងអាចមើលឃើញ ប្រព័ន្ធរបស់យើងត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។ យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖ x=-5, y=7 ។
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ 3x3 SLAE
ចូរសន្មតថាយើងមានប្រព័ន្ធស្មុគស្មាញនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian ធ្វើឱ្យវាអាចគណនាចម្លើយបាន សូម្បីតែប្រព័ន្ធដែលមើលទៅហាក់ដូចជាមានការភ័ន្តច្រឡំបំផុត។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងវិធីសាស្ត្រគណនា អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាមួយនឹងចំនួនបីដែលមិនស្គាល់។
ដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន យើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសពង្រីក ហើយចាប់ផ្តើមនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical របស់វា។
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពច្រើនជាងក្នុងឧទាហរណ៍មុន។
- ដំបូងអ្នកត្រូវបង្កើតជួរឈរទីមួយជាធាតុឯកតា ហើយសូន្យនៅសល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណសមីការទីមួយដោយ -1 ហើយបន្ថែមសមីការទីពីរទៅវា។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការចងចាំថាយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វា ហើយទីពីរនៅក្នុងទម្រង់ដែលបានកែប្រែ។
- បន្ទាប់មក យើងដកនេះដែលមិនស្គាល់ដំបូងចេញពីសមីការទីបី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណធាតុនៃជួរទីមួយដោយ -2 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី។ ឥឡូវនេះបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានសរសេរឡើងវិញនៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់ពួកគេហើយទីបី - ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីលទ្ធផលយើងទទួលបានទីមួយនៅដើមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសនិងសូន្យដែលនៅសល់។ ជំហានពីរបីទៀត ហើយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយភាពជឿជាក់។
- ឥឡូវអ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការលើធាតុផ្សេងទៀតនៃជួរដេក។ សកម្មភាពទីបី និងទីបួនអាចបញ្ចូលគ្នាជាមួយ។ យើងត្រូវបែងចែកជួរទីពីរ និងទីបីដោយ -1 ដើម្បីកម្ចាត់ដកនៅលើអង្កត់ទ្រូង។ យើងបាននាំយកខ្សែទីបីទៅទម្រង់តម្រូវការរួចហើយ។
- បន្ទាប់យើងនាំយកខ្សែទីពីរទៅជាទម្រង់ Canonical ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណធាតុនៃជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមពួកវាទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស។ ពីលទ្ធផលវាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ទីពីរក៏ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ។ វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការមួយចំនួនទៀត និងដកមេគុណនៃមិនស្គាល់ចេញពីជួរទីមួយ។
- ដើម្បីធ្វើឱ្យ 0 ពីធាតុទីពីរនៃជួរដេកមួយ អ្នកត្រូវគុណជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីមួយ។
- ជំហានសម្រេចចិត្តបន្ទាប់គឺការបន្ថែមធាតុចាំបាច់នៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ វិធីនេះយើងទទួលបានទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីស ហើយតាមនោះ ចម្លើយ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញណាស់។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 4x4 នៃសមីការ
ប្រព័ន្ធសមីការស្មុគ្រស្មាញមួយចំនួនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយប្រើកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ចូលមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ទៅក្នុងក្រឡាទទេដែលមានស្រាប់ ហើយកម្មវិធីខ្លួនវានឹងគណនាជាជំហានៗនូវលទ្ធផលដែលត្រូវការ ដោយពណ៌នាលម្អិតអំពីសកម្មភាពនីមួយៗ។
ខាងក្រោមនេះគឺជាការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ដោះស្រាយឧទាហរណ៍បែបនេះ។
នៅក្នុងជំហានដំបូង មេគុណឥតគិតថ្លៃ និងលេខសម្រាប់មិនស្គាល់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងក្រឡាទទេ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសពង្រីកដូចគ្នាដែលយើងសរសេរដោយដៃ។
ហើយប្រតិបត្តិការនព្វន្ធចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកទៅជាទម្រង់ Canonical របស់វា។ វាចាំបាច់ក្នុងការយល់ថាចម្លើយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការមិនតែងតែជាចំនួនគត់នោះទេ។ ពេលខ្លះដំណោះស្រាយអាចមកពីលេខប្រភាគ។
ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ
វិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ផ្តល់សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ដើម្បីរកមើលថាតើមេគុណត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសលទ្ធផលទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវតែផ្គូផ្គងផ្នែកខាងស្តាំនៅពីក្រោយសញ្ញាស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រូវគ្នា នោះអ្នកត្រូវគណនាប្រព័ន្ធឡើងវិញ ឬព្យាយាមអនុវត្តទៅវានូវវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតនៃការដោះស្រាយ SLAEs ដែលស្គាល់អ្នក ដូចជាការជំនួស ឬការដកតាមកាលកំណត់ និងការបូកបន្ថែម។ យ៉ាងណាមិញ គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលមានវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាយ៉ាងច្រើន ប៉ុន្តែត្រូវចាំថា លទ្ធផលគួរតែដូចគ្នាជានិច្ច មិនថាអ្នកបានប្រើវិធីដោះស្រាយបែបណានោះទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss៖ កំហុសទូទៅបំផុតនៅពេលដោះស្រាយ SLAEs
នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការ កំហុសភាគច្រើនកើតឡើងដូចជាការផ្ទេរមេគុណមិនត្រឹមត្រូវទៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ មានប្រព័ន្ធដែលមិនស្គាល់មួយចំនួនត្រូវបានបាត់ពីសមីការមួយ បន្ទាប់មក នៅពេលផ្ទេរទិន្នន័យទៅម៉ាទ្រីសបន្ថែម ពួកគេអាចបាត់បង់។ ជាលទ្ធផលនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធនេះ លទ្ធផលអាចនឹងមិនឆ្លើយតបទៅនឹងការពិតនោះទេ។
កំហុសសំខាន់មួយទៀត អាចជាការសរសេរមិនត្រឹមត្រូវ លទ្ធផលចុងក្រោយ។ វាចាំបាច់ក្នុងការយល់យ៉ាងច្បាស់ថាមេគុណទីមួយនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងមិនស្គាល់ដំបូងពីប្រព័ន្ធទីពីរ - ទៅទីពីរហើយដូច្នេះនៅលើ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss ពិពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ សូមអរគុណដល់វាវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការចាំបាច់និងស្វែងរកលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ។ លើសពីនេះទៀតនេះគឺជាឧបករណ៍សកលសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានចំពោះសមីការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ ប្រហែលជានោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយ SLAEs ។
លោក Carl Friedrich Gauss ដែលជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុត ស្ទាក់ស្ទើរអស់រយៈពេលជាយូរ ដោយជ្រើសរើសរវាងទស្សនវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា។ ប្រហែលជាវាច្បាស់ណាស់ផ្នត់គំនិតនេះដែលអនុញ្ញាតឱ្យគាត់បង្កើត "កេរដំណែល" គួរឱ្យកត់សម្គាល់ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រពិភពលោក។ ជាពិសេស តាមរយៈការបង្កើត "វិធីសាស្ត្រ Gauss"...
អស់រយៈពេលជិត 4 ឆ្នាំមកហើយ អត្ថបទនៅលើគេហទំព័រនេះទាក់ទងនឹងការអប់រំនៅសាលា ជាចម្បងពីទស្សនៈនៃទស្សនវិជ្ជា គោលការណ៍នៃការយល់ដឹង (ខុស) ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងគំនិតរបស់កុមារ។ ពេលវេលានឹងមកដល់ហើយ សម្រាប់ភាពជាក់លាក់ ឧទាហរណ៍ និងវិធីសាស្រ្ត... ខ្ញុំជឿថា នេះពិតជាវិធីសាស្រ្តដែលធ្លាប់ស្គាល់ យល់ច្រលំ និង សំខាន់តំបន់នៃជីវិតផ្តល់លទ្ធផលល្អប្រសើរ។
យើងជាមនុស្សត្រូវបានរចនាឡើងក្នុងរបៀបមួយដែលមិនថាយើងនិយាយច្រើនប៉ុណ្ណាទេ។ ការគិតអរូបី, ប៉ុន្តែ ការយល់ដឹង ជានិច្ចកើតឡើងតាមរយៈឧទាហរណ៍. ប្រសិនបើគ្មានឧទាហរណ៍ទេ នោះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការចាប់យកគោលការណ៍ ... ដូចជាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការឡើងដល់កំពូលភ្នំ លើកលែងតែការដើរជម្រាលទាំងមូលពីជើង។
ដូចគ្នាជាមួយសាលារៀន៖ សម្រាប់ពេលនេះ រឿងរស់នៅវាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេដែលថាយើងបន្តចាត់ទុកវាជាកន្លែងដែលកុមារត្រូវបានបង្រៀនឱ្យយល់។
ឧទាហរណ៍ ការបង្រៀនវិធីសាស្ត្រ Gaussian...
វិធីសាស្រ្ត Gauss នៅសាលាថ្នាក់ទី 5
អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំធ្វើការកក់ភ្លាមៗ៖ វិធីសាស្ត្រ Gauss មានកម្មវិធីធំទូលាយជាង ឧទាហរណ៍ក្នុងការដោះស្រាយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ. អ្វីដែលយើងនឹងនិយាយអំពីកើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 5 ។ នេះ។ បានចាប់ផ្តើមដោយយល់ថាមួយណា វាកាន់តែងាយស្រួលយល់ជាង "ជម្រើសកម្រិតខ្ពស់"។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងកំពុងនិយាយអំពី វិធីសាស្រ្តរបស់ Gauss (វិធីសាស្រ្ត) សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីមួយ។
នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយដែលកូនប្រុសពៅរបស់ខ្ញុំដែលចូលរៀនថ្នាក់ទី 5 នៅឯកន្លែងហាត់ប្រាណនៅទីក្រុងមូស្គូបាននាំយកមកពីសាលារៀន។
ការបង្ហាញនៅសាលានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យាដោយប្រើក្តារខៀនអន្តរកម្ម (វិធីសាស្រ្តបង្រៀនទំនើប) បានបង្ហាញក្មេងៗនូវបទបង្ហាញអំពីប្រវត្តិនៃ "ការបង្កើតវិធីសាស្ត្រ" ដោយលោក Gauss តិចតួច។
គ្រូបង្រៀននៅសាលាបានវាយលោក Karl តិចតួច (វិធីសាស្រ្តហួសសម័យ មិនត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅក្នុងសាលារៀនប៉ុន្មានថ្ងៃនេះ) ដោយសារតែគាត់
ជំនួសឱ្យការបន្ថែមលេខជាបន្តបន្ទាប់ពី 1 ដល់ 100 ស្វែងរកផលបូករបស់ពួកគេ។ បានកត់សម្គាល់លេខដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីគែមនៃការរីកចម្រើននព្វន្ធមួយបន្ថែមរហូតដល់លេខដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 100 និង 1, 99 និង 2 ដែលគាត់ត្រូវបានគេប្រហារជីវិតនៅចំពោះមុខសាធារណជនដែលមានការភ្ញាក់ផ្អើល។ ដើម្បីឱ្យអ្នកដទៃបាក់ទឹកចិត្តពីការគិត។
តើ Gauss តូចបានធ្វើអ្វីខ្លះ? អភិវឌ្ឍ អារម្មណ៍លេខ? បានកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនស៊េរីលេខដែលមានជំហានថេរ (វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ) ។ និង នោះហើយជាអ្វីដែលពិតប្រាកដក្រោយមកបានធ្វើឱ្យគាត់ក្លាយជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យ អ្នកដែលដឹងពីរបៀបកត់សម្គាល់, មាន អារម្មណ៍, សភាវគតិនៃការយល់ដឹង.
នេះហើយជាមូលហេតុដែលគណិតវិទ្យាមានតម្លៃ មានការអភិវឌ្ឍ សមត្ថភាពក្នុងការមើលឃើញជាពិសេស - ការគិតអរូបី. ដូច្នេះឪពុកម្តាយនិងនិយោជកភាគច្រើន ដោយសភាវគតិចាត់ទុកគណិតវិទ្យាជាវិន័យសំខាន់ ...
“បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវរៀនគណិតវិទ្យា ព្រោះវាធ្វើឲ្យចិត្តរបស់អ្នកមានសណ្តាប់ធ្នាប់។
M.V.Lomonosov" ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកដើរតាមអ្នកដែលវាយអ្នកពូកែនាពេលអនាគតដោយដំបងបានប្រែក្លាយវិធីសាស្ត្រទៅជាអ្វីដែលផ្ទុយពីនេះ។ ដូចដែលអ្នកគ្រប់គ្រងរបស់ខ្ញុំបាននិយាយកាលពី 35 ឆ្នាំមុនថា "សំណួរត្រូវបានរៀន" ។ ឬដូចដែលកូនប្រុសពៅរបស់ខ្ញុំបាននិយាយកាលពីម្សិលមិញអំពីវិធីសាស្ត្ររបស់ Gauss ថា "ប្រហែលជាវាមិនសមនឹងបង្កើតវិទ្យាសាស្ត្រធំមួយចេញពីរឿងនេះទេ ហា៎?"
ផលវិបាកនៃការច្នៃប្រឌិតរបស់ "អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ" អាចមើលឃើញនៅក្នុងកម្រិតនៃគណិតវិទ្យាសាលាបច្ចុប្បន្ន កម្រិតនៃការបង្រៀនរបស់វា និងការយល់ដឹងអំពី "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រ" ដោយភាគច្រើន។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសូមបន្ត ...
វិធីសាស្រ្តក្នុងការពន្យល់អំពីវិធីសាស្ត្រ Gauss នៅក្នុងសាលាថ្នាក់ទី 5
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅកន្លែងហាត់ប្រាណនៅទីក្រុងមូស្គូ ដោយពន្យល់ពីវិធីសាស្ត្រ Gauss យោងតាមលោក Vilenkin បានធ្វើឱ្យកិច្ចការដ៏ស្មុគស្មាញ។
ចុះបើភាពខុសគ្នា (ជំហាន) នៃដំណើរការនព្វន្ធមិនមែនមួយ ប៉ុន្តែជាលេខផ្សេងទៀត? ឧទាហរណ៍ ២០.
បញ្ហាដែលលោកបានផ្តល់ដល់សិស្សថ្នាក់ទី៥៖
20+40+60+80+ ... +460+480+500
មុននឹងស្គាល់វិធីហាត់ប្រាណ តោះមើលអ៊ីនធឺណិត៖ តើគ្រូសាលា និងគ្រូគណិតវិទ្យាធ្វើយ៉ាងណា?...
វិធីសាស្រ្ត Gaussian: ការពន្យល់លេខ 1
គ្រូបង្រៀនដ៏ល្បីម្នាក់នៅលើប៉ុស្តិ៍ YOUTUBE របស់គាត់ផ្តល់ហេតុផលដូចខាងក្រោម៖
ចូរយើងសរសេរលេខពី ១ ដល់ ១០០ ដូចតទៅ៖
ទីមួយស៊េរីនៃលេខពី 1 ដល់ 50 ហើយយ៉ាងតឹងរឹងនៅខាងក្រោមវាស៊េរីលេខផ្សេងទៀតពី 50 ទៅ 100 ប៉ុន្តែនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"សូមចំណាំ៖ ផលបូកនៃលេខគូនីមួយៗពីជួរខាងលើ និងខាងក្រោមគឺដូចគ្នា និងស្មើ 101! តោះរាប់ចំនួនគូគឺ 50 ហើយគុណផលបូកនៃមួយគូដោយចំនួនគូ! Voila: The ចម្លើយរួចរាល់ហើយ!”
«បើអ្នកមិនយល់ទេ កុំខឹងអី!» គ្រូបាននិយាយបីដងក្នុងពេលពន្យល់ "អ្នកនឹងយកវិធីសាស្រ្តនេះនៅថ្នាក់ទី 9!"
វិធីសាស្រ្ត Gaussian: ការពន្យល់លេខ 2
គ្រូម្នាក់ទៀតដែលមិនសូវស្គាល់ (វិនិច្ឆ័យដោយចំនួនទស្សនៈ) ប្រើវិធីសាស្រ្តវិទ្យាសាស្ត្របន្ថែមទៀត ដោយផ្តល់ជូននូវក្បួនដោះស្រាយនៃ 5 ចំណុចដែលត្រូវតែបំពេញតាមលំដាប់លំដោយ។
សម្រាប់អ្នកមិនទាន់ចាប់ផ្តើម លេខ 5 គឺជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខ Fibonacci ដែលត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាវេទមន្ត។ ឧទាហរណ៍វិធីសាស្រ្ត 5 ជំហានគឺមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្ត្រជាងវិធីសាស្ត្រ 6 ជំហាន។ ...ហើយនេះមិនមែនជាឧបទ្ទវហេតុទេ ភាគច្រើនទំនងជាអ្នកនិពន្ធគឺជាអ្នកគាំទ្រដែលលាក់កំបាំងនៃទ្រឹស្តី Fibonacci
ដោយមានការរីកចម្រើននព្វន្ធ៖ 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនៃលេខក្នុងស៊េរីដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះអ្នកត្រូវចងចាំ បូកមួយច្បាប់ ៖ យើងត្រូវបន្ថែមមួយទៅកូតាលទ្ធផល៖ បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដែលតិចជាងចំនួនពិតនៃគូ៖ 42 + 1 = 43 ។
នេះគឺជាផលបូកដែលត្រូវការនៃដំណើរការនព្វន្ធពី 4 ទៅ 256 ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6!
វិធីសាស្រ្ត Gauss: ការពន្យល់នៅថ្នាក់ទី 5 នៅឯកន្លែងហាត់ប្រាណនៅទីក្រុងម៉ូស្គូ
នេះជារបៀបដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី៖
20+40+60+ ... +460+480+500
នៅថ្នាក់ទី 5 នៃកន្លែងហាត់ប្រាណនៅទីក្រុងម៉ូស្គូ សៀវភៅសិក្សារបស់ Vilenkin (យោងទៅតាមកូនប្រុសរបស់ខ្ញុំ) ។
បន្ទាប់ពីបង្ហាញបទបង្ហាញរួច គ្រូគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញឧទាហរណ៍មួយចំនួនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ហើយផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកផលបូកនៃលេខជាស៊េរីដោយបង្កើនចំនួន 20 ។
នេះតម្រូវឱ្យមានដូចខាងក្រោម:
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ នេះគឺជាបច្ចេកទេសបង្រួម និងមានប្រសិទ្ធភាពជាងមុន៖ លេខ 3 ក៏ជាសមាជិកនៃលំដាប់ Fibonacci ផងដែរ។
យោបល់របស់ខ្ញុំលើកំណែសាលានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss
គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យប្រាកដជាបានជ្រើសរើសទស្សនវិជ្ជា ប្រសិនបើគាត់បានទាយថា "វិធីសាស្រ្ត" របស់គាត់នឹងត្រូវបានប្រែក្លាយដោយអ្នកដើរតាមគាត់។ គ្រូអាឡឺម៉ង់ដែលបានវាយលោក Karl ដោយដំបង។ គាត់នឹងបានឃើញនិមិត្តសញ្ញា វង់វេយ្យាករណ៍ និងភាពឆោតល្ងង់ឥតឈប់ឈររបស់ "គ្រូ" ព្យាយាមវាស់ស្ទង់ភាពសុខដុមនៃគំនិតគណិតវិទ្យារស់នៅជាមួយពិជគណិតនៃការយល់ខុស ....
និយាយអញ្ចឹង៖ តើអ្នកដឹងទេ? តើប្រព័ន្ធអប់រំរបស់យើងត្រូវបានចាក់ឫសនៅក្នុងសាលាអាល្លឺម៉ង់នៃសតវត្សទី 18 និង 19?
ប៉ុន្តែ Gauss បានជ្រើសរើសគណិតវិទ្យា។
តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់?
IN ភាពសាមញ្ញ. IN ការសង្កេតនិងចាប់យកគំរូសាមញ្ញនៃលេខ។ IN ប្រែក្លាយលេខនព្វន្ធសាលាស្ងួតទៅជា សកម្មភាពគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍និងគួរឱ្យរំភើប ការធ្វើឱ្យសកម្មនៅក្នុងខួរក្បាលចង់បន្ត ជាជាងការទប់ស្កាត់សកម្មភាពផ្លូវចិត្តដែលមានតម្លៃខ្ពស់។
តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការគណនាផលបូកនៃលេខនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយជាមួយនឹង "ការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រ" នៃ Gauss ដែលបានផ្តល់ឱ្យ? ភ្លាមៗ? យោងតាម "ក្បួនដោះស្រាយ" លោក Karl តិចតួចនឹងត្រូវបានធានាដើម្បីជៀសវាងការវាយតប់ បង្កើតការមិនពេញចិត្តចំពោះគណិតវិទ្យា និងទប់ស្កាត់ការជំរុញច្នៃប្រឌិតរបស់គាត់នៅក្នុងពន្លក។
ហេតុអ្វីបានជាគ្រូបង្ហាត់បង្រៀនយ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួនដូច្នេះណែនាំដល់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំថា "កុំឱ្យខ្លាចការយល់ច្រឡំ" នៃវិធីសាស្រ្តដោយបញ្ចុះបញ្ចូលពួកគេថាពួកគេនឹងដោះស្រាយបញ្ហា "បែបនេះ" នៅដើមថ្នាក់ទី 9? សកម្មភាពដែលមិនចេះអក្សរផ្លូវចិត្ត. វាជាការផ្លាស់ប្តូរដ៏ល្អមួយក្នុងការកត់សម្គាល់: “ឃើញទេ? រួចហើយនៅថ្នាក់ទី 5 អ្នកអាចធ្វើបានដោះស្រាយបញ្ហាដែលអ្នកនឹងបញ្ចប់ត្រឹមតែ 4 ឆ្នាំប៉ុណ្ណោះ! អ្នកជាអ្នកពូកែមែន!»
ដើម្បីប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian កម្រិតនៃថ្នាក់ 3 គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។នៅពេលដែលកុមារធម្មតាដឹងពីរបៀបបន្ថែម គុណ និងចែកលេខ 2-3 ខ្ទង់រួចហើយ។ បញ្ហាកើតឡើងដោយសារតែអសមត្ថភាពរបស់គ្រូពេញវ័យដែល "ហួសចិត្ត" ក្នុងការពន្យល់រឿងសាមញ្ញបំផុតជាភាសាមនុស្សធម្មតា មិនមែននិយាយពីគណិតវិទ្យាទេ... ពួកគេមិនអាចធ្វើឱ្យមនុស្សចាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា និងធ្វើឱ្យបាក់ទឹកចិត្តទាំងស្រុងសូម្បីតែអ្នកដែល " មានសមត្ថភាព។”
ឬដូចដែលកូនប្រុសរបស់ខ្ញុំបានអធិប្បាយថា “បង្កើតវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ធំមួយចេញពីវា”។
វិធីសាស្រ្ត Gauss ការពន្យល់របស់ខ្ញុំ
ប្រពន្ធខ្ញុំ និងខ្ញុំបានពន្យល់ "វិធីសាស្រ្ត" នេះដល់កូនយើង វាហាក់បីដូចជាមុនពេលចូលរៀន...
ភាពសាមញ្ញជំនួសឱ្យភាពស្មុគស្មាញ ឬល្បែងសំណួរ និងចម្លើយ
"មើលនេះជាលេខពី 1 ដល់ 100 ។ តើអ្នកឃើញអ្វី?"
ចំណុចមិនមែនជាអ្វីដែលកុមារមើលឃើញនោះទេ។ ល្បិចគឺធ្វើឱ្យគាត់មើល។
"តើអ្នកអាចដាក់ពួកគេដោយរបៀបណា?" កូនប្រុសបានដឹងថាសំណួរបែបនេះមិនត្រូវបានសួរ "ដូចនោះ" ហើយអ្នកត្រូវមើលសំណួរ "ខុសគ្នាដូចម្ដេច ខុសពីគាត់ធម្មតា"
វាមិនមានបញ្ហាទេប្រសិនបើកុមារឃើញដំណោះស្រាយភ្លាមៗនោះ វាមិនទំនងនោះទេ។ វាសំខាន់ណាស់ដែលគាត់ ឈប់ខ្លាចមើល ឬដូចខ្ញុំនិយាយ៖ "បានផ្លាស់ប្តូរកិច្ចការ". នេះគឺជាការចាប់ផ្តើមនៃដំណើរឆ្ពោះទៅរកការយល់ដឹង
"មួយណាងាយស្រួលជាង៖ បន្ថែមឧទាហរណ៍ 5 និង 6 ឬ 5 និង 95?" សំណួរឈានមុខគេមួយ... ប៉ុន្តែការបណ្តុះបណ្តាលណាមួយកើតឡើងដើម្បី "ណែនាំ" មនុស្សម្នាក់ទៅកាន់ "ចម្លើយ" - តាមវិធីណាក៏ដោយដែលអាចទទួលយកបានចំពោះគាត់។
នៅដំណាក់កាលនេះ ការទស្សន៍ទាយអាចកើតឡើងរួចហើយអំពីរបៀប "រក្សាទុក" លើការគណនា។
អ្វីដែលយើងបានធ្វើគឺជាតម្រុយ៖ វិធីសាស្ត្រ "ជួរមុខ លីនេអ៊ែរ" នៃការរាប់គឺមិនអាចធ្វើទៅបានតែមួយ។ បើកូនយល់រឿងនេះ ក្រោយមកគាត់នឹងបង្កើតវិធីបែបនេះជាច្រើនទៀត។ ព្រោះគួរឲ្យចាប់អារម្មណ៍!!!ហើយគាត់ពិតជានឹងជៀសវាង "ការយល់ច្រឡំ" គណិតវិទ្យា ហើយនឹងមិនមានអារម្មណ៍ស្អប់ខ្ពើមជាមួយវាឡើយ។ គាត់ឈ្នះ!
ប្រសិនបើ កុមារបានរកឃើញថាការបន្ថែមគូនៃលេខដែលបន្ថែមរហូតដល់មួយរយគឺជានំមួយដុំ "វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា 1"- ជារឿងគួរឱ្យខ្លាចនិងមិនចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់កុមារ - ភ្លាមៗ បានរកឃើញជីវិតសម្រាប់គាត់ . សណ្តាប់ធ្នាប់បានកើតចេញពីភាពចលាចល ហើយនេះតែងតែបង្កឱ្យមានភាពរីករាយ៖ នោះហើយជារបៀបដែលយើងត្រូវបានបង្កើតឡើង!
សំណួរដែលត្រូវឆ្លើយ៖ ហេតុអ្វីបានជាបន្ទាប់ពីការយល់ដឹងដែលកុមារបានទទួល តើគាត់គួរតែត្រូវបង្ខំម្តងទៀតទៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃក្បួនដោះស្រាយស្ងួត ដែលវាគ្មានប្រយោជន៍ក្នុងរឿងនេះទេ?!
ហេតុអ្វីបានជាបង្ខំឱ្យសរសេរឡើងវិញដោយល្ងង់ខ្លៅ?លេខលំដាប់ក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា៖ ដូច្នេះសូម្បីតែអ្នកមានសមត្ថភាពក៏មិនមានឱកាសយល់ដែរ? ជាការពិតណាស់តាមស្ថិតិ ប៉ុន្តែការអប់រំទ្រង់ទ្រាយធំគឺផ្តោតលើ "ស្ថិតិ" ...
តើសូន្យទៅណា?
ហើយការបន្ថែមលេខដែលបន្ថែមដល់ទៅ 100 គឺអាចទទួលយកបានក្នុងចិត្តច្រើនជាងចំនួនដែលបន្ថែមរហូតដល់ 101...
"វិធីសាស្រ្តសាលា Gauss" ទាមទារយ៉ាងពិតប្រាកដនេះ: បត់ដោយមិនដឹងខ្លួនគូនៃលេខដែលស្មើគ្នាពីចំណុចកណ្តាលនៃដំណើរការ, គ្មានបញ្ហាអ្វីទេ។.
ចុះបើអ្នកមើល?
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សូន្យគឺជាការច្នៃប្រឌិតដ៏អស្ចារ្យបំផុតរបស់មនុស្សជាតិ ដែលមានអាយុកាលជាង 2,000 ឆ្នាំ។ ហើយគ្រូគណិតវិទ្យានៅតែមិនអើពើនឹងគាត់។
វាងាយស្រួលជាងក្នុងការបំប្លែងស៊េរីលេខដែលចាប់ផ្តើមដោយលេខ 1 ទៅជាស៊េរីដែលចាប់ផ្តើមដោយលេខ 0។ ផលបូកនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ តើមែនទេ? អ្នកត្រូវឈប់ "គិតក្នុងសៀវភៅសិក្សា" ហើយចាប់ផ្តើមមើល...ហើយមើលថាគូដែលមានផលបូកនៃ 101 អាចត្រូវបានជំនួសទាំងស្រុងដោយគូជាមួយនឹងផលបូកនៃ 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីលុបបំបាត់ "ច្បាប់បូក 1"?
និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំបានលឺជាលើកដំបូងអំពីច្បាប់បែបនេះពីអ្នកបង្រៀន YouTube ម្នាក់នោះ...
តើខ្ញុំនៅតែធ្វើអ្វីនៅពេលខ្ញុំត្រូវកំណត់ចំនួនសមាជិកនៃស៊េរីមួយ?
ខ្ញុំមើលតាមលំដាប់៖
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
ហើយនៅពេលដែលអ្នកនឿយហត់ទាំងស្រុង សូមបន្តទៅជួរដែលសាមញ្ញជាងនេះ៖
1, 2, 3, 4, 5
ហើយខ្ញុំគិតថា បើអ្នកដកមួយចេញពី ៥ អ្នកនឹងទទួលបាន ៤ ប៉ុន្តែខ្ញុំច្បាស់ជាច្បាស់ណាស់។ ខ្ញុំឃើញ 5 លេខ! ដូច្នេះអ្នកត្រូវបន្ថែមមួយ! អារម្មណ៍លេខដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងសាលាបឋមណែនាំថា: ទោះបីជាមានសមាជិក Google ទាំងមូលនៃស៊េរី (10 ដល់អំណាចទីរយ) លំនាំនឹងនៅតែដដែល។
តើច្បាប់អ្វីទៅ?...
ដូច្នេះក្នុងរយៈពេលពីរបីឆ្នាំ ឬបីឆ្នាំ អ្នកអាចបំពេញចន្លោះទាំងអស់រវាងថ្ងាស និងខាងក្រោយក្បាលរបស់អ្នក ហើយឈប់គិត? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកនំបុ័ងនិងប៊ឺរបស់អ្នក? យ៉ាងណាមិញ ពួកយើងកំពុងឈានជើងចូលទៅក្នុងយុគសម័យនៃសេដ្ឋកិច្ចឌីជីថល!
បន្ថែមទៀតអំពីវិធីសាស្រ្តសាលារបស់ Gauss: "ហេតុអ្វីបានជាធ្វើឱ្យវិទ្យាសាស្រ្តចេញពីនេះ? .. "
មិនមែនសម្រាប់អ្វីដែលខ្ញុំបានបង្ហោះរូបថតពីសៀវភៅកត់ត្រារបស់កូនខ្ញុំទេ…
"តើមានអ្វីកើតឡើងនៅក្នុងថ្នាក់?"
“មែនហើយ ខ្ញុំបានរាប់ភ្លាមៗ លើកដៃឡើង ប៉ុន្តែនាងមិនបានសួរទេ ដូច្នេះហើយ ខណៈពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតកំពុងរាប់ ខ្ញុំចាប់ផ្តើមធ្វើកិច្ចការផ្ទះជាភាសារុស្សី ដើម្បីកុំឱ្យខ្ជះខ្ជាយពេលវេលា។ ??) នាងបានហៅខ្ញុំទៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។
គ្រូនិយាយថា៖ «ត្រូវបង្ហាញខ្ញុំពីរបៀបដែលអ្នកដោះស្រាយវា»។ ខ្ញុំបានបង្ហាញវា។ នាងបាននិយាយថា៖ «ខុសត្រូវរាប់ដូចដែលខ្ញុំបង្ហាញ!
"ជាការល្អដែលនាងមិនបានផ្តល់សញ្ញាអាក្រក់ដល់ខ្ញុំ ហើយនាងបានឱ្យខ្ញុំសរសេរនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់ពួកគេ "វគ្គនៃដំណោះស្រាយ" តាមរបៀបរបស់ពួកគេ ហេតុអ្វីបានជាបង្កើតវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ធំមួយចេញពីរឿងនេះ?..
ឧក្រិដ្ឋកម្មចម្បងរបស់គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា
ស្ទើរតែបន្ទាប់ពី ហេតុការណ៍នោះ។លោក Carl Gauss មានបទពិសោធន៍ក្នុងការគោរពខ្ពស់ចំពោះគ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យាសាលារបស់គាត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើគាត់ដឹងពីរបៀប អ្នកដើរតាមគ្រូនោះ។ នឹងបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ... គាត់នឹងស្រែកថ្ងូរដោយកំហឹង ហើយតាមរយៈអង្គការកម្មសិទ្ធិបញ្ញាពិភពលោក WIPO សម្រេចបានការហាមឃាត់ការប្រើប្រាស់ឈ្មោះល្អរបស់គាត់នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា!..
នៅក្នុងអ្វី កំហុសចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តសាលា? ឬដូចដែលខ្ញុំដាក់ថា ជាបទឧក្រិដ្ឋរបស់គ្រូគណិតវិទ្យាសាលាប្រឆាំងនឹងកុមារ?
ក្បួនដោះស្រាយការយល់ច្រឡំ
តើអ្នកវិធីសាស្រ្តសាលាធ្វើអ្វីខ្លះ ដែលភាគច្រើនមិនចេះគិត?
ពួកគេបង្កើតវិធីសាស្រ្ត និងក្បួនដោះស្រាយ (សូមមើល)។ នេះ។ ប្រតិកម្មការពារដែលការពារគ្រូបង្រៀនពីការរិះគន់ ("អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើដោយ ... ") និងកុមារពីការយល់ដឹង។ ហើយដូច្នេះ - ពីបំណងប្រាថ្នាដើម្បីរិះគន់គ្រូបង្រៀន!(ដេរីវេទី ២ នៃ "ប្រាជ្ញា" ការិយាធិបតេយ្យ ដែលជាវិធីសាស្រ្តវិទ្យាសាស្ត្រចំពោះបញ្ហា) ។ បុគ្គលដែលមិនយល់អត្ថន័យនឹងបន្ទោសការយល់ខុសរបស់ខ្លួន ជាជាងភាពល្ងង់ខ្លៅនៃប្រព័ន្ធសាលា។
នេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖ ឪពុកម្តាយបន្ទោសកូនៗ ហើយគ្រូក៏ធ្វើដូចគ្នាចំពោះកូនដែល «មិនយល់គណិតវិទ្យា!»
តើអ្នកឆ្លាតទេ?
តើ Karl តូចបានធ្វើអ្វីខ្លះ?
វិធីសាស្រ្តមិនធម្មតាទាំងស្រុងចំពោះកិច្ចការរូបមន្ត. នេះគឺជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ទ្រង់។ នេះ។ រឿងចំបងដែលគួរបង្រៀននៅសាលាគឺគិត មិនមែនដោយសៀវភៅសិក្សាទេ តែត្រូវគិតដោយក្បាលរបស់អ្នក។. ជាការពិតណាស់វាក៏មានផ្នែកឧបករណ៍មួយដែលអាចត្រូវបានប្រើ ... ក្នុងការស្វែងរក វិធីសាស្រ្តរាប់សាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង.
វិធីសាស្ត្រ Gauss យោងទៅតាម Vilenkin
នៅក្នុងសាលារៀនពួកគេបង្រៀនថាវិធីសាស្ត្ររបស់ Gauss គឺដើម្បី
អ្វី, ប្រសិនបើចំនួនធាតុនៃស៊េរីគឺសេសដូចជានៅក្នុងបញ្ហាដែលត្រូវបានប្រគល់ឱ្យកូនប្រុសរបស់ខ្ញុំ? ..
"ចាប់" គឺថាក្នុងករណីនេះ អ្នកគួរតែស្វែងរកលេខ "បន្ថែម" នៅក្នុងស៊េរីហើយបន្ថែមវាទៅផលបូកនៃគូ។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងលេខនេះគឺ 260.
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឱ្យឃើញ? ចម្លងលេខគូទាំងអស់ដាក់ក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា!(នេះជាមូលហេតុដែលគ្រូបានធ្វើឱ្យក្មេងៗធ្វើការងារដ៏ល្ងង់ខ្លៅនេះ ដោយការព្យាយាមបង្រៀន "ភាពច្នៃប្រឌិត" ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian... ហើយនេះជាមូលហេតុដែល "វិធីសាស្រ្ត" បែបនេះមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះស៊េរីទិន្នន័យធំ ហើយនេះជាមូលហេតុដែលវាជា មិនមែនវិធីសាស្ត្រ Gaussian ទេ។ )
ការច្នៃប្រឌិតបន្តិចបន្តួចនៅក្នុងទម្លាប់របស់សាលា...
កូនប្រុសបានប្រព្រឹត្តខុសពីមុន។
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
មិនពិបាកទេមែនទេ?
ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត វាត្រូវបានធ្វើឱ្យកាន់តែងាយស្រួល ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកឆ្លាក់ 2-3 នាទីសម្រាប់ការចាប់សញ្ញាពីចម្ងាយជាភាសារុស្សី ខណៈដែលនៅសល់គឺ "រាប់" ។ លើសពីនេះទៀតវារក្សាចំនួនជំហាននៃវិធីសាស្រ្ត: 5 ដែលមិនអនុញ្ញាតឱ្យវិធីសាស្រ្តត្រូវបានរិះគន់ថាមិនមានវិទ្យាសាស្រ្ត។
ជាក់ស្តែងវិធីសាស្រ្តនេះគឺសាមញ្ញជាង លឿនជាងមុន និងមានលក្ខណៈជាសកលនៅក្នុងរចនាប័ទ្មនៃវិធីសាស្ត្រ។ ប៉ុន្តែ... គ្រូមិនត្រឹមតែមិនសរសើរទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ខំខ្ញុំឱ្យសរសេរវាឡើងវិញ “តាមរបៀបត្រឹមត្រូវ” (សូមមើលរូបថតអេក្រង់)។ នោះគឺនាងបានខិតខំអស់សង្ឃឹមដើម្បីទប់កម្លាំងគំនិតច្នៃប្រឌិត និងសមត្ថភាពក្នុងការយល់ដឹងគណិតវិទ្យានៅដើមឫស! ជាក់ស្តែងថាក្រោយមកនាងអាចត្រូវបានគេជួលជាគ្រូបង្រៀន... នាងវាយមនុស្សខុស...
អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលខ្ញុំបានពិពណ៌នាយ៉ាងយូរ និងគួរឱ្យធុញទ្រាន់អាចពន្យល់ដល់កុមារធម្មតាក្នុងរយៈពេលអតិបរមាកន្លះម៉ោង។ រួមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។
ហើយតាមរបៀបដែលគាត់នឹងមិនភ្លេចវាទេ។
ហើយវានឹងក្លាយជា ជំហានឆ្ពោះទៅរកការយល់ដឹង...មិនមែនតែគណិតវិទូទេ។
ទទួលស្គាល់វា៖ តើអ្នកបានបន្ថែមប៉ុន្មានដងក្នុងជីវិតរបស់អ្នកដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian? ហើយខ្ញុំមិនដែលធ្វើទេ!
ប៉ុន្តែ សភាវគតិនៃការយល់ដឹងដែលវិវឌ្ឍន៍ (ឬក៏រលត់ទៅ) ក្នុងដំណើរការសិក្សាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យានៅសាលា... អូ!.. នេះពិតជារឿងដែលមិនអាចជំនួសបាន!
ជាពិសេសនៅក្នុងយុគសម័យឌីជីថលភាវូបនីយកម្មជាសកល ដែលយើងបានចូលយ៉ាងស្ងៀមស្ងាត់ក្រោមការដឹកនាំដ៏តឹងរឹងរបស់បក្ស និងរដ្ឋាភិបាល។
ពាក្យមួយចំនួនការពារគ្រូ...
វាជារឿងអយុត្តិធម៌ និងខុសក្នុងការដាក់ការទទួលខុសត្រូវទាំងអស់សម្រាប់រចនាប័ទ្មនៃការបង្រៀននេះតែលើគ្រូសាលាប៉ុណ្ណោះ។ ប្រព័ន្ធនេះចូលជាធរមាន។
ខ្លះគ្រូបង្រៀនយល់ពីភាពមិនសមហេតុផលនៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ច្បាប់ស្តីពីការអប់រំ ស្តង់ដារអប់រំរបស់រដ្ឋសហព័ន្ធ វិធីសាស្រ្ត ផែនការមេរៀន... អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវធ្វើ "ស្របតាម និងផ្អែកលើមូលដ្ឋាន" ហើយអ្វីៗទាំងអស់ត្រូវតែចងក្រងជាឯកសារ។ ងាកទៅម្ខាង - ឈរតម្រង់ជួរដើម្បីបណ្តេញចេញ។ កុំធ្វើជាមនុស្សលាក់ពុត៖ ប្រាក់ខែរបស់គ្រូបង្រៀននៅទីក្រុងម៉ូស្គូគឺល្អណាស់ ... ប្រសិនបើពួកគេបណ្តេញអ្នកតើត្រូវទៅណា? ..
ដូច្នេះគេហទំព័រនេះ។ មិនមែនអំពីការអប់រំទេ។. គាត់គឺអំពី ការអប់រំបុគ្គលជាមធ្យោបាយតែមួយគត់ដែលអាចចេញពីហ្វូងមនុស្ស ជំនាន់ Z ...
វិធីសាស្រ្តសកល និងមានប្រសិទ្ធភាពមួយសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ដែលមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។
សូមចាំថាប្រព័ន្ធទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូល (សមមូល) ប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងប្រសិនបើរាល់ដំណោះស្រាយនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាដំណោះស្រាយរបស់មួយផ្សេងទៀត និងច្រាសមកវិញ។ ប្រព័ន្ធសមមូលត្រូវបានទទួលនៅពេល ការផ្លាស់ប្តូរបឋម សមីការនៃប្រព័ន្ធ៖
គុណទាំងសងខាងនៃសមីការដោយលេខក្រៅពីសូន្យ;
ការបន្ថែមទៅសមីការមួយចំនួន ផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការមួយផ្សេងទៀត គុណនឹងលេខក្រៅពីសូន្យ។
ការរៀបចំសមីការពីរឡើងវិញ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
ដំណើរការនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian មានពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង (ចលនាផ្ទាល់) ប្រព័ន្ធដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅ ជាជំហានៗ , ឬ ត្រីកោណ ទម្រង់ ហើយនៅដំណាក់កាលទីពីរ (បញ្ច្រាស) មានលំដាប់បន្តបន្ទាប់គ្នា ចាប់ផ្តើមពីលេខអថេរចុងក្រោយ ការកំណត់នៃមិនស្គាល់ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលជាជំហានៗ។
ចូរយើងសន្មតថាមេគុណនៃប្រព័ន្ធនេះ។ 
បើមិនដូច្នេះទេ នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ជួរទីមួយអាចត្រូវបានប្តូរជាមួយជួរផ្សេងទៀត ដូច្នេះមេគុណនៅ 
ខុសពីសូន្យ។
ចូរយើងបំប្លែងប្រព័ន្ធដោយលុបបំបាត់អ្វីដែលមិនស្គាល់ 
នៅក្នុងសមីការទាំងអស់លើកលែងតែទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ 
ហើយបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យជាមួយនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ 
ហើយបន្ថែមវាទៅសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ការបន្តដំណើរការនេះ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូល
នៅទីនេះ 
- តម្លៃថ្មីនៃមេគុណ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ ដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីជំហានដំបូង។
ដូចគ្នានេះដែរពិចារណាធាតុសំខាន់ 
, មិនរាប់បញ្ចូលមិនស្គាល់ 
ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ លើកលែងតែទីមួយ និងទីពីរ។ ចូរបន្តដំណើរការនេះឱ្យបានយូរតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ហើយជាលទ្ធផល យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធមួយជំហាន
,
កន្លែងណា 
,
,…,
- ធាតុសំខាន់ៗនៃប្រព័ន្ធ 
.
ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់មួយជំហាន សមីការលេចឡើង ពោលគឺ សមភាពនៃទម្រង់ 
ពួកគេត្រូវបានលុបចោលចាប់តាំងពីពួកគេពេញចិត្តដោយសំណុំនៃលេខណាមួយ។ 
. 
ប្រសិនបើនៅ
ប្រសិនបើសមីការនៃទម្រង់លេចឡើងដែលមិនមានដំណោះស្រាយ នេះបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីគ្នានៃប្រព័ន្ធ។ 
ក្នុងអំឡុងពេលនៃការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស ការមិនស្គាល់ដំបូងត្រូវបានបង្ហាញពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធជំហានដែលបានផ្លាស់ប្តូរ 
តាមរយៈការមិនស្គាល់ផ្សេងទៀត។ ដែលត្រូវបានគេហៅថា
.
ឥតគិតថ្លៃ 
បន្ទាប់មកកន្សោមអថេរ 
ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ penultimate ហើយអថេរត្រូវបានបង្ហាញពីវា 
. អថេរត្រូវបានកំណត់តាមលំដាប់លំដោយតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា 
. អថេរ ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ ត្រូវបានគេហៅថា
(អាស្រ័យ) ។ លទ្ធផលគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។
ដើម្បីស្វែងរក ដំណោះស្រាយឯកជន
ប្រព័ន្ធ, មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ 
ក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ តម្លៃបំពានត្រូវបានកំណត់ ហើយតម្លៃនៃអថេរត្រូវបានគណនា 
.
វាមានភាពងាយស្រួលជាងនេះទៅទៀត តាមលក្ខណៈបច្ចេកទេសក្នុងការបំប្លែងបឋម មិនមែនសមីការប្រព័ន្ធខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ
.
វិធីសាស្រ្ត Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តសកលដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយមិនត្រឹមតែការ៉េប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងប្រព័ន្ធចតុកោណផងដែរដែលចំនួនមិនស្គាល់។ 
មិនស្មើនឹងចំនួនសមីការ 
.
អត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថានៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយយើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នាចាប់តាំងពីបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីសពង្រីក។ 
ដើម្បីបង្កើតជាជំហានៗ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស 
និងម៉ាទ្រីសពង្រីក 
និងអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli
.
ឧទាហរណ៍ 2.1ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss
ដំណោះស្រាយ. ចំនួនសមីការ 
និងចំនួនមិនស្គាល់ 
.
តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធដោយកំណត់មេគុណនៅខាងស្តាំម៉ាទ្រីស 
ជួរឈរសមាជិកឥតគិតថ្លៃ 
.
សូមបង្ហាញម៉ាទ្រីស 
ទៅទិដ្ឋភាពត្រីកោណ; ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងទទួលបាន "0" ខាងក្រោមធាតុដែលមាននៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋម។
ដើម្បីទទួលបាន "0" នៅក្នុងទីតាំងទីពីរនៃជួរទីមួយ គុណជួរទីមួយដោយ (-1) ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីពីរ។
យើងសរសេរការបំប្លែងនេះជាលេខ (-1) ទល់នឹងជួរទីមួយ ហើយសម្គាល់វាដោយសញ្ញាព្រួញចេញពីជួរទីមួយទៅជួរទីពីរ។
ដើម្បីទទួលបាន "0" នៅក្នុងទីតាំងទីបីនៃជួរទីមួយ គុណជួរទីមួយដោយ (-3) ហើយបន្ថែមទៅជួរទីបី។ ចូរបង្ហាញសកម្មភាពនេះដោយប្រើព្រួញចេញពីជួរទីមួយទៅជួរទីបី។
.
នៅក្នុងម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដែលសរសេរទីពីរនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នៃម៉ាទ្រីសយើងទទួលបាន "0" នៅក្នុងជួរឈរទីពីរនៅក្នុងទីតាំងទីបី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណជួរទីពីរដោយ (-4) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបី។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីសលទ្ធផល គុណជួរទីពីរដោយ (-1) ហើយចែកទីបីដោយ (-8) ។ ធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះដែលស្ថិតនៅខាងក្រោមធាតុអង្កត់ទ្រូងគឺសូន្យ។
ដោយសារតែ , ប្រព័ន្ធគឺសហការ និងកំណត់។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសចុងក្រោយមានទម្រង់ត្រីកោណ៖
ពីសមីការចុងក្រោយ (ទីបី) 
. ជំនួសសមីការទីពីរ ហើយទទួលបាន 
.
ចូរជំនួស 
និង 
នៅក្នុងសមីការទីមួយយើងរកឃើញ 
.