ការ​ព្យាករ​នៃ​បន្ទាត់​មួយ​ទៅ​លើ​រូបមន្ត​យន្តហោះ​។ ការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ត្រង់

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីរបៀបបង្កើតការព្យាករនៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះ និងរបៀបកំណត់កូអរដោនេនៃការព្យាករនេះ។ នៅក្នុងផ្នែកទ្រឹស្តី យើងនឹងពឹងផ្អែកលើគោលគំនិតនៃការព្យាករ។ យើងនឹងកំណត់លក្ខខណ្ឌ និងផ្តល់ព័ត៌មានជាមួយនឹងរូបភាព។ ចូរយើងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងដែលទទួលបានដោយការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

ការព្យាករ, ប្រភេទនៃការព្យាករ

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការមើលតួលេខទំហំ គំនូរដែលបង្ហាញពីតួលេខទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់។

និយមន័យ ១

ការព្យាករណ៍នៃតួលេខនៅលើយន្តហោះ- ការគូររូបលំហ។

ជាក់ស្តែង មានច្បាប់មួយចំនួនដែលប្រើក្នុងការសាងសង់ការព្យាករ។

និយមន័យ ២

ការព្យាករ- ដំណើរការនៃការសាងសង់គំនូរលំហរនៅលើយន្តហោះដោយប្រើច្បាប់សំណង់។

យន្តហោះព្យាករណ៍- នេះគឺជាយន្តហោះដែលរូបភាពត្រូវបានសាងសង់។

ការប្រើប្រាស់ច្បាប់ជាក់លាក់កំណត់ប្រភេទនៃការព្យាករ៖ កណ្តាលឬ ប៉ារ៉ាឡែល.

ករណីពិសេសនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលគឺការព្យាករកាត់កែងឬរាងពងក្រពើ៖ នៅក្នុងធរណីមាត្រវាត្រូវបានគេប្រើជាចម្បង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ គុណនាម "កាត់កែង" ខ្លួនវាត្រូវបានលុបចោលជាញឹកញាប់នៅក្នុងការនិយាយ: នៅក្នុងធរណីមាត្រពួកគេគ្រាន់តែនិយាយថា "ការព្យាករណ៍នៃតួលេខ" ហើយដោយនេះពួកគេមានន័យថាបង្កើតការព្យាករណ៍ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការព្យាករកាត់កែង។ ក្នុងករណីពិសេស អ្វីផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានយល់ព្រម។

ចូរយើងកត់សំគាល់ការពិតដែលថាការព្យាករនៃតួលេខនៅលើយន្តហោះគឺជាការព្យាករណ៍នៃចំណុចទាំងអស់នៃតួលេខនេះ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​អាច​សិក្សា​រូប​រាង​លំហ​ក្នុង​ការ​គូរ វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​មាន​ជំនាញ​មូលដ្ឋាន​នៃ​ការ​ព្យាករ​ចំណុច​លើ​យន្តហោះ។ អ្វីដែលយើងនឹងនិយាយអំពីខាងក្រោម។

ចូរយើងចាំថាជាញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងធរណីមាត្រ នៅពេលនិយាយអំពីការព្យាករលើយន្តហោះ ពួកគេមានន័យថាការប្រើប្រាស់ការព្យាករកាត់កែង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតសំណង់ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីទទួលបាននិយមន័យនៃការព្យាករនៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះមួយ។

ចូរនិយាយថាលំហបីវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយនៅក្នុងវាមានយន្តហោះ α និងចំណុច M 1 ដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះ α ។ គូរបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M កកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ α ។ យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់ α ជា H 1 ដោយការសាងសង់ វានឹងបម្រើជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំណុច M 1 ទៅប្លង់ α ។

ប្រសិនបើចំណុច M 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ α នោះ M 2 នឹងបម្រើជាការព្យាករលើយន្តហោះ α ។

និយមន័យ ៣

- នេះគឺជាចំណុចដោយខ្លួនឯង (ប្រសិនបើវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ឬមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការស្វែងរកកូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះឧទាហរណ៍

សូម​ឱ្យ​ចំណុច​ខាងក្រោម​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ ៖ ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ O x y z យន្តហោះ α ចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃការព្យាករណ៍នៃចំណុច M 1 ទៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះ​ស្រាយ​បាន​ធ្វើ​តាម​ជាក់ស្តែង​ពី​និយមន័យ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ខាង​លើ​នៃ​ការ​ព្យាករ​នៃ​ចំណុច​មួយ​ទៅ​លើ​យន្តហោះ។

ចូរយើងបង្ហាញការព្យាករនៃចំណុច M 1 ទៅលើយន្តហោះ α ជា H 1 ។ យោងតាមនិយមន័យ H 1 គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ α និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលគូសកាត់ចំនុច M 1 (កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ)។ ទាំងនោះ។ កូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុច M 1 ដែលយើងត្រូវការគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់α។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុចមួយទៅលើយន្តហោះ វាចាំបាច់៖

ទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះα (ប្រសិនបើវាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់) ។ អត្ថបទអំពីប្រភេទនៃសមីការយន្តហោះនឹងជួយអ្នកនៅទីនេះ។

កំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ α (សិក្សាប្រធានបទអំពីសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ);

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់ α (អត្ថបទ - ការស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះនិងបន្ទាត់) ។ ទិន្នន័យដែលទទួលបាននឹងជាកូអរដោនេដែលយើងត្រូវការសម្រាប់ការព្យាករនៃចំណុច M 1 ទៅលើយន្តហោះ α ។

តោះមើលទ្រឹស្តីជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ ១

កំណត់កូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុច M 1 (- 2, 4, 4) ទៅលើយន្តហោះ 2 x – 3 y + z − 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលយើងឃើញសមីការនៃយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើង i.e. មិនចាំបាច់ចងក្រងវាទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំពោះគោលបំណងទាំងនេះយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ a ។ ដោយសារបន្ទាត់ a កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ a គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ 2 x − 3 y + z − 2 = 0 ។ ដូច្នេះ a → = (2, - 3, 1) – វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ a.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ក្នុងលំហដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (- 2, 4, 4) និងមានវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (2 , - 3 , 1):

x + 2 2 = y − 4 − 3 = z − 4 ១

ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេដែលត្រូវការ ជំហានបន្ទាប់គឺកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 និងប្លង់ 2 x − 3 y + z − 2 = 0 . សម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ យើងផ្លាស់ទីពីសមីការ Canonical ទៅសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ៖

x + 2 2 = y − 4 − 3 = z − 4 1 ⇔ − 3 · ( x + 2 ) = 2 · ( y − 4 ) 1 · ( x + 2 ) = 2 · (z − 4) 1 · ( y − 4) = − 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y − 2 = 0 x − 2 z + 10 = 0

តោះបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ៖

3 x + 2 y − 2 = 0 x − 2 z + 10 = 0 2 x − 3 y + z − 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x − 2 z = − 10 2 x − 3 y + z = ២

ហើយតោះដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖

∆ = 3 2 0 1 0 − 2 2 − 3 1 = − 28 ∆ x = 2 2 0 − 10 0 − 2 2 − 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 − 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 − 10 − 2 2 2 1 = − 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = − 28 − 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 − 10 2 − 3 2 = − 140 ⇒ z = ∆ − z ១៤០ - ២៨ = ៥

ដូច្នេះកូអរដោនេដែលត្រូវការនៃចំណុច M 1 ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ α នឹងមានៈ (0, 1, 5) ។

ចម្លើយ៖ (0 , 1 , 5) .

ឧទាហរណ៍ ២

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ O x y z នៃលំហបីវិមាត្រ ចំនុច A (0, 0, 2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ខ (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) និង M 1 (-1, -2, 5) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃការព្យាករណ៍ M 1 ទៅលើយន្តហោះ A B C

ដំណោះស្រាយ

ជាដំបូង យើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

x − 0 y − 0 z − 0 2 − 0 − 1 − 0 0 − 2 4 − 0 1 − 0 1 − 2 = 0 ⇔ x y z − 2 2 − 1 − 2 4 1 − 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x − 6 y + 6 z − 12 = 0 ⇔ x − 2 y + 2 z − 4 = 0

ចូរយើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ a ដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ A B C ។ យន្តហោះ x – 2 y + 2 z – 4 = 0 មានវ៉ិចទ័រធម្មតាជាមួយកូអរដោនេ (1, - 2, 2), i.e. វ៉ិចទ័រ a → = (1, - 2, 2) – វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ a.

ឥឡូវនេះដោយមានកូអរដោនេនៃចំណុចនៃបន្ទាត់ M 1 និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់នេះយើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហៈ

បន្ទាប់មកយើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ x – 2 y + 2 z – 4 = 0 និងបន្ទាត់ត្រង់

x = − 1 + λ y = − 2 − 2 λ z = 5 + 2 λ

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសសមីការនៃយន្តហោះ៖

x = − 1 + λ, y = − 2 − 2 λ, z = 5 + 2 λ

ឥឡូវនេះដោយប្រើសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ យើងរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ x, y និង z សម្រាប់ λ = - 1: x = − 1 + (− 1) y = − 2 − 2 · (− 1) z = 5 + 2 · (− 1) ⇔ x = − 2 y = 0 z = 3

ដូច្នេះការព្យាករណ៍នៃចំណុច M 1 ទៅលើយន្តហោះ A B C នឹងមានកូអរដោនេ (- 2, 0, 3) ។

ចម្លើយ៖ (- 2 , 0 , 3) .

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅដោយឡែកពីគ្នាលើបញ្ហានៃការស្វែងរកកូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុចមួយទៅលើយន្តហោះសំរបសំរួល និងយន្តហោះដែលស្របគ្នាទៅនឹងយន្តហោះសំរបសំរួល។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង​សំរបសំរួល​យន្តហោះ O x y, O x z និង O y z ត្រូវបាន​ផ្តល់។ កូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុចនេះទៅលើយន្តហោះទាំងនេះនឹងជារៀងគ្នា៖ (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) និង (0, y 1, z 1) ។ ចូរយើងពិចារណាផងដែរនូវយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

ហើយការព្យាករណ៍នៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 ទៅលើយន្តហោះទាំងនេះនឹងជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេ x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 និង - D A, y 1, z 1 ។

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលលទ្ធផលនេះទទួលបាន។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងកំណត់ការព្យាករនៃចំនុច M 1 (x 1, y 1, z 1) ទៅលើយន្តហោះ A x + D = 0 ។ ករណីដែលនៅសល់គឺស្រដៀងគ្នា។

យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ O y z និង i → = (1, 0, 0) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា។ វ៉ិចទ័រដូចគ្នាបម្រើជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ O y z ។ បន្ទាប់មកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលកាត់តាមចំនុច M 1 និងកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានទម្រង់៖

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះ និងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទីមួយ ចូរយើងជំនួសសមភាពទៅក្នុងសមីការ A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 ហើយទទួលបាន៖ A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

បន្ទាប់មកយើងគណនាកូអរដោនេដែលត្រូវការដោយប្រើសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយ λ = - D A - x 1:

x = x 1 + − D A − x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = − D A y = y 1 z = z 1

នោះគឺការព្យាករនៃចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1) លើយន្តហោះនឹងជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេ - D A, y 1, z 1 ។

ឧទាហរណ៍ ២

វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់កូអរដោនេនៃការព្យាករនៃចំណុច M 1 (- 6, 0, 1 2) ទៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ O x y និងនៅលើយន្តហោះ 2 y - 3 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យន្តហោះកូអរដោនេ O x y នឹងឆ្លើយតបទៅនឹងសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃយន្តហោះ z = 0 ។ ការព្យាករណ៍នៃចំណុច M 1 ទៅលើយន្តហោះ z = 0 នឹងមានកូអរដោនេ (- 6, 0, 0) ។

សមីការយន្តហោះ 2 y − 3 = 0 អាចសរសេរជា y = 3 2 2 ។ ឥឡូវនេះគ្រាន់តែសរសេរកូអរដោនេនៃការព្យាករចំណុច M 1 (- 6, 0, 1 2) លើយន្តហោះ y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

ចម្លើយ៖(- 6 , 0 , 0) និង - 6 , 3 2 2 , 1 2

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការព្យាករផ្នែកនៃមុំខាងស្តាំ

ប្រសិនបើប្លង់នៃមុំខាងស្តាំមិនកាត់កែង និងមិនស្របនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ ហើយយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកម្ខាងរបស់វាស្របទៅនឹងយន្តហោះនេះ នោះមុំខាងស្តាំត្រូវបានព្យាករលើវាដោយមិនមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ។

សូមឱ្យជ្រុង ABC- ត្រង់ (រូបភាព 65) និងចំហៀង ព្រះអាទិត្យ|| នដូច្នេះការព្យាករណ៍ bc|| B.C.. ចំហៀង ABបន្តរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ ននិងតាមរយៈចំណុច TOយើងដឹកនាំដោយផ្ទាល់ ខេ.អិន|| bc. អាស្រ័យហេតុនេះ ខេ.អិន || B.C..

វាធ្វើតាមមុំនោះ។ BKN- ត្រង់។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទកាត់កែងបីគឺមុំ bKN- ត្រង់, ដូច្នេះ, មុំ Kbc= 90°។

អង្ករ។ 65. គំរូលំហនៃការព្យាករមុំខាងស្តាំ

ចំណាំ។ ទ្រឹស្តីបទនេះនៅលើការព្យាករនៃមុំខាងស្តាំត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាពីរ (ភស្តុតាងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

1. ប្រសិនបើការព្យាករនៃមុំយន្តហោះជាមុំខាងស្តាំ នោះមុំដែលបានព្យាករនឹងត្រឹមត្រូវលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយនៃជ្រុងនៃមុំនេះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ។

2. ប្រសិនបើការព្យាករនៃមុំជាក់លាក់មួយ ជ្រុងម្ខាងដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ តំណាងឱ្យមុំខាងស្តាំ នោះមុំដែលបានព្យាករក៏ជាមុំខាងស្តាំផងដែរ។

ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ វាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងថាមុំដែលបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 66 នៅក្នុងលំហ - បន្ទាត់ត្រង់។

ខ

ក

អង្ករ។ 66. ការបញ្ចាំងមុំខាងស្តាំលើដ្យាក្រាម Monge៖

ក- ជ្រុងមួយនៃមុំគឺផ្ដេក; ខ- ផ្នែកម្ខាងនៃជ្រុង - ផ្នែកខាងមុខ

ពិចារណាមុំ IN(រូបភាព 66 ក).

មុំនៅក្នុងលំហ INត្រង់ ព្រោះដ្យាក្រាមបង្ហាញថាបន្ទាត់ត្រង់ ABគឺ​ផ្ដេក ( h′|| X) និង ∠ ក= 90 ° (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំបូង) ។

ពិចារណាមុំ IN(រូបភាព 66 ខ).

មុំនៅក្នុងលំហ INត្រង់ ព្រោះ​ផ្នែក​ម្ខាង​របស់​វា​គឺ​ខាង​មុខ ( AB|| វ;ab|| X) និងការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ ∠ ខ′ = 90° ។

ការសន្និដ្ឋានសាមញ្ញមួយកើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទនេះ៖ កាត់កែងអាចត្រូវបានទាញទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានព្យាករក្នុងទំហំពេញ។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទីតាំង និងម៉ែត្រនៃធរណីមាត្រពិពណ៌នា ដោយពឹងផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងគ្នាពីរ ដែលនៅទីបំផុតធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់ចម្ងាយ និងបង្កើតប្លង់កាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាជាច្រើនលើប្រធានបទនៃសម្ភារៈនេះ។

កិច្ចការទី 1 ។តាមរយៈចំណុច កគូរបន្ទាត់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ ម(រូបភាព 67) ។

ការវិភាគស្ថានភាពក្រាហ្វិកនៃបញ្ហាយើងកត់សំគាល់នោះ។ ម|| Xដែលមានន័យថាបន្ទាត់ត្រង់ មគឺជាផ្នែកខាងមុខ ( ម|| វ).

ដូច្នេះការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានត្រូវតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការព្យាករផ្នែកខាងមុខដោយគូរវាកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករ។ មγ, ដោយសារតែនៅលើយន្តហោះខាងមុខនៃការព្យាករមានបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ មត្រូវ​បាន​ព្យាករ​ដោយ​គ្មាន​ការ​បង្ខូច​ទ្រង់ទ្រាយ និង​ទៅ​លើ​យន្តហោះ​ខាងមុខ​នៃ​ការ​ព្យាករ វមុំខាងស្តាំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងទើបសាងសង់ថ្មីនឹងត្រូវបានព្យាករដោយគ្មានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ។

1. បង្កើតការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃផ្នែកដែលចង់បាន a'b'⊥ ម′.

2. កំណត់ទីតាំងនៃចំណុច ខ នៅលើការព្យាករណ៍ មនិងដោយការភ្ជាប់ការព្យាករ យើងកំណត់ការព្យាករផ្តេក ខនៅលើការព្យាករ ម

3. សាងសង់ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃផ្នែកដែលចង់បាន ab.

អង្ករ។ 67. ការសាងសង់កាត់កែងទៅបន្ទាត់មួយ។ មអង្ករ។ 68. ការសាងសង់កម្ពស់ក្នុង∆ ABC

កិច្ចការទី 2 ។តាមរយៈកំពូល ជាមួយគូរកម្ពស់នៃត្រីកោណ ABC(រូបភាព 68) ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងវិភាគដ្យាក្រាមហើយចំណាំថាផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណ AB|| ហខណៈពេលដែលការព្យាករណ៍ផ្ដេករបស់វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទំហំធម្មជាតិ។

ដូច្នេះការសាងសង់កម្ពស់ត្រូវតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការព្យាករណ៍ផ្ដេក។

លំដាប់នៃការអនុវត្តផ្នែកក្រាហ្វិកនៃកិច្ចការ៖

1. ពីចំណុចមួយ។ ជាមួយគូរផ្នែកកាត់កែងទៅចំហៀង ab.

2. ចំណុច ឃ- កម្ពស់មូលដ្ឋាន, ស៊ីឌី- ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃកម្ពស់។

3. គម្រោងចំណុចមួយ។ ឃទៅនឹងការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃចំហៀង a'b'ហើយយើងទទួលបានការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃចំណុច ឃនិងបង្កើតការព្យាករណ៍កម្ពស់ខាងមុខ c'd'។

កិច្ចការទី 3 ។កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយ។ TOទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ន(រូបភាព 69) ។

ដំណោះស្រាយ។ គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការកំណត់ចម្ងាយវាចាំបាច់ត្រូវសាងសង់មិនត្រឹមតែការព្យាករណ៍នៃចម្ងាយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងកំណត់តម្លៃធម្មជាតិរបស់វាផងដែរ។

ចម្ងាយខ្លីបំផុតពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់គឺជាតម្លៃនៃកាត់កែងដែលទាញចេញពីចំណុចនេះទៅបន្ទាត់។ ការវិភាគដ្យាក្រាមយើងកត់សំគាល់ថាបន្ទាត់ត្រង់ នគឺផ្នែកខាងមុខ និងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើការព្យាករផ្នែកខាងមុខដោយគ្មានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ។

ដូច្នេះ ការ​បង្កើត​ការ​ព្យាករ​កាត់​កែង​ត្រូវ​តែ​ចាប់​ផ្តើម​ដោយ​ការ​ព្យាករ​ខាង​មុខ។

លំដាប់នៃការអនុវត្តផ្នែកក្រាហ្វិកនៃកិច្ចការ៖

1. ពីចំណុចមួយ។ kបន្ថយកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករនៃបន្ទាត់ n'យើងទទួលបានចំណុច អ៊ី.ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃកាត់កែង - k′ អ៊ី′.

2. ព្យាករចំណុចលទ្ធផលទៅលើការព្យាករផ្តេកនៃបន្ទាត់ nយើងទទួលបានចំណុចមួយ។ អ៊ីនិងការព្យាករផ្ដេកនៃកាត់កែង ខេ

3. វិនិច្ឆ័យដោយការព្យាករ, ត្រង់ ខេទីតាំងទូទៅ។ ដោយប្រើវិធីត្រីកោណកែងយើងកំណត់ទំហំធម្មជាតិរបស់វា | ខេ|.

ចម្ងាយពីចំណុច TOទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ នស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែក - TOអូ អ៊ី.

ខេ, ន = ខេ o អ៊ី= 30 ម។

៣.៥. បន្ទាត់ពិសេសនៃយន្តហោះ

បន្ទាត់ត្រង់កាន់កាប់ទីតាំងពិសេសនៅក្នុងយន្តហោះ៖

1. បន្ទាត់កម្រិតយន្តហោះ។

2. បន្ទាត់នៃទំនោរធំបំផុតនៃយន្តហោះទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។

បន្ទាត់កម្រិតយន្តហោះ

បន្ទាត់កម្រិតយន្តហោះ- បន្ទាត់ត្រង់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ៖ ផ្ដេក ផ្នែកខាងមុខ បន្ទាត់ត្រង់ទម្រង់។

យន្តហោះផ្ដេក -បន្ទាត់ត្រង់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ ន.វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថាបន្ទាត់ផ្ដេកទាំងអស់នៃយន្តហោះដូចគ្នាគឺស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

ការ​ព្យាករ​នៃ​ផ្ដេក​គឺ​ស្រប​នឹង​ដាន​ផ្ដេក​នៃ​យន្តហោះ​, ដាន​ផ្ដេក​នៃ​យន្តហោះ​គឺ​សូន្យ​ផ្ដេក​នៃ​យន្តហោះ​។ ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ផ្ដេកនៅក្នុងយន្តហោះ រដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយដានត្រូវតែនៅលើការព្យាករផ្នែកខាងមុខ ភី វីសម្គាល់ចំណុចមួយ។ ឃ"-ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃដានផ្ដេក (រូបភាព 67 ក). តាមរយៈវាយើងគូរការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃផ្ដេកស្របទៅនឹងអ័ក្ស X. នៅលើអ័ក្ស Xស្វែងរកការព្យាករណ៍ផ្ដេក ឃ. បន្ទាត់ត្រង់មួយគូរពីចំណុចមួយ។ ឃស្របទៅនឹងផ្លូវលំ R Nយន្តហោះតំណាងឱ្យការព្យាករផ្ដេកនៃផ្ដេក។

នៅក្នុងរូបភព។ ៧០ ខការព្យាករណ៍ផ្ដេកត្រូវបានគូរតាមរយៈការព្យាករនៃចំណុច ឃនិងចំណុច 1 ត្រង់ សហភាពអឺរ៉ុបប្លង់ដែលកំណត់ដោយត្រីកោណ ស៊ី.ឌី.ការសាងសង់ផ្តេកតែងតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ ឃ "1"ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស X. ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាជិកភាព ស្វែងរកការព្យាករផ្តេកនៃចំណុចមួយ។ 1 និងអនុវត្តការព្យាករផ្ដេកនៃផ្ដេក។

ក

ខ

អង្ករ។ 70. យន្តហោះផ្តេក៖

ក- នៅក្នុងយន្តហោះ រផ្តល់ឱ្យដោយដាន; ខ- នៅក្នុងយន្តហោះដែលបានបញ្ជាក់ដោយ∆ ស៊ីឌី

យន្តហោះខាងមុខ- បន្ទាត់ត្រង់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ ហើយស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ វ(រូបភាព 71) ។

ការសាងសង់បន្ទាត់ខាងមុខនិងទម្រង់ត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការសាងសង់ផ្ដេកដោយពឹងផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលគេស្គាល់នៃការព្យាករនៃបន្ទាត់កម្រិតនិងទ្រព្យសម្បត្តិនៃកម្មសិទ្ធិហើយពួកគេចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការព្យាករដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សព្យាករដែលត្រូវគ្នា។ ផ្នែកខាងមុខទាំងអស់នៃយន្តហោះដូចគ្នាគឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីទម្រង់ត្រង់បន្ទាត់នៃកម្រិតយន្តហោះ។

ទម្រង់បន្ទាត់ត្រង់នៃកម្រិតយន្តហោះគឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ហើយ​ស្រប​នឹង​ប្លង់​ទម្រង់​នៃ​ការ​ព្យាករ (រូបភាព 72)។

ខ

ក

អង្ករ។ 71. យន្តហោះខាងមុខ៖

ក- នៅក្នុងយន្តហោះ រផ្តល់ឱ្យដោយដាន; ខ- នៅក្នុងយន្តហោះដែលបានបញ្ជាក់ដោយ∆ ស៊ីឌី

អង្ករ។ 72. បន្ទាត់ទម្រង់ បយន្តហោះ ∆ ABC

ការព្យាករណ៍ដោយផ្ទាល់។

គំនូរបញ្ច្រាស

គំនូរបញ្ច្រាស. តាមរយៈ​ការ​ដាក់​ទៅ​លើ​យន្តហោះ​ព្យាករ​មួយ រូបភាព​មួយ​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ដែល​មិន​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​គេ​កំណត់​រូបរាង និង​ទំហំ​របស់​វត្ថុ​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​មិន​ច្បាស់លាស់។ ការព្យាករ A 1 (សូមមើលរូបទី 1.4 ។ ) មិនកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចខ្លួនវានៅក្នុងលំហទេ ព្រោះវាមិនដឹងថាតើវាត្រូវដកចេញពីចម្ងាយប៉ុន្មានពីយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ P 1 ។ ក្នុងករណីបែបនេះយើងនិយាយអំពី ភាពមិនអាចត្រឡប់វិញបាន។គំនូរ , ព្រោះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការផលិតដើមឡើងវិញដោយប្រើគំនូរបែបនេះ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ រូបភាពត្រូវបានបំពេញបន្ថែមជាមួយនឹងទិន្នន័យចាំបាច់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដើម្បីបំពេញបន្ថែមនូវគំនូរព្រាងតែមួយ។

ជំពូក 2

បន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ (រូបភាព 2.1, 2.2 ។ ) ។

បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហគឺគ្មានដែនកំណត់។ ផ្នែកដែលមានកំណត់នៃបន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថា ចម្រៀក។

ការ​ព្យាករ​បន្ទាត់​ចុះ​មក​ដល់​ការ​បង្កើត​ការ​ព្យាករ​នៃ​ចំណុច​បំពាន​ពីរ​របស់​វា ដោយ​ហេតុ​ថា​ចំណុច​ពីរ​កំណត់​ទីតាំង​បន្ទាត់​ក្នុង​លំហ​ទាំងស្រុង។ ដោយការបន្ថយកាត់កែងពីចំណុច A និង B (រូបភាព 2.2 ។ ) ទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ P 1 ការព្យាករណ៍ផ្ដេករបស់ពួកគេ A 1 និង B 1 ត្រូវបានកំណត់។ ផ្នែក A 1 B 1 - ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃបន្ទាត់ត្រង់ AB ។ លទ្ធផលស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានទទួលដោយការគូរកាត់កែងទៅ P 1 ពីចំណុចបំពាននៃបន្ទាត់ AB ។ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃបន្ទាត់កាត់កែងទាំងនេះ (កាំរស្មីបញ្ចាំង) បង្កើតជាប្លង់ផ្ដេក a ដែលប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ P 1 តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ A 1 B 1 - ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃត្រង់ AB ។ ដោយផ្អែកលើការពិចារណាដូចគ្នា ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ A 2 B 2 នៃ AB ត្រង់ត្រូវបានទទួល (រូបភាព 2.2) ។

ការព្យាករមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់មិនកំណត់ទីតាំងរបស់វានៅក្នុងលំហទេ។ ជាការពិតណាស់ ផ្នែក A 1 B 1 (Fig ។ 2.1 ។ ) អាចជាការព្យាករនៃផ្នែកដែលបំពានដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ក។ ទីតាំងនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហគឺត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការព្យាករទាំងពីររបស់វា។ ការស្ថាបនាឡើងវិញពីចំណុចផ្តេក A 1 B 1 និងផ្នែកខាងមុខ P 1 និង P 2 យើងទទួលបានប្លង់ព្យាករពីរ a និង b ប្រសព្វគ្នាតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ AB ។

គំនូរស្មុគ្រស្មាញ (រូបភាព 2.3) បង្ហាញផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ AB នៅក្នុងទីតាំងទូទៅ ដែល A 1 B 1 គឺផ្ដេក A 2 B 2 គឺផ្នែកខាងមុខ ហើយ A 3 B 3 គឺជាការព្យាករទម្រង់នៃផ្នែក។ ដើម្បីបង្កើតការព្យាករទីបីនៃផ្នែក។ ដើម្បីសាងសង់ការព្យាករទីបីនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ដោយប្រើទិន្នន័យពីរ អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាសម្រាប់ការសាងសង់ការព្យាករទីបីនៃចំណុចមួយ៖ ការព្យាករ (រូបភាព 2.4 ។ ) សំរបសំរួល (រូបភាព 2.5 ។ ) និងដោយប្រើត្រង់ថេរ។ បន្ទាត់នៃគំនូរ (រូបភាព 2.6 ។ ) ។

២.២. ទីតាំងនៃបន្ទាត់ដែលទាក់ទងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករណ៍។

នៅក្នុងរូបភាព 1.5 ។ បង្ហាញ​ពី​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ៉ាមីត​ដែល​មាន​ការ​កាត់​កំពូល និង​ពីរ៉ាមីត​រាង​ត្រីកោណ​តាម​អំពើ​ចិត្ត។ គែមនៃ parallelepiped និងពីរ៉ាមីតកាន់កាប់ទីតាំងផ្សេងគ្នានៅក្នុងលំហដែលទាក់ទងទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។ ដើម្បីសាងសង់ និងអានគំនូរ អ្នកត្រូវចេះវិភាគទីតាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យោងតាមទីតាំងរបស់ពួកគេនៅក្នុងលំហ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានបែងចែកទៅជាបន្ទាត់ត្រង់ឯកជន និងបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅ។

បទប្បញ្ញត្តិឯកជនដោយផ្ទាល់អាចជាកម្រិតផ្ទាល់ និងព្យាករណ៍។

បន្ទាត់​បញ្ចាំង​គឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​ការ​ព្យាករ​មួយ​, i.e. ស្របទៅនឹងយន្តហោះពីរផ្សេងទៀត P 1, ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបញ្ចាំងដោយផ្ដេក; ការព្យាករផ្តេករបស់វា A 1 B 1 គឺជាចំណុចមួយ ហើយការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ និងទម្រង់របស់វា គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស O z ។ បន្ទាត់ត្រង់ស៊ីឌី (រូបភាព 2.7 ។ ) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ P 2 ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបញ្ចាំងផ្នែកខាងមុខ; ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់វា C 2 D 2 គឺជាចំណុចមួយ ហើយការព្យាករណ៍ផ្ដេក និងទម្រង់របស់វា គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។ បន្ទាត់ត្រង់ MN (Fig ។ 2.8 ។ ) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ P 3 ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ព្យាករបន្ទាត់ត្រង់; ការព្យាករទម្រង់របស់វា M 3 N 3 គឺជាចំណុចមួយ ហើយការព្យាករផ្តេក និងផ្នែកខាងមុខរបស់វាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។

អាស្រ័យហេតុនេះ លើប្លង់ព្យាករមួយ បន្ទាត់ត្រង់នៃការព្យាករត្រូវបានបង្ហាញជាចំណុចមួយ ហើយពីរទៀតក្នុងទម្រង់ជាផ្នែកដែលកាន់កាប់ទីតាំងផ្ដេក ឬបញ្ឈរ ទំហំដែលផ្ដេក ឬបញ្ឈរ ទំហំនៃរ៉ិចទ័រគឺ ស្មើនឹងតម្លៃធម្មជាតិនៃផ្នែកត្រង់។

បន្ទាត់កម្រិតគឺជាបន្ទាត់ដែលស្របទៅនឹងប្លង់ព្យាករមួយ។ Straight AB (Fig ។ 2.9.) ស្របទៅនឹងប្លង់ផ្តេកនៃការព្យាករ P 1 ត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់ត្រង់ផ្តេក ឬនិយាយដោយខ្លីថា ផ្ដេក។ ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់វា A 2 B 2 គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សនៃការព្យាករ Ox ហើយការព្យាករណ៍ផ្ដេក A 1 B 1 គឺស្មើនឹងតម្លៃធម្មជាតិនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ (A 1 B 1 = AB) ។ មុំ b រវាងការព្យាករផ្តេក A 1 B 1 និងអ័ក្សអុកគឺស្មើនឹងតម្លៃធម្មជាតិនៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ AB ទៅប្លង់ព្យាករ P 2 ។

ស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាព 2.10 ។ ) ស្របទៅនឹងប្លង់ខាងមុខនៃការព្យាករ P 2 ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ផ្នែកខាងមុខ ឬនិយាយឱ្យខ្លី ផ្នែកខាងមុខ។ ការព្យាករផ្តេករបស់វា C 1 D 1 គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក ហើយការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់វា C 2 D 2 គឺស្មើនឹងតម្លៃធម្មជាតិនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ (C 2 D 2 = CD) ។ មុំ a រវាងការព្យាករខាងមុខ C 2 D 2 និងអ័ក្ស Ox គឺស្មើនឹងមុំជាក់ស្តែងនៃទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ P 1 ។

បន្ទាត់ត្រង់ MN (រូបភាព 2.11 ។ ) ស្របទៅនឹងប្លង់ទម្រង់នៃការព្យាករ P 3 ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ទម្រង់។ ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ M 2 N 2 និងផ្ដេក M 1 N 1 កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សអុក ហើយការព្យាករណ៍ទម្រង់គឺស្មើនឹងទំហំធម្មជាតិនៃផ្នែក (M 3 N 3 = MN) ។ មុំ a និង b រវាងការព្យាករទម្រង់ និងអ័ក្ស Oy 3 និង Oz គឺស្មើនឹងតម្លៃជាក់ស្តែងនៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ P 1 និង P 2 ។

អាស្រ័យហេតុនេះ បន្ទាត់ត្រង់នៃកម្រិតត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករមួយក្នុងទំហំពេញ និងនៅលើពីរផ្សេងទៀត - ក្នុងទម្រង់ជាផ្នែកនៃទំហំកាត់បន្ថយ កាន់កាប់ទីតាំងបញ្ឈរ ឬផ្ដេកក្នុងគំនូរ។ ពីគំនូរ អ្នកអាចកំណត់មុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះទៅប្លង់ព្យាករ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ព្យាករ នោះការព្យាករមួយរបស់វា (ដែលមានឈ្មោះដូចគ្នា) ស្របគ្នាជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់របស់វា ហើយពីរផ្សេងទៀតស្របគ្នានឹងអ័ក្សនៃការព្យាករ។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ AB (រូបភាព 2.12) ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ P 1 ។ ការព្យាករផ្តេក A 1 B 1 បញ្ចូលគ្នាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ AB ហើយការព្យាករខាងមុខ A 2 B 2 បញ្ចូលគ្នាជាមួយអ័ក្សអុក។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសូន្យ បន្ទាត់ផ្ដេក ចាប់តាំងពីកម្ពស់នៃចំណុចរបស់វា (z កូអរដោនេ) គឺសូន្យ។

បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងទីតាំងទូទៅហៅថា បន្ទាត់ត្រង់ ទំនោរទៅ យន្តហោះ ព្យាករទាំងអស់។ ការព្យាករណ៍របស់វាបង្កើតជាមុំស្រួច ឬស្រួច ជាមួយនឹងអ័ក្ស Ox, Oy និង Oz, i.e. គ្មានការព្យាករណ៍របស់វាស្របគ្នា ឬកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សទេ។ ទំហំនៃការព្យាករនៃបន្ទាត់នៅក្នុងទីតាំងទូទៅគឺតែងតែតិចជាងទំហំធម្មជាតិនៃផ្នែកខ្លួនវាផ្ទាល់។ ដោយផ្ទាល់ពីគំនូរដោយគ្មានការសាងសង់បន្ថែមវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ទំហំពិតប្រាកដនៃបន្ទាត់ត្រង់និងមុំទំនោររបស់វាទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។

ប្រសិនបើចំនុចមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ នោះការព្យាករនៃចំនុចគឺនៅលើការព្យាករដូចគ្នានៃបន្ទាត់ និងនៅលើបន្ទាត់តភ្ជាប់ទូទៅ។

នៅក្នុងរូបភព។ ២.១៣. ចំណុច C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ AB ចាប់តាំងពីការព្យាករ C 1 និង C 2 របស់វារៀងគ្នានៅលើផ្តេក A 1 B 1 និងនៅលើផ្នែកខាងមុខ A 2 B 2 ការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ត្រង់។ ចំនុច M និង N មិនមែនជារបស់បន្ទាត់ទេ ដោយសារការព្យាករមួយនៃចំនុចនីមួយៗមិនស្ថិតនៅលើការព្យាករនៃបន្ទាត់ដែលមានឈ្មោះដូចគ្នានោះទេ។

ការព្យាករនៃចំណុចមួយបែងចែកការព្យាករនៃបន្ទាត់ក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នាដែលចំណុចខ្លួនវាបែងចែកផ្នែកបន្ទាត់មួយ i.e. ដោយប្រើច្បាប់នេះ បែងចែកផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងសមាមាត្រដែលត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងរូបភព។ ២.១៤. បន្ទាត់ត្រង់ EF ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុច K ក្នុងសមាមាត្រ 3:5 ។ ការបែងចែកត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរបៀបដែលគេស្គាល់ពីគំនូរធរណីមាត្រ។