ផ្នែកទី 3. ម៉ាទ្រីស
3.1 គំនិតជាមូលដ្ឋាន
ម៉ាទ្រីសគឺជាតារាងចតុកោណនៃលេខដែលមាន ធខ្សែដែលមានប្រវែងដូចគ្នា (ឬ ទំជួរឈរដែលមានប្រវែងដូចគ្នា) ។ ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរដូចជា៖
ឬខ្លី 
, កន្លែងណា 
(ទាំងនោះ។ 
) - លេខបន្ទាត់ 
(ទាំងនោះ។ 
) - លេខជួរឈរ។
ម៉ាទ្រីស កហៅថាម៉ាទ្រីស ទំហំ
និងសរសេរ 
. លេខ 
,
សមាសធាតុនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ធាតុ។ធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើបង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងមេ។
ឧទាហរណ៍ ១.ធាតុ 
មានទីតាំងនៅជួរទី 1 និងជួរទី 2 និងធាតុ 
ស្ថិតនៅជួរទី 3 និងជួរទី 1 ។
ឧទាហរណ៍ ២.ម៉ាទ្រីស 
មានទំហំ 
ចាប់តាំងពីវាមាន 2 ជួរ និង 4 ជួរ។ ម៉ាទ្រីស 
មានទំហំ 
ចាប់តាំងពីវាមាន 3 ជួរ និង 2 ជួរឈរ។
ម៉ាទ្រីសគឺស្មើគ្នាបើពួកគេស្មើគ្នា ទាំងអស់។ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះ i.e. 
, ប្រសិនបើ 
,
កន្លែងណា 
,
.
ម៉ាទ្រីសដែលចំនួនជួរដេកស្មើនឹងចំនួនជួរឈរត្រូវបានហៅ ការ៉េ. ម៉ាទ្រីសទំហំការ៉េ 
ហៅថាម៉ាទ្រីស លំដាប់ទី។
ឧទាហរណ៍ ៣.ម៉ាទ្រីស 
និង 
ពីឧទាហរណ៍ទី 2 ត្រូវបានគេហៅថាចតុកោណ។ ម៉ាទ្រីស 
គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទី 3 ។ វាមាន 3 ជួរ និង 3 ជួរ។
ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលធាតុទាំងអស់លើកលែងតែធាតុដែលនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានហៅ អង្កត់ទ្រូង. ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុនីមួយៗនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងមួយត្រូវបានគេហៅថា នៅលីវ។តំណាងដោយអក្សរ អ៊ី.
ឧទាហរណ៍ 4 ។
- ម៉ាទ្រីសឯកតានៃលំដាប់ទី 3 ។
ម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណប្រសិនបើធាតុទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសដែលធាតុទាំងអស់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា មោឃៈ. តំណាងដោយអក្សរ អំពី.
នៅក្នុងការគណនាម៉ាទ្រីស, ម៉ាទ្រីស អំពីនិង អ៊ីដើរតួជា 0 និង 1 ក្នុងនព្វន្ធ។
,
.
ម៉ាទ្រីសទំហំ 
ដែលមានលេខមួយ ត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណជាមួយលេខនេះ ឧ។ 
មាន ៥.
ម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីមួយដែលបានផ្ដល់ដោយជំនួសជួរដេកនីមួយៗរបស់វាដោយជួរឈរដែលមានលេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស ឆ្លងទៅមួយនេះ។ កំណត់ 
. អញ្ចឹងបើ 
, នោះ។ 
ប្រសិនបើ 
, នោះ។ 
. ម៉ាទ្រីស transposed មានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ 
.
3.2 ប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស
ការបន្ថែម
ប្រតិបត្តិការបន្ថែមម៉ាទ្រីសត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នា។
ផលបូកនៃម៉ាទ្រីសពីរ
និង 
ហៅថាម៉ាទ្រីស 
បែបនោះ។ 
(
,
).
ឧទាហរណ៍ 5 ។ .
ភាពខុសគ្នានៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានកំណត់ដូចគ្នា។
គុណនឹងលេខ
ផលិតផលម៉ាទ្រីស
ក្នុងមួយលេខk
ហៅថាម៉ាទ្រីស 
បែបនោះ។ ខ អ៊ី =
កា អ៊ី
(ខ្ញុំ=
,
j=
).
ឧទាហរណ៍ ៦.
,
,
.
ម៉ាទ្រីស 
ហៅ ម៉ាទ្រីសទល់មុខ A.
ភាពខុសគ្នាម៉ាទ្រីស 
អាចត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ៖ 
.
ប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមម៉ាទ្រីស និងគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមានដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
កន្លែងណា ក, IN, ជាមួយ- ម៉ាទ្រីស α និង β - លេខ។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋម
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺ៖
ផ្លាស់ប្តូរជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលពីរនៃម៉ាទ្រីស;
គុណធាតុទាំងអស់នៃជួរម៉ាទ្រីសដោយលេខមិនសូន្យ;
ការបន្ថែមទៅធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីប៉ារ៉ាឡែល គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។
ម៉ាទ្រីសពីរ កនិង INត្រូវបានហៅ សមមូលប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានទទួលពីផ្សេងទៀតដោយប្រើបំលែងបឋម។ ក~IN.
កត់ត្រា ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាម៉ាទ្រីស ដែលនៅដើមអង្កត់ទ្រូងមេមានធាតុជាច្រើនក្នុងមួយជួរ ហើយធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា Canonical 
.
, ឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍ ៧. 
.
កាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical
ដំណោះស្រាយ៖ អនុវត្តការបំប្លែងបឋម យើងទទួលបាន 
(ប្តូរជួរឈរ I និង III) ~ 
(បន្ទាត់ I ត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ II ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរទៅបន្ទាត់ទីពីរ បន្ទាប់ពីបន្ទាត់នោះខ្ញុំត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ III ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរទៅបន្ទាត់ទីបី) ~ 
(ជួរឈរ I ត្រូវបានគុណនឹង (-3) បន្ថែមដោយជួរឈរ II ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ II បន្ទាប់មកជួរឈរ I ត្រូវបានគុណនឹង (-2) បន្ថែមជាមួយជួរឈរ III ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ III បន្ទាប់ពីនោះ ជួរឈរខ្ញុំត្រូវបានគុណម្តងទៀតដោយ ( -2) ហើយបន្ថែមជាមួយជួរឈរ IV ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងជួរឈរ IV) ~ 
(ជួរឈរ III ត្រូវបានគុណនឹង (-2) បន្ថែមទៅជួរទី II ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ II ជួរឈរ III ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ III ជួរឈរ III ត្រូវបានគុណនឹង (-1) បន្ថែម។ ទៅជួរឈរ IV ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ IV) ~ 
(បន្ទាត់ II ត្រូវបានគុណនឹង 3 បន្ថែមទៅបន្ទាត់ III ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងបន្ទាត់ III) ~ 
(ជួរទី II ត្រូវបានគុណនឹង (-1) បន្ថែមជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយជួរឈរ III និង IV ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ III និង IV រៀងគ្នា) ~
.
យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ Canonical ។ ផលិតផលម៉ាទ្រីស
ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសពីរត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែករណីនៅពេលដែល ចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសទីមួយគឺស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសទីពីរ។ ផលិតផលម៉ាទ្រីស A អ៊ី t × ទំ =(ក =(ខ ) ទៅ ម៉ាទ្រីស ខ ) p × r ជាមួយ jk ហៅថាម៉ាទ្រីស t × r ) បែបនោះ។
=(ជាមួយ t × r =
អ៊ីក ខ្ញុំ 1
∙
ខ 1
k +
អ៊ីក ខ្ញុំ 2
∙
ខ 2
k +
∙∙∙+
អ៊ីក គ ∙
ខ ក
,
ក្នុង ខ្ញុំ=
,
k=
,
nk ខ្ញុំកន្លែងណា kទាំងនោះ។ ធាតុ ជាមួយ- បន្ទាត់ទី និង ខ្ញុំជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសផលិតផល កស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុ kជួរទីនៃម៉ាទ្រីស
ទៅធាតុដែលត្រូវគ្នា។ កនិង INជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស B. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសនិង ការ៉េដែលមានទំហំដូចគ្នាបន្ទាប់មកផលិតផលតែងតែមាន។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញវា។ ក∙អ៊ី = អ៊ី∙ក= ក, កន្លែងណា ក- ម៉ាទ្រីសការ៉េ អ៊ីគឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដែលមានទំហំដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ 4 ។
=.
ម៉ាទ្រីស កនិង INត្រូវបានហៅ អាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ (ការធ្វើដំណើរ), ប្រសិនបើ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស=ការ៉េដែលមានទំហំដូចគ្នាបន្ទាប់មកផលិតផល.
ការគុណម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
ក∙(IN∙ជាមួយ) = (ក∙IN)∙ជាមួយ;
ក∙(IN + ជាមួយ) = ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស + AC;
(ក + IN)∙ជាមួយ = AC + ព្រះអាទិត្យ;
α (ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស) = (αA)IN,
ប្រសិនបើជាការពិត ផលបូកជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ និងផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសមានអត្ថន័យ។
លក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិតសម្រាប់ប្រតិបត្តិការបញ្ជូន៖
(ក + IN) T = ក T+ IN T;
(ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស) T = IN T∙ កធ.
ប្រសិនបើពហុនាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ម៉ាទ្រីសពហុនាមf(ក)
ត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល 
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ. f(កតម្លៃនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស ក) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ
គឺជាម៉ាទ្រីស។ ចូរហៅធាតុបន្ទាត់ខ្លាំង ប្រសិនបើវាមិនមែនជាសូន្យ ហើយធាតុទាំងអស់នៃបន្ទាត់នេះនៅខាងឆ្វេងរបស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាបានបោះជំហាន
ឧទាហរណ៍ 5 ។ប្រសិនបើធាតុខាងក្រៅបំផុតនៃបន្ទាត់នីមួយៗគឺនៅខាងស្តាំនៃធាតុខាងក្រៅបំផុតនៃបន្ទាត់មុន។ កនិង INនៅក្នុងម៉ាទ្រីស
ធាតុខាងក្រៅនៃបន្ទាត់នីមួយៗត្រូវបានសម្គាល់៖
- មិនបានបោះជំហាន
- បោះជំហាននិយមន័យ។ 
ម៉ាទ្រីសពហុនាម ឬ -matrix គឺជាម៉ាទ្រីសរាងចតុកោណដែលធាតុរបស់វាជាពហុនាមក្នុងអថេរមួយ
ជាមួយមេគុណលេខ។ 
ខាងលើ
- ម៉ាទ្រីសអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលទាំង: 
ពីរ 
និង 
- ម៉ាទ្រីស 
ទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាសមមូល៖ 
ប្រសិនបើមកពីម៉ាទ្រីស 
ទៅ
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ឧទាហរណ៍។
|
|
|
,
.បញ្ជាក់សមមូលម៉ាទ្រីស
.
.
ដំណោះស្រាយ។
.
.
គុណជួរទីពីរដោយ (–1) ហើយសម្គាល់វា។ 
គ្រប់ៗគ្នា។ 
- ម៉ាទ្រីសនៃទំហំដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ត្រូវបានបែងចែកទៅជាថ្នាក់ disjoint នៃ matrices សមមូល។ ម៉ាទ្រីសដែលស្មើគ្នាបង្កើតជាថ្នាក់មួយ ហើយថ្នាក់ដែលមិនស្មើបង្កើតជាថ្នាក់ផ្សេង។ 
ថ្នាក់នីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសសមមូលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ Canonical ឬធម្មតា
- បោះជំហាន- ម៉ាទ្រីសនៃទំហំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ 
Canonical ឬធម្មតា 
ហៅ 
- ម៉ាទ្រីសទំហំ -ម៉ាទ្រីសជាមួយពហុនាមនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ កន្លែងណារ - លេខតូចជាងនិង ម
(
ន
) និងពហុនាមដែលមិនស្មើនឹងសូន្យមានមេគុណនាំមុខស្មើនឹង 1 ហើយពហុនាមបន្តបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយលេខមុន។ ធាតុទាំងអស់នៅខាងក្រៅអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺ 0 ។
ម៉ាទ្រីស 
តាមនិយមន័យវាដូចខាងក្រោមថាប្រសិនបើក្នុងចំណោមពហុនាមមានពហុនាមនៃដឺក្រេសូន្យ នោះពួកវាស្ថិតនៅខាងដើមនៃអង្កត់ទ្រូងមេ។ ប្រសិនបើមានលេខសូន្យ ពួកវាស្ថិតនៅខាងចុងនៃអង្កត់ទ្រូងមេ។
ឧទាហរណ៍មុនគឺ Canonical ។ ម៉ាទ្រីស
canonical ផងដែរ។ 
ថ្នាក់នីមួយៗ 
-matrix មាន canonical តែមួយគត់ 
- ម៉ាទ្រីស, ឧ។ គ្នា
-matrix គឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីស Canonical តែមួយ ដែលត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ Canonical ឬទម្រង់ធម្មតានៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ 
- ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាកត្តាអថេរនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាកត្តាមិនផ្លាស់ប្តូរគឺកាត់បន្ថយការដែលបានផ្តល់ឱ្យ 
- ម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ។
ដូច្នេះសម្រាប់ម៉ាទ្រីស 
នៃឧទាហរណ៍មុន កត្តាអថេរគឺ
,
,
,
.
ពីខាងលើវាដូចខាងក្រោមថាវត្តមាននៃសំណុំដូចគ្នានៃកត្តាមិនផ្លាស់ប្តូរគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សមមូល។ 
- ម៉ាទ្រីស
ការនាំយក 
-Matrices ទៅជាទម្រង់ Canonical ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជានិយមន័យនៃកត្តាមិនប្រែប្រួល
,
;
,
កន្លែងណា r- ចំណាត់ថ្នាក់ 
- ម៉ាទ្រីស; 
- ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃអនីតិជន k-th order យកដោយមេគុណនាំមុខស្មើនឹង 1 ។
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ 
- ម៉ាទ្រីស
.
បញ្ជាក់សមមូលម៉ាទ្រីសជាក់ស្តែង ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃលំដាប់ទីមួយ ឃ 1
=1, i.e. 
.
ចូរកំណត់អនីតិជនលំដាប់ទីពីរ៖
|
|
|
,
ទិន្នន័យនេះតែមួយគត់គឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមៈ ឃ 2
=1 ដូច្នេះ 
.
យើងកំណត់ ឃ 3
,
អាស្រ័យហេតុនេះ 
.
ដូច្នេះទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺដូចខាងក្រោម 
- ម៉ាទ្រីស៖
.
ពហុនាមម៉ាទ្រីសគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់
កន្លែងណា 
- អថេរ; 
- ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ជាមួយធាតុលេខ។
ប្រសិនបើ 
, នោះ។ សត្រូវបានគេហៅថាកម្រិតនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស ម- លំដាប់នៃពហុនាមម៉ាទ្រីស។
ខ្ញុំចូលចិត្តការ៉េ 
-ម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានតំណាងថាជាពហុនាមម៉ាទ្រីស។ ជាក់ស្តែង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយក៏ពិតដែរ i.e. ពហុនាមម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការ៉េមួយចំនួន 
- ម៉ាទ្រីស។
សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការទាំងនេះយ៉ាងច្បាស់តាមពីលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស។ តោះមើលឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។តំណាងឱ្យម៉ាទ្រីសពហុនាម
នៅក្នុងទម្រង់នៃពហុនាមម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោម
.
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ម៉ាទ្រីសពហុនាម
អាចត្រូវបានតំណាងជាម៉ាទ្រីសពហុនាមខាងក្រោម ( 
- ម៉ាទ្រីស)
.
ភាពអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នានៃពហុនាមម៉ាទ្រីស និងម៉ាទ្រីសពហុនាមដើរតួយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងឧបករណ៍គណិតវិទ្យានៃវិធីសាស្ត្រវិភាគកត្តា និងសមាសធាតុ។
ពហុនាមម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នាអាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងគុណតាមរបៀបដូចគ្នានឹងពហុនាមធម្មតាដែលមានមេគុណលេខ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា គុណនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស ដែលនិយាយជាទូទៅ មិនមែនជាការផ្លាស់ប្តូរទេ ចាប់តាំងពី ការគុណម៉ាទ្រីសមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
ពហុនាមម៉ាទ្រីសពីរត្រូវបានគេនិយាយថាស្មើគ្នា ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាស្មើគ្នា ឧ។ ម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់អំណាចដូចគ្នានៃអថេរ 
.
ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃពហុនាមម៉ាទ្រីសពីរ 
និង 
គឺជាពហុនាមម៉ាទ្រីស ដែលមេគុណសម្រាប់ថាមពលនីមួយៗនៃអថេរ 
ស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃមេគុណនៅកម្រិតដូចគ្នា។ 
នៅក្នុងពហុនាម 
និង 
.
ដើម្បីគុណពហុនាមម៉ាទ្រីស 
ទៅពហុនាមម៉ាទ្រីស 
អ្នកត្រូវការពាក្យនីមួយៗនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស 
គុណនឹងពាក្យនីមួយៗនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស 
បន្ថែមផលិតផលលទ្ធផល និងនាំយកលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា។
ដឺក្រេនៃពហុនាមម៉ាទ្រីស - ផលិតផល 
តិចជាង ឬស្មើនឹងផលបូកនៃអំណាចនៃកត្តា។
ប្រតិបត្តិការលើពហុនាមម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើប្រតិបត្តិការនៅលើដែលត្រូវគ្នា។ 
- ម៉ាទ្រីស។
ដើម្បីបន្ថែម (ដក) ពហុនាមម៉ាទ្រីស វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែម (ដក) ដែលត្រូវគ្នា 
- ម៉ាទ្រីស។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះគុណ។ 
- ម៉ាទ្រីសនៃផលិតផលនៃពហុនាមម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលិតផល 
- ម៉ាទ្រីសនៃកត្តា។
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។
|
|
|
នៅម្ខាងទៀត 
និង 
អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
|
|
|
ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសមិនមែនជាការបំប្លែងទេ សម្រាប់ពហុនាមម៉ាទ្រីស ការបែងចែកពីរជាមួយនៅសល់ត្រូវបានកំណត់ - ស្តាំ និងឆ្វេង។
អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាមម៉ាទ្រីសពីរនៃលំដាប់ n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
កន្លែងណា IN 0 គឺជាម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ។
នៅពេលបែងចែក 
នៅលើ 
មានកូតាត្រឹមត្រូវតែមួយគត់ 
និងនៅសល់ស្តាំ 
តើសញ្ញាបត្រនៅឯណា រ 1
សញ្ញាបត្រតិចជាង 
, ឬ 
(ការបែងចែកដោយគ្មាននៅសល់) ក៏ដូចជាផ្នែកខាងឆ្វេង 
ហើយនៅសល់ 
តើសញ្ញាបត្រនៅឯណា 
សញ្ញាបត្រតិចជាង 
, ឬ 
=0 (ការបែងចែកដោយគ្មាននៅសល់) ។
ទ្រឹស្តីបទទូទៅរបស់ Bezout ។នៅពេលបែងចែកពហុនាមម៉ាទ្រីស 
ទៅពហុនាម 
នៅសល់ត្រឹមត្រូវគឺស្មើនឹងតម្លៃត្រឹមត្រូវនៃភាគលាភ 
នៅ 
, i.e. ម៉ាទ្រីស
និងផ្នែកខាងឆ្វេង - ទៅតម្លៃខាងឆ្វេងនៃភាគលាភ 
នៅ 
, i.e. ម៉ាទ្រីស
ភស្តុតាង។ភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃរូបមន្តទាំងពីរ (3.4.1) និង (3.4.2) ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នា ដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់។ សូមបញ្ជាក់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។
ដូច្នេះភាគលាភគឺ 
, ការបែងចែក - 
ជា quotient យើងមានពហុនាម
តោះកំណត់ផលិតផល 
:
ឬ 
Q.E.D.
ផលវិបាក។
ត្រូវបានបែងចែកពីស្តាំ (ឆ្វេង) ដោយពហុធា 
ពេលនោះហើយតែពេលណា 
ស្មើ 0 ។
អាចត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។បង្ហាញថាពហុនាមម៉ាទ្រីស
ត្រូវបានបែងចែកដោយពហុនាមម៉ាទ្រីស 
,
កន្លែងណា 
ទុកចោលដោយគ្មានសល់។
បញ្ជាក់សមមូលម៉ាទ្រីសជាការពិត សមភាពគឺពិត
កន្លែងណា 
ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃផ្នែកខាងឆ្វេងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout
ម៉ាទ្រីសគឺជាវត្ថុពិសេសមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាតារាងរាងចតុកោណកែង ឬការ៉េ ដែលផ្សំឡើងដោយចំនួនជួរដេក និងជួរឈរជាក់លាក់។ ក្នុងគណិតវិទ្យាមានប្រភេទម៉ាទ្រីសច្រើនប្រភេទ ខុសគ្នាក្នុងទំហំ ឬខ្លឹមសារ។ លេខជួរ និងជួររបស់វាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់។ វត្ថុទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងគណិតវិទ្យាដើម្បីរៀបចំការកត់ត្រាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងងាយស្រួលស្វែងរកលទ្ធផលរបស់វា។ សមីការដោយប្រើម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តរបស់ Carl Gauss, Gabriel Cramer អនីតិជន និងការបន្ថែមពិជគណិត ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តជាច្រើនទៀត។ ជំនាញជាមូលដ្ឋាននៅពេលធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីសគឺការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើប្រភេទម៉ាទ្រីសប្រភេទណាខ្លះដែលត្រូវបានសម្គាល់ដោយគណិតវិទូ។
ប្រភេទ Null
សមាសធាតុទាំងអស់នៃប្រភេទម៉ាទ្រីសនេះគឺសូន្យ។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរ ចំនួនជួរដេក និងជួរឈររបស់វាគឺខុសគ្នាទាំងស្រុង។
ប្រភេទការ៉េ
ចំនួនជួរឈរនិងជួរដេកនៃប្រភេទម៉ាទ្រីសនេះគឺដូចគ្នា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតវាគឺជាតារាងរាង "ការ៉េ" ។ ចំនួនជួរឈរ (ឬជួរ) របស់វាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់។ ករណីពិសេសត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអត្ថិភាពនៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ (2x2 ម៉ាទ្រីស) លំដាប់ទីបួន (4x4) លំដាប់ទីដប់ (10x10) លំដាប់ទីដប់ប្រាំពីរ (17x17) ជាដើម។
វ៉ិចទ័រជួរឈរ
នេះគឺជាប្រភេទម៉ាទ្រីសសាមញ្ញបំផុតមួយ ដែលមានជួរឈរតែមួយ ដែលរួមបញ្ចូលតម្លៃលេខបី។ វាតំណាងឱ្យចំនួននៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ (ចំនួនឯករាជ្យនៃអថេរ) នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។
មើលស្រដៀងគ្នានឹងរឿងមុន។ មានធាតុលេខបីដែលត្រូវបានរៀបចំជាជួរមួយ។
ប្រភេទអង្កត់ទ្រូង
តម្លៃលេខនៅក្នុងទម្រង់អង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីសយកតែធាតុផ្សំនៃអង្កត់ទ្រូងចម្បង (បន្លិចពណ៌បៃតង) ។ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់ចាប់ផ្តើមដោយធាតុដែលមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងស្តាំខាងលើហើយបញ្ចប់ដោយលេខនៅក្នុងជួរទីបីនៃជួរទីបី។ សមាសធាតុដែលនៅសល់គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រភេទអង្កត់ទ្រូងគឺគ្រាន់តែជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់មួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងចំណោមម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង គេអាចបែងចែកមាត្រដ្ឋានបាន។ សមាសធាតុទាំងអស់របស់វាយកតម្លៃដូចគ្នា។
ប្រភេទរងនៃម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង។ តម្លៃលេខទាំងអស់របស់វាគឺឯកតា។ ដោយប្រើតារាងម៉ាទ្រីសមួយប្រភេទ មួយធ្វើការបំប្លែងមូលដ្ឋានរបស់វា ឬរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅនឹងតារាងដើម។
ប្រភេទ Canonical
ទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផ្នែកសំខាន់មួយ; ការកាត់បន្ថយវាជាញឹកញាប់ចាំបាច់សម្រាប់ការងារ។ ចំនួនជួរដេក និងជួរឈរក្នុងម៉ាទ្រីស Canonical ប្រែប្រួល ហើយវាមិនចាំបាច់ជារបស់ប្រភេទការ៉េទេ។ វាស្រដៀងទៅនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដែរ ប៉ុន្តែក្នុងករណីរបស់វា មិនមែនសមាសធាតុទាំងអស់នៃអង្កត់ទ្រូងមេយកតម្លៃស្មើនឹងមួយនោះទេ។ វាអាចមានឯកតាអង្កត់ទ្រូងពីរឬបួន (វាទាំងអស់គឺអាស្រ័យលើប្រវែងនិងទទឹងនៃម៉ាទ្រីស) ។ ឬប្រហែលជាមិនមានឯកតាទាល់តែសោះ (បន្ទាប់មកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាសូន្យ) ។ សមាសធាតុដែលនៅសល់នៃប្រភេទ Canonical ក៏ដូចជាធាតុអង្កត់ទ្រូងនិងឯកតាគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ប្រភេទត្រីកោណ
ប្រភេទម៉ាទ្រីសសំខាន់បំផុតមួយ ដែលប្រើនៅពេលស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា និងនៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការសាមញ្ញ។ ប្រភេទត្រីកោណបានមកពីប្រភេទអង្កត់ទ្រូង ដូច្នេះម៉ាទ្រីសក៏ការ៉េ។ ប្រភេទត្រីកោណនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានបែងចែកទៅជាត្រីកោណខាងលើនិងខាងក្រោម។
នៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើ (រូបភាពទី 1) មានតែធាតុដែលនៅពីលើអង្កត់ទ្រូងមេប៉ុណ្ណោះ ដែលយកតម្លៃស្មើនឹងសូន្យ។ សមាសធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងខ្លួនឯងនិងផ្នែកនៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅពីក្រោមវាមានតម្លៃជាលេខ។
នៅក្នុងម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណទាប (រូបភាពទី 2) ផ្ទុយទៅវិញធាតុដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោមនៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ប្រភេទគឺចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ក៏ដូចជាសម្រាប់ប្រតិបត្តិការបឋមលើពួកវា (រួមជាមួយនឹងប្រភេទត្រីកោណ)។ ម៉ាទ្រីសជំហានត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះដូច្នេះ ព្រោះវាមានលក្ខណៈ "ជំហាន" នៃលេខសូន្យ (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប)។ នៅក្នុងប្រភេទជំហាន អង្កត់ទ្រូងនៃសូន្យត្រូវបានបង្កើតឡើង (មិនចាំបាច់ជាមេ) ហើយធាតុទាំងអស់នៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងនេះក៏មានតម្លៃស្មើសូន្យដែរ។ តម្រូវការជាមុនមានដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើមានជួរសូន្យនៅក្នុងម៉ាទ្រីសជំហាន នោះជួរដែលនៅសល់ខាងក្រោមវាក៏មិនមានតម្លៃជាលេខដែរ។
ដូច្នេះ យើងបានពិនិត្យប្រភេទម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗដែលចាំបាច់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយពួកគេ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលបញ្ហានៃការបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ដែលត្រូវការ។
កាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ? ភាគច្រើនជាញឹកញាប់នៅក្នុងភារកិច្ច អ្នកត្រូវបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា បើមិនដូច្នេះទេគេហៅថា កត្តាកំណត់។ នៅពេលអនុវត្តនីតិវិធីនេះ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការ "រក្សា" អង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស ពីព្រោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុផ្សំនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់របស់វា។ ខ្ញុំសូមរំលឹកផងដែរនូវវិធីសាស្រ្តជំនួសសម្រាប់ការស្វែងរកកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់នៃប្រភេទការ៉េត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តពិសេស។ ឧទាហរណ៍អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្ត្រត្រីកោណ។ សម្រាប់ matrices ផ្សេងទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការ decomposition តាមជួរដេក ជួរឈរ ឬធាតុរបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើ។ អ្នកក៏អាចប្រើវិធីសាស្ត្រអនីតិជន និងការបន្ថែមម៉ាទ្រីសពិជគណិតផងដែរ។
ចូរយើងវិភាគលម្អិតអំពីដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការមួយចំនួន។
លំហាត់ 1
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបង្ហាញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។
ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងគឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបី។ ដូច្នេះ ដើម្បីបំប្លែងវាទៅជារាងត្រីកោណ យើងនឹងត្រូវការដកសមាសធាតុពីរនៃជួរឈរទីមួយ និងសមាសធាតុមួយនៃទីពីរ។
ដើម្បីនាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ យើងចាប់ផ្តើមបំប្លែងពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងក្រោមនៃម៉ាទ្រីស - ពីលេខ 6។ ដើម្បីបង្វែរវាទៅជាសូន្យ គុណជួរទីមួយដោយបី ហើយដកវាចេញពីជួរចុងក្រោយ។
សំខាន់! ជួរខាងលើមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប៉ុន្តែនៅដដែលដូចក្នុងម៉ាទ្រីសដើម។ មិនចាំបាច់សរសេរខ្សែអក្សរធំជាងអក្សរដើមបួនដងទេ។ ប៉ុន្តែតម្លៃនៃខ្សែដែលសមាសធាតុត្រូវកំណត់ទៅសូន្យត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជានិច្ច។
នៅសល់តែតម្លៃចុងក្រោយ - ធាតុនៃជួរទីបីនៃជួរទីពីរ។ នេះគឺជាលេខ (-1) ។ ដើម្បីបង្វែរវាទៅជាសូន្យ ដកទីពីរចេញពីជួរទីមួយ។
តោះពិនិត្យ៖
detA = 2 x (−1) x 11 = −22 ។
នេះមានន័យថាចម្លើយចំពោះកិច្ចការគឺ -22 ។
កិច្ចការទី 2
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដោយកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។
ម៉ាទ្រីសដែលបានបង្ហាញជាប្រភេទការ៉េ និងជាម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបួន។ នេះមានន័យថា ចាំបាច់ត្រូវបង្វែរសមាសធាតុបីនៃជួរឈរទីមួយ សមាសធាតុពីរនៃជួរឈរទីពីរ និងសមាសធាតុមួយនៃទីបីទៅសូន្យ។
ចូរចាប់ផ្តើមកាត់បន្ថយវាជាមួយនឹងធាតុដែលមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងក្រោម - ជាមួយលេខ 4. យើងត្រូវបង្វែរលេខនេះទៅសូន្យ។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើនេះគឺត្រូវគុណបន្ទាត់ខាងលើដោយបួន ហើយបន្ទាប់មកដកវាចេញពីទីបួន។ ចូរយើងសរសេរលទ្ធផលនៃដំណាក់កាលដំបូងនៃការផ្លាស់ប្តូរ។
ដូច្នេះសមាសភាគជួរទីបួនត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ។ ចូរបន្តទៅធាតុទីមួយនៃជួរទី 3 ទៅកាន់លេខ 3 ។ យើងធ្វើប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នា។ យើងគុណជួរទីមួយដោយបី ដកវាចេញពីជួរទីបី ហើយសរសេរលទ្ធផល។
យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីបង្វែរទៅសូន្យសមាសធាតុទាំងអស់នៃជួរឈរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសការ៉េនេះដោយលើកលែងតែលេខ 1 - ធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ដែលមិនតម្រូវឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរ។ ឥឡូវនេះវាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការថែរក្សាលេខសូន្យលទ្ធផល ដូច្នេះយើងនឹងធ្វើការបំប្លែងជាមួយជួរដេក មិនមែនជាមួយជួរឈរទេ។ ចូរបន្តទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសដែលបានបង្ហាញ។
ចូរចាប់ផ្តើមម្តងទៀតនៅខាងក្រោម - ជាមួយធាតុនៃជួរទីពីរនៃជួរចុងក្រោយ។ លេខនេះគឺ (-7) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចាប់ផ្តើមដោយលេខ (-1) - ធាតុនៃជួរទីពីរនៃជួរទីបី។ ដើម្បីបង្វែរវាទៅជាសូន្យ ដកទីពីរចេញពីជួរទីបី។ បន្ទាប់មកយើងគុណជួរទីពីរដោយប្រាំពីរ ហើយដកវាចេញពីទីបួន។ យើងទទួលបានសូន្យជំនួសឱ្យធាតុដែលមានទីតាំងនៅជួរទីបួននៃជួរទីពីរ។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅជួរទីបី។
នៅក្នុងជួរឈរនេះ យើងត្រូវបង្វែរលេខមួយទៅលេខសូន្យ - 4។ វាមិនពិបាកធ្វើទេ៖ យើងគ្រាន់តែបន្ថែមលេខមួយភាគបីទៅជួរចុងក្រោយ ហើយមើលលេខសូន្យដែលយើងត្រូវការ។
បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដែលបានធ្វើ យើងបាននាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានស្នើឡើងទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។ ឥឡូវនេះ ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគុណធាតុលទ្ធផលនៃអង្កត់ទ្រូងមេប៉ុណ្ណោះ។ យើងទទួលបាន: detA = 1 x (−1) x (−4) x 40 = 160 ។ដូច្នេះដំណោះស្រាយគឺ 160 ។
ដូច្នេះឥឡូវនេះសំណួរនៃការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណនឹងមិនរំខានអ្នកទេ។
កាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ជំហាន
សម្រាប់ប្រតិបត្តិការបឋមលើម៉ាទ្រីស ទម្រង់ជំហានគឺតិចជាង "នៅក្នុងតម្រូវការ" ជាងទម្រង់ត្រីកោណ។ វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីស្វែងរកលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស (ឧ. ចំនួនជួរដេកមិនសូន្យរបស់វា) ឬដើម្បីកំណត់ជួរដេកអាស្រ័យនិងឯករាជ្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រភេទម៉ាទ្រីសដែលបានបោះជំហានគឺមានលក្ខណៈជាសកលជាងព្រោះវាសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ប្រភេទការ៉េប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ផ្សេងទៀតទាំងអស់។
ដើម្បីកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ជាជំហានដំបូង អ្នកត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា។ វិធីសាស្រ្តខាងលើគឺសមរម្យសម្រាប់ការនេះ។ គោលបំណងនៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់គឺដើម្បីរកមើលថាតើវាអាចត្រូវបានបំលែងទៅជាម៉ាទ្រីសជំហាន។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ធំជាង ឬតិចជាងសូន្យ នោះអ្នកអាចបន្តការងារដោយសុវត្ថិភាព។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ វានឹងមិនអាចកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ echelon បានទេ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាតើមានកំហុសក្នុងការថត ឬនៅក្នុងការបំប្លែងម៉ាទ្រីស។ ប្រសិនបើគ្មានភាពមិនត្រឹមត្រូវបែបនេះទេ កិច្ចការមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។
សូមក្រឡេកមើលរបៀបកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការជាច្រើន។
លំហាត់ 1 ។ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃតារាងម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
មុនពេលយើងគឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបី (3x3) ។ យើងដឹងថា ដើម្បីស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់ វាចាំបាច់ក្នុងការកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ ដូច្នេះដំបូងយើងត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស។ តោះប្រើវិធីសាស្ត្រត្រីកោណ៖ detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = ១២.
Determinant = 12. វាធំជាងសូន្យ ដែលមានន័យថាម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ stepwise ។ ចូរចាប់ផ្តើមផ្លាស់ប្តូរវា។
ចូរចាប់ផ្តើមវាជាមួយនឹងធាតុនៃជួរឈរខាងឆ្វេងនៃជួរទីបី - លេខ 2. គុណបន្ទាត់ខាងលើដោយពីរហើយដកវាចេញពីទីបី។ សូមអរគុណចំពោះប្រតិបត្តិការនេះទាំងធាតុដែលយើងត្រូវការនិងលេខ 4 - ធាតុនៃជួរឈរទីពីរនៃជួរទីបី - ប្រែទៅជាសូន្យ។
យើងឃើញថាជាលទ្ធផលនៃការកាត់បន្ថយ ម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ក្នុងករណីរបស់យើង យើងមិនអាចបន្តការបំប្លែងបានទេ ដោយសារសមាសធាតុដែលនៅសល់មិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាសូន្យបានទេ។
នេះមានន័យថាយើងសន្និដ្ឋានថាចំនួនជួរដេកដែលមានតម្លៃលេខនៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ (ឬចំណាត់ថ្នាក់របស់វា) គឺ 3. ចម្លើយចំពោះកិច្ចការ: 3 ។
កិច្ចការទី 2 ។កំណត់ចំនួនជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីសនេះ។
យើងត្រូវស្វែងរកខ្សែអក្សរដែលមិនអាចបំប្លែងទៅជាសូន្យដោយការបំប្លែងណាមួយឡើយ។ តាមការពិត យើងត្រូវស្វែងរកចំនួនជួរដេកដែលមិនមែនជាសូន្យ ឬចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបង្ហាញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមឱ្យយើងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។
យើងឃើញម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជារបស់ប្រភេទការ៉េ។ វាមានទំហំ 3x4 ។ ចូរចាប់ផ្តើមការកាត់បន្ថយជាមួយនឹងធាតុនៃជ្រុងខាងឆ្វេងខាងក្រោម - លេខ (-1) ។
ការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតរបស់វាគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ នេះមានន័យថាយើងសន្និដ្ឋានថាចំនួនបន្ទាត់ឯករាជ្យនៅក្នុងវាហើយចម្លើយចំពោះកិច្ចការគឺ 3 ។
ឥឡូវនេះការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហានមិនមែនជាកិច្ចការដែលមិនអាចទៅរួចសម្រាប់អ្នកទេ។
ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការទាំងនេះ យើងបានពិនិត្យមើលការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ និងទម្រង់ជាជំហាន។ ដើម្បីបង្វែរតម្លៃដែលចង់បាននៃតារាងម៉ាទ្រីសទៅជាសូន្យ ក្នុងករណីខ្លះអ្នកត្រូវប្រើការស្រមើលស្រមៃរបស់អ្នក ហើយបំប្លែងជួរឈរ ឬជួរដេករបស់វាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ សូមសំណាងល្អក្នុងគណិតវិទ្យា និងក្នុងការធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីស!
1. ចូរយើងស្វែងយល់ជាមុននូវអ្វីដែលទម្រង់សាមញ្ញដែលទាក់ទងគ្នានៃម៉ាទ្រីសពហុធាចតុកោណអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយអនុវត្តតែប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេងប៉ុណ្ណោះ។
ចូរយើងសន្មត់ថាជួរឈរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសមានធាតុដែលមិនដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ។ ចូរយើងយកពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រតូចបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ ហើយដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញ ធ្វើឱ្យវាក្លាយជាធាតុមួយ។ បន្ទាប់ពីនេះ ចែកពហុនាមដោយ ; យើងសម្គាល់កូតានិក និងនៅសល់ដោយ និង
ឥឡូវនេះ ដកពីជួរទីទីមួយ ជួរទីមួយដែលបានគុណនឹង . ប្រសិនបើមិននៅសល់ទាំងអស់ដូចគ្នានឹងសូន្យទេ នោះមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យហើយមានកម្រិតតូចបំផុតអាចត្រូវបានដាក់ជំនួសដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញ។ ជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការទាំងអស់នេះ កម្រិតនៃពហុធានឹងថយចុះ។
ឥឡូវនេះ យើងនឹងធ្វើដំណើរការនេះម្តងទៀត។
បន្ទាប់ពីនោះយកធាតុហើយអនុវត្តនីតិវិធីដូចគ្នាទៅនឹងជួរដេកដែលមានលេខ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងសម្រេចបាននូវអ្វី និង។ ដោយបន្តដូចនេះ ទីបំផុតយើងនឹងកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖
(5)
ប្រសិនបើពហុនាមមិនដូចគ្នាបេះបិទទេ នោះដោយប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេងនៃប្រភេទទីពីរ យើងនឹងធ្វើឱ្យកម្រិតនៃធាតុតិចជាងដឺក្រេ (ប្រសិនបើវាមានសូន្យដឺក្រេ នោះវានឹងក្លាយទៅជាដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ)។ ដូចគ្នាដែរ ប្រសិនបើ ប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេងនៃប្រភេទទីពីរ យើងនឹងធ្វើឱ្យដឺក្រេនៃធាតុតិចជាងដឺក្រេ ដោយមិនផ្លាស់ប្តូរធាតុ។ល។
យើងបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ
ទ្រឹស្តីបទ 1. ម៉ាទ្រីសពហុនាមរាងចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រតែងតែអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (5) ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេង ដែលពហុនាមមានដឺក្រេទាបជាង ប្រសិនបើតែប៉ុណ្ណោះ ហើយទាំងអស់ដូចគ្នាបេះបិទប្រសិនបើ 
.
វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបដូចគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ 2. ម៉ាទ្រីសពហុគុណតម្លៃចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងស្តាំ
(6)
ដែលពហុនាមមានដឺក្រេទាបជាង , if only , ហើយទាំងអស់គឺដូចគ្នាបេះបិទស្មើសូន្យ , if 
.
2. ខាងក្រោមនេះជាទ្រឹស្តីបទទី១ និងទី២
ផលវិបាក។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសពហុគុណការ៉េមិនអាស្រ័យលើ និងខុសពីសូន្យទេ នោះម៉ាទ្រីសនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបឋម។
ជាការពិតណាស់ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 1 ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេង ម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់
(7)
តើលំដាប់នៃម៉ាទ្រីសនៅឯណា។ ដោយសារនៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការបឋមទៅម៉ាទ្រីសពហុនាមការ៉េ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគុណតែដោយកត្តាមិនសូន្យថេរ បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស (7) ដូចជាកត្តាកំណត់មិនអាស្រ័យលើ និងខុសពី សូន្យ, i.e.
.
ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទ 1 ដូចគ្នា ម៉ាទ្រីស (7) មានទម្រង់អង្កត់ទ្រូង ដូច្នេះហើយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេងនៃប្រភេទទី 1 ទៅម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។ បន្ទាប់មក និងច្រាសមកវិញ ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការប្រើប្រតិបត្តិការបឋមខាងឆ្វេងជាមួយម៉ាទ្រីស។ អាស្រ័យហេតុនេះ
ពីផ្នែកដែលបានបញ្ជាក់ យើងទទួលបាន (សូមមើលទំព័រ 137 – 138) សមមូលនៃនិយមន័យពីរ 2 និង 2" នៃសមមូលនៃម៉ាទ្រីសពហុនាម។
3. ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើងអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (4) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 1 ទៅម៉ាទ្រីសនៃមេគុណប្រតិបត្តិករ។ បន្ទាប់មក ដូចដែលបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ 138 ប្រព័ន្ធ (4) នឹងត្រូវបានជំនួសដោយប្រព័ន្ធសមមូល
(4")
កន្លែងណា។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ យើងអាចជ្រើសរើសមុខងារតាមអំពើចិត្ត បន្ទាប់ពីនោះមុខងារត្រូវបានកំណត់តាមលំដាប់លំដោយ ហើយនៅដំណាក់កាលនីមួយៗនៃការកំណត់នេះ យើងត្រូវបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយជាមួយនឹងមុខងារមិនស្គាល់មួយ។
4. ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការបង្កើតទម្រង់ "canonical" ដែលម៉ាទ្រីសពហុធាចតុកោណអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយអនុវត្តប្រតិបត្តិការបឋមទាំងឆ្វេង និងស្តាំទៅវា។
ក្នុងចំណោមធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនដូចគ្នានឹងសូន្យ យើងយកធាតុដែលមានកម្រិតតូចបំផុតទាក់ទងនឹង ហើយដោយការរៀបចំជួរដេកនិងជួរឈរឡើងវិញសមស្របយើងធ្វើវាជាធាតុ។ បន្ទាប់មក យើងនឹងរកឃើញចំនួនកូតានិក និងសល់ នៅពេលបែងចែកពហុនាម និងដោយ៖
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅសល់ 
ជាឧទាហរណ៍ វាមិនដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យទេ បន្ទាប់មកដោយដកពីជួរទី 1 ជួរឈរទីមួយដែលពីមុនគុណនឹង យើងជំនួសធាតុដោយនៅសល់ដែលមានកម្រិតទាបជាង . បន្ទាប់មកយើងមានឱកាសម្តងទៀតដើម្បីកាត់បន្ថយកម្រិតនៃធាតុនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសដោយដាក់ធាតុដែលមានដឺក្រេទាបបំផុតនៅក្នុងកន្លែងនេះ។
ប្រសិនបើនៅសល់ 
;
គឺដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកដោយដកពីជួរទី ទីមួយ គុណនឹងពីមុន និងពីជួរទី 1 - ទីមួយ គុណនឹងពីមុន យើងនឹងកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសពហុនាមរបស់យើងទៅជាទម្រង់
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយ។ មិនអាចត្រូវបានបែងចែកដោយកត្តាលេខសូន្យទេ យើងនឹងអាចធានាថាមេគុណនាំមុខនៃពហុនាម និងបង្កើតរូបមន្តភ្ជាប់ពហុនាមទាំងនេះជាមួយធាតុនៃម៉ាទ្រីស។
ទម្រង់បួនជ្រុងណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅ ទម្រង់ Canonical កំណត់ដោយរូបមន្ត
តើរូបរាងនៅឯណា fចំណាត់ថ្នាក់ពី មមិនស្គាល់; លេខ , ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែលក្ខខណ្ឌមួយចំនួននៃរូបមន្ត (VII.5) អាចជាអវិជ្ជមាន។
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ, ជំនួស, ; និង ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate នាំទម្រង់ quadratic ទៅ ធម្មតា។ ចិត្ត, នោះគឺ
ចំនួនសរុបនៃការ៉េគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃទម្រង់ការ៉េ។
មានការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរជាច្រើនដែលកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ធម្មតា (VII.6) ប៉ុន្តែរហូតដល់ទីតាំងនៃសញ្ញា ការកាត់បន្ថយបែបនេះគឺតែមួយគត់។
សម្រាប់ទម្រង់ពិត quadratic វាកាន់ ច្បាប់នៃនិចលភាព . ចំនួននៃការ៉េវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានក្នុងទម្រង់ធម្មតា ដែលទម្រង់ការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណពិតប្រាកដត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរពិតប្រាកដមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះទេ។
ចំនួនការ៉េវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ក្នុងទម្រង់ធម្មតា។ fហៅ សន្ទស្សន៍និចលភាពវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) (នៅក្នុងរូបមន្ត (VII.6) នេះគឺ k) ភាពខុសគ្នារវាងសន្ទស្សន៍និចលភាពវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ហត្ថលេខា ទម្រង់ f(ក្នុងរូបមន្ត (VII.6) វាស្មើនឹង r-k).
សូមឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េនៃវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មទម្រង់បួនជ្រុង f. អនីតិជនដែលមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺមានលំដាប់លេខ 1, 2, ..., មចុងក្រោយនៃពួកវាស្របគ្នានឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស , នោះគឺ
ត្រូវបានហៅ មេ ទម្រង់តូចតាច f.
ទ្រឹស្តីបទ VII.១.រាងបួនជ្រុង fពី មនៃមិនស្គាល់ដែលមានមេគុណពិតប្រាកដនឹងមានពាក្យវិជ្ជមាន ប្រសិនបើអនីតិជននាំមុខទាំងអស់មានភាពវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍ VII.3.រាងបួនជ្រុង
មានភាពវិជ្ជមានច្បាស់លាស់ ព្រោះអនីតិជនឈានមុខគេនៃម៉ាទ្រីសគឺវិជ្ជមាន៖
, , 
.
វាអាចទៅរួច ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយ ដើម្បីកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical តាមវិធីជាច្រើន ប៉ុន្តែមានទម្រង់ធម្មតាតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ សូមបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ VII.4.កាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical ។
ដំណោះស្រាយ. ចូរកំណត់ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ៖
1) 
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 
.
សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរមួយទៀត យើងមាន
2) 
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 
.
ទម្រង់ធម្មតានៃទម្រង់បួនជ្រុង ដែលទម្រង់ Canonical ទាំងពីរត្រូវគ្នា 
.
លំហាត់ប្រាណ។ពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃរូបមន្តលទ្ធផលដោយជំនួសការបំប្លែងដោយផ្ទាល់ 1) និង 2) ទៅជាទម្រង់ការ៉េដើម។
សំណួរកើតឡើងដោយធម្មជាតិ៖ "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ (ប្រតិបត្តិករ)?"
មុននឹងបន្តទៅឧទាហរណ៍បន្ទាប់ សូមផ្តល់ការបញ្ជាក់ខ្លះៗ។ ដោយមិនបំពានលើខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តទូទៅ យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះសមីការ
ដែលផ្នែកខាងស្តាំគឺជាទម្រង់បួនជ្រុងដែលបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត កន្សោមនេះកំណត់បន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានតំណាងដោយផលបូកនៃការ៉េនៃអថេរ។
,
បន្ទាប់មកយើងមានទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុង។
សមីការទាំងពីរនឹងពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរដូចគ្នា ប្រសិនបើក្នុងទម្រង់ hមាត្រដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានរក្សា។ ដើម្បីទទួលបានទម្រង់ Canonical ហជាធម្មតាសមីការលក្ខណៈត្រូវបានប្រើ។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាទំនាក់ទំនងរវាងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនិង . និយាយជាន័យធៀប យើងមិនដឹងពីទីតាំងខ្សែនោះទេ។ អិលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ប្រសិនបើវាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ Canonical h. ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះអាចត្រូវបានសម្រេចដោយការបង្វិលអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេដោយមុំមួយ។ j(រូបទី VII.1) នោះគឺទៅពីកូអរដោណេ x, yទៅ x 1 , y 1 តាមរូបមន្ត
ដើម្បីបញ្ច្រាសការបំលែងអ្នកត្រូវជំនួសមុំ j
នៅលើ - j.
ដើម្បីស្វែងរកទីតាំងនៃបន្ទាត់ យើងត្រូវស្វែងរកការបំប្លែងកូអរដោនេដែលផ្តល់ភាពស្មើគ្នា ហក្នុងចិត្ត h. ចំណាំថាដើម្បីរក្សាមាត្រដ្ឋាន យើងត្រូវប្តូរទៅប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthonormal ។
ឧទាហរណ៍ VII.5.បានផ្តល់ទម្រង់បួនជ្រុងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ពោលគឺសរសេរទម្រង់របស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហើយស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។ ទទួលបានទម្រង់ធម្មតានៃទម្រង់បួនជ្រុង។
ដំណោះស្រាយ. ចូរបង្កើតម៉ាទ្រីសបំលែងលីនេអ៊ែរស៊ីមេទ្រី (ប្រតិបត្តិករ) ក
.
ចូរយើងបង្កើតពហុនាមលក្ខណៈ និងស្វែងរក eigenvalues និង eigenvectors ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងអនុវត្តភារកិច្ចនៃឧទាហរណ៍ជាបន្តបន្ទាប់។ យើងមាន
សមីការលក្ខណៈត្រូវបានតំណាងដោយសមភាព
.
ដោយបានគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស យើងទទួលបានពហុនាមដែលមានឫសគល់គឺ eigenvalues ។ ចូរយើងសរសេរទម្រង់បែបបទ Canonical (VII.7)៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ ពោលគឺយើងនឹងបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងប្រព័ន្ធ និង . ដោយសារឫសគឺពិតប្រាកដ និងប្លែកពីគ្នា ហើយគ្មានលេខសូន្យ នោះការបំប្លែងគឺមិនខូចឡើយ។ ចូរស្វែងរក eigenvectors នៅក្នុងមូលដ្ឋាន (យើងនឹងតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រនៅក្នុងជួរឈរ) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
កំណត់សម្រាប់ eigenvalues នីមួយៗ។
សម្រាប់ , ពី (VII.8) យើងមានសមីការម៉ាទ្រីស
.
សន្មតថាចាំបាច់ យើងទទួលបាន
នៅ, យើងមាន។ អេហ្គេនវ៉ិចទ័រដំបូងគេបានរកឃើញ 
, ប្រវែងរបស់វា។
នៅពេលដែលយើងមាន
ឬ 
ការបន្ថែមទីពីរទៅសមីការទីមួយ ហើយកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើសមីការលទ្ធផលត្រូវបានដោះស្រាយជាប្រព័ន្ធជាមួយទីបី នោះយើងនឹងចាំបាច់បន្តទៅ eigenvector ទីមួយ។ វានៅសល់ដើម្បីបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការពីផលបូកនៃសមីការពីរដំបូង និងសមីការទីពីរ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន
សន្មតថាបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ
