ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេពេញនិយមសម្រាប់អត់ចេះសោះ។ និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

ម៉ាក់លាងស៊ុម

នៅចុងបញ្ចប់នៃវិស្សមកាលរដូវក្តៅដ៏វែង វាដល់ពេលដែលត្រូវត្រលប់ទៅគណិតវិទ្យាខ្ពស់វិញបន្តិចម្តងៗ ហើយបើកឯកសារ Verdov ទទេរយ៉ាងឱឡារិក ដើម្បីចាប់ផ្តើមបង្កើតផ្នែកថ្មី - . ខ្ញុំទទួលស្គាល់ថា បន្ទាត់ដំបូងមិនងាយស្រួលទេ ប៉ុន្តែជំហានដំបូងគឺពាក់កណ្តាលផ្លូវ ដូច្នេះខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកគ្រប់គ្នាសិក្សាអត្ថបទណែនាំដោយយកចិត្តទុកដាក់ បន្ទាប់ពីនោះការធ្វើជាម្ចាស់លើប្រធានបទនឹងកាន់តែងាយស្រួលជាង 2 ដង! ខ្ញុំមិននិយាយបំផ្លើសអ្វីទាំងអស់។ …នៅមុនថ្ងៃទី 1 ខែកញ្ញាខាងមុខនេះ ខ្ញុំចាំថ្នាក់ដំបូង និងថ្នាក់បឋម…. អក្សរបង្កើតជាព្យាង្គ, ព្យាង្គបង្កើតជាពាក្យ, ពាក្យបង្កើតជាប្រយោគខ្លី - ម៉ាក់លាងស៊ុម។ ស្ទាត់ជំនាញ turver និងស្ថិតិគណិតវិទ្យាគឺងាយស្រួលដូចរៀនអាន! ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់រឿងនេះ អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យគន្លឹះ គោលគំនិត និងការរចនា ព្រមទាំងច្បាប់ជាក់លាក់មួយចំនួន ដែលជាប្រធានបទនៃមេរៀននេះ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង សូមទទួលយកការអបអរសាទររបស់ខ្ញុំនៅលើការចាប់ផ្តើម (ការបន្ត ការបញ្ចប់ សម្គាល់តាមការសមរម្យ) នៃឆ្នាំសិក្សា ហើយទទួលយកអំណោយ។ អំណោយដ៏ល្អបំផុតគឺសៀវភៅមួយ ហើយសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ ខ្ញុំសូមណែនាំអក្សរសិល្ប៍ខាងក្រោម៖

1) Gmurman V.E. ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា

សៀវភៅរឿងព្រេងនិទានដែលបានឆ្លងកាត់ការបោះពុម្ពឡើងវិញច្រើនជាងដប់។ វាត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពវៃឆ្លាតរបស់វា និងការបង្ហាញដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃសម្ភារៈ ហើយជំពូកទីមួយគឺអាចចូលដំណើរការបានទាំងស្រុង ខ្ញុំគិតថាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 6-7 រួចហើយ។

2) Gmurman V.E. មគ្គុទ្ទេសក៍ដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា

សៀវភៅដំណោះស្រាយដោយ Vladimir Efimovich ដូចគ្នាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍លម្អិតនិងបញ្ហា។

ចាំបាច់ទាញយកសៀវភៅទាំងពីរពីអ៊ីនធឺណិត ឬទទួលបានឯកសារដើមរបស់ពួកគេ! កំណែពីទសវត្សរ៍ទី 60 និង 70 ក៏នឹងដំណើរការផងដែរ ដែលកាន់តែល្អសម្រាប់អត់ចេះសោះ។ ទោះបីជាឃ្លា "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់អត់ចេះសោះ" ស្តាប់ទៅគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់ ដោយសារស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់ចំពោះប្រតិបត្តិការនព្វន្ធបឋម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកវារំលងនៅកន្លែងនានា និស្សន្ទវត្ថុនិង អាំងតេក្រាល។ប៉ុន្តែនេះគ្រាន់តែនៅកន្លែងប៉ុណ្ណោះ។

ខ្ញុំ​នឹង​ព្យាយាម​សម្រេច​ឱ្យ​បាន​នូវ​ភាព​ច្បាស់លាស់​ដូច​គ្នា​នៃ​ការ​បង្ហាញ ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​ត្រូវ​តែ​ព្រមាន​ថា​វគ្គ​សិក្សា​របស់​ខ្ញុំ​គឺ​មាន​គោល​បំណង​ ការដោះស្រាយបញ្ហាហើយការគណនាតាមទ្រឹស្តីត្រូវបានរក្សាទុកឱ្យតិចបំផុត។ ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកត្រូវការទ្រឹស្តីលម្អិត ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ (ទ្រឹស្តីបទ-ទ្រឹស្តីបទ!) សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សា។ អញ្ចឹងអ្នកណាចង់ រៀនដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លីបំផុត។, តាមខ្ញុំ!

វាគ្រប់គ្រាន់ហើយសម្រាប់ការចាប់ផ្តើម =)

នៅពេលអ្នកអានអត្ថបទ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យស្គាល់ (យ៉ាងហោចណាស់ដោយសង្ខេប) ជាមួយនឹងភារកិច្ចបន្ថែមនៃប្រភេទដែលបានពិចារណា។ នៅលើទំព័រ ដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចសម្រាប់គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ឯកសារ pdf ដែលត្រូវគ្នាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានបង្ហោះ។ ជំនួយសំខាន់ៗក៏នឹងត្រូវបានផ្តល់ជូនផងដែរ។ IDZ 18.1 Ryabushko(សាមញ្ញជាង) និង ដោះស្រាយ IDZ យោងទៅតាមការប្រមូលរបស់ Chudesenko(ពិបាកជាង)។

1) ចំនួនទឹកប្រាក់ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ហើយព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា ដែលនឹងកើតឡើង ឬព្រឹត្តិការណ៍ ឬព្រឹត្តិការណ៍ ឬព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយ។ នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង មិនឆបគ្នា។ជម្រើសចុងក្រោយបាត់ នោះគឺវាអាចកើតឡើង ឬព្រឹត្តិការណ៍ ឬព្រឹត្តិការណ៍។

ច្បាប់នេះក៏អនុវត្តចំពោះពាក្យមួយចំនួនធំផងដែរ ឧទាហរណ៍ ព្រឹត្តិការណ៍ គឺជាអ្វីដែលនឹងកើតឡើង យ៉ាងហោចណាស់មួយ។ពីព្រឹត្តិការណ៍ , ក ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។ – បន្ទាប់មករឿងមួយ និងរឿងតែមួយគត់ព្រឹត្តិការណ៍ពីចំនួននេះ៖ ឬព្រឹត្តិការណ៍ , ឬព្រឹត្តិការណ៍ , ឬព្រឹត្តិការណ៍ , ឬព្រឹត្តិការណ៍ , ឬព្រឹត្តិការណ៍។

មានឧទាហរណ៍ជាច្រើន៖

ព្រឹត្តិការណ៍ (នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ 5 ពិន្ទុនឹងមិនលេចឡើង) គឺជាអ្វីដែលនឹងលេចឡើង ឬ 1, ឬ 2, ឬ 3, ឬ 4, ឬ៦ ពិន្ទុ។

ព្រឹត្តិការណ៍ (នឹងធ្លាក់ចុះ គ្មានទៀតទេចំណុចពីរ) គឺថា 1 នឹងលេចឡើង ឬ 2ពិន្ទុ.

ព្រឹត្តិការណ៍ (នឹង​មាន​ចំនួន​ពិន្ទុ​គូ) គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​លេច​ឡើង​ ឬ 2 ឬ 4 ឬ៦ ពិន្ទុ។

ព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺថាកាតក្រហម (បេះដូង) នឹងត្រូវបានដកចេញពីនាវា ឬ tambourine) និងព្រឹត្តិការណ៍ - ថា "រូបភាព" នឹងត្រូវបានដកស្រង់ (jack ឬស្ត្រី ឬស្តេច ឬអាត់)

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះទៅទៀតគឺករណីជាមួយព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា៖

ព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺថាក្លឹបមួយនឹងត្រូវបានទាញចេញពីនាវា ឬប្រាំពីរ ឬប្រាំពីរនៃក្លឹប យោងតាមនិយមន័យខាងលើ។ យ៉ាងហោចណាស់អ្វីមួយ- ឬក្លឹបណាមួយឬប្រាំពីរឬ "ប្រសព្វ" របស់ពួកគេ - ប្រាំពីរនៃក្លឹប។ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាថាព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវគ្នានឹងលទ្ធផលបឋមចំនួន 12 (កាតក្លឹប 9 + 3 សន្លឹកដែលនៅសល់)។

ព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺថាថ្ងៃស្អែកនៅម៉ោង 12.00 នឹងមកដល់ យ៉ាងហោចណាស់មានព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាដែលអាចសង្ខេបបាន។ពោលគឺ៖

- ឬមានតែភ្លៀង / មានតែផ្គរលាន់ / ព្រះអាទិត្យតែមួយគត់។
- ឬព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួននឹងកើតឡើង (ភ្លៀង + ផ្គរលាន់ / ភ្លៀង + ព្រះអាទិត្យ / ផ្គររន្ទះ + ​​ព្រះអាទិត្យ);
- ឬព្រឹត្តិការណ៍ទាំងបីនឹងលេចឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

នោះ​គឺ​ព្រឹត្តិការណ៍​នេះ​រួម​បញ្ចូល​លទ្ធផល​ដែល​អាច​កើត​មាន​ចំនួន ៧។

សសរស្តម្ភទីពីរនៃពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍៖

2) ការងារព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ហើយហៅព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ម្យ៉ាងវិញទៀត គុណមានន័យថា នៅក្រោមកាលៈទេសៈខ្លះនឹងមាន និងព្រឹត្តិការណ៍ , និងព្រឹត្តិការណ៍។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នានេះជាការពិតសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនធំ ជាឧទាហរណ៍ ការងារបង្ហាញថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់វានឹងកើតឡើង និងព្រឹត្តិការណ៍ , និងព្រឹត្តិការណ៍ , និងព្រឹត្តិការណ៍, ..., និងព្រឹត្តិការណ៍។

ពិចារណាលើការធ្វើតេស្តមួយដែលកាក់ពីរត្រូវបានបោះចោល និងព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ

- ក្បាលនឹងលេចឡើងនៅលើកាក់ទី 1;
- កាក់ទី 1 នឹងចុះចត;
- ក្បាលនឹងលេចឡើងនៅលើកាក់ទី 2;
- កាក់ទី 2 នឹងចុះចត។

បន្ទាប់មក៖
និងនៅថ្ងៃទី 2) ក្បាលនឹងលេចឡើង;
- ព្រឹត្តិការណ៍គឺថានៅលើកាក់ទាំងពីរ (នៅថ្ងៃទី 1 និងនៅថ្ងៃទី 2) វានឹងក្លាយជាក្បាល;
- ព្រឹត្តិការណ៍គឺថាកាក់ទី 1 នឹងចុះចត និងកាក់ទី 2 គឺកន្ទុយ;
- ព្រឹត្តិការណ៍គឺថាកាក់ទី 1 នឹងចុះចត និងនៅលើកាក់ទី 2 មានឥន្ទ្រី។

វាងាយស្រួលមើលព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ មិនឆបគ្នា។ (ព្រោះវាមិនអាចមានក្បាល 2 និងកន្ទុយ 2 ក្នុងពេលតែមួយបានទេ)និងទម្រង់ ក្រុមពេញ (ចាប់តាំងពីយកទៅក្នុងគណនី ទាំងអស់។លទ្ធផលដែលអាចកើតមាននៃការបោះកាក់ពីរ). ចូរយើងសង្ខេបព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ៖ . តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបកស្រាយធាតុនេះ? សាមញ្ញណាស់ - គុណមានន័យថាការតភ្ជាប់ឡូជីខល និង, និងការបន្ថែម - ឬ. ដូច្នេះ បរិមាណគឺងាយស្រួលអានជាភាសាមនុស្សដែលអាចយល់បាន៖ “ក្បាលពីរនឹងលេចចេញមក ឬក្បាលពីរ ឬកាក់ទី 1 នឹងចុះចត និងនៅលើកន្ទុយទី 2 ឬកាក់ទី 1 នឹងចុះចត និងនៅលើកាក់ទី 2 មានឥន្ទ្រី។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយនៅពេល ក្នុងការធ្វើតេស្តមួយ។វត្ថុជាច្រើនត្រូវបានពាក់ព័ន្ធ ក្នុងករណីនេះកាក់ពីរ។ គ្រោងការណ៍ទូទៅមួយទៀតនៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងគឺ ការធ្វើតេស្តឡើងវិញ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលការស្លាប់ដូចគ្នាត្រូវបានរមៀល 3 ដងជាប់គ្នា។ ជា​ការ​បង្ហាញ សូម​ពិចារណា​ព្រឹត្តិការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

- នៅក្នុងការបោះលើកទី 1 អ្នកនឹងទទួលបាន 4 ពិន្ទុ។
- នៅក្នុងការបោះលើកទី 2 អ្នកនឹងទទួលបាន 5 ពិន្ទុ។
- នៅក្នុងការបោះលើកទី 3 អ្នកនឹងទទួលបាន 6 ពិន្ទុ។

បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ គឺថានៅក្នុងការបោះលើកទី 1 អ្នកនឹងទទួលបាន 4 ពិន្ទុ និងនៅក្នុងការបោះលើកទី 2 អ្នកនឹងទទួលបាន 5 ពិន្ទុ និងនៅជុំទី 3 អ្នកនឹងទទួលបាន 6 ពិន្ទុ។ ជាក់ស្តែងនៅក្នុងករណីនៃគូបមួយ វានឹងមានការរួមបញ្ចូលគ្នា (លទ្ធផល) ច្រើនជាងប្រសិនបើយើងកំពុងបោះកាក់។

...ខ្ញុំយល់ថា ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ដែលត្រូវបានវិភាគគឺមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងនោះទេ ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺជារឿងដែលតែងតែជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហា ហើយមិនមានការគេចចេញពីពួកគេ។ បន្ថែមពីលើកាក់មួយ គូប និងសន្លឹកបៀមួយសន្លឹក កោដ្ឋជាមួយបាល់ពហុពណ៌ មនុស្សអនាមិកជាច្រើននាក់បាញ់ចំគោលដៅមួយ និងកម្មករដែលមិនចេះនឿយហត់ដែលកំពុងស្វែងរកព័ត៌មានលំអិតមួយចំនួនកំពុងរង់ចាំអ្នក =)

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ គឺជាគោលគំនិតកណ្តាលនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ...រឿងសមហេតុសមផលឃាតករ ប៉ុន្តែយើងត្រូវចាប់ផ្តើមនៅកន្លែងណាមួយ =) មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនចំពោះនិយមន័យរបស់វា៖

;
និយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ;
និយមន័យស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ .

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ខ្ញុំនឹងផ្តោតលើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតនៅក្នុងកិច្ចការអប់រំ។

ការរចនា. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង ហើយព្រឹត្តិការណ៍ខ្លួនវាត្រូវបានយកជាតង្កៀប ដែលដើរតួជាប្រភេទនៃអាគុយម៉ង់។ ឧទាហរណ៍៖

ផងដែរ អក្សរតូចត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយដើម្បីបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ជាពិសេស អ្នកអាចបោះបង់ចោលការរចនាដ៏លំបាកនៃព្រឹត្តិការណ៍ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ នៅក្នុងការពេញចិត្តនៃរចនាប័ទ្មដូចខាងក្រោម::

- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលការបោះកាក់នឹងបណ្តាលឱ្យក្បាល។
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់នឹងផ្តល់លទ្ធផល 5 ពិន្ទុ;
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកាតនៃឈុតក្លឹបនឹងត្រូវបានទាញចេញពីនាវា។

ជម្រើសនេះគឺពេញនិយមនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង ព្រោះវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយការកត់ត្រាដំណោះស្រាយយ៉ាងច្រើន។ ដូចនៅក្នុងករណីដំបូង វាជាការងាយស្រួលក្នុងការប្រើ "ការនិយាយ" អក្សរតូច/អក្សរធំនៅទីនេះ។

គ្រប់គ្នាបានទាយជាយូរមកហើយនូវលេខដែលខ្ញុំទើបតែសរសេរខាងលើ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលពួកគេបានប្រែក្លាយ៖

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ:

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការធ្វើតេស្តជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថា សមាមាត្រ ដែល៖

- ចំនួនសរុប អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា, បឋមសិក្សាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនេះ ទម្រង់បែបបទណា ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍;

- បរិមាណ បឋមសិក្សាលទ្ធផល, អំណោយផល ព្រឹត្តិការណ៍។

នៅពេលបោះកាក់ ទាំងក្បាល ឬកន្ទុយអាចធ្លាក់ចេញ - ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះកើតឡើង ក្រុមពេញដូច្នេះចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល; ក្នុងពេលជាមួយគ្នាពួកគេម្នាក់ៗ បឋមសិក្សានិង អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា. ព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានអនុគ្រោះដោយលទ្ធផល (ក្បាល) ។ យោងតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖ .

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ជាលទ្ធផលនៃការបោះមនុស្សស្លាប់ លទ្ធផលបឋមដែលអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នាអាចលេចឡើង បង្កើតក្រុមពេញលេញ ហើយព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានពេញចិត្តដោយលទ្ធផលតែមួយ (រមៀលប្រាំ) ។ នោះហើយជាមូលហេតុ៖ នេះ​មិន​ត្រូវ​បាន​ទទួល​យក​ដើម្បី​ធ្វើ (ទោះ​បី​ជា​វា​មិន​ត្រូវ​បាន​ហាម​ឃាត់​ក្នុង​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​ភាគរយ​នៅ​ក្នុង​ក្បាល​របស់​អ្នក​) ។

វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើប្រភាគនៃឯកតាហើយជាក់ស្តែង ប្រូបាប៊ីលីតេអាចប្រែប្រួលនៅក្នុង . លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើ នោះព្រឹត្តិការណ៍គឺ មិនអាចទៅរួច, ប្រសិនបើ - អាចទុកចិត្តបាន។ហើយប្រសិនបើ នោះយើងកំពុងនិយាយអំពី ចៃដន្យព្រឹត្តិការណ៍។

! ប្រសិនបើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយ អ្នកទទួលបានតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេផ្សេងទៀត រកមើលកំហុស!

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តបុរាណដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ តម្លៃខ្លាំង (សូន្យ និងមួយ) ត្រូវបានទទួលតាមរយៈហេតុផលដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ អនុញ្ញាតឱ្យបាល់ 1 ត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យពីកោដ្ឋជាក់លាក់មួយដែលមានបាល់ក្រហមចំនួន 10 ។ ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ

នៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានលទ្ធភាពទាបនឹងមិនកើតឡើងទេ។.

នេះជាមូលហេតុដែលអ្នកនឹងមិនវាយ Jackpot នៅក្នុងឆ្នោតទេប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺ 0.00000001 ។ បាទ/ចាស៎ វាគឺជាអ្នក - ជាមួយនឹងសំបុត្រតែមួយគត់នៅក្នុងចរាចរជាក់លាក់មួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួនសំបុត្រកាន់តែច្រើន និងចំនួនគំនូរកាន់តែធំនឹងមិនអាចជួយអ្នកបានច្រើននោះទេ។ ...នៅពេលខ្ញុំប្រាប់អ្នកដ៏ទៃអំពីរឿងនេះ ខ្ញុំស្ទើរតែតែងតែឮជាការឆ្លើយតប៖ “ប៉ុន្តែនរណាម្នាក់ឈ្នះ”។ មិនអីទេ តោះធ្វើការពិសោធន៍ខាងក្រោម៖ សូមទិញសំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតណាមួយនៅថ្ងៃនេះ ឬថ្ងៃស្អែក (កុំបង្អង់យូរ!) ហើយប្រសិនបើអ្នកឈ្នះ... យ៉ាងហោចណាស់ក៏ច្រើនជាង 10 គីឡូរូប៊ល ត្រូវប្រាកដថាចុះឈ្មោះ - ខ្ញុំនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលវាកើតឡើង។ សម្រាប់ភាគរយពិតណាស់ =) =)

ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់សោកស្ដាយទេ ពីព្រោះមានគោលការណ៍ផ្ទុយគ្នា៖ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនគឺជិតនឹងមួយ នោះនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយវានឹង ស្ទើរតែប្រាកដនឹងកើតឡើង។ ដូច្នេះហើយ មុននឹងលោតឆ័ត្រយោង មិនចាំបាច់ខ្លាចអីទេ ផ្ទុយទៅវិញ ញញឹម! យ៉ាងណាមិញ កាលៈទេសៈដែលមិននឹកស្មានដល់ និងអស្ចារ្យត្រូវតែកើតឡើង ដើម្បីឱ្យអ្នកលោតឆ័ត្រយោងទាំងពីរបរាជ័យ។

ទោះបីជាទាំងអស់នេះគឺជាកំណាព្យក៏ដោយ ចាប់តាំងពីអាស្រ័យលើខ្លឹមសារនៃព្រឹត្តិការណ៍នោះ គោលការណ៍ទីមួយអាចប្រែទៅជារីករាយ ហើយទីពីរ - សោកសៅ។ ឬសូម្បីតែទាំងពីរគឺស្របគ្នា។

ប្រហែលជាវាគ្រប់គ្រាន់ហើយសម្រាប់ពេលនេះ នៅក្នុងថ្នាក់ បញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេបុរាណយើងនឹងទទួលបានច្រើនបំផុតពីរូបមន្ត។ នៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយនៃអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាទ្រឹស្តីបទសំខាន់មួយ៖

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញគឺស្មើនឹងមួយ។. និយាយដោយប្រយោល ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតជាក្រុមពេញលេញ នោះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 100% មួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងកើតឡើង។ ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ក្រុមពេញលេញត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ឧទាហរណ៍៖

- ជាលទ្ធផលនៃការបោះកាក់ ក្បាលនឹងលេចឡើង។
- លទ្ធផលនៃការបោះកាក់នឹងជាក្បាល។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ៖

វាច្បាស់ណាស់ថាព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ហើយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នា។ .

ដោយសារតែសមភាពនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ ប្រហាក់ប្រហែល . ហើយនេះគឺជាអណ្តាតសម្រាប់កំណត់កម្រិតនៃការស្រវឹង =)

ឧទាហរណ៍ជាមួយគូប៖ ព្រឹត្តិការណ៍គឺផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះ .

ទ្រឹស្តីបទដែលកំពុងពិចារណាគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងនោះវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនប្រាំត្រូវបានរមូរត្រូវបានគេដឹង នោះវាងាយស្រួលក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលវាមិនត្រូវបានរមៀល៖

នេះគឺសាមញ្ញជាងការបូកសរុបប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលបឋមទាំងប្រាំ។ សម្រាប់លទ្ធផលបឋម ដោយវិធីនេះ ទ្រឹស្តីបទនេះក៏ពិតដែរ៖
. ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់នឹងបាញ់ចំគោលដៅ នោះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងខកខាន។

! នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ វាជាការមិនចង់ប្រើអក្សរសម្រាប់គោលបំណងផ្សេងទៀតទេ។

ជាកិត្តិយសនៃទិវាចំណេះដឹង ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់កិច្ចការផ្ទះ =) ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ដែលអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរខាងក្រោមបាន៖

- តើព្រឹត្តិការណ៍ប្រភេទណាខ្លះ?
- តើអ្វីជាឱកាស និងលទ្ធភាពស្មើគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ?
- តើអ្នកយល់ពាក្យថា ភាពឆបគ្នា/ភាពមិនឆបគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ដោយរបៀបណា?
- តើអ្វីជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍, ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ?
- តើការបូក និងគុណនៃព្រឹត្តិការណ៍មានន័យដូចម្តេច?
- តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ?
– ហេតុអ្វីបានជាទ្រឹស្តីបទសម្រាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញមានប្រយោជន៍?

ទេ អ្នកមិនចាំបាច់ដាក់អ្វីទាំងអស់ ទាំងនេះគ្រាន់តែជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេប៉ុណ្ណោះ ដែលជាប្រភេទ primer ដែលនឹងសមនឹងក្បាលរបស់អ្នកយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ហើយដើម្បីឱ្យរឿងនេះកើតឡើងឱ្យបានឆាប់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងមេរៀន

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ អថេរចៃដន្យ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា។

អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1929 ប៉ុណ្ណោះ។ ការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេជាវិទ្យាសាស្ត្រមានតាំងពីយុគសម័យកណ្តាល និងការប៉ុនប៉ងដំបូងក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យានៃការលេងល្បែង (flake, គ្រាប់ឡុកឡាក់, រ៉ូឡែត) ។ គណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៃសតវត្សទី 17 Blaise Pascal និង Pierre Fermat ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាការទស្សន៍ទាយពីការឈ្នះក្នុងល្បែង បានរកឃើញគំរូប្រូបាប៊ីលីតេដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេបានកើតឡើងជាវិទ្យាសាស្ត្រមួយពីជំនឿដែលថាគំរូមួយចំនួនបង្កប់នូវព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដ៏ធំ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាពីគំរូទាំងនេះ។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលការកើតឡើងមិនត្រូវបានគេដឹងច្បាស់។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកវិនិច្ឆ័យកម្រិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងអ្នកដទៃ។

ឧទាហរណ៍៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់នូវលទ្ធផលនៃ "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" ដែលជាលទ្ធផលនៃការបោះកាក់ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការបោះម្តងហើយម្តងទៀត ប្រហែលជាចំនួនដូចគ្នានៃ "ក្បាល" និង "កន្ទុយ" លេចឡើង ដែលមានន័យថា ប្រូបាប៊ីលីតេដែល "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" នឹងធ្លាក់ចុះ "គឺស្មើនឹង 50% ។

សាកល្បងក្នុងករណីនេះ ការអនុវត្តលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថា ក្នុងករណីនេះ ការបោះកាក់។ ការប្រកួតប្រជែងអាចលេងបានចំនួនដងគ្មានដែនកំណត់។ ក្នុងករណីនេះសំណុំនៃលក្ខខណ្ឌរួមមានកត្តាចៃដន្យ។

លទ្ធផលតេស្តគឺ ព្រឹត្តិការណ៍. ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង៖

1. អាចទុកចិត្តបាន (តែងតែកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត)។
2. មិនអាចទៅរួច (មិនដែលកើតឡើង)។
3. ចៃដន្យ (អាចឬមិនកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត) ។

ឧទាហរណ៍នៅពេលបោះកាក់ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច - កាក់នឹងចុះចតនៅលើគែមរបស់វា ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ - រូបរាងនៃ "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" ។ លទ្ធផលតេស្តជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍បឋម. ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមានតែព្រឹត្តិការណ៍បឋមប៉ុណ្ណោះដែលកើតឡើង។ សំណុំនៃលទ្ធផលតេស្តដែលអាចធ្វើបាន ខុសគ្នា ជាក់លាក់ទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម.

គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តី

ប្រូបាប៊ីលីតេ- កម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ នៅពេលដែលហេតុផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានពិតប្រាកដលើសពីហេតុផលផ្ទុយ នោះព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហែលជា បើមិនដូច្នោះទេ - មិនទំនង ឬមិនទំនង។

អថេរចៃដន្យ- នេះគឺជាបរិមាណដែលលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តអាចយកតម្លៃមួយ ឬតម្លៃផ្សេងទៀត ហើយគេមិនដឹងជាមុនថាមួយណា។ ឧទាហរណ៍៖ ចំនួន​ស្ថានីយ​ពន្លត់​អគ្គិភ័យ​ក្នុង​មួយ​ថ្ងៃ ចំនួន​ដង​បាញ់​ចំនួន ១០ ដង។ល។

អថេរចៃដន្យអាចបែងចែកជាពីរប្រភេទ។

1. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺ​ជា​បរិមាណ​ដែល​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​អាច​យក​តម្លៃ​មួយ​ចំនួន​ជាមួយ​នឹង​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ជាក់លាក់​មួយ​បង្កើត​ជា​សំណុំ​អាច​រាប់​បាន (សំណុំ​ដែល​ធាតុ​អាច​ត្រូវ​បាន​លេខ​រៀង​) ។ ឈុតនេះអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ចំនួននៃការបាញ់មុនពេលវាយដំបូងលើគោលដៅគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ពីព្រោះ បរិមាណនេះអាចទទួលយកជាចំនួនគ្មានកំណត់ ទោះបីជាអាចរាប់បានក៏ដោយ ចំនួននៃតម្លៃ។
2. អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់គឺជាបរិមាណដែលអាចយកតម្លៃណាមួយពីចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺគ្មានកំណត់។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ- គំនិតណែនាំដោយ A.N. Kolmogorov ក្នុងទសវត្សរ៍ទី 30 នៃសតវត្សទី 20 ដើម្បីធ្វើជាផ្លូវការនូវគោលគំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបណ្តាលឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័សនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាវិន័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹង។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺបីដង (ជួនកាលត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបមុំ៖ , កន្លែងណា

នេះ​ជា​ការ​កំណត់​តាម​អំពើ​ចិត្ត, ធាតុ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា ព្រឹត្តិការណ៍​បឋម, លទ្ធផល ឬ​ចំណុច;
- ពិជគណិត sigma នៃសំណុំរងហៅថា (ចៃដន្យ) ព្រឹត្តិការណ៍;
- រង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ ឬប្រូបាប៊ីលីតេ, i.e. sigma-additive កំណត់វិធានការកំណត់ដូចនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace- ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់មួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបង្កើតឡើងដោយ Laplace ក្នុងឆ្នាំ 1812 ។ វាចែងថាចំនួនជោគជ័យនៅពេលធ្វើពិសោធន៍ចៃដន្យដដែលម្តងហើយម្តងទៀតជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលអាចកើតមានពីរគឺត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេប្រហាក់ប្រហែល។

ប្រសិនបើសម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យនីមួយៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួនគឺស្មើនឹង () ហើយជាចំនួននៃការសាកល្បងដែលវាកើតឡើងពិតប្រាកដ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាពជាការពិតគឺនៅជិត (សម្រាប់តម្លៃធំ) ទៅ តម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Laplace ។

មុខងារចែកចាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ- មុខងារកំណត់លក្ខណៈនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ ឬវ៉ិចទ័រចៃដន្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ X នឹងយកតម្លៃតិចជាង ឬស្មើ x ដែល x ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌដែលគេស្គាល់ត្រូវបានបំពេញ វាកំណត់ទាំងស្រុងនូវអថេរចៃដន្យ។

ការរំពឹងទុក- តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ (នេះគឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ ពិចារណាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ជាភាសាអង់គ្លេសវាត្រូវបានតំណាងដោយ , នៅក្នុងភាសារុស្សី - . នៅក្នុងស្ថិតិ សញ្ញាណត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

អនុញ្ញាតឱ្យចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងអថេរចៃដន្យដែលបានកំណត់នៅលើវា។ នោះគឺតាមនិយមន័យ មុខងារដែលអាចវាស់វែងបាន។ បន្ទាប់​មក ប្រសិនបើ​មាន​អាំងតេក្រាល Lebesgue លើ​លំហ នោះ​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​រំពឹង​ទុក​តាម​គណិតវិទ្យា ឬ​តម្លៃ​មធ្យម ហើយ​ត្រូវ​បាន​តាង។

ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ- រង្វាស់នៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ វាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍រុស្ស៊ីនិងបរទេស។ នៅក្នុងស្ថិតិ សញ្ញាណ ឬត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ ឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់ត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ គម្លាតស្តង់ដារ ឬការរីករាលដាលស្តង់ដារ។

ទុកជាអថេរចៃដន្យដែលកំណត់លើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក

ដែលជាកន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញាតំណាងឱ្យការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានហៅ អាស្រ័យប្រសិនបើតម្លៃនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃផ្សេងទៀត។

ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើនគឺទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ដែលចែងថាប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់ នោះនៅពេលដែលចំនួននៃការសាកល្បងកើនឡើង ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍មានទំនោរទៅរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ និង ឈប់ចៃដន្យ។

ច្បាប់នៃចំនួនច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ចែងថា មធ្យមនព្វន្ធនៃគំរូកំណត់ពីការចែកចាយថេរគឺជិតនឹងមធ្យមភាគទ្រឹស្តីនៃការចែកចាយនោះ។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃការបញ្ចូលគ្នា ភាពខុសគ្នាមួយត្រូវបានធ្វើឡើងរវាងច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាកើតឡើងដោយប្រូបាប៊ីលីតេ និងច្បាប់ខ្លាំងនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាគឺស្ទើរតែប្រាកដ។

អត្ថន័យទូទៅនៃច្បាប់នៃចំនួនធំគឺថា សកម្មភាពរួមគ្នានៃកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំដូចគ្នាបេះបិទ និងឯករាជ្យនាំទៅរកលទ្ធផលដែលនៅក្នុងដែនកំណត់មិនអាស្រ័យលើឱកាស។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេដោយផ្អែកលើការវិភាគគំរូកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។ ឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់គឺការព្យាករណ៍លទ្ធផលបោះឆ្នោតដោយផ្អែកលើការស្ទង់មតិគំរូនៃអ្នកបោះឆ្នោត។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល- ថ្នាក់នៃទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដែលបញ្ជាក់ថា ផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យអាស្រ័យខ្សោយដែលមានមាត្រដ្ឋានប្រហាក់ប្រហែលគ្នា (គ្មានពាក្យណាមួយត្រួតត្រា ឬកំណត់ការរួមចំណែកកំណត់ចំពោះផលបូក) មានការចែកចាយជិតធម្មតា។

ដោយសារអថេរចៃដន្យជាច្រើននៅក្នុងកម្មវិធីត្រូវបានបង្កើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលនៃកត្តាចៃដន្យដែលពឹងផ្អែកខ្សោយមួយចំនួន ការចែកចាយរបស់ពួកគេត្រូវបានចាត់ទុកថាជារឿងធម្មតា។ ក្នុងករណីនេះ លក្ខខណ្ឌត្រូវតែបំពេញថាគ្មានកត្តាណាមួយលេចធ្លោនោះទេ។ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលនៅក្នុងករណីទាំងនេះបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការប្រើប្រាស់ការចែកចាយធម្មតា។

“ឧប្បត្តិហេតុមិនមែនចៃដន្យទេ”... វាស្តាប់ទៅដូចជាអ្វីដែលទស្សនវិទូបាននិយាយ ប៉ុន្តែការពិត ការសិក្សាដោយចៃដន្យគឺជាជោគវាសនានៃវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យនៃគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឱកាសត្រូវបានដោះស្រាយដោយទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ច ក៏ដូចជានិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រនេះនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងអត្ថបទ។

តើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាអ្វី?

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមួយ ដែលសិក្សាពីព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។

ដើម្បីឱ្យវាកាន់តែច្បាស់ សូមលើកឧទាហរណ៍តូចមួយ៖ ប្រសិនបើអ្នកបោះកាក់ឡើង វាអាចធ្លាក់លើក្បាល ឬកន្ទុយ។ ខណៈពេលដែលកាក់ស្ថិតនៅលើអាកាស ប្រូបាប៊ីលីតេទាំងពីរនេះគឺអាចធ្វើទៅបាន។ នោះគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលវិបាកដែលអាចកើតមានគឺ 1: 1 ។ ប្រសិនបើអ្នកគូរសន្លឹកបៀមួយសន្លឹកពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹកនោះប្រូបាប៊ីលីតេនឹងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជា 1:36 ។ វាហាក់ដូចជាគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងយល់ និងទស្សន៍ទាយនៅទីនេះទេ ជាពិសេសដោយមានជំនួយពីរូបមន្តគណិតវិទ្យា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើសកម្មភាពជាក់លាក់មួយម្តងទៀតច្រើនដង អ្នកអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណគំរូជាក់លាក់មួយ ហើយផ្អែកលើវា ទស្សន៍ទាយលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។

ដើម្បីសង្ខេបទាំងអស់ខាងលើ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងន័យបុរាណសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមាននៅក្នុងតម្លៃជាលេខ។

ពីទំព័រប្រវត្តិសាស្ត្រ

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការដំបូងបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាលដ៏ឆ្ងាយ នៅពេលដែលការព្យាយាមទស្សន៍ទាយលទ្ធផលនៃល្បែងបៀរដំបូងបានកើតឡើង។

ដំបូងឡើយ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ មិនមានអ្វីពាក់ព័ន្ធនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ វាត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយអង្គហេតុជាក់ស្តែង ឬលក្ខណៈសម្បត្តិនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចផលិតឡើងវិញនៅក្នុងការអនុវត្ត។ ស្នាដៃដំបូងនៅក្នុងតំបន់នេះជាវិន័យគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញខ្លួននៅសតវត្សទី 17 ។ ស្ថាបនិកគឺលោក Blaise Pascal និង Pierre Fermat ។ ពួកគេបានសិក្សាការលេងល្បែងស៊ីសងជាយូរណាស់មកហើយ ហើយបានឃើញគំរូមួយចំនួន ដែលពួកគេបានសម្រេចចិត្តប្រាប់សាធារណជនអំពី។

បច្ចេកទេសដូចគ្នានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Christiaan Huygens ទោះបីជាគាត់មិនស៊ាំនឹងលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ Pascal និង Fermat ក៏ដោយ។ គោលគំនិតនៃ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលើកដំបូងក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃវិន័យ ត្រូវបានណែនាំដោយគាត់។

ស្នាដៃរបស់ Jacob Bernoulli ទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace និង Poisson ក៏មិនមានសារៈសំខាន់តិចតួចដែរ។ ពួកគេបានធ្វើឱ្យទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេកាន់តែដូចជាវិន័យគណិតវិទ្យា។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការមូលដ្ឋានបានទទួលទម្រង់បច្ចុប្បន្នរបស់ពួកគេដោយអរគុណចំពោះ axioms របស់ Kolmogorov ។ ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបានក្លាយជាផ្នែកមួយនៃផ្នែកគណិតវិទ្យា។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ព្រឹត្តិការណ៍

គំនិតសំខាន់នៃវិន័យនេះគឺ "ព្រឹត្តិការណ៍" ។ ព្រឹត្តិការណ៍មានបីប្រភេទ៖

• អាចទុកចិត្តបាន។អ្វីដែលនឹងកើតឡើង (កាក់នឹងធ្លាក់ចុះ) ។
• មិនអាចទៅរួច។ព្រឹត្តិការណ៍ដែលនឹងមិនកើតឡើងក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ (កាក់នឹងនៅតែព្យួរនៅលើអាកាស)។
• ចៃដន្យ។ដែលនឹងកើតឡើងឬមិនកើតឡើង។ ពួកគេអាចត្រូវបានជះឥទ្ធិពលដោយកត្តាផ្សេងៗដែលពិបាកទស្សន៍ទាយណាស់។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីកាក់ នោះមានកត្តាចៃដន្យដែលអាចប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផល៖ លក្ខណៈរូបវន្តនៃកាក់ រូបរាងរបស់វា ទីតាំងដើមរបស់វា កម្លាំងនៃការបោះ។ល។

ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរធំឡាតាំង លើកលែងតែ P ដែលមានតួនាទីខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖

• ក = “សិស្សមកបង្រៀន”។
• Ā = "សិស្សមិនបានមកបង្រៀនទេ។"

នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ព្រឹត្តិការណ៍ជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជាពាក្យ។

លក្ខណៈសំខាន់បំផុតមួយនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺលទ្ធភាពស្មើគ្នារបស់ពួកគេ។ នោះគឺប្រសិនបើអ្នកបោះកាក់មួយ ការប្រែប្រួលទាំងអស់នៃការដួលរលំដំបូងគឺអាចធ្វើទៅបានរហូតដល់វាធ្លាក់។ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍ក៏មិនអាចទៅរួចដូចគ្នាដែរ។ វាកើតឡើងនៅពេលដែលនរណាម្នាក់មានឥទ្ធិពលដោយចេតនាលើលទ្ធផលមួយ។ ឧទាហរណ៍ ការលេងបៀ ឬគ្រាប់ឡុកឡាក់ "បានសម្គាល់" ដែលកណ្តាលទំនាញត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

ព្រឹត្តិការណ៍ក៏អាចត្រូវគ្នា និងមិនត្រូវគ្នាផងដែរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នាមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងរបស់គ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ ឧទាហរណ៍៖

• A = "សិស្សបានមកបង្រៀន។"
• B = "សិស្សមកបង្រៀន" ។

ព្រឹត្តិការណ៍​ទាំង​នេះ​គឺ​អាស្រ័យ​គ្នា​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក ហើយ​ការ​កើត​ឡើង​នៃ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​នោះ​មិន​ប៉ះ​ពាល់​ដល់​ការ​កើត​ឡើង​របស់​គ្នា​ទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាត្រូវបានកំណត់ដោយការពិតដែលថាការកើតឡើងនៃមួយមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃមួយផ្សេងទៀត។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីកាក់ដូចគ្នានោះការបាត់បង់ "កន្ទុយ" ធ្វើឱ្យវាមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់ការលេចឡើងនៃ "ក្បាល" នៅក្នុងការពិសោធន៍ដូចគ្នា។

សកម្មភាពលើព្រឹត្តិការណ៍

ព្រឹត្តិការណ៍អាចត្រូវបានគុណ និងបន្ថែមតាមនោះ ការតភ្ជាប់ឡូជីខល “AND” និង “OR” ត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងវិន័យ។

ចំនួនទឹកប្រាក់ត្រូវបានកំណត់ដោយការពិតដែលថាព្រឹត្តិការណ៍ A ឬ B ឬពីរអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ប្រសិនបើពួកវាមិនត្រូវគ្នា ជម្រើសចុងក្រោយគឺមិនអាចទៅរួចទេ ទាំង A ឬ B នឹងត្រូវបានរមៀល។

ការគុណនៃព្រឹត្តិការណ៍មាននៅក្នុងរូបរាងនៃ A និង B ក្នុងពេលតែមួយ។

ឥឡូវនេះយើងអាចផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើនដើម្បីចងចាំមូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងរូបមន្តឱ្យកាន់តែប្រសើរឡើង។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 1៖ ក្រុមហ៊ុនចូលរួមប្រកួតប្រជែងដើម្បីទទួលបានកិច្ចសន្យាការងារបីប្រភេទ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមាន៖

• A = “ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាដំបូង”។
• និង 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាដំបូង" ។
• B = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាទីពីរ" ។
• B 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទីពីរទេ"
• C = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាទីបី" ។
• C 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទីបីទេ។"

ដោយប្រើសកម្មភាពលើព្រឹត្តិការណ៍ យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញពីស្ថានភាពដូចខាងក្រោម៖

• K = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលកិច្ចសន្យាទាំងអស់។"

ក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យា សមីការនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ K = ABC ។

• M = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាតែមួយទេ។"

M = A 1 B 1 C ១.

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ៖ H = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាមួយ" ។ ដោយសារគេមិនដឹងថាកិច្ចសន្យាមួយណាដែលក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបាន (ទីមួយ ទីពីរ ឬទីបី) វាចាំបាច់ក្នុងការកត់ត្រាស៊េរីនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានទាំងស្រុង៖

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C ។

ហើយ 1 BC 1 គឺជាស៊េរីនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលក្រុមហ៊ុនមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទី 1 និងទី 3 ប៉ុន្តែទទួលបានទីពីរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានផ្សេងទៀតត្រូវបានកត់ត្រាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រសមស្រប។ និមិត្តសញ្ញា υ នៅក្នុងវិន័យតំណាងឱ្យការតភ្ជាប់ "OR" ។ ប្រសិនបើយើងបកប្រែឧទាហរណ៍ខាងលើទៅជាភាសាមនុស្ស ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានទាំងកិច្ចសន្យាទីបី ឬទីពីរ ឬទីមួយ។ នៅក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះ អ្នកអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតនៅក្នុងវិន័យ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" ។ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានបង្ហាញខាងលើនឹងជួយអ្នកធ្វើវាដោយខ្លួនឯង។

តាមពិតប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រហែលជានៅក្នុងវិន័យគណិតវិទ្យានេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយគឺជាគោលគំនិតកណ្តាល។ មាននិយមន័យ ៣ នៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

• បុរាណ;
• ស្ថិតិ;
• ធរណីមាត្រ។

នីមួយៗមានកន្លែងរបស់ខ្លួនក្នុងការសិក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ (ថ្នាក់ទី៩) ភាគច្រើនប្រើនិយមន័យបុរាណ ដែលស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

• ប្រូបាប៊ីលីតេនៃស្ថានភាព A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ការកើតឡើងរបស់វាទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។

រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ P(A) = m/n ។

A គឺពិតជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប្រសិនបើករណីទល់មុខ A លេចឡើង វាអាចត្រូវបានសរសេរជា Ā ឬ A 1 ។

m គឺជាចំនួនករណីអំណោយផលដែលអាចកើតមាន។

n - ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើង។

ឧទាហរណ៍ A = "គូរកាតនៃឈុតបេះដូង" ។ មានសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹកនៅក្នុងបន្ទះស្ដង់ដារ ដែល 9 សន្លឹកគឺជាបេះដូង។ ដូច្នោះហើយ រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហានឹងមើលទៅដូចតទៅ៖

P(A)=9/36=0.25។

ជាលទ្ធផល ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកាតនៃឈុតបេះដូងនឹងត្រូវបានទាញចេញពីនាវានឹងមាន 0.25 ។

ឆ្ពោះទៅរកគណិតវិទ្យាខ្ពស់។

ឥឡូវនេះវាត្រូវបានគេស្គាល់តិចតួចថាទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាអ្វី រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលកើតមាននៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ដែលត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ។ ភាគច្រើនពួកគេដំណើរការជាមួយនិយមន័យធរណីមាត្រ និងស្ថិតិនៃទ្រឹស្តី និងរូបមន្តស្មុគស្មាញ។

ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីចាប់ផ្តើមសិក្សារូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ (គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង) តូច - ជាមួយនឹងនិយមន័យស្ថិតិ (ឬប្រេកង់) នៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

វិធីសាស្រ្តស្ថិតិមិនផ្ទុយនឹងបុរាណទេ ប៉ុន្តែពង្រីកវាបន្តិច។ ប្រសិនបើក្នុងករណីដំបូង ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើង នោះក្នុងវិធីសាស្ត្រនេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញថាតើវានឹងកើតឡើងញឹកញាប់ប៉ុណ្ណា។ នៅទីនេះគំនិតថ្មីនៃ "ប្រេកង់ទាក់ទង" ត្រូវបានណែនាំ ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ W n (A) ។ រូបមន្តមិនខុសពីរូបមន្តបុរាណទេ៖

ប្រសិនបើរូបមន្តបុរាណត្រូវបានគណនាសម្រាប់ការទស្សន៍ទាយ នោះស្ថិតិត្រូវបានគណនាដោយយោងតាមលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍។ សូមលើកឧទាហរណ៍អំពីកិច្ចការតូចមួយ។

នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យបច្ចេកវិទ្យាពិនិត្យផលិតផលសម្រាប់គុណភាព។ ក្នុងចំណោមផលិតផល 100 ផលិតផល 3 ត្រូវបានរកឃើញថាមានគុណភាពអន់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេប្រេកង់នៃផលិតផលដែលមានគុណភាព?

A = "រូបរាងនៃផលិតផលដែលមានគុណភាព" ។

W n (A)=97/100=0.97

ដូច្នេះភាពញឹកញាប់នៃផលិតផលដែលមានគុណភាពគឺ 0.97 ។ តើអ្នកទទួលបាន 97 ពីណា? ក្នុងចំណោមផលិតផល 100 ដែលត្រូវបានត្រួតពិនិត្យ មាន 3 ត្រូវបានរកឃើញថាមានគុណភាពអន់។ យើងដក 3 ចេញពី 100 ហើយទទួលបាន 97 នេះគឺជាបរិមាណនៃទំនិញដែលមានគុណភាព។

បន្តិចអំពី combinatorics

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេហៅថា combinatorics ។ គោលការណ៍ជាមូលដ្ឋានរបស់វាគឺថា ប្រសិនបើជម្រើសជាក់លាក់ A អាចត្រូវបានធ្វើឡើងតាមវិធីផ្សេងគ្នា ហើយជម្រើស B អាចត្រូវបានធ្វើឡើងតាមវិធីផ្សេងគ្នា នោះជម្រើសនៃ A និង B អាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការគុណ។

ជាឧទាហរណ៍ មានផ្លូវចំនួន 5 ដែលធ្វើដំណើរពីទីក្រុង A ទៅទីក្រុង B ។ មាន ៤ ផ្លូវពីទីក្រុង B ទៅទីក្រុង C ។ តើ​អ្នក​អាច​ចេញ​ពី​ទីក្រុង A ទៅ​ទីក្រុង C បាន​ប៉ុន្មាន​ផ្លូវ?

វាសាមញ្ញ៖ 5x4=20 នោះគឺជាវិធីម្ភៃផ្សេងគ្នាដែលអ្នកអាចទទួលបានពីចំណុច A ដល់ចំណុច C ។

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ តើមានវិធីប៉ុន្មានដើម្បីដាក់សន្លឹកបៀក្នុង solitaire? មានសន្លឹកបៀចំនួន 36 នៅក្នុងនាវា - នេះគឺជាចំណុចចាប់ផ្តើម។ ដើម្បីស្វែងយល់ពីចំនួនវិធី អ្នកត្រូវ "ដក" កាតមួយក្នុងពេលតែមួយពីចំណុចចាប់ផ្តើម ហើយគុណ។

នោះគឺ 36x35x34x33x32...x2x1= លទ្ធផលមិនសមនឹងអេក្រង់ម៉ាស៊ីនគិតលេខទេ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានកំណត់យ៉ាងសាមញ្ញថា 36!។ សញ្ញា "!" នៅជាប់នឹងលេខបង្ហាញថាលេខស៊េរីទាំងមូលត្រូវបានគុណជាមួយគ្នា។

នៅក្នុង combinatorics មានគោលគំនិតដូចជា ការផ្លាស់ប្តូរ ការដាក់ និងការរួមបញ្ចូលគ្នា។ ពួកគេម្នាក់ៗមានរូបមន្តផ្ទាល់ខ្លួន។

សំណុំនៃធាតុនៃសំណុំមួយត្រូវបានគេហៅថាការរៀបចំ។ ការដាក់អាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត នោះគឺធាតុមួយអាចត្រូវបានប្រើច្រើនដង។ ហើយដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៅពេលដែលធាតុមិនត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ n គឺជាធាតុទាំងអស់ m គឺជាធាតុដែលចូលរួមក្នុងការដាក់។ រូបមន្តសម្រាប់ការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

A n m =n!/(n-m)!

ការតភ្ជាប់នៃធាតុ n ដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃការដាក់ត្រូវបានគេហៅថា permutations ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាមើលទៅដូចនេះ: P n = n!

បន្សំនៃធាតុ n នៃ m គឺជាសមាសធាតុដែលវាសំខាន់ថាតើវាជាធាតុអ្វី និងចំនួនសរុបរបស់វា។ រូបមន្តនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

A n m =n!/m!(n-m)!

រូបមន្តរបស់ Bernoulli

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ដូចជានៅគ្រប់វិញ្ញាសាទាំងអស់ មានស្នាដៃរបស់អ្នកស្រាវជ្រាវឆ្នើមក្នុងវិស័យរបស់ពួកគេ ដែលបានយកវាទៅកម្រិតថ្មីមួយ។ ការងារមួយក្នុងចំណោមការងារទាំងនេះគឺរូបមន្ត Bernoulli ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយដែលកើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យ។ នេះបង្ហាញថាការកើតឡើងនៃ A នៅក្នុងការពិសោធន៍មួយមិនអាស្រ័យលើការកើតឡើង ឬការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងមុន ឬជាបន្តបន្ទាប់នោះទេ។

សមីការ Bernoulli៖

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m ។

ប្រូបាប៊ីលីតេ (p) នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ (A) គឺថេរសម្រាប់ការសាកល្បងនីមួយៗ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលស្ថានភាពនឹងកើតឡើងពិតប្រាកដ m ដងក្នុង n ចំនួននៃការពិសោធន៍នឹងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តដែលបានបង្ហាញខាងលើ។ ដូច្នោះហើយសំណួរកើតឡើងអំពីរបៀបស្វែងរកលេខ q ។

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង p ចំនួនដង នោះវាប្រហែលជាមិនកើតឡើងទេ។ ឯកតាគឺជាលេខដែលប្រើដើម្បីកំណត់លទ្ធផលទាំងអស់នៃស្ថានភាពនៅក្នុងវិន័យមួយ។ ដូច្នេះ q គឺជាលេខដែលបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនកើតឡើង។

ឥឡូវនេះអ្នកដឹងពីរូបមន្តរបស់ Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ យើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា (កម្រិតទីមួយ) ខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 2៖អ្នកទស្សនាហាងនឹងធ្វើការទិញជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 0.2 ។ ភ្ញៀវ 6 នាក់បានចូលហាងដោយឯករាជ្យ។ តើអ្វីទៅជាលទ្ធភាពដែលអ្នកទស្សនានឹងធ្វើការទិញ?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារវាមិនដឹងពីចំនួនអ្នកទស្សនាគួរធ្វើការទិញមួយ ឬទាំងប្រាំមួយនោះ វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ។

A = "អ្នកទស្សនានឹងធ្វើការទិញ។"

ក្នុងករណីនេះ: p = 0.2 (ដូចបានបង្ហាញក្នុងកិច្ចការ) ។ ដូច្នោះហើយ q = 1-0.2 = 0.8 ។

n = 6 (ចាប់តាំងពីមានអតិថិជន 6 នាក់នៅក្នុងហាង) ។ លេខ m នឹងប្រែប្រួលពី 0 (មិនមែនអតិថិជនតែមួយនឹងធ្វើការទិញទេ) ដល់ 6 (ភ្ញៀវទាំងអស់ដែលមកហាងនឹងទិញអ្វីមួយ)។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយ៖

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 = q 6 = (0.8) 6 = 0.2621 ។

គ្មានអ្នកទិញណាម្នាក់នឹងធ្វើការទិញជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 0.2621 ទេ។

តើរូបមន្តរបស់ Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងដូចម្តេច? ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា (កម្រិតទីពីរ) ខាងក្រោម។

បន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ខាងលើសំណួរកើតឡើងអំពីកន្លែងដែល C និង r បានទៅ។ ទាក់ទងទៅនឹង p លេខមួយទៅនឹងអំណាចនៃ 0 នឹងស្មើនឹងមួយ។ ចំពោះ C វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

C n m = n! /m!(n-m)!

ចាប់តាំងពីក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ m = 0 រៀងគ្នា C = 1 ដែលជាគោលការណ៍មិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលទេ។ ដោយប្រើរូបមន្តថ្មី ចូរយើងព្យាយាមរកឱ្យឃើញនូវអ្វីដែលជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃអ្នកទស្សនាពីរនាក់ដែលទិញទំនិញ។

P 6 (2) = C 6 2×p 2×q 4 = (6×5×4×3×2×1)/(2×1×4×3×2×1)×(0.2)2×( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246 ។

ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេមិនស្មុគស្មាញនោះទេ។ រូបមន្តរបស់ Bernoulli ជាឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញខាងលើ គឺជាភស្តុតាងផ្ទាល់នៃរឿងនេះ។

រូបមន្តរបស់ Poisson

សមីការរបស់ Poisson ត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាស្ថានភាពចៃដន្យប្រូបាប៊ីលីតេទាប។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន៖

P n (m) = λ m / m! × អ៊ី (-λ) ។

ក្នុងករណីនេះ λ = n x ទំ។ នេះគឺជារូបមន្ត Poisson សាមញ្ញ (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ យើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 3៖ រោងចក្រផលិតបាន 100,000 ផ្នែក។ ការកើតឡើងនៃផ្នែកដែលមានបញ្ហា = 0.0001 ។ តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​នឹង​មាន​ផ្នែក​ខូច​ចំនួន 5 ក្នុង​មួយ​បាច់​មាន​អ្វី​ខ្លះ?

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អាពាហ៍ពិពាហ៍គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនទំនង ដូច្នេះហើយរូបមន្ត Poisson (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនា។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះមិនខុសពីការងារផ្សេងទៀតនៅក្នុងវិន័យទេ យើងជំនួសទិន្នន័យចាំបាច់ទៅក្នុងរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

A = "ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងមានបញ្ហា។"

p = 0.0001 (យោងតាមលក្ខខណ្ឌការងារ) ។

n = 100000 (ចំនួនផ្នែក) ។

m = 5 (ផ្នែកខូច) ។ យើងជំនួសទិន្នន័យទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយទទួលបាន៖

R 100000 (5) = 10 5/5! X អ៊ី −10 = 0.0375 ។

ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានសរសេរខាងលើ សមីការ Poisson មាន e មិនស្គាល់តាមការពិត វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានតារាងពិសេសដែលមានតម្លៃស្ទើរតែទាំងអស់នៃអ៊ី។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace

ប្រសិនបើនៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli ចំនួននៃការសាកល្បងមានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ទាំងអស់គឺដូចគ្នា នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ចំនួនជាក់លាក់នៃពេលវេលានៅក្នុងស៊េរីនៃការធ្វើតេស្តអាចត្រូវបានរកឃើញដោយ រូបមន្តរបស់ Laplace៖

Р n (m) = 1/√npq x ϕ(X m) ។

X m = m-np/√npq ។

ដើម្បីចងចាំរូបមន្តរបស់ Laplace (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាគឺខាងក្រោមដើម្បីជួយ។

ដំបូងយើងរក X m ជំនួសទិន្នន័យ (ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានរាយខាងលើ) ទៅក្នុងរូបមន្តហើយទទួលបាន 0.025 ។ ដោយប្រើតារាងយើងរកឃើញលេខ ϕ(0.025) ដែលតម្លៃគឺ 0.3988 ។ ឥឡូវអ្នកអាចជំនួសទិន្នន័យទាំងអស់ទៅក្នុងរូបមន្ត៖

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03 ។

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលខិត្តប័ណ្ណនឹងដំណើរការយ៉ាងពិតប្រាកដ 267 ដងគឺ 0.03 ។

រូបមន្ត Bayes

រូបមន្ត Bayes (ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដោយមានជំនួយពីការដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោមគឺជាសមីការដែលពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដោយផ្អែកលើកាលៈទេសៈដែលអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវា។ រូបមន្តមូលដ្ឋានមានដូចខាងក្រោម៖

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B) ។

A និង B គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់។

P(A|B) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ ដែលមានន័យថា ព្រឹត្តិការណ៍ A អាចកើតឡើងបាន ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ B គឺជាការពិត។

P (B|A) - ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ B ។

ដូច្នេះផ្នែកចុងក្រោយនៃវគ្គសិក្សាខ្លី "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" គឺជារូបមន្ត Bayes ដែលជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដែលមានខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 5៖ ទូរសព្ទ​មក​ពី​ក្រុមហ៊ុន​ចំនួន​បី​ត្រូវ​បាន​នាំ​ចូល​ក្នុង​ឃ្លាំង។ ទន្ទឹមនឹងនេះចំណែកនៃទូរស័ព្ទដែលផលិតនៅរោងចក្រដំបូងគឺ 25% នៅទីពីរ - 60% នៅទីបី - 15% ។ វាត្រូវបានគេដឹងផងដែរថាភាគរយជាមធ្យមនៃផលិតផលខូចនៅរោងចក្រដំបូងគឺ 2% នៅទីពីរ - 4% និងនៅទីបី - 1% ។ អ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលទូរស័ព្ទដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងមានបញ្ហា។

A = "បានរើសទូរស័ព្ទដោយចៃដន្យ។"

B 1 - ទូរស័ព្ទដែលរោងចក្រដំបូងផលិត។ ដូច្នោះហើយការណែនាំ B 2 និង B 3 នឹងលេចឡើង (សម្រាប់រោងចក្រទីពីរនិងទីបី) ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ដូច្នេះយើងបានរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃជម្រើសនីមួយៗ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចង់បាន នោះគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលដែលមានបញ្ហានៅក្នុងក្រុមហ៊ុន៖

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងជំនួសទិន្នន័យទៅក្នុងរូបមន្ត Bayes ហើយទទួលបាន៖

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305 ។

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា ប៉ុន្តែនេះគ្រាន់តែជាគន្លឹះនៃផ្ទាំងទឹកកកនៃវិន័យដ៏ធំធេងប៉ុណ្ណោះ។ ហើយបន្ទាប់ពីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលត្រូវបានសរសេរវានឹងសមហេតុផលក្នុងការសួរសំណួរថាតើទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺចាំបាច់ក្នុងជីវិត។ វាពិបាកសម្រាប់មនុស្សសាមញ្ញក្នុងការឆ្លើយ វាជាការប្រសើរក្នុងការសួរអ្នកដែលបានប្រើវាដើម្បីឈ្នះ Jackpot ច្រើនជាងម្តង។

ការណែនាំ

រឿងជាច្រើនមិនអាចយល់បានចំពោះយើង មិនមែនដោយសារតែគំនិតរបស់យើងខ្សោយនោះទេ។
ប៉ុន្តែដោយសារតែរឿងទាំងនេះមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងជួរនៃគំនិតរបស់យើង។
Kozma Prutkov

គោលដៅសំខាន់នៃការសិក្សាគណិតវិទ្យានៅក្នុងគ្រឹះស្ថានអប់រំឯកទេសមធ្យមសិក្សាគឺផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវសំណុំនៃចំណេះដឹង និងជំនាញគណិតវិទ្យាដែលចាំបាច់សម្រាប់ការសិក្សាមុខវិជ្ជាកម្មវិធីផ្សេងទៀតដែលប្រើគណិតវិទ្យាដល់កម្រិតមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តការគណនាជាក់ស្តែង សម្រាប់ការបង្កើត និងការអភិវឌ្ឍន៍។ នៃការគិតឡូជីខល។

នៅក្នុងការងារនេះ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃផ្នែកគណិតវិទ្យា “មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា” ដែលផ្តល់ដោយកម្មវិធី និងស្តង់ដារអប់រំរដ្ឋនៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈមធ្យមសិក្សា (ក្រសួងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី។ អិម, ២០០២) ) ត្រូវបានណែនាំយ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួន ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលភាគច្រើនមិនត្រូវបានបញ្ជាក់។ បញ្ហាចម្បង និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ និងបច្ចេកវិទ្យាសម្រាប់ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងត្រូវបានពិចារណា។ បទបង្ហាញត្រូវបានអមដោយមតិយោបល់លម្អិត និងឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

ការណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការស្គាល់ដំបូងជាមួយសម្ភារៈដែលកំពុងសិក្សា នៅពេលកត់ត្រាការបង្រៀន ដើម្បីរៀបចំសម្រាប់ថ្នាក់អនុវត្តជាក់ស្តែង ដើម្បីបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាពដែលទទួលបាន។ លើសពីនេះ សៀវភៅណែនាំនេះក៏នឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់និស្សិតថ្នាក់បរិញ្ញាបត្រជាឧបករណ៍យោង ដែលអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលបានសិក្សាពីមុនបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

នៅចុងបញ្ចប់នៃការងារ មានឧទាហរណ៍ និងកិច្ចការដែលសិស្សអាចអនុវត្តក្នុងរបៀបគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង។

គោលការណ៍ណែនាំមានគោលបំណងសម្រាប់សិស្សក្រៅម៉ោង និងពេញម៉ោង។

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាពីគំរូគោលបំណងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដ៏ធំ។ វាគឺជាមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ស្ថិតិគណិតវិទ្យា ដែលទាក់ទងនឹងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តក្នុងការប្រមូល ការពិពណ៌នា និងដំណើរការលទ្ធផលសង្កេត។ តាមរយៈការសង្កេត (ការធ្វើតេស្ត, ការពិសោធន៍), i.e. បទពិសោធន៍ក្នុងន័យទូលំទូលាយនៃពាក្យ ចំណេះដឹងអំពីបាតុភូតនៃពិភពពិតកើតឡើង។

នៅក្នុងសកម្មភាពជាក់ស្តែងរបស់យើង យើងតែងតែជួបប្រទះនូវបាតុភូតដែលលទ្ធផលមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន លទ្ធផលដែលអាស្រ័យលើឱកាស។

បាតុភូតចៃដន្យអាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសមាមាត្រនៃចំនួននៃការកើតឡើងរបស់វាទៅនឹងចំនួននៃការសាកល្បង ដែលនៅក្នុងនីមួយៗ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានៃការសាកល្បងទាំងអស់ វាអាចកើតឡើង ឬមិនកើតឡើង។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលបាតុភូតចៃដន្យ (ព្រឹត្តិការណ៍) ត្រូវបានសិក្សា ហើយលំនាំត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាទ្រង់ទ្រាយធំ។

ស្ថិតិគណិតវិទ្យា គឺជាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការប្រមូល រៀបចំប្រព័ន្ធ ដំណើរការ និងប្រើប្រាស់ទិន្នន័យស្ថិតិដើម្បីទទួលបានការសន្និដ្ឋានតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងធ្វើការសម្រេចចិត្ត។

ក្នុងករណីនេះទិន្នន័យស្ថិតិត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃលេខដែលតំណាងឱ្យលក្ខណៈបរិមាណនៃលក្ខណៈនៃវត្ថុដែលកំពុងសិក្សាដែលយើងចាប់អារម្មណ៍។ ទិន្នន័យស្ថិតិត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ដែលបានរចនាឡើងជាពិសេស និងការសង្កេត។

ទិន្នន័យស្ថិតិតាមខ្លឹមសាររបស់វាអាស្រ័យទៅលើកត្តាចៃដន្យជាច្រើន ដូច្នេះស្ថិតិគណិតវិទ្យាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលជាមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីរបស់វា។

I. ប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែម និងការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

១.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ combinatorics

នៅក្នុងផ្នែកគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានគេហៅថា combinatorics បញ្ហាមួយចំនួនទាក់ទងនឹងការពិចារណានៃសំណុំ និងសមាសភាពនៃបន្សំផ្សេងៗនៃធាតុនៃសំណុំទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងយកលេខ 10 ផ្សេងគ្នា 0, 1, 2, 3,: , 9 ហើយធ្វើបន្សំនៃពួកវា យើងនឹងទទួលបានលេខផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍ 143, 431, 5671, 1207, 43 ។ល។

យើងឃើញថាបន្សំទាំងនេះខ្លះខុសគ្នាតែតាមលំដាប់លេខប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ ១៤៣ និង ៤៣១) ខ្លះទៀតក្នុងខ្ទង់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងពួកគេ (ឧទាហរណ៍ ៥៦៧១ និង ១២០៧) ហើយខ្លះទៀតក៏ខុសគ្នាក្នុងចំនួនខ្ទង់ផងដែរ។ (ឧទាហរណ៍ ១៤៣ និង ៤៣)។

ដូច្នេះបន្សំលទ្ធផលបំពេញលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗ។

ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃសមាសភាព បន្សំបីប្រភេទអាចត្រូវបានសម្គាល់៖ ការផ្លាស់ប្តូរ, ទីតាំង, បន្សំ.

ចូរយើងស្គាល់គំនិតដំបូង រោងចក្រ.

ផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ n រួមបញ្ចូលត្រូវបានគេហៅថា n-factorial និងសរសេរ។

គណនា៖ ក); ខ) ; វី) ។

ដំណោះស្រាយ។ ក)។

ខ) ចាប់តាំងពី បន្ទាប់មកយើងអាចដាក់វាចេញពីតង្កៀប

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

វី) .

ការរៀបចំឡើងវិញ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ n ដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងលំដាប់នៃធាតុត្រូវបានគេហៅថា permutation ។

ការផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា P n ដែល n គឺជាចំនួនធាតុដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការបំប្លែងនីមួយៗ។ ( រ- អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការផ្លាស់ប្តូរ- ការរៀបចំឡើងវិញ) ។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ឬប្រើ Factorial៖

ចូរយើងចាំថា 0!=1 និង 1!=1 ។

ឧទាហរណ៍ 2. តើសៀវភៅប្រាំមួយក្បាលផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំនៅលើធ្នើមួយតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួននៃវិធីដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 6, i.e.

ទីតាំង។

ប្រកាសពី មធាតុនៅក្នុង ននៅក្នុងគ្នា សមាសធាតុបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុខ្លួនឯង (យ៉ាងហោចណាស់មួយ) ឬតាមលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់វា។

ទីតាំងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា កន្លែងណា ម- ចំនួននៃធាតុដែលមានទាំងអស់, ន- ចំនួនធាតុនៅក្នុងបន្សំនីមួយៗ។ ( ក-អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការរៀបចំដែលមានន័យថា "ដាក់, រៀបចំ") ។

ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាត្រូវបានគេជឿថា nm

ចំនួននៃការដាក់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

,

ទាំងនោះ។ ចំនួននៃទីតាំងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ពី មធាតុដោយ នស្មើនឹងផលិតផល នចំនួនគត់ជាប់គ្នា ដែលចំនួនធំជាងគេគឺ ម.

ចូរយើងសរសេររូបមន្តនេះជាទម្រង់ហ្វាក់តូរីស៖

ឧទាហរណ៍ 3. តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការចែកចាយប័ណ្ណចំនួនបីទៅមណ្ឌលអនាម័យនៃទម្រង់ផ្សេងៗអាចត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យប្រាំនាក់?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនជម្រើសដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងចំនួននៃការដាក់ 5 ធាតុនៃ 3 ធាតុ i.e.

.

បន្សំ។

បន្សំគឺជាបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃ មធាតុដោយ នដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ (នៅទីនេះ មនិង n-លេខធម្មជាតិ និង n m).

ចំនួនបន្សំនៃ មធាតុដោយ នត្រូវបានតំណាងដោយ ( ជាមួយ- អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការរួមបញ្ចូលគ្នា- ការរួមបញ្ចូលគ្នា) ។

ជាទូទៅចំនួននៃ មធាតុដោយ នស្មើនឹងចំនួនទីតាំងពី មធាតុដោយ នបែងចែកដោយចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពី នធាតុ៖

ដោយប្រើរូបមន្តហ្វាក់តូរីសសម្រាប់លេខនៃការដាក់ និងការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ទី 4. ក្នុងក្រុមដែលមានមនុស្ស 25 នាក់ អ្នកត្រូវបែងចែកបួននាក់ដើម្បីធ្វើការនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារ​ការ​បញ្ជា​របស់​មនុស្ស​បួន​នាក់​ដែល​បាន​ជ្រើសរើស​មិន​សំខាន់​នោះ មាន​វិធី​ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ។

យើងរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តដំបូង

.

លើសពីនេះទៀតនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហារូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃបន្សំ:

(តាមនិយមន័យពួកគេសន្មត់ថា និង);

.

១.២. ការដោះស្រាយបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នា

កិច្ចការ 1. មាន 16 មុខវិជ្ជាសិក្សានៅមហាវិទ្យាល័យ។ អ្នកត្រូវដាក់មុខវិជ្ជាចំនួន 3 នៅលើកាលវិភាគរបស់អ្នកសម្រាប់ថ្ងៃច័ន្ទ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការកំណត់ពេលធាតុបីក្នុងចំណោម 16 ដូចដែលអ្នកអាចរៀបចំកន្លែងដាក់ 16 ធាតុដោយ 3 ។

កិច្ចការទី 2. ក្នុងចំណោមវត្ថុ 15 អ្នកត្រូវជ្រើសរើសវត្ថុចំនួន 10 ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

កិច្ចការទី 3. ក្រុមចំនួនបួនបានចូលរួមក្នុងការប្រកួត។ តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការចែកចាយកៅអីរវាងពួកគេ?

.

បញ្ហា 4. តើការល្បាតរបស់ទាហានបីនាក់ និងមន្ត្រីម្នាក់អាចបង្កើតបានដោយរបៀបណា ប្រសិនបើទាហាន 80 នាក់ និងមន្ត្រី 3 នាក់?

ដំណោះស្រាយ។ អ្នកអាចជ្រើសរើសទាហាននៅលើល្បាត

ផ្លូវ និងមន្ត្រីតាមវិធី។ ដោយសារ​តែ​មន្ត្រី​ណា​ម្នាក់​អាច​ទៅ​ជា​មួយ​ក្រុម​ទាហាន​បាន​នោះ មាន​តែ​វិធី​ច្រើន​ណាស់។

កិច្ចការ 5. ស្វែងរក ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថា .

ចាប់តាំងពីយើងទទួលបាន

,

,

តាមនិយមន័យនៃការរួមបញ្ចូលគ្នា វាធ្វើតាមនោះ . នោះ។ .

១.៣. គំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។ ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍

រាល់សកម្មភាព បាតុភូត ការសង្កេតជាមួយនឹងលទ្ធផលផ្សេងៗគ្នា ដែលសម្រេចបានក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ នឹងត្រូវហៅថា សាកល្បង។

លទ្ធផលនៃសកម្មភាពឬការសង្កេតនេះត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ .

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចកើតឡើងឬមិនកើតឡើងនោះវាត្រូវបានហៅ ចៃដន្យ . នៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយកើតឡើង នោះគេហៅថា អាចទុកចិត្តបាន។ ហើយក្នុងករណីដែលវាច្បាស់ជាមិនអាចកើតឡើង - មិនអាចទៅរួច.

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ ប្រសិនបើមានតែម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេ គឺអាចបង្ហាញខ្លួនរាល់ពេល។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា រួម ប្រសិនបើនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតក្នុងអំឡុងពេលការធ្វើតេស្តដូចគ្នានោះទេ។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា ទល់មុខ ប្រសិនបើស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត ពួកគេដែលជាលទ្ធផលតែមួយគត់របស់វា គឺមិនឆបគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍ជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជាអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ A, B, C, D, : .

ប្រព័ន្ធពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n គឺជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា ការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយដែលជាកាតព្វកិច្ចក្នុងអំឡុងពេលការធ្វើតេស្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធពេញលេញមានព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរ នោះព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាផ្ទុយ ហើយត្រូវបានកំណត់ថា A និង .

ឧទាហរណ៍។ ប្រអប់មានគ្រាប់បាល់ចំនួន 30 ។ កំណត់ថាព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមណាមួយដែលមិនអាចទៅរួច គួរឱ្យទុកចិត្ត ឬផ្ទុយ៖

យកបាល់ដែលមានលេខចេញ (ក);

ទទួលបានបាល់ដែលមានលេខគូ (IN);

ទទួលបានបាល់ដែលមានលេខសេស (ជាមួយ);

ទទួលបានបាល់ដោយគ្មានលេខ (D).

តើពួកគេមួយណាបង្កើតក្រុមពេញលេញ?

ដំណោះស្រាយ . ក- ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន; ឃ- ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច;

នៅក្នុង និង ជាមួយ- ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។

ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមមាន កនិង ឃ, វីនិង ជាមួយ.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជារង្វាស់នៃលទ្ធភាពគោលបំណងនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។

១.៤. និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

លេខដែលបង្ហាញពីរង្វាស់នៃលទ្ធភាពគោលបំណងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍នេះ និងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា R(A)

និយមន័យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផល m ដែលអនុគ្រោះដល់ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក, ទៅលេខ នលទ្ធផលទាំងអស់ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា មានតែអាចធ្វើទៅបាន និងស្មើគ្នា) ឧ. .

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាពីលទ្ធផលផ្សេងៗនៃការធ្វើតេស្ត ដើម្បីគណនាលទ្ធផលដែលមិនជាប់លាប់ដែលអាចកើតមានទាំងអស់។ nជ្រើសរើសចំនួនលទ្ធផល m ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ និងគណនាសមាមាត្រ មទៅ ន.

លក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមបានមកពីនិយមន័យនេះ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្វើតេស្តណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលមិនលើសពីមួយ។

ជាការពិតចំនួន m នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវការគឺស្ថិតនៅក្នុង . បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជា ន, យើងទទួលបាន

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានគឺស្មើនឹងមួយ ពីព្រោះ .

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ ចាប់តាំងពី .

បញ្ហា 1. ក្នុងឆ្នោតចំនួន 1000 សន្លឹកមាន 200 សន្លឹកដែលឈ្នះ។ សំបុត្រមួយត្រូវបានដកចេញដោយចៃដន្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំបុត្រនេះជាអ្នកឈ្នះ?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលផ្សេងគ្នាគឺ ន=1000។ ចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលក្នុងការឈ្នះគឺ m = 200 ។ យោងតាមរូបមន្តយើងទទួលបាន

.

បញ្ហាទី 2. ក្នុងមួយបាច់នៃ 18 ផ្នែកមាន 4 ផ្នែក។ 5 ផ្នែកត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកទាំងពីរនៃផ្នែកទាំង 5 នេះនឹងមានបញ្ហា។

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួននៃលទ្ធផលឯករាជ្យដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា នស្មើនឹងចំនួនបន្សំនៃ 18 ដោយ 5 i.e.

ចូររាប់លេខ m ដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ A. ក្នុងចំនោម 5 ផ្នែកដែលយកដោយចៃដន្យ គួរតែមាន 3 ល្អ និង 2 ដែលមិនល្អ។ ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកដែលមានបញ្ហាចំនួនពីរពីផ្នែកដែលមានបញ្ហាចំនួន 4 គឺស្មើនឹងចំនួននៃបន្សំនៃ 4 ដោយ 2៖

ចំនួននៃវិធីដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកគុណភាពបីពី 14 ផ្នែកគុណភាពដែលមានគឺស្មើនឹង

.

ក្រុមណាមួយនៃផ្នែកល្អអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយក្រុមណាមួយនៃផ្នែកដែលមានបញ្ហា ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃបន្សំ មបរិមាណ

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការនៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផល m ដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះទៅនឹងចំនួន n នៃលទ្ធផលឯករាជ្យដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់៖

.

ផលបូកនៃចំនួនកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា A+B និងផលបូក នព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននិមិត្តសញ្ញា A 1 + A 2 + : +A n ។

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

កូរ៉ូឡារី 1. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A 1, A 2, :,A n បង្កើតជាប្រព័ន្ធពេញលេញ នោះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ។

កូរ៉ូឡារី 2. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ និងស្មើនឹងមួយ។

.

បញ្ហា 1. មានឆ្នោត 100 សន្លឹក។ វាត្រូវបានគេដឹងថា 5 សំបុត្រឈ្នះ 20,000 rubles, 10 សំបុត្រឈ្នះ 15,000 rubles, 15 សំបុត្រឈ្នះ 10,000 rubles, 25 សំបុត្រឈ្នះ 2,000 rubles ។ និងគ្មានអ្វីសម្រាប់នៅសល់។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំបុត្រដែលបានទិញនឹងទទួលបានការឈ្នះយ៉ាងហោចណាស់ 10,000 រូប្លិ៍។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ A, B, និង C ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថាសំបុត្រដែលបានទិញទទួលបានការឈ្នះស្មើនឹង 20,000, 15,000 និង 10,000 rubles រៀងគ្នា។ ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ A, B និង C មិនឆបគ្នា។

កិច្ចការទី 2. នាយកដ្ឋានឆ្លើយឆ្លងនៃសាលាបច្ចេកទេសទទួលការធ្វើតេស្តគណិតវិទ្យាពីទីក្រុង ក, ខនិង ជាមួយ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលការធ្វើតេស្តពីទីក្រុង កស្មើនឹង 0.6 ពីទីក្រុង IN- 0.1 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការធ្វើតេស្តបន្ទាប់នឹងមកពីទីក្រុង ជាមួយ.

អ្នកសរសេរកម្មវិធីមួយចំនួន បន្ទាប់ពីធ្វើការក្នុងវិស័យអភិវឌ្ឍកម្មវិធីពាណិជ្ជកម្មធម្មតា គិតអំពីការធ្វើជាម្ចាស់លើការរៀនម៉ាស៊ីន ហើយក្លាយជាអ្នកវិភាគទិន្នន័យ។ ជារឿយៗពួកគេមិនយល់ពីមូលហេតុដែលវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនដំណើរការ ហើយវិធីសាស្រ្តរៀនម៉ាស៊ីនភាគច្រើនហាក់ដូចជាវេទមន្ត។ តាមពិត ការរៀនតាមម៉ាស៊ីនគឺផ្អែកលើស្ថិតិគណិតវិទ្យា ដែលវាផ្អែកលើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងយកចិត្តទុកដាក់លើគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ យើងនឹងនិយាយអំពីនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ការចែកចាយ និងវិភាគឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួន។

អ្នកប្រហែលជាដឹងថាទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានបែងចែកជា 2 ផ្នែក។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ពីគ្នាសិក្សាបាតុភូតដែលអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយការចែកចាយជាមួយនឹងចំនួនកំណត់ (ឬអាចរាប់បាន) នៃជម្រើសអាកប្បកិរិយាដែលអាចកើតមាន (បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់កាក់)។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបន្តការសិក្សាបាតុភូតដែលបានចែកចាយលើសំណុំក្រាស់មួយចំនួន ឧទាហរណ៍ នៅលើផ្នែកមួយ ឬក្នុងរង្វង់មួយ។

យើងអាចពិចារណាប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ។ ស្រមៃថាខ្លួនអ្នកជាអ្នកបង្កើតកម្មវិធីបាញ់ប្រហារ។ ផ្នែកសំខាន់មួយនៃការអភិវឌ្ឍន៍ហ្គេមក្នុងប្រភេទនេះគឺមេកានិចបាញ់ប្រហារ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការបាញ់ប្រហារដែលអាវុធទាំងអស់បាញ់បានត្រឹមត្រូវពិតជានឹងមានការចាប់អារម្មណ៍តិចតួចសម្រាប់អ្នកលេង។ ដូច្នេះវាជាការចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមការរីករាលដាលទៅអាវុធរបស់អ្នក។ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែចៃដន្យនូវចំណុចប៉ះប៉ូវអាវុធនឹងមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានការកែតម្រូវនោះទេ ដូច្នេះការកែតម្រូវសមតុល្យហ្គេមនឹងពិបាក។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ការប្រើប្រាស់អថេរចៃដន្យ និងការចែកចាយរបស់ពួកគេអាចវិភាគពីរបៀបដែលអាវុធនឹងដំណើរការជាមួយនឹងការរីករាលដាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងជួយធ្វើការកែតម្រូវចាំបាច់។

ចន្លោះនៃលទ្ធផលបឋម

ចូរនិយាយថាពីការពិសោធន៍ចៃដន្យមួយចំនួនដែលយើងអាចធ្វើម្តងទៀតច្រើនដង (ឧទាហរណ៍ ការបោះកាក់) យើងអាចទាញយកព័ត៌មានផ្លូវការមួយចំនួន (វាចេញមកជាក្បាល ឬកន្ទុយ)។ ព័ត៌មាននេះត្រូវបានគេហៅថាជាលទ្ធផលបឋម ហើយវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការពិចារណាលើសំណុំនៃលទ្ធផលបឋមទាំងអស់ ដែលជារឿយៗត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ Ω (អូមេហ្គា)។

រចនាសម្ព័ននៃលំហនេះអាស្រ័យទាំងស្រុងលើលក្ខណៈនៃការពិសោធន៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងពិចារណាការបាញ់នៅគោលដៅរាងជារង្វង់ធំល្មម ចន្លោះនៃលទ្ធផលបឋមនឹងជារង្វង់មួយ ដើម្បីភាពងាយស្រួល ដាក់នៅកណ្តាលនៅសូន្យ ហើយលទ្ធផលនឹងជាចំណុចមួយនៅក្នុងរង្វង់នេះ។

លើសពីនេះទៀតសំណុំនៃលទ្ធផលបឋម - ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានពិចារណា (ឧទាហរណ៍ការចុចកំពូលដប់គឺជារង្វង់ប្រមូលផ្តុំនៃកាំតូចដែលមានគោលដៅ) ។ ក្នុងករណីដាច់ដោយឡែក អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងអាចទទួលបានព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ រួមទាំង ឬមិនរាប់បញ្ចូលលទ្ធផលបឋមក្នុងរយៈពេលកំណត់។ នៅក្នុងករណីបន្ត អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺកាន់តែស្មុគស្មាញ៖ យើងត្រូវការសំណុំគ្រួសារដ៏ល្អមួយចំនួនដើម្បីពិចារណា ដែលហៅថាពិជគណិតដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំនួនពិតសាមញ្ញដែលអាចបន្ថែម ដក បែងចែក និងគុណ។ សំណុំនៅក្នុងពិជគណិតអាចត្រូវបានប្រសព្វ និងបញ្ចូលគ្នា ហើយលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនឹងស្ថិតនៅក្នុងពិជគណិត។ នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សំខាន់បំផុតសម្រាប់គណិតវិទ្យាដែលនៅពីក្រោយគំនិតទាំងអស់នេះ។ គ្រួសារតិចតួចបំផុតមានពីរឈុតប៉ុណ្ណោះ - សំណុំទទេ និងចន្លោះនៃលទ្ធផលបឋម។

ការវាស់វែងនិងប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាវិធីនៃការធ្វើសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពីឥរិយាបថរបស់វត្ថុស្មុគស្មាញខ្លាំងដោយមិនយល់ពីរបៀបដែលវាដំណើរការ។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ជាមុខងារនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ (ពីក្រុមនៃសំណុំដ៏ល្អនោះ) ដែលត្រឡប់លេខ - លក្ខណៈមួយចំនួននៃថាតើព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះអាចកើតឡើងក្នុងការពិតញឹកញាប់ប៉ុណ្ណា។ ដើម្បីឱ្យប្រាកដ គណិតវិទូបានយល់ស្របថា លេខនេះគួរតែស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងលេខមួយ។ លើសពីនេះ មុខងារនេះមានតម្រូវការ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃសំណុំលទ្ធផលទាំងមូលគឺជាឯកតា ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរ (សំណុំមិនជាប់គ្នា) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ឈ្មោះផ្សេងទៀតសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជារង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ។ ភាគច្រើនគេប្រើជាញឹកញាប់គឺ រង្វាស់ Lebesgue ដែលកំណត់គំនិតទូទៅនៃប្រវែង ផ្ទៃ កម្រិតសំឡេងទៅវិមាត្រណាមួយ (n-dimensional volume) ហើយដូច្នេះវាអាចអនុវត្តបានចំពោះឈុតធំទូលាយ។

រួមគ្នា ការប្រមូលសំណុំនៃលទ្ធផលបឋម ក្រុមគ្រួសារនៃសំណុំ និងរង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ. ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលយើងអាចបង្កើតចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ឧទាហរណ៍នៃការបាញ់នៅគោលដៅមួយ។

ពិចារណាបាញ់ចំគោលដៅជុំធំនៃកាំ R ដែលមិនអាចរំលងបាន។ ដោយសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមមួយ យើងកំណត់រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើមនៃកូអរដោនេនៃកាំ R ។ ដោយសារយើងនឹងប្រើតំបន់ (រង្វាស់ Lebesgue សម្រាប់សំណុំពីរវិមាត្រ) ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ យើងនឹងប្រើសំណុំគ្រួសារដែលអាចវាស់វែងបាន (ដែលវិធានការនេះមាន)។

ចំណាំតាមការពិត នេះគឺជាចំណុចបច្ចេកទេស ហើយនៅក្នុងបញ្ហាសាមញ្ញ ដំណើរការនៃការកំណត់រង្វាស់ និងក្រុមគ្រួសារនៃសំណុំមិនដើរតួនាទីពិសេសនោះទេ។ ប៉ុន្តែចាំបាច់ត្រូវយល់ថាវត្ថុទាំងពីរនេះមានស្រាប់ ពីព្រោះនៅក្នុងសៀវភៅជាច្រើនស្តីពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ទ្រឹស្តីបទចាប់ផ្តើមដោយពាក្យថា “ អនុញ្ញាតឱ្យ (Ω,Σ,P) ជាចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ...».

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលំហទាំងមូលនៃលទ្ធផលបឋមត្រូវតែស្មើនឹងមួយ។ តំបន់ (រង្វាស់ Lebesgue ពីរវិមាត្រ ដែលយើងសម្គាល់ λ 2 (A) ដែល A ជាព្រឹត្តិការណ៍) នៃរង្វង់មួយ យោងតាមរូបមន្តល្បីពីសាលា គឺស្មើនឹង π * R 2 ។ បន្ទាប់មកយើងអាចណែនាំប្រូបាប៊ីលីតេ P(A) = λ 2 (A) / (π * R 2) ហើយតម្លៃនេះនឹងស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1 រួចហើយសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ A ។

ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាការវាយទៅលើចំណុចណាមួយលើគោលដៅគឺប្រហែលស្មើគ្នា ការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃអ្នកបាញ់ប្រហារដែលវាយទៅលើតំបន់មួយចំនួននៃគោលដៅនោះចុះមកដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃឈុតនេះ (ពីទីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានបានថាប្រូបាប៊ីលីតេ នៃ​ការ​ចុច​ចំណុច​ជាក់លាក់​មួយ​គឺ​សូន្យ​, ព្រោះ​តំបន់​នៃ​ចំណុច​គឺ​សូន្យ​) ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងចង់រកឱ្យឃើញនូវអ្វីដែលជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ប្រហារនឹងឈានដល់កំពូលទាំងដប់ (ព្រឹត្តិការណ៍ A - អ្នកបាញ់បានឈានដល់ឈុតដែលចង់បាន)។ នៅក្នុងគំរូរបស់យើង "ដប់" ត្រូវបានតំណាងដោយរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅសូន្យនិងកាំ r ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចូលទៅក្នុងរង្វង់នេះគឺ P(A) = λ 2 / (A)π * R 2 = π * r 2 / (π R 2) = (r / R) 2 ។

នេះគឺជាប្រភេទសាមញ្ញបំផុតនៃបញ្ហា "ប្រូបាប៊ីលីតេធរណីមាត្រ" ដែលភាគច្រើននៃបញ្ហាទាំងនេះទាមទារការស្វែងរកតំបន់មួយ។

អថេរចៃដន្យ

អថេរចៃដន្យគឺជាមុខងារដែលបំប្លែងលទ្ធផលបឋមទៅជាចំនួនពិត។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងបញ្ហាដែលបានពិចារណា យើងអាចណែនាំអថេរចៃដន្យ ρ(ω) - ចំងាយពីចំណុចនៃផលប៉ះពាល់ដល់ចំណុចកណ្តាលនៃគោលដៅ។ ភាពសាមញ្ញនៃគំរូរបស់យើងអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់យ៉ាងច្បាស់នូវចន្លោះនៃលទ្ធផលបឋម៖ Ω = (ω = (x,y) លេខដែល x 2 + y 2 ≤ R 2) ។ បន្ទាប់មកអថេរចៃដន្យ ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 + y 2 ។

មធ្យោបាយនៃការអរូបីពីលំហទំនង។ មុខងារចែកចាយ និងដង់ស៊ីតេ

វាល្អនៅពេលដែលរចនាសម្ព័នអវកាសត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ ប៉ុន្តែការពិតវាមិនតែងតែជាករណីនោះទេ។ ទោះបីជារចនាសម្ព័ន្ធនៃលំហមួយត្រូវបានគេដឹងក៏ដោយ វាអាចស្មុគស្មាញ។ ដើម្បីពណ៌នាអថេរចៃដន្យ ប្រសិនបើកន្សោមរបស់ពួកវាមិនស្គាល់ មានគោលគំនិតនៃមុខងារចែកចាយ ដែលតំណាងដោយ F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

មុខងារចែកចាយមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន៖

1. ទីមួយវាស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1 ។
2. ទីពីរ វាមិនថយចុះនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ x របស់វាកើនឡើង។
3. ទីបី នៅពេលដែលលេខ -x មានទំហំធំ មុខងារចែកចាយគឺនៅជិត 0 ហើយនៅពេលដែល x ខ្លួនវាធំ មុខងារចែកចាយគឺនៅជិត 1 ។

ប្រហែលជា អត្ថន័យនៃការសាងសង់នេះមិនច្បាស់ទេនៅពេលអានលើកដំបូង។ ទ្រព្យសម្បត្តិមានប្រយោជន៍មួយគឺថាមុខងារចែកចាយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នករកមើលប្រូបាប៊ីលីតេដែលបរិមាណយកតម្លៃពីចន្លោះពេលមួយ។ ដូច្នេះ P (អថេរចៃដន្យ ξ យកតម្លៃពីចន្លោះពេល) = F ξ (b)-F ξ (a) ។ ដោយផ្អែកលើសមភាពនេះ យើងអាចសិក្សាពីរបៀបដែលតម្លៃនេះផ្លាស់ប្តូរ ប្រសិនបើព្រំដែន a និង b នៃចន្លោះពេលនៅជិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ d = b-a បន្ទាប់មក b = a + d ។ ដូច្នេះហើយ F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a + d) - F ξ (a) ។ ចំពោះតម្លៃតូចនៃ d ភាពខុសគ្នាខាងលើក៏តូចដែរ (ប្រសិនបើការចែកចាយបន្ត)។ វាសមហេតុផលក្នុងការពិចារណាសមាមាត្រ p ξ (a, d) = (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d ។ ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃតូចគ្រប់គ្រាន់នៃ d សមាមាត្រនេះខុសគ្នាតិចតួចពី p ξ (a) ថេរខ្លះដោយឯករាជ្យនៃ d បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះអថេរចៃដន្យមានដង់ស៊ីតេស្មើនឹង p ξ (a) ។

ចំណាំ អ្នកអានដែលបានជួបប្រទះពីមុនគំនិតនៃដេរីវេអាចកត់សំគាល់ថា p ξ (a) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ F ξ (x) នៅចំណុច a ។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ អ្នកអាចសិក្សាពីគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅក្នុងអត្ថបទលើប្រធានបទនេះនៅលើគេហទំព័រ Mathprofi ។

ឥឡូវនេះអត្ថន័យនៃមុខងារចែកចាយអាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: ដេរីវេរបស់វា (ដង់ស៊ីតេ p ξដែលយើងបានកំណត់ខាងលើ) នៅចំណុចមួយពិពណ៌នាអំពីថាតើអថេរចៃដន្យនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះតូចមួយដែលផ្តោតលើចំណុច a (សង្កាត់នៃចំណុច a ) បើប្រៀបធៀបទៅនឹងសង្កាត់នៃចំណុចផ្សេងទៀត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មុខងារចែកចាយកើនឡើងកាន់តែលឿន វាទំនងជាតម្លៃបែបនេះនឹងលេចឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ចៃដន្យ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍។ យើងអាចគណនាមុខងារចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យ ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 + y 2 ដែលតំណាងឱ្យចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលទៅចំណុចបុកចៃដន្យនៅលើគោលដៅ។ តាមនិយមន័យ F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

យើងអាចរកឃើញដង់ស៊ីតេ p ρ នៃអថេរចៃដន្យនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថានៅខាងក្រៅចន្លោះវាគឺសូន្យព្រោះ មុខងារចែកចាយនៅចន្លោះពេលនេះគឺមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលនេះ ដង់ស៊ីតេមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ នៅខាងក្នុងចន្លោះពេល វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ (ឧទាហរណ៍ ពីគេហទំព័រ Mathprofi) និងច្បាប់បឋមនៃភាពខុសគ្នា។ ដេរីវេនៃ t 2 / R 2 គឺស្មើនឹង 2t / R 2 ។ នេះមានន័យថាយើងបានរកឃើញដង់ស៊ីតេនៅលើអ័ក្សទាំងមូលនៃចំនួនពិត។

ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដង់ស៊ីតេគឺប្រូបាប៊ីលីតេដែលអនុគមន៍យកតម្លៃពីចន្លោះពេលមួយ ដោយគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលនៃដង់ស៊ីតេក្នុងចន្លោះពេលនេះ (អ្នកអាចស្វែងយល់ថាតើវាជាអ្វីនៅក្នុងអត្ថបទអំពីអាំងតេក្រាលត្រឹមត្រូវ មិនត្រឹមត្រូវ និងមិនកំណត់នៅលើ Mathprofi គេហទំព័រ) ។

នៅលើការអានលើកដំបូង អាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេលនៃអនុគមន៍ f(x) អាចត្រូវបានគិតថាជាតំបន់នៃ trapezoid កោង។ ជ្រុងរបស់វាគឺជាបំណែកនៃអ័ក្សអុក គម្លាតមួយ (អ័ក្សសំរបសំរួលផ្តេក) ផ្នែកបញ្ឈរតភ្ជាប់ចំណុច (a,f(a)), (b,f(b)) នៅលើខ្សែកោងដែលមានចំនុច (a,0), (b,0) នៅលើអ័ក្សអុក។ ផ្នែកចុងក្រោយគឺជាបំណែកនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f ពី (a,f(a)) ទៅ (b,f(b)) ។ យើងអាចនិយាយអំពីអាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេល (-∞; b] នៅពេលដែលតម្លៃអវិជ្ជមានធំគ្រប់គ្រាន់ a តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេលនឹងផ្លាស់ប្តូរដោយធ្វេសប្រហែសបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរចំនួន a ។ អាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេលគឺ កំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា)